Download - Geometria plană și în spațiu
GEOMETRIE
•
•
Toate corpurile din jurul nostru au o anume formă.
CU FIGURI GEOMETRICE PLANE:
pătrat
Corpurile geometrice se aseamănă
DREPTUNGHI
TRIUNGHI
• RECUNOAŞTEŢI PUNCTUL ŞI LINIA
RECUNOŞTEM PRINTRE ACESTEA:
DREAPTA ESTE NESFÂRŞITĂ, SE POATE PRELUNGI LA AMBELE CAPETE.
SEMIDREAPTA ESTE O DREAPTĂ MĂRGINITĂ LA UN CAPĂT.
SEGMENTUL DE DREAPTĂ ESTE LIMITAT, MĂRGINIT LA AMBELE CAPETE, NU POATE FI PRELUNGIT.
se denumesc simplu drepte.
DUPĂ FORMA LOR DREPTELE POT FI:
LINII FRÂNTE
deschise închise
LINII CURBE
deschise
închise
DUPĂ POZIŢIA LOR DREPTELE POT FI:
• ORIZONTALE
• VERTICALE
• OBLICE
DUPĂ POZIŢIA A DOUĂ DREPTE,
ELE POT FI:DREPTELE PERPENDICULARE
SUNT FORMATE DIN DREAPTE ORIZONTALE ŞI VERTICALE .
DREPTE PARALELE
DREPTELE CARE NU SE ÎNTÂLNESC NICIODATĂ.
DREPTELE OARECARE
SUNT DREPTELE CARE NU SUNT NICI PARALELE NICI PERPENDICULARE.
LINIA FRÂNTĂ ÎNCHISĂ SE NUMEŞTE POLIGON.
SEGMENTELE DE DREAPTĂ DIN CARE ESTE FORMAT UN POLIGON SUNT LATURILE POLIGONULUI.
TIPURI DE POLIGOANE:
• TRIUNGHIUL ESTE POLIGONUL CU 3 LATURI ,• PATRULATERUL ESTE POLIGONUL CU 4 LATURI ,• PENTAGONUL ESTE POLIGONUL CU 5 LATURI ,• HEXAGONUL ESTE POLIGONUL CU 6 LATURI ,• HEPTAGONUL ESTE POLIGONUL CU 7 LATURI ,• OCTAGONUL ESTE POLIGONUL CU 8 LATURI , ……ETC.
SUMA LATURILOR DREPTUNGHIULUI SE NUMEŞTE PERIMETRUL
DREPTUNGHIULUI, SE NOTEAZĂ CU P
P = L + L + L + L SAU
P = 2 L + 2 L SAU P = 2•L + 2•L
P = 2 X ( L + L )
Semiperimetrul este jumătate din perimetru, se notează cu Sp. (Sp=L+l)
Pătratul este figura formată din patru segmente egaleSegmentele se numesc laturi şi le notăm cu l.
Suma celor patru laturi se numeşte perimetrul
. P = l + l + l + l sau P= 4 x l
TEOREMA FUNDAMENTALA A ASEMANARII
O PARALELA DUSA LA UNA DINTRE LATURILE UNUI TRIUNGHI, FORMEAZA CU CELELALTE DOUA LATURI (SAU CU PRELUNGIRILE LOR) UN TRIUNGHI ASEMENEA CU CEL DAT.
A
B C
M
NP
NPBC
MPAC
MNAB
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
CRITERII DE ASEMANARE A TRIUNGHIURILOR
CRITERIUL DE ASEMANARE I (U.U.)
Doua triunghiuri cu doua perechi de unghiuri corespondente congruente sunt asemenea.
CRITERIUL DE ASEMANARE II (L.U.L.)
Doua triunghiuri cu doua perechi de laturi corespondente proportionale si unghiurile dintre ele congruente sunt asemenea.
CRITERIUL DE ASEMANARE III (L.L.L.)
Daca laturile corespondente a doua triunghiuri sunt proportionale, atunci cele doua triunghiuri sunt asemenea.
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
TEOREMA BISECTOAREIIntr-un triunghi, bisectoarea unui unghi, imparte latura opusa in doua segmente proportionale cu laturile unghiului.
A
BC
D
DCBD
ACAB
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
RAPORTUL ARIILOR TRIUNGHIURILOR ASEMENEA
B
A
B`
A`
C
C`
Daca triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A`B`C`, atunci raportul ariilor celor doua triunghiuri este egal cu:
2
```
kAA
CBA
ABC
unde k (raportul de asemanare) este egal cu:
`````` CAAC
CBBC
BAABk
.
PROIECTII ORTOGONALE PE O DREAPTA
Proiectia ortogonala a unui punct pe o dreapta este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreapta data.
d
A (punctul dat)
A` (proiectia punctului)
dAA`
Proiectia ortogonala a unui segment de dreapta [AB] pe o dreapta este segmentul [A`B`], unde punctele A` si B` sunt proiectiile punctelor A si B pe dreapta data.
A
B
A` B`
d
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
PROPRIETATILE PROIECTIILOR ORTOGONALE PE O DREAPTA
1. Daca AB este paralela cu dreapta d, atunci proiectia ortogonala a lui [AB] pe dreapta d este un segment [MN] congruent cu [AB] .2. Daca AB nu este paralela cu dreapta d, atunci proiectia ortogonala a lui [AB] pe dreapta d este un segment [MN] mai mic decat segmentul [AB] .
A B
M N
A
B
M N
3. Daca punctul P este mijlocul segmentului [AB] atuci si proiectia acestui punct pe dreapta d, punctul Q este mijlocul segmentului [MN]
P
Q.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
TEOREMA INALTIMIIIntr-un triunghi dreptunghic, lungimea inaltimii din varful unghiului
drept este media geometrica a lungimilor proiectiilor ortogonale ale catetelor pe ipotenuza.
Sau : Intr-un triunghi dreptunghi patratul lungimii inaltimii duse din varful unghiului drept este egal cu produsul dintre lungimile proiectiilor catetelor pe ipotenuza.
A
B CD
DCBDAD DCBDAD 2
APLICATIE:Daca BD=3cm si DC=12cm
Atunci:
cm
DCBDAD
636123
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
TEOREMA CATETEIIntr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrica a lungimii ipotenuzei si a lungimii proiectiei ei ortogonale pe ipotenuza.
Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei si lungimea proiectiei catetei pe ipotenuza.
SAU
A
BC
D
;BDBCAB BDBCAB 2
La fel se aplica teorema catetei pentru AC!
Aplicatie: Daca BD = 6cm si BC = 18cm
.36
108618
cm
BDBCAB
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
TEOREMA LUI PITAGORAIntr-un triunghi dreptunghic, suma patratelor lungimilor catetelor este egala cu patratul lungimii ipotenuzei.
A
B C222 ACABBC
Problema 1.
Problema 2.
In triunghiul dreptunghic ABC, AB = 4cm si AC = 8cm. Aflati lungimea ipotenuzei BC.
Rezolvare:
.5480
.80641684 22
222
cmBC
ACABBC
In triunghiul dreptunghic ABC, AB = 6cm si BC = 12cm. Aflati lungimea catetei AC.Rezolvare:
.36108
.10836144612 22222
cmAC
ABBCAC
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
FUNCTII TRIGONOMETRICE1. Sinusul masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opuse acestui unghi si lungimea ipotenuzei.
2.Cosinusul masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei alaturate acestui unghi si lungimea ipotenuzei.
3. Tangenta masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opuse acestui unghi si lungimea catetei alaturate acestui unghi.
4. Cotangenta masurii unui unghi ascutit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei alaturate acestui unghi si lungimea catetei opuse acestui unghi.
AB
C
BCACB sin
BCABBcos
ABACtgB
ACABctgB
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
INTOCMIREA TABELULUI CU VALORI PENTRU: sin, cos, tg, ctg.
300
600
1
2
3450
450
1
1 2
Pentru a intocmi tabelul de valori a functiilor trigonometrice, construim doua triunghiuri dreptunghice, unul cu un unghi de 300 si celalalt de 450.
300 450 600
sin 1/2 2/2 3/2cos 3/2 2/2 1/2 tg 3/3 1 3ctg 3 1 3/3
Se aplica teorema lui Pitagora si se afla lungimile laturilor, in prealabil stabilim o cateta de lungime 1.Aplicam relatiile din lectia precedenta si aflam valorile functiilor trigonometrice pentru diferite valori (300, 450, 600)
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
ARIA UNUI TRIUNGHI
CA
B
D
h
b
1. Daca se cunoaste lungimea unei laturi (baza) si inaltimea , h, corespunzatoare lui b, atunci: 2
hbA
a
2. Daca se cunosc lungimile a doua laturi (a si b) si masura unghiului cuprins intre ele, atunci: 2
sin
baAc
3. Daca se cunosc lungimile celor trei laturi, a, b si c, atunci:
))()(( cpbpappA
.
Unde p este semiperimetrul triunghiului.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
ARIA UNUI PARALELOGRAM
A B
CD
bE
h
1. Daca se cunoste lungimea unei laturi, b, si inaltimea, h, pe aceasta, atunci:
A = bh
a
2. Daca se cunosc lungimile a doua laturi consecutive si masura unghiului cuprins intre ele, atunci:
A = absin
d1d2
3. Daca se cunosc lungimile diagonalelor, d1 si d2, si masura unghiului cuprins intre ele, , atunci: 2
sin21
ddA.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
ARIA DREPTUNGHIULUI
A B
CD
O
L
l1. Daca se cunosc dimensiunile dreptunghiului, lungimea si latimea, atunci:
A = L l
d
2. Daca se cunoste lungimea diagonalei si masura unghiului cuprins intre diagonale, atunci:
2sin2
dA
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
ARIA PATRATULUI
A B
CD
l
1. Daca se cunoaste lungimea laturii patratului, atunci:
A = l22. Daca se cunoste lungimea diagonalei , atunci:d
2
2dA
.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
ARIA ROMBULUI
A
B
C
D
lh
d2
1. Daca se cunoaste lungimea unei laturi si lungimea inaltimii pe o latura, atunci:
A = l h
d1
2. Daca se cunosc lungimile celor doua diagonale, atunci:
221 dd
A
3. Daca se cunoaste lungimea laturii si masura unghiului cuprins intre doua laturi, atunci:
A = l2 sin.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
ARIA TRAPEZULUI
B
b
h
1. Daca se cunoaste lungimea bazei mari, lungimea bazei mici si a inaltimii, atunci:
2)( hbBA
d1
d2
2sin21
ddA2. Daca se cunosc
lungimile diagonalelor si masura unghiului cuprins intre ele, atunci:
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
CERCUL. DEFINITIE. ELEMENTEDefinitie. Fie O un punct intr-un plan si r un numar pozitiv. Cercul cu centrul O si raza r, notat C(O;r), este multimea tuturor punctelor din plan care se afla la distanta r de punctul O.
Cercul reunit cu interiorul lui se numeste disc.interior
exterior
O
r
Raza cercului
Diametrul cercului
Centrul cercului
Coarda
Unghi inscris in cerc cu varful in centrul cercului
Arc de cerc
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
Cercurile cu razele egale sunt congruente.In acelasi cerc sau in cercuri congruente, daca doua coarde sunt congruente, atunci arcele corespunzatoare sunt congruente.In acelasi cerc sau in cercuri congruente, daca doua arce sunt congruente, atunci coardele corespunzatoare sunt congruente.
In acelasi cerc sau in cercuri congruente, orice doua coarde congruente sunt egal departate de centru.
Perpendiculara prin centrul unui cerc pe o coarda a lui imparte aceasta coarda si arcele corespunzatoare in parti congruente.
A B
C
D
O
M
N
Daca [AB] [CD] arcul AB arcul CD (reciproca este adevarata)
Daca [AB] [CD] [OM] [ON], unde OM AB si ON CD.
Daca OM AB [AM] [MB]
.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
Cercul care contine cele trei varfuri ale unui triunghi se numeste cercul circumscris triunghiului.
O
A
BC
Mediatoarea unui segment de dreapta este dreapta perpendiculara pe segment in mijlocul acestuia.Centrul cercului circumscris unui triunghi se afla in intersectia mediatoarelor triunghiului.
Centrul cercului circumscris unui triunghi se afla egal departat de varfurile acestuia.
RR
AabcR4
Unde:
a,b,c sunt lungimile laturilor triunghiului;
A = aria triunghiului..
R
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
POZIŢIILE RELATIVE A UNEI DREPTE FAŢĂ DE UN CERC
a
b
c
d O
A
B
M
P
Q
a – este dreapta exterioara cercului;b; c – drepte tangente la cerc;
d – dreapta secanta la cerc;PROPRIETĂŢI:
1. [AM] [BM]2. OA MA
DEFINITII:
O dreapta care intersecteaza cercul in doua puncte se numeste secanta a cercului.
O dreapta care intersecteaza cercul intr-un singur punct se numeste tangenta la cerc.
.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ CERCURI
O
O
O
O
O
OO`
O`O`
O`
O`
CERCURI EXTERIOARE
OO` > r + r`
CERCURI TANGENTE EXTERIOARE
OO` = r + r`
CERCURI SECANTE
r – r` < OO` < r + r`
CERCURI TANGENTE
INTERIOARE
OO` = r – r`
CERCURI INTERIOARE
OO` < r–r`
CERCURI CONCENTRICE
Au acelasi centru
.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
UNGHIURI INSCRISE IN CERCA
B
O
m(<AOB) = masura arcului AB
M
m(<AMB) = (masura arcului AB) : 2
P
C
D
m(<CPD) = (masura arcului CM – masura arcului AB) : 2
E
W
m(<CWE) = (masra arcului AB + masura arcului CE) : 2
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
TRIUNGHI CIRCUMSCRIS UNUI CERC
A
B C
O
D
E
Centrul cercului inscris intr-un triunghi se afla in intersectia bisectoarelor.
OD BC; OE AB.
[OE] = [OD] = raza cercului.
AABC = prUnde: p = semiperimetru triunghiului ABC;
r = raza cercului inscris. .Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
PATRULATER INSCRIS INTR-UN CERC
AB
C
D Patrulaterul cu varfurile pe un cerc se numeste patrulater inscris in cerc.
Unghiurile opuse la un patrulater inscris in cerc sunt complementare.
Intr-un patrulater inscris in cerc, diagonalele formeaza cu laturile opuse perechi de unghiuri congruente.
<DBC <CAD; <CDB <CAB si altele.
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
LUNGIMEA SI ARIA CERCULUI
O
A
R
LUNGIMEA CERCULUI:
L = 2RARIA DISCULUI (CERCULUI):
A = R2
B
LUNGIMEA ARCULUI DE CERC AB:
0180R
LAB
ARIA SECTORULUI DE CERC CUPRINS INTRE OA SI OB:
0
2
360RAsc
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
POLIGON REGULAT. ELEMENTE GEOMETRICE
OA
B
C
D
R
RaM un
Un poligon este regulat daca este convex, are toate laturile congruente si toate unghiurile congruente.
Distanta de la centrul unui poligon regulat la oricare din laturile sale se numeste apotema poligonului.
Daca l este lungimea laturii, n = numarul de laturi, atunci:
Perimetrul, P = nl
2PaAn
nnun
180)2(
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007
TRIUNGHIUL ECHILATERALA
B CD
h3l
AD BC;23
3lh
O
R33lR
a3
63
3la
432
3lA
.
P = 3lTit Cuprian – Sarichioi - 2007
PATRATUL
A B
CD
O
R
2
2
lR
sau
dR
E
a4 24la
A4 = l2
2ld .
P = 4lTit Cuprian – Sarichioi - 2007
HEXAGONUL REGULAT
A B
C
DE
FO
l
R
R = l
M
a6
23
6la
233 2
6lA
d = 2l.
P = 6lTit Cuprian – Sarichioi - 2007
54
Cubul este un corp geometric cu:
-6 fețe -12 muchii egale-8 vârfuri-toate fețele sunt pătrate
55
CLĂDIRI ÎN FORMĂ DE CUB
56
• ESTE UN CORP GEOMETRIC CU:3 DIMENSIUNI - LUNGIMEA
- LĂTIMEA
- ÎNĂLȚIMEA6 FEȚE8 VÂRFURI12 MUCHIITOATE FEȚELE DREPTUNGHIURI 57
58
Este unic deoarece peretii complexului, care seamana cu un mozaic, primesc energia solara care este folosita la incalzirea apei din bazin, iar in zilele calduroase apara de temperaturile ridicate.
WORLD TRADE CENTER
59
60
Este un corp geometric care are ca elemente: -o bază (un poligon)-minim 3 fețe laterale (triunghiuri )-1 vârf
• MAREA PIRAMIDA DE LA GIZA
• PIRAMIDA LUI CHEPHREN
61
PIRAMIDELE MAYASE CHICHEN ITZA DIN MEXIC LONDRA-LUVRUL
62
63
-Are ca bază un cerc
AQUADOM BERLIN
64
• COLOSSEUM-UL, ITALIA
65
• BAZA ESTE TOT UN CERC • ARE UN VARF
66
• CASE DIN ORASUL VECHI ALBEROBELLOITALIA CU ACOPERIȘE ÎN FORMĂ DE CON.
67
SFERA DE RAZĂ R
68