Física I
2º Semestre de 2013
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 5 Trabalho e energia
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: [email protected] Fone: 3091.7104
Trabalho realizado por uma força constante
Diferentemente do conceito intuitivo, o trabalho está associado com a transferência de energia devido a uma força.
Trabalho é uma grandeza escalar (positiva ou negativa).
Trabalho é realizado sobre um corpo por uma força, quando o ponto de aplicação da força se desloca.
O trabalho realizado sobre um corpo é positivo se energia é transferida para esse corpo.
xFW
W é o Trabalho realizado
xFxFW x cos
Trabalho realizado por diversas forças
O trabalho total sobre um sistema é a soma do trabalho realizado por cada força.
332211 xFxFxFW xxx
Se o trabalho é realizado sobre uma partícula, então todos os deslocamentos são idênticos.
xFxFFFWxresxxx )( 321
0W
No SI, a unidade para o Trabalho é o Joule (J)
1 J = 1 N.m
Se a aceleração é nula, então
O teorema do Trabalho-Energia CinéticaQuando forças realizam trabalho sobre uma partícula, o resultado é uma variação da energia cinética da partícula.
Se a força resultante é constante, a aceleração é constante.
Teorema do Trabalho-Energia Cinética:
xres maFx
Definimos a energia cinética como sendo:
xavv xif 222 )(2
1 22
ifx vvx
a
)(2
1 22
ifres vvx
mFx
iftotal
ifres
KKW
mvmvxFx
22
2
1
2
1
2
2
1mvK
KWtotal
No SI, a unidade para a Energia Cinética é o Joule (J)
O teorema do Trabalho-Energia CinéticaSuponha que voce tenha que puxar um trenó de massa 80 kg, com uma
força de 180 N a 40° em relação à horizontal.
(a) Qual o trabalho que voce irá realizar?
(b) Qual a rapidez do trenó após se deslocar 5,0 m, tendo partido dorepouso?
(a)
smv
m
Wv
mvmvW
f
totalf
iftotal
/2,4
2
2
1
2
1
2
22
JW
xFxFW
total
xtotal
689
cos
(b)
O Trabalho realizado por força variávelFrequentemente as forças têm intensidade ou direção de aplicação variável.
Para força constante, temos
Numericamente igual a área sob a curva Fx versus x
i
ixix
xFW0
lim
f
i
x
x
xdxFW
Se a força varia com x, podemos dividir o movimento em pequenas seções.
nCttv )(
1
11)()(
n
nCtdttvtx
nCtx
1 nCntdt
dx
Integralderivada
2
1
)()()( 12
t
tdttvtxtxIntegrais definidas
attv )(
)()()( 2
1
2
2212
211
12
2
1
2
1
atatatdtattxtxt
t
t
t
suponha
O Trabalho realizado por uma mola (Lei de Hooke)
Considere um bloco sob a ação de uma mola.
A força exercida pela mola é dada pela Lei de Hooke
22
22
2
21
2
1
2
1
22
)(
fi
x
x
ifx
x
x
x
x
x
x
kxkxW
xxkxkxdxkW
dxkxdxFW
f
i
f
i
f
i
f
i
Note que a força não é constante e varia com x.
O Trabalho realizado por uma mola (Lei de Hooke)
Considere um bloco sob a ação de uma mola com k=400N/m.
A força exercida pela mola é dada pela Lei de Hooke
J
kxxxkxarea
5.02/)05.0(400
2/2/)(
2
2
1121
Área sob a curva Fx versus x
Jx
kxx
kxkxdxk
dxkxdxFW
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
i
f
i
5.0222
)(
2
1
2
1
2
22
21
2
1
2
1
O Produto Escalar – Movimento tridimensional
O trabalho depende da componente da força na direção do movimento.
dlFdlFdW cos//
Esta combinação de dois vetores com o cosseno do ângulo entre suas orientações é chamada de Produto Escalar dos vetores.
cosABBA
Produto escalar
O Produto Escalar
Ou alternativamente,
cosABBA
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx
Mas, como:
0ˆˆ
1ˆˆ
ji
ii
zzyyxx BABABABA
O Produto Escalar
a) Determine o ângulo entre os vetores
a) Determine a componente de A na direção de B.
cosABBA
20,6 mBABABA yyxx
mjiA )ˆ0,2ˆ0,3(
mjiB )ˆ0,3ˆ0,4(
AB
BA
cos
mAAAAA yx 0,1322
mBBBBB yx 0,522
333,0cos
71
B
BAA
cos mA 2,1cos
a)
b)
O Trabalho em notação de Produto Escalar
Considerando-se deslocamentos infinitesimais (dl)
dlFdlFdW cos//
ldFdW
Para um deslocamento de uma posição 1 para uma posição 2, o trabalho realizado é
2
1
P
P
ldFW
Esta integral é conhecida como Integral de Linha.
Uma partícula sofre um deslocamento
Durante esse deslocamento, uma força constante atua sobre a partícula. Determine
(a) o trabalho realizado pela força
(b) a componente da força na direção do deslocamento.
ldFdW
Como a força é constante
2
1
P
P
ldFW
mjil )ˆ0,50,2(
NjiF )ˆ0,40,3(
JjijiW 0,14)ˆ0,50,2()ˆ0,40,3(
lFlFW //
l
lFF
//
2952 22 l
NF 6,2// lFldFW
P
P
2
1
Dois esquiadores partem de um mesmo ponto em uma colina e chegam na base da colina, através de caminhos diferentes. Um caminho é mais curto e íngreme do que o outro. Qual esquiador terá maior velocidade no ponto de chegada?
22
2
1
2
1iftotal mvmvKW
Os esquiadores podem ser tomados como partículas, portanto vale o Teorema do Trabalho-Energia Cinética.
Temos a força peso e a força normal.
gntotal WWW
0
0
n
nn
W
ldFdW
mghymgW
jyixjmgW
lFldFldFW
ldFdW
g
g
gggg
gg
)ˆˆ(ˆ
O mesmo para os dois esquiadores.
2
2
1ftotal
gtotal
mvW
mghWW
ghv f 2
2
fmvmgh
PotênciaA taxa, ou seja, a variação temporal do trabalho que uma força realiza échamada de Potência (P). Em outras palavras, a Potência é a taxa detransferência de Energia, através da realização de um Trabalho.
ldFdW
vFP
Dois motores que elevam uma certa carga até uma dada alturagastam a mesma quantidade de energia, mas a potência émaior para a força que realiza o trabalho no menor tempo.
No SI, a unidade para a Potência é o Watt (W) 1 W = 1 J/s
As companhias de energia elétrica usam o kW.h como unidade de energia. Esta é a energia transferida em 1 hora a uma taxa constante de 1 kW.
1 kW.h = (103W)(3600s) = 3,6x106 W.s = 3,6 MJ
Potência
dt
ldv
dtvFdW
vFdt
dW dtvld
Exemplo
Um pequeno motor é usado para operar como um elevador que levanta uma carga de tijolos que pesa 500 N até a altura de 10 m, em 20 s, com rapidez constante. O elevador pesa 300 N. Qual é a potência desenvolvida pelo motor?
FvFvvFP cos
Ws
mNP 400
20
10)800(
tijoloselevador PPF
Funny car
Funny car
A potencia de um motor é a taxa com a qual o motor pode realizar trabalho.
O trabalho está relacionado coma variação da energia cinética.
dt
dWP
PdtdKdW
tK
PdtdK00
Ptmv
PtK
2
21
2/12
m
Ptv
dKdW
if KKKW
Precisamos agora relacionar a potencia do funny car com a distânciapercorrida e o tempo. Veja que a velocidade não é constante.
Dvdtxt
0
Distância em função da velocidade e potencia.
ttt
dttm
Pdt
m
PtvdtD
0
2/12/1
0
2/1
0
)2
()2
(
2/32/1
3
2)
2( t
m
PD
3/13/2 )2
()2
3(
P
mDt