Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.1
Predná²ka 6
Diferenciálny po£et funkcií viacerých
premennýchText:
ÚMV/MAN3a/10 Matematická analýza II pre informatikov a fyzikov28. apríla 2017
Jozef Kise©ákPF UPJ�
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.2
Agenda
1 Parciálna derivácia funkcie viac premenných
2 Diferencovate©nos´ funkcie a jej diferenciál
3 Derivácie a diferenciály vy²²ích rádov
4 Taylorov vzorec
5 Lokálne extrémy funkcie viac premenných
6 Viazané a globálne extrémy funkcie viac premenných
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.3
Agenda
1 Parciálna derivácia funkcie viac premenných
2 Diferencovate©nos´ funkcie a jej diferenciál
3 Derivácie a diferenciály vy²²ích rádov
4 Taylorov vzorec
5 Lokálne extrémy funkcie viac premenných
6 Viazané a globálne extrémy funkcie viac premenných
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.4
Parciálna derivácia funkcie viac
premenných
Pri ²túdiu funkcií jednej premennej hral k©ú£ovú rolu pojemderivácie. Pripome¬me si, ako bola de�novaná a aký malageometrický význam. Derivácia funkcie f : R→ R v bode x0de�novaná nasledovne:
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0.
Obr.: Derivácia funkcie jednej premennej.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.5
Geometricky £íslo f ′(x0) = tanϕt predstavuje smernicu doty£niceku grafu funkcie y = f (x) v bode T = (x0, f (x0)).
U funkcií dvoch a viac premenných môºeme vy²etrova´obdobný podiel prírastkov, av²ak k uvaºovanému bodu samoºno blíºi´ z nekone£ne ve©a smerov1.
Najrpv sa budeme pribliºova´ po rovnobeºke s niektorousúradnicovou osou (odpovedajúcej nezávislej premennej).
Teda k bodu a = (x0, y0) (v prípade funkcie dvochpremenných) sa budeme blíºi´ v smere súradnicových osí x a y .
Takto sa dostaneme k pojmu parciálna derivácia funkcie viacpremenných v danom bode a.
Pri �parciálnom� (£iasto£nom) derivovaní sa vlastne na jednu zpremenných x , y pozeráme ako na kon²tantu a pod©a druhejderivujeme.
Ak sa budeme blíºi´ k bodu a v smere ©ubov©ného danéhovektora ~u, dostaneme sa k pojmu derivácia funkcie v bode vsmere vektora ~u (smerová derivácia)2.
1To sme uº videli v predchádzajúcich £astiach pri pojme limita.2Je to prirodzené zov²eobecnenie pojmu parciálna derivácia funkcie v bode.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.6
Uvaºujme funkciu z = f (x , y) s de�ni£ným oborom D(f ), grafom Ga bod a = (x0, y0) ∈ D(f ). Predpokladajme, ºe body tvaru (x , y0)pre x blízke x0 patria de�ni£nému oboru3. Nech ρ je rovina danárovnicou y = y0. Potom prienikom G ∩ ρ je (v rozumnom prípade)krivka γ, ktorá je grafom parciálnej funkciu g(x) = f (x , y0).Derivácia tejto pomocnej funkcie, ktorá je zúºením funkcie f naúse£ku, je vlastne derivácia funkcie jednej premennej.
De�nícia 1.1
Nech funkcia f : z = f (x , y) je de�novaná v bode (x0, y0). Ak máfunkcia g(x) = f (x , y0) deriváciu v bode x0, nazveme ju parciálnaderivácia funkcie f pod©a premennej x v bode (x0, y0) a ozna£ujeme
fx(x0, y0), prípadne f ′x (x0, y0) alebo∂f
∂x(x0, y0). To jest
fx(x0, y0) = limx→x0
g(x)− g(x0)
x − x0= lim
x→x0
f (x , y0)− f (x0, y0)
x − x0.
3Potrebujeme zaru£i´, ºe v D(f ) má leºa´ malá úse£ka so stredom v a
rovnobeºná s osou x . To bude napríklad splnené, ak a ∈ D(f )◦.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.7
Poznámka 1.1 (Geometrická interpretácia parc. derivácie)
Parciálna derivácia fx(x0, y0) udáva smernicu doty£nice t ku krivkeγ bode T = (x0, y0, f (x0, y0)) a je rovná hodnote tanα.
Obr.: Parciálna derivácia funkcie dvoch premenných.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.8
Poznámka 1.2
Obdobne sa de�nuje parciálna derivácia funkcie f pod©a premennejy v bode (x0, y0):
fy (x0, y0) = limy→y0
f (x0, y)− f (x0, y0)
y − y0.
Pre de�níciu parciálnej derivácie funkcie f v bode a pod©apremennej xi , i = 1, 2, . . . , n predpokladáme bu¤, ºe a ∈ D(f )◦,alebo, ºe a ∈ D(f )d a f je de�novaná na mnoºineIi = {x ∈ O(a) : xj = aj , kde j 6= i , j = 1, 2, . . . , n}.
De�nícia 1.2
Nech funkcia f : z = f (x) je de�novaná v bode a a i ∈ {1, . . . , n}.
Ak existuje vlastná limita (ϕ′i (ai ) =) limxi→ai
ϕi (xi )− ϕi (ai )
xi − ai=
limxi→ai
f (a1, . . . , ai−1, xi , ai+1, . . . , an)− f (a1, . . . , an)
xi − ai,
tak ju nazývame parciálna derivácia funkcie f pod©a premennej xi v
bode a, ozna£ujeme∂f (a)
∂xi, resp.
[∂f (x)
∂xi
]x=a
, f ′xi (a),
i = 1, 2, . . . , n.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.9
Poznámka 1.3
Parciálnou deriváciou funkcie f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) pod©apremennej xi rozumieme takú funkciu g(x) = g(x1, x2, . . . , xn),ktorej D(g) je mnoºina bodov, v ktorých existuje fxi a ktorýchhodnota sa v kaºdom bode jej de�ni£ného oboru rovnáparciálnej derivácii funkcie f pod©a xi v tom bode.
Treba si dobre uvedomi´, ºe parciálna derivácia funkcie f npremenných pod©a premennej xi je opä´ funkcia n premenných,
ozna£ujeme ju∂f (x)
∂xi, resp. f ′xi (x), i = 1, 2, . . . , n.
Ak po£ítame napr. parciálnu deriváciu funkcie f pod©apremennej xi , i ∈ {1, 2, . . . , n}, tak funkciu f povaºujeme zafunkciu len premennej xi a ostatné jej premenné povaºujeme zakon²tanty.
Ke¤ºe parciálna derivácia je de�novaná ako �oby£ajná�derivácia (parciálnej) funkcie jednej premmenej, platia prevýpo£et parciálnych derivácií obvyklé pravidlá - sú£tu, rozdielu,sú£inu a podielu.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.10
Pre funkciu jednej premennej z existencie derivácie funkcie v danombode vyplýva jej spojitos´ v tomto bode. U funkcií viac premennýchtoto tvrdenie neplatí.
Úloha 1.1
Uvaºujme funkciu
f (x , y) =
2xy
x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0)
0, (x , y) = (0, 0).
Ukáºte, ºe f má parciálnu deriváciu pod©a premennej x aj y v bode(0, 0). �alej ukáºte, ºe f nie je v bode (0, 0) spojitá.
Poznámka 1.4
Je to spôsobené tým, ºe parciálne derivácie charakterizujú, dávajúinformáciu, popisujú správanie sa funkcie len v smerochrovnobeºných so súradnicovými osami, v ostatných smeroch sa danáfunkcia môºe správa´ �ve©mi divoko�.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.11
Úloha 1.2
Vypo£ítajte parciálne derivácie v bode (0, 0) funkcie f danejvz´ahom
f (x , y) =
{1, x = 0 ∨ y = 0
0, inak.
Je funkcia v bode (0, 0) spojitá?
Poznámka 1.5
Uvedomme si, ºe parciálne derivácie funkcie dávajú informáciu len osprávaní sa funkcie v smeroch rovnobeºných so súradnicovýmiosami.O správaní sa funkcie v iných smeroch nevieme zatia© poveda´ ni£(na to nám poslúºi pojem derivácia funkcie v smere).
Pokra£ujme ¤alej v úvahe pre funkciu dvoch premenných. Rovnicevy²²ie spomínaných doty£níc sú nasledovné:
z − f (a) = fx(a) (x − x0), y = y0,
z − f (a) = fy (a) (y − y0), x = x0.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.12
Ich parametrické rovnice pre t ∈ R sú:
x = t
y = y0
z = f (a)− ∂f (a)
∂xx0 +
∂f (a)
∂xt,
x = x0,
y = t,
z = f (a)− ∂f (a)
∂yy0 +
∂f (a)
∂yt.
(1)
Smerovými vektormi týchto doty£níc sú vektory(1, 0,
∂f (a)
∂x
)a(
0, 1,∂f (a)
∂y
). Tie sú lineárne nezávislé a teda uvedené doty£nice
ur£ujú dotykovú rovinu ku grafu G funkcie f v bode T . Ichvektorový sú£in predstavuje normálový vektor
~n =
(1, 0,
∂f (a)
∂x
)×(0, 1,
∂f (a)
∂y
)=
(−∂f (a)
∂x,−∂f (a)
∂y, 1)
danej dotykovej roviny.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.13
Ke¤ºe bod T = (x0, y0, f (x0, y0)) patrí do danej roviny, dostávametak nasledujúcu rovnicu dotykovej roviny ku grafu G funkcie f vbode T
z − f (a) =∂f (a)
∂x(x − x0) +
∂f (a)
∂y(y − y0).
Otázkou ale ostáva, kedy dotyková rovina ku grafu funkcie v bodeexistuje?
Poznámka 1.6 (Fyzikálny význam parciálnych derivácií)
Ak funkcia f vyjadruje závislos´ nejakej veli£iny z od veli£ín x , y , tj.
z = f (x , y), tak∂f (a1, a2)
∂xcharakterizuje, udáva rýchlos´ akou sa
menia hodnoty veli£iny z vzh©adom na zmenu hodnôt veli£iny x zapredpokladu, ºe hodnoty veli£iny y sa nemenia (y = a2) v bode
(a1, a2). Analogický význam má aj∂f (a1, a2)
∂y.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.14
Diferencovate©nos´ funkcie a jej diferenciál
Kedy vieme danú funkciu v okolí nejakého bodu (lokálne)aproximova´ lineárnou funkciou? Potrebujeme zavies´ uºito£nýpojem diferencovate©nosti funkcie viac premenných v bode a pojemtotálneho diferenciálu funkcie v bode. Ako to bolo v prípade funkciejednej premennej?
Obr.: Diferenciál funkcie jednej premennej.
Cie©om bolo nájs´ £íslo A ∈ R : f (x0 + h)− f (x0).
= Ah, kde |h| jemalé reálne £íslo, pritom chybou je ω(h) = f (x0 + h)− f (x0)− Ah
a má pre ¬u plati´ limh→0
ω(h)
h= 0.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.15
So zavedením týchto pojmov okamºite vznikajú otázky: Kedy jedaná funkcia diferencovate©ná v bode? Sta£i k tomu iba existenciaparciálnych derivácií ako u funkcií jednej premennej?
U funkcie viac premenných má diferenciál podstatne v䣲ívýznam.
Jeho geometricky význam je síce podobný (náhrada grafufunkcie dotykovou rovinou), ale jeho súvislos´ s parciálnymideriváciami je ove©a zloºitej²ia.
Uvaºujme najprv funkciu dvoch premenných f de�novanú na okolíbodu (x0, y0). Vezmime £ísla (prírastky nezávislých premenných)h, k : 0 < |h|, |k| � 1 a posu¬me sa do bodu (x0 + h, y0 + k)4.Prírastok závislej premennej f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0) je dobrede�novaný. Teraz chceme funkciu f nahradi´ lineárnou funkciou (jejgrafom je rovina). Takºe chceme nájs´ £ísla
A,B ∈ R : f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0).
= Ah + B k
(v dostato£nej blízkosti bodu (x0, y0)).
4Z bodu (x0, y0) sa posunieme o hodnotu h horizontálne a o hodnotu kvertikálne.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.16
Chyba, ktorej sa dopú²´ame je
ω(h, k) := f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0)− Ah − B k.
Opä´ chceme, aby pre dostato£ne malé h, k nadobúdala hodnotyblízke nule. Takºe je rozumné poºadova´, aby sa limita ω podelenávzdialenos´ou bodov (x0 + h, y0 + k) a (x0, y0) rovnala nule preh, k → 0.
Obr.: Prírastky v 2D, pri£om h < 0, k > 0.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.17
Poºadujeme teda aby lim(h,k)→(0,0)
ω(h, k)√h2 + k2
= 0.
De�nícia 2.1
Nech funkcia f je de�novaná na nejakom O(x0, y0). Hovoríme, ºefunkcia f je diferencovate©ná v bode (x0, y0), ak existujú k1, k2 ∈ Ra funkcia ω(x , y) spojitá v bode (x0, y0) s hodnotou ω(x0, y0) = 0také, ºe pre kaºdý bod (x , y) z O(x0, y0) platí
f (x , y)−f (x0, y0) = k1(x−x0)+k2(y−y0)+ω(x , y)√
(x − x0)2 + (y − y0)2.
Poznámka 2.1
Prakticky to znamená, ºe na overenie diferencovate©nosti funkcie fz de�nície treba spo£íta´ limitua (s �nájdenými� kon²tantami k1, k2):
lim(x,y)→(x0,y0)
f (x , y)− f (x0, y0)− k1(x − x0)− k2(y − y0)√(x − x0)2 + (y − y0)2
(2)
a ukáza´, ºe je nulová.
a
lim(x,y)→(x0,y0)
ω(x, y)√(x − x0)
2 + (y − y0)2
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.18
V²imnime si teraz kon²tanty k1 a k2. Predpokladajme, ºe je funkciaf diferencovate©ná v bode (x0, y0). Teda platí (2) a ²peciálne prex − x0 = h, y − y0 = k a vo©bu k = 0 dostaneme
limh→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)− k1 h
|h|= 0.
Ke¤ºe je výrazh
|h|pre h 6= 0 ohrani£ený, platí
limh→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)− k1 h
|h||h|h
= 0,
a teda nutne limh→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)
h= k1. To v²ak znamená,
ºe existuje parciálna derivácia∂f (x0, y0)
∂xa je rovná k1. Podobne
platí∂f (x0, y0)
∂y= k2.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.19
Geometrický význam diferenciálu. Uº vieme, ºez diferencovate©nosti vyplýva existencia parciálnych derivácií;to znamená, ºe máme 2 priamky t1, t2 - doty£nice v bodeM0 = (x0, y0, f (x0, y0)) ku krivkám, ktoré sú priese²£nice grafuG a rovín idúcich cez bod M0 rovnobeºne so súr. osami;rovina τ ur£ená priamkami t1, t2 je práve dotykovou rovinou kugrafu G funkcie f v bode M0;
Obr.: Geometrický význam diferenciálu.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.20
Pozrime sa na predchádzajúci obrázok, pri£om pracujeme v 1.oktante.
rovina ρ 3 M0 je vodorovnátrojuholník M0K1N1 je pravouhlý, teda
|−−−→K1N1| = |
−−−→M0K1| tan^(
−−−→M0K1,
−−−→M0N1) = h
∂f (x0, y0)
∂x
teda−−−→M0N1 =
(h, 0, h
∂f (x0, y0)
∂x
)trojuholník M0K1N1 je tieº pravouhlý
teda podobne−−−→M0N2 =
(0, k , k
∂f (x0, y0)
∂y
)celkovo:
−−→M0N =
−−−→M0N1 +
−−−→M0N2 = (h, k , h fx(x0, y0) + k fy (x0, y0)),
kde h fx(x0, y0) + k fy (x0, y0) := df(x0,y0)(h, k)
av²ak z−−→M0N = (h, k , |
−→KN|) máme |
−→KN| = df(x0,y0)(h, k)
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.21
Z týchto úvah vidíme, ºe f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0) = |−−→KM| =
|−→KN|+ |
−−→NM| = df(x0,y0)(h, k) + |
−−→NM|. Zrejme teda
|−−→NM| = ω(h, k) a |
−→KN| = df(x0,y0)(h, k)
(nelineárna resp. lineárna £as´ prírastku) vyjadrujú spolu skuto£nýprírastok ∆f (x0, y0) = f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0). Podobnezavedieme pojem diferencovate©nosti pre funkcie troch a viacpremenných.
De�nícia 2.2
Nech funkcia f je de�novaná na O(a), a = (a1, a2, . . . , an).Hovoríme, ºe funkcia f je diferencovate©ná v bode a, ak existujúk1, k2, . . . , kn ∈ R a funkcia ω(x) spojitá v bode a s hodnotouω(a) = 0 také, ºe pre kaºdý bod x = (x1, x2, . . . , xn) z O(a) platí
f (x)− f (a) =n∑
i=1
ki (xi − ai ) + ω(x)ρ(x, a).
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.22
Výraz (rozdiel) f (x)− f (a) nazývame diferenciou, resp.prírastkom funkcie f v bode a, ozna£ujeme ho 4f (a, x).
Výrazn∑
i=1
ki (xi − ai ) nazývame totálny diferenciál funkcie f v
bode a, ozna£ujeme ho df (a, x) (príp. dfa(x)).
Je dôleºité si uvedomi´, ºe diferenciál funkcie f v bode a jeopä´ lineárnou funkciou výrazov xi − ai , resp. prírastkovnezávislých premenných xi alebo presnej²ie lineárnou funkciounezávislých premenných x1, x2, . . . , xn.
Pozor pre funkciu viac premenných neplatí tvrdenie: �f jediferencovate©ná v bode a práve vtedy, ke¤ má v²etky parciálnederivácie v bode a.�
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.23
Videli sme, ºe Lagrangeova veta o strednej hodnote, resp. oprírastku funkcie jednej premennej mala ve©ký význam pri skúmanívlastností tejto funkcie. Dokáºeme, ºe podobná veta platí i prefunkcie viac premenných, pri£om �body strednej hodnoty� budú leºa´na hranách n−rozmerného kvádra ur£eného danými dvoma bodmi.
Veta 2.1 (Lagrangeova veta o prírastku funkcie)
Nech funkcia f je de�novaná na O(a), a = (a1, a2, . . . , an) a nechna tom okolí má parciálne derivácie (pod©a kaºdej svojejpremennej). Nech bod b = (b1, b2, . . . , bn) je ©ubovolný bod zO(a). Potom existujú body P1,P2, . . . ,Pn v O(a) také, ºeρ(Pi , a) < ρ(b, a), i = 1, 2, . . . , n a platí
f (b)− f (a) =n∑
i=1
∂f (Pi )
∂xi(bi − ai ).
Lagrangeova veta má aj nasledujúci dôsledok, ktorý predstavuje istúanalógiu odpovedajúceho dôsledku pre funkcie jednej premennej.
Dôsledok 2.1
Nech funkcia f má na oblasti M ⊂ En v²etky parciálne derivácierovné nule. Potom funkcia f je kon²tantná na tejto oblasti.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.24
My uº vieme, ºe z existencie parciálnych derivácii funkcie v bode anevyplýva spojitos´ danej funkcie v tomto bode. Je potrebné prida´nejaký predpoklad.
Veta 2.2
Ak funkcia f má ohrani£ené v²etky parciálne derivácie na otvorenejmnoºine M, potom je na nej spojitá.
Dôsledok 2.2
Ak má funkcia f parciálne derivácie v O(a) a sú v bode a spojité,potom existuje okolie bodu a, na ktorom je f spojitá.
Veta 2.3 (Nutná podmienka diferencovate©nosti funkcie v bode)
Ak funkcia f je diferencovate©ná v bode a, potom je v ¬om spojitá.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.25
Úloha 2.1
Je funkcia z úlohy 1.2 v²ade diferencovate©ná?
Veta 2.4 (Nutná podmienka diferencovate©nosti funkcie v bode)
Ak funkcia f je diferencovate©ná v bode a, potom má v²etky
parciálne derivácie v bode a, pri£om∂f (a)
∂xi= ki , i = 1, 2, . . . , n
(kon²tanty ki sú tie z de�nície diferencovate©nosti funkcie v bode).
Predchádzajúca veta hovorí, ºe diferencovate©nos´ funkcie v bodezaru£uje existenciu jej v²etkých parciálnych derivácií v tom bode.Pozor! Opa£né tvrdenie neplatí, tj. neplatí: �ak funkcia f má v²etkyparciálne derivácie v bode, potom je v tom bode diferencovate©ná.�Sta£í uvaºova´ funkciu z úlohy 1.1.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.26
Platí v²ak nasledujúce tvrdenie.
Veta 2.5 (Posta£ujúca podmienka diferencovate©nosti funkcie v bode)
Nech funkcia f má na nejakom okolí bodu a parciálne deriváciepod©a kaºdej svojej premennej a sú spojité v bode a. Potom funkciaf je diferencovate©ná v bode a.
Príklad 2.1
Overme, ºe funkcia f : z = arctanx
ymá v bode (−1, 1) totálny
diferenciál, a nájdime ho.Zrejme je D(f ) = {(x , y) ∈ R2 : y 6= 0}. Na D(f ) platí
∂f
∂x=
y
x2 + y2,∂f
∂y=
x
x2 + y2,
pri£om derivácie sú tam spojité. Totálny diferenciál teda existuje a
ke¤ºe∂f
∂x(−1, 1) =
∂f
∂y(−1, 1) =
12máme
df(−1,1)(h, k) =h + k
2=
x + 1 + y − 12
.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.27
Pozor predchádzajúca podmienka nie je nutnou podmienkou.Existuje funkcia, ktorá je v bode diferencovate©ná, nemá v tombode spojité parciálne derivácie.
Príklad 2.2
Nech φ(t) =
t2 sin1t, t 6= 0,
0, t = 0.Potom sa dá ukáza´, ºe funkcia
Φ(x , y) = φ(x) + φ(y) nemá v bode (0, 0) spojité parciálnederivácie, ale je v ¬om diferencovate©ná.
Pre poriadok si uve¤me zhrnutie (ºiadna z implikácií sa nedáobráti´):
df existuje ⇒ f je spojitádf existuje ⇒ fx a fy existujúfx a fy existujú potom df nemusí existova´f je spojitá fx a fy existujú potom df nemusí existova´fx a fy sú spojité ⇒ df existujedf existuje potom fx a fy nemusia by´ spojité
Tabu©ka: Zhrnutie
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.28
Poznámka 2.2 (Vz´ah diferencie a diferenciálu funkcie v bode)
Ak funkcia f je diferencovate©ná v bode a, tak pre ©ubovo©ný bod
x ∈ O(a) platí f (x)− f (a) =n∑
i=1
∂f (a)
∂xi(xi − ai ) + ω(x)ρ(x, a).
Ke¤ºe limx→a
ω(x) = 0, tak pre v²etky body x �blízke� bodu a môºeme
výraz ω(x)ρ(x, a) zanedba´. Pre takéto body x je
f (x)− f (a).
=n∑
i=1
∂f (a)
∂xi(xi − ai ), resp. 4f (a, x)
.= df (a, x). Tento
vz´ah sa pouºíva na pribliºný výpo£et funk£ných hodnôt.
Príklad 2.3
Vypo£ítajme pribliºne hodnotu 3√
0.982 + 0.053. Ozna£mef (x , y) = 3
√x2 + y3, máme ur£i´ f (0.98, 0.05). Zvo©me
(x0, y0) = (1, 0) a (x − 1, y − 0) = (h, k) = (−0.02, 0.05). Zrejmef (0.98, 0.05)
.= f (1, 0) + df(1,0)(−0.02, 0.05) a
∂f
∂x(1, 0) =
25,∂f
∂y(1, 0) = 0.
Teda f (0.98, 0.05).
= 1− 0.4× 0.02 + 0× 0.05 = 0.992.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.29
Rovnako ako u funkcie jednej premennej potrebujeme aj u funkciíviac premenných ur£i´ parciálne derivácie zloºených funkcií.Rozlí²ime nasledujúce dva prípady:I) Uvaºujme funkciu F (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x)), teda
zloºená funkcia F je funkciou len jednej premennej. Platítvrdenie.
Veta 2.6
Nech funkcie ti = ϕi (x), i = 1, 2, . . . ,m majú deriváciu v bodea ∈ E1. Nech funkcia y = f (t1, t2, . . . , tm) je diferencovate©ná vbode b = (ϕ1(a), ϕ2(a), . . . , ϕm(a)) ∈ Em. Potom zloºená funkciaF (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x)) má deriváciu v bode a, pri£om
platí F ′(a) =m∑i=1
∂f (b)
∂ti· ϕ′i (a).
Poznámka 2.3
Deriváciu zloºenej funkcie F (x) môºeme zapísa´ v tvare
F ′(x) =∂f (t1, . . . , tm)
∂t1· ϕ′
1(x) + · · ·+ ∂f (t1, . . . , tm)
∂tm· ϕ′m(x),
pri£om do parciálnych derivácií∂f (t1, . . . , tm)
∂titreba dosadi´ ϕi (x)
namiesto ti , i = 1, 2, . . . ,m.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.30
II) Uvaºujme teraz zloºenú funkciuF (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x)), teda zloºená funkcia F jefunkciou viac premenných. Platí nasledujúca veta.
Veta 2.7
Nech funkcie ti = ϕi (x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2, . . . ,m majú parciálnederivácie pod©a kaºdej svojej premennej v bodea = (a1, a2, . . . , an) ∈ En. Nech funkcia y = f (t1, t2, . . . , tm) jediferencovate©ná v bode b = (ϕ1(a), ϕ2(a), . . . , ϕm(a)) ∈ Em.Potom zloºená funkcia F (x1, x2, . . . , xn) =f (ϕ1(x1, x2, . . . , xn), ϕ2(x1, x2, . . . , xn), . . . , ϕm(x1, x2, . . . , xn)) máparciálne derivácie pod©a kaºdej svojej premennej v bode
a = (a1, a2, . . . , an), pri£om platí∂F (a)
∂xk=
m∑i=1
∂f (b)
∂ti· ∂ϕi (a)
∂xk,
k = 1, 2, . . . , n.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.31
Poznámka 2.4
Parciálne derivácie prvého rádu zloºenej funkcieF (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x)), x ∈ En pod©a kaºdej jejpremennej môºeme stru£ne zapísa´ v tvare
∂F
∂x1=
∂f
∂t1· ∂ϕ1
∂x1+∂f
∂t2· ∂ϕ2
∂x1+ · · ·+ ∂f
∂tm· ∂ϕm
∂x1,
∂F
∂x2=
∂f
∂t1· ∂ϕ1
∂x2+∂f
∂t2· ∂ϕ2
∂x2+ · · ·+ ∂f
∂tm· ∂ϕm
∂x2,
...
∂F
∂xn=
∂f
∂t1· ∂ϕ1
∂xn+∂f
∂t2· ∂ϕ2
∂xn+ · · ·+ ∂f
∂tm· ∂ϕm
∂xn,
pri£om do parciálnych derivácií∂f
∂titreba dosadi´ ϕi (x1, x2, . . . , xn)
namiesto ti , i = 1, 2, . . . ,m.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.32
Poloºme si teraz otázku: Kedy uvedená zloºená funkcia jediferencovate©ná v bode a ∈ En?
Veta 2.8
Nech funkcie ti = ϕi (x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2, . . . ,m súdiferencovate©né v bode a = (a1, a2, . . . , an) ∈ En. Nech funkciay = f (t1, t2, . . . , tm) je diferencovate©ná v bodeb = (ϕ1(a), . . . , ϕm(a)) ∈ Em. Potom zloºená funkciaF (x1, x2, . . . , xn) = f (ϕ1(x1, x2, . . . , xn), . . . , ϕm(x1, x2, . . . , xn)) jediferencovate©ná v bode a = (a1, a2, . . . , an) a pre jej diferenciál v
bode a platí dF (a, x) =n∑
k=1
(xk − ak)m∑i=1
∂f (b)
∂ti· ∂ϕi (a)
∂xk.
Pri funkcii jednej premennej sme mali zavedené algebraické operácies funkciami majúcimi deriváciu v bode. V prípade funkcie viacpremenných si algebraické operácie zavedieme len prediferencovate©né funkcie v bode.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.33
Veta 2.9
Nech funkcie f1, f2 sú diferencovate©né v bode a = (a1, a2, . . . , an)a nech c1, c2 ∈ R. Potom aj funkcie c1f1 + c2f2, f1 · f2 súdiferencovate©né v bode a, ak naviac f2(a) 6= 0, je diferencovate©ná
v bode a aj funkciaf1f2. Pre diferenciály týchto funkcií platí
a) d(c1f1 + c2f2)(a, x) = c1df1(a, x) + c2df2(a, x);
b) d(f1 · f2)(a, x) = df1(a, x)f2(a) + f1(a)df2(a, x);
c) d
(f1f2
)(a, x) =
df1(a, x)f2(a)− f1(a)df2(a, x)
f 22
(a).
Uº vieme, ºe parciálne derivácie dávajú informáciu o správaní safunkcie v smeroch rovnobeºných so súradnicovými osami.Informáciu o tom ako sa funkcia správa v iných smeroch nám dávatzv. derivácia funkcie v smere � smerová derivácia. Ide o prirodzenézov²eobecnenie pojmu parciálnej derivácie funkcie.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.34
Túto deriváciu funkcie f v danom bode a v smere vektora ~uzískame pomocou �²peciálnej� parciálnej funkcie, ktorej de�ni£nýoborom bude zúºenie de�ni£ného oboru funkcie f na �priamku�idúcu daným bodom a a majúcu smer daného vektora ~u. Toznamená, ºe budeme vlastne vy²etrova´ funkciu ϕ(t) = f (a + t · ~u),ktorá uº je len funkciou jednej premennej.
De�nícia 2.3
Nech funkcia f je de�novaná na nejakom okolí bodu a ∈ En a nech~u je jednotkový vektor v priestore En. Hovoríme, ºe funkcia f má vbode a deriváciu v smere jednotkového vektora ~u, ak existuje
vlastná limita limt→0+
f (a + t · ~u)− f (a)
t, ozna£ujeme ju
df (a)
d~u.
Uvedomme si, ºe platí
df (a)
d~u= lim
t→0+
f (a + t · ~u)− f (a)
t= lim
t→0+
ϕ(t)− ϕ(0)
t= ϕ′+(0),
pri£om ϕ(t) = f (a + t · ~u).
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.35
Podstatná je �jednotková� ve©kos´ vektora ~u, tj. skuto£nos´, ºe|~u| = 15. Uvaºujme ~v = c · ~u, kde c ∈ R+.Potom máme
df (a)
d~v= lim
t→0+
f (a + t · ~v)− f (a)
t= lim
t→0+
(f (a + t · c · ~u)− f (a)) · ct · c
=
∣∣∣∣ c · t = st → 0+ ⇒ s → 0+
∣∣∣∣ = c lims→0+
f (a + s · ~u)− f (a)
s= c · df (a)
d~u.
Hodnota derivácie funkcie v danom bode a v smere©ubovo©ného vektora ~v závisí od jeho ve©kosti.
To nie je ºiadúce, lebo my chceme hodnoty smerových deriváciíporovnáva´.
K tomu je nutné uvaºova´ vºdy jednotkový vektor ~u.
Poznámka 2.5
Parciálne derivácie funkcie y = f (x1, x2, . . . , xn) sú vlastne smerovéderivácie tejto funkcie v danom bode v smere súradnicových osí(presnej²ie v smere príslu²ných jednotkových vektorov).
5Ak ~u = (u1, u2, . . . , un), tak |~u| =√
u21+ u2
2+ · · ·+ u2n = 1.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.36
Naozaj, zrejme pre y = f (x1, x2) máme, ºe
df (a)
d~i= lim
t→0+
f (a + t ·~i)− f (a)
t= lim
t→0+
f (a1 + t, a2)− f (a1, a2)
t=
=∂f (a)
∂x, kde a = (a1, a2),~i = (1, 0). Podobne
df (a)
d~j=∂f (a)
∂y,
kde~j = (0, 1). Uvaºujme ¤alej jednotkový vektor ~u = (u1, u2, u3) v©ubovo©nom smere (tj. |~u| = 1). Tento ©ubovo©ný jednotkový vektorvieme vyjadri´ aj inak. Platí
~u ·~i = |~u| · |~i| · cosα = cosα, ~u ·~i = u1 a teda u1 = cosα, kdeα je uhol, ktorý zviera vektor ~u s vektorom~i (resp. s osou x);
podobne u2 = cosβ, kde β je uhol, ktorý zviera vektor ~u svektorom~j (resp. s osou y);
podobne u3 = cos γ, kde γ je uhol, ktorý zviera vektor ~u svektorom ~k (resp. s osou z).
Teda jednotkový vektor ~u v ©ubovo©nom smere vieme napísa´ vtvare ~u = (cosα, cosβ, cos γ).
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.37
Uvaºujme teraz funkciu y = f (x1, x2, x3), ktorá je diferencovate©náv bode a = (a1, a2, a3). Pozrime sa na deriváciu funkcie f v bode av smere ©ubovo©ného jednotkového vektora ~u. Ozna£me si
ϕ(t) = f (a + t · ~u) = f (a1 + t cosα, a2 + t cosβ, a3 + t cos γ).
Vieme, ºedf (a)
d~u= ϕ′+(0). Na druhej strane, funkcia ϕ je zloºenou
funkciou tvaru ϕ(t) = f (x1, x2, x3), kde x1 = a1 + t cosα,x2 = a2 + t cosβ, x3 = a3 + t cos γ. Pre jej deriváciu platí, ºe
ϕ′(t) =∂f (x1, x2, x3)
∂x1cosα+
∂f (x1, x2, x3)
∂x2cosβ+
∂f (x1, x2, x3)
∂x3cos γ,
pri£om x1 = a1 + t cosα, x2 = a2 + t cosβ, x3 = a3 + t cos γ. Teda
df (a)
d~u= ϕ′+(0) =
∂f (a)
∂x1cosα +
∂f (a)
∂x2cosβ +
∂f (a)
∂x3cos γ.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.38
Pravá strana predchádzajúcej rovnosti je vlastne skalárny sú£indvoch vektorov, presnej²ie vektora(
∂f (a)
∂x1,∂f (a)
∂x2,∂f (a)
∂x3
)=~i
∂f (a)
∂x1+~j
∂f (a)
∂x2+ ~k
∂f (a)
∂x3
a vektora
~u = (cosα, cosβ, cos γ) =~i cosα +~j cosβ + ~kγ.
Vektor(∂f (a)
∂x1,∂f (a)
∂x2,∂f (a)
∂x3
)nazývame gradientom funkcie f v
bode a, ozna£ujeme ho gradf (a), resp. ∇f (a). Následne môºemepísa´ formulu
df (a)
d~u= gradf (a) · ~u,
ktorá hovorí (ak je f diferencovate©ná), ºe derivácia funkcie f vbode a v smere jednotkového vektora ~u sa rovná skalárnemu sú£inugradientu funkcie f v bode a a vektora ~u.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.39
Úloha 2.2
Ukáºte, ºe funkcia
f : R2 → R, (x , y) 7→
0, (x , y) = (0, 0)x3
x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0)
nie je diferencovate©ná v bode (0, 0), ale má v ¬om deriváciu vkaºdom smere.
Otázka: Kedy je derivácia funkcie f v bode a najv䣲ia? V ktoromsmere? Ak δ je uhol, ktorý zviera jednotkový vektor ~u s vektoromgradf (a), potom
df (a)
d~u= gradf (a) · ~u = |gradf (a)| · |~u| · cos δ = |gradf (a)| · cos δ.
Vidíme, ºe hodnotadf (a)
d~uje najv䣲ia, ke¤ cos δ = 1, tj. vtedy,
ke¤ vektor ~u a vektor gradf (a) zvierajú uhol δ = 0. Takºe gradientfunkcie v bode �ukazuje� v smere najv䣲ieho rastu. Taktieº siuvedomme, ºe vektor −gradf (a) udáva smer najv䣲ieho poklesufunkcie f v bode a.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.40
Poznámka 2.6
Predstavme si lyºiara stojaceho na ²ikmom svahu (ktorý je grafomfunkcie f (x , y)) tak, ºe smer lyºí je kolmý k vrstevniciam a ²pi£kymieria hore. Potom je ve©kost gradientu rovná tangensu uhla, ktorýzvierajú lyºe s vodorovnou rovinou. Kolmý priemet lyºí dovodorovnej roviny má rovnaký smer a orientáciu (ur£enú ²pi£kami)ako gradient.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.41
Derivácie a diferenciály vy²²ích rádov
Uvaºujme funkciu y = f (x1, x2, . . . , xn) a predpokladajme, ºe
má na mnoºine M ⊆ D(f ) parciálne derivácie prvého rádu∂f
∂xi,
i = 1, . . . , n.
Kaºdá z týchto funkcií (derivácií) je opä´ funkciou npremenných de�novanou na mnoºine M.
Môºe sa sta´, ºe existujú ich parciálne derivácie prvého rádu nanejakej mnoºine M1 ⊆ M.
Ak tieto parciálne derivácie existujú, budeme im hovori´parciálne derivácie druhého rádu funkcie f a budeme ich
ozna£ova´∂
∂xj
(∂f
∂xi
)alebo stru£nej²ie
∂2f
∂xj∂xi,
i , j = 1, 2, . . . , n.
Ak bude xi = xj , tak budeme ozna£ova´ príslu²nú druhú
parciálnu deriváciu funkcie f pod©a xi znakom∂2f
∂x2i.
Funkcia f má n2 parciálnych derivácií druhého rádu.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.42
Príklad 3.1
Uvaºujme funkciu f (x , y) = x3y2 + y3x4. V²imnime si, ºe∂2f
∂y∂x=
∂2f
∂x∂yna celom priestore E2.
Tento príklad ukazuje, ºe pre danú funkciu sa parciálne deriváciedruhého rádu rovnajú. Hovoríme tomu, ºe parciálne derivácie súzámenné. Sú druhé parciálne derivácie ©ubovo©nej funkcie zámenné?Ak nie, za akých podmienok, predpokladov uº budú zámenné?Odpove¤ na prvú otázku je záporná.
Úloha 3.1
Uvaºujme funkciu f (x , y) =xyx2 − y2
x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0)
0, (x , y) = (0, 0),.
Ukáºte, ºe∂2f (0, 0)
∂y∂x6= ∂2f (0, 0)
∂x∂y.
Teda, ºe parciálne derivácie druhéhorádu funkcie f v bode (0, 0) nie súzámenné!
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.43
Za dos´ rozumných predpokladov, ktoré sú v beºných prípadochsplnené, rovnos´ platí. Uvedieme si nieko©ko tvrdení. Najprv siuvedieme vetu, ktorá zah¯¬a informáciu o hladkosti práve týchderivácií, ktoré chceme zamie¬a´ (uvedieme ju len pre rád 2).
Veta 3.1
Nech v O(a) existujú parciálne derivácie∂2f
∂xj∂xi,
∂2f
∂xi∂xji , j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j a sú v bode spojité. Potom sú v bode azámenné.
Predchádzajúca veta má jednu nevýhodu. Aby sme overili jejpredpoklady, musíme spo£íta´ fxjxi a fxixj a zisti´, £i sú spojité. Aleto uº zárove¬ vidíme, ak sú aj rovnaké. Takºe jej pouºitie nie jeve©mi efektívne. To odstra¬uje silnej²ia verzia.
Veta 3.2
Nech funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) je taká, ºe parciálne derivácie∂f
∂xi,∂f
∂xj, i , j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j sú diferencovate©né v bode a.
Potom platí, ºe∂2f (a)
∂xi∂xj=∂2f (a)
∂xj∂xi, tj. tieto parciálne derivácie
druhého rádu funkcie f v bode a sú zámenné.
Vzh©adom na skuto£nos´, ºe overovanie diferencovate©nosti funkciev bode nie je príli² jednoduché, uvádzame aj nasledujúce tvrdenie.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.44
Veta 3.3 (Schwarzova veta)
Nech parciálne derivácie∂f
∂xi,∂f
∂xj, i , j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j existujú
v O(a) a∂2f
∂xi∂xjexistuje v O∗(a) a existuje limitaa
limx→a
∂2f
∂xi∂xj= K , K ∈ R.
Potom v bode a existuje aj∂2f
∂xj∂xia platí, ºe
∂2f (a)
∂xi∂xj=∂2f (a)
∂xj∂xi.
aNa to sta£í aby fxi xj bola v a spojitá.
V䣲inou pracujeme s rozumnými funkciami a ©ahko sa overiapredpoklady nasledujúceho dôsledku.
Dôsledok 3.1
Ak sú v²etky parciálne derivácie druhého rádu funkcie f spojité vbode a, potom sú v²etky v tomto bode zámenné.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.45
Podobne ako to bolo pri parciálnych deriváciách druhého rádu. Akparciálne derivácie rádu k − 1 funkcie f majú parciálne derivácie,nazývame tieto parciálne derivácie parciálnymi deriváciami k-tého
rádu funkcie f , ozna£ujeme ich∂k f
∂xi1∂xi2 . . . ∂xik, kde
i1, i2, . . . , ik ∈ {1, 2, . . . , n}. Budeme hovori´, ºe dve parciálne
derivácie k-tého rádu funkcie f∂k f
∂xi1∂xi2 . . . ∂xik,
∂k f
∂xj1∂xj2 . . . ∂xjksa
lí²ia len poradím derivovania, ak k-tica (j1, j2, . . . , jk) vznikne lenpremiestením zloºiek k-tice (i1, i2, . . . , ik).
Poznámka 3.1
Vo v²eobecnosti sa parciálne derivácie k-tého rádu funkcie f , ktorésa lí²ia len poradím derivovania, nemusia rovna´.
Platí v²ak veta, ktorá hovorí kedy parciálne derivácie k-tého rádufunkcie f sú zámenné, tj. kedy parciálne derivácie k-tého rádufunkcie f lí²iace sa len poradím derivovania sa sebe rovnajú.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.46
Veta 3.4
Ak sú v²etky parciálne derivácie k-tého rádu funkcie f spojité vbode a, potom sú v²etky parciálne derivácie aº do k-tého rádufunkcie f zámenné v tomto bode a.
Napr. ak∂3f
∂x1∂x2∂x3,
∂3f
∂x3∂x2∂x1sú spojité v bode a, potom platí,
ºe∂3f (a)
∂x1∂x2∂x3=
∂3f (a)
∂x3∂x2∂x1.
Uvaºujme teraz zloºenú funkciu F (x) = f (ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕm(x)),kde hlavná zloºka y = f (t1, t2, . . . , tm) je de�novaná na mnoºineEm a ved©aj²ie zloºky ti = ϕi (x), i = 1, 2, . . . ,m sú de�nované na
mnoºine En.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.47
Predpokladajme, ºe
funkcie ti = ϕi (x), i = 1, 2, . . . ,m majú parciálne derivácieprvého rádu, ktoré sú diferencovate©né v bodea = (a1, a2, . . . , an);
funkcia y = f (t) má parciálne derivácie prvého rádu, ktoré súdiferencovate©né v bode b = (ϕ1(a), ϕ2(a), . . . , ϕm(a)).
Potom
existujú parciálne derivácie prvého rádu zloºenej funkcie F ;
majú tvar∂F
∂xi=
∂f
∂t1· ∂ϕ1
∂xi+ · · ·+ ∂f
∂tm· ∂ϕm
∂xi, i = 1, 2, . . . , n;
navy²e sú funkcie∂F
∂xi, i = 1, 2, . . . , n diferencovate©né v bode
a, ke¤ºe
diferencovate©nos´∂ϕk
∂xiv bode a implikuje diferencovate©nos´
ϕk v bode a;
diferencovate©nos´∂f
∂tiv bode b implikuje diferencovate©nos´
fi (ϕ(x)) v bode a;sú£in a sú£et diferencovate©ných funkcií v bode a jediferencovate©ná funkcia v bode a.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.48
To znamená, ºe funkcie∂F
∂xi, i = 1, 2, . . . , n majú parciálne derivácie
pod©a v²etkých premenných v bode a. Teda existujú parciálnederivácie druhého rádu zloºenej funkcie F v bode a.
Poznámka 3.2
Tieto parciálne derivácie druhého rádu dostaneme tak, ºe nájdemeparciálne derivácie prvých parciálnych derivácií funkcie F .To sa dá prirodzene zov²eobecni´ na prípady vy²²ích rádov.
Pre jednoduchos´ uvedieme formuly (vzorce) pre parciálne deriváciedruhého rádu zloºenej funkcie dvoch premenných. Uvaºujmezloºenú funkciu F (x , y) = f (ϕ(x , y), ψ(x , y)), tj. F (x , y) = f (u, v),kde u = ϕ(x , y), v = ψ(x , y). Platí
∂F
∂x=∂f
∂u
∂ϕ
∂x+∂f
∂v
∂ψ
∂x,
∂F
∂y=∂f
∂u
∂ϕ
∂y+∂f
∂v
∂ψ
∂y;
∂2F
∂x2=∂2f
∂u2
(∂ϕ
∂x
)2
+ 2∂2f
∂v∂u
∂ψ
∂x
∂ϕ
∂x+∂2f
∂v2
(∂ψ
∂x
)2
+
∂f
∂u
∂2ϕ
∂x2+∂f
∂v
∂2ψ
∂x2;
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.49
∂2F
∂y2=∂2f
∂u2
(∂ϕ
∂y
)2
+ 2∂2f
∂v∂u
∂ψ
∂y
∂ϕ
∂y+∂2f
∂v2
(∂ψ
∂y
)2
+
∂f
∂u
∂2ϕ
∂y2+∂f
∂v
∂2ψ
∂y2;
∂2F
∂y∂x=
∂2F
∂x∂y=∂2f
∂u2∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂x+
∂2f
∂v∂u
(∂ψ
∂y
∂ϕ
∂x+∂ϕ
∂y
∂ψ
∂x
)+
∂f
∂u
∂2ϕ
∂y∂x+∂f
∂v
∂2ψ
∂y∂x+∂2f
∂v2∂ψ
∂y
∂ψ
∂x,
ke¤ºe∂F
∂x,∂F
∂ysú diferencovate©né, a teda platí
∂2F
∂y∂x=
∂2F
∂x∂y.
Poznámka 3.3
Ak∂f
∂u,∂f
∂vsú diferencovate©né na mnoºine M ⊂ E2 a
∂ϕ
∂x,∂ϕ
∂y,
∂ψ
∂x,∂ψ
∂ysú diferencovate©né na mnoºine P ⊂ E2, pri£om
∀ (x , y) ∈ P je bod (ϕ(x , y), ψ(x , y)) ∈ M, tak uvedené vzorcepredstavujú parciálne derivácie druhého rádu zloºenej funkcie F na
celej mnoºine P, pri£om v deriváciách∂2f
∂u2,∂2f
∂v2,∂2f
∂v∂utreba
poloºi´ u = ϕ(x , y), v = ψ(x , y).
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.50
Vidíme, ºe tieto vzorce sú uº pomerne komplikované. Pre derivácievy²²ích rádov zloºitos´ rastie. Odvádza´ ich nemá zmysel. Dôleºitéje vedie´ princíp, predov²etkým treba pozna´ ²truktúru jednotlivýchfunkcií vyskytujúcich sa v procese získavania uvedených parciálnychderivácií danej zloºenej funkcie F . Ukáºeme si to na príkladoch.Pozrime sa e²te na pojem diferenciálu k-tého rádu funkcie f v bode.Diferenciálom k-tého rádu funkcie jednej premennej v bode a jemocninová (polynomická) funkcia stup¬a najviac k prírastku x − a,tj.
dk f (a, x) = f (k)(a)(x − a)k ,
pri£om existencia k-tého diferenciálu funkcie v bode a jeekvivalentná s existenciou k-tej derivácie funkcie v bode a. Situáciau funkcie viac premenných je o dos´ komplikovanej²ia6.
6Existencia parciálnych derivácií nie je ekvivalentná s diferencovate©nos´oufunkcie a navy²e parciálne derivácie vy²²ích rádov nemusia by´ zámenné.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.51
Spojitos´ parciálnych derivácií istého rádu funkcie f v bode a jevhodným predpokladom pre nasledujúcu de�níciu i ¤al²ie úvahy.Kvôli preh©adnosti za£nime na²u úvahu pre funkciu dvochpremenných z = f (x , y), ktorá je de�novaná na nejakom okolí bodua = (a1, a2).
De�nícia 3.1
Nech funkcia f : E2 → E1 má v bode a = (a1, a2) spojité v²etky
parciálne derivácie k-tého rádu. Diferenciálom k-tého rádu funkcie fv bode a (pre bod x = (x , y)) rozumieme polynomickú funkciu(polynóm) dvoch premenných x , y stup¬a najviac k tvaru
dk f (a, x) =k∑
j=0
(k
j
)∂k f (a)
∂xk−j∂y j(x − a1)k−j(y − a2)j .
Na ukáºku napí²me nieko©ko diferenciálov k-tého rádu pre hodnotyk = 1, k = 2 a k = 3, pri£om pouºijeme pomôcku vychádzajúcu zrozvoja mocniny dvoj£lena (a + b)k .
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.52
df (a, x) =∂f (a)∂x
(x − a1) +∂f (a)∂y
(y − a2) =[(x − a1)
∂
∂x+ (y − a2)
∂
∂y
]f (a);
d2f (a, x) =∂2f (a)∂x2
(x − a1)2 + 2
∂2f (a)∂x∂y
(x − a1)(y − a2) +
∂2f (a)∂y2
(y − a2)2 =
[(x − a1)
∂
∂x+ (y − a2)
∂
∂y
]2
f (a);
d3f (a, x) =∂3f (a)∂x3
(x−a1)3+3∂3f (a)∂x2∂y
(x−a1)2(y−a2)+3∂3f (a)∂x∂y2
(x−
a1)(y−a2)2+∂3f (a)∂y3
(y−a2)3 =
[(x − a1)
∂
∂x+ (y − a2)
∂
∂y
]3
f (a).
Poznámka 3.4
Formálne diferenciál k-tého rádu funkcie f v bode a môºemezapísa´ aj v tvare
dk f (a, x) =
[(x − a1)
∂
∂x+ (y − a2)
∂
∂y
]kf (a).
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.53
Príklad 3.2
Ur£me (totálny) diferenciál druhého rádu funkcie f : z = x2y3 vbode (1,−2). Platí
fx = 2xy3, fy = 3x2y2, fxx = 2y3, fxy = 6xy2, fyy = 6x2y .
Po dosadení mámed2f(1,−2)(x , y) = −16(x − 1)2 + 48(x − 1)(y + 2)− 12(y + 2)2.
Podobne môºeme de�nova´ diferenciál k-tého rádu funkcie v bodea = (a1, a2, . . . , an) pre funkciu n premenných y = f (x1, x2, . . . , xn),ktorá je de�novaná na nejakom okolí bodu a = (a1, a2, . . . , an).
De�nícia 3.2
Nech funkcia f : En → E1 má v bode a = (a1, a2, . . . , an) spojité
v²etky parciálne derivácie k-tého rádu. Diferenciálom k-tého rádufunkcie f v bode a (pre bod x = (x1, x2, . . . , xn)) nazývamepolynomickú funkciu (polynóm) n premenných stup¬a najviac k ,ktorú môºeme formálne zapísa´ v tvare dk f (a, x) =[
(x1 − a1)∂
∂x1+ (x2 − a2)
∂
∂x2+ · · ·+ (xn − an)
∂
∂xn
]kf (a).
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.54
Taylorov vzorec
Vieme aproximova´ danú funkciu viac premenných na nejakom okolídaného bodu polynómom (polynomickou funkciou) viacpremenných? Kvôli tomu si zavedieme pojmy Taylorov polynóm aTaylorov rad. Pre funkciu jednej premennej sme mali nasledujúcezávery.
Taylorovým polynómom stup¬a n funkcie f v bode a jepolynóm tvaru
Tn(f , a; x) = f (a) +f ′(a)
1!(x − a) + · · ·+ f (n)(a)
n!(x − a)n,
pri£om má vlastnos´, ºe T (k)n (a) = T (k)
n (f , a; a) = f (k)(a),k = 0, 1, . . . , n.
Taylorov polynóm sme pouºívali k pribliºnému výpo£tufunk£ných hodnôt funkcie f na okolí daného bodu a.
Vyslovili sme aj Taylorovu vetu. Tá charakterizovala7 zvy²okn-tého Taylorovho polynómu funkcie f v bode a.
7Tj. stanovila ve©kos´ chyby, ktorej sa dopustíme ak na nejakom okolí bodu anahradíme (aproximujeme) funkciu f jej Taylorovým polynómom v bode a.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.55
Podobne je tomu aj u funkcií viac premenných. Taylorovýmpolynómom funkcie viac premenných f : En → E
1 je polynóm viacpremenných, ktorý má s funkciou f v danom bode a ∈ En rovnakúfunk£nú hodnotu a rovnakú hodnotu v²etkých parciálnych deriváciíaº do k-tého rádu, pri£om k je stupe¬ tohto polynómu (resp.stupe¬ Taylorovho polynómu). Vyslovme nasledujúcu vetu.
Veta 4.1 (Taylorova veta)
Nech funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) má v nejakom okolí bodua = (a1, a2, . . . , an) spojité parciálne derivácie rádu (k + 1). Potompre kaºdý bod x ∈ O(a) existuje £íslo θ ∈ (0, 1) také, ºe platí
f (x) = f (a) +df (a, x)
1!+ · · ·+ dk f (a, x)
k!+
dk+1f (a + c, x + c)
(k + 1)!,
kde c = θ(x− a) a a + c je medzi a a x.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.56
De�nícia 4.1
Výraz
f (a) +df (a, x)
1!+
d2f (a, x)
2!+ · · ·+ dk f (a, x)
k!
z predchádzajúcej vety nazývame k-tým Taylorovým polynómomfunkcie f v bode a, ozna£ujeme ho Tk(f , a; x) alebo skráteneTk(x). Ak bod a = (0, 0, . . . , 0), tak uvedený polynóm nazývameMaclaurinov polynóm. Výraz
1(k + 1)!
dk+1f (a + θ(x− a), x + θ(x− a))
sa nazýva (Lagrangeov) zvy²ok k-tého Taylorovho polynómu funkcief v bode a, ozna£ujeme ho Rk(x).
Vzh©adom na uvedené ozna£enie, z Taylorovej vety máme tzv.Taylorov vzorec, tj. identitu f (x) = Tk(x) + Rk(x), x ∈ O(a).Podobne ako u funkcií jednej premennej uvaºujme funkciu, ktorámá diferenciál v bode a ©ubovo©ného rádu.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.57
Potom môºeme zavies´ nekone£ný rad
T (f , a; x) =∞∑k=0
1k!
dk f (a, x),
ktorý nazývame Taylorov rad funkcie viac premenných f v bode a.
Príklad 4.1
Uvaºujme funkciu f (x , y) = ex+y a bod a = (0, 0). Dá sajednoducho ukáza´ (DÚ), ºe
T (f , a; x) =∞∑k=0
(x + y)k
k!.
Taylorov rad T (f , a; x) zobrazenia f konverguje v bode x k hodnotef (x) práve vtedy, ke¤ konverguje postupnos´ zvy²kov Rk(x)(prislúchajúci danej postupnosti Taylorových polynómov) k nule.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.58
Pod©a toho vieme ukáza´, ºe Taylorovým radom danej funkcief (x , y) = ex+y v bode a = (0, 0) (jeho sú£tom) je funkcia, pomocou
ktorej vznikol, tj. platí, ºe ex+y =∞∑k=0
(x + y)k
k!pre ©ubovo©ný bod
x = (x , y) ∈ E2 (oborom konvergencie tohto radu je E2).
Príklad 4.2
Nájdite Taylorov polynóm druhého rádu funkcie f : z = x3y + x2y2
v bode (1,−2) a vyjadrite zvy²ok R2. Zrejme platí
f (x , y) = f (1,−2) + df(1,−2)(h, k) +12df(1,−2)(h, k) + R2(x , y),
kde h = x − 1, k = y + 2. �ahko sa ukáºe, ºe
f (1,−2) = 2, fx(1,−2) = 2, fy (1,−2) = −3, fxx(1,−2) = −4,
fxy (1,−2) = −5, fyy (1,−2) = 2.
TedaT2(x , y) = 2+2(x−1)−3(y+2)−2(x−1)2−5(x−1)(y+2)+(y+2)2.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.59
Navy²e R2(x , y) = {θ(y + 2)− 2}(x − 1)3 + {3θ(x − 1) + 2θ(y +2)− 1}(x − 1)2(y + 2) + 2{1 + θ(x − 1)}(x − 1)(y + 2)2, pri£om
|R2(x , y)| ≤ δ3(8δ + 5), pre |x − 1| ≤ δ, |y + 2| ≤ δ, 0 < δ � 1.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.60
Lokálne extrémy funkcie viac premenných
Vy²etrovanie extrémov funkcií je jednou z najdôleºitej²ích £astídiferenciálneho po£tu.
V kaºdodennom ºivote sa stretávame s rie²ením extremálnychúloh.
V ekonómii ide napríklad o minimalizáciu nákladov amaximalizáciu výnosov, zisku.
Vo fyzike je dôleºitá oblas´ tzv. (energetických) funkcionálov,konkrétne ich maximalizácia (minimalizácia), prípadne �iba�h©adanie ich stacionárnych bodov.
Optimalizácia hrá dôleºitú úlohu aj v informatike.
Uº sme de�novali maximálnu (najv䣲iu) a minimálnu (najmen²iu)hodnotu funkcie viac premenných na mnoºine M ⊆ D(f ). Tietohodnoty nazývame absolútne, resp. globálne extrémy funkcie f namnoºine M. Weierstrassova veta o maxime a minime, za istýchpredpokladov, zaru£uje existenciu týchto globálnych extrémov,av²ak nedáva návod ako ich nájs´ � to bude tieº jedným z na²ich¤al²ích cie©ov.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.61
Najprv sa v²ak sa pozrime na lokálne extrémy funkcie viacpremenných. De�nícia lokálnych extrémov je podobná ako u funkciejednej reálnej premennej. Predpokladajme v celej tejto kapitole, ºebod a ∈ En je vnútorným bodom de�ni£ného oboru uvaºovanejfunkcie !!!
De�nícia 5.1
Hovoríme, ºe funkcia y = f (x) má v bode a ∈ D(f ) ⊂ En lokálnemaximum (minimum), ak existuje také okolie O(a) bodu a, ºe prekaºdý bod x ∈ O(a) platí f (x) ≤ f (a) (f (x) ≥ f (a)). Hovoríme, ºefunkcia y = f (x) má v bode a ∈ D(f ) ⊂ En ostré lokálne maximum(minimum), ak existuje také okolie O(a) bodu a, ºe pre kaºdý bodx ∈ O∗(a) platí f (x) < f (a) (f (x) > f (a)). Pre (ostré) lokálnemaximá a minimá budeme pouºíva´ spolo£ný názov (ostré) lokálneextrémy.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.62
Príklad 5.1
Funkcia f (x , y) =√x2 + y2 +
12má v bode (0, 0) ostré
lokálne minimum, lebo f (0, 0) =12a pre kaºdý bod
(x , y) 6= (0, 0) je f (x , y) =√x2 + y2 +
12>
12
= f (0, 0). f
nemá parciálne derivácie v bode (0, 0).
Funkcia
f (x , y) =
{x2 + y2, (x , y) 6= (0, 0)
1, (x , y) = (0, 0)
má v bode (0, 0) ostré lokálne maximum, lebo f (0, 0) = 1 a∀ (x , y) 6= (0, 0) �dostato£ne� blízkoa bodu (0, 0) jef (x , y) = x2 + y2 < 1 = f (0, 0). f nie je spojitá v bode (0, 0).
aTj. pre kaºdý bod (x , y) 6= (0, 0) z nejakého �malého� okolia bodu (0, 0).
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.63
Funkcia f (x , y) = 4 + xy nemá v bode a = (0, 0) lokálnyextrém, lebo v ©ubovo©nom okolí bodu (0, 0) budú existova´body x1, x2 také, ºe f (x1) > 4 = f (0, 0) a f (x2) < 4 = f (0, 0).Presnej²ie, pre ©ubovo©né δ > 0 existuje bod
x1 =
(δ
2,δ
2
)∈ Oδ(a) taký, ºe f (x1) =
δ2
4+ 4 > 4 = f (0, 0),
tj. v bode a nemôºe by´ lokálne maximum funkcie f a taktieº
existuje bod x2 =
(−δ2,δ
2
)∈ Oδ(a) taký, ºe
f (x2) = 4− δ2
4< 4 = f (0, 0), tj. v bode a nemôºe by´ lokálne
minimum funkcie f . Teda funkcia f nemá v bode a lokálnyextrém.
Tieto príklady ilustrujú skuto£nos´, ºe funkcia môºe ma´ lokálnyextrém aj v bode, v ktorom nemá parciálne derivácie, resp. nie jespojitá.Pozrime sa teraz na nutné a posta£ujúce podmienky pre existenciulokálneho extrému v prípade, ke¤ má uvaºovaná funkcia v danombode parciálne derivácie prvého rádu.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.64
Nasledujúca veta, ktorá stanovuje nutnú podmienku existencielokálneho extrému, je v niektorej literatúre citovaná ako Fermatovaveta.
Veta 5.1 (Nutná podmienka existencie lokálneho extrému)
Nech funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) má v bode a = (a1, a2, . . . , an)lokálny extrém a nech má v tomto bode v²etky parciálne derivácie
prvého rádu. Potom∂f (a)
∂xi= 0, i = 1, 2, . . . , n.
De�nícia 5.2
Bod a ∈ En sa nazýva stacionárny bod funkcie y = f (x1, x2, . . . , xn),ak funkcia f má v tomto bode v²etky parciálne derivácie prvého
rádu rovné nule, tj.∂f (a)
∂xi= 0, i = 1, 2, . . . , n.
Poznámka 5.1
V stacionárnom bode funkcia nemusí ma´ lokálny extrém,predchádzajúca veta dáva iba nutnú podmienku existencie lokálnehoextrému, vi¤ nasledujúce príklady.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.65
Príklad 5.2
Funkcia f (x , y) = x2 + y2 + 1 má v bode (0, 0) lokálny extréma bod (0, 0) je jej stacionárnym bodom.
Funkcia f (x , y) = 4 + xy nemá v bode (0, 0) lokálny extrém abod (0, 0) je jej stacionárnym bodom.
Predchádzajúca veta hovorí, ºe funkcia f môºe ma´ (ale nemusí)lokálny extrém len v stacionárnych bodoch tejto funkcie alebopotom v bodoch, v ktorých neexistuje niektorá z parciálnychderivácií prvého rádu.
Obr.: Stacionárne body - (ne)ostré lokálne maximá a sedlový bod.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.66
Poznámka 5.2
Z de�nície stacionárneho bodu vyplýva, ºe sa v tomto bodediferenciál funkcie (ak existuje) rovná nule.
Teda graf funkcie dvoch premenných z = f (x , y) má v tomtobode dotykovú rovinu rovnobeºnú s rovinou ρxy .
Stacionárny bod funkie f , v ktorom funkcia nemá lokálnyextrém sa nazýva sedlový bod funkcie f , resp. skrátene sedlo.
Uº vieme, v ktorých bodoch funkcia f môºe ma´ lokálny extrém.
Veta 5.2 (Posta£ujúca podmienka existencie lokálneho extrému)
Nech funkcia f má v bode a spojité parciálne derivácie druhéhorádu a nech bod a je jej stacionárnym bodom. Potom platí:
a) ak pre kaºdý bod x 6= a priestoru En je d2f (a, x) > 0, takfunkcia f má v bode a (ostré) lokálne minimum;
b) ak pre kaºdý bod x 6= a priestoru En je d2f (a, x) < 0, takfunkcia f má v bode a (ostré) lokálne maximum;
c) ak existujú body x1, x2 priestoru En také, ºed2f (a, x1) · d2f (a, x2) < 0, tak funkcia f nemá v bode alokálny extrém.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.67
Druhý diferenciál funkcie f v bode a je polynomická funkcia(polynóm) druhého stup¬a. Aby sme nemuseli vºdy ur£ova´, £i jekladný, záporný alebo mení znamienko, uvedieme si jednoduch²ietvrdenie. Najprv pre funkcie dvoch premenných.
Veta 5.3
Nech funkcia z = f (x , y) má v bode a spojité parciálne deriváciedruhého rádu a nech bod a je jej stacionárnym bodom. Potom platí:
1. Ak hodnota D =∂2f (a)
∂x2· ∂
2f (a)
∂y2−(∂2f (a)
∂x ∂y
)2
> 0, potom
funkcia f má v bode a (ostrý) lokálny extrém a to:
a) ak∂2f (a)∂x2
> 0 je to (ostré) lokálne minimum;
b) ak∂2f (a)∂x2
< 0 je to (ostré) lokálne maximum.
2. Ak hodnota D < 0, potom funkcia f nemá v bode a lokálnyextrém.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.68
V²imnime si, ºe predchádzajúca veta hovorí, ºe ak tzv. Hessovamatica
H(x , y) =
(fxx fxyfyx fyy
)(x , y)
je pozitívne de�nitná v bode a, tak tam f má lokálne maximum, akje je negatívne de�nitná v bode a, tak tam f má lokálne minimum,a ak je inde�nitná v bode a, tak tam nemá lokálny extrém (je tosedlo).
Poznámka 5.3
Veta ni£ nehovorí o tom, £o sa deje, ke¤ D = 0 prevy²etrovaný stacionárny bod danej funkcie.
V tomto prípade o existencii lokálneho extrému neviemepoveda´ ni£, lokálny extrém v tomto stacionárnom bode môºe,ale nemusí existova´.
Musíme pouºi´ inú úvahu, napr. de�níciu lokálneho extrému apomocou nej rozhodnú´ o existencii lokálneho extrému.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.69
Uvaºujme funkciu f (x , y) = x4 + y4. Jej jediným stacionárnymbodom je bod a = (0, 0). Hodnota D = 0, lebo∂2f (a)
∂x2=∂2f (a)
∂y2=∂2f (a)
∂x∂y= 0, ale funkcia f má v bode
(0, 0) ostré lokálne minimum, lebo pre kaºdý bod(x , y) 6= (0, 0) je f (x , y) = x4 + y4 > 0 = f (0, 0).
Uvaºujme funkciu f (x , y) = x3. Jej jedným stacionárnymbodom je opä´ bod a = (0, 0) (táto funkcia má nekone£ne ve©astacionárnych bodov, sú to body priamky x = 0). Hodnota
D = 0, lebo∂2f (a)
∂x2=∂2f (a)
∂y2=∂2f (a)
∂x∂y= 0, ale funkcia f
nemá v bode (0, 0) lokálny extrém, dokáºte!
Poznámka 5.4
Pozor! Aj v prípade, ke¤ ∀x 6= a je d2f (a, x) ≥ 0(resp. d2f (a, x) ≤ 0), tak vo svojom stacionárnom bode a funkcia fmôºe, ale nemusí ma´ lokálny extrém.
Predchádzajúcu posta£ujúcu podmienku existencie lokálnehoextrému vieme zov²eobecni´ aj pre funkcie viac premenných(n ≥ 3). Dá sa ukáza´, ºe platí nasledujúce tvrdenie.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.70
Veta 5.4 (Sylvestrovo kritérium)
Nech funkcia y = f (x1, x2, . . . , xn) má v bode a spojité parciálnederivácie druhého rádu a nech bod a je jej stacionárnym bodom.
Symetrická Hessova matica Hij =∂2f (a)
∂xi∂xj, i , j = 1, 2, . . . , n je
a) kladne de�nitná (f má v bode a (ostré) lokálne minimum) ⇔v²etky jej (rohové) hlavné minory sú kladné, tj. ak
H11 > 0,
∣∣∣∣ H11 H12
H21 H22
∣∣∣∣ > 0, . . . ,
∣∣∣∣∣∣∣∣∣H11 H12 . . . H1n
H21 H22 . . . H2n
......
...Hn1 Hn2 . . . Hnn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0;
b) záporne de�nitná (f má v bode a (ostré) lokálne maximum) ⇔v²etky jej (rohové) hlavné minory striedajú znamienka v tomtozmysle
H11 < 0,
∣∣∣∣ H11 H12
H21 H22
∣∣∣∣ > 0, . . . , (−1)n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣H11 H12 . . . H1n
H21 H22 . . . H2n
......
...Hn1 Hn2 . . . Hnn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0;
c) inde�nitná (f má v bode a sedlo) ⇔ v²etky jej (rohové) hlavnéminory sú nenulové a striedajú znamienka inak ako v a), b).
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.71
Pri h©adaní lokálnych extrémov danej funkcie postupujeme takto:
najprv nájdeme v²etkých kandidátov na lokálny extrém, tj.v²etky stacionárne body a body, v ktorých niektorá parciálnaderivácia prvého rádu neexistuje;
kaºdý z týchto bodov vy²etríme, tj. zistíme, £i v ¬om má danáfunkcia lokálne extrém alebo nie;
pri stacionárnych bodoch môºeme pouºi´ predchádzajúceposta£ujúce podmienky;
pri bodoch kde neexistuje derivácia je nutné pouºi´ inú úvahu.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.72
Viazané a globálne extrémy funkcie viac
premenných
Pri praktických aplikáciách sa £asto h©adá maximálna(minimálna) hodnota funkcie nie na celom jej de�ni£nomobore, ale len na nejakej jeho £asti (napr. na nejakej krivkealebo na priestorovej ploche).
Môºe to by´ v prípade, ºe maximalizujeme funkciu za nejakýchdodato£ných podmienok.
Daná podmienka sa chápe ako väzba premenných - preto ide otzv. viazané extrémy.
Je to aj dôleºité pri h©adaní globálnych extrémov.
Uvaºujme nasledujúcu úlohu: Nech je daná funkcia dvochpremenných z = f (x , y) de�novaná na mnoºine M ⊂ E2 a nechP ⊂ M je mnoºina takých bodov z mnoºiny M, ktorých súradnicevyhovujú rovnici g(x , y) = 0 (príp. g(x , y) = c), tj.P = {(x , y) ∈ M : g(x , y) = 0}.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.73
Na²ou úlohou je nájs´ lokálne extrémne hodnoty funkcie f namnoºine P.
Teda máme nájs´ lokálne extrémy parciálnej funkcie, ktorá jeur£ená funkciou f na mnoºine P.
Takýmto (lokálnym) extrémom hovoríme viazané (lokálne)extrémy funkcie f . Podmienku g(x , y) = 0, ktorá ur£ujemnoºinu P, nazývame väzba.
Obr.: Ú£elová funkcia f a väzba g .
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.74
Ako nájs´ viazané lokálne extrémy? Ako postupova´ pri h©adaníviazaných lokálnych extrémov danej funkcie z = f (x , y) pri väzbeg(x , y) = 0?
Ak sa z väzby dá jednozna£ne vyjadri´ jedna premennápomocou druhej, tj. g(x , y) = 0⇔
x = ϕ(y), y ∈ I , resp. y = ψ(x), x ∈ J,
tak ©ahko nájdeme vyjadrenie parciálnej funkcie F ur£enejfunkciou f na danej väzbe. Bude ma´ tvar F (y) = f (ϕ(y), y),y ∈ I , resp. F (x) = f (x , ψ(x)), x ∈ J. Následne h©adáme(vo©né) lokálne extrémy tejto funkcie (uº len jednej premennej).Ak sa z väzby g(x , y) = 0 nedá jednozna£ne vyjadri´ (resp.nevieme vyjadri´) jedna z premenných, tak úloha nájs´ viazanýlokálny extrém je zloºitej²ia. Moºno pouºi´ tzv. Lagrangeovumetódu multiplikátorov:
Je zaloºená na my²lienke, ºe v bode maxima f nemôºe rás´ vsmere bodov z okolia, kde g = 0.Predstavme si teraz, ºe krá£ame po krivke danej väzbou.Chceme �narazi´� na body, v ktorých f nemení hodnoty.Bu¤ je krivka daná väzbou vrstevnicou funkcie f , vtedy sú f , grovnobeºné, alebo sme dosiahli takú hladinu funkcie f , ºe sa jejhodnoty nemenia v ºiadnom smere.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.75
Teda h©adáme také body x , y , aby platili rovnice
g(x , y) = 0, ∇f (x , y) = −λ∇g(x , y)
pre nejakú hodnotu λ ∈ R. Túto kon²tantu (parameter) λnazývame Lagrangeov multiplikátor. Aby sme zahrnuli obe ronvicedo jednej zave¤me si pomocnú funkciu
L(x , y) = f (x , y) + λ g(x , y),
ktorú nazývame Lagrangeova funkcia.Funkcia L je ur£ite de�novaná na mnoºine P.Pre kaºdý bod (x , y) ∈ P je g(x , y) = 0, preto pre kaºdýtakýto bod je L(x , y) = f (x , y).Nech funkcia L má v bode a ∈ P lokálne maximum.Zrejme L(a) = f (a) a vieme, ºe existuje O(a) : ∀ x ∈ O(a) jeL(x) ≤ L(a), tj. f (x) + λg(x) ≤ f (a) + λg(a) = f (a), lebog(a) = 0, ke¤ºe a ∈ P.Takºe f (x) ≤ f (a) pre x ∈ P ∩O(a), tj. v bode a má funkcia flokálne maximum vzh©adom na mnoºinu P.V bode a má teda lokálne maximum parciálna funkcia ur£enáfunkciou f na mnoºine (väzbe) P, teda v bode a má funkcia fviazané lokálne maximum pri väzbe g(x) = 0.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.76
Veta 6.1
Nech funkcia L má v bode a ∈ P (kde P je mnoºina ur£ená väzboug(x , y) = 0) lokálny extrém (vo©ný lokálny extrém), potom funkciaf má v tomto bode a viazaný lokálny extrém pri väzbe g(x , y) = 0.
Poznámka 6.1
Treba si uvedomi´, ºe obrátená veta neplatí, tj. neplatí, ºe �akfunkcia f má v bode a viazaný lokálny extrém pri väzbeg(x , y) = 0, tak funkcia L má v tomto bode a ∈ P lokálny extrém.�
Príklad 6.1
Uvaºujme funkciu f (x , y) = 2xy s väzbou x − y = 0. Je evidentné,ºe funkcia f má v bode (0, 0) viazané lokálne minimum pri väzbex − y = 0. Na druhej strane, v²ak funkcia L(x , y) = 2xy + λ(x − y)nemá v bode (0, 0) leºiacom na priamke x − y = 0 lokálny extrém(bod (0, 0) s hodnotou λ = 0 je jediným kandidátom na lokálnyextrém tejto funkcie L s vlastnos´ou, ºe má leºa´ na priamkex − y = 0, av²ak je zrejmé, ºe funkcia L s parametrom λ = 0, tj.funkcia L(x , y) = 2xy nemá lokálny extrém v bode (0, 0), detailyDÚ).
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.77
Poznámka 6.2
Pozor, ak funkcia L nemá v bode a ∈ P lokálny extrém, potom oviazanom (lokálnom) extréme funkcie f v tomto bode a pri danejväzbe nevieme poveda´ ni£.Teda táto metóda, v niektorých prípadoch (my sa pokusíme imvyhnú´), nezaru£uje nájdenie v²etkých viazaných lokálnychextrémov.
Pozrime sa e²te ako budeme vlastne h©ada´ (vo©né) lokálne extrémyfunkcie L leºiace na mnoºine P. Predpokladajme, ºe f , g ∈ C 2(P).Funkcia L môºe ma´ lokálny extrém leºiaci na mnoºine P len vstacionárnych bodoch tejto funkcie, ktoré leºia na mnoºine P, tj. vbodoch, ktorých súradnice vyhovujú rovniciam (podmienkam)
∂L(x , y)
∂x=∂f (x , y)
∂x+ λ
∂g(x , y)
∂x= 0,
∂L(x , y)
∂y=∂f (x , y)
∂y+ λ
∂g(x , y)
∂y= 0,
g(x , y) = 0.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.78
Dostávame sústavu troch rovníc o troch neznámych x , y , λ.
Ak trojica x0, y0, λ0 je rie²ením tejto sústavy, tak bod(x0, y0) ∈ P je kandidátom na to, ºe v ¬om funkcia f môºema´ viazaný (lokálny) extrém pri väzbe g(x , y) = 0 (lokálnyextrém vzh©adom na mnoºinu P).
O tom, £i v tomto nájdenom stacionárnom bode leºiacom vmnoºine P má funkcia L (pri nájdenej hodnote λ = λ0) lokálnyextrém uº vieme rozhodnú´.
Pri h©adaní lokálnych extrémov funkcie y = f (x1, x2, . . . , xn) namnoºine P ⊂ D(f ) ⊂ En, pri£om mnoºina P je ur£ená väzbami(rovnicami) gi (x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . ,m, m ∈ N, m < n,sa situácia výpo£tovo komplikuje, ale princíp ostáva rovnaký.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.79
Ak sa z väzby dá jednozna£ne vyjadri´ jedna premenná alebonieko©ko premenných ako funkcie ostatných premenných, poich dosadení do pôvodnej funkcie f , úloha sa redukuje na vo©néextrémy.
Ak sa z väzieb nedá jednozna£ne vyjadri´ jedna alebo nieko©kopremenných pomôºeme si Lagrangeovou funkciou
L(x1, x2, . . . , xn) = f (x1, x2, . . . , xn) + λ1g1(x1, . . . , xn)+
+λ2g2(x1, . . . , xn) + · · ·+ λmgm(x1, . . . , xn),
kde λi ∈ E1, i = 1, 2, . . . ,m. Ak nájdeme (vo©ný) lokálnyextrém funkcie L, ktorý leºí na mnoºine P, potom v tomtobode má funkcia f viazaný lokálny extrém pri daných väzbách(lokálny extrém vzh©adom na mnoºinu P).
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.80
V tejto £asti vyuºijeme poznatky prezentované v predchádzajúcichdvoch £astiach, a to na h©adanie maxima a minima, resp. najv䣲eja najmen²ej hodnoty funkcie viac premenných na nejakej mnoºineM ⊆ D(f ). Globálne maximum a globálne minimum funkcie f namnoºine M nazývame globálne (absolútne) extrémy funkcie f namnoºine M. Pre funkcie viac premenných je situácia analogická akov prípade jednej premennej. V na²om prípade existenciu globálnychextrémov spojitej funkcie f na uzavretej, ohrani£enej mnoºine Mzaru£uje Weierstrassova veta o maxime a minime, av²ak ni£ námtáto veta nehovorí o tom ako ich nájs´. Praktický návod ako nájs´globálne extrémy dáva nasledujúca veta.
Veta 6.2
Nech funkcia f je spojitá na uzavretej, ohrani£enej mnoºineM ⊂ En. Potom funkcia f nadobúda globálny (absolútny) extrémna mnoºine M bu¤ v bode lokálneho extrému leºiaceho vo vnútrimnoºiny M alebo v niektorom hrani£nom bode mnoºiny M.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.81
Pri h©adaní extrémov budeme postupova´ nasledovne:
Nájdeme v²etky tzv. �podozrivé� body (podozrivé z toho, ºe byv nich funkcia f mohla ma´ globálny extrém na danej mnoºineM).Pod©a predchádzajúcej vety sú to tieto body:
body leºiace vo vnútri mnoºiny M, v ktorých funkcia f môºema´ lokálny extrém;body leºiace na hranici mnoºiny M, v ktorých funkcia f môºema´ viazaný extrém vzh©adom na hranicu mnoºiny M (viazanýextrém na hranici mnoºiny M);
Vypo£ítame funk£né hodnoty funkcie f vo v²etkých�podozrivých� bodoch a najv䣲ia (najmen²ia) hodnota z nichje globálne maximum (globálne minimum) funkcie f namnoºine M.
Diferenciálny po£etfunkcií viacerých
premenných
Parciálnaderivácia funkcieviac premenných
Diferencovate©nos´funkcie a jejdiferenciálDerivácie adiferenciályvy²²ích rádov
Taylorov vzorec
Lokálne extrémyfunkcie viacpremennýchViazané aglobálne extrémyfunkcie viacpremenných
6.82
Nieko©ko jednoduchých úloh:1 Ur£te najmen²iu vzdialenos´ bodu B = (1, 10) od paraboly
y2 = 4x pomocou diferenciálneho po£tu funkcie viacpremenných.[d =
√45]
2 Pomocou diferenciálneho po£tu funkcie viac premenných naploche z = 3 + xy nájdite bod, ktorý je najbliº²ie k po£iatkusúradnicovej sústavy.[A1 = (−
√2,√2, 1),A2 = (
√2,−√2, 1); d =
√5]
3 Aké sú rozmery pravouhlého otvoreného bazénu, ktorý má pridanom objeme V najmen²í povrch?
[a =3√2V , b =
3√2V , c =
12
3√2V ]