Download - initial value problem indo ver
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
1/55
BAB VI
PERSAMAAN DIFFERENSIAL: KASUS IVP
Kompetensi:
Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa:
1. Mampu mengidentifikasi berbagai bentuk persamaan differensial yang sering
ditemukan dalam bidang Teknik Kimia.
2. Mengenal berbagai metode penyelesaian persamaan differensial kasus !".
#. Mampu menyelesaikan problem persamaan differensial kasus !" dengan
metode yang sesuai.
$. Mampu menginterpretasikan hasil penyelesaian persamaan differensial kasus
!" untuk aplikasi bidang Teknik Kimia.
6.1. Pendah!an
"ersamaan differensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan
fungsi dari satu atau lebih %ariabel terikat terhadap satu atau lebih %ariabel bebas.
Selanjutnya jika dalam persamaan tersebut turunan fungsi itu hanya tergantungpada satu %ariabel bebas, maka disebut "ersamaan &ifferensial 'iasa ("&') dan
bila tergantung pada lebih dari satu %ariabel bebas disebut "ersamaan &ifferensial
"arsial ("&").
*=+
+
xyt
y
x
y
+ontoh:
1. ("ersamaan &ifferensial "arsial)
#2
2
2
=
+ xdx
dy
dx
yd
dx
dy
2. ("ersamaan &ifferensial 'iasa)
)()(-)(.....)()( 1)1(
1
)(
xFyxayxayxayxa nnnn =++++
rde suatu
persamaan differensial biasa adalah orde tertinggi dari turunan dalam persamaan
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
2/55
F(x , y ', y ' ', .. , y ( n))=0 . +ontoh nomor dua adalah persamaan differensial
biasa orde dua. "ersamaan differensial biasa orde n dikatakan linier bila dapat
dinyatakan dalam bentuk.
(/.1)
dengan
)( xa
1. 0ika tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier.
2. 0ika koefisien
)(),.....,(),(1
xaxaxan
konstan maka disebut persamaandifferensial linier dengan koefisien konstan. 0ika koefisiennya tidak konstan,
maka disebut persamaan differensial linier dengan koefisien %ariabel.
#. 0ika
)( =xF, maka disebut persamaan differensial linier homogen, jika
)( xFdisebut tidak homogen.
"ersamaan differensial itu terbagi berdasarkan :
1. 'erdasarkan pangkat orde :
a. "ersamaan differensial biasa orde satu
kxydx
dy=+
(/.2)
"ersamaan differensial orde satu merupakan bentuk persamaan differensial yang
paling sederhana, karena hanya melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi
yang tidak diketahui. 0ika dalam persamaan tersebut %ariabel bebas dan %ariabel
tak bebasnya berada pada sisi yang berbeda dari tanda persamaannya, maka
disebut persamaan differensial yang terpisah dan untuk menentukan selesaiannya
perlu diintegralkan. 0ika tidak demikian, maka disebut persamaan differensial tak
terpisah. Suatu persamaan differensial orde satu yang tak terpisah biasanya dapat
dengan mudah dijadikan persamaan differensial terpisah melalui penggantian
(substitusi) dari salah satu %ariabelnya.
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
3/55
b.
kxdt
dyy
dx
yd=+
2
2
"ersamaan differensial biasa orde dua
(/.#)
.
kxdx
dyb
dx
yda
dx
yd=
++
2
2
2
#
#
"ersamaan differensial biasa orde tiga
(/.$)
2. 'erdasarkan kondisi batas:
a. !" (Initial Value Problems), bila nilai %ariabel tak bebas atau turunannya
diketahui pada kondisi nilai mulamula.
b. '!" (Boundary Value Problems), bila nilai %ariabel tak bebas atau
turunannya diketahui lebih dari satu nilai %ariabel bebasnya.
6.". Pe#samaan Di$$e#ensia! Pa#sia! pada Kass IVP
Initial Value Problem(!") merupakan materi yang penting untuk dipelajari
oleh mahasiswa teknik. Kelas terbesar !" adalah masalah sementara yaitu,
%ariabel%ariabel dependen berubah terhadap waktu. Salah satu ontoh
permasalahan yang bisa diselesaikan dengan !" dalam bidang teknik kimia
adalah %ariasi konsentrasi sebagai hasil reaksi dalam reaktor bath.
&3 (Ordinary Differential Equation) adalah sebuah persamaan differensial
yang berisi turunan dari satu %ariabel independen, sementara itu "&3 berisi
turunan dari %ariabel independen yang lebih dari satu. "ada persamaan differensial
biasa (&3), hanya terdapat 1 %ariabel bebas. "enyelesaian persamaan
differensial biasa (&3) dapat dilakukan dengan $ metode yaitu :
Metode 3uler (34pliit)
MetodeRunge Kutta
Metode 3uler Modifikasi (mplisit)
Metode Trape5oidal
Initial Value Problem(!") terbagi # yaitu :
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
4/55
a. Single, First Order ODE
),( yxfdx
dy
="ersamaan untuk !" Single First Order ODE bisa ditulis
mengikuti bentuk:
(/.*)
dimana :
y (x0 )=y0 (/./)
Metode penyelesaian Single First Order ODEada # yaitu:
Metode 3uler (34pliit)
MetodeRunge Kutta
Metode 3uler Modifikasi (mplisit)
b. Systems of Coupled First Order ODE
"ersamaan untuk !" Systems of !ou"led First Order ODE bisa ditulismengikuti bentuk:
dy1
dx= f1(y1 , y2) (/.6)
dy2
dx= f2(y1 , y2) (/.7)
"ermasalahan yang lebih umum akan menjadi salah satu dimana f# danf$
juga fungsi dari %ariabel independen, 4 yaitu
dy1
dx= f1(x , y1 , y2) (/.8)
dy2
dx= f2(x , y1 , y2) (/.1)
Metode penyelesaian Systems of !ou"led First Order ODEada # yaitu:
Metode 3uler (34pliit)
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
5/55
MetodeRunge Kutta
Metode Trape5oidal
c. Initial Value Partial Diffrential Equations
+ontoh9ontoh permasalahan dalam bidang teknik yang diselesaikan
dengan !" :
a. ntuk menghitung panjang lintasan bisbol yang dilempar dari bidang tengah
lapangan bisbol ke %ome "late (lihat ;ambar /.1).
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
6/55
md
2x
dt2=k
dx
dt(dx
dt)2
+( dydt)2
md
2y
dt2=k
dy
dt(dx
dt)2
+( dydt)2
mag
dimana
x=0
y=8 ft
pada t ? dx
dt=V0cos
dy
dt=V0 sin
"erhatikan bahwa semua kondisi yang diketahui ditentukan pada satu kondisi
waktu (yaitu, t ? ) dan dengan demikian ini merupakan kondisi awal dari
masalah.
Trajetory of 'aseball
+enterfielder @ome "late
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
7/55
%am&a# 6.1. Aintasan 'isbol
leh karena itu, masalah ini adalah masalah nilai awal (!") karena semua
kondisi tertentu untuk satu nilai dari %ariabel independen (t) yaitu .
4? 4?2* ft
t? t?# se
y?/ y?1 ft
ntuk menemukan lintasan yang ook untuk kondisi batas akan mewakili
Boundary Value Problem('!").
b. &iasumsikan reaktor bath nonisotermal yang dioperasikan pada keadaan
adiabatik (tidak ada pertukaran panas diantara reaktor dengan lingkungan).
Beaktor dapat dilihat pada ;ambar /.2. &alam reaktor terdapat reaksi
ampuran airan dengan reaksi
< "
dimana r ? k+
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
8/55
dT
dt=
HR!k0CA VR VR CP
exp (ERT
)
"ersamaan ini kirakira mendekati persamaaan
dCA
dt =k0CA exp (
ERT
)
yang menjelaskan dimana konsentrasi < dan temperatur dalam sistem akan
berubah terhadap waktu. Seara umum, panas reaksi tidak akan berpengaruh
besar pada temperatur, sehingga persamaan
dCA
dt =k0CA exp (
ERT
) dan
dT
dt=
HR!k0 CA VR VR CP
exp (ERT
)bisa menjadi
dCA
dt ="1CA exp (
ERT
)
dCA
dt
="2CA exp (E
RT
)
dimana T?T dan +
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
9/55
6.'. Metode E(p!i)it E!e#
6.'.1. Unt* sat PDB
Metode 3kplisit 3uler disebut juga metoda integrasi nilai awal, dimana
kondisi awal(x0, y0) digunakan untuk menghitung slope y(4) pada saat 4 ? 4
dy
dx=f(x0 , y0)
kemudian diasumsikan bahwa slope dy /dx tetap konstan untuk jarak yang
keil
x , maka nilaiy (x0+ x) adalah
y (x0+ x)=y (x0 )+ xf(x0 , y 0)
Bekursi umum hubungan metode 34pliit 3uler adalah
y (xi+ x )=y (xi )+ x f[xi , y(xi)]
atau
y i+1=yi+ x f(xi , yi)
6.'.". Unt* Le&ih da#i 1 PDB
Metode 34pliit 3uler disajikan pada bagian terakhir dapat langsung
diperpanjang untuk solusi sistem n(&ou"led first order ODE)s. @al ini karena
masingmasing dyi>d4 bergantung seara umum pada semua nilai yi, masing
masing fi(4,y) dihitung sebelum nilai baru yi dihitung. leh karena itu, algoritma
ini
y1,#+1=y1, #+ x f1(x# , y #)
y2,#+1=y2, #+ x f2(x# , y #)
.
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
10/55
Indentifkasi soalMasukkan data awal yang ada kedalam tabel
Jika :
= F (x, y1, y2 , ....yn)= F (x, y1, y2 , ....yn)
= F (x, y1, y2 , ....yn)
etntukan !ange data
"ntuk meng#itung data selan$utnya, maka menggunakan :
%1, $&1 = y1,$ & 'x F($ , %1, $ , %2, $ ....... %n, $)
%2, $&1 = y2,$ & 'x F($ , %1, $ , %2, $ ....... %n, $)
%n, $&1 = yn,$ & 'x F($ , %1, $ , %2, $ ....... %n, $)
.
.
yn , #+1=yn , #+ x fn(x# , y #)
dimana yi? (y1,j, y2,j, ..., yn,j). Sebagai ontoh, yi,j adalah nilai yipada kej nilai 4
(yaitu bila kondisi awal yang ditentukan saat 4?, maka jke nilai 4 akan menjadi
jD4).
Karena metode ini didasarkan pada metode 3uler 34pliit, ini adalah
metode orde pertama. 'ergantung %ariabel (yi) yang paling epat berubah
biasanya menentukan apakah metode ini akan stabil untuk ukuran langkah yang
diberikan. ntuk ontoh pengantar pada bagian ini, konsentrasi berubah dengan
epat dengan waktu, kemudian akan menentukan ukuran langkah yang diperlukan
untuk stabilitas.
Mekanisme "enyelesaian Seara Eumberik dengan 34pliit 3uler adalah
sebagai berikut :
+ontoh soa!
&engan 1 "ersamaan &iferential biasa Metode e4pliit euler
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
11/55
Soa! 1 :
@itung nilai y pada 4 ? 1 dengan metode 3uler jika persamaannya
dy
dx=x2y
dimana y ? 1 pada saat 4 ?
"enyelesaian:
Aangkah 1. bah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy>d4 ? f(4,y)
maka
dy
dx=x2
y
Aangkah 2. bah persamaan differensial tersebut ke bentuk e4pliit euler
yi*# + yi* ,x f -xi yi.
maka
yi*# + yi* ,x xi$yi
Aangkah #. "ilih,x yang tepat lalu selesaikan
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
12/55
G4 y (4?1)
,1 1,#2
,* 1,#**8
,2 1,#682
,1 1,#76#
.2 .* .+ . .1 .12
1.2
1.-
1.-2
1.-*
1.-+
1.-
1.*
1.*2
x
y (x=1)
%am&a# 6.'. "erbandingan nilai analitis dengan nilai yang didapat dengan
metode 3uler
Soa! " :
Eilai
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
13/55
dnA
dt =10
0.1nA2
50+10 t
dimana n< ? pada saat t ?
;unakan metode e4pliit euler dan tentukan konsentrasi < (n
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
14/55
0adi, konsentrasi < (nliter
'erdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara n
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
15/55
g H(t)=0.5 () )24 f
&imana
f=0.0791 /1 /4
&an
= 4 (
& *+
dan
() )= 4(
& * +2
+atatan bahwa dan * adalah fluid density dan 2is&osity. Substitusikan
sehingga:
8(0.0791)(2
&2+
(
4(
& * +
)g H(t)=
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
16/55
i T H
0 2
1 2,//-+*
2 1 -,2
03 1 *,*1/
1+4 2 ,+*
+5 2 ,-
/16 - ,//
/7 - +,-++-
18 * +,+/+
* +,/*
/10 0,2-/+
111 0,*+**
2+12 + 0,++-2
2*13 + 0,-/2
/14 0 0,//*
*+15 0 ,1-*
/116 ,20-
1
17 ,-++/2
18 / ,*+*
1 / ,1*
2+20 1 ,+2
//21 1 ,+/0/
*22 11 ,0/+
1
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
17/55
! . .
! . .
! . .! . .
! . .
161 /,20*
0162 1 /,20*
0163 1 /,20*
0164 2 /,20*
0165 2 /,20*
0166 - /,20*
0167 - /,20*
1 2 - * + 0 /
/
/.2
/.*
/.+
/.
1
1.2
H
%am&a# 6.. ;rafik nilai @
Soa! - :
&engan lebih dari 1 "&' kasus !" metode euler :
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
18/55
Sebuah reaktor sistem bath non isothermal beroperasi seara adiabatik. &i
dalam reaktor berlangsung reaksi homogen fase air < 9" dengan keepatan reaksi
r ?K +a dan k ? k e4p (E
RT )
dengan :
+a ? Konsentrasi mol dan B ? ,721$. Tentukan berapa konsentrasi dan suhu
pada waktu sampai t?2* detik.
0awab :
Aangkah 1 :
Masukkan nilai +a, T pada saat t ? kedalam 2 persamaan diatas kedalam tabel
yang sudah tersedia
Aangkah 2 :
ntuk menari nilai +a dan T pada t ? 1, masukkan ke persamaan berikut
+a iH1? 1 H 1 L (,1L 1 e4p (1
0,8314100 ) )
T iH1 ? 1 H 1 L (,2L 1 e4p (1
0,8314100 ) )
i , +a ,
/ 1 1
1 1 ,811$/2 88,72282
" 2 ,7#671 88,//1*/
' # ,6*62*/ 88,*1$*1
- $ ,/82* 88,#7*
* ,/2817$ 88,2*7#6
6 / ,*6#*27 88,1$6/
0 6 ,*2272 88,$*/
7 ,$6/*/8 87,8*#1$
2 8 ,$#$$28 87,7/77/
1/ 1 ,#8/18 87,682$
11 11 ,#/18 87,6222
1" 12 ,#288/ 87,/*718
1' 1# ,#6 87,/1
1- 1$ ,26#$81 87,*$/87
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
20/55
1 1* ,2$8#2 87,$87/$
16 1/ ,226276 87,$*$*6
10 16 ,2622 87,$1$$
1 17 ,17778# 87,#6668
12 18 ,16222 87,#$$$
"/ 2 ,1*/876 87,#1#86
"1 21 ,1$#116 87,27/2#
"" 22 ,1#$62 87,2/8$
"' 2# ,1178$/ 87,2#678
"- 2$ ,17$#6 87,21/76
" 2* ,877*7 87,18662
Soa! :
&engan 2 "&' kasus !" e4pliit euler :
&iketahui persamaan differensial sebagai berikut:
dCA
dt ="1CAexp(ERT)
dTdt="2 CA exp(ERT)
&imana +
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
21/55
dy
dx=f(x , y)
maka
dy
dx=f(x , y )=
dCA
dt ="1 CA exp(ERT)
Aangkah 2. bah persamaan differensial tersebut ke bentuk 34pliit 3uler
y1,#+1=y1, #+ x f1(x# , y #)
maka
CAi+1=CA
i+ t "1CA
iexp(ER Ti)
Ti=Ti+t "2CAiexp(ERTi)
dimana T ? # K dan +liter
Aangkah #. "ilih Dt yang tepat untuk menyelesaikan persamaan differensial di atas
ntuk Dt ? ,2
I t NA ,
1
2
.
.
.
2*
.
.
.
*
,2
,$
.
.
.
*
.
.
.
1
1
,8882/$
,887*28
.
.
.
,1*#/26
.
.
.
,2#/2
#
#,6#*7
#,1$61
.
.
.
#7,$/#627
.
.
.
#8,6/8#6/
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
22/55
0adi, konsentrasi < (+liter dan T ? #8,6/8#6/ K
'erdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara +
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
23/55
dimana
k1
=f(x , y )
k2=f(x+n x, y+n k1 x)
k3=f(x+m x , y+m k2 x)
k4= f(x++ x , y+m k3 x)
konfigurasi ini dipilih dengan tujuan untuk mendapatkan pendekatan slo"e y
terhadap G4 yang lebih baik. &engan menuliskan perluasan deret Taylor untuk k1,
k2, k#,dan k$ kemudian mensubtitusikannya ke persamaan (/.1/), akan diperoleh
persamaan yang bentuknya mirip dengan persamaan (/.1*). Kemudian, dengan
menyamakan koefisien yang %ariabelnya sama dan mengasumsikan nilai untuk n,
m, dan p, maka nilai a, b, , dan d dapat ditentukan.
'erikut ini adalah persamaan umumRunge Kutta(n? , m?1>2, dan p? 1)
yi+1=yi+ x
6(k1+2k2+2k3+k4)
dimana
k1=f(x i , yi)
x i+1
2 x , y i+
1
2k1 x
k2=f)
xi+1
2x , yi+
1
2k2 x
k3=f )
x i+ x , y i+k3 xk4=f )
6.-.". Unt* !e&ih da#i 1 PDB
&alam ara yang mirip dengan pengembangan metode 3uler 34pliit,
metodeRunge Kuttadapat diterapkan langsung ke solusi dari a set of &ou"led first
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
24/55
order ODE)s. Mempertimbangkan urutan metodeRunge Kuttakeempat disajikan
dalam bagian terakhir. Eilainilai k1ditentukan untuk masingmasing bergantung
%ariabel dan kemudian nilai ini digunakan untuk menghitung nilainilai k2, dan
sebagainya. Kemudian hubungan rekursi untuk metode Runge Kutta urutan
keempat diberikan sebagai :
y1,#+1=y1, #+ x
6 [k1, i , #+2k2, i , #+2k3, i , #+k4, i , # ]
dimana y,i,j adalah nilai ike bergantung %ariabel setelah langkahlangkah j dalam 4
dan
k1, i , #=fi(x , y1, # , y2,# , , yn , # )
k2,i , #= fi(x+ x
2, y1,#+
x
2k1,1,# , , yn , #+
x
2k1,n , #)
k3,i , #= fi(x+ x
2, y1,#+
x
2k2,1,# , , yn , #+
x
2k2,n , #)
k4, i , #=fi(x+x , y1,#+ x k3,1,# , , y n, #+x k3, n, #)
Metode ini adalah metode urutan keempat. "erilaku stabilitas metode ini
akan serupa dengan yang dari metode 3uler 34pliit.
ntegrator 34pliit dapat dengan mudah dimodifikasi untuk menyesuaikan
ukuran langkah 4 selama proses integrasi. Sebagai ontoh, '4 dapat dipilih
sedemikian rupa sehingga perubahan relatif maksimal dalam setiap %ariabel
adalah " persen. &engan ara ini, ketika %ariabel%ariabel bergantung yang
berubah dengan epat, ukuran langkah keil dapat digunakan, dan ketika merekaberubah lebih epat, langkahlangkah lebih besar dapat diambil.
P yi
100 fi (x0 , y0 )
x=min i?1,2,...,n
"rosedur ini harus menghasilkan proses integrasi yang lebih efisien. Selain
itu, " biasanya harus antara 1 dan 2, sehingga memeriksa keakuratan
ditentukan lebih langsung.
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
25/55
Indentifkasi soalMasukkan data awal yang ada kedalam tabelJika :
= F (x, y1)
etntukan !ange data
"ntuk meng#itung data selan$utnya, maka menggunakan :
%, $&1 = yi & 'x3+ x (41 &242 & 24- & 4*)
entukan 41, 42, 4-, 4*
Mekanisme "enyelesaian Eumberik dengan Metode Bunge Kutta
Soa! 1 :
&engan 1 "&' kasus !" metode range kutta :
&iketahui persamaan differensial sebagai berikut:
dy
dx=x2y
&imana y ? 1, pada 4 ? . Tentukan nilai y pada saat 4 ? 1 dengan metode Bunge
KuttaN
"enyelesaian:
Aangkah 1. bah persamaan ke bentuk dy>d4 ? f(4,y)
dy
dx=x2y
Aangkah 2. bah persamaan tersebut ke bentukRunge Kutta
k1=f(x i , yi)
x i+1
2 x , y i+
1
2k1 x
k2=f)
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
26/55
x i+1
2 x , y i+
1
2k2 x
k3=f)
xi+ x, y i+k3 xk4=f )
maka
k1=02x 1=0
k2=(0+0.5x 0.1)2x1=0.0025
k3=(0+0.5x0.1 )2x (1+0.0025x0.5x 0.1)=0.0025
1
k4=(0+0.1)2x H.2*4.1) ? .1
Aangkah #. Tentukan nilai yiH1 dengan persamaan
yi+1=yi+ x
6(k1+2k2+2k3+k4)
Aangkah $. "ilih nilai G4 yang tepat, lalu selesaikan
ntuk G4 ? 1
i F O k 1 k2 k# k$
1 ,2* ,2* ,1#
1 ,1
1,##
#
,1
#
,22*1
8
,22*#
# ,$1#
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
27/55
2 ,2 1,2/6
,$1
6
,/268
2
,/27/
# ,87/
# ,#
1,8$
1
,871
$
,12$1/
$
,12$#/
7 ,1/#$#/
$ ,$
1,21*/
# ,1/#$*
,27*2
1
,2786
7 ,2//1*
* ,*
1,$2*$
6
,2//#
6
,#18#1
# ,#22 ,#7/7$$
/ ,/
1,6$/*
*
,#7/76
/
,$/221
*
,$/#7
/ ,*$8#7
6 ,6 1,12112/
,*$8#*
2
,/$/7
$
,/$77
$ ,6*8$$
7 ,7
1,17/8
*
,6*81
1
,77$#6
/
,7778
2 1,#26#7
8 ,8
1,26*/
8
1,#27
/
1,186#*
* 1,2$67 1,#8**$6
1 1
1,#8*/1
2
1,#8*/1
2
1,/1**8
/
1,/2662
2 1,77*/$*
0adi nilai y pada saat 4?1 adalah 1,#8*/12.
'erdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara y dengan 4
.2 .* .+ . 1 1.2
.2
.*
.+
.
1
1.2
1.*
1.+
x
y
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
28/55
%am&a# 6.0. @ubungan konsentrasi < (n
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
29/55
BungeKutta Method:
k1= f(x i , yi )= dnA
dt = 0.1nA
2
0.07525nA
k2= 0.1 ( nAi+0.5k1 t)
2
0.07525 (nAi+0.5 k1 t)
k3= 0.1(nAi+0.5 k2 t)
2
0.07525 (nAi+0.5k2 t)
k4= 0.1 (nA i+k3 t)
2
0.07525 ( nAi+k3 t)
nA i+1=nA i+ t
6(k12k22k3 k4)
t=1
% ti k1 k2 k3 k4 nA &'
ktt
0 ,01*56
,02*56
,02*56
,0--56
,1
1 1 ,0--56
,0*256
,0*256
,0256
,10
2-+2 2 ,0256
,0+156
,0+156
,00156
,111*
++1
3 - ,00156
,056 ,056
,0/56
,110220*
4 * ,0/56
,56 ,56 ,/56
,12-
05 ,/56
,1/56
,1/56
,2/56
,12
0-6 + ,2/56
,-56
,-56
,*56
,1-*+
2+27 0 ,*56
,56
,56
,+56
,1**
+*8 ,+56
,056
,056
,056
,1*+-
22-
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
30/55
/ ,056
,/056
,/056
,/056
,121
//
10 1 ,/056
,/1056
,/1056
,/2056
,1/02
11 11 ,/2056
,/-056
,/-056
,/*056
,1+*
1**12 12 ,/*056
,/056
,/056
,/+56
,1+//
1013 1- ,/+56
,/056
,/056
,/56
,10/
/214 1* ,/56
,//56
,//56
+,56
,11
015 1 +,56
+,1/56
+,1/56
+,2/56
,10
216 1+ +,2/56
+,-/56
+,-/56
+,56
,1/-/
-/17 10 +,56
+,+56 +,+56
+,0156
,1///
*-*18 1 +,0156
+,156
+,156
+,/256
,11+
-+1 1/ +,/256
+,1256
+,1256
+,11-56
,1112
*020 2 +,11-56
+,12-56
+,12-56
+,1-*56
,1111
+/21 21 +,1-*56
+,1*56
+,1*56
+,156
,112*-
1-22 22 +,156
+,1++56
+,1++56
+,10056
,11-*
*/23 2- +,10056
+,156
+,156
+,1/56
,11-++
2/24 2* +,1/56
+,2/56
+,2/56
+,2256
,11*2
25 2 +,2256
+,2-156
+,2-156
+,2*256
0*01140
177
;rafik :
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
31/55
1 1 2 2 -
.1
.1
.1
.1
.1.1
.1
Soa! ' :
&engan 2 "&' kasus !" metode Bunge Kutta
&iketahui:
dy1
dx=
10y1y2 exp (y1 /100)
1+x2
dy2
dx=y1y2 exp (y1/100)
1+x2
dimanay1=y2=0.5 at x=0
hitungy1 and
y2 at x=1.0 menggunakan metode BungeKutta.
Solution
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
32/55
k1,1=dy1
dx=
10y1y2 exp (y1/100)
1+x2
k1,2=dy2
dx=y1y2 exp (y1/100)
1+x2
k2,1=
10 (y1+0.5 x k1,1 ) (y2+0.5 x k 1,2 )exp ( (y1+0.5 x k 1,1 )100 )1+(x i+0.5 x )
2
k2,2=
(y1+0.5 x k 1,1 ) (y2+0.5 x k1,2 )exp( (y1+0.5 x k1,1 )100 )1+(xi+0.5 x)
2
k3,1=
10 (y1+0.5 x k2,1) (y2+0.5 x k2,2 )exp ((y1+0.5 x k 2,1 )100 )1+(xi+0.5 x)
2
k3,2=
(y1+0.5 x k 2,1 ) (y2+0.5 x k2,2 )exp( (y1+0.5 x k2,1 )100 )1+(xi+0.5 x)
2
k4,1=
10 (y1+ x k 3,1 ) (y2+ x k3,2 )exp( (y1+ x k 3,1)100 )1+(xi+ x )
2
k4,2=
(y1+x k 3,1 ) (y2+ x k3,2)exp( (y1+ x k3,1 )100 )1+(xi+ x )
2
yi+1,1=yi ,1+ x
6(k1,12k2,12k3,1k4,1)
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
33/55
yi+1,2=yi ,2+ x
6(k1,22k2,22k3,2k4,2)
i x y1 y2 #1*1 #1*2 #2*1 #2*2 #3*1 #3*2 #4*1 #4*2
0 1 1 1,1
1
6
1,1
1*,*
01
6
1,*
*
1+,2
1/
6
1,+2
2
22,-
20
6
2,2-
-1 ,1 2,+
-
,*
-
21,/
+2
6
2,1/
+
20,2
6
2,0
2,1
0/
6
2,1
-,+
+0
6
-,+
0
2,2 ,2
,0
-,
*
6
-,
2,+
*
6
2,/
/
2,0
1+
6
2,0
2
22,/
+
6
2,2/
03 ,- ,/
2
,2
2-,1
0
6
2,-1
/
1,
+
6
1,0
*
1,
00
6
1,
1,1
6
1,1
14 ,* /,0+
/
,12
11,1
2+
6
1,11
-
+,11
1
6
,+1
,2
6
,2
+
-,1
2
6
,-
15 , 1,*
/1
,*
0
*,*2
1
6
,**
2
2,-1
6
,2-
2
-,2*
2
6
,-2
*
1,-2
/
6
,1-
-6 ,+ 1,0
0-
,1
/
1,0
2
6
,10
,/1
0
6
,/
2
1,2*
+
6
,12
,
0
6
,
+7 ,0 1,
2
,
,+0
0
6
,+
,-
*
6
,-
,*/
0
6
,
,2*
6
,2
8 , 1,/
20
,
*
,2
6
,2
,10
1
6
,1
0
,21
1
6
,2
1
,11
+
6
,1
2 ,/ 1,/
*0
,
2
,12
6
,1
-
,
1
6
,
,/
+
6
,1
,
0
6
,
+10 1 1,/
,
1
,+
1
6
,
+
,*
6
,
*
,*
+
6
,
,-
6
,
-
;rafik :
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
34/55
.2 .* .+ . 1 1.2
1
2
-
*
+
Soa! - :
&engan lebih dari 1 "&' kasus +" Metode Bunge Kutta
"ersamaan differensial sebagai berikut:
dy1
dx=x y1y2
y3
dy2
dx=x2+y1
2+y22+y3
2
dy3
dx=(y1y2+y2y3+y1y3 )x
dimana y1? y2 ? y# ? 1 dan 4 ? .
Tentukan y1, y2, y#pada 4 ? ,# menggunakan $ urutan langkah metode
Runge Kuttadengan D4 ? ,1.
"enyelesaian:
Aangkah 1. bah persamaan differensial tersebut ke persamaan
dy
dx=f(x , y)
maka
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
35/55
dy1
dx=
x y1y2
y3
dy2
dx=x2+y1
2+y22+y3
2
dy3
dx=(y1y2+y2y3+y1y3 )x
Aangkah 2. bah persamaan differensial tersebut ke bentukRunge Kutta
k1, i , #=fi(x , y1, # , y2,# , , yn , # )
k2,i , #= fi(x+ x
2, y1,#+
x
2k1,1,# , , yn , #+
x
2k1,n , #)
k3,i , #= fi(x+ x
2, y1,#+
x
2k2,1,# , , yn , #+
x
2k2,n , #)
k4, i , #=fi(x+x , y1,#+ x k3,1,# , , y n, #+ x k3, n, #)
maka
k1,1=dy1
dx=
x y1y2
y3
k1,2=dy2
dx=x2+y1
2+y22+y3
2
k1,3=dy3
dx=(y1y2+y2y3+y1y 3 )x
k2,1=(x+ x2)(y1+
x
2k1,1)(y2+ x2 k1,2)
(y3+ x2 k1,3)
k2,2=(x+ x2)2
+(y1+ x2 k1,1)2
+(y2+ x2 k1,2)2
+(y3+ x2 k1,3)2
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
36/55
k2,3= (y1+ x2 k1,1)(y2+ x
2k1,2)+(y2+ x2 k1,2)(y3+
x
2k1,3)+(y1+ x2 k1,1)(y3+
x
2k1,3)[x+ x2]
k3,1=(x+ x2)(y1+
x
2k2,1)(y2+ x2 k2,2)
(y3+ x2 k2,3)
k3,2=(x+ x2)2
+(y1+ x2 k2,1)2
+(y2+ x2 k2,2)2
+(y3+ x2 k2,3)2
k3,3= (y1+ x2 k2,1)(y2+ x
2k2,2)+(y2+ x2 k2,2)(y3+
x
2k2,3)+(y1+ x2 k2,1)(y3+
x
2k2,3)[x+ x2]
k4,1=(x+ x )(y1+ x k3,1 ) (y2+ x k3,2)
(y3+ x k3,3 )
k4,2=(x+ x )2
+(y1+ x k3,1 )2
+ (y2+ x k3,2)2
+ (y3+ x k3,3 )2
k4,3=[ (y1+ x k3,1 ) (y2+ x k3,2 )+(y2+ x k3,2 )( y3+ x k3,3)+(y1+ x k3,1 ) (y3+ x k3,3 ) ][x+ x ]
Aangkah #. Tentukan nilai yiH1dengan persamaan
y1,#+1=y1, #+ x
6 [k1,i , #+2k2,i , #+2k3,i , #+k4,i , # ]
maka
y1i+1=y1+ x
6 [k1,1+2k2,1+2k3,1+k4,1 ]
y2i+1=y2+ x
6 [k1,2+2k2,2+2k3,2+k4,2]
y3i+1=y3+ x
6 [k1,3+2k2,3+2k3,3+k4,3 ]
Aangkah $. "ilih D4 yang tepat lalu selesaikan persamaan differensial tersebut
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
37/55
41 4" 4' d415d( d4"5d( d4'5d( * 11 *1" *1' *"1 *"" *"'
1 1 1 # # ,*6* #,#2* ,1/*
,1 1,/1 1,##67 1,16# ,1#2# #,7$/6 ,#6# ,1#2# #,7$/6 ,#6# ,22$$ $,$/2* ,/26/
,2 1,28 1,68*$ 1,72# ,#$1$ *,$8#/ ,877 ,#$1$ *,$8#/ ,877 ,$67* /,6217 1,$226
,# 1,667 2,$8/1 1,2#7 ,/**6 7,886 2,12/6 ,/**6 7,886 2,12/6 ,7*/$ 11,722 #,$#/
'erdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara y dengan 4
.1 .2 .--2
.
1
1.
2
2.
-
y1
y2
y-
x
y
0adi didapat nilai y1?1,667, y2?2,$8/1, dan y#?1,2#7 pada 4?,#.
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
38/55
6.. Metode ,#ape7oida!
Metode trape5oidal juga dapat digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan a set of &ou"led first order ODE)s. Seara umum, jika ada n(
&ou"led first order ODEPs, setiap langkah akan membutuhkan solusi dari
persamaan aljabar ditambah seperangkat nnonlinier. Menerapkan metode
trape5oidal ke sistem agar hasil of first order ODE)sdi persamaan berikut (yaitu,
satu untuk setiap &3)J
y1,#+1=y1,#+ x
2 [ f1(xi , yi )+ f1(xi+1, y#+1)]
y2,#+1=y2, #+ x
2 [f2(x i , yi )+ f2(xi+1 , y #+1) ]
yn , #+1=yn , #+ x
2 [ fn (xi , yi )+fn(x i+1 , y#+1)]
dimana
y#=(y1, # , y2, # ,, yn , # )
dan di mana yi,j adalah ike bergantung %ariabel setelah langkahlangkah j.
+ontoh soa!:
;unakan metode Trape5oidal untuk
dy1
dx=y1y2+1
dy2
dx=y1y21
dimana y1? y2 ? pada 4 ?
Tentukan y1dan y2pada 4 ? ,2 dengan D4 ? ,1.
"enyelesaian:
Aangkah 1. bah persamaan differensial tersebut ke persamaan
dy
dx=f(x , y)
11
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
39/55
maka
dy1
dx=y1y2+1
dy2
dx=y1y21
Aangkah 2. bah persamaan differensial tersebut ke bentuk Trape5oidal
y1,#+1=y1,#+ x
2 [ f1(xi , yi )+ f1(xi+1, y#+1)]
y2,#+1=y2, #+ x2
[f2(x i , yi )+ f2(xi+1 , y #+1) ]
yn , #+1=yn , #+ x
2 [ fn (xi , y i )+fn(x i+1, y#+1)]
dimana
y#=(y1, # , y2, # ,, yn , # )
makay1y2+1+y1,1y2,1+1
y1,1=y1+ x
2[ ]
y1y21+y1,1y2,11
y2,1=y2+ x
2[ ]
0 .0+1+y1,1y2,1+1
y1,1=0+0,1
2[ ]=0,05 [2+y1,1y2,1]=0,1+0,05y1,1y2,1
y1,1=0,1+0,05y1,1y2,1
y1,10,05y1,1y2,1=0,1
y1,1(10,05y2,1)=0,1
12
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
40/55
y1,1= 0,1
(10,05y2,1) ..............................................................................................
(1)
0.01+y1,1y2,11
y2,1=0+0,1
2[ ]=0,05 [y1,1y2,12 ]=0,05y1,1y2,10,1
y2,1=0,05y1,1y2,10,1
0,05y1,1y2,1y2,1=0,1
y2,1(0,05y 1,11)=0,1
y2,1= 0,1
(0,05y1,11) ..............................................................................................
(2)
Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga menjadi
y1,1
= 0,1
(10,05 0,1
(0,05y1,11))y1,1=
0,1
(1 0,005(0,05y1,11))
(1 0,005(0,05y1,11))y1,1=0,1
y1,1 0,005y1,1
(0,05y1,11)=0,1
y1,1(0,05y1,11)0,005y1,1(0,05y1,11)
=0,1
y1,1(0,05y1,11)0,005y 1,1=0,1(0,05y1,11)
1-
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
41/55
0,05y1,1
2y1,10,005y1,1=0,005y1,10,1
0,05y1,1
2y1,10,005y1,10,005y1,1+0,1=0
0,05y1,1
21,01y1,1+0,1=0
y1,1=0,0995000125
Masukkan nilai y1,1ke persamaan (2) sehingga didapatkan y1,2
y2,1= 0,1
(0,0500,09950001251)
y2,1=1,004999875
Kemudian diari y1,2 dan y2,2
y1,1y2,1+1+y1,2y 2,2+1
y1,2=y1,1+ x
2[ ]
y1,1y2,11+y1,2y2,21
y2,2=y2,1+ x
2[ ]
0,0995000125 0(1,004999875 )+1+y1,2y2,2+1
y1,2=0,0995000125+0,1
2[ ]
y1,2=0,0995000125+0,1
2 [0,009999750012+1+y1,2y2,2+1 ]
y1,2=0,0995000125+0,1
2 [1,99000025+y1,2y2,2 ]
y1,2=0,0995000125+0,09500012499+0,05y1,2y2,2
y1,2=0,1945001375+0,05y1,2y2,2
y1,20,05y1,2y2,2=0,1945001375
1*
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
42/55
y1,2(10,05y 2,2)=0,1945001375
y1,2=0,1945001375
(10,05y2,2) .............................................................................................
.(#)
0,0995000125 0(1,004999875 )1+y1,2y2,21
y2,2=1,004999875+0,1
2[ ]
y2,2=1,004999875+0,1
2 [0,0099997500121+y1,2y2,21 ]
y2,2=1,004999875+0,1
2 [2,00999975+y1,2y2,2 ]
y2,2=1,0049998750,1004999875+0,05y1,2y2,2
y2,2=1,105499863+0,05y1,2y2,2
y2,2=1,105499863+0,05y1,2y2,2
y2,20,05y1,2y2,2=1,105499863
y2,2(10,05y1,2)=1,105499863
y2,2=1,105499863(10,05y1,2) .............................................................................................
($)
Substitusi persamaan ($) ke persamaan (#) sehingga menjadi
y1,2= 0,1945001375
(10,051,105499863(10,05y1,2))
y1,2= 0,1945001375
(10,05527499313(10,05y1,2) )
1
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
43/55
(10,05527499313(10,05y1,2) )y1,2=0,1945001375
y1,20,05527499313y1,2
(10,05y1,2) =0,1945001375
y1,2(10,05y1,2 )+0,05527499313y1,2(10,05y1,2)
=0,1945001375
y1,20,05y1,22+0,05527499313y1,2
(10,05y1,2) =0,1945001375
y1,20,05y1,22+0,05527499313y1,2=0,1945001375 (10,05y1,2)
y1,20,05y1,22+0,05527499313y1,2=0,19450013750,009725006875y1,2
y1,20,05y1,22+0,05527499313y1,20,1945001375+0,009725006875y1,2=0
0,05y1,22+1,065y1,20,1945001375=0
y1,2=0,1842225683
Masukkan nilai y1,2ke persamaan ($) sehingga didapatkan y2,2
y2,2= 1,105499863
(10,05 00,1842225683 )
y2,2=1,115777432
6.6. Metode Imp!isit
Metode implisit 3uler dapat diturunkan dari perluasan deret Taylor sebagai
berikut
y (xi )=y (xi+ x ) x y'(x i+ x )+
x2
2y
' '(x i+ x )
&engan mengurangi G42dan orde yang lebih tinggi, maka persamaan menjadi
y (xi+x )=y (xi )+ x y'(xi+ x )
1+
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
44/55
Metode implisit lain yang umum digunakan adalah metode trape5oidal.
"ersamaan umumnya adalah
yi+1=yi+ x
2 [ f(xi , yi )+f(xi+1, yi+1)]
6.0. Kon8e#si PDB o#de &an4a* *e sistem o#de sat
"erhatikan &3 orde kedua dengan kondisi awal:
dy2
dx2+A (x )
dy
dx+1 (x )y+C(x )=0
(/.27)
dimana y(4) ? a dan
dy
dxxo=/ (/.28)
karena kedua kondisi yang ditentukan untuk nilai 4 yang sama, masalahnya adalah
sebuah !". Membuat substitusi berikut:
2=dy
dx (/.#)
kemudian turunan differensial menjadi
d2
dx+A (x )2+1 (x )y+C(x )=0
(/.#1)
kemudian kedua persamaan disusun kembali
d2
dx=A (x )21 (x )yC(x )
(+.-2)
dydx=2 (+.--)
dimana
5(4) ? b (/.#$)
y(4) ? a (/.#*)
sekarang orde kedua &3 telah diubah menjadi a set of t3o &ou"led first order
ODE)s yang dapat terintegrasi dengan menggunakan salah satu metode yang
dijelaskan sebelumnya.
10
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
45/55
Sekarang perhatikan masalah umum dari orde nke &3, !"J yaitu
F
[d
n
ydx
n, d
n1
ydx
n1, ,dydx, y , x
]=0 (/.#/)
&imana
dn1
y
dxn1=an1
dn2
y
dxn2=an2
. 4 ? 4
.
.
dy
dx=a1
y=a0
dalam rangka untuk mengubah masalah ini menjadi a set of &ou"led first order
ODE)smembuat, maka dibuat substitusi berikut:
21=dy
dx
22=d 21
dx=
d2y
dx2
.
.
.
2n1=d2n2
dx =
dn1
y
dxn1 (/.#6)
maka selama kamu dapat seara eksplisit memeahkan
dny /dxn dalam fungsi umum, masalah dapat diubah menjadi bentuk berikut
1
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
46/55
d2n1
dx =3(2n1 , 2n2 , , 21 , y , x)
d2n2
dx =2n1
.
.
.
d 21
dx=22
dy
dx=21
dimana
2n1=an1
2n2=an2
.
. 4 ? 4
.
21=a1
y=a0
sekarang masalah telah dikon%ersi ke dalam a set of n &ou"led first order ODE)smembentuk suatu !".
+ontoh soa!:
bah persamaan differensial orde # berikut ke Systems First Order ODE)s
y2d
3y
d x3+(1x3 )d
2y
d x2+y
dy
dx=0
dimana
y=1
1/
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
47/55
dy
dx=1
x=0
d2y
d x2=1
"enyelesaian:
"ersamaan nya dapat diubah menjadi:
d
3
yd x
3=
(x31 ) d2y
d x
2y
dy
dxy
2
gunakan substitusi:
21=dy
dx
22=d 21
dx=
d2y
d x2
23=d 22
dx=
d3y
d x3
sehingga menjadi
d 22
dx=
(x31 )2221yy
2
dengan
y=1
21=1 x=0
22=1
6.. Soa!9soa!
1+
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
48/55
1. Selesaikan kasus initial %alue problem (!") berikut dengan nilai 4 ? sampai
dengan 2.
dy
dx=yx21.2y
&imana y() ? 1
2. ;unakan metode 3uler dengan h ? .* dan .2* untuk menyelesaikan Soal 1 di
atas. "lotkan hasil pada grafik yang sama untuk membandingkan akurasi dari
kedua penyelesaian tersebutN
#. Selesaikan kasus initial %alue problem (!") berikut dengan nilai 4 ? sampai
dengan 1.
dy
dx=(1+x)y
&imana y() ? 1
$. Tinjaulah persamaan diferensial:
dy
dx ?y e4x
dengan: y () ? 1,0 &engan menggunakanste" si5e h ? ,1, tentukan nilai y
(,#) menggunakan:
a. Metode 3uler
b. Metode BungeKutta orde $
Tunjukkan semua langkah perhitungan yang
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
49/55
! ? ! (nt
nt0 ) ? ,* (0,01+na+2(0,01na)
0,02 ) ? ,6* 9 2* ngmol.detikJ I ? 1
liter>detikJ dan ! ? * liter
7. s) tergantung beda
tekanan pada ujungujung pipa (D"), sesuai persamaan: ? k DP dengan: k
tetapan. 'agaimanakah profil tinggi permukaan airan pada tangki < (4) dan
pada tangki ' (y) pada berbagai waktu (t)...U
8eda tekanan 9ada u$ung6u$ung 9i9a:
'P = PM PN = (Pud & g x) (Pud&gy)=g(xy)4e;e9atan ali!an ;ai!an:
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
51/55
e#ingga 9e!samaan diuba# men$adi
dx
dt = 6k '+2
'2 +g (2x4)
Keadaan batas: t ? J 4 ? h -Besarnya % da"at 7nda simulasi sendiri000:.
Misal, diambil: & ? 2 mJ &p ? ,2 mJ C ? 1 kg>m#J g ? 1 m>s2J k ? ,$
m#>kg
2. &ua buah tangki air tersambung seara seri dan saling berinteraksi. Keepatan
aliran keluar merupakan fungsi akar kuadrat dari ketinggian air, jadi untuk
tangki 2 sebagai fungsi 42 . menit V1? *> 6 ft#>menit
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
52/55
r< (g) 2" (g)
dimana r ? ,1 +A.seMula 9 mula reaktor mengandung ,1 gmole < dan .1 gmole dari gas inert
pada %olum ,* A.
Tentukan %olum reaktor setelah 2* detik reaksi. Beaktor dijalankan pada
unsteadystate dengan persamaan mole balane pada komponen < di reaktor,
yielding :
d nA
dt =V(r )=
0,1nA2
V
dimana gas dapat diasumsikan sebagai gas ideal, maka :
V=Vo (nTnT0)=0,5(0,01+nA+2(0,01nA)
0,02 )! ? ,6* 9 2* n
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
53/55
dn1
dt=VR(r1r2r3)
dnC
dt =VR (r3)
tapi
Ci=ni
VR
dan
VR=(0 t+V0
&engan asumsi:
CA0=1gmo% /8
k=0,18 /gmo%0s
(0=108/s
V0=508
Substitusi nilai numerik sehingga menghasilkan
dnA
dt=10
0,1nA2
50+10 t+0,05n1
dn1
dt=
0,1nA20,05n1
2
50+10 t +0,05n1
dn1
dt=
0,05n12
50+10 t
dimana n
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
54/55
&iameter Tangki, &t ? * ft
A? # ft
&p? 1 inh
"ersamaan kesetimbangan neraa massa dalam sistem
d$Tota%
dt =
& 't2
4
dH
dt=((0()
&imana I berhubungan dengan @(t)
penurunan tekanan melalui pipa pembuangan nilainya sama dengan perbedaan
tekanan antara pembukaan ke garis debit dan tekanan atmosfer, yaitu
)24 f 8c /
gH( t)=1
2
dimana
f=0,0791 / 0,25
dan
= 4(&*+
dan
() )= 4(
& +2
C adalah densitas dan X adalah %iskositas, substitusi persamaan menjadi
g H(t)=8(0,0791)(28c
&2+( 4 (&*+ )
0,25
&engan menggunakan metode numerik maka I
(=14H4 /7
&engan @ dalam ft dan I dalam ;"M, maka
dH
dt
= 1
147
(5014H4
7)
1+0
-
7/25/2019 initial value problem indo ver
55/55
&imana @ ? 2 pada t ? . @itung waktu yang dibutuhkan untuk menapai 8
le%el tangki pada keadaan unsteady statedengan menggunakan metodeRunge
Kutta.
1#. &iketahui persamaan differensial sebagai berikut:
dCA
dt ="1CAexp(ERT)
dT
dt="2 CA exp(ERT)
&imana +