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FUNCIONES ELEMENTALES
• LA PARÁBOLA.
• FUNCIONES CUADRÁTICAS.
• FUNCIONES A TROZOS CON RECTA Y
PARÁBOLAS.
• HIPÉRBOLAS.
• FUNCIONES RADICALES.
• FUNCIONES EXPONENCIALES.
• FUNCIONES LOGARITMICAS.
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2.- LA PARÁBOLA
La función y = x2
x y
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
-1 1
-2 4
-3 9
-4 16
-5 25
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CARACTERÍSTICAS DE LAS PARÁBOLAS
•Un vértice.
–Máximo o mínimo.
•Dos ramas.
–Una creciente y otra decreciente.
•Eje de simetría.
•Función continua.
•D = R
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Gráfica de y = 2x2
x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
yy
0
2
8
18
32
50
2
8
18
32
50
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Gráfica de y = x21
2x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
yy
0
0.5
2
4.5
8
12.5
0.5
2
4.5
8
12.5
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x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
Gráfica de y = -x2
yy
0
-1
-4
-9
-16
-25
-1
-4
-9
-16
-25
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x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
Gráfica de y = -2x2
y
0
-2
-8
-18
-32
-50
-2
-8
-18
-32
-50
y
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Gráfica de y = x21
2
x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
yy
0
-0.5
-2
-4.5
-8
-12.5
-0.5
-2
-4.5
-8
-12.5
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Gráfica de y = x2 - 2x
x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
yy
0
-1
0
3
8
15
3
8
15
24
35
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Gráfica de y = x2 + 2x+31
2
x
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
yy
3
4,5
5
4,5
3
0,5
0,5
-3
-7,5
-13
-19,5
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LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
•Cuanto mayor es |a| más estrecha es la parábola.
•Una parábola tiene mínimo y es abierta hacia arriba si el
coeficiente a es positivo mientras que si a es negativo la
parábola tiene un máximo y es abierta hacia abajo.
•Las funciones cuadráticas tienen un máximo o un mínimosituado en el vértice de la parábola.
•Las funciones cuadráticas tienen dos ramas una creciente y
otra decreciente.
•Cada parábola tiene un eje de simetría paralelo al eje de
ordenadas, eje OY.
•Las funciones que responden a la fórmula y = ax2 + bx + c(con a no nulo) o funciones cuadráticas y sus gráficas sonparábolas.
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REPRESENTACIÓN DE
FUNCIONES CUADRÁTICAS
Puntos próximos al vértice.
Puntos de corte con los ejes de
coordenadas.
Vértice de la parábola.
Otros puntos si con los
anteriores no es suficiente.
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Vértice de la parábola
Resolviendo el sistema
2y ax bx c
y c
2ax bx 0, x(ax b) 0
Soluciones: x = 0,b
xa
x
bV
2a
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•Una vez halla la coordenada x del vértice
(Vx), su coordenada y se determina hallando
la imagen de Vx.
•Para hallar puntos próximos al vértice se da a
x valores próximos a Vx.
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Puntos de corte con los ejes:
Se da a x el valor cero
para hallar el punto de la
parábola situado sobre el
eje OY.
Se da a y el valor cero
para hallar el punto de la
parábola situado sobre el
eje OX.
Copiad el siguiente ejemplo
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Parábola2
y x 3x 4
3 3
2 2
23 3 3
3· 42 2 2
9 9 9 18 16 254
4 2 4 4
3 25V ,
2 4
•Vy = f
•Vx =
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Parábola
• Puntos próximos al vértice V(1’5, -6’25)
2y x 3x 4
x y
1 -6
2 -6
0 -4
3 -4
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Parábola2
y x 3x 4
•Puntos corte con el eje OX:
•Punto corte con el eje OY:
•Soluciones: x = 4, x = -1
x = 0, y = -4
Punto (0,-4)
Puntos (4,0), (-1,0)
y = 0, x2 – 3x – 4 = 0
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Parábola2
y x 3x 4
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• La abscisa (coordenada x) del vértice de la parábola,y = ax2 + bx + c, se calcula:Vx = -b/2a
• La ordenada del vértice se obtiene hallando la imagen deVx.
• Para hallar puntos próximos al vértice se da a x valorespróximos a Vx.
• Los puntos de corte con los ejes se hallan de la siguienteforma:
• El punto o los puntos de corte con el eje de abscisas (ejeOX) se halla sustituyendo y por cero en la expresión de lafunción.
• El punto de corte con el eje de ordenadas (eje OY) se hallasustituyendo x por cero en la expresión de la función.
• Ejercicios página 115 nº 1 y 2.
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RECTAS Y PARÁBOLAS
• Los puntos de corte o intersección de rectas y parábolas se obtienen resolviendoel sistema formado por las ecuaciones de las rectas y las parábolas.
Intersecciones entre rectas y parábolas:
2
y
y
2x
x x 6
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2
y
y
2x
x x 6
x2 – x – 6 = -2x, x2 – x – 6 +2 x = 0,
x2 + x – 6 = 0,
21 1 4·1·( 6)
x2·1
1 1 24
2
1 5
2
x1 = -3,
x2 = 2,
y1= 6
y2 = -4
Puntos de intersección: (-3 , 6), (2 , -4)
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Ejemplos de sistemas con recta y parábolas
Sistema compatible con
dos soluciones
Sistema compatible con
una solución
Sistema incompatible,
sin solución
Ejercicios Pág. 109: 3 y 4; Pág. 117: 8, 9 y 10; Pág. 119: 25
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3.- FUNCIONES DE
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Gráfica de la función y = 1
xx
0
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
No
4
2
1
0’5
1/3
-4
-2
-1
-0’5
-1/3
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CARACTERÍSTICAS
La curva obtenida se
llama hipérbola Tiene
dos ramas infinitas que
se aproximan al eje de
abscisas (eje OX) y
otras dos que se
aproximan al eje de
ordenadas (eje OY).
Por esto los ejes de
coordenadas son
asíntotas de la
hipérbola.
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Gráfica de y =2
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
8
4
2
1
2/3
-8
-4
-2
-1
-2/3
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3
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
12
6
3
3/2
1
-12
-6
-3
-3/2
-1
Gráfica de y =
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Gráfica de y =4
x
x
0’25
0’5
1
2
4
-0’25
-0’5
-1
-2
-4
yy
16
8
4
2
1
-16
-8
-4
-2
-1
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Gráficas y = , a > 0a
x
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Gráfica de y =1
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
-4
-2
-1
-1/2
-1/3
4
2
1
1/2
1/3
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Gráfica de y =2
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
-8
-4
-2
-1
-2/3
8
4
2
1
2/3
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Gráfica de y =3
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
-12
-6
-3
-3/2
-1
12
6
3
3/2
1
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Gráfica de y =4
x
x
0’25
0’5
1
2
3
-0’25
-0’5
-1
-2
-3
yy
-16
-8
-4
-2
-4/3
16
8
4
2
4/3
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Gráficas y = , a < 0a
x
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• Las funciones que responden a la expresión
y = se llaman funciones de proporcionalidad
inversa. Sus gráficas son hipérbolas situadas en
los cuadrantes 1º y 3º si a > 0 y en el 2º y 4º
cuadrante si a < 0
• Cuanto mayor es |a| más separadas están las
ramas de la hipérbola de origen de coordenadas.
• Sus dominios de definición son D = R – {0}
a
x
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Funciones relacionadas con y = a
xGráficas de las funciones y = , y = , y =
1
x
x
0
1/4
1/2
1
2
3
-1/4
-1/2
-1
-2
-3
1
x 1
1y
x
1y
x 1
1
x 2
1y
x 2
NO
4
2
1
1/2
1/3
-4
-2
-1
-1/2
-1/3
-1
-2/3
-1/2
NO
1
1/2
-4/5
-2/3
-1/2
-1/3
-1/4
-1/2
-4/7
-2/3
-1
NO
1
-8/9
-2/5
-1/3
-1/4
-1/5
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Gráficas de las funciones y = , y = , y =2
x
2
x 1
2
x 2
x
0
1/4
1/2
1
2
3
-1/4
-1/2
-1
-2
-3
2
yx
2y
x 1
2y
x 2
NO
8
4
2
1
2/3
-8
-4
-2
-1
-2/3
2
8/5
4/3
1
1
1/2
8/3
4
NO
-2
-1
1
8/9
4/5
2/3
1/2
2/5
8/7
4/3
2
NO
-1
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Gráficas de las funciones y = , y = , y =2
x
21
x
22
x
x
0
1/4
1/2
1
2
3
-1/4
-1/2
-1
-2
-3
2
yx
2
y 1x
2
y 2x
NO
8
4
2
1
2/3
-8
-4
-2
-1
-2/3
NO
7
3
1
0
-1/3
-9
-5
-3
-2
-5/4
NO
6
2
0
-1
-4/3
-10
-6
-4
-3
-9/4
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Gráficas de las funciones y = , y = , y =1
x
x
0
1/4
1/2
1
2
3
-1/4
-1/2
-1
-2
-3
11
x
1y
x
1y 1
x
12
x
1y 2
x
NO
-4
-2
-1
-1/2
-1/3
4
2
1
1/2
1/3
NO
-3
-2
0
1/2
2/3
5
3
2
3/2
4/3
NO
-2
-1
-
3/2
5/3
6
4
3
5/2
7/3
![Page 42: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/42.jpg)
Las gráficas de las funciones y = están desplazadas k unidades
hacia la derecha, con respecto a las gráficas de y = . Sus asíntotas
son las rectas x = k y el eje de abscisas (eje OX, y = 0).
a
x ka
x
Las gráficas de las funciones y = están desplazadas k unidades
hacia la izquierda, con respecto a las gráficas de y = . Sus
asíntotas son las rectas x = -k y el eje de abscisas (eje OX, y = 0).
a
x + ka
x
Las gráficas de las funciones y = están desplazadas b unidades
hacia la arriba, con respecto a las gráficas de y = . Sus asíntotas
son las rectas y = b y el eje de ordenadas (eje OY, x = 0).
a
x+ b
a
x
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Las gráficas de las funciones y = están desplazadas b unidades
hacia abajo, con respecto a las gráficas de y = . Sus asíntotas son
las rectas y = -b y el eje de ordenadas (eje OY, x = 0).
a
xb
a
x
Indica las asíntotas de las siguientes funciones
3 2 1 8 x 2y 1, y 4, y 2 , y 3, y
x 2 x 3 x 5 7 x x 5
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4.- FUNCIONES RADICALES
Gráfica de la función y = X
x
0
1
4
9
16
25
-1
-4
-9
-16
-25
yy
0
1
2
3
4
5
No
No
No
No
No
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CARACTERÍSTICAS
La curva obtenida es media parábola con el eje situado sobre el
eje de abscisas, eje OX.
Su dominio de definición son los números reales mayores o
iguales que cero. D = [0 , )
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Gráfica de y = 2 x
x
0
1
4
9
16
25
yy
0
2
4
6
8
10
D = [0 , )
![Page 47: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/47.jpg)
x
0
1
4
9
16
25
yy
0
3
6
9
12
15
Gráfica de y = 3 x
D = [0 , )
![Page 48: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/48.jpg)
x
0
1
4
9
16
25
yy
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
D = [0 , )
Gráfica de y =
![Page 49: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/49.jpg)
1 xGráfica de y =
x
0
1
4
9
16
25
yy
1
2
3
4
5
6
D = [0 , )
![Page 50: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/50.jpg)
Gráfica de y =2 x
x
0
1
4
9
16
25
yy
2
3
4
5
6
7
D = [0 , )
![Page 51: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/51.jpg)
2 x
x
0
1
4
9
16
25
yy
-2
-1
0
1
2
3
D = [0 , )
Gráfica de y =
![Page 52: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/52.jpg)
Gráfica de y = x
x
0
-1
-4
-9
-16
-25
yy
0
1
2
3
4
5
D = (- , 0]
![Page 53: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/53.jpg)
1 x
x
0
-1
-4
-9
-16
-25
yy
1
2
3
4
5
6
D = (- , 0]
Gráfica de y =
![Page 54: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/54.jpg)
Gráfica de y = x 1
x
-1
0
3
8
15
24
yy
0
1
2
3
4
5
D = [-1 , )
![Page 55: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/55.jpg)
Gráfica de y = x 2
x
2
3
6
11
18
27
yy
0
1
2
3
4
5
D = [2 , )
![Page 56: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/56.jpg)
Gráficas
comparativas
![Page 57: FUNCIONES ELEMENTALES II - olmo.pntic.mec.esolmo.pntic.mec.es/~agog0016/pdf/4ESO/Funciones elementales.pdf · situado en el vértice de la parábola. •Las funciones cuadráticas](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050718/5e17f2a07ac54512582eabde/html5/thumbnails/57.jpg)
Gráfica de y = 3 x
x
0
1
8
27
-1
-8
-27
yy
0
1
2
3
-1
-2
-3
D = R
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CONCLUSIÓN:
Las funciones , , se representan mediante medias
parábolas. Sus dominios de definición son, respectivamente , .
La gráfica de la función se obtiene desplazando verticalmente k
unidades la gráfica de la función .
y a x b y a x b
b, ,b
La gráfica de la función se obtiene desplazando k unidades
hacia la izquierda (si k >0) la gráfica de la función .
y k ax
y ax
y a( x k )
y ax
Las funciones están definidas en todo R. 3y p( x )