Download - Funções - Revisão
![Page 1: Funções - Revisão](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022080211/5572257bd8b42a211f8b485d/html5/thumbnails/1.jpg)
Cap. I Funcoes Racionais
1- Caracterısticas
Definicao: Uma funcao f(x) e uma funcao racional se
f(x) =p(x)
q(x)
tal que p(x) e q(x) sao polinomios.
Domınio: O domınio de uma funcao racional f(x) = p(x)q(x)
e:
Df = {x ∈ IR : q(x) 6= 0}
2- Equacoes Racionais
Para resolver uma equacao deste tipo basta seguir os seguintes passos:. Passar tudo para um dos membros da equacao;. Colocar tudo ao mesmo denominador e simplificar a expressao. Fica do tipo
p(x)
q(x)= 0
. As solucoes da equacao sao todos os valores que anulam o numerador e nao anulam odenominador, isto e:
p(x) = 0 ∧ q(x) 6= 0
3- Inequacoes Racionais
A resolucao de uma inequacao racional tem as seguintes etapas:. Passar tudo para um dos membros da inequacao;. Colocar tudo ao mesmo denominador e simplificar a expressao. Fica do tipo
p(x)
q(x)≥ 0
(O sinal ≥ serve apenas como exemplo pode tambem ser >, < ou ≤);. Calcular as raizes do numerador e denominador;. Introduzir as raizes obtidas por ordem crescente na primeira linha dum quadro de sinais.
Nas segunda e terceira introduz-se a p(x) e q(x) respectivamente. E na ultima linha a funcaop(x)q(x)
;. Preencher adequadamente o quadro de sinais obedecendo as caracteristicas das funcoes
p(x) e q(x) tal como as regras de sinais na divisao.. Para terminar, basta observar os sinais da ultima linha e escolher o intervalo solucao
com base na desigualdade obtida no segundo passo.
Cap. II Funcoes Irracionais
1- Caracterısticas
Definicao:Uma funcao f(x) e uma funcao irracional se
f(x) = n
√p(x)
1
![Page 2: Funções - Revisão](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022080211/5572257bd8b42a211f8b485d/html5/thumbnails/2.jpg)
tal que p(x) e um polinomio.
Domınio: O domınio de uma funcao irracional f(x) = n
√p(x) e:
. Df = IR se n for ımpar;
. Df = {x ∈ IR : p(x) ≥ 0} se n for par;
2- Equacoes Irracionais
Para resolver uma equacao deste tipo basta seguir os seguintes passos:. Passar a expressao com raiz para um dos membros da equacao e o resto para o outro
membro;. Elevar ao quadrado ambos os membros e resolver a equacao resultante;. Deve-se substituir as solucoes obtidas na equacao inicial de modo a confirmar se sao
validas.
Cap. III Operacoes com Funcoes
1- Definir funcoes e Domınios
Sempre que se define uma funcao deve-se indicar o seu domınio e tambem a sua expressaoanalitica:
f : Domınio −→ IRx ↪→ expressao
Obs.: Recorde que sao duas as situacoes em que e necessario o calculo de domınios:•Denominadores diferentes de zero;•Expressoes dentro de raızes de ındice par maiores ou iguais que zero.
2- Soma, Diferenca, Produto e Quociente de Funcoes
. Soma: Quanto a expressao analıtica (f + g)(x) = f(x) + g(x);
e o domınio Df+g = Df ∩Dg.
. Diferenca: Quanto a expressao analıtica (f − g)(x) = f(x)− g(x);
e o domınio Df−g = Df ∩Dg.
. Produto: Quanto a expressao analıtica (f × g)(x) = f(x)× g(x);
e o domınio Df×g = Df ∩Dg.
. Quociente: Quanto a expressao analıtica (fg)(x) = f(x)
g(x);
e o domınio D fg
= Df ∩Dg ∩ {x ∈ IR : g(x) 6= 0}.Obs.: Resumindo, para o calculo do domınio da Soma, Diferenca e Produto basta inter-
ceptar os domınios das funcoes. No caso do Quociente e ainda necessario retirar todos oszeros da funcao do denominador.
3- Funcao Composta
Para obter a expressao analıtica de fog basta substituir x por g(x) na funcao de f :
fog(x) = f(g(x))
O domınio calcula-se interceptando os pontos do domınio da funcao g (de dentro) com osvalores de g(x) que pertencem ao domınio de f (de fora):
2
![Page 3: Funções - Revisão](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022080211/5572257bd8b42a211f8b485d/html5/thumbnails/3.jpg)
Dfog = {x ∈ IR : x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df}
Duas funcoes f e g sao ditas permutaveis se fog = gof (os domınios e as expressoesanalıticas sao iguais).
4- Funcao Inversa
Uma funcao f tem inversa se for injectiva, ou seja, se a duas abcissas (x) distintascorresponderem duas ordenadas (y) distintas.
Analiticamente f e injectiva se f(x1) = f(x2) e ao simplificar as expressoes se obtemx1 = x2. Para provar que uma funcao nao e injectiva basta que tenha dois valores disitintosde x com a mesma imagem.
Graficamente o teste das rectas horizontais permite testar se um uma funcao e injectiva.Se nao existir uma unica recta horizontal que ”toque”na funcao mais que uma vez entao estae injectiva.
Não Injectiva Injectiva
Passos para a construcao da expressao da inversa f−1 de uma funcao f :. Igualar a funcao f a y;. Isolar x;. Trocar x por y.Obs.: O contradomınio de uma funcao f e igual ao domınio da sua inversa f−1 (e vice-
versa).Para obter o grafico da inversa de uma funcao f basta fazer uma simetria do grafico de f
em relacao a bissectriz dos quadrantes ımpares y = x.
Cap. IV Tipos de Inequacoes
Essencialmente existem tres tipos de inequacoes a considerar:
Inequações
Grau 1 OutrasGrau 2−tal como as equações −isolar a expressão num dos membros
−calcular zeros com fórmula resolvente
−desenhar a parábola
−isolar a expressão num dos membros
−passar ao mesmo denominador e simplificar
−calcular zeros do numerador e denominador
−construir quadro de sinais
3