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Nmero ureo

El nmero ureo surge de ladivisin en dos de un segmentoguardando las siguientesproporciones: La longitud total a+bes al segmento ms largo a, comoa es al segmento ms corto b.

Este artculo trata sobre un nmero algebraico. Para otros usos de este trmino, vase ureo (desambiguacin).El nmero ureo (tambin llamado nmero de oro, razn extrema y media,1 razn urea, razn dorada, media urea,proporcin urea y divina proporcin2 ) es un nmero irracional,3 representado por la letra griega (phi) (en minscula) o (Phi) (en mayscula) en honor al escultor griego Fidias.La ecuacin se expresa de la siguiente manera:

Tambin se representa con la letra griega Tau ( ),4 por ser la primera letra de la raz griega, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra fi (phi) (,) es mscomn. Tambin se representa con la letra griega alpha minscula.5

Se trata de un nmero algebraico irracional (su representacin decimal no tiene perodo) queposee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigedad, no como unaexpresin aritmtica sino como relacin o proporcin entre dos segmentos de una recta; o sea,una construccin geomtrica. Esta proporcin se encuentra tanto en algunas figurasgeomtricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos rboles, en elgrosor de las ramas, en el caparazn de un caracol, en los flsculos de los girasoles, etc. Entresus propiedades aritmticas ms curiosas es que su cuadrado (2 = 2,61803398874989...) ysu inverso (1/ = 0,61803398874989...) tienen las mismas infinitas cifras decimales.Asimismo, se atribuye un carcter esttico a los objetos cuyas medidas guardan la proporcin urea. Algunos incluso creen queposee una importancia mstica. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusin en el diseo de diversas obras de arquitectura yotras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemticas y el arte.

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1 Definicin1.1 Clculo del valor del nmero ureo

2 Historia del nmero ureo2.1 Antigedad2.2 Edad Moderna

3 El nmero ureo en las matemticas3.1 Propiedades y representaciones

3.1.1 ngulo de oro3.1.2 Propiedades aritmticas3.1.3 Representacin mediante fracciones continuas3.1.4 Representacin mediante ecuaciones algebraicas3.1.5 Inecuacin algebraica3.1.6 Representacin trigonomtrica3.1.7 Representacin mediante races anidadas3.1.8 Relacin con la sucesin de Fibonacci

3.2 El nmero ureo en la geometra3.2.1 El rectngulo ureo de Euclides3.2.2 En el pentagrama3.2.3 El teorema de Ptolomeo y el pentgono3.2.4 Pentgono estrellado3.2.5 Trigonometra3.2.6 Relacin con los slidos platnicos

3.3 Teora de nmeros4 El nmero ureo en la Naturaleza5 El nmero ureo en el arte y en la cultura6 Vase tambin7 Referencias8 Bibliografa9 Enlaces externos

Definicin [editar]El nmero ureo es el valor numrico de la proporcin que guardan entre s dos segmentos de recta a y b (a ms largo que b), quecumplen la siguiente relacin:

La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito

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como ecuacin algebraica:

Siendo el valor del nmero ureo el cociente: Surge al plantear el problema geomtrico siguiente: partir un segmentoen otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir lalongitud del segmento mayor entre la del menor.

Clculo del valor del nmero ureo [editar]Dos nmeros a y b estn en proporcin urea si se cumple:

Si entonces la ecuacin queda:

La solucin positiva de la ecuacin de segundo grado es:

que es el valor del nmero ureo, equivalente a la relacin .

Historia del nmero ureo [editar]Algunos autores sugieren que el nmero ureo se encuentra como proporcin en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededorde 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentacin histrica que indique que el nmero ureo fuera utilizado conscientemente pordichos artistas en la elaboracin de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fcil obtener resultados curiosos si setienen muchas medidas disponibles. Adems, para que se pueda afirmar que el nmero ureo est presente, las medidas debentomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hiptesis que defienden la presencia del nmeroureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el nmeroureo.6

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Antigedad [editar]El primero en hacer un estudio formal del nmero ureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quien lo defini de la siguiente manera:

"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razn cuando la recta entera es al segmento mayor como elsegmento mayor es al segmento menor".

Euclides Los Elementos Definicin 3 del Libro Sexto.

Euclides demostr tambin que este nmero no puede ser descrito como la razn de dos nmeros enteros; es decir, es un nmeroirracional.Platn (c. 428-347 a. C.) vivi antes de que Euclides estudiara el nmero ureo. Sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollode teoremas relacionados con el nmero ureo debido a que el historiador griego Proclo escribi:

"Eudoxo... multiplic el nmero de teoremas relativos a la seccin a los que Platn dio origen".Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.

Aqu a menudo se interpret la palabra seccin () como la seccin urea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretacinha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusin de que la palabra seccin no tuvo nadaque ver con el nmero ureo. No obstante, Platn consider que los nmeros irracionales, descubiertos por los pitagricos, eran departicular importancia y la llave de la fsica del cosmos. Esta opinin tuvo una gran influencia en muchos filsofos y matemticosposteriores, en particular los neoplatnicos.A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el nmero ureo, Platn se ocup de estudiar el origen y la estructura delcosmos, cosa que intent usando los cinco slidos platnicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combin la ideade Empdocles sobre la existencia de cuatro elementos bsicos de la materia, con la teora atmica de Demcrito. Para Platn,cada uno de los slidos corresponda a una de las partculas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estabaasociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estabaasociado con el dodecaedro.

Edad Moderna [editar]En 1509 el matemtico y telogo italiano Luca Pacioli public De Divina Proportione (La Divina Proporcin), donde plantea cincorazones por las que estima apropiado considerar divino al nmero ureo:

1. La unicidad; Pacioli compara el valor nico del nmero ureo con la unicidad de Dios.


2. El hecho de que est definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del nmero ureo y la inconmensurabilidad de Dios son

equivalentes.4. La autosimilaridad asociada al nmero ureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.5. Segn Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a travs de la quinta esencia, representada por el

dodecaedro, el nmero ureo dio ser al dodecaedro.En 1525, Alberto Durero public Instruccin sobre la medida con regla y comps de figuras planas y slidas, donde describe cmotrazar con regla y comps la espiral urea basada en la seccin urea, que se conoce como espiral de Durero.El astrnomo Johannes Kepler (1571-1630) desarroll un modelo platnico del Sistema Solar utilizando los slidos platnicos, y serefiri al nmero ureo en trminos grandiosos:

La geometra tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitgoras; el otro, la divisin de una lnea entre el extremo ysu proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joyapreciosa.

Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El misterio csmico).

El primer uso conocido del adjetivo ureo, dorado, o de oro, para referirse a este nmero lo hace el matemtico alemn MartinOhm, hermano del clebre fsico Georg Simon Ohm, en la segunda edicin de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Lasmatemticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

"Uno tambin acostumbra llamar a esta divisin de una lnea arbitraria en dos partes como stas la seccin dorada".Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las matemticas puras elementales).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el trmino ya era de uso comn para la fecha, el hecho de que no lo incluyera ensu primera edicin sugiere que el trmino pudo ganar popularidad alrededor de 1830.En los textos de matemticas que trataban el tema, el smbolo habitual para representar el nmero ureo fue , del griego , quesignifica corte o seccin. Sin embargo, la moderna denominacin o la efectu en 1900 el matemtico Mark Barr en honor aFidias, ya que sta era la primera letra de su nombre escrito en griego (). Este honor se le concedi a Fidias por el mximovalor esttico atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribua tambin al nmero ureo. Mark Barr ySchooling fueron responsables de los apndices matemticos del libro The Curves of Life, de sir Theodore Cook.

El nmero ureo en las matemticas [editar]Save web pages as PDF with http://www.htm2pdf.co.uk! Unblock any website

Propiedades y representaciones [editar]ngulo de oro [editar]

razn nmero ureo

Propiedades aritmticas [editar] es el nico nmero real positivo tal que:

posee adems las siguientes propiedades:

Las potencias del nmero ureo pueden expresarse en funcin de una suma de potencias de grados inferiores del mismonmero, establecida una verdadera sucesin recurrente de potencias.El caso ms simple es: , cualquiera sea n un nmero entero. Este caso es una sucesin recurrente deorden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.Una ecuacin recurrente de orden k tiene la forma:

,donde es cualquier nmero real o complejo y k es un nmero natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el casoanterior es , y .Pero podemos saltar la potencia inmediatamente anterior y escribir:

. Aqu , , , y .Si anulamos las dos potencias inmediatamente anteriores, tambin hay una frmula recurrente de orden 6:

En general:


.En resumen: cualquier potencia del nmero ureo puede ser considerada como el elemento de una sucesin recurrente derdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un nmero natural. En la frmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativasde , hecho totalmente correcto. Adems, una potencia negativa de corresponde a una potencia positiva de su inverso, laseccin urea.Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicarque entre el nmero ureo y el nmero e hay un parentesco.

El nmero ureo es la unidad fundamental del cuerpo de nmeros algebraicos y la seccin urea

es su inversa, . En esta extensin el emblemtico nmero irracional cumple las siguientes igualdades:

.

Representacin mediante fracciones continuas [editar]La expresin mediante fracciones continuas es:

Esta iteracin es la nica donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es tambin la ms simple de todas las fracciones continuasy la que tiene la convergencia ms lenta. Esa propiedad hace que adems el nmero ureo sea un nmero mal aproximablemediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales.7

Por ello se dice que es el nmero ms alejado de lo racional o el nmero ms irracional. Este es el motivo por el cual aparece enel teorema de Kolmogrov-Arnold-Moser.

Representacin mediante ecuaciones algebraicas [editar]

, que surge de la ecuacin definitoria de un


trmino cualquiera en la sucesin de Fibonacci, a partir del tercero8

El nmero ureo y la seccin urea son soluciones de las siguientes ecuaciones:

que da el valor de sen 18 e mplcitamente al nmero areo9

Inecuacin algebraica [editar]/2 >(4 -2)1/2/10

Representacin trigonomtrica [editar]

stas corresponden al hecho de que el dimetro de un pentgono regular (distancia entre dos vrtices no consecutivos) es vecesla longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.

Representacin mediante races anidadas [editar]

Esta frmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma,en la revista American Mathematical Monthly, 1917.El teorema general dice:


La expresin (donde ), es igual a la mayor de las races de la

ecuacin: o sea, .

Relacin con la sucesin de Fibonacci [editar]Si se denota el ensimo nmero de Fibonacci como Fn, y al siguiente nmero de Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que, amedida que n aumenta, esta razn oscila, y es alternativamente menor y mayor que la razn urea. Podemos tambin notar que lafraccin continua que describe al nmero ureo produce siempre nmeros de Fibonacci a medida que aumenta el nmero de unosen la fraccin. Por ejemplo: ; ; y , lo que se acerca considerablemente al nmero ureo.Entonces se tiene que:

Esta propiedad fue descubierta por el astrnomo alemn Johannes Kepler, pero pasaron ms de cien aos antes de que fuerademostrada por el matemtico ingls Robert Simson.Con posterioridad se encontr que cualquier sucesin aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo lmite. Por ejemplo, si tomamosdos nmeros naturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesin recurrente resulta: 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301...Los cocientes de trminos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintticamente por exceso y por defectoal mismo lmite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795.11

A mediados del siglo XIX, el matemtico francs Jacques Philippe Marie Binet redescubri una frmula que aparentemente ya eraconocida por Leonhard Euler, y por otro matemtico francs, Abraham de Moivre. La frmula permite encontrar el ensimo nmerode Fibonacci sin la necesidad de producir todos los nmeros anteriores. La frmula de Binet depende exclusivamente del nmeroureo:

El nmero ureo en la geometra [editar]El nmero ureo y la seccin urea estn presentes en todos los objetos geomtricos


El trangulo de Kepler:

Euclides obtiene el rectngulo ureo AEFD apartir del cuadrado ABCD. El rectngulo BEFCes asimismo ureo.

El nmero ureo y la seccin urea estn presentes en todos los objetos geomtricosregulares o semiregulares en los que haya simetra pentagonal, que sean pentgonos o queaparezca de alguna manera la raz cuadrada de cinco.

Relaciones entre las partes del pentgono.Relaciones entre las partes del pentgono estrellado, pentculo o pentagrama.Relaciones entre las partes del decgono.Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

El rectngulo ureo de Euclides [editar]El rectngulo AEFD es ureo porque sus lados AE y AD estn en la proporcin del nmeroureo. Euclides, en su proposicin 2.11 de Los elementos, obtiene su construccin:

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:

con lo que resulta evidente que

de donde, finalmente,

Por otra parte, los rectngulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que esteltimo es asimismo un rectngulo ureo.

Generacin de unrectngulo ureo a partir deotro.


Los segmentos coloreados delpentagrama poseen proporcionesureas.

Se puede calcular el nmero ureousando el teorema de Ptolomeo en unpentgono regular.

En el pentagrama [editar]El nmero ureo tiene un papel muy importante en los pentgonos regulares y en lospentagramas. Cada interseccin de partes de un segmento se interseca con otro segmento enuna razn urea.El pentagrama incluye diez tringulos isceles: cinco acutngulos y cinco obtusngulos. Enambos, la razn de lado mayor y el menor es . Estos tringulos se conocen como lostringulos ureos.Teniendo en cuenta la gran simetra de este smbolo, se observa que dentro del pentgonointerior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismomodo, es posible dibujar un pentgono por el exterior, que sera a su vez el pentgono interiorde una estrella ms grande. Al medir la longitud total de una de las cinco lneas del pentculointerior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea . Porlo tanto, el nmero de veces en que aparece el nmero ureo en el pentagrama es infinito alaadir infinitos pentagramas.

El teorema de Ptolomeo y el pentgono [editar]Claudio Ptolomeo desarroll un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cualpermite trazar un pentgono regular mediante regla y comps. Aplicando este teorema, seforma un cuadriltero al quitar uno de los vrtices del pentgono, Si las diagonales y la basemayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b2 = a2 + ab lo que implica:

Pentgono estrellado [editar]Aparece el nmero de la justa razn entre los segmentos parciales de los lados de unpentgono estrellado.12

Trigonometra [editar]El seno de 18 es la mitad del inverso del nmero de la justa razn.13

cos 36 es la mitad del nmero areo.14De igual modo 2cos 36 - 2 sen 18 = phi - 1/phi.


Los 12 vrtices de lostres rectngulos ureoscoinciden con los centrosde las caras de undodecaedro.

Concha de nautilus en espirallogartmica.15

Relacin con los slidos platnicos [editar]El nmero ureo est relacionado con los slidos platnicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensionesestn dadas en trminos del nmero ureo.Los 12 vrtices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas por los siguientespuntos:(0, 1, ), (1, , 0), (, 0, 1)Los 20 vrtices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/=51 tambin se pueden dar en trminos similares:(1, 1, 1), (0, 1/, ), (1/, , 0), (, 0, 1/)Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su rea total se pueden expresartambin en trminos del nmero ureo:

Si tres rectngulos ureos se solapan paralelamente en sus centros, los 12 vrtices de los tresrectngulos ureos coinciden exactamente con los vrtices de un icosaedro, y con los centros de lascaras de un dodecaedro.El punto que los rectngulos tienen en comn es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.

Teora de nmeros [editar]

El nmero ureo en la Naturaleza [editar]En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la seccin urea y/o los nmeros deFibonacci:

Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los bacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa lasucesin que lleva su nombre para calcular el nmero de pares de conejos n mesesdespus de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejosestn aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad,tardan un mes desde la fecundacin hasta la aparicin y cada camada es de dos conejos).Este es un problema matemtico puramente independiente de que sean conejos los


logartmica.15involucrados. En realidad, el conejo comn europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos yvarias veces al ao, aunque no cada mes, pese a que la preez dura 32 das. El problemase halla en las pginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que lleg hasta nosotros, y parece que el planteamientorecurri a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incgnita, un acertijomatemtico. El cociente de dos trminos consecutivos de la sucesin de Fibonacci tiende a la seccin urea o al nmero ureosi la fraccin resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesin recurrente de orden dos,segn demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.16La disposicin de los ptalos de las flores (el papel del nmero ureo en la botnica recibe el nombre de Ley de Ludwig).17 18La distribucin de las hojas en un tallo. Ver: Sucesin de Fibonacci.17La relacin entre las nervaduras de las hojas de los rboles.19La relacin entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de unaequivale a tomando como unidad la rama superior).19La cantidad de espirales de una pia (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Estos nmeros son elementos de lasucesin de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al nmero ureo.20 21La distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total.22La cantidad de ptalos en las flores. Existen flores con 3, 5 y 8 ptalos y tambin con 13, 21, 34, 55, 89 y 144.20La distribucin de las hojas de la yuca y la disposicin de las hojas de las alcachofas.20La relacin entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalpodos como el nautilus.Hay por lo menos tres espirales logartmicas ms o menos asimilables a proporciones areas. La primera de ellas se caracterizapor la relacin constante igual al nmero ureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en unamisma direccin y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solariumtrochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.23 24 Se debe entender que en toda consideracin natural,aunque involucre a las ciencias consideradas ms matemticamente desarrolladas, como la Fsica, ninguna relacin o constanteque tenga un nmero infinito de decimales puede llegar hasta el lmite matemtico, porque en esa escala no existira ningnobjeto fsico. La partcula elemental ms diminuta que se pueda imaginar es infinitamente ms grande que un punto en unarecta. Las leyes observadas y descriptas matemticamente en los organismos las cumplen transgredindolas orgnicamente.25Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el mximo de insolacin conla mnima interferencia entre ellas, stas deben crecer separadas en hlice ascendente segn un ngulo constante ytericamente igual a 360 (2 - ) 137 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medir unngulo prctico de 137 30' o de 137 30' 28" en el mejor de los casos.17 Para el clculo se considera iluminacin vertical y elcriterio matemtico es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque lailuminacin del Sol no es, en general, vertical y vara con la latitud y las estaciones, esto garantiza el mximo aprovechamientode la luz solar. Este hecho fue descubierto empricamente por Church17 y confirmado matemticamente por Weisner en 1875.


En la representacin del Hombre deVitruvio Leonardo da Vinci no utiliza el

nmero ureo, sino el sistema fraccionariopropuesto por Vitruvio

En la prctica no puede medirse con tanta precisin el ngulo y las plantas lo reproducen "orgnicamente"; o sea, con unapequea desviacin respecto al valor terico. No todas las plantas se benefician con un mximo de exposicin solar o a la lluvia,por lo que se observan otros ngulos constantes diferentes del ideal de 137. 30'. Puede encontrar una tabla en la pgina 26del documento completo accesible en el enlace de la referencia.21En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso delgirasol, y en otros objetos orgnicos como las pias de los pinos se encuentran nmeros pertenecientes a la sucesin deFibonacci. El cociente de dos nmeros sucesivos de esta sucesin tiende al nmero ureo.Existen cristales de pirita dodecadricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentgonos irregulares. Sin embargo, lasproporciones de dicho poliedro irregular no involucran el nmero ureo. En el mundo inorgnico no existe el pentgono regular.ste aparece (haciendo la salvedad de que con un error orgnico; no podemos pretender exactitud matemtica al lmite26 )exclusivamente en los organismos vivos.27

El nmero ureo en el arte y en la cultura [editar]Relaciones en la forma de la Gran Pirmide de Gizeh. La afirmacin de Herdoto deque el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posiblenicamente si la semi-seccin meridiana de la pirmide es proporcional al tringulo

rectngulo , donde 1 representa

proporcionalmente a la mitad de la base, la raz cuadrada del nmero ureo a laaltura hasta el vrtice (inexistente en la actualidad) y el nmero ureo o hipotenusadel tringulo a la apotema de la Gran Pirmide. Esta tesis ha sido defendida por losmatemticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), se apoya en lainterpretacin de un pasaje de Herdoto (Historiae, libro II, cap. 124) y resultatericamente con sentido, aunque una construccin de semejante tamao debacontener errores inevitables a toda obra arquitectnica y a la misma naturaleza dela tecnologa humana, que en la prctica puede manejar nicamente nmerosracionales.

Otros investigadores famosos se inclinan por la hiptesis de que los constructoresintentaron una cuadratura del crculo, pues la raz cuadrada del nmero ureo seaproxima mucho al cociente de 4 sobre . Pero una construccin tal, aunque seconociera con una aproximacin grande, carecera completamente de intersgeomtrico.28


No obstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayora 14,2 cm y esta pequea variacin queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y,principalmente, porque la pirmide perdi el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que estoquede ms claro, una precisin del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centmetros y en la altura est en el ordende la diferencia real que debera existir entre ambas posibilidades.

La relacin entre las partes, el techo y las columnas del Partenn, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX,Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspir en un pasaje del Teeteto de Platn para estudiar las proporciones relativasde las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectnicas. Dos rectngulos no semejantes se distinguenentre s por el cociente de su lado mayor por el menor, nmero que basta para caracterizar a estas figuras y que denominmdulo del rectngulo. Un cuadrado tiene mdulo 1 y el doble cuadrado mdulo 2. Aquellos rectngulos cuyos mdulos sonnmeros enteros o racionales fueron denominados "estticos" y los que poseen mdulos irracionales euclidianos, o sea,expresables algebraicamente como races de ecuaciones cuadrticas o reducibles a ellas, "dinmicos". El doble cuadrado es ala vez esttico y dinmico, pues 2 es la raz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectngulo dinmico elemental es aquel que tiene porlado mayor a la raz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su mdulo la raz cuadrada de 5.29 PosteriormenteHambidge estudi a los monumentos y templos griegos y lleg a encuadrar el frontn del Partenn en un rectngulo de mdulo

. Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectngulo es

descompuesto en seis de mdulo y cuatro cuadrados.30

Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correccionespticas en el Partenn. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus lneasfuesen paralelas y perfectamente rectas y los ngulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visin humana el conjuntose vera ms ancho arriba que en la base, sus columnas se percibiran inclinadas hacia afuera y la lnea que fundamenta el techosobre las columnas se vera como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente ms altos que el centro.Los constructores hicieron la construccin compensando estos efectos de ilusin ptica inclinando o curvando en sentido inverso alos elementos involucrados. As las columnas exteriores, en ambos lados del frente, estn inclinadas hacia adentro en un ngulo de2,65 segundos de arco, mientras que las que estn en el medio tienen una inclinacin de 2,61 segundos de arco. La lnea queformaran los dinteles entre columnas y que constituye la base del tringulo que corona el edificio, en realidad es un ngulo de 2,64segundos de arco con el vrtice ms elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aqu,se logra que cualquier observador que se site en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme yrecto.31

Estudios como los del dr. Fechner han demostrado que la percepcin de la belleza radica en la proporcin urea. Por ende,aquello que matemticamente ms se aproxime a fi, se percibir como ms bello y perfecto. sta nocin de belleza y perfeccin


es aplicable a estructuras arquitectnicas, pinturas, partituras musicales, fractales y personas.32En el cuadro Leda atmica, de Salvador Dal, hecho en colaboracin con el matemtico rumano Matila Ghyka.33 34 35En las estructuras y tiempos de las pelculas "El acorazado Potemkin" e "Ivn el Terrible" de Sergui Eisenstein.36 35En los violines, la ubicacin de las efes o eses (los odos u orificios en la tapa) se relaciona con el nmero ureo.[cita requerida]El nmero ureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguelngel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.Es necesario desmentir la expandida aseveracin de que el nmero ureo aparece en la conocida representacin del hombrede Vitruvio de Leonardo da Vinci. En este dibujo Leonardo da Vinci sigue estrictamente las proporciones fraccionarias delcuerpo humano que Vitruvio describe en su libro De architectura; concretamente en el Captulo I del Libro Tercero, El origen delas medidas del Templo.En las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfona de Ludwig vanBeethoven[cita requerida], en obras de Franz Schubert[cita requerida] y Claude Debussy [cita requerida](estos compositoresprobablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basndose en equilibrios de masas sonoras).37En la pg. 56 de la novela de Dan Brown El cdigo Da Vinci aparece una versin desordenada de los primeros ocho nmerosde Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, JacquesSaunire. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones del nmero phi (1,618) en la naturaleza y el ser humano.Menciona que las distancias entre nuestro cuerpo son proporcionales entre si, como las de la pierna al muslo, el brazo alantebrazo, etc.En el episodio Sabotaje de la serie de televisin NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemtica CharlieEppes menciona que el nmero fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha delNautilus.En el episodio de Mentes Criminales "Obra maestra" (Cuarta temporada, episodio 8), los crmenes del profesor Rothschildsiguen una sucesin de Fibonacci; en la primera zona, mat a una vctima; en la segunda, a otra; en la tercera, a dos; en lacuarta, a tres; y en la quinta, a cinco: doce en total. Las localizaciones tambin se disponen segn una espiral urea, de fuerahacia dentro: el sitio donde estaban secuestrados los nios estaba justo en el centro. Hasta eligi a sus doce primeras vctimassegn cunto se acercaran las relaciones entre sus rasgos faciales al nmero ureo: buscaba que fueran los "especmenesms perfectos de ser humano".El arte Pvera fue un movimiento artstico italiano de los aos 1960, muchas de cuyas obras se basan en estasucesin.[cita requerida]En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos/Pi, el orden del caos, el personaje central, el matemtico Max Cohen, explica larelacin que hay entre los nmeros de Fibonacci y la seccin urea, aunque denominndola incorrectamente Theta () en vezde Phi ().El nmero phi aparece en la pelcula de Disney "Donald en el pas de las matemticas".38


Vase tambin [editar]Tringulo de KeplerNmero Espiral logartmicaEstrella mgicaSucesin de FibonacciComposicin ureaPitgorasLuca PacioliMatila GhykaRoger PenroseDecgono regularRectngulo cordobs

Referencias [editar]1. Fernando Corbaln (2010). La proporcin urea. RBA Coleccionables S. A. ISBN 978-84-473-6623-1.2. Luca Pacioli, De Divina Proportione (De la divina proporcin, escrito entre 1496 y 1498.3. Este nmero es irracional, aunque es algebraico de segundo grado por ser raz de una ecuacin cuadrtica y tambin constructible

mediante regla y comps, y existen numerosas aproximaciones racionales con mayor o menor error. En el ao 2008 se obtuvieron cienmil millones de cifras decimales correctas. (Ver: http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html ) Al igualque ocurre con la raz cuadrada de dos, es posible construir un segmento idealmente exacto con regla no graduada de un solo borde ylongitud indefinida y un comps de abertura variable.

4. Proporcin urea en WolframMathWorld5. N.N. Vorobiov:Lecciones de matemticas populares. Nmeros de Fibonnacci, Editorial Mir, Mosc (1974)6. Mario Livio (2002). The Golden Ratio. Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3.Mario Livio (2009). La Proporcin urea. La historia de phi, el

nmero ms sorprendente del mundo. Editorial Ariel S. A. ISBN 978-84-394-4495-X.7. Bad approximable numbers in WolframMathWorld8. Vorobiov: Op. cit.9. Vavilov: Problemas de matemtica. editorial mir, mosc

10. Adaptacin de un problema inserto en "Problemas Matemticos" de Litvinenko y Mordkvich.Editorial Mir, Mosc ( 1984)11. Trabajo presentado por Mark Barr y Shooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.12. Bruo: Geometra superior


13. Se calcula partiendo de seno y coseno de 3614. Se halla usando los respectivos valores de los dos datos15. Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life. Constable and Company Ltd, Londres, Captulo IV: "Flat Spirals in Shells".16. N. N. Vorobiov; traduccin de Carlos vega (1974). Nmeros de Fibonacci. Editorial Mir, Mosc, rstica, 112 pginas.17. a b c d Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life. Constable and Company Ltd, Londres, Captulo V: "Botany: The Meaning

of Spiral Leaf Arrangements", pgina 81 en adelante.18. http://www.archive.org/stream/cu31924028937179#page/n10/mode/1up (Libro on line, Biblioteca del Congreso de Estados Unidos de

Amrica)19. a b Artculo publicado por Astroseti: Las espirales de Fibonacci podran estar relacionadas con la tensin 26/04/2007

(Probablemente, tambin con el principio de mnima accin): "Zexian Cao y sus colegas de la Academia de Ciencias China usaron laingeniera de tensin para crear microestructuras de distintas formas de slo 12 m de longitud con un ncleo de plata y una cscara deSiO2. Descubrieron que si se establecan las cscaras en formas esfricas durante el enfriamiento, se formaban en ellas patrones detensin triangulares. Por otra parte, si se establecan en formas cnicas, aparecan patrones de tensin en espiral. Estos patronesespirales eran espirales de Fibonacci" esto es, espirales que tienen sus dimensiones gobernadas por las series de Fibonacci." "Elequipo de Cao no cree que las espirales de Fibonacci se formen por accidente, sin embargo creen que su causa puede estarrelacionada con un delicado problema planteado por el fsico J. J. Thomson en 1904. Thomson pregunt cmo un conjunto de cargas seorganizara a s mismo en una esfera conductora para minimizar su energa. Los fsicos han calculado ya que las cargas tomaranpatrones triangulares similares a las microestructuras esfricas de Cao. Debido a esto, el equipo de Cao piensa que las espirales deFibonacci en las microestructuras cnicas debe ser la configuracin equivalente de energa mnima (y por tanto tensin mnima) para uncono, aunque no han llevado a cabo clculos por s mismos." "Los bilogos han sospechado desde hace tiempo que las ramas de losrboles y otras ocurrencias de la serie de Fibonacci en la naturaleza son simples reacciones para la minimizacin de la tensin, perohasta ahora no se haba encontrado ninguna prueba concreta. Nuestro experimento usando materiales puramente inorgnicosproporciona la prueba para este principio, comenta Cao a Physics Web."

20. a b c "[...] la flor de un girasol est formada por pequeas estructuras que se encuentran alineadas de tal forma que producen hilerasdispuestas en espiral, algunas de ellas abren sus brazos en el sentido de las agujas del reloj y las restantes en la direccin contraria. Silas contamos veremos que siempre habr 13 espirales que se abren hacia la derecha por 21 que se abren a la izquierda (13/21). Estehecho puede parecer banal, pero adquiere relevancia cuando se repite esta cuenta con girasoles de diferentes tamaos y con otras florescomo las margaritas y los mirasoles; pues encontramos que algunas tienen 21/34, otras 34/55 y que incluso las hay de 55/89. [...]"Miramontes, Pedro (abril-junio 1996). "La geometra de las formas vivas" . E Journal, Universidad Autnoma de Mxico (42).

21. a b "Los nmeros de Fibonacci en Botnica ocurren con gran regularidad. En 1968, Brousseau us 4290 pias de diez especies depinos encontrados en California, de las cuales solo 74 pias (1.7 por ciento) se desvi de los nmeros de Fibonacci. En 1992, Jean R.V.en su artculo Model texting in phyllotaxis public que de 12.750 observaciones en 650 especies encontradas en la literatura deBotnica de los ltimos 150 aos, la sucesin de Fibonaci apareca en ms del 92 por ciento de todos los posibles casos de plantas condisposicin espiral de sus elementos. Entre los 12.750 casos, la sucesin de Lucas (Edouard A. Lucas, 1842- 1891) se encontr en undos por ciento. Coxeter llama a la apariencia de los nmeros de Fibonacci: Fascinante tendencia. Otros se refieren a la prevalencia deFibonacci como: El misterio de la Filotaxis o La obsesin o pesadilla de los botnicos. La disposicin de las escamas de las pias,


frutos de diferentes especies de pinos, se organiza en torno a dos espirales de escamas: una dextrgira y otra levgira. Se haconstatado empricamente que en un nmero muy elevado de estas especies, son nmeros consecutivos de la sucesin de Fibonacci.Otros ejemplos son las tortas de girasol, las cabezuelas de las margaritas, etc. Las hojas de la mayor parte de plantas de tallo alto,estn colocadas alrededor del mismo pudiendo ser recorridas siguiendo una espiral (figura 13). Mas concretamente, en Filotaxis severifica la llamada ley de divergencia: para cada especie de plantas el ngulo que forman dos hojas consecutivas, llamado ngulo dedivergencia, es constante." (Pgina 23 en adelante) Reyes Iglesias, Encarnacin (2009). "Arte y Naturaleza en clave geomtrica" .Universidad de Valladolid.

22. LA RAZN AUREA - Ministerio de Educacin de Espaa23. Matila Ghyka (1953). Esttica de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidn, Buenos Aires, Captulo V: "Del

Crecimiento Armonioso", pginas 118 a 144.24. D'Arcy Wentworth Thompson (1917). "On Growth and Form". Cambridge University Press. D'Arcy Wentworth Thompson (1992). "On

Growth and Form". Dover edition, 1116 pginas. D'Arcy Thompson (1980). "Sobre el Crecimiento y la Forma. Editorial Hermann Blume,Madrid.Existen ediciones de unas 300 pginas, una reciente de Cambridge.

25. Es una parfrasis de un pensamiento de Ruskin mencionado en la pgina 139 del libro citado de Matila Ghyka.26. En cualquier ser orgnico o inorgnico sus partes constituyentes (molculas, tomos, clulas) son objetos que tienen dimensiones; el

punto geomtrico no. Por esa razn, cuando se sostiene que se verifica una proporcin esta no ser jams un nmero iracional coninfinitos decimales, pues ello implicara que las partes que forman al objeto en cuestin no tuvieran dimensiones como los puntosgeomtricos. Tendremos forzosamente un intervalo de incertidumbre, del que podremos indicar por lo menos dos racionales que lolimitan. Explicado de otra forma: si una clula est en el borde de un ser y decimos que otra parte est situada en proporcin urea conese borde, Desde dnde tenemos que medir para que haya infinitos decimales exactos? Esa clula no es un cuerpo rgido, se deforma,los bordes no son lneas perfectas. En la prctica la mayora de los decimales infinitos del nmero ureo no tendrn razn de aparecerdebido a la incertidumbre de la medida.

27. Ghyka, Matila. "Esttica de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes", Captulo V: "Del Crecimiento Armonioso"; obra citada.28. "Lgicamente, la tesis de la seccin urea parecera ms probable, porque de ella emana una construccin rigurosa, elegante y

sencilla del tringulo meridiano, mientras que en la otra hiptesis, an suponiendo conocido con una aproximacin muy grande el valorde , la construccin sera puramente emprica y desprovista de verdadero inters geomtrico" [Es notable, adems, que aunque losantiguos no saban de la trascendencia de , estaban completamente conscientes de la carencia de exactitud de algunos intentos decuadratura del crculo] Matila Ghyka (1953). Esttica de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidn, BuenosAires, Captulo VIII: "La Pirmide de Keops", pgina 222.

29. Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). "Dynamic Symmetry The Greek Vase". Yale University Press, New Haven.Jay Hambidge (22 deagosto de 2007). Dynamic Symmetry The greek vase. Rough Draf Printing. ISBN 978-1-60386-037-6.

30. Jay Hambidge (1924). "The Parthenon and Other Greek temples, their Dynamic Symmetry". Yale University Press, New haven. Haytodava disponibles ejemplares de esa edicin, tanto nuevos como usados y a la venta a aproximadamente $ (USA) 250.

31. Banister; Fletcher. "A History of Architecture". B. T. Basford, Londres.32. The golden ratio and aesthetics , by Mario Livio.33. http://www.educacion.gob.es/exterior/ad/es/publicaciones/Aula_Abierta2_Belleza.pdf , pgina 86.


34. J. L. Ferrier, Dal, Leda atmica, Pars: Denel, Gonthier, 1980.35. a b Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Filosofa. "Aspectos Estticos de la Divina proporcin. Memoria para optar al

grado de Doctor", Araceli Casans Arteaga, Madrid, 2001, ISBN: 84-669-1867-1. http://eprints.ucm.es/tesis/fsl/ucm-t25388.pdf36. S. M. Eisenstein, La nueva etapa del contrapunto del montaje, en contracampo, nro. 29, ao IV, abril-junio 1982, pgina 42.37. Por ejemplo, la sonata N 1 de Mozart para piano subdivide su primer movimiento en 38 y 62 compases. El cociente, 62/38 = 1,6315,

difiere en menos de un 1% de la proporcin urea. Lo mismo puede decirse de su segundo movimiento, que con 28 y 46 compases ensus dos secciones principales arrojan una proporcin 46/28 = 1,6428, tambin muy cercana a . La sonata N 2 subdivide el primermovimiento en 56 y 88 compases, cuyo cociente es 88/56 = 1,5714, tambin bastante prximo a la relacin urea. Aunque desde luegono toda la msica se secciona de esta manera, es uno de los posibles principios para la organizacin del tiempo en la msica. Otro esla simetra, segn el cual las secciones tienen igual duracin. Curiosamente, la simetra funciona mejor en el corto plazo (a nivel defrases o motivos), mientras que la relacin urea domina las grandes extensiones. Se ha argumentado que en tiempos considerables elser humano es incapaz de percibir objetivamente la duracin, pero es posible que s exista una percepcin inconsciente de la estructurageneral. "La msica de las esferas: de Pitgoras a Xenakis... y ms ac", Apuntes para el coloquio del Departamento deMatemtica, Federico Miyara, pginas 14 y 15. http://www.sectormatematica.cl/musica/esferas.pdf

38. http://www.youtube.com/watch?v=jZjYLbZh_mo&feature=related

Bibliografa [editar]En orden cronolgico:

Jarolimek (Viena, 1890). Der Mathematischen Schlssel zu der Pyramide des Cheops.Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis. Mnich: Oldenburg.Cook, Theodore Andrea (1979; obra original: 1914). The Curves of Live. Nueva York: Dover. ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5.Pacioli, Luca (1991). La Divina Proporcin. Tres Cantos: Ediciones Akal, S. A. ISBN 978-84-7600-787-7.Ghyka, Matila (1992). El Nmero de Oro. Barcelona: Poseidn, S.L. ISBN 978-84-85083-11-4.Ghyka, Matila (2006). El Nmero de Oro. I Los ritmos. II Los Ritos. Madrid: Ediciones Apstrofe, S. L. ISBN 978-84-455-0275-4.Corbaln, Fernando (2010). La proporcin urea. RBA Coleccionables S. A. ISBN 978-84-473-6623-1.

Enlaces externos [editar] Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Nmero ureo.

Weisstein, Eric W. GoldenRatio . En Weisstein, Eric W. MathWorld (en ingls). Wolfram Research.Matematicasvisuales.com. La proporcin urea (en espaol). Consultado el 16 de abril de 2015.Langarita Felipe, Ignacio A. El nmero de oro (en espaol). Consultado el 16 de abril de 2015.


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Paniagua Snchez, Juan ngel. El nmero ureo o Phi (en espaol). Castor.es. Consultado el 16 de abril de 2015.De Castro P., Carlos Armando. Sucesiones ureas: Parte I. (en espaol). Consultado el 16 de abril de 2015.De Castro P., Carlos Armando. Sucesiones ureas: Parte II. (en espaol). Consultado el 16 de abril de 2015.Tomasini, Mara Cecilia. El nmero y lo sagrado en el arte (en espaol). Consultado el 16 de abril de 2015.Knott, Ron (9 de diciembre de 2011). The Golden section ratio: Phi (en ingls). Consultado el 16 de abril de 2015.

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