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Funções Hiperbólicas
Luiza Amalia Pinto Cantão & Renato Fernandes Cantão
Campus Experimental de Sorocaba – Unesphttp://www.sorocaba.unesp.br/professor/luiza
http://www.sorocaba.unesp.br/professor/cantao
2006
LAPC & Cantão! (Unesp Sorocaba) Funções Hiperbólicas 2006 1 / 17
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Definição: Funções HiperbólicasFunções Hiperbólicas
Análogas de muitas formas às funções trigonométricas;Relacionam-se com as hipérboles, ao passo que as funçõestrigonométricas relacionam-se com o círculo.
Funções Hiperbólicas Básicas
Cosseno Hiperbólico: cosh x =ex + e−x
2
Seno Hiperbólico: senh x =ex − e−x
2
Tangente Hiperbólico: tgh x =senh x
cosh x=
ex − e−x
ex + e−x
Cotangente Hiperbólico: cotgh x =cosh x
senh x=
ex + e−x
ex − e−x
Secante Hiperbólica: sech x =1
cosh x=
2
ex + e−x
Cossecante Hiperbólica: cossech x =1
senh x=
2
ex − e−x
Identidades
senh (−x) = − senh x
cosh (−x) = cosh (x)
senh 2x = 2 senh x cosh x
cosh 2x = cosh2 x + senh2 x
senh (x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y
cosh (x + y) = cosh x cosh y + senh x senh x
cosh2 x =cosh 2x + 1
2
senh2 x =cosh 2x − 1
2cosh2 x − senh2 x = 1
tgh2 x = 1− sech2 x
cotgh2 x = 1 + cossech2 x
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Gráfico de Funções HiperbólicasFunções Seno e Cosseno Hiperbólicos
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Gráfico de Funções HiperbólicasFunções Tangente e Cotangente Hiperbólicos
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Gráfico de Funções HiperbólicasFunções Secante e Cossecante Hiperbólicos
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Derivada de Funções HiperbólicasFunção Seno e Cosseno Hiperbólico
Função Seno:
ddx
(senh x) =ddx
(ex − e−x
2
)=
ex + e−x
2= cosh x
Função Cosseno:
ddx
(cosh x) =ddx
(ex + e−x
2
)=
ex − e−x
2= senh x
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Derivada de Funções Hiperbólicas – ContinuaçãoAs outras funções Hiperbólicas
Tabela de Derivadas!ddx
(senh x) = cosh x
ddx
(cosh x) = senh x
ddx
(tgh x) = sech2 x
ddx
(cossech x) = − cossech x cotgh x
ddx
(sech x) = − sech x tgh x
ddx
(cotgh x) = − cossech2 x
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Primeiro Trabalho sobre Funções Hiperbólicas!Derivadas
Tabelas de Derivadas!Sabendo que:
Cosseno Hiperbólico: cosh x =ex + e−x
2
Seno Hiperbólico: senh x =ex − e−x
2
Demonstre os resultados da Tabela de Derivadas de FunçõesHiperbólicas!
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Funções CompostasDerivada de Funções Compostas
Tabela de Derivadas — Regra da Cadeia !
ddx
(senh u(x)) = cosh u(x)ddx
(u(x))
ddx
(cosh u(x)) = senh u(x)ddx
(u(x))
ddx
(tgh u(x)) = sech2 u(x)ddx
(u(x))
ddx
(cossech u(x)) = − cossech u(x) cotgh u(x)ddx
(u(x))
ddx
(sech u(x)) = − sech u(x) tgh u(x)ddx
(u(x))
ddx
(cotgh u(x)) = − cossech2 u(x)ddx
(u(x))
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Funções InversasDefinição
Funções Hiperbólicas Inversas
y = arc senh x ⇐⇒ senh y = x
y = arc cosh x ⇐⇒ cosh y = x
y = arc tgh x ⇐⇒ tgh y = x
y = arc cossech x ⇐⇒ cossech y = x
y = arc sech x ⇐⇒ sech y = x
y = arc cotgh x ⇐⇒ cotgh y = x
Domínio e imagem
Estude o domínio e a imagem das funções hiperbólicas inversas
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Gráfico Funções Hiperbólicas InversasFunções Hiperbólicas Inversas de Seno e Cossecante
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Gráfico Funções Hiperbólicas InversasFunções Hiperbólicas Inversas de Cosseno e Secante
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Gráfico Funções Hiperbólicas InversasFunções Hiperbólicas Inversas de Tangente e Cotangente
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Derivada de Funções Hiperbólicas InversasDefinição
Tabela de Derivadas!
ddx
( arc senh u(x) ) =1√
1 + u2
ddx
u(x)
ddx
( arc cosh u(x) ) =1√
u2 − 1
ddx
u(x) u(x) > 1
ddx
( arc tgh u(x) ) =1
1− u2
ddx
u(x) |u(x)| < 1
ddx
( arc cossech u(x) ) = − 1
|u|√
u2 + 1
ddx
u(x) u(x) 6= 0
ddx
( arc sech u(x) ) = − 1
u√
1− u2
ddx
u(x) 0 < u(x) < 1
ddx
( arc cotgh u(x) ) =1
1− u2
ddx
u(x) |u(x)| > 1
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Segundo Trabalho!Derivada de Funções Hiperbólicas Inversas!
As funções hiperbólicas inversas são diferenciáveis porque as funçõeshiperbólicas são diferenciáveis.
Segundo Trabalho!
Demonstre os resultados da Tabela de Derivada de FunçõesHiperbólicas Inversas!
Aviso para o Primeiro e Segundo Trabalhos!
Data de entrega: 30 de outubro de 2006 – segunda-feira!
Grupo: máximo 3 pessoas!
Horário: os trabalhos serão recebidos até às 21h.
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Integrais de Funções HiperbólicasDefinição
Tabela de Integrais das Funções Hiperbólicas∫senh u du = cosh u + C∫cosh u du = senh u + C∫
sech2 u du = tgh u + C∫cossech2 u du = − cotgh u + C∫
sech u tgh u du = − sech u + C∫cossech u cotgh u du = − cossech u + C
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Integrais que conduzem a Funções HiperbólicasInversasDefinição
Tabela ∫du√
a2 + u2= arc senh
(ua
)+ C, a > 0∫
du√u2 − a2
= arc cosh(u
a
)+ C, u > a > 0
∫du
a2 − u2=
1a
arc tghua
+ C,
1a
arc cotghua
+ C,
se u2 < a2
se u2 > a2
∫du
u√
a2 − u2= −1
aarc sech
(ua
)+ C, 0 < u < a∫
du
u√
a2 + u2= −1
aarc cossech
∣∣∣ua
∣∣∣ + C, a 6= 0
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