Download - Hochschule für Technik und Wirtschaft Aalen Dokumentation ... · Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen 12.06.2009 von Yüksel Acikgöz, Jochen Gabler und Dietmar Reumann Seite 7

Hochschule für Technik und Wirtschaft Aalen

Dokumentation Projekt „Leonardo‐Brücke“ Lehrveranstaltung Qualitätsmanagement und Nachhaltige Entwicklung

Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen 12.06.2009

von Yüksel Acikgöz, Jochen Gabler und Dietmar Reumann Seite 2 von 13

Inhaltsverzeichnis

1. Organisatorisches .................................................................... Fehler! Textmarke nicht definiert.

1.1. Meetings (W4 intern) ....................................................... Fehler! Textmarke nicht definiert.

1.2. Meetings (mit W1) ............................................................ Fehler! Textmarke nicht definiert.

1.3. Hilfestellung für W1 ......................................................... Fehler! Textmarke nicht definiert.

1.4. Aufgabeneinteilung W4 ................................................... Fehler! Textmarke nicht definiert.

2. Bau einer Leonardo Brücke ........................................................................................................ 3

2.1. Aufgabe und Beschreibung ................................................................................................. 3

3. Durchführung ................................................................................................................................. 5

3.1. Von klein nach groß ............................................................................................................. 5

3.2. Physikalisches Prinzip, Bauanleitung ................................................................................ 5

3.3. Vorgaben für die „Leonardo-Brücke“ an der HTW Aalen ............................................... 7

3.4. Konstruktion der „Leonardo-Brücke“ .................................................................................. 7

4. Berechnung „Leonardo-Brücke“ ................................................................................................. 8

4.1. Grundlagen für die Festigkeitsberechnung der „Leonardo-Brücke“: ............................ 8

4.2. Eigentliche Berechnung ..................................................................................................... 10

4.2.1. Berechnung mit weichem Holz (Fichte): ................................................................. 10

4.2.2. Berechnung mit hartem Holz (Eiche): ...................................................................... 11

4.2.3. Berechnung der Durchbiegung der Längsbalken: ................................................. 12

4.2.4. Anmerkungen zur Berechnung ................................................................................. 13



1. Bau einer Leonardo Brücke

1.1. Aufgabe und Beschreibung Es sollte eine Brücke nur durch Verwendung bestimmter Holzbalken gebaut werden. Hilfsmittel wie Nägel, Leim, Schnüre oder andere Hilfsstoffe, sowie das Einkerben der Latten an bestimmten Stellen sind dabei nicht zulässig. Die sogenannte „Leonardo-Brücke“ erfüllt all diese Voraussetzungen, ist sehr schnell auf- und abgebaut und kann auch relativ hohe Kräfte aufnehmen (siehe Berechnung). Leonardo da Vinci, dem die später zu sehende Konstruktion zugerechnet wird, schrieb in einem Bewerbungsschreiben an seinen späteren Dienstherrn Ludovico da Sforza 1483 folgendes: ,,… Brücken, mit denen der Feind verfolgt und in die Flucht geschlagen werden kann, … …Brücken, die Feuer und Kampfhandlungen standhalten und bequem gehoben und gesenkt werden können. …“ Alles was da Vinci schrieb (bis auf den Punkt mit dem Feuer und den Kampfhandlungen) ist korrekt und machbar. Beispielweise kann der Feind sehr gut mit den Brücken verfolgt werden, da sie schnell abgebaut und wieder aufgebaut sind. Die Feinde könnten auch in die Flucht geschlagen werden, wenn man die einzelnen Hölzer dieser Brücke als Waffe benutzt (eventuell hat sich das da Vinci anders gedacht). Ein Heben und Senken der Brücke ist ebenfalls möglich, indem man den Winkel zwischen den einzelnen Hölzern verändert. Somit wird die Brücke kürzer oder länger, bzw. höher oder niedriger. Die Projektteammitglieder aus dem 1. Semester haben sich die Mühe gemacht, eine „große“ „Leonardo-Brücke“ aufzubauen. Für da Vincis Ansprüche wäre sie wahrscheinlich nicht ausreichend gewesen, obwohl sie der Länge nach ca. 5m misst.

Bild 1 (Quelle: eigenes Foto) Bild 2 (Quelle: eigenes Foto)



Weitere Projekte zur „Leonardo-Brücke sind auf den folgenden Bildern zu sehen.

Bild 3 (Quelle: www.physik.seebacher.ac.at)

Bild 4 (Quelle: www.frsw.de)



2. Durchführung

2.1. Von klein nach groß Die Durchführung mit normalen Streichhölzern (so wie auf dem Deckblatt) erfordert größte Sorgfalt und Geschick und führt nicht sehr schnell zum Erfolg. Es sollte deshalb zuerst mit Kaminstreichhölzern das physikalische und bauliche Prinzip erarbeitet und dann erst die „Leonardo-Brücke“ mit den Konstruktionshölzern gebaut wird. Um Brücken mit größerer Spannweite zu bauen, kann man neben den nachfolgend geschilderten Möglichkeiten auch von zwei kleineren Brücken ausgehen und diese dann zu einer großen Brücke zusammenfügen. Bei den Belastungsproben muss immer dafür Sorge getragen werden, dass sich niemand verletzt, falls die Brück der Belastung nicht standhält.

2.2. Physikalisches Prinzip, Bauanleitung Das Bauprinzip verwendet den sog. „Selbsthemmungsmechanismus“, bei dem das System sich selbst bei Belastung verfestigt.

Wie auf den Bildern 5 und 6 zu sehen, könnte man ohne die beiden Querhölzer das System nur mit Stricken oder Nägeln stabilisieren. Der Selbsthemmungsmechanismus des Systems hängt von der Haftreibung der Hölzer aneinander ab. Je rauer die Hölzer, desto besser für die Festigkeit des Brückenbogens. Dabei gilt für die Beziehung zwischen dem Anstellwinkel α und dem Reibungskoeffizienten µH:

tan µH (Haftbedingung, unabhängig von der Belastung der Brücke)

Die obere Grenze für die Haftkraft

FRH µH · FN µH · F · cos α wächst mit der Last an. Diese Verfestigung kann man beim Belasten mit der Hand „spüren“.



Der Spannweite der Brücke ist neben der Haftbedingung („Statik“) aber noch eine weitere Grenze gesetzt: Geometrisch bedingt ergibt sich ein größter Wert der Spannweitenfunktion L(α) . Welche Grenze bestimmend ist hängt von µH und dem Dickenverhältnis d/l ab. Das Verschlussprinzip von Leonardo verwenden wir auch häufig bei Faltschachteln oder Umzugskartons („Vierlaschenverschluss“). Dieses Prinzip kann, wie auf den Bildern 7 und 8 zu sehen, auch in Form einer Teamübung erfahrbar gemacht werden:

Bild 7 Bild 8 Nach dem Bau der eingliedrigen Brücke mit sechs Hölzern lässt sich die Brücke modular mit jeweils vier weiteren Hölzern erweitern, und zwar so lange, bis die äußeren Bretter zu steil werden und abrutschen:

Bilder 9-12



2.3. Vorgaben für die „Leonardo-Brücke“ an der HTW Aalen Folgende Werte wurden für die Bestandteile (Längs- und Querhölzer) von uns vorgegeben:

‐ Spannweite der Brücke = 2000mm ‐ Abmessungen der Längshölzer = 500x50x5mm (Länge / Breite / Dicke) ‐ Anzahl der Längshölzer = 16 Stück (jeweils 8 auf jeder Seite) ‐ Abmessungen der Querhölzer = 250x50x5mm (Länge / Breite / Dicke) ‐ Anzahl der Querhölzer = 14 Stück

Diese Werte waren ausreichend für eine Konstruktion der „Leonardo-Brücke“ und so musste keine aufwendige Berechnung zu Gesamtlänge und -höhe der Brücke und der Position der einzelnen Bretter durchgeführt werden.

2.4. Konstruktion der „Leonardo-Brücke“ Die Konstruktion der „Leonardo-Brücke“ wurde mit dem Zeichenprogramm Autodesk Autocad folgendermaßen durchgeführt:

1. Da die Anzahl der Längsbretter bekannt war, konnte der Winkel zwischen den Brettern bestimmt werden. Dieser beträgt 160°.

2. Daraufhin konnte die Position der Querbretter konstruktiv bestimmt werden, so dass die „Leonardo-Brücke“ mithilfe der unten zu erkennenden Zeichnung gebaut werden konnte.

Zeichnung 1 (Quelle: eigene Zeichnung)



3. Berechnung „Leonardo-Brücke“

3.1. Grundlagen für die Festigkeitsberechnung der „Leonardo-Brücke“:

1. Als Belastungsfall tritt nur Biegebelastung auf. In Abbildung 1 kann man erkennen, dass die Kräfte F1 bis F4 senkrecht auf die Längsbalken wirken.

Abbildung 1: Ausschnitt Zeichnung „Leonardo-Brücke“

Die Kräfte verhalten sich bei allen Längsbalken, bis auf die Balken am linken und rechten Ende der Brücke, wie in Abbildung 1 dargestellt. Auch auf die Querbalken wirkt eine Biegebelastung mit 4 Kräften, die in gleicher Richtung, jedoch mit anderen Abständen wie in Abbildung 1 zueinander wirken. Die kritische Betrachtung sollte aber bei den Längsbalken liegen, da beide (Längs- und Querbalken) die gleiche Dicke aufweisen, bei den Längsbalken jedoch höhere Momente wirken, da die Abstände der Kräfte zueinander weiter auseinander liegen. Daher versagen zuerst die die Längsbalken, wenn die Brücke belastet wird.

2. Zur Bestimmung der zulässigen Biegebelastung wird mit einer Sicherheit von

1,5 gerechnet

zulässige SpannungFestigkeitswert des Werkstoffes

Sicherheit σKS

3. Es geht ein Verformungsvorgang vonstatten, bei dem die Spannungsverteilung geradlinig über den Querschnitt verläuft (Naviersches Geradliniengesetz) In Abbildung 2 kann man diese Spannungsverteilung gut erkennen.

Hier sieht man, dass der Balken bei Biegung auf Zug und auf Druck belastet wird.

Für y=0 ist die Spannung in der neutralen Faser gleich Null.

Abbildung 2

F2 F3F1 F4

Längsbalken

Querbalken



4. Die Durchbiegung der jeweiligen Balken berechnet sich mit der Formel:

vP · b · a

6 · E · I · L · L b a

5. Holz ist ein Werkstoff, dessen Widerstand gegen Durchbiegen und

Zerbrechen wesentlich vom Faserverlauf, der Rohdichte, der Elastizität und des Querschnitts abhängt. Der Faserverlauf (Richtung und Größe der Zellen) ist je nach Holzart unterschiedlich. Die Rohdichte schwankt mit der Holzfeuchte, wobei frisches Holz höhere Holzfeuchtewerte ausweist. Die Rohdichte gilt als Schlüsselvariable für die Holzeigenschaften. Die Elastizität von Holz unterliegt außerdem der Zeit. Die Literatur gibt eine Varianz von 10-22% bei den Eigenschaften von Holz an. Da wir jedoch mit einer Sicherheit von 1,5 rechnen, dürfte diese mögliche Abweichung eine eher geringe Rolle spielen. Mögliche Werte verschiedener Holzsorten für die Berechnung:

Tabelle 1:

Holzart Rohdichte (kg/m³)

Biegefestigkeit (N/mm²)

E-Modul

(N/mm²)

Resistenzklasse

Fichte 470 68 10.000 4 (eher weich)

Kiefer 520 80 11.000 3-4 (mittel)

Birke 650

120 14.000 5 (weich)

Eiche 670 95 13.000 2 (hart)



3.2. Eigentliche Berechnung Es sollen nun im Folgenden Berechnungen für die Brücke mit einem harten Holz und einem weichen Holz durchgeführt werden. Das Eigengewicht der Brücke ist zu vernachlässigen. Wir beginnen mit dem weichen Holz, für welches wir uns das Fichtenholz ausgesucht haben und ermitteln anschließend die maximale Belastung für Eichenholz (hartes Holz).

3.2.1. Berechnung mit weichem Holz (Fichte):

σBiegefestigkeitSicherheit

68N mm1,5 45, 3

Nmm

Die Belastung darf diesen Wert der zulässigen Spannung nicht überschreiten. Wir nehmen nun an, dass eine Kraft nur auf einer Seite der Brücke, an einem der Querbalken wirkt, die beispielsweise auftritt, wenn sich eine Person über die Brücke bewegt. Dazu betrachten wir die Kräfte, die an einem Längsbalken wirken.

Abbildung 3: Ausschnitt Zeichnung „Leonardo-Brücke“

In Abbildung 3 haben wir nun 2 Kräfte. Die Kraft F1 ist die von außen wirkende Kraft, die Kräfte F2 entsteht durch das Wirken von F1. Es tritt bei dieser Belastung auch eine Kraft rechts der Kraft F1 auf, diese ist jedoch zu vernachlässigen, da sie sehr gering ist. Es entsteht nun ein Drehmoment am Drehpunkt welches den Längsbalken beansprucht. Bilanzierung der Momente:

M 0 F · 0,04085m F · 0,04085m

M 0 F · 0,04085m F · 0,04085m

M 0 F · 0,0817m Dies bedeutet, dass um den Drehpunkt ein Moment mit der max. zulässigen Kraft Fges entsteht, dem die Balken standhalten müssen und das es auszurechnen gilt.

40,85

40,85F2

F1

Drehpunkt



Die Berechnung der Festigkeit wird nun folgendermaßen durchgeführt:

Für den Maximalwert der Spannung gelten bei Biegung folgende Formeln:

σ MW

(1.1)

axiales Widerstandmoment: W I (1.2)

σ M ·I

axiales Trägheitsmoment: I · (1.3)

σ M · ··

Umgestellt nach Mb: M σ · ·

·

Zur Erinnerung: M F · l

F σ · ·· ·

Einsetzen der Werte:

F35, 3N mm · 50mm · 5 mm

2,5mm · 12 · 81,7mm 90,099N

Unser Ergebnis zeigt, dass die Brücke mit einer maximalen Kraft von 90,099N (entspricht ca. 9,2kg) belastet werden darf. ymax ist dabei der maximale Abstand zwischen Randfaser und Nulllinie, also die Hälfte der Brettdicke (2,5mm). Bis zu diesem Gewicht hält das „weiche“ Holz.

3.2.2. Berechnung mit hartem Holz (Eiche):

σBiegefestigkeitSicherheit

95N mm1,5 63, 3

Nmm

Die Belastung darf diesen Wert nicht überschreiten. Für den Maximalwert der Spannung gelten auch hier die folgenden Formeln:

σ MW

W I

σ M ·I

I ·

σ M · ··



Umgestellt nach Mb: M σ · ··

Zur Erinnerung: M F · l

F σ · ·· ·

Einsetzen der Werte:

F63, 3N mm · 50mm · 5 mm

2,5mm · 12 · 81,7mm 161,499N

Unser Ergebnis zeigt, dass die Brücke mit einer maximalen Kraft von 161,499N (entspricht ca. 16,46kg) belastet werden darf. Bis zu diesem Gewicht hält das „harte“ Holz.

3.2.3. Berechnung der Durchbiegung der Längsbalken: Hierfür wurden die Maße für a, b und L aus der Zeichnung entnommen. Weiches Holz: Formel:

vF · b · a

6 · E · I · L · L b a Einsetzen der Werte:

v90,099N · 319,7mm · 81,7mm

6 · 10000N mm · 520,83mm · 401,4mm· 401,4 mm 319,7 mm 81,7 mm

v 9,8mm

Der „weiche“ Holzbalken wird bei maximaler möglicher Kraft von 90,099N um 9,8mm durchgebogen. Hartes Holz: Formel:

vF · b · a

6 · E · I · L · L b a Einsetzen der Werte:

v161,499N · 319,7mm · 81,7mm

6 · 13000N mm · 520,83mm · 401,4mm· 401,4 mm 319,7 mm 81,7 mm

v 13,51mm

Der „harte“ Holzbalken wird bei maximaler möglicher Kraft von 161,499N um 13,51mm durchgebogen.



3.2.4. Anmerkungen zur Berechnung Würde man nun die Dicke der Balken z.B. verdoppeln, würde sich die maximale zulässige Kraft mehr als verdoppeln, da durch die Vergrößerung andere Geometrieverhältnisse herrschen würden. Diese Änderung würde sich jedoch auch auf die Position der Querbalken auswirken und somit auch auf die Gesamtlänge und die Gesamthöhe der Brücke. Wie man bei der Berechnung erkennen kann, wurde nur eine „Seite“ der Brücke betrachtet. Würde die Brücke über ihre gesamte Breite beansprucht, könnte sie noch höheren Kräften standhalten, da sich die Kräfte auf mehrere Balken verteilen würden. Da man sich aber nie genau mittig über die Brücke bewegt und zu Balancezwecken auch Ausfallschritte nach rechts oder links möglich sind, belassen wir die Ergebnisse für die maximale Belastbarkeit so, wie sie in der Berechnung festgehalten sind. Außerdem ist zu beachten, dass die Berechnung nur für statische Belastung gilt. Bei dynamischer Belastung, wie sie auftreten würde, wenn z.B. ein Mensch über die Brücke laufen würde, müsste die Belastbarkeit mit sehr viel größerem Aufwand berechnet werden. Diese Berechnung würde jedoch den Rahmen des Projektes jedoch sprengen, da hierfür nur begrenzte Personenressourcen zu Verfügung stehen.

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