Capítulo 1
Gabaritos de Exercícios: esforcos,
tensões
Prof. Paulo de Tarso R Mendonça,
UFSC - Universidade Federal de Santa Catarina,
Departamento de Engenharia Mecânica,
Grante - Grupo de Análise e Projeto Mecânico, 01/04/2014.
1.1 Mecânica dos sólidos B, parte I
Questão B2P-2001-2-Q1a
Determine as equações dos esforços e esboçe os diagramas. Dados: = 1000 mm, = 5 kN/m.
L/2 L/2L/2 L/2A AB BC C
q q
Solução:
L/2A B C
q
VCVA
Reações →
⎧⎪⎨⎪⎩ + =
2
=
2· 4
⇒ =
8, =
3
8
Esforços:
i
ii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
Trecho AB −→
Trecho BC −→
A S
M
x
3qL8
MS C
( - )L xqL8
+3
8−
22 = 0
=⇒ () =
22 − 3
8
() = (− )
8
Questão B2P-2001-2-Q3
Determine o deslocamento axial da seção C da barra. Dados: = 1000 mm, = 5 kN, = 200000
MPa, seção transversal × = 50× 75 mm.
A2A 2A
L/3 L/3 L/3
F
A B C D
Solução:
O problema é hiperestático.
A2A
L/3
F
A B C D
RDRA
N F - RD
- RD
x
Reações:
= −
Deslocamento na seção D:
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões iii
=
2+
32+
32= 0
2( −)
2 · 3 +( −)
6−
6= 0
2− 2+ −− = 0
3 = 4 =⇒ =3
4=
3 · 5 · 1034
= 3750 N
Reação em A: = −
= − 34=
4= 1250 N =
Deslocamento em C:
=
32=
3
4 · 6 =5 · 103 · 103
8 · 200 · 103 · 50× 75 = 83310−4 mm =
Questão B1P-1998-2-Q2
Um vaso de pressão em aço tem diâmetro de 500 mm médio e espessura de parede = 6 mm. Suporta
uma pressão interna = 2 MPa e uma carga = 140 kN como mostra a figura. Considerar que o
vaso funciona globalmente como uma viga engastada, de seção tubular circular, sob flexão e torção,
além de suportar a pressão interna. a) Determine as tensões nos pontos A e B; b) Mostre as tensões
num elemento diferencial para A e B; c) Esboçe os círculos de Mohr para A e B; d) Calcule a tensão
cisalhante máxima em ambos os pontos; e) Calcule o coeficiente de segurança no ponto para o critério
de Tresca. = 250 MPa.
L = 1000 mm
F F
B
AA
B
Espessura da parede 6 mm.
a) Determine as tensões nos pontos A e B;
Solução:
Tensões de Torção
=R2 = 32 = 5 89 · 108 mm4. Torque: = = 35000 Nm
Em A e B as tensões de torção são as mesmas:
=
=
2
=140000× 25025 89 · 108 = 14 9 MPa =
Tensões devido à Pressão em A e B
2
=2× 2502× 6 = 41 7 MPa (axial)
= 83 3 MPa (tangencial)Tensões devido à flexão: diâmetros externo e interno: = 250 mm e = 494 mm.
Flexão em A −→ = 0
Flexão em B =
64(4 − 4)
64(5064 − 4944) = 2 95× 108 mm4
=
=140 · 103 × 103 × 250
2 95 · 108 = 118 8 MPa
b) Mostre as tensões num elemento diferencial para A e B;
iv Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
Solução:
t
xA
= = 41 7 MPa,
= = 14 9 MPa,
= = 83 3 MPa,
t
xB
= = 83 3 MPa,
= 14 9 MPa,
= − = 41 7− 118 8 = −77 1 MPa,
c) Esboçe os círculos de Mohr para A e B;
Solução:
A:
X
MÁX
T
B2 T
1X
max =
sµ−77 1− 83 32
¶2+ 14 92
max = 81 6 MPa
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões v
d) Calcule a tensão cisalhante máxima em ambos os pontos.
Solução no Ponto A:
12 =
µ +
2
¶±sµ
+
2
¶2+ 2
=41 7 + 83 3
2±sµ
41 7− 83 32
¶2+ 14 92
= 62 5± 25 59=
½88,1 MPa
36,9
¾max =
1
2= 44 0 MPa
Coeficiente de seguraça pelo Critério de Tresca: max =
2−→ 44 0 =
250
2⇒ = 2 8
Questão B3P-2002—1-Q1
Determine os esforços na treliça.A
C
B
F
F
Solução:
(a) Reações
Σ −→ + =
Σ −→ =
Σ −→ + =
2
=⇒ = 0 5 − 0 866 = 0 5 + 0 866
(b) Esforços
RC C
60o
NBC
NAC
Σ −→ sen60 = 0 5 − 0 866Σ −→ + cos 60 = 0
=⇒ = 0 577 − = −0 289 + 0 5
vi Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
RA
F
A
60o
NAC
NAB
Σ −→ sen60 = 0 5 + 0 866
⇒ = 0 577 +
( = 1 577 F)
Questão B3P-2002—1-Q2
A viga ABC tem seção uniforme com = , determine os esforços.
A
y
z
a
F
B
b
x
C
Solução:
z V , Mz z
Fb
V , Mx x
V , My y
y
x
(a) Reações
Σ −→ = 0
Σ −→ =
Σ −→ = 0
Σ −→ + = 0
Σ −→ = 0
Σ −→ =
=⇒F
b
Fb
Fa
F
a
(b) Esforços
AB
x
F Mz
MtFb
= =
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões vii
BC F
C
b - z = (− )
Questão B3P-2002—1-Q3
Determine os esforços.
L
q
Solução:
A C B
f
x
2
R B = qL f+ 2
RA = qL f +
Esforços:
M
A
x
qL f + 2
+2
2=
µ+
2
¶
=⇒ (+ )
2− 2
2
Questão B2P-2001-2-Q1
Determine os esforços. Dados: = 1000 mm, = 5 kN/m, = 200000 MPa, × = 50× 75.
a)L/2 L/2
A B C
q
Solução:
Reações:
viii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
L/2 L/2
A B C
q
RA = qL4
RB = 3qL4
+
2=
2=
2· 4
=⇒ =
4= 1 25× 105 N
=3
4= 3 75× 105 N
Esforços
AB −→qL4
xA S
M
() =
4= 1 25 · 105
BC −→
M
( - )L xS C
= +
2(− )2 = +
2(22+ 2)
= 2 5 · 109 − 5 · 106+ 2 5 · 1032
Questão B2P-2001-2-Q3
Determine a rotação torcional da seção C. Dados: = 1000 mm, o módulo elástico é = 209000
MPa, o coeficiente de Poisson é 0,229. A seção trasversal tem momento polar = 40000 mm4. O
torque aplicado em C é = 106 Nmm
J2 J
L/3 L/3 L/3
T
A B C D
Solução:
O problema é hiperestático. As reações em A e D são definidas por S e R, respectivamente. Por
equilibrio, tem-se que = + .
Os esforços são obtidos pelo métido das seções, considerando R como conhecido:
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões ix
J2 J
L/3 L/3 L/3
T
A B C D
S R T = + T
R
Mt
++ x
R = MCD
M R T MAB BC= ( + ) =
A rotação em D é sabidamente nula. Logo, a rotação de D em relação a A (que é zero) é:
− =
3+
32+
32= 0
+2(+ )
2 · 3 +(+ )
6+
6= 0
−→ 2+ 2++ + = 0
4+ 3 = 0 =⇒ = −34= −7 5× 105 Nmm
Conhecido , usamos a equação de equilibrio para obter a reação :
= +
= −34+ =⇒ =
4= 2 5× 105 Nmm
Ângulo de Rotação na seção C é calculado em relação à seção D, que esta engastada:
− =
6=− 324
= − = −3 · 106 · 10324× 85 · 103 × 40× 103 = −0 03676 rad
= 2 1060
Questão B-prova substituta-Q1
Determine os esforços. = 10 kN, = 1 em todas as barras.
x Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
1
2
3
4
5
F
3 m
3 m
3 m
Solução:
1
2
3
4
5
F
3 m
3 m
3 m
R F= 2
F
R F = 2
4o
1o1o
3o
Reações
3 = 6 −→ = 2
15 = = 3 m
14 =
cos= 1 414 = 4 24 m
Esforços
- 20corte
12 = −
N12
N14
N15
2 F
12 +14 sen + 2 = 0
14 cos+15 = 014 = −1 414 F
- 10corte - 30corte
N45
N15
2 F
F15 =
45 = 2
F
N23 N34
+23 cos = 0
34 +23 sen = 0
23 = −1 414 F34 =
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xi
N23 = -1,414 F
N24
N - F12 =
23 cos+24 = 024 =
1
- F
2
- 1,41
4 F
F 3
4
5
+ F
+ 2 F
F
2 F2 F
+ F
+ F
- 1,41
4 F
Questão B-prova substituta-Q2
Determine a equação de esforços de momento fletor (), para a carga distribuida senoidalmente,
na direção . Dados: .
A B
L
p(x) = p sen 0 xL
Solução:
Reações:
R R
2 =
Z
0
sen
= −
cos
¯̄̄̄0
=
Esforços: corte numa coordenada , medida a partir da seção A em direção a B. Define-se uma
coordenada auxilar , com origem em A, dirigido a B, que posiciona um elemento diferencial de
comprimento (erro na figura). Na posição atua um elemento diferecial de força = (), cujo
momento em relação à seção do corte é = .
P L
M
Sds
() +
−Z
=0
()(− ) | {z }
= 0
xii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
O valor da integral é: =
−
µ
¶2 sen
. Assim, a equação do esforço de momento
fletor é
() = −µ
¶2sen
Questão B3P-2000-2-Q1
Determine os esforços na treliça.
B
A C
D
F
2 L
L
= 1 m,
= 15 kN,
= 10× 10 mm2 = 210 GPa.
Solução:
a) Reações
=
· 1 = · 2⇒ = 2
b) Esforços
- 10corte - 20corte
N AC = 0
N CD = 0
C
2 F
F
NAB
NBD
B = 2
=
- 30corte
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xiii
F/2
F
NAD
0
Σ → cos + 2 = 0
tg =1
2→ = 26560
cos = 0 894 = −2 237 F
Resultados:
A
B
C
D
0
0F
2 F
- 2,237 F
cos = 2 = 2 237 m
Questão B3P-2000-2-Q2
Considere o eixo de seção tubular tronco-cônica, de espessura , sob torque aplicado na extremidade
livre B. Determine a expressão para o ângulo de torção na extremidade B, em termos de 1, 2,
, , e Não é necessário realizar integrações.y
x
R1
L
R2T
Solução:
R1 = 50
x
L = 1 mA
B
R 2 = 25
T
a) Achar momento polar de inércia (). Numa dada seção de coordenada o momento polar
é = (4 − 4 )4, onde − são o raio externo e interno da seção. Como a seção varia, esses
raios são função de , da mesma forma que . A equação do raio médio () em é obtida por:
R1
0
r
x L
R21 −
=
1 −2
Logo,
= 1 − 1 −2
O momento de inércia para uma seção anular fina pode ser obtido diretamente em termos do raio
médio da seção e de sua espessura, sendo dado por: = 23. Usando a relação () tem-se
xiv Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
() = 2
∙1 − 1 −2
¸3b) Ângulo de torçao em B em relação à seção A, sabendo que = 0:
− =
Z
0
() =
2
Z
0
∙1 − 1 −2
¸3 Para o caso em que 1 ≥ 1 −2, o resultado fica:
=4
2
(1 −2)
232122
.
Questão B3P-2000-2-Q1.1
Determine os esforços. = 10 kN, seção transversal das barras com área = 10× 10 mm2, = 210GPa.
F
32
1 5
4
2 L
L
Solução:
F = 10 kN
32
1 5
4
2 = 2 mL
L = 1 m
F/2 F/2a) Esforços
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xv
0
0 0
0
0,5 F
- 0,70
7 F
- 0,707 F13 = 1 414 m
Questão B3P-2000-2-Q1.Q2
Considere a barra de seção circular submetida a um torque distribuido (Nm/m). Determine uma ex-
pressão analítica para o ângulo de torção na extremidade livre, em termos de , , e . Particularize
para diâmetro = 10 mm, = 2 m, = 100 Nm/m.
t (Nm/m)
BL
A
Solução:
t =100 Nm/m
L = 2 m
L - x
To
x
a) Esforçost =
To
L x - Mt
=⇒ = (− ) + 0
b) Ângulo de torção
=
Z
0
=
Z
0
2[(− )+ 0]
2 =
2
2=
Questão BRec-2001-2-Q1
Determine o esforço de momento fletor em termos de , , e do momento concentrado0, na direção
aplicado na seção C.
xvi Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
L/2 L/2
A B C
y
x
M0
Solução:
Reações:
A M0
RA RB
L/2
Σ −→ =
Σ −→
2=0
⇒ =20
=
Esforços
−→
RA
x
A MAB
=20
−→MBC M0
=0
Questão BRec-2001-2-Q2
Determine os esforços na treliça. As barras têm seção com = . = 40 kN, = 200 GPa e
área da seção transversal das barras = 100 mm2.
Solução:
Reações:
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xvii
R
0,5
F
B 1 m
F
C
AR F = 2
· 0 5 = · 1⇒ = 2
Esforços
Corte em torno de B:P −→ = = 2P −→ =
2 F B
NAC
N FAB =
(Trocar B por A no nó.)
Corte em torno de A:P −→ 2 + sen = 0
=⇒ = − 2
sen =−2 24 =
tg = 105
= 63 40
sen = 0 894
Os esforços nas barras AD e Cd são nulos.
Questão B3P-2002-2-Q1
Determine os esforços no pórtico aberto. Dados: seção tranversal 20×20 mm2, = 1000 N, = 210GPa.
a = 2 m
y
x
c = 1 m
b = 1 m
A
B C
D
F
Solução:
(a) Esforços - Momento fletor
xviii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
y
xA
B C
D
F
r
Corte no trecho AB:
M AB
B C
DF
a - y
c - y + (− ) = 0
Corte no trecho BC:
C
D
F
M BC
= =
= 1 m
Corte no trecho CD:M CD
r
F
=
Questão B3P-2002-2-Q2
Considere a teliça com barras de comprimento = 1m, seção tranversal de área 10×10 mm2, material = 210 GPa, força = 1000 N. Determine os esforços.
1
2 4
35
F
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xix
Solução:
Definr eixos com origem no nó 1, orientado para o nó 5. Reações:
1
2 4
3 5
1o
2o
V F1 = /2 V F5 = /2
= 600
sen = 0 866
cos = 0 5
(a) Esforços normais
- 10corte:
N12
N13
F/2
Σ → 12 cos +13 = 0
Σ → 12 sen +
2= 0
⇒ 12 = −0 577 F13 = 0 289 F
- 20corte:
N12 N23
N24 Σ → 12 cos −23 cos −24 = 0
Σ → 12sen +23sen = 0
⇒23 = 0 577 F
24 = −0 577 F
Resumo:
1
2 4
3 5
- 0,577 F
- 0,5
77 F
0,577 F
+ 0,289 F
Questão B3P-2002-1-Q1
A treliça ABC tem barras com EA uniforme, sob cargas 1 = 2 = 40 kN, 3 = 50 kN. Determine os
esforços. Dados: = 200 GPa, = 100 mm2.
xx Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
F1A 30o
1,5 m
B
60o
0,75 m
F2
F3
C
Solução:
A
30o B60o
F2
C
50
40
RA RB
b = 0,375
0,75 m h = 0,65
HB1,5 m
(a) Reações
Σ → = 2 + 40
Σ → + = 50
Σ → 2 0 65 + · 1 5− 50× 0 375 = 0
=⇒ = 12 5− 0 433 2 = −4 82 kN = 37 5 + 0 433 2 = 54 82 kN
= 40 + 2 = 80 kN
(b) Esforços
NAC
30o
NAB
RA
A40Σ → + cos 30
0 = 40
Σ → sen 300 =
⇒ = 2 = 25000− 0 866 2 = 40− 1 73 = 18 375 + 0 75 2
NBC
NAB 60o B
HB
RB
Σ → sen600 =
= 1 155 = 43 3 + 0 5 243 25 + 0 52 =
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxi
Questão B3P-2002-1-Q2
A viga ABC tem seção uniforme com uniforme, de seção circular. Determine o ângulo de rotação
da seção C na direção .
A
y
z
aB
b
C
x
T
Solução:
Reações: a única reação é o momento na seção A, dado por = − .y
z
xa
b
A B
C
T
R = T
Esforços
Trecho AB −→Flexão, dado por = .
Trecho BC −→
Mt
T
Torção
=
Rotação em C. O ângulo de rotação em C, relativo a A é o ângulo de rotação de C relativo a B,
, que é devido à torção, mais o ângulo de B em relação a A, , que é devido à flexão:
= + =
+
=
µ
+
¶=
Questão B3P-2002-1-Q4
Os três segmentos de vigas têm mesmos valores de e comprimento . Determine os esforços.
xxii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
F
B
A
C
D
Solução:
Reações:
F
B
A
C
Dx
R = FA
R = FLMA y
Esforços
Trecho AB −→
FFL
x
M
=
Trecho BC −→
y
M C
D
F
=
Trecho CD −→ = 0
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxiii
Questão B2P-2002—2-Q3
Determine os esforços. Dados: , , , , .q
Bx
y
A a b C
Solução:
q
B
x
y
A a b C
S
RA RB
Reações
Σ−→ + − = 0
Σ −→ − 2
2= 0
=⇒ =
2
2
=
2(+ 2)
Esforços AB −→
A MAB
x
RA
() = −
Esforços BC - usando coordenada com origem em B:q
C
b - S
MBC () = −2(− )2
Outra forma, usando coordenada :x
A B
a
RA RB
MBC() = −
2(− )2 + −
Questão B1P-2002—2-Q1
Determine os esforços na seção aa.
xxiv Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
3 m
F = 125 kN
2 m
a
aB 1,5 m
G = 50 kN
2,5 m
C
DA
1 m
Solução:
a) Reações
y
x
F
G
D
RDRA
HA
A
Σ ⇒ = = 50 kN
Σ ⇒ + =
Σ ⇒ (3)−(2 5)−(5) = 0
= 50 kN
= 75 kN
b) Método das Seções. Corte em :
N
MS
V
C
G = 50
2,5 m
1 m
RD = 50
Σ −→ = sen + cos = 0
Σ −→ = sen − cos = 0
Σ −→ +(0 75)−(1) = 0
tg =1 5
2⇒ = 36 870 −→ sen = 0 6
cos = 0 8
=⇒ = 12500 Nm = −70 kN = 10 kN
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxv
Questão B1P-2002—2-Q2
A seção é circular maciça. Dados: = 250 MPa.
A
B
Fz= 4 kNFy = 2,5 kN
y
z
x
450 mm
350 m
m
PD
a) Determine os esforços na seção D (engaste).
b) Determine o diâmetro necessário . Use o critério de Tresca para inicio de escoamento. Analise
apenas o ponto P de coordenadas (; ; ) = (0; 0; /2). Ignore o efeito do esforço normal . (Esboçe
o círculo de Mohr).
Solução:
Esforços na seção do engaste.
N; My
z
V , MZ Z
x V , MX X
B
y
Fy
Fz
A
Cortante Σ −→ = 0
Axial Σ −→ = = 2 5 kN
Cortante Σ −→ = = 4 kN
Flexão Σ −→ = (450) = 1 8 kNm
Torção Σ −→ = (350) = 1 4 kNm
Flexão Σ −→ = −(350) = −0 875 kNm
No ponto P os esforços importantes são: (uma vez que o momento fletor não provoca tensão
normal em P)
Torção = 1 4 kNm
Flexão = 1 8 kNm
xxvi Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
=2
=16
3
=2
=32
3
Plotar pontosX (; )
Y (0; −) Y
X
1 2 3 4 (16/ d )3
MÁX
max =
sµ −
2
¶2+ 2 =
sµ32
23
¶2+
µ16
3
¶2max =
16
3
q2
+2 =
16
3
√18002 + 14002 =
11613 7
3
µ
2
¶Critério −→ max =
2−→ 11613 7
3=250 · 106
2⇒ = 45 3 mm
Questão B1P-2002—2-Q3
O vaso de pressão é montado horizontalmente como indicado. O diâmetro médio é = 300 mm,
a espessura da parede é = 9 mm e a pressão interna = 2 MPa. Existe aplicada uma carga
distribuída uniforme para baixo, de = 300 N/m.
L = 9 m
l/2
A
y
x
a) Determine o estado de tensões no ponto A, localizado em ( ) = (0;−2;0).
b) Determine o coeficiente de segurança quanto ao início de plastificação em A, pelo critério da
tensão cisalhante máxima. Esboçe o círculo de Mohr. Dados: = 250 MPa.
Solução a):
A
t
pressão
a
pressão + x x
flexão =
Pressão
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxvii
=
=2× 1509
= 33 3 MPa
=
2= = 16 7 MPa
Flexão
q
L/2
qL/2 qL/2
M
L/2
qL/2
q
+2
8− 2
4= 0
=⇒ =2
8= 3 038 · 106 Nmm
= 2
= 4 77 MPa, =
64(4
−4 ) = 95 5 · 106 mm4
A
y = 33,3 MPa
x = 16,7 + 4,77 = 21,44 MPa
Solução b):
X (; 0)
Y (; 0)
YX
MÁX
3 = 0
1x
max =1
2=33 3
2= 16 7 MPa.
Critério de Tresca: max =
2−→ 16 7 =
250
2=⇒ = 7 49
Questão B?P-2002-2-Q1
Determinar os esforços na seção .
xxviii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
1 m
1 m
1 m
1 m1 m
a a0,5 m 20 kN/m
Articulação
Solução:
a) Reações. O problema é Hiperestático.
A
B C
D E F
HF
VF
20 kN/m
VA
HA
Σ → =
Σ → + = 20
Σ → 20(2)− (3)− (1) = 0
Corte em C:
A
C
VA
HA
MC
Σ → +(2)− (1) = 0
=⇒ = 2
Logo, = 8 kN = 4 kN = = +12 kN
Questão B?P-2002—2-Q2
Seção no trecho AB é circular maciça com diâmetro . Dados: = 150 MPa.
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxix
z
y
x
a = 0,6 m
b = 0,5 m
d
A
L = 2 m
B
C
D
P = 1 kNF = 20 kN
a) Determine os esforços em A.
b) Determine o diâmetro d. Use o critério de Tresca para inicio do escoameto. Esboçe o círculo
de Mohr. Analise apenas o ponto A de coordenadas (0; -/2; 0). Ignore o efeito do esforço normal
na seção.
Solução a):
Corte AA
xxx Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
x
y
z
V , Mz z
N, Mx
M , Vy y
A
FP
Axial Σ −→ = = 20 kN,
Cortante Σ −→ = = 1 kN,
Cortante Σ −→ = 0
Torção Σ −→ = − = −600 Nm,Flexão Σ −→ = = 12000 Nm,
Flexão Σ −→ = −+ = 8000 Nm.
Solução b):
Esforços:
Torção = −600 Nm,Flexão = −2000 Nm.Tensão máxima:
max =16
3
q2
+2 =
16
3
√6002 + 20002 =
10634
3
µN
m2
¶Critério de Tresca −→ max =
2−→ 10634
3=250 · 106
2⇒ = 44 0 mm
Questão B3P-2004—1-Q1
Determine os esforços na treliça. Faça a análise de falha por por início de escoamento.
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxxi
F
F = 10 kN
2 m
1 m 1 m 1 m 1 m
= 210000 MPa,
= 580 mm2
= 9 · 104 mm4 = 200 MPa.
Solução:
F
F
RIX = 101
1
3
3
7
44
5
5
6S1
R3
2 m2 mR1
1 22
116,6o1
a) Reações
Σ −→ 1 = = 10 kN
Σ −→ 1 −3 − 10 = 0Σ1
−→ − (1) + (2)−3(4) = 0
=⇒ 3 = 2 5 kN
1 = 12 5 kN
b) Esforços
N35
1
R 3 = 2,5
N23
tg 1 =2
1→1 = 63 43
0
Σ ⇒ 23 +35 cos 1 = 0
Σ ⇒ 35 sen1 = 2 5 −→ 35 = 2 795 kN = 6−→ 23 = −1 25 kN = 6
N1
1
12,5
10
N3
Σ → 1 +3 cos 1 + 10 = 0
Σ → 3 sen1 + 12 5 = 0
−→ 3 = −13 9751 = −3 75
xxxii Resistência dos Materiais e Introdução à Análise Estrutural
N7 F
N 6 = + 2,795N5
c) Tensões
1 2 3
4 5
N = - 13,98
= - 24,1
N = - 7,50
= - 12,9
N = - 3,75 kN
= - 6,47 MPa
N = - 1,25
= - 2,16
N = + 2,795
= 4,82
N = - 2,795
= - 4,82
N = + 2,795
= + 4,82
d) Escoamento - Apenas as barras tracionadas, uma vez que as comprimidas deverão ser anal-
isadas quanto a flambagem. As barras tracionadas são 4 e 6, com = 4 82 MPa. Pelo critério de
Tresca −→ =
=200
4 82= 41 5
Questão B8P-1995—2-Q1
Para a viga mostrada abaixo, sob torques concentrados, = 1 kNm, e forças transversais 1 = 0 8 kN
e 2 = 1 2 kN, determine o coeficiente de segurança , usando a teoria da máxima tensão cisalhante.
Os apoios A e D são de rolamentos. = 250 MPa, seção circular com diâmetro = 40 mm. Mostre
as seguintes etapas de cálculo:
a) Diagramas de esforços; quais os esforços na seção a direita de B e a esquerda de C?
b) Tensão cisalhante máxima;
c) Cálculo do coeficiente de segurança quanto ao inicio do escoamento.y
xd
P1
P2
TC TC
0,5 m1,0 m0,5 mzSolução:
Considerar sistema de eixos com origem na seção A (apoio esquerdo), com orientado para o apoio
direito (seção D).
Forças no plano . As reações em A e D são: = 0 751 = 0 6 kNm, e = 0 251 = 0 2
kNm. Os esforços são:
Capítulo 1. Gabaritos de Exercícios: esforcos, tensões xxxiii
Trecho AB: () = −, para ∈ (0; 0 5)m.Trecho BC: () = −(2− ), para ∈ (0 5; 2) m. Momento máximo em B: = −0 3
kNm, e em C, = −0 1 kNm
Forças no plano . As reações em A e D são: = 0 252 = 3 kNm, e = 0 752 = 9
kNm. Os esforços são:
Trecho AB: () = −, para ∈ (0; 0 1 5)m.Trecho BC: () = −(2−), para ∈ (1 5; 2)m. Momento máximo em C: = −0 45
kNm, e em B, = −0 15 kNm
Esforços de torção no trecho BC: = − = −1 kNm.
Uma vez que a seção é uniforme, a seção crítica é a C. O momento de inércia da seção é = 4
64=
125 7 · 103mm4. A tensão normal máxima na seção C é = 73 2 MPa, e a tensão cisalhante devidoao esforço de torção é = 79 6 MPa. A tensão cisalhante máxima absoluta no círculo de Mohr é
max =
r24+ 2 =
r73 22
4+ 79 62 = 87 6 MPa.
O coeficiente de segurança quanto ao início do escoamento é: =2max
= 2 85