Sistemas de Projeções
Estudo do Ponto
Estudo da Reta
Métodos Descritivos
Plano Auxiliar Primário e Projeção Pontual da Reta
Direção de uma Reta
Inclinação de uma Reta
Pontos Colineares
Pontos Coplanares
Posição Relativa das Retas
ÍNDICE
Verdadeira Grandeza da Reta
Tópico 02
Tópico 05
Tópico 04
Tópico 03
Tópico 01
Tópico 06
Tópico 07
Tópico 08
Tópico 09
Tópico 10
Tópico 11
Interseção entre Planos (Visibilidade)
Ângulo entre Planos (Ângulo Diedro)
Interseção entre Planos
ÍNDICE
Estudo do Plano
Verdadeira Grandeza de um Plano
Inclinação de um Plano
Distância Perpendicular entre Ponto e Plano
Interseção entre Reta e Plano
Ângulo entre Reta e Plano
Interseção entre Reta e Plano (Visibilidade)
Posições Relativas das Retas no Espaço
Índice Geral
Tópico 13
Tópico 15
Tópico 16
Tópico 17
Tópico 14
Tópico 12
Tópico 22
Tópico 20
Tópico 18
Tópico 19
Tópico 21
/OBLÍQUA
SISTEMAS DE PROJEÇÕES
a1
a2
a3
a4 a7
a8
A B
C
B1 A1
C1
A B
C
B1 A1
C1
A B
C
A1 B1
C1
CENTRAL OU CÔNICA CILÍNDRICA: ORTOGONAL
O a6
a5
A
A projeção de um ponto sobre um plano
é a interseção de uma reta que passa
por um ponto (Reta Projetante) de
um plano de projeção.
Índice Geral
ESTUDO DO PONTO
Estudo do Ponto
Estudo da Representação do Ponto
Desenvolvimento dos Diedros
Projeções Ortográficas nos Diedros
Representação do Ponto
Posicionamento de Elementos num Espaço
Posições do Ponto em Relação aos Planos de Projeção
Posições do Ponto
Índice Geral
ESTUDO DO PONTO
O ponto é o menor elemento da Geometria e dar
origem aos demais elementos Geométricos.
Apesar da sua importância não existe problemas
geométricos apenas com o ponto e sim quando
este estiver em conjunto com outros elementos.
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PONTO
O ponto em relação aos planos de projeções, pode
está situado no 1o, 2o, 3o e 4o diedros, mas não é
interessante a representação no 2o e 4o diedros
tendo em vista a superposição de imagens após o
rebatimento dos planos de projeções sobre o plano
vertical.
O sistema de representação no 1o diedro é utilizado
nas normas DIN (DASS. INT. NORM) e o no 3o diedro
pelas normas ASA (American Standard Association).
Índice Índice Geral
No Brasil as representações podem ser feitas pelos
dois sistemas, com preferência para a projeção
ortogonal no 1o diedro.
Os diedros estão formados pela interseção de dois
planos, um vertical e outro horizontal, a reta
interseção entre os dois planos é chamada de Linha
de Terra e é comum aos quatro semi-planos:
PVS - Plano Vertical Superior
PVI - Plano Vertical Inferior
PHA Plano Horizontal Anterior
PHP - Plano Horizontal Posterior
Índice Índice Geral
DESENVOLVIMENTO DOS DIEDROS
(Gaspard Monge)
1o Diedro 2o Diedro
3o Diedro 4o Diedro
T
L
a'
a
Plano Vertical
Superior
Plano Horizontal
Anterior
Plano Horizontal Posterior
Pla
no
Vert
ical In
feri
or
A
Índice Índice Geral
Z
Y
X
PH
PV
O
No 2o Diedro acontece superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 2o DIEDRO
PV
PH
Índice Índice Geral
PH
PV
Z
Y
X
PH
PV
O
No 4o Diedro acontece superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 4o DIEDRO
Índice Índice Geral
Para posicionar os elementos num espaço
tridimensional determina-se um ponto “O” chamado
ponto de referência que é o ponto comum aos três
planos principais de projeção.
A partir do ponto “O” de origem para localizar os
elementos usa-se o sistema de coordenadas
cartesianas: Abscissa (X), Afastamento (Y) e Cota (Z).
Sobre o eixo X marca-se a abscissa,
Sobre o eixo Y marca-se o afastamento,
Sobre o eixo Z marca-se a cota.
Todos os valores deverão ser sempre positivos e
escritos em milímetro.
POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS NUM ESPAÇO:
Índice Índice Geral
PH
PH
PV
PV
Z
PP
Y
PH
X
Y
O
POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO AOS
PLANOS DE PROJEÇÃO
Abscissa
a
a''
Afa
sta
men
to
Co
tas
a
a''
Abscissa Cota
ÉPURA
A(30, 15, 20)
Abscissa Afastamento
Cota
a'
a
PP
PP
a''
a
a'
a''
A
a'
PH
PV PP X
Z
Y
Y
O
Afastamento
Índice Índice Geral
1. Plano Vertical (A) (X e Z)
2. Plano Horizontal (B) (X e Y)
3. Plano de Perfil (C) (Y e Z)
4. Eixo X (D) (PH e PV)
5. Eixo Y (E) (PH e PP)
6. Eixo Z (F) (PV e PP)
7. Origem (G) (PV, PH e PP)
8. No espaço (H) (X, Y, Z - diferentes de zero)
O ponto em relação aos planos de projeções, pode
ocupar 8 (oito) pos ições distintas:
Índice Índice Geral
Quando um ponto pertence a um dos planos de
projeção, é representado em Épura através de suas
duas projeções e do próprio ponto.
O ponto pertencente a um dos eixos é representado
por este e por mais duas projeções, se coincidir com
o ponto “O” de origem a representação em Épura é
o próprio ponto e suas projeções.
A representação de um ponto no espaço é feita
através das três projeções, nos planos: vertical,
horizontal e de perfil.
POSIÇÕES DO PONTO
Índice Índice Geral
z
x
PV
y
PP
PH
POSIÇÕES DO PONTO EM RELAÇÃO
AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
d''
H,h,h',h''
b'
b
b''
f f'' F
g' g'' G
B
e e' E
2. Plano Vertical (B) (X e Z)
4. Plano de Perfil (D) (Z e Y)
5. Eixo X (E) (Interseção PV e PH)
6. Eixo Y (F) (Interseção PH e PP)
3. Plano Horizontal (C) (X e Y) 7. Eixo Z (G) (Interseção PV e PP)
8. Origem (H) (PH, PV, PP)
1. No Espaço (A) (X, Y, Z - diferente de zero)
d
d'
A
a" a'
a
c''
C
D
PH
PV PH X
Z
Y
Y
h h'' h' H
ÉPURA
b''
b
b' B
c'' e e' E c'
c C
d'' D
a''
a'
a
g' g'' G
F f
F f''
d
d'
c
c'
Índice Índice Geral
Pontos Colineares
a'
b'
O
PP PV
PH
Z
X Y
Y
c'
a
b
c
a''
b''
c'' Três ou mais pontos
são Colineares se e se
somente se, por estes
pontos passar uma reta
imaginária.
Na representação em épura dos pontos em cada plano de projeção, também ficam numa mesma linha reta.
Índice Geral
Pontos Coplanares
a'
b'
c'
a
b
c
a''
b''
c''
O
PP PV
PH
Z
X Y
Y
Pontos Coplanares são
três ou mais pontos por
onde se pode passar
um plano imaginário. Se
por dois pontos se pode
passar infinitos planos,
por um conjunto de
pontos Coplanares
composto de pelo
menos três pontos
pode-se passar apenas
um e um único plano.
Índice Geral
ESTUDO DA RETA
Estudo da Reta
Posições Relativas das Retas
Identificação das Retas
Propriedades: Retas do Primeiro Grupo
Propriedades: Retas do Segundo Grupo
Propriedades: Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
ESTUDO DA RETA
A projeção de uma reta sobre um plano de projeção,
é o lugar geométrico das projeções de todos os seus
pontos sobre este plano. De um modo geral a
posição de uma reta no espaço fica bem determinada
quando são conhecidas as posições dessa reta,
sobre dois ou mais planos ortogonais. (Planos de
Projeção).
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETA
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS
Em relação aos planos de projeção as retas
podem ocupar várias posições em relação aos
planos de projeção, posições estas que
determinam propriedades e identidades. As retas
estão divididas em três grupos distintos, devido
o posicionamento destas com os planos de
projeção.
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETA
IDENTIFICAÇÃO DAS RETAS
Retas do 1o GRUPO
1. Ao PH - Reta Vertical
2. Ao PV - Reta de Topo
3. Ao PP - Reta Fronto-Horizontal
Retas do 2o GRUPO
1. Ao PH - Reta Horizontal
2. Ao PV - Reta Frontal
3. Ao PP - Reta Perfil
1. Ao PV, PH e PP - Reta Qualquer Retas do 3o GRUPO
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 1o Grupo: São retas perpendiculares a um
dos planos principais de projeção. Neste plano
principal a projeção da reta se reduz a um PONTO, o
qual chamamos de projeção pontual da reta.
Sendo a reta perpendicular a um plano é paralela aos
outros dois planos adjacentes, nestes planos as retas
se apresentam em suas dimensões reais, que
chamamos de VG, ou seja, Verdadeira Grandeza da
reta.
Índice Índice Geral
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
Y
PH
X
Z
PP
PV
RETA VERTICAL
Z
Y X
Y
PV
PH
PP o
b''
a'' a'
b'
b a
VG VG
a''
b''
A
a
B b'
a'
b
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'' d'' d'
c
d
RETA DE TOPO
Z
Y
Y X
PV
PH
PP o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
c'
VG
VG d''
c' d'
c''
C
d
D
c VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e' f'
e f
RETA FRONTO-HORIZONTAL
Z
Y X
Y
PV
PH
PP o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
f'' e''
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA VERTICAL RETA DE TOPO RETA FRONTO- HORIZONTAL
A
a’’
a
B b'
a'
b
b''
VG
VG
c' d'
c'' d''
C
d
D
c
VG
VG
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
Z
Y X
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''
b a
a'
b'
VG VG
Z
Y X
Y
PV
PH
PP
c'' d'' c' d'
o
c
d
VG
VG
e' f'
e f
e'' f''
o
Z
Y X
Y
PV
PH
PP
VG
VG
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 2o Grupo: São retas paralelas a um dos
planos principais de projeção, neste plano principal
de projeção a reta se apresenta em V.G. (Verdadeira
Grandeza) e nos outros dois planos se apresentam
oblíquas, portanto, em projeção reduzidas.
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTAL
b''
a
b
a'' b' a'
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y X
PV
PH
PP
Z
o
a
a'
a''
B b'
b''
b
A
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d'' d'
c'
RETA FRONTAL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y X
PV
PH
PP
Z
o
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
Y X
PV
PH
PP
Z
o
RETA DE PERFIL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
e''
F
f e
f''
e'
f'
E VG VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL
a' A
a’’
a
B b'
b''
b VG
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
f''
f
E
F
e'
f'
e''
e
VG
e''
f''
e'
f'
e
f
X PP
Y
Y
Z
o PV
PH
VG
X PP
Y
Y
Z
o PV
PH
c
c''
d
d'' d'
c'
VG b''
PV
PH X
PP
Y
Y
Z
o
a
b
a'' b' a'
VG
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 3o Grupo: São retas oblíquas aos três
planos principais de projeção.
Não apresentam projeção em V. G. (Verdadeira
Grandeza).
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV b'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA QUALQUER
b'
A a''
a
B
a' b''
b Y
Y X
PV
PH
PP
Z
o
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
Z PV
PH X
RETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTES
d
d'
b
b'
a
a'
c
c'
o
Y
Z PV
PH X
b
a
b'
a'
d
c
d'
c'
Índice Geral
RETAS CONCORRENTES E REVERSAS
Duas retas são concorrentes quando em Épura as
projeções do ponto de concorrência estiverem sobre
uma mesma perpendicular
c
c'
a
a' d'
d
b'
b p
p'
o
Y
Z PV
PH X
RETAS CONCORRENTES RETAS REVERSAS
o
Y
Z PV
PH X
c
d'
c'
d a
a'
b'
b
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Índice Índice Geral
MÉTODOS DESCRITIVOS
Métodos Descritivos
Mudança de Plano de Projeção
Método de Rotação
Método de Rebatimento
Índice Geral
ESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Para resolvermos problemas espaciais,
recorremos aos métodos descritivos, que são:
1. Mudanças de Planos de Projeção
2. Rotação
3. Rebatimento
Índice Índice Geral
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Mudanças de Planos de Projeção: Consiste em
considerar a figura fixa e determinar uma nova
projeção sobre um plano auxiliar perpendicular a
um plano de projeção. Este deve ser paralelo à
figura no espaço.
Índice Índice Geral
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Método de Rotação: Consiste em fazer girar a
figura em torno de um eixo de rotação conveniente,
até que ela venha ocupar uma posição desejada.
Índice Índice Geral
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Método de Rebatimento: Este método conduz a
traçados simples, é utilizado em muitos problemas,
cujo tratamento descritivo exigirá a rigor, apenas uma
mudança de plano e uma única rotação.
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Retas Paralelas
Distâncias entre Retas Paralelas
Retas Concorrentes e Reversas
Retas Perpendiculares
Pertinência Ponto-Reta
Distância Perpendicular entre Ponto e Reta
Distância Perpendicular entre Retas Reversas
Retas Paralelas e Coincidentes
Índice Geral
Plano Auxiliar Secundário
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
Z PV
PH X
RETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTES
d
d'
b
b'
a
a'
c
c'
o
Y
Z PV
PH X
b
a
b'
a'
d
c
d'
c'
Índice Índice Geral
RETAS CONCORRENTES E REVERSAS
Duas retas são concorrentes quando em Épura as
projeções do ponto de concorrência estiverem sobre
uma mesma perpendicular
c
c'
a
a' d'
d
b'
b p
p'
o
Y
Z PV
PH X
RETAS CONCORRENTES RETAS REVERSAS
o
Y
Z PV
PH X
c
d'
c'
d a
a'
b'
b
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Índice Índice Geral
RETAS PERPENDICULARES
Duas retas concorrentes são perpendiculares
quando num plano de projeção as duas retas
aparecem perpendiculares entre si e pelo menos
uma delas aparece em V.G., neste plano.
Para as retas do 1o e 2o Grupos esta
perpendicularidade é vista em um dos planos
principais. No caso de duas retas quaisquer, a
perpendicularidade deverá ser determinada onde
encontrarmos a V.G. de pelo menos uma das retas,
isto poderá ser determinado no P.A.1.
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
Z PV
PH X
RETAS PERPENDICULARES
o
Y
Z PV
PH X
d
b'
b
d'
c
c'
a
a'
e'
e
a
b'
b
c'
c d
a'
d'
e'
e
e1
VG
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Duas retas são paralelas quando suas projeções
de mesmo nome sobre pelo menos dois planos
são paralelas. Com exceção as retas de perfil, que
necessita da projeção no plano de perfil.
RETAS PARALELAS
Índice Índice Geral
Um ponto pertence a uma reta, quando as
projeções desse ponto estão sobre as projeções de
mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal
do ponto sobre a projeção horizontal da reta, a
projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical
da reta e a projeção de perfil do ponto sobre a
projeção de perfil da reta.
PERTINÊNCIA PONTO E RETA
Índice Índice Geral
Y
o
Z
Y X
PV
PH
PP b''
a'' a'
b'
c' c''
b a c
PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
o
Z
Y X
PV
PH
PP
b'
a' a''
b''
a
b
c
c'' c'
Y
b''
o
Z
Y X
PV
PH
PP
a
b
a'' b' a'
c
c'' c'
Y
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
Estudo do Plano
Elementos que definem um Plano
Identificação dos Planos
Propriedades: Planos do Primeiro Grupo
Propriedades: Planos do Segundo Grupo
Propriedades: Planos do Terceiro Grupo
Índice Geral
Plano, também chamado de superfície, é uma extensão expressa em duas dimensões: Comprimento e Largura. A superfície plana (Plano) é uma superfície tal que toda reta que une dois quaisquer de seus pontos, está inteiramente compreendida nesta superfície. Sabemos que: um plano pode ser definido por três ou mais pontos não alinhados (Coplanares), por duas retas paralelas, por duas retas concorrentes ou ainda, por uma reta e um ponto não pertencente a esta.
O plano pode ser: Ilimitado e Limitado
O plano Ilimitado é imensurável
O limite do plano é a linha, assim podemos
distinguir linhas retas e curvas.
Os planos limitados por linhas retas (lados), são chamados de polígonos. Já os planos limitados por linhas curvas, tem denominação própria, como sejam, círculo, circunferência, elipse, etc...
ESTUDO DO PLANO
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO Elementos que definem um plano:
o
Y
Z PV
PH X
o
Y
Z PV
PH X
o
Y
Z PV
PH X
o
Y
Z PV
PH X
c
c'
a
a'
b
b'
d
d'
c
c'
b
b'
a
a'
c
c'
a
a' d'
d
b'
b
a'
a
b'
b c
c'
Três Pontos não Alinhados
Duas Retas Paralelas
Duas Retas
Concorrentes
Uma Reta e
Um Ponto
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
IDENTIFICAÇÃO DOS PLANOS
1. Ao PH - Plano Vertical
Planos do 2o GRUPO 2. Ao PV - Plano de Topo
3. Ao PP - Plano de Rampa
Planos do 1o GRUPO
1. Ao PH - Plano Horizontal
2. Ao PV - Plano Frontal
3. Ao PP - Plano de Perfil
1. Ao PV, PH e PP - Plano Qualquer Planos do 3o GRUPO
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 1o Grupo: São Planos paralelos a um dos
planos principais de projeção, neste plano é
mostrada a sua V.G., as projeções nos outros
planos são perpendiculares e são chamadas de
projeções lineares.
• Plano Horizontal paralelo ao Plano Horizontal
• Plano Frontal paralelo ao Plano Vertical
• Plano de Perfil paralelo ao Plano de Perfil
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO HORIZONTAL
b'' a'
a
b'
b
c'
c
c'' a''
Y
Y X
PV
PH
PP
Z
PLANO HORIZONTAL
b''
c
A a'
b' c'
a'' c''
b
B C
a
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV f'
f
Y
Y X
PV
PH
PP
Z
PLANO FRONTAL
e''
d'' f'' d'
d
e'
e
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO VERTICAL
d'' f''
e'
f'
d'
d
e
E
f
F
D
e'
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h'' i'' h'
Y
Y X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE PERFIL
h
g
i
g'
i'
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO DE PERFIL
g''
h'' i'' g'
h' i'
h g i
G
I H
VG VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
A a'
b' c'
a'' c'' b''
b c
B C
a
VG
PLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PLANO HORIZONTAL PLANO FRONTAL PLANO DE PERFIL
Y
PH
PP
X
Z
PV
d''
e'
f'
d' e
E
f
F
D
VG
f''
d
X PV PP
Y
Y
Z
PH o
a' b' c' c'' b''
a
b
c
a''
VG
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
g''
h'' i''
g'
h' i'
i
g
h
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h'' i'' g'
h' i'
h g i
G
I H
VG
f
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP o
e''
d'' f''
e'
f' d'
d e
VG
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 2o Grupo: São Planos perpendiculares a
um dos planos principais de projeção, neste plano é
mostrada a sua projeção linear, as projeções nos
outros planos são oblíquas e são chamadas de
projeções reduzidas.
• Plano Vertical perpendicular ao Plano Horizontal
• Plano de Topo perpendicular ao Plano Vertical
• Plano de Rampa perpendicular ao Plano de Perfil
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a' b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
c'
a'
a
c''
a''
b''
b
Y
Y X
PV
PH
PP
Z
PLANO VERTICAL
b'
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL
c
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
a'
c' b'
a
c''
a''
b''
b
Y
Y X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE TOPO
c'
a'
b'
c''
A
b c
B
a''
b''
C a
c
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV c'
a'
b'
c
a
b'' c''
a''
b
Y
Y X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE RAMPA
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C b
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO DE PERFIL
Índice Índice Geral
PLANOS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PLANO VERTICAL PLANO DE TOPO PLANO DE RAMPA
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a' b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP o
c'
a'
b'
c a
c''
a''
b''
b
X PV PP
Y
Y
Z
PH o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
b c
B
a''
b''
C a Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C b
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 3o Grupo: São Planos oblíquos aos três
planos principais de projeção, nestes planos não
apresentam projeção em V.G. nem projeção linear e
sim projeções reduzidas sobre os três planos.
• Plano Qualquer, oblíquo aos três Planos Principais
de projeção
Índice Índice Geral