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Einführung in die SystemtheorieDefinition System:Ein in sich geschlossenes, geordnetes und gegliedertes Ganzes; Gesamtheit, Gefüge von Teilen, die voneinander abhängig sind, ineinander greifen oder zusammenwirkenz.B. in der PhysikGesamtheit von Körpern, Feldern u.s.w. die voneinander abhängig sind und als Ganzes betrachtet werdenz.B. Biologiez.B. Informationsübertragungssystemez.B. Energieübertragungssysteme
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Systeme zur Übertragung von Information
Theorie:Wissenschaftl., rein gedankliche Betrachtungsweise, Lehrmeinung Erkenntnis von gesetzlichen Zusammenhängen
USA Signale und Systeme
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Aufgabenstellung Systemanalyse
Systemanalyse:Für ein gegebenes System wird bei gegebener Eingangssignalfunktion x(t) die Ausgangsfunktion y(t) gesucht
Systemx(t) y(t) ?
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Aufgabenstellung Systemsynthese
Systemsynthese:Es ist ein System zu entwerfen, das für eine gegebene Eingangssignalfunktion eine gewünschte Ausgangssignalfunktion y(t) liefert
System ?x(t) y(t)
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Aufgabenstellung Systemidentifikation
Systemidentifikation:Es ist für ein vorhandenes System durch geeignete Wahl der Eingangsgröße und Messen der Ausgangsgröße das Übertragungsverhalten des Systems zu ermitteln
System g(t)x(t) y(t)
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Bezeichnungsweisen
Übertragungsfunktion G(s) • Systemeigenschaft im
Frequenzbereich • H(δ), T(s) in amerikanischer
LiteraturImpulsantwort g(t)• Systemeigenschaft im Zeitbereich
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Bezeichnungsweisen
Eingangssignal• x(t) Bezeichnung im Zeitbereich• X(s) Bezeichnung im
Frequenzbereich
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Bezeichnungsweisen
Ausgangssignal• y(t) Beschreibung im Zeitbereich• Y(s) Beschreibung im
Frequenzbereich
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Mathematisches Modell
Das System wird durch ein mathematisches Modell beschrieben
• bei kontinuierlichen Signalen Differentialgleichungen
• bei diskreten Signalen Differenzengleichungen
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Kontinuierliche Signale• Periodisches Signal
Verwendung der Fourier-Reihe• Allgemeine nichtperiodische Signale
Fourier-Integral Laplace
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Diskrete Signale
Verwendung von• DFT• FFT• Z-Transformation
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Beschränkung zunächst:• Kontinuierliche Signale• Lineare zeitinv. Systeme
Behandlung von nichtlinearen Systemen durch Linearisierungnumerische Lösung
nichtlinearer DGL
Beschränkung
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Systeme
• Kausale SystemeUrsache Wirkung
• Stabile SystemeKeine Selbsterregung
t
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Linearität
Mehrere gleichzeitig auftretende Eingangssignale durchlaufen das System unabhängig voneinander und überlagern sich auf Ausgangsseite ungestört.
lineares System
k1x1(t)+k2x2(t) k1y1(t)+k2y2(t)
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Zeitinvarianz
Zeitinvarianz:x(t) y(t)
x(t-t0) y(t-t0)
t
t0
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Stabilität
Stabilität:
wenn! dann!
Ursache verschwindet Wirkung geht auf 0
0)}({lim
txt
0)}({lim
tyt
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Kausalität
aus x(t)=0 für t<t0 folgty(t)=0 für t<0
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Signalklassen
• deterministisch-stochastisch• digital-analog
Abtasttheorem
Voraussetzungen zur Vorlesung- Zweipoltheorie: E-Technik- Vierpoltheorie: Info1- Fourier-Trf.: Info1- Abtastsatz: Info1
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Beschreibung von Systemen
g(t)x(t) y(t)
G(s)X(s) Y(s)
Beschreibung im Zeitbereich
Beschreibung im Frequenzbereich
Eingang AusgangSystem
Strukturbild - Strukturplan
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Erweiterung auf mehrere Ein-Ausgangsgrößen
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
y4
UrsacheEingangs-signalErregung
WirkungAusgangs-signalAntwort
[A]X Y
Vektor Matrix Vektor
Y=[A] X
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Behandlung im Zeit-oder Frequenzbereich möglich
• Übergang mit Fourier- oder Laplace-Transformation
Bei Fouriertrf. Frequenz
komplexe Frequenz
Ermöglicht Auf- und abklingende Schwingungen zu behandeln
)()( j
js
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Fourier-Transformation
deFtfF
dtetfF
tj
tj
)(21)()(
)()(
1
Orginalraum(in t) Bildraum (in ω)Abbildung
f(t) Objektfunktion Resultatfunktion)(F
f(t)
f(t)
im allgemeinen Komplex)(F
)(F
)(F
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Prof. J. WALTER info2 Stand: März 2002 Seite 23
Einseitige LaplacetransformationVoraussetzung f(t)=0 für t<0
dsesLj
tfsLL
js
tfLdtetfsL
j
j
st
st
0
0
)(*2
1)()}({
)}({)()(
1
0
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Prof. J. WALTER info2 Stand: März 2002 Seite 24