Invariante FlächensummenHans Walser
www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20201105-07
rot = blau
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
rot = blau
Invariante Summe a2 + b2
rot = blau
Invariante Summe a2 + b2
„pythagoreisch“
„pythagoreisch“
„pythagoreisch“
„pythagoreisch“
„pythagoreisch“
„pythagoreisch“
„pythagoreisch“
„pythagoreisch“
„pythagoreisch“
„pythagoreisch“
„pythagoreisch“
Zerlegungsbeweis
Invariante Summe a2 + b2
Zerlegungsbeweis
Invariante Summe a2 + b2
Zerlegungsbeweis
Invariante Summe a2 + b2
Zerlegungsbeweis
Invariante Summe a2 + b2
Zerlegungsbeweis
Invariante Summe a2 + b2
Zerlegungsbeweis
Invariante Summe a2 + b2
Zerlegungsbeweis
Invariante Summe a2 + b2
Zerlegungsbeweis
Invariante Summe a2 + b2
Zerlegungsbeweis
Invariante Summe a2 + b2
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
Gelenkmodell
rot = blau
Invariante Summe a2 + b2
rot = blau
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Invariante Summe a2 + b2
Zerlegungsbeweis
rot = blau
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
!a!b
12!c
!s
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
!a!b
12!c
!s
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
!a!b
12!c
!s
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
!a!b
12!c
!s
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
!a!b
12!c
!s
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
Sonderfall
s = 1
2 c
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
Sonderfall
s = 1
2 c
Modellrot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
Sonderfall
s = 1
2 c
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
Satz von al-Sijzi
Parallelogramm: a2 + b2 + a2 + b2 = e2 + f 2
a
ab
bef
rot = blau
Satz von al-Sijzi
Parallelogramm:
rot = blau
Satz von al-Sijzi
Parallelogramm:
rot = blau
Satz von al-Sijzi
Parallelogramm: a2 + b2 + a2 + b2 = e2 + f 2
a
ab
bef
rot = blau
72 + 92 + 72 + 92
260! "## $## = 82 +142
260!"# $#
72 + 92 + 72 + 92
260! "## $## = 82 +142
260!"# $#
72 + 92 + 72 + 92
260! "## $## = 82 +142
260!"# $#
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
Satz von al-Sijzi
Satz von al-Sijzi
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi
rot = blau
!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1
4!c2
!b = !s − 1
2!c ⇒
!b2 = !s 2 − !s!c + 1
4!c2
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1
2 c2
Satz von al-Sijzi
rot = blau
Satz von al-Sijzi
rot = blau
Satz von al-Sijzi
rot = blau
Papillon
Schließungsfigur
rot = blau
rot/grün = blau/gelb
rot/grün = blau/gelb
62 + 72 = 22 + 92
36+ 49 = 4+81= 85
rot/grün = blau/gelb
62 + 72 = 22 + 92
36+ 49 = 4+81= 85
93 +103 = 13 +123
729+1000 = 1+1728
S.Ramanujan1887-1920
Papillon
rot = blau
Papillon
Umkreis
Papillon
GemeinsamerSchnittpunkt
Umkreis
Papillon
GemeinsamerSchnittpunkt
Umkreis
Papillon
Quadrat
Umkreis
Papillon
Papillon
Strecke mit Mittelpunkt
rot = blau
Papillon
Strecke mit MittelpunktStrecke mit Mittelpunkt
rot = blau
Papillon
Strecke mit MittelpunktStrecke mit Mittelpunkt
gleich langorthogonal
rot = blau
Papillon
Drei kollineare Punkte
Papillongleich lange schwarze Strecken 45°-Winkel
rot = 2 schwarzblau = 2 schwarz
Papillongleich lange schwarze Strecken 45°-Winkel
rot = 2 schwarzblau = 2 schwarz
Papillongleich lange schwarze Strecken 45°-Winkel
Papillon
Papillon
rot = blau
Papillon
Papillon
Optische Täuschung?
Papillon
Optische Täuschung?
Papillon
Optische Täuschung?
Papillon
Papillons
Optische Täuschung?
Papillonspirale
Papillonspirale
rot = ½ blau
Hypotenuse fest
Geozentrisches Weltbild
Hypotenuse fest
Geozentrisches Weltbild
Hypotenuse fest
Geozentrisches Weltbild
Hypotenuse fest
Geozentrisches Weltbild
Hypotenuse fest
Geozentrisches Weltbild
Hypotenuse fest
Geozentrisches Weltbild
Hypotenuse fest
Geozentrisches Weltbild
Die kopernikanische Wende
Heliozentrisches Weltbild
Nikolaus Kopernikus1473-1543
Pythagoras
Pythagoras
Hypotenuse dreht
Pythagoras
Hypotenuse dreht
Pythagoras
Hypotenuse dreht
Pythagoras
Hypotenuse dreht
Pythagoras / al-Sijzi
Hypotenuse dreht
Pythagoras / al-Sijzi
Hypotenuse dreht
Pythagoras / al-Sijzi
Hypotenuse dreht
Pythagoras / al-Sijzi
Hypotenuse dreht
Pythagoras / al-Sijzi
Hypotenuse dreht
a3
a2
a1
a3
a2
a1
Pythagoras / al-Sijzi
a12 + a2
2 + a32 invariant
a3
a2
a1
Pythagoras / al-Sijzi
a12 + a2
2 + a32 invariant
a3
a2
a1
Pythagoras / al-Sijzi
a12 + a2
2 + a32 invariant
a3
a2
a1
Pythagoras / al-Sijzi
a12 + a2
2 + a32 invariant
ak
2
k=1
n∑ invariant
a3
a4a5
a2
a1
Pythagoras / al-Sijzi
Pythagoras / al-Sijzi
ak
2
k=1
n∑ invariant
!r1!r2
!r3!r4
!r5
C p,0( )
Pythagoras / al-Sijzi
!rk =r cos k 2π
n +ϕ( )r sin k 2π
n +ϕ( )⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
ak
2
k=1
n∑ invariant
!r1!r2
!r3!r4
!r5
C p,0( )
Pythagoras / al-Sijzi
!r2
!r3!r4
!r5
!rkk=1
n∑ =
!0 ⇒
r cos k 2πn+ϕ( ) = 0
k=1
n∑
r sin k 2πn+ϕ( ) = 0
k=1
n∑
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
!rk =r cos k 2π
n +ϕ( )r sin k 2π
n +ϕ( )⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
ak
2
k=1
n∑ invariant
!r1!r2
!r3!r4
!r5
C p,0( )
Pythagoras / al-Sijzi
!r2
!r3!r4
!r5
!rkk=1
n∑ =
!0 ⇒
r cos k 2πn+ϕ( ) = 0
k=1
n∑
r sin k 2πn+ϕ( ) = 0
k=1
n∑
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
!rk =r cos k 2π
n +ϕ( )r sin k 2π
n +ϕ( )⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
ak
2
k=1
n∑ invariant
unabhängig von ϕ
!r1!r2
!r3!r4
!r5
C p,0( )
Pythagoras / al-Sijzi
!rk =r cos k 2π
n +ϕ( )r sin k 2π
n +ϕ( )⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
ak2 = r cos k 2π
n +ϕ( )− p( )2 + r sin k 2πn +ϕ( )( )2
= r2 cos2 k 2πn +ϕ( )− 2 pr cos k 2π
n +ϕ( ) + p2 + r2 sin2 k 2πn +ϕ( )
= r2 − 2 pr cos k 2πn +ϕ( ) + p2
a3
a4a5
a2
a1
ak
2
k=1
n∑ invariant
!r1!r2
!r3!r4
!r5
C p,0( )
Pythagoras / al-Sijzi
!rk =r cos k 2π
n +ϕ( )r sin k 2π
n +ϕ( )⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
ak2 = r cos k 2π
n +ϕ( )− p( )2 + r sin k 2πn +ϕ( )( )2
= r2 cos2 k 2πn +ϕ( )− 2 pr cos k 2π
n +ϕ( ) + p2 + r2 sin2 k 2πn +ϕ( )
= r2 − 2 pr cos k 2πn +ϕ( ) + p2
a3
a4a5
a2
a1
ak
2
k=1
n∑ invariant
!r1!r2
!r3!r4
!r5
C p,0( )
Pythagoras / al-Sijzi
!rk =r cos k 2π
n +ϕ( )r sin k 2π
n +ϕ( )⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
ak2 = r cos k 2π
n +ϕ( )− p( )2 + r sin k 2πn +ϕ( )( )2
= r2 cos2 k 2πn +ϕ( )− 2 pr cos k 2π
n +ϕ( ) + p2 + r2 sin2 k 2πn +ϕ( )
= r2 − 2 pr cos k 2πn +ϕ( ) + p2
a3
a4a5
a2
a1
ak
2
k=1
n∑ invariant
ak2
k=1
n∑ = r2 − 2prcos k 2π
n+ϕ( )+ p2( )
k=1
n∑
= nr2 − 2pr cos k 2πn+ϕ( )
k=1
n∑
0! "## $##
+ np2 = n r2 + p2( )
Pythagoras / al-Sijzi
ak2 = r cos k 2π
n +ϕ( )− p( )2 + r sin k 2πn +ϕ( )( )2
= r2 cos2 k 2πn +ϕ( )− 2 pr cos k 2π
n +ϕ( ) + p2 + r2 sin2 k 2πn +ϕ( )
= r2 − 2 pr cos k 2πn +ϕ( ) + p2
ak2
k=1
n∑ = r2 − 2prcos k 2π
n+ϕ( )+ p2( )
k=1
n∑
= nr2 − 2pr cos k 2πn+ϕ( )
k=1
n∑
0! "## $##
+ np2 = n r2 + p2( )
Pythagoras / al-Sijzi
unabhängig von ϕ
Pythagoras / al-Sijzi
ak2
k=1
n∑ = r2 − 2prcos k 2π
n+ϕ( )+ p2( )
k=1
n∑
= nr2 − 2pr cos k 2πn+ϕ( )
k=1
n∑
0! "## $##
+ np2 = n r2 + p2( )
Pythagoras / al-Sijzi
ak
2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
ak2
k=1
n∑ = r2 − 2prcos k 2π
n+ϕ( )+ p2( )
k=1
n∑
= nr2 − 2pr cos k 2πn+ϕ( )
k=1
n∑
0! "## $##
+ np2 = n r2 + p2( )
Pythagoras / al-Sijzi
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
r
r2 + p2
C(p, 0, 0)(0, 0, 0)
(0, 0, –p)
Pythagoras / al-Sijzi
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
n = 5
rot = blau
Pythagoras / al-Sijzi
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
n = 5
rot = blau
Pythagoras / al-Sijzi
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
n = 5
rot = blau
Pythagoras / al-Sijzi
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
n = 5
rot = blau
Pythagoras / al-Sijzi
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
n = 5
rot = blau
Pythagoras / al-Sijzi
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
n = 5
rot = blau
Pythagoras / al-Sijzi
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
n = 5
rot = blau
Pythagoras / al-Sijzi
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
n = 5
rot = blau
Pythagoras / al-Sijzi
Sonderfall:
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
p = r
180° / 90° 120° / 60° 90° / 45° 72° / 36°
n-Stern / n-Fächer
Pythagoras / al-Sijzi
Sonderfall:
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
p = r
180° / 90° 120° / 60° 90° / 45° 72° / 36°
n-Stern / n-Fächer
⇒ ak
2
k=1
n∑ = 2nr2
Pythagoras / al-Sijzi
Sonderfall:
ak2
k=1
n∑ = n r2 + p2( )
p = r
180° / 90° 120° / 60° 90° / 45° 72° / 36°
n-teiliger Propeller / n-teiliger Fächer
⇒ ak
2
k=1
n∑ = 2nr2
Pythagoras
n = 3
rot = blau
⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Pythagoras
n = 3
rot = blau
⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Pythagoras
n = 3
rot = blau
⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Pythagoras
n = 3
rot = blau
⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Pythagoras
n = 3
rot = blau
⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Pythagoras
n = 3
rot = blau
⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Pythagoras
n = 3
rot = blau
⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Pythagoras
n = 3
rot = blau
⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Pythagoras
n = 3
rot = blau
⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Pythagoras
n = 3
rot = blau
⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Ganzzahlige Lösungen?
n = 3 ⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Ganzzahlige Lösungen?
n = 3 ⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Ganzzahlige Lösungen?
n = 3 ⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Ganzzahlige Lösungen?
n = 3 ⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Ganzzahlige Lösungen?
n = 3 ⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Ganzzahlige Lösungen?
n = 3 ⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
Ganzzahlige Lösungen?
n = 3 ⇒ ak
2
k=1
3∑ = 6r2
n = 10
Pythagoras
rot = blau
n = 10
Pythagoras
rot = blau
n = 10
Pythagoras
rot = blau
n = 10
Pythagoras
rot = blau
n = 10
Pythagoras
rot = blau
n = 10
Pythagoras
rot = blau
n = 10
Pythagoras
rot = blau
n = 10
Pythagoras
rot = blau
n = 10
Pythagoras
rot = blau
n = 10
Pythagoras
rot = blau
n = 10
Pythagoras
rot = blau
Pythagoras
n = 50
rot = blau
n = 50
rot = blau
Pythagoras
rot = blau
Risse
rot = blau
Risse
Parabel
Ansicht
rot = blau
Kegel
Zylinder
rot = blau
Kugel
Vivianische Kurve
Vincenzo Viviani 1622-1703
p = 2, n = 50
Pythagoras / al-Sijzi
Risse
p = 2, n = 50
Pythagoras / al-Sijzi
Risse
Parabel
p = 2, n = 50
Pythagoras / al-Sijzi
p = 0.5, n = 50
Pythagoras / al-Sijzi
Risse
p = 0.5, n = 50
Pythagoras / al-Sijzi
p = 0.5, n = 50
Pythagoras / al-Sijzi
Risse
Parabel
Danke
www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20201105-07