Download - Geometria Simplettica
Geometria SimpletticaGeometria Simpletticae
Quantizzazione Geometrica
Gianluca Gambino
Meccanica ClassicaMeccanica Classica
formalismo hamiltonianoformalismo hamiltoniano
Geometria simplettica
Quantizzazione Geometrica
M i Q ti tiMeccanica Quantistica
Geometria Simpletticap
Forma simplettica: varietà differenziabileForma simplettica: varietà differenziabile
2‐forma differenziale
Geometria Simpletticap
Forma simplettica: varietà differenziabileForma simplettica: varietà differenziabile
2‐forma differenziale
Chi• Chiusa
• Non degenere• Non degenere
Geometria Simpletticap
Forma simplettica: varietà differenziabileForma simplettica: varietà differenziabile
2‐forma differenziale
Chi• Chiusa
• Non degenere• Non degenere
• Rappresentazione formale: pp
• Varietà simplettica =
Geometria Simplettica e Meccanica Classica (I)Geometria Simplettica e Meccanica Classicap ( )p
• Chiusa:• Chiusa:
• Non degenere: invertibile ( )• Non degenere: invertibile ( )
Geometria Simplettica e Meccanica Classicap
• Chiusa:
• Non degenere: invertibile ( )
• Dimensione pari:
Geometria Simplettica e Meccanica Classicap
• Chiusa:
• Non degenere: invertibile ( )
• Dimensione pari:
= spazio delle fasi =
Geometria Simplettica e Meccanica ClassicaGeometria Simplettica e Meccanica Classica
• Osservabile:
• Collegamento:
Geometria Simplettica e Meccanica ClassicaGeometria Simplettica e Meccanica Classica
• Osservabile:
• Collegamento:
• Componenti:
Campo vettoriale su una sfera Campo vettoriale su un piano
Risultati utiliRisultati utili
• Parentesi di Poisson:
Risultati utiliRisultati utili
• Parentesi di Poisson:
• Identità di Jacobi:
Risultati utiliRisultati utili
• Parentesi di Poisson:
• Identità di Jacobi:
• Regole di commutazione canoniche:
l= set completo
Risultati utiliRisultati utili
• Parentesi di Poisson:
• Identità di Jacobi:
• Regole di commutazione canoniche:
l= set completo
• Commutazione tra campi:• Commutazione tra campi:
Risultati utiliRisultati utili
• Parentesi di Poisson:
• Identità di Jacobi:
• Regole di commutazione canoniche:
l= set completo
• Commutazione tra campi:• Commutazione tra campi:
QuantizzazioneQuantizzazione
• Quantizzazione Canonica (Q1‐Q5)( )
• Quantizzazione Geometrica:
Prequantizzazione (Q1‐Q4)
b lo associazione osservabile‐operatore
o individuazione spazio di Hilbert prequantistico
Quantizzazione (Q4‐Q5)
o “divisione” dello spazio prequantistico p p q
(polarizzazioni)o promozione a operatore quantistico
Quantizzazione CanonicaQuantizzazione Canonica
Proprietà necessarie di un operatore quantisticop p q
• Q1:
Quantizzazione CanonicaQuantizzazione Canonica
Proprietà necessarie di un operatore quantisticop p q
• Q1:
• Q2:
Quantizzazione CanonicaQuantizzazione Canonica
Proprietà necessarie di un operatore quantisticop p q
• Q1:
• Q2:
• Q3:
Quantizzazione CanonicaQuantizzazione Canonica
Proprietà necessarie di un operatore quantisticop p q
• Q1:
• Q2:
• Q3:
• Q4: commutazione
Quantizzazione CanonicaQuantizzazione Canonica
Proprietà necessarie di un operatore quantisticop p q
• Q1:
• Q2:
• Q3:
• Q4: commutazione
• Q5:
set completo set completo di operatori
di osservabili
PrequantizzazionePrequantizzazione
• Operatore prequantistico: p p q
soddisfa (Q1‐Q4)
PrequantizzazionePrequantizzazione
• Operatore prequantistico: p p q
soddisfa (Q1‐Q4)
• prequantistico:
o Fibrato in linea:
PrequantizzazionePrequantizzazione
• Operatore prequantistico: p p q
soddisfa (Q1‐Q4)
• prequantistico:
o Fibrato in linea:
o Sezione:
o Derivata covariante:o Derivata covariante:
PrequantizzazionePrequantizzazione
• Condizione necessaria: integralità.g
PrequantizzazionePrequantizzazione
• Condizione necessaria: integralità.g
ll l– Trasporto parallelo
PrequantizzazionePrequantizzazione
• Condizione necessaria: integralità.g
ll l– Trasporto parallelo
Prequantizzazione della sferaPrequantizzazione della sfera
– Forma volume =
– Problema: non definito in
Prequantizzazione della sferaPrequantizzazione della sfera
– Forma volume =
– Problema: non definito in
– Soluzione:
Prequantizzazione della sferaPrequantizzazione della sfera
– Forma volume =
– Problema: non definito in
– Soluzione:
QuantizzazioneQuantizzazione
• Polarizzazioni:
o prequantistico è “troppo vasto”:
o Imposizione:
QuantizzazioneQuantizzazioneQuantizzazioneQuantizzazione
• Polarizzazioni:
Quantizzazione
• Polarizzazioni:
Quantizzazione
• Polarizzazioni:
o prequantistico è “troppo vasto”:o prequantistico è “troppo vasto”:o prequantistico è “troppo vasto”:
o Imposizione:o Imposizione:o Imposizione:
b lintegrabile
lagrangiano complessa:
QuantizzazioneQuantizzazione
• Polarizzazioni:
o prequantistico è “troppo vasto”:
o Imposizione:
b lintegrabile
lagrangiano complessa:
• Operatori quantistici:• Operatori quantistici:
QuantizzazioneQuantizzazione
• Spazio di Hilbert : costanti rispetto alla polarizzazione scelta.p p p
Dipende dalla polarizzazione .
QuantizzazioneQuantizzazione
• Spazio di Hilbert : costanti rispetto alla polarizzazione scelta.p p p
Dipende dalla polarizzazione .
• Esempi:
o Polarizzazione verticale:
polarizzazioni reali,
QuantizzazioneQuantizzazione
• Spazio di Hilbert : costanti rispetto alla polarizzazione scelta.p p p
Dipende dalla polarizzazione .
• Esempi:
o Polarizzazione verticale:
polarizzazioni reali,
o Polarizzazione olomorfa:o Polarizzazione olomorfa:
QuantizzazioneQuantizzazione
• Spazio di Hilbert : costanti rispetto alla polarizzazione scelta.p p p
Dipende dalla polarizzazione .
• Esempi:
o Polarizzazione verticale:
polarizzazioni reali,
o Polarizzazione olomorfa:o Polarizzazione olomorfa:
polarizzazioni Kähler,
Oscillatore armonico monodimensionaleOscillatore armonico monodimensionale
Oscillatore armonico monodimensionaleOscillatore armonico monodimensionale
Oscillatore armonico monodimensionaleOscillatore armonico monodimensionale