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Geometría
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Definiciones primitivas, segmentos y ángulos
NIVEL BÁSICO
1. Sobre una línea recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D. B es punto medio de
AC y CD=2 BC . Si AD=40, calcule AB.
A) 20 B) 10 C) 5D) 30 E) 25
2. Sobre una línea recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D además B es puntomedio de AD. Si AD=30 y CD=12, calcule BC .
A) 1 B) 3 C) 4D) 5 E) 2
3. De una línea recta se toman los puntos con-secutivos A, B, C y D, de modo que AD=30,
AC =14 y BD=20. Calcule BC .
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
4. Sobre una línea recta se ubican los puntos con-secutivos A, B, C , D y E . Si DE =2( AB), BC = CD y
AC =13, calcule BE .
A) 12 B) 26 C) 18D) 20 E) 24
5. Si Sa =3 C a , donde S y C representan el suple-mento y complemento de la medida de un án-gulo, respectivamente, calcule a .
A) 35ºB) 45ºC) 40ºD) 30ºE) 12º
6. Según el gráfico
m m m AOB BOC COA
5 6 7= =
Calcule m AOB.
A
B
C
O
A) 20º B) 40º C) 100º
D) 140º E) 50º
7. De acuerdo con el gráfico, OM
y ON son lasbisectrices de los ángulos AOB y COD , respec-tivamente. Calcule la m AOB si
m m m AOB BOC COD
2 4 6= =
A
M B C
N
D
O
64º
A) 30º B) 32º C) 24ºD) 16º E) 40º
8. En una línea recta se ubican los puntos conse-cutivos A, B, C , D y E .
Si AB BC CD DE
= = =
2 3 4 y AC =9, halle AE .
A) 20 B) 30 C) 40D) 27 E) 21
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Geometría
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NIVEL INTERMEDIO
9. Sobre una recta se tienen los puntos consecu-tivos A, B, C , D y E , de modo que AE =4 BD y
AD+ BE =80. Halle AB+ DE .
A) 80 B) 16 C) 48D) 64 E) 32
10. En una recta se ubican los puntos consecuti- vos M , N , P , Q y R. F y Q son los puntos me-dios de MN y PR , respectivamente, NP=4 y2 PF + PR =18. Calcule FN + QR .
A) 4 B) 9 C) 8D) 5 E) 10
11. En el gráfico, m BOD =90º ym AOD – m AOB=20º. Halle m COD .
O
D
B
C A
A) 55º B) 35º C) 25ºD) 40º E) 30º
12. Se trazan n ángulos consecutivos alrededor deun punto. Si la suma de medidas de sus com-plementos es 810º, halle n .
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 13
NIVEL AVANZADO
13. De una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AC =12. Si M y N son lospuntos medios de AB y CD, respectivamente,además MN =16, calcule BD.
A) 16 B) 12 C) 18D) 15 E) 20
14. Calcule la medida de un ángulo si se sabe quelos tres cuartos del suplemento de su comple-mento es 90º.
A) 15º B) 30º C) 45ºD) 60º E) 75º
15. Si αα
α α+ = −
C S
4 2 10, donde S y C representan
el suplemento y complemento de un ángulo,
respectivamente, calcule S2a .
A) 50º B) 100º C) 80ºD) 160º E) 130º
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Geometría
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Ángulos entre rectas paralelas
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, si L L
1 2 // , calcule a + b+ q+ w.
α
ω
θ
β
L 2
L 1
A) 180º B) 36º0 C) 540ºD) 270º E) 450º
2. Si L L
1 2 // y L L
3 4 // , calcule x+ y+ z .
L 1
L 3
L 2
L 4
30º
y
y
x
z
130º
A) 160º B) 80º C) 150ºD) 50º E) 40º
3. Si L L
1 2 // , calcule x .
4 θ4 α
α
x
θ
L 2L 1
A) 90º B) 135º C) 120º
D) 144º E) 108º
4. Según el gráfico, si L L
1 2 // , calcule a + b .
αα
α
αβ
β
β
2 βα L 1
L 2
A) 36º
B) 95º
C) 60º
D) 72º
E) 80º
5. Si L L L
1 2 3 // // , calcule x.
L 1
L 2
L 3
x +50º
150º
x +30º
140º
x
2 x
A) 10º
B) 20º
C) 30º
D) 35º
E) 15º
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Geometría
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6. A partir del gráfico, calcule x si a + b=140º yL L
1 2 // .
L 1
L 2
m
m
n
βα
x
n
A) 50º B) 110º C) 80ºD) 160º E) 130º
7. En el gráfico mostrado, L L
1 2 // , calcule x si q – b=40º.
θ
β
L 1
L 2
x
A) 40º B) 20º C) 30ºD) 50º E) 60º
8. Si L L
1 2 // , calcule x .
L 2
L 1
x
x
120º
A) 45º B) 20º C) 30ºD) 37º E) 60º
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, calcule x .
θ
θ
x 4 x
A) 50º B) 20º C) 30ºD) 18º E) 36º
10. En el gráfico, si L L
1 2 // , calcule x .
L 2
L 1
30º
40º
2 x
A) 10º B) 20º C) 30ºD) 35º E) 15º
11. Si L L
1 2 // , calcule x .
L 2
L 1
120º
x
140º
A) 60º B) 120º C) 80ºD) 110º E) 100º
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Geometría
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12. Si L L
1 2 // y a + b+ q=135º, calcule x+ y.
θβα
L 1
L 2
x y
76º
50º
A) 109º B) 93º C) 97ºD) 114º E) 100º
NIVEL AVANZADO
13. Si L L
1 2 // , calcule w+ q.
θ
ω
L 2
L 1
20º
80º
A) 60º B) 120º C) 80ºD) 140º E) 100º
14. Si L
1 2 // , calcule x .
L 2
L 1 m+n n
4 x x
a
a
m
A) 30º B) 18º C) 24ºD) 36º E) 37º
15. Según el gráfico, L L
1 2 // , BP es bisectriz delángulo ABC , m + a =70º y n – a =100º.Calcule x .
L 1
L 2
m
x
a A
B
C
n
P
A) 60º B) 50º C) 30ºD) 70º E) 80º
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Geometría
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Triángulo
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, calcule x.
20º
65º 110º30º
50º
x
A) 45º B) 60º C) 90ºD) 100º E) 120º
2. A partir del gráfico, calcule b + d – a – c.
50º 60º
a
d
b c
A) 10º B) 55º C) 110ºD) 80º E) 85º
3. Del gráfico, mostrado, calcule x .
A) 40ºB) 50º
α
α x
60º
a
40ºC) 60ºD) 70ºE) 80º
4. Del gráfico mostrado, calcule x.
α x
α β
β
100º
3 x
A) 50º B) 75º C) 25ºD) 20º E) 30º
5. A partir del gráfico, calcule x.
α
θ2 θ
2 α
2 x
3 x
5 x
A) 18º B) 20º C) 36ºD) 27º E) 30º
6. Del gráfico, calcule x .
θ + α
αθ
θ
4 x
3 x
2 x
A) 20º B) 14º C) 18ºD) 16º E) 15º
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Geometría
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7. En el siguiente gráfico, ¿cuál es la suma de me-didas señaladas?
α
θ
β ω
γ Φ
A) 405º B) 180º C) 390ºD) 450º E) 360º
UNMSM 2000
8. A partir del gráfico, calcule x+ y+ z .
40º
y
x
z
A) 360º B) 420º C) 320ºD) 400º E) 280º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, calcule x .
θ2 θ
108º x
2 αα
A) 72º B) 36º C) 24ºD) 54º E) 27º
10. Calcule x+ y.
ω
3 ωα 3 α
x
y
30º65º
A) 95º B) 105º C) 115º
D) 120º E) 150º
11. Del gráfico, calcule a + b+ q+ w+ f .
α
β
θ ω
Φ
A) 180º B) 270º C) 360ºD) 150º E) 240º
12. A partir del gráfico, calcule el valor de x .
β
β
130º
x
30º
A) 30º B) 25º C) 50ºD) 20º E) 15º
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Geometría
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NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, q+ b=180º. Calcule x.
θ
β
80º
50º
30º
x
A) 110ºB) 160ºC) 130ºD) 145ºE) 100º
14. En el gráfico, si m + n =30º, calcule x .
A) 20º
θ
θ m
ω
ω
x
n
100º
B) 25ºC) 30ºD) 35ºE) 15º
15. En el gráfico, calcule x si a + b =160º.
m
m x x
b
a
n n
A) 100º B) 130º C) 140ºD) 160º E) 80º
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Geometría
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Clasificación de triángulos
NIVEL BÁSICO
1.Según el gráfico, si AB= CD, calcule x .
β
β
x
x 40º A D C
B
A) 50º B) 60º C) 80ºD) 70º E) 55º
2. En el gráfico, AB= BP y AC = QC . Calcule b .
3 β 2 β
Q
P
A
B
C β
A) 10º B) 15º C) 20ºD) 12º E) 18º
3. En un triángulo ABC , se ubica P en el lado BC , de talmanera que AP= PC y AB= AP. Si m BAP=40º,calcule m BCA.
A) 20ºB) 35ºC) 40ºD) 80ºE) 75º
4. Del gráfico, AQ= QM y QN = QC . Calcule x.
A Q C
N M
x
B
70º
A) 70º B) 110º C) 55ºD) 140º E) 40º
5. En el gráfico, AB= AD= CD. Calcule x .
70º
60º x
A D
C B
A) 60º B) 70º C) 80ºD) 130º E) 65º
6. En el gráfico, AB= BC y AC = CD. Si m ABC =2(m ADC ), calcule x .
B
A C
D
x
A) 45º B) 60º C) 70ºD) 90º E) 30º
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Geometría
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7. En el gráfico, AB= AC = CD= CE . Calcule x .
80º
60º
x
A C
E
D B
A) 30º B) 35º C) 40ºD) 10º E) 20º
8. En el gráfico, AB= BD= BC , AC =21 y CE =20. Calcule AE .
60º
60º
D
A
B
C
E
A) 27º B) 29º C) 20ºD) 21º E) 22º
NIVEL INTERMEDIO
9. En la región exterior relativa al lado AC de untriángulo rectángulo ABC , recto en B, se ubi-ca D, de modo que AD=17, AB=15, BC =8 ym ADC =50º. Calcule m DAC .
A) 50º B) 65º C) 80ºD) 70º E) 55º
10. A partir del gráfico, AC = CD= DE = EF = FB y AB= BC . Calcule x .
A D F B
E
C
x
A) 60ºB) 80ºC) 90ºD) 100ºE) 120º
11. En la región exterior relativa al lado BC de untriángulo isósceles de base AC , se ubica el punto
P , de modo que el triángulo BPC es equilátero ym CAP=3(m APC ). Calcule m APB .
A) 45º B) 50º C) 37ºD) 55º E) 48º
12. En un triángulo ABC , AB=2 y BC =12. Calcule elmáximo valor entero de AC .
A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15
NIVEL AVANZADO
13. En un triángulo ABC , en AB y BC se ubicanlos puntos P y Q , respectivamente, tal que
AP= QC = PQ y m QAC +m PCA=70º.Calcule m ABC .
A) 40º B) 50º C) 35ºD) 45º E) 20º
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Geometría
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14. En un triángulo ABC , en el lado AC y en laregión exterior relativa a BC , se ubican lospuntos P y Q , respectivamente, de modo que
PQ y BC se intersecan en F . Si AB= BP = PQ , PF = FC y m ABC =80º, calcule m PBQ . Calcu-
le m PBQ .
A) 80ºB) 100ºC) 40ºD) 50ºE) 60º
15. En el gráfico, AB= QC . Calcule x .
2 x 2 x
7 x
Q
A C
B
x
A) 10º B) 20º C) 15ºD) 14º E) 12º
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Geometría
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Líneas notables asociadas al triángulo
NIVEL BÁSICO
1. Del gráfico, calcule x+ y.
A) 45ºB) 55º
β
x
y
β
θθ70º
C) 65ºD) 70ºE) 75º
2. En el gráfico, calcule x .
A) 20º
θθ
ββ
5 x 5 x
2 x
B) 25ºC) 15ºD) 30ºE) 12º
3. En un triángulo rectángulo ABC , recto en B, setraza la altura BH y la bisectriz interior BF delángulo HBC . Si AB=20 y BC =21, calcule FC .
A) 2 B) 3 C) 8D) 9 E) 14,5
4. Del gráfico, calcule x .
αθ θ
2 x +21º
2 x +7º
x
α
A) 15º B) 20º C) 21ºD) 14º E) 7º
5. En el gráfico, calcule x .
2 θ 2 β
ββ
θθ
40º
x
A) 80º B) 100º C) 115ºD) 120º E) 125º
6. En un triángulo ABC , se trazan la altura BH y la bi-sectriz BD del ángulo ABC , tal que D está en HC .Si m DBH =40º, calcule m BAC – m BCA.
A) 40º B) 80º C) 120ºD) 50º E) 100º
7. Del gráfico, calcule x+ y.
β
βθθ
50º50º
x
y
A) 115ºB) 120ºC) 130ºD) 240ºE) 245º
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Geometría
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8. En el gráfico, calcule x .
A) 10º
β β θ8 x
x
θ
120ºB) 5ºC) 20º
D) 15E) 14º
NIVEL INTERMEDIO
9. En un triángulo ABC se trazan las cevianas inte-
riores AP y CQ , que intersecan en M , de modo
que AC = QC = AP . Calculem
m
PMC
ABC .
A) 1 B) 2 C) 1/2D) 3 E) 1/3
10. Del gráfico, calcule x .
A) 100º
ββθ
θ x
50º
B) 110ºC) 115ºD) 120ºE) 140º
11. Del gráfico, calcule x .
α
α
θ β βθ
2 x
A) 20º B) 36º C) 30ºD) 15º E) 22,5
12. Del gráfico, calcule el valor de x.
θ
ββ
θ50º x
A) 50º B) 25º C) 65ºD) 60º E) 45º
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene un triángulo ABC , en el que m ABC – m CAB =50º ; además se traza la
bisectriz interior CD y en AC se ubica el punto E ,de modo que m EDC =80º. Calcule m ADE .
A) 20º B) 15º C) 25ºD) 30º E) 35º
14. En un triángulo ABC se tiene que m ABC =70º;además se traza la altura BH . Calcule la medidadel ángulo que determinan las bisectrices delos ángulos BAC y HBC .
A) 95º B) 100º C) 85ºD) 105º E) 90º
15. Se tiene un triángulo ABC , tal que m ABC =100º.Se traza la ceviana interior BM y la bisectrizinterior CQ , las cuales se intersecan en P .Si AB= AM , calcule m QPB .
A) 40º B) 50º C) 65ºD) 80º E) 45º
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Anual SM
LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
TRIÁNGULO
ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS
DEFINICIONES PRIMITIVAS, SEGMENTOS Y ÁNGULOS