![Page 1: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/1.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Fungsi Gamma dan Fungsi Beta
Ayundyah Kesumawati
Prodi Statistika FMIPA-UII
March 31, 2015
![Page 2: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/2.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Fungsi Gamma
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai integral tak wajar berikut:
Γ(α) :=
∫ ∞0
e−xxα−1dx (1)
Integral ini konvergen bila α > 0. Dengan menerapkan integralparsial. diperoleh
Γ(α + 1) : =
∫ ∞0
e−xxαdx
=[−e−xxα
]∞0
+ α
∫ ∞0
e−xxα−1dx
= αΓ(α)
Jadi diperoleh rumus rekursif fungsi gamma sebagai berikut :
Γ(α + 1) = αΓ(α) (2)
![Page 3: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/3.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Berdasarkan (1), bila α = 1 maka berlaku:
Γ(1) =
∫ ∞0
e−xdx =[−e−x
]∞0
= 1 (3)
Khususnya bila α bilangan bulat positif, maka denganmenggunakan formula rekursif (2) diperoleh
Γ(α + 1) = αΓ(α)
= α(α− 1)Γ(α)
= α(α− 1)(α− 2)(α− 3)...Γ(1)
= α!
Dengan alasan ini fungsi gamma disebut juga fungsi faktorialatau pengumuman dari faktorial, yaitu
Γ(α + 1) = α! bila α bulat positif (4)
![Page 4: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/4.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Pada definisi (1) fungsi Gamma Γ(α) hanya berlaku untukα > 0. Sedangkan untuk α < 0, fungsi gamma didefinisikanmenggunakan rumus rekursif (2) yaitu:
Γ(α) =Γ(α + 1)
α(5)
Dengan (5) maka diperoleh:
Γ(0) =Γ(1)
0tidak terdefinisi karena membagi dengan nol
Γ(−1) =Γ(0)
−1tidak terdefinisi karena Γ(0) tidak terdefinisi
Γ(−2) =Γ(−1)
−2tidak terdefinisi karena Γ(−1) tidak
terdefinisi
![Page 5: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/5.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Jadi fungsi Gamma tidak terdefinisi pada nol dan bilanganbulat negatif. Nilai fungsi gamma untuk α bulat positif sangatmudah dihitung dengan menggunakan bentuk faktorial,misalnya:
Γ(5) = 4! = 24, Γ(6) = 5! = 120
![Page 6: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/6.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Dilihat dari formulanya, kecuali pada bilangan bulat positif,nilai fungsi gamma tidak mudah diperoleh seperti pada fungsibiasa karena kita dituntut untuk menyelesaikan suatu integral.Beberapa program komputer untuk komputasi telahmenyediakan fasilitas untuk menghitung nilai fungsi gamma.Berikut grafik dari fungsi gamma untuk α < 0:
![Page 7: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/7.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Sifat Fungsi Gamma
1 Khusus untuk α = 12 berlaku
Γ
(1
2
)=√π
2 Untuk 0 < α < 1 berlaku:
Γ(α) Γ(1− α) =π
sinπxSifat 1 diatas merupakan kasus khusus dari sifat 2 ini yaitudengan α = 1
23 Formula Stirling untuk n bilangan positif yang besar
maka digunakan aproksimasi berikut:
n! ≈√
2πn(ne
)n4 Rumus duplikat fungsi gamma:
22α−1Γ(α) Γ(α +1
2) =√πΓ(2α)
![Page 8: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/8.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Contoh 1. Hitunglah nilai dari Γ(5/2), Γ(−1/2), dan Γ(−5/2)
![Page 9: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/9.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Penyelesaian
dengan menggunakan rumus rekursif akan diperoleh
Γ(5/2) = Γ(3
2+ 1)
=3
2Γ(3/2)
=3
2Γ(
1
2+ 1)
=3
2
1
2Γ(1/2)
=3
4
√π
![Page 10: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/10.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Berikutnya, karena α bernilai negatif maka digunakan relasi ....Diperhatikan α = −1/2 dan α + 1 = −1/2 + 1 = 1/2.Diperoleh
Γ(1/2) = Γ(−1/2 + 1)⇔√π =
(1
2
)Γ
(−1
2
)= −2
√π
![Page 11: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/11.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Dengan cara yang sama kita dapat menyelesaikan soalberikutnya:
Γ
(−1
2
)= Γ
(−3
2+ 1
)=
(−3
2
)Γ
(−3
2
)=
(−3
2
)Γ
(−5
2+ 1
)⇔
−2√π =
(−3
2
)(−5
2
)Γ
(−5
2
)⇒ Γ
(−5
2
)=
(− 8
15
)√π
![Page 12: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/12.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Jika diperhatikan nilai fungsi gamma Γ(x) dapatdisederhanakan jika fungsi tersebut direduksi menjadi Γ(12),yaitu dengan menggunakan rumus rekursif. Tetapi jika tidakdapat direduksi menjadi Γ(12) maka nilai Γ(x) harus dihitungdengan definisi fungsi Gamma.LatihanHitunglah masing-masing bentuk fungsi gamma di bawah ini:
a.Γ(3)Γ(52)
Γ(102 )
b.6Γ(83)
5Γ(23)
c.Γ(6)
2Γ(3)
![Page 13: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/13.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Penggunaan Fungsi Gamma
Fungsi gamma sering digunakan untuk menyelesaikan bentukintegral yang cukup rumit. Untuk menyelesaikan soal-soalintegral dengan menggunakan fungsi gamma kita harusmembandingkan kembali dengan definisi fungsi gamma. Duahal yang ahrus diperhatikan adalah batas integrasinya danintegrannya. Integral-integral ini harus diolah sedemikian rupasehingga menjadi bentuk definisi fungsi gamma.Contoh Hitunglah integral berikut dengan menggunakandefinisi fungsi gamma ∫ ∞
0x4e−xdx
![Page 14: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/14.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Penyelesaiandengan melihat bentuk
∫∞0 x4e−xdx , kemudian bandingkan
dengan definisi Γ(α) :=∫∞0 e−xxα−1dx maka tidak ada yang
perlu diubah lagi pada soal karena fungsi tersebut sudahberbentuk fungsi Gamma dengan α− 1 = 4 atau α = 5. Jadi∫ ∞
0x4e−xdx = Γ(5) = 4! = 24
![Page 15: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/15.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Bila integral ini diselesaikan dengan cara biasa tanpamenggunakan fungsi gamma maka harus dilakukan integralparsial beberapa kali seperti berikut ini∫
x4e−xdx =
∫x4︸︷︷︸u
e−x︸︷︷︸v
dx
= −[x4e−x − 4
∫x3e−xdx
]= −x4e−x + 4
∫x3︸︷︷︸u
e−x︸︷︷︸v
dx
= ...
Untuk menghabiskan pangkat dari x4 harus dilakukan 4 kaliintegral parsial, suatu pekerjaan yang cukup melelahkan. Tapidengan menggunakan fungsi gamma pekerjaan ini dapatdilakikan dengan sangat mudah.
![Page 16: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/16.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
ContohHitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi gamma∫ ∞
0
3√xe−x
3dx
PenyelesaianIntegral
∫∞0
3√xe−x
3dx belum berbentuk fungsi gamma dalam
hal integrannya, namun batas integrasi sudah sama. Subtitusivariabel baru x3 = y maka batas-batasnya tidak berubah dandiperoleh:
x = y13 dan dx =
(1
3
)y−
23 dy
![Page 17: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/17.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah Subtitusi hasil ini ke dalam integral pada soal dan diperoleh:∫ ∞0
3√xe−x
3dx =
∫ ∞0
y16 e−y
1
3y−
23 dy
=1
3
∫ ∞0
y−12 e−ydy
=1
3Γ(1/2)
=
√π
3
![Page 18: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/18.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Latihan
1. hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsigamma ∫ 1
0
(ln
1
x
)3
dx
2. hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsigamma ∫ 1
0x3 (lnx)2 dx
3. Diketahui variabel random X berdistribusi gamma denganfungsi kepadatan peluang dari X adalah
PX (x) =xα−1e−x/β
βαΓ(α), α, β, x > 0
Hitunglah ekspektasi E (x) dan variansi var(x)
![Page 19: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/19.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Fungsi Beta
Fungsi beta adalah fungsi Gamma dengan komposisi duaparameter yang didefinisikan sebagai:
B(m, n) :=
∫ 1
0xm−1(1− x)n−1dx (6)
integral ini hanya konvergen bila m, n > 0. Tidak ada definisifungsi beta untuk m, n < 0Bentuk trigonometri dari fungsi beta adalah:
B(m, n) = 2
∫ π2
0sin2m−1θcos2n−1θdx (7)
Karena fungsi beta merupakan fungsi dua variabel maka dalampengerjaannya lebih sedikit sulit daripada fungsi gamma.
![Page 20: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/20.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Hubungan Fungsi Gamma dan FUngsi Beta
Fungsi beta dapat dinyatakan melalui fungsi gamma dengancara berikut ini: Dengan memisalkan z2 = x2, maka kitamemperoleh
Γ(u) =
∫ ∞0
zu−1e−zdx = 2
∫ ∞0
x2u−1e−x2dx (8)
Dengan cara yang sama,
Γ(v) = 2
∫ ∞0
y2v−1e−y2dx (9)
Maka
Γ(u)Γ(v) = 4
(∫ ∞0
x2u−1e−x2dx
)(∫ ∞0
y2v−1e−y2dy
)= 4
∫ ∞0
∫ ∞0
x2u−1e−x2y2v−1e−y
2dx dy
![Page 21: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/21.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Dengan mentransformasikannya ke koordinat polar,x = ρ cosφ,maka y = ρ sinφ. Sehingga
Γ(u)Γ(v) = 4
∫ π2
φ=0
∫ ∞ρ=0
ρ2(u+v)−1e−ρ2
cos2u−1 φ sin(2v − 1) φ dρ dφ
= 4
(∫ ∞ρ=0
ρ2(u+v)−1e−ρ2dρ
)(∫ π2
φ=0cos(2u − 1)φ sin(2v − 1)φ dφ
)
= 2Γ(u + v)
∫ π/2
0cos2u−1φsin2v−1φdφ
= Γ(u + v)B(u, v)
Jadi diperoleh hubungan fungsi gamma dan fungsi beta adalah
B(m, n) =Γ(m)Γ(n)
Γ(m + n)(10)
![Page 22: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/22.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
AyundyahSifat lain dari fungsi gamma yang diturunkan dari fungsi betaadalah:∫ ∞
0
xp−1
1 + xdx = Γ(p)Γ(1− p) =
π
sinpπ, 0 < p < 1 (11)
ContohHitunglah nilai fungsi beta berikut
B(5, 2),B(1/2, 3),B(1/3, 2/3)
![Page 23: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/23.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Penggunaan Fungsi Beta
Sama seperti pada fungsi gamma, fungsi beta juga banyakdigunakan untuk menyelesaikan bentuk integral yang cukuprumit.ContohHitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi beta∫ 1
0x2(1− x)5dx
![Page 24: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/24.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah PenyelesaianIntegral ini sudah berupa fungsi beta. Jadi cukup ditentukannilai m dan n yang bersesuaian lalu bandingkan dengan
B(m, n) :=
∫ 1
0xm−1(1− x)n−1dx
maka m = 3 dan n = 6 sehingga∫ 1
0x2(1− x)5dx = B(3, 6) =
Γ(3)Γ(6)
Γ(9)=
1
168
![Page 25: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/25.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Latihan
1. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgibeta ∫ 3
0x4√
9− x2dx
2. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgibeta ∫ π/2
0sin3θcos4 θ dθ
3. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgibeta ∫ π
0sin5θdθ
![Page 26: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/26.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah 4. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgibeta ∫ 3
1
dx√(x − 1)(3− x)
5. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgibeta ∫ π/2
0
√tan θ dθ
![Page 27: Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah · PDF fileFungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Fungsi Gamma Fungsi Gamma dide nisikan sebagai integral tak wajar berikut: ( ) := Z 1 0 e xx](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022050706/5a78f6e27f8b9adb5a8be477/html5/thumbnails/27.jpg)
FungsiGamma danFungsi Beta
Ayundyah
Semangatlah dalam hal yang bermanfaat untukmu, mintatolonglah pada Allah, dan jangan malas (patah semangat).(HR. Muslim no. 2664).