I modelli di valutazione delle opzioni su tassi
Il modello di Vasicek
Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi
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Il modello di Vasicek
O. Vasicek,
An Equilibrium Characterization of the Term Structure
“Journal of Financial Economics”, vol. 5, 1977
Il paper deriva una forma generale di term structure dei tassi di interesse
Le ipotesi sono: Il tasso spot segue un processo markoviano
continuo
Il prezzo dei bond dipende solo dal tasso spot
Il mercato è efficiente
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Il modello di Vasicek
dW(t)σr(t)]dt-θk[dr(t) +=
Il tasso a breve termine viene fatto evolvere secondo un processo Ornstein-Uhlenbeck caratterizzato da un coefficiente costante nel drift
dove k, θ, σ sono valori costanti e positivi.
Questo processo viene anche detto random walk elastico. È un processo markoviano con incrementi distribuiti normalmente.
Al contrario del processo Wiener, che con il passare del tempo tende a divergere verso valori infiniti, questo processo è caratterizzato da una distribuzione stazionaria
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Il modello di Vasicek
r(t)]-θk[Il drift istantaneo
rappresenta una forza che porta il processo nel lungo termine verso la media di lungo termine θ, con forza proporzionale alla deviazione del processo dalla media
Media di lungo termine
La componente stocastica
fa fluttuare il processo intorno alla media di lungo termine in modo erratico ma continuo
dW(t)σ
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Il modello di Vasicek
][eET)P(t,∫T
tr(s)ds-
t=
La dinamica proposta da Vasicek risulta interessante per alcuni motivi:
L’equazione è lineare e può essere risolta esplicitamente
Il prezzo del titolo può essere determinato sulla base della seguente
Che si calcola come espressione dipendente da k, θ, σ e r(t).
Una volta definito il prezzo del titolo si può facilmente calibrare l’intera curva dei tassi.
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Il modello di Vasicek
)(+= s)--k(ts)--k(t exp-1θr(s)expE[r(t)]
Integrando l’equazione del tasso spot, si ottengono le formule per determinare il rendimento e la varianza che sono, rispettivamente
]exp-[12k
σVar[r(t)] s)-2k(t-
2
=
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Il modello di Vasicek
Si consideri il seguente esempio:
Sostituendo i singoli valori nelle equazioni del rendimento e della varianza si ottengono i seguenti valori
0311.0=)(025.0+5.0= 1)--0.5(21)--0.5(2 exp-1expE[r(t)]
k t s r(s) sigma(s)0,5 2 1 0,025 0,035 0,3
θ
0142,0=5,0*2
3,0=
2
]exp-[1Var[r(t)] 1)-*0.5(22-
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Il modello di VasicekSulla base dei valori precedentemente
stimati, si può dimostrare che una distribuzione normale giustifica l’eventualità di rendimenti negativi, con le seguenti probabilità
Probabilità r(t)0,10% -1,29%1,00% -0,20%2,50% 0,32%5,00% 0,77%
10,00% 1,28%15,00% 1,63%20,00% 1,91%
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Il modello di VasicekUn vantaggio è quello della mean reversion
che permette al tasso a breve di convergere verso il valore di lungo termine ( ).
Si consideri il seguente esempio:
Il tasso a breve termine dopo 10 anni tende verso il rendimento del 5 per cento.
04948.0=)(05.0+035.0= 1)--0.5(101)--0.5(10 exp-1expE[r(10)]
θ
k t s r(s)0.5 10 1 0.05 0.035
θ
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Il modello di Vasicek
TASSO A BREVE INIZIALE 3.00%a (int drift) 0.30%b (ang drift) 5.00%e (vol) 1.50%TIMESTEP 0.001t (SCADENZA BREVE) 1T (SCADENZA LUNGA) 5
0.00%1.00%2.00%3.00%4.00%5.00%6.00%7.00%8.00%9.00%
10.00%
1 37 73 109
145
181
217
253
289
325
361
397
433
469
505
541
577
613
649
685
721
757
793
829
865
901
937
973
Tasso a breve Tasso a lunga
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Il modello di Vasicek:la term structure
TASSO A BREVE INIZIALE 3.50%a (int drift) 0.02%b (ang drift) 6.00%e (vol) 11.00%TIMESTEP 1.000
t (SCADENZA BREVE) 1T (SCADENZA LUNGA) 2T (SCADENZA LUNGA) 3T (SCADENZA LUNGA) 4T (SCADENZA LUNGA) 5T (SCADENZA LUNGA) 6T (SCADENZA LUNGA) 7T (SCADENZA LUNGA) 8T (SCADENZA LUNGA) 9T (SCADENZA LUNGA) 10
0.00%
1.00%
2.00%
3.00%
4.00%
5.00%
6.00%
7.00%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Il modello di Vasicek:la calibrazione
TASSO A BREVE INIZIALE 3.50% CALIBRAZIONE 6.00%a (int drift) 0.02%b (ang drift) 6.00%e (vol) 11.00%TIMESTEP 1.000
t (SCADENZA BREVE) 1T (SCADENZA LUNGA) 2T (SCADENZA LUNGA) 3T (SCADENZA LUNGA) 4T (SCADENZA LUNGA) 5T (SCADENZA LUNGA) 6T (SCADENZA LUNGA) 7T (SCADENZA LUNGA) 8T (SCADENZA LUNGA) 9T (SCADENZA LUNGA) 10
0.00%
1.00%
2.00%
3.00%
4.00%
5.00%
6.00%
7.00%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Il modello di Vasicek:i vantaggi
Presenza di mean reversion
Trattabilità analitica per il prezzo di un titolo (non è necessario applicare metodologie di simulazione à la Montecarlo)
Facilitazione del calcolo ipotizzando un processo del tasso di interesse distribuito normalmente
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Il modello di Vasicek:gli svantaggi
Utilizzo di parametri non osservabili sul mercato
Non perfetta adesione alla struttura a termine iniziale dei tassi rendimenti
Il tasso può diventare negativo con probabilità positive
I rendimenti dei titoli con differenti scadenze, essendo proporzionali alla varianza, sono correlati fra loro
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Il modello di Vasicek:il pricing di un titolo ZC
Una volta stimato il processo evolutivo del tasso spot nel tempo secondo il processo descritto da Vasicek è possibile stimare il prezzo di un titolo zero coupon derivandolo dalla seguente
][eET)P(t,∫T
tr(s)ds-
t=
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Il modello di Vasicek:il pricing di un titolo ZC
Si ottiene la seguente
dove
T)r(t)-B(t,T)eA(t,T)P(t, =
]T)B(t,4k
σ-t)T-T))(B(t,
2k
σ-θe[(T)A(t, 2
2
2
2
+=
]e-[1k
1T)B(t, t)-k(T-=
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Il modello di Vasicek:il pricing di un titolo ZC
Si consideri il seguente esempio
Il prezzo di uno zero coupon bond di 5 anni stimato in t(0) alle condizioni definite dai parametri in termini esogeni è di 87,4 con un rendimento annuo composto di 2,72%
k t s r(s)sigma(s)0,5002,50%3,00%22,00%
t TA(t,T)B(t,T) P(t,T) r(t,T)0 50,92391,83580,8742,720%
θ
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Il modello di Vasicek:il pricing di un titolo ZC
Ora immaginiamo di stimare uno ZCB a 30 anni
Il prezzo scende a 46,8 con un rendimento pari 2,566% su base annua
Si noterà come questo rendimento converge verso la mean reversion
k t s r(s) sigma(s)0,5 0 0 2,50% 3,00% 22,00%
t T A(t,T) B(t,T) P(t,T) r(t,T)0 30 0,4966 2,0000 0,468 2,566%
θ
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Il modello di Vasicek:il pricing di un titolo ZCSe s=t=0 la varianza del tasso di interesse è
nulla e il processo del rendimento è governato solo dal drift
Ma il modello diventa interessante (perché stocastico) se t>s
Supponiamo ora che t=1 con s=0
Il modello Vasicek permette di stimare uno ZCB a scadenza successiva da quella di quotazionek t s r(s)sigma(s)0,5102,50%3,00%22,00%
t TA(t,T)B(t,T) P(t,T) r(t,T)1 50,94421,72930,8992,684%
θ
Foglio elettronico Vasicek
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Il modello di Vasicek:il pricing di un’opzione
La possibilità di stimare un titolo a scadenza è la base della valutazione di un’opzione
Vasicek nel suo articolo non presenta direttamente le equazioni di stima che vengono derivate dal suo modello da Jamshidian [An Exact Bond Option Pricing Formula, “Journal of Finance”, vol. 44, 1989]
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Il modello di Vasicek:il pricing di un’opzione
Per stimare il prezzo al tempo t di un’opzione europea (O) con uno strike X, durata T e basata su un titolo zero coupon con scadenza al tempo S è necessario conoscere la distribuzione di r(T) cioè la dinamica della term structure.
Dove: ω=1 per le call e ω=-1 per le put
Φ(°) è funzione di distribuzione cumulata normale
))]σ-(hω(ΦT)XP(t,-h)ω(ΦS)[P(t,ωX)S,T,O(t, P=
S)B(T,2k
exp-1σσ
t)-2k(T-
P = 2
σ
T)XP(t,
S)P(t,ln
σ
1h P
P+=
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Il modello di Vasicek:il pricing di un’opzione
Si consideri l’esempio seguente (call option scadenza 6 anni con strike 0,95)
La procedura di calcolo permette di determinare il premio dell’opzione
S X ω6 0,95 1
kts r(s)sigma(s)0,3102,50%3,00%22,00%
θ
sigma(P) 0,557h 0,227
ωh 0,227
ω(h-sigma(P)) -0,330Φ(ωh) 0,590
Φ(ω(h-sigma(P))) 0,371