COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – GEOMETRÍA – 5TO. AÑO
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003
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Nacido en el año 1793. Es conocido por la ruptura con el pasado geométrico de Euclides.
Con su obra “PANGEOMETRÍA” este geómetra ruso rompió definitivamente con el pasado Euclidiano.
Fue criticado duramente, nadie le entendió ni le hizo caso, hasta que su memoria fue traducida al francés, en 1837 y al alemán en 1840.
Para Lobatschewski, las paralelas eran “RECTAS COPLANARÍAS QUE NO SE ENCUENTRAN POR MUCHO QUE SE LAS PROLONGUEN”.
Existe otra teoría suya que rompe con el postulado de Euclides.
RELACIONES MÉTRICAS EN LOSTRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
RELACIONES MÉTRICAS EN LOSTRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
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1. TEOREMA DE EUCLIDES
1er Caso: si: < 90º
a2 = b2 + c2 – 2bm
a, b, c: son ladosm: proyección o sombra de sobre .
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Ejemplo: Hallar: “x”
2do Caso: si: > 90º
a2 = b2 + c2 + 2bm
a, b, c: son ladosm: proyección de sobre
Ejemplo: Hallar: “x”
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2. TEOREMA DE LA MEDIANA
a, b, c: son ladosx: mediana relativa
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NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 7 QUINTO AÑO
A C
B
mb
ac
53º
8
5 x
¿QUÉ SIGNIFICA RELACIONES MÉTRICAS?
¿QUÉ ES UNA PROYECCIÓN?
m bA C
B
ac
120º
4x
3
A M C
B
c ax
b
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Hallar: “x”
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3. TEOREMA DE HERÓN(Para calcular alturas)
h: Altura relativa a AC = bb: Lado relativo a la alturap: Semiperímetro
Mira:
Si:
Ejemplo: Hallar: “h”
4. CALCULO DE LA BISECTRIZ INTERIOR
x2 = c x a – m . n
x: Bisectriz
c y a: Lados
m y n: Segmentos determinados por la
Bisectriz
Hallar: “x”
Calcule “x” en cada caso:
1.
2.
3.
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PROFE, NO ENTIENDO, HAGA UN EJEMPLO
4 5
6
x
A C
B
b
hb
cb
ab
8
4 6
14
14 15h
A C
B
c ax
m n
NO ENTIENDO
6 8
3 4
x
5 x
37º
6
5
x
127º
2
3
2 4
x
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4.
5.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. En un triángulo ABC de lados 6, 8 y 9, se desea hallar la proyección del lado menor sobre el lado mayor.
a) 19/15 b) 19/16 c) 20/13d) 21/12 e) 22/13
2. Dado un triángulo ABC, se cumple:
Hallar: m∢ A; si: BC = aAC = bAB = c
a) 30º b) 37º c) 45ºd) 53º e) 60º
3. Los lados de un triángulo ABC: AB = 5, BC = 4 y AC = 2; calcular la proyección de
sobre .
a) 3/4 b) 5/4 c) 2/5d) 3/5 e) 2/3
4. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior ; por un punto “M” de , se
traza una paralela a que corta en “N” a
. Hallar la distancia de “N” a ; AN =
y AM = 5.
a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 3,5
5. En un trapecio de lados no paralelos 13 y 15, hallar la altura del trapecio si las bases miden 6 y 20.
a) 10 b) 12 c) 11d) 9 e) 13
6. Calcular: BH; AB = 4, BC = 3, AC = 2
a)
b)
c)
d)
e)
7. En un triángulo de lados 5, 6 y 7. Hallar la altura intermedia.
a) b) c) 2
d) 3 e)
8. Hallar el lado del rombo.Si: AM2 + MD2 = 10
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
9. Hallar: AE2 + EB2
a) R2 + r2
b) 2(R2 + r2)
c) 3(R2 + r2)
d)
e) 2R2 + r2
10. Hallar: “x”
a)
b)
c)
d)
e)
11. En un trapecio isósceles ABCD de bases: ; se traza la mediana: (M en
y N en ). Hallar: “MN”.Si: CM = 6, MD = 8 y CD = 12
a) b) c)
d) e)
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4 5x
7
4
6
9
6x
B
HA C
A D
B CM
A
B
E
RrR
5
7
3
x
O
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12. En un triángulo ABC, se desea hallar la proyección de la mediana sobre conociendo que AB = 5, AC = 7 y BC = 8.
a) 27/7 b) 16/7 c) 18/7d) 21/11 e) 23/11
13. Hallar la bisectriz en un triángulo ABC; AB = 6, BC = 8, AC = 7.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
14. Hallar: (a x b)
a) 182b) 192c) 172d) 162e) 100
15. Hallar:
a)
b) 3c) 2
d)
e)
TAREA DOMICILIARIA Nº7
1. Hallar: “x”
a)
b)
c)
d) 5e) 4
2. En un triángulo de lados 2, 3 y 4 calcular la proyección del menor lado sobre el lado intermedio.
a) 1 b) 1/2 c) 2/3d) 3/2 e) 4/3
3. Hallar: “x”
a)
b)
c) 6
d)
e)
4. En un triángulo ABC; AB = c; BC = a y AC = bHallar: m ∢ A; si se cumple: a2 = b2 + c2 – bc
a) 60º b) 120º c) 45ºd) 30º e) 135º
5. Hallar la mayor altura de un triángulo de lados: 2, 6 y 6.
a) b) c)
d) 6 e) 5
6. Hallar: “h”
a) 2b) 3c) 4
d)
e)
7. Hallar “h”
a) 3b) 4c) 5
d)
e)
8. En un triángulo de lados 7, 8 y 9, hallar la menor altura.
a) b) c)
d) e)
9. Hallar: (AM2 + MD2). En el rombo de perímetro 8.
a) 10b) 5c) 15d) 20e) 30
10. Hallar: “x”
a) 7b) 8c) 9d) 10,5e) 12,5
11. Hallar: “MN”; MP = 2, MQ = 3, PQ = 4
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166
6
812
a
b
46
5
x
4 x
5
2
5
x
143º
3 6
5
5
5
h54
A D
CBM
7 24
25
x
P
M Q
N
60º
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a) b) c)
d) e)
12. En un triángulo de lados 6, 7 y 8, calcular la menor mediana.
a) b) c)
d) e)
13. Hallar la bisectriz interior intermedia en un triángulo de lados 6, 7 y 8.
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
14. Hallar: “x”
a)
b)
c) 3d) 4e) 5
15. Hallar: “x”
a) 5
b)
c) 4d) 1
e)
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512
10
x
46
2
x
