Géométrie des réseaux d’interactions :
rôle en écologie et épidémiologie
Alain Franc(1) & Nathalie Peyrard(2)
(1) INRA, UMR BioGEco, Bordeaux(2) INRA, Biométrie Avignon, France
Avignon, 22-23 mai 2006
Plan
I. Contexte Epidémiologie sur un grapheMétapopulationsEspèces invasives
II. « Interacting particle models » sur un graphe :vers des modèles simples, et accessibles
III. Quelques explorations durant le régime transitoire
Contexte :Epidémiologie sur un
graphe,Métapopulations,Espèces invasives
Principaux types de modèles spatio-temporels
Principaux types de modèles spatio-temporels
Graphe : un outil mathématique
Graphes
Exemple
Metalife !
Trois exemples
Métapopulations: PatchesFlux de graînes entre patch
Epidémiologie: HôtesFlux de parasites entre hôtes
Espèces invasives Patches de végétation résidenteInvasion par des espèces exotiques
Cadre géométrique commun
Patches : Dynamique résidente Croissance des plantesDynamique de la végétationCycle de vie de l’hôte
Flux : Flux d’information Perturbation de laentre patch dynamique résidente
Processus de contact
1. Processus de contact 2. Modèles « interacting particle models »
plus généraux
Géometrie et processus locaux
Processus de contact sur un graphe
Approximation « champ moyen »
Métapopulations, Epidémiologie, Modèles
« champ moyen »
Ecarts au champ moyen
Rupture Champ Moyen
PC sur un graphe
Distribution des degrés
Coefficient d’agrégation
Diamètre
Quelques caractéristiques d’un graphe
Géométrie du graphe
Processus
Modèles « Interacting particles »
vers des modèles moins simples mais tjs accessibles
S
Modèles « SIR »
I R
Interactions entre une plante et un parasite fongique
Connaissances biologiques de ces interactions
Une diversité d’interactions et de filtres- gène pour gène : réaction hypersensible - résistance partielle : protège de l’infection
en limite les effets- tolérance : réduit ou élimine
les effets de l’infection
voir Jokela, Schmid-Hempel & Rigby, Oïkos, 2000Roy & Kirchiner, Evolution, 2000Segarra, Phytopath., 2005
Modèle pour l’hyperparasitisme
S I R
H
Communautés de parasites
0
a
c
d b
Towards closed forms?
Elimination du paramètre à l’équilibre
Forme « fermée » à l’équilibre
Champ moyen Approximation par paires
Ajustement de la « forme fermée » (k. avec
Ajustement de la « forme fermée » (k. avec
Ajustement
Champ moyen
Paires
Est-ce que la forme ferméefonctionne aussi en régime transitoire ?
Question à 1 000 €
Question plus générale
Comment fermer le systèmes durant le régime transitoire ?
Différentes fermetures type MF, PA, Bethe, etc ….
Extrapoler la fermeture empirique à l’équilibre
Trajectoire rectiligne dans le plan (ρ,ξ)
Fermeture par trajectoire rectiligne
On connaît l’état de départle paramètre
On calcule (ρ0, ξ0)
On calcule l’état d’équilibre (ρ*, ξ*) par la fermeture empirique
On « ferme » le régime transitoire par l’hypothèse que la trajectoire dans le plan (ρ,ξ) est une droite
En équation …
Ligne droite
Equilibre
Questions à étudier
1. Mieux comprendre la transition ligne droite → forme fermée
2. Quelle équation de la forme fermée ?ici, polynôme empirique 4ème degréloi allométrique de puissance ?
3. Quel comportement sur un réseau 2D ?sur un graphe non régulier ?
Pourquoi ça marche à peu près ?
Remerciements
Mercedes Pascual
Marie-Laure Desprez-Loustau
Cécile Robin