Funciones Trigonométricas
Iván CastroLeonardo Rendón
[email protected],[email protected],Ayuda en transparencias Ricardo Miranda
Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
Octubre - 2009
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Definición de Radián
Definición de Radián: Un radiánes una medida de un ángulo cuyovértice está en el centro de unacircunferencia y que barre unarco cuya longitud es igual alradio de la circunferencia.
S = rθ
r = rθ
1rad = θ
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Relación entre radianes y gradossexagecimales
Como la longitud de lacircunferencia C está dada por ,2πr se tiene que:
2π → 360◦
π → 180◦
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luego se siguen las equivalencias
Radianes Gradosπ 1800 0π6 30π4 45π3 60π2 903π2 270
2π 360
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Sentido de los ángulos
Se determina un sentido para determinar los ángulos(en radianes) en el plano cartesiano
Sentido positivo de un ángulo enposición normal
Sentido negativo de un ángulo enposición normal
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Definición de las funciones seno y coseno
Consideremos un número real t y construyamos elángulo en posición normal de medida t radianes . SeaP el punto de intersección de la línea terminal delángulo con la circunferencia unitaria centrada en elorigen. Si P = (x, y), definimos
cos(t) = x y sen(t) = y
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Definición de seno y coseno de un ángulo
De la definición de seno y de coseno, se tiene:Dom sen = Dom cos = R|sen(t)| ≤ 1 , |cos(t)| ≤ 1sen2(t) + cos2(t) = 1, ∀t ∈ R
t 0 π2 π 3π
2 2πcos(t) 1 0 −1 0 1sen(t) 0 1 0 −1 0f es una función periódica si existe p > 0 tal que,para todo x ∈ Domf se tiene f(x+ p) = f(x).El periodo es el mínimo valor de p para el cualf(x+ p) = f(x)
sen(t+ 2π) = sen(t)cos(t+ 2π) = cos(t)
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LeonardoRendón sen(−t) = −sen(t) (función
impar)cos(−t) = cos(t) (función par)
sen(π2 − t) = cos(t)cos(π2 − t) = sen(t)
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Valores del seno y del coseno para ángulos conmedidas de π
4 ,π3 y π
6
x =√
22
sen( π4 ) =
√2
2
cos( π4 ) =
√2
2
x = 12 ,y =
√3
2sen( π
3 ) =√
32
cos( π3 ) = 1
2
x = 12 ,y =
√3
2cos( π
6 ) =√
32
sen( π6 ) = 1
2
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Gráficas de seno y coseno
y(x) = sen(x)
y(x) = cos(x)
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Relaciones Trigonométricas de seno ycoseno
CO
sen(t)=h
1CA
cos(t)=h
1
sen(t) =CO
hcos(t) =
CA
h
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Ley de cosenos
b2 − (bcos(t))2 = h2 = a2 − (c− bcos(t))2
b2 − b2Cos2(t) = a2 − c2 + 2bccos(t)− b2cos2(t))2
b2 = a2 − c2 + 2bccos(t)
a2 = b2 + c2 − 2bccos(t)
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Ley de senos
sen(β) =h
a, sen(α) =
h
b
sen(β)sen(α)
=b
a
sen(β)b
=sen(α)a
sen(α)a = sen(β)
b = sen(γ)c
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seno y coseno de la suma y de la resta dedos ángulos
A partir de la ley de los cosenos, se tiene:
(cos(β)− cos(α))2
+ (sen(β)− sen(α))2
= 1 + 1− 2cos(β − α)
cos2(β)− 2cos(β)cos(α) + cos
2(α)+
sen2(β)− 2sen(β)sen(α) + sen
2(α) = 2− 2cos(β − α)
cos(β − α) = cos(β)cos(α) + sen(β)sen(α)
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seno y coseno de la suma y de la resta dedos ángulos
Para calcular cos(α+ β):
cos(α + β) = cos(α− (−β)) = cos(α)cos(−β) + sen(α)sen(−β)
= cos(α)cos(β)− sen(α)sen(β)
cos(α+ β) = cos(α)cos(β)− sen(α)sen(β)
Para calcular sen(α+ β):
sen(α + β) = cos( π2 − (α + β))
= cos(( π2 − α)− β)
= cos( π2 − α)cos(β) + sen( π
2 − α)sen(β)
= sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)
sen(α+ β) = sen(α)cos(β) + sen(β)cos(α)
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seno y coseno de la suma y resta de ángulos
Para calcular sen(α− β):
sen(α− β) = sen(α + (−β)) = sen(α)cos(−β) + sen(−β)cos(α)
= sen(α)cos(β)− sen(β)cos(α)
sen(α− β) = sen(α)cos(β)− sen(β)cos(α)
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Definición Tangente
tan(t) = sen(t)cos(t)
Domtan = R− {(2k + 1)π2 : k ∈ Z}
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Características y Gráfica de Tangente
Función imparFunción periódica con periodo π:sen(t+π)cos(t+π) = sen(t)cos(π)+sen(π)cos(t)
cos(t)cos(π)−sen(t)sen(π) = sen(t)cos(t)
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Definición secante, cosecante y Cotangente
sec(t) = 1cos(t)
sec(t+ 2π) = 1cos(t+2π) = 1
cos(t) = sec(t)El periodo de sec es 2π
Domsec = R− {(2k + 1)π2 : k ∈ Z}
csc(t) = 1sen(t)
csc(t+ 2π) = 1sen(t+2π) = 1
sen(t) = csc(t)El periodo de csc es 2π
Domcsc = R− {kπ : k ∈ Z}
cot(t) = cos(t)sen(t)
cot(t+ π) = 1tan(t+π) = 1
tan(t) = cot(t)El periodo de cot es π
Domcot = R− {kπ : k ∈ Z}
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Gráficas de secante y cosecante
y(x) = sec(x)
y(x) = csc(x)
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Identidad Pitagórica
Circunferenciaunitaria centradaen el origen.
De la ecuación deunacircunferenciacentrada en elorigen de radio 1se tiene que
x2 + y2 = 1
por lo tanto
cos2(t) + sen2(t) = 1
para todo valorde t
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Identidad Pitagórica
A partir desen2(t) + cos2(t) = 1
se obtiene:dividiendo la primera ecuación por cos2(t)
1 + tan2(t) = sec2(t)
dividiendo la primera ecuación por sen2(t)
1 + cot2(t) = csc2(t)
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Identidades Trigonométricas
Una identidad trigonométrica es una igualdad entreexpresiones que contienen funciones trigonométricas, que esverdadera para todos los valores de los ángulos para loscuales están definidas dichas expresiones.De la teoría anterior se tiene las siguientes relacionesfundamentales
sen2(t) + cos2(t) = 1
1 + tan2(t) = sec2(t)
1 + cot2(t) = csc2(t)
tan(t) = sen(t)cos(t)
sec(t) = 1cos(t)
csc(t) = 1sen(t)
cot(t) = 1tan(t)
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Ejemplo de Identidades Trigonométricas
Demostrar quetan(2x) = 2 tan(x)
1−tan2(x)
.Solución:
tan(2x) = sen(2x)cos(2x) = sen(x+x)
cos(x+x) = sen(x)cos(x)+sen(x)cos(x)cos(x)cos(x)−sen(x)sen(x)
= 2sen(x)cos(x)cos2(x)−sen2(x)
=2sen(x)cos(x)
cos2(x)
cos2(x)−sen2(x)cos2(x)
=2sen(x)cos(x)
cos2(x)
cos2(x)cos2(x)−
sen2(x)cos2(x)
=2sen(x)cos(x)
1−sen2(x)cos2(x)
= 2tan(x)1−tan2(x)
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Ejemplo de Identidades Trigonométricas
Demostrar que
1 + tan(2x)tan(x) = sec(2x)
.Solución:
1 + tan(2x)tan(x) = 1 + 2tan2(x)1−tan2(x) = 1+tan2(x)
1−tan2(x)
=1+
sen2(x)cos2(x)
1−sen2(x)cos2(x)
= sen2(x)+cos2(x)cos2(x)−sen2(x)
= 1cos(2x)
= sec(2x)
Ejercicio: Demostrar que tan(x)− tan(y) = sen(x−y)cos(x)cos(y)
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Ecuaciones Trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre expresionesque contienen funciones trigonométricas, que es verdadera paraalgunos valores de los ángulos para los cuales están definidasdichas expresiones.Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar los valores delángulo que satisface la ecuación dada
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Ecuaciones Trigonométricas
Ejemplo Resolver la ecuación para valores entre 0 y 2π
cos(2x)csc(x) + csc(x) + cot(x) = 0
Solución: Como cos(2x) = cos2(x)− sen2(x), csc(x) = 1sen(x) y
cot(x) = cos(x)sen(x) , sustituyendo se obtiene:
cos2(x)−sen2(x)sen(x) + 1
sen(x) + cos(x)sen(x) = 0
cos2(x)− sen2(x) + 1 + cos(x) = 0
2cos2(x) + cos(x) = 0cos(x)(2cos(x) + 1) = 0
De aqui cos(x) = 0 o cos(x) = − 12 :
Por lo tanto x = π/2, 2π/3, 4π/3, 3π/2