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8/12/2019 Inj Messadi Mouna
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MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DELA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE HADJ LAKHDAR - BATNAFACULTE DE TECNOLOGIE
DEPARTEMENT DELECTROTECHNIQUE
PRSENT POUR LOBTENTION DU DIPLME DE MAGISTER
EN ELECTROTECHNIQUEOPTION : commande des systmes lectromagntiques
Prsent Par :
MESSAADI MOUNA
(Ingnieur en lectrotechnique)
Commande backstepping applique la machinesynchrone a aimants permanents
Soutenue le : 16/01/2012
Devant le jury compos de :
Prnom & Nom Grade Qualit Universit
Mr Saidi Lamir. Maitre de confrence Prsident Universit de BatnaM. Mohamed KADJOUDJ Professeur Rapporteur Universit de BatnaMr.Rachid ABDESSEMED Professeur Co-rapporteur Universit de BatnaMr. Ammar GOLEA. Professeur Examinateur Universit de BiskraM
rM
ed.Lokman BENDAAS
MrBachir ABDELHADI
Maitre de confrence Examinateur Universit de BatnaUniversit de BatnaUniversit de Batna
Anne universitaire : 2005/2006
Maitre de confrence Examinateur
Mr Samir BENDIB Maitre de confrence Examinateur
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Ddicaces
ii
sDdicace
A mes parents, mon mari, mes enfants,
mes surs et mes frres.
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Remerciements
Merci dieu le plus puissant pour son ferme aide, sinon avec les conditions trs durs que jai vcu, je
narriverai plus jamais finir ce mmoire.
Je ddie ce travail avec mes remerciements intenses celui qui ma aid, soutenu avec une foie que
je nepeux la dcrire maintenant mon encadreur KADJOUDJ MOHAMEDProfesseur
lUniversit de Batna que Dieu laccueillera dans son vaste paradis, Amin.
Je tiens galement exprimer toute ma gratitude, ma reconnaissance avec tout mon respect que je lui
dois Monsieur RACHID ABDESSEMEDProfesseur lUniversit de Batna, Directeur de
Laboratoire de Recherche dElectrotechnique pour le fait davoir accept lencadrement de ce
mmoire avec un soutien indterminable.
Tous mes enseignants du Dpartement dElectrotechnique mritent mes remerciements pour la
bonne formation, le cadre agrable de travail et les prcieux conseils, je remercie plus
particulirement Messieurs RACHID ABDESSEMEDet AZZEDINE BENOUDJIT.
Mes remerciements et mon respect vont Monsieur MOKHTARI MESSAOUDMatre de
confrences lUniversit de Batna Dpartement de lElectronique pour son aide prcieuse et sa
disponibilit pour vraiment accomplir ce travail.
Je remercie tous les membres de jury pour toute lattention quils ont port la lecture de mmoire.
Je tiens remercier trs vivement Monsieur SAIDI LAMIRMatre de confrences lUniversit de
Batna, pou mavoir fait lhonneur de prsider le jury.
Je remercie Monsieur M.L.BENDAAS, Matre de confrences lUniversit de Batna, davoir
accept dexaminer ce mmoire et den tre un des membres de jury, quil trouve ici le tmoignage
de gratitude.
Jadresse galement mes remerciements Monsieur A.GOLEA, Professeur lUniversit de Biskra,
de mavoir fait lhonneur de participer au jury.
Je suis galement trs reconnaissante Monsieur ABDELHADI BACHIR, Matre de confrences
lUniversit de Batna, pour lintrt quil a bien voulu porter ce travail, en acceptant de le juger et
pour ses prcieuses remarques.
Je tiens exprimer ma profonde gratitude Monsieur BENDIB SAMIRMatre de confrences
lUniversit de Batna, pour mavoir fait lhonneur dexaminer ce mmoire et dtre membre de jury.
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Remerciements
Je suis immensment reconnaissante mes trs chers parents qui mont soutenu tout au long de ma
vie je leur dois beaucoup, quils trouvent dans ce manuscrit toute ma reconnaissance et le signe que
je suis enfin arrive.
Merci mon mari Ahmed davoir support mon indispensabilit et mon ingratitude sans le moindre
reproche.
Jinclus une liste damis qui ont beaucoup compt pour moi et qui mont soutenu un moment ou un
autre, durant ces dernires annes, B.Nejoua, B.Khadidja, B.Nessima et H.Bensaadi.
Je remercie, Hamza et Moustapha qui mont apport un moment ou un autre leurs comptences et
ont partag la progression de mon travail.
Enfin, un grand merci pour ceux que je ne peux designer et qui mont aid de prs ou de loin
parcourir ce chemin.
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Table des principaux symboles
a, b, c Axes a, b et c du repre triphas
, Axes et du repre diphas li au statorF Coefficient de frottement.
i, i Composantes de courant dans le rfrentiel de Concordia
q Constante de temps lectrique
Coefficient damortissement.
Constante de temps lectrique
Ce Couple lectromagntique.
Cr Couple rsistant.
scsbsa I,I,I Courants qui traversent les trois phases statoriques.
x Equation algbrique.
zi Erreure.
Yr Entre de rfrence.
mc Flux de fuite du l'aimant permanent.
d Flux direct suivant laxe d
q Flux suivant laxe q
scsbsa ,, Flux totaux travers ces enroulements.
ma Flux de fuite du l'aimant permanent.
mcmbma , Flux de fuite du l'aimant permanent.
Flux de fuite du l'aimant permanent.
d
mb
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1xV Fonction de Lyapunov.
(x) Fonction stabilisante.
(i, i) Fonctions non linaire connues.
f.e.m Force lectromotrice
FMM Force magntomotrice
p Frquence de la porteuse.
Ld,Lq Inductances suivant les axes d,q successivement.
ccbbaa L,L,L
Inductances propres des phases statorique.
acbaab L,L,L Inductances mutuelles entre phases statorique.
soL Inductance de fuite de l'enroulement du stator du au flux de fuite de l'armature.
cbbcca L,L,L Inductances mutuelles entre phases statorique.
soL : Inductance de fuite de l'enroulement du stator du au flux de fuite de l'armature.
s1L : Inductance moyenne du en raison du flux fondamentale d'aire gap de l'espace.
xL : Inductance de fluctuation,variable avec la position du rotor.
s1L Inductance moyenne du en raison du flux fondamentale d'aire gap del'espace.
xL Inductance de fluctuation,variable avec la position du rotor.
u Loi de commande.
C Matrice de connexion de londuleur.
(MSAP) Machine synchrone aimants permanents
ss
L Matrice d'inductance du stator variable avec la position du rotor.
ss
L
Matrice des inductances.
[P()] Matrice de Park.
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(,) Modle de Concordia
J Moment dinertiedes masses en rotor.
P Nombre de paires de ples.
m Position du rotor
Tp Priode de la porteuse.
Puissance instantane d'entre.
Rs Rsistance statorique
s Vitesse statorique.
r Vitesse rotorique.
Vitesse de rotation mcanique du rotor.
scsbsa V,V,V Tensions appliques aux trois phases statoriques.
T32 Transformation restreinte de Concordia.
tj Rapport cyclique
Vjr Tension de rfrence.
Vj Tension de charge dechantillonage.
PI Rgulateur proportionnel integral.
Cd(s) Rgulateur de courant direct.
Cq(s) Rgulateur de courant en quadrature.
C(s) Rgulateur de vitesse angulaire mcanique.
RBF Rseaux des fonctions de base radiales.
ANNs Artificial Neural Network.
NPSF Nonlinear parametric strict feedback.
* Vitesse de r ference.
tP
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Vecteur de paramtres constants.
(x1) Vecteur de fonctions non linaires lisses.
^ Vecteur estim.
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Sommaire
Introduction Gnrale 1
CHAPITRE UN
Modlisation de la Machine Synchrone Aimants Permanents
I.1.Introduction...... 5
I.2.Prsentation de la machine synchrone aimants permanents (MSAP)... 6
I.3.Domaines dapplication des moteurs synchrones 7
I.4.Diffrents types dalimentation 9
I.4.1.Alimentation par un commutateur de courant. 10
I.4.2.Alimentation par un onduleur de tension 10
I.5.Modlisation de la machine synchrone aimants permanents 10
I.5.1.Equations lectriques.. 12
I.5.2.Equations magntiques 12
I.5.3.Equations mcaniques. 15
I.6.Modle de Park 15
I.6.1.Application de la transformation de Park de la MSAP.. 17
I.6.2.Equation dun enroulement triphas dans le systme daxes d-q.. 17
I.6.3.Equation du flux.. 19
I.6.4. Circuit quivalent du MSAP dans le systme daxes d-q.. 19
I.6.5.Equation de la puissance instantane.. 20
I.6.6.Equation du couple lectromagntique 20
I.7.Modlisation sous la forme dtat de la MSAP.. 21
I.7.1.Reprsentation dtat. 21
I.7.2.Reprsentation dtat du modle de la MSAP dans le repre d-q. 21
I.8.Bloc de simulation de la MSAP.. 24
I.8.1.Rsultats de simulation 25
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Sommaire
CHAPITRE DEUX
Commande Vectorielle de la Machine Synchrone Aimants
Permanents
II.1.Introduction 26
II.2.Les quations du MSAP en rgime quelconque... 26
II.3.Principe de la commande vectorielle 28
II.4.Structure de la commande en tension... 30
II.5.Fonction de transfert dune MSAP... 33
II.6.Onduleur de tension . 35
II.7.Modlisation des onduleurs de tension. 36
II.8.Simulation numrique de lensemble commande -onduleur-machine. 40
a. Sans onduleur 40
a-1.En mode normal.. 40
a-2 Avec onduleur. 45
a-3mode normal 45
II.9.Interprtation .. 46
II.10.Conclusion. 46
CHAPITRE TROIS
Dveloppement Thorique de la Mthode Backstepping
III.1.Introduction48
III.2.Systmes non linaires49
III.3.Stabilit des systmes linaires et non linaires..50
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Sommaire
III.3.1.Equilibre et stabilit des systmes...50
III.3.2.Choix de la fonction de Lyapunov...53
III.3.3.Conception de commande base sur Lyapunov...55
III.4.Commande Backstepping des systmes non linaires...56
III.4.1.Approche Backstepping non adaptative ...........................................................59
III.4.1.1.Principe.............................................................................................................59
III.4.1.2.Systme de premier ordre..60
III.4.1.3.Rsultats de simulation..61
III.4.1.4.Systme de deuxime ordre. .62
III.4.1.5.Rsultats de simulation..64
III.4.2.Approche Backstepping adaptative.66
III.4.2.1.Principe... 66
III.4.2.2.Conditions dimplantation...67
III.4.2.3.Etude dun systme de premier ordre..68
III.4.2.4.Rsultats de simulation69
III.4.2.5.Etude dun systme de deuxime ordre...74
III.4.2.6.Rsultats de simulation77
III.4.3.Conclusion.80
III.5.Commande adaptative des systmes non linaires par lapproche....80
Backstepping- neuronale
III.5.1.Problmatique80
III.5.2.Introduction...81
III.5.3.Backstepping adaptatif..82
III.5.4.Rseaux de fonctions de base radiales RBF..83
III.5.5.Commande adaptative des systmes non linaires par rseau...85
neurologiques artificiels (ANNAC)
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Sommaire
III.5.6.Dveloppement thorique de la commande adaptative des systmes.87
nonlinaires par lapproche Backstepping neuronale
III.5.6.1.Dveloppement thorique87
III.5.6.2.Exemple de simulation avec entre de rfrence nulle ..91
III.5.6.3.Exemple de simulation avec entre de rfrence constante ou variable 97
III.6.Conclusion.103
CHAPITRE QUATRE
Application de la commande backstepping pour le moteur aimants
permanents
IV.1.Introduction.104
IV.2.Commande backstepping du moteur synchrone(MSAP).105
IV.2.1.Equation de la machine dans le rfrentiel rotorique...105
IV2.2.Modle utilis106
IV.2.3.Procdure de la commande adaptative backstepping .106
IV.3.Simulation et rsultats..111
IV.3.1.Commande non adaptative...111
IV.3.2.Commande adaptative..112
IV.4.Commande de la machine synchrone aimants permanents par lapproche...115
backstepping neuronale
IV.4.1.Modle utilis...115
IV.4.2.Procdure backstepping.118
IV.4.3.Rsultats de simulation..121
IV.5.Conclusion..122
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Sommaire
Conclusion Gnrale
124
Annexe
Bibliographie 126
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Introduction Gnrale
1
Pendant les deux dernires dcennies, il y a eu un dveloppement dans des mthodes
de conception pour commande des systmes dynamique non-linaires .Plusieurs mthodes
ont t inventes. Les mthodes classiques de variation de vitesse (mcaniques et
lectromcaniques) ont t peu peu substitues par des ensembles associant des
convertisseurs statiques des moteurs lectriques. Historiquement le moteur courant
continu a parfaitement assur le fonctionnement de la plupart dquipements industriels.
Cependant, son principal dfaut reste le collecteur mcanique que lon tolre mal
dans certains environnements et qui fait augmenter les cots dentretien. Ces contraintes ont
dirigs les tudes vers les entranements quips de machines courant alternatif. De nos
jours, de nombreux actionneurs associant des machines courant alternatif et des
convertisseurs statiques manifestent de nouvelles perspectives dans le domaine de
lentranement vitesse variable. On assiste une priode dabondance tant thori que que
pratique au niveau des tudes sur les entranements courant alternatif qui concurrencent
avec succs ceux courant continu. Dans le pass, cette solution ntait pas possible cause
principalement des structures de commande complexes de ce type de machines. Leurs
modles multivariables et non-linaires, les tats non mesurables et les paramtres qui
peuvent varier durant le fonctionnement ont limits les performances. Cependant, lvolution
rapide des processeurs numriques et llectronique de puissance a permis dimplanter destechniques de commande sophistiques pour ainsi atteindre des performances leves sur le
plan de rapidit et de prcision.
La rgulation de la vitesse est assure par les rgulateurs de types soit, P, PI ou PID.
Cependant, les rgulateurs sont conus laide des techniques de commande destines aux
modles parfaitement linaires.
Historique :
Le problme de la commande adaptative des systmes linaires paramtres inconnus
a t rsolu dans les annes 1970 et 1980 avec plusieurs techniques clbres. Ensuite, la fin
des annes 1980, la commande adaptative des systmes non linaires a connu un grand essor
avec la premire version de la linarisation entre-sortie adaptative. Plus tard, Peter
Kokotovi, Ioannis Kanellakopoulos, et Miroslav Krsti ont propos une nouvelle
conception systmatique des contrleurs adaptatifs dans lesquels est introduite la technique
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Introduction Gnrale
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du backstepping , qui est applicable, sur une classe des systmes triangulaires non
linaires paramtrs.[32]
En 1999 de nouveaux algorithmes prometteurs ont t obtenus grce une
combinaison : observateurs et commandes en mode glissants.
Introduction et Problmatique :
Les synthses modernes des lois de commande performantes, demandent une
connaissance trs fine des systmes commander, cependant, dans certains cas pratiques, la
commande du systme, lui-mme,peut savrer difficile, et parfois impossible de la mise en
uvre; comme par exemple dans les structures nuclaires et spatiales Alors, dans ces c as,
il est trs recommand de concevoir ce quon appelle : Lemodle du systme, en dautre
terme : le modle de connaissance ; qui est obtenu partir des connaissances priori, ou
partir des expriences, et qui permet de simuler les performances recherches pour le
systme.[1]
Pour cette raison, lautomaticien doit estimer, laide de ses propres moyens, les
paramtres inconnus pendant le fonctionnement du procd ; si bien que son objectif
principal est llaboration dune loi de commande qui confre un systme des proprits
dsires, donc, ce qui nous intressera dans ce projet est de rechercher des lois de commande
bases sur des techniques de synthse spcifiques quon va dvelopper, thoriquement, afinde raliser dun certain niveau de performances quand les paramtres sont inconnus ou
varient avec le temps.
Par ailleurs, la fiabilit donne par le modle de connaissance est en gnral
accompagne par linconvnient dune trop grande complexit qui se rvle dans les
diffrentes formes du non linarit.
Anciennement, il est pris, comme une solution, lapproximation linaire autour dun
point de fonctionnement ou dune trajectoire, en dautre terme, on prcde la rduction de
cette complexit en linarisation, le maximum possible, un systme dfinit comme tant un
systme non linaire.
Mais, aprs la linarisation du systme, le problme apparent est que les paramtres
physiques peuvent perdre leur interprtation et donc leur mesurabilit autour des points de
fonctionnement intressants, ce qui explique une linarisation inoprante, en outre, mme si
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Introduction Gnrale
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le systme linaris peut avoir des paramtres mesurables et/ou commandables, on doit
allonger le domaine de validit de lapproximation linaire.
Enfin, certains problmes de commande, comme la planification des trajectoires, ne
sont pas de nature locale, et ne peuvent tre examins laide dun modle approch linaire,
cest le fait que nous nous intresserons dans notre travail ltude des systmes non
linaires ;
Ceci nous introduit la notion de la commande adaptative ; une commande est dite
adaptative si elle comporte des paramtres non fixs, lavance, mais modifis en ligne.
Noublions pas que linstabilit est le problme le plus gnant pour cette classe des
systmes, durant les transitions des paramtres estims, ltat peut diverger infiniment
pendant une dure finie. Donc, ce genre de problme va tre rsolu par la commandeadaptative, adopte dans ce travail, qui concerne une certaine classe des systmes non
linaires ; cest la forme triangulaire non linaire que lon va reprsenter ultrieurement.
Puisque les systmes non linaires font, gnralement, intervenir une instabilit
explosive qui affecte les performances requises des systmes de commande, il est
indispensable dintroduire la notion de la commande adaptative.
Sur le plan de la commande adaptative par le backstepping, la nouveaut majeure de
cette technique, adapte aux systmes triangulaires infrieurs, est une mthodologie de la
conception rcursive, et avec cette mthodologie la conception de la loi de commande et la
fonction de Lyapunov associe est systmatique.
Pendant que les mthodes classiques de linarisation des systmes exigent des modles
prcis et souvent annulent quelques non linarits utiles, le backstepping fait loffre dun
outil de conception en vitant des annulations au niveau du systme non linaire.
Notre proposition dans ce qui suit est dintroduire lalgorithme du backstepping, la
premire procdure est de choisir les conditions qui permettent dimplanter cette technique,
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Introduction Gnrale
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ensuite on va prendre des fonctions non linaires qui peuvent bnficier de cette technique de
commande. Enfin, des exemples pratiques feront lobjet de validation de notre travail.
Plan du document
Ce mmoire est subdivis en quatre chapitres.Modlisation du MSAP
Faisant lobjet du premier chapitre, cette partie consistera dcrire la machine
mathmatiquement avec son modle non linaire en mettant quelques hypothses de travail
en vidence, qui ont permis ltude de comportement de cette dernire. Le modle adopt est
bas sur la transformation de PARK.
Commande Vectorielle du MSAP
Dans le deuxime chapitre, nous irons concevoir la commande vectorielle applique
la machine pour une rgulation de la vitesse en mode normal et en mode dflux, cette
rgulation base sur les rgulateurs classiques PI.
Dveloppement Thorique de la Commande Backstepping
Dans cette partie, on a dcrirera toute une thorie des systmes non linaires, les
dfinitions de stabilit selon Lyapunov.Notre proposition dans ce qui suit sera lintroduction
de lalgorithme du backstepping, la premire procdure est de choisir les conditions qui
permettent dimplanter cette technique, ensuite on va prendre des fonctions non linaires qui
peuvent bnficier de cette technique de commande. Enfin, on amliorera la performance de
cette mthode par l'introduction des rseaux de neurones des exemples pratiques feront
lobjet de validation de notre travail,
Application de la Commande Backstepping sur la Machine Synchrone Aimants
Permanents
Dans cette quatrime et dernire partie, on appliquera la commande backstepping sur
la machine synchrone aimants permanents cas non adaptatif et adaptatif, ensuite on a
introduira les rseaux de neurones pour rduire le temps de rponse en annulant
asymptotiquement l'erreur.
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Chapitre I Modlisation de la MSAP
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Chapitre
I.1.Introduction
L'tude du comportement d'un moteur lectrique est une tache difficile et qui ncessite,
avant tout, une bonne connaissance de son modle dynamique afin de bien prdire, par voie de
simulation, son comportement dans les diffrents modes de fonctionnement envisags.
Historiquement, les servomoteurs utilisant des moteurs courant continu ont assur le
fonctionnement de la plupart d'quipements industriels (robots et machines outils). Cependant,
leur principal dfaut reste le collecteur mcanique que l'on tolre mal dans certaines applications.
C'est pour cette raison qu'on a eu intrt utiliser des moteurs lectriques courant alternatif afin
d'carter cet inconvnient et profiter de leurs avantages tels que, la flexibilit de variation de
vitesse et la stabilit de fonctionnement. Parmi les moteurs lectriques courant alternatif
utiliss dans les entranements, le moteur synchrone aimants permanents (MSAP) reste un bon
candidat cause d'un certain nombre d'avantages qu'il prsente, savoir pas de pertes au rotor,
une grande capacit de surcharge, une vitesse stable et constante une frquence donne et
surtout cause de son couple massique lev comparativement celui du moteur asynchrone et
du moteur synchrone classique.
Ce dernier avantage lui donne la supriorit aux autres types de moteurs. Il est souvent
appel moteur courant continu sans balais car lorsqu'il est auto pilot, ses caractristiques
concident avec celles d'un moteur courant continu excitation shunt, En effet, les travaux qui
Modlisation delaMachineSynchrone imantsPermanents
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Chapi tr e I Modlisation de la MSAP
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ont t consacrs au fonctionnement du MSAP auto pilot ont conclu qu'il y a une similitude
entre ses caractristiques et celles du moteur courant continu et que le transfert des lois de
commande se fait aisment Cependant, l'auto pilotage ncessite l'utilisation d'un onduleur et un
capteur de position ce qui affecte sensiblement le cot du systme,[1].
I .2.Prsentation de la machine synchrone aimants permanents (MSAP)
Il est aussi appel moteur " brushless " (sans balais) ou moteur courant continu sans
collecteur. Il est constitu:
- dun stator fait dun empilement de tles dans lequel est dispos un bobinage gnralement
triphas connect en toile,
- dun rotor form dun assemblage de tles et daimants crant le flux inducteur.
Labsence de contacts glissants amliore la fiabilit.
Les aimants utiliss sont:
- Les ferrites, peu coteuses,
- Le samarium cobalt (SmCo5, Sm2Co17), dont les performances du point de vue de lnergie
spcifique sont exceptionnelles. Lnergie spcifique est le produit BH exprim en J/m3. Le
rotor du moteur peut tre " aimants dposs " ou " concentration de flux ". Cette dernire
ralisation utilise un plus faible volume daimants (Figure.I.1),[2].
Le moteur synchrone aimants permanents comporte, tout comme la machine
asynchrone, un stator bobin dont lalimentation donne naissance une force magntomotrice de
composante fondamentale Fatournant la vitesse angulaire s. Le rotor ou la roue polaire dont
Axe indirect
Logique de
commutation Axe indirect
Axe directAxe direct
Axe indirect
Machine aimants
colls Ld=Lq
Machine aimants
enterres LdLq
Fig. I.1.Diffrents types de la MSAP
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Chapi tr e I Modlisation de la MSAP
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le nombre de ples est gal celui du stator, est excit par un bobinage parcouru par un courant
continu ou par des aimants pour produire une force magntomotrice dite dexcitation Fo. Dans le
cas du moteur synchrone aimants permanents (MSAP), linducteur est remplac par des
aimants, ceci prsente lavantage dliminer les balais et les pertes rotoriques, ainsi que la
ncessit dune source pour fournir le courant dexcitation [3].
Cependant, on ne peut pas contrler le flux rotorique. Dautre part, la surface interne du
stator est cylindrique, et les enroulements sont placs dans des encoches tailles suivant les
gnratrices de ce cylindre. Chaque enroulement est ralis de manire crer une force
magntomotrice sinusodale dans lentrefer. Les forces magntomotrices cres par chacun des
trois enroulements sont dphases spcialement dun angle lectrique. En alimentant cet
enroulement triphas par des courants triphass, on cre un champ tournant circulaire.
Dans les machines aimants colls, cause de lisotropie existant dans la machine, linductance
de laxe direct est gale linductance de laxe en quadrature, par contre, dans les machines
aimants enterrs ou concentration de flux, cause de lpaisseur des aimants lentrefer sur laxe
direct est plus grand que celle sur laxe indirect, par consquent Ldest infrieure Lq.
Les dveloppements des matriaux magntiques permettant aux machines aimants
permanents dtre de plus en plus utilises dans diffrents domaines de lindustrie. La densit de
puissance massique leve, le rendement lev, laugmentation de la constante thermique et la
fiabilit plus grande, due labsence de contacts glissants bague-balais de ces machines, leurspermettent de concurrencer les machines asynchrone,[4].
I.3 .Domaines dapplication des moteurs synchrones
Le moteur synchrone est utilis dans une large gamme de puissance, allant du Watt au
Mgawatt, dans des applications aussi diverses que le positionnement, la synchronisation,
lentranement vitesse constante, la traction.
A ces nombreux domaines demploi, correspondent autant de technologies diffrentes,
dont les plus rpandues peuvent tre scindes en deux grandes familles : Les moteurs synchrones inducteur bobin, ples saillants ou ples lisses, Les moteurs synchrones aimants permanents, avec ou sans pices polaires.
Les machines aimants se dveloppent de manire importante lheure actuelle, grce
la mise au point daimants permanents de grande qualit, permettant loption de couples
massiques levs. Lorsque le nombre de ples est lev, les puissances peuvent atteindre
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Chapi tr e I Modlisation de la MSAP
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quelques centaines de Kilowatts. Toutefois, leur domaine demploi privilgi pour les puissances
infrieures quelques dizaines de Kilowatt, o laimant permanent permet dobtenir, une
induction dans lentrefer plus leve que les machines rotor bobin. Par ailleurs, lemploi
daimants permanents la place de lenroulement inducteur annule les pertes par effet Joule au
rotor et augmente le rendement, [5].
Dans le tableau 1.1, les caractristiques de diffrentes machines sont compares celles de la
MSAP, [6].
MACHINES CARACTERISTIQUES
-Machine courant continu -Alimentation continue supplmentaire
-Prsence des contacts tournants
-Maintenance rgulire des balais
-Manque robustesse
-Grandes pertes dans linducteur
-Limitation en vitesse
Machine synchrone conventionnelle -Exige une alimentation auxiliaire courant
continue pour alimenter le circuit dexcitation
Machine asynchrone -Commande trs complexe
- faible couple volumique
- mauvais rendement global
- mauvais facteur de puissance
- pertes Joules au rotor difficiles vacuer .
- robuste
- faible cot de ralisation- faible d'ondulation de couple
MSAP -Excitation assure par les aimants
-Pertes associes la composante magntisante
ngligeable
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Chapi tr e I Modlisation de la MSAP
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Fig. 1.2. Le moteur industriel aimants permanents de quelques kW
I.4. Diffrents types dalimentation
La machine synchrone peut-tre alimente en tension ou en courant. La source doit-tre
rversible pour un fonctionnement dans les quatres quadrants (moteur /gnrateur dans les deux
sens de rotation).
Les convertisseurs alternatif/continu de llectronique de puissance sont utiliss dans les
domaines dapplications varis, dont le plus connu est sans doute celui de la variation de vitesse
des machines courants alternatifs. La forte volution de cette fonction sest appuye sur le
dveloppement des composants semi-conducteur entirement commandables, puissantes,
robustes et rapides [7], [8], [9], [10], [11].
-Possibilit de fonctionnements des facteurs de
puissance levs.
-dgradation des performances avec
l'augmentation de la temprature
- possibilit dmagntisation des aimants
(temprature, pic de courant, dfluxage...)
- assemblage aimants
- cot
Tableau I.1.Comparaison des caractristiques de diffrentes machineslectriques.
-
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I .4.1. Alimentation par un commutateur de courant
Dans le cas dune alimentation en courant, la commutation peut -tre naturelle (le courant
doit alors tre en avance sur la tension. Pour faciliter ce mode de fonctionnement, la machine
doit-tre surexcite).Les f..ms. ne sont pas suffisantes pour permettre lexcitation des thyristors.
Lalimentation de la machine doit-tre adapte aux caractristiques de celle-ci. ainsi, il sera
prfr une alimentation en crneaux de courant dans le cas dune machine qui, lorsque deux de
ses phases sont alimentes en srie par un courant constant possde une courbe de couple
lectromagntique Ce(m) de forme trapzodale (moteur synchrone aimants sans pices
Polaires).
Cette alimentation minimise les ondulations de couple (la superposition des courbes de
Ce (m) lors des diffrentes squences de fonctionnement donne une courbe de couple
pratiquement constante),[6].
I .4.2. Alimentation par un onduleur de tension
La commande dun moteur synchrone peut se faire aussi partir dun convertisseur
statique aliment par une source de tension continue constante. Les onduleurs de tension
permettent dimposer aux enroulements statoriques de la machine des tensions damplitude et de
frquence rglables et agissant sur la commande des interrupteurs du convertisseur statique
(GTO, Transistors bipolaire, MOSFET,IGBT,etc),
I .5. Modlisation de la machine synchrone aimants permanents
Le moteur synchrone aimants permanents (MSAP) comporte au stator un enroulement
triphas reprsent par les trois axes (a,b,c) dphass, l'un par rapport l'autre, de 120olectrique
(figure I.2) et au rotor des aimants permanents assurant son excitation. En fonction de la manire
dont les aimants sont placs, on peut distinguer deux types de rotors.
Dans le premier type, les aimants sont monts sur la surface du rotor offrant un entrefer
homogne, le moteur est appel rotor lisse et les inductances ne dpendent pas de la position du
rotor. Dans le deuxime, par contre, les aimantssont monts l'intrieur de la masse rotorique et
l'entrefer sera variable cause de l'effet de la saillance. Dans ce cas, les inductances dpendent
fortement de la position du rotor. De plus, le diamtre du rotor du premier type est moins
important que celui du deuxime ce qui rduit considrablement son inertie en lui offrant la
priorit dans lentranement descharges rapides, [6].
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11
Afin de modliser le MSAP, on adopte les hypothses simplificatrices usuelles donnes
dans la majorit des rfrences: Le moteur possde une armature symtrique non sature ce qui
permet d'exprimer lesflux comme fonctions linaires des courants et une distribution sinusodale
de la FMM cre parenroulements au stator [1].
Fig.1.3. Reprsentation schmatique de la machine synchrone
aimants permanents dans l'espace lectrique
Pour le systme d'axe de rfrence au stator abc: la phase (a) est choisi de sorte que la force
magntomotrice est maximale avec l'application d'un courant positif maximal cette phase. Les
axes de rfrences de la phase (b) et (c) sont fixs 120 et 240 en avance de l'axe (a).
Le systme d'axe de rfrence au rotor d-q est choisi de sorte que le flux de magntisation est
en phase avec l'axe d. L'axe q est fix 90 en avance de cet axe. L'angle sparant l'axe d au
rotor et I'axe a au stator reprsente la position lectrique du rotor de la machine =p.r,
-
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Le systme d'axe de rfrence li au rotor d-q tourne la vitesse =p.(d r/dt)tandis que le
systme d'axe de rfrence au stator abc reste fixe, o est la frquence lectrique du systme.
La relation qui relie la frquence lectrique et la vitesse de rotation mcanique du rotor
prsente par l'expression suivante = p., o p est le nombre de paire de ples de la machine.
Dans le cadre des hypothses simplificatrices et pour une machine quilibre les quations de
la machine scrivent comme suit :
I.5.1. quations lectriques
Les quations dynamiques par phase de la machine s'crivent comme suit:
En dsignant par :
scsbsa V,V,V : Les tensions appliques aux trois phases statoriques.
scsbsa I,I,I : Les courants qui traversent celles-ci.
scsbsa ,, : Les flux totaux travers ces enroulements.
sR : Leurs rsistances.
Les quations (1.1) peuvent scrire sous forme matricielle:
I.5.2. quations magntique
Les relations entre flux et courants scrivent comme suit :
(I.1)
(I.2)
-
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Sous forme matricielle on a :
Avec :
En dsignant par :
ssL : La matrice d'inductance du stator variable avec la position du rotor.
abcm, : La matrice du flux de fuite du l'aimant permanent.
ccbbaa L,L,L :Les inductances propres des phases statorique.
cbbccaacbaab L,L,L,L,L,L . Les inductances mutuelles entre phases statorique.
Dans les quations (1.3) (1.5), on suppose que les inductances mutuelles sont symtriques de
sorte que: cbbccaacbaab LL;LL;LL . La valeur de chaque inductance varie en fonction
de la position lectrique du rotor. Les inductances par phases ccbbaa L,L,L sont maximums
lorsque l'axe q est en ligne avec chaque phase. Les inductances mutuelles bcacab L,L,L sont
valeur maximale lorsque l'axe q est mi- chemin entre les phases.
(I.3)
(I.4)
(I.5)
-
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14
3
22cosLLLL
3
22cosLLLL
2cosLLLL
xs1socc
xs1sobb
xs1soaa
3
22cosLL
2
1LL
2cosLL2
1LL
3
22cosLL
2
1LL
xsocaac
xsocbbc
xsobaab
La matrice des inductances ssL est sous la forme :
I.9
3
22cosLLL2cosL
2
L
3
22Lcos
2
L
2Lcos2
L
3
2s2coLLL
3
22cosL
2
L
3
22Lcos
2
L
3
22cosL
22cosLLL
L
xs1soxsoso
soxs1sox
s1
soxxs1so
ss
soL
Les flux de fuite du l'aimant permanent:
32
cos
3
2cos
cos
mmc
mmb
mma
(I.10)
Sous forme matricielle on a :
T
m
T
abcm,3
2cos.
3
2cos.cos.
(I.11)
Telle que :
(I.6)
(I.7)
-
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soL : L'inductance de fuite de l'enroulement du stator du au flux de fuite de l'armature.
s1L : L'inductance moyenne du en raison du flux fondamentale d'aire gap de l'espace.
xL : L'inductance de fluctuation,variable avec la position du rotor.
mcmbma ,, :sont les flux de fuite du l'aimant permanent.
I.5.3 quation mcanique
Pour simuler la machine, en plus des quations lectriques il faut ajouter l'quation du
mouvement du systme. Le couple lectromagntique est donn par la drive partielle de la
conergie par rapport l'angle mcanique entre le rotor et le stator.
re CCFdt
dJ (I.12)
La puissance instantane d'entre peut tre crite comme suit:
scscsbsbsasa IVIVIVtP (I.13)
On note que cette approche implique l'obtention d'un ensemble d'quations diffrentielles
non linaires cfficientsvariants dans le temps. La solution explicite d'un tel systme est trs
complexe et rarement utilise.
On fait donc appel aux modles orthogonaux de la machine. Dans le cadre de ces techniques,
la machine est remplace par une machine fictive ayant des enroulements mutuellement coupls
et placs sur deux axes orthogonaux. Deux diffrents modles sont dduits : le modle (d, q), dit
de Park et le modle (, ) de Concordai. Ces deux modles reprsentent bien le comportement et
les proprits de la machine relle. Ils permettent d'tudier le comportement transitoire des
machines ainsi que leurs performances en rgime dsquilibr.
I.6. Modle de Park
La transformation de Park, repose sur lutilisation de deux phases au lieu des trois phases
daxes fixes du stator (a, b, c). En effet, on considre lenroulement quivalent form de deux
bobinages daxes perpendiculaires (d, q) tournant la vitesse s par rapport au stator et la
vitesse r par rapport au rotor (Fig.1.3).
-
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La transformation de Park consiste transformer la reprsentation du moteur triphase
quilibre une reprsentation biphase quivalente caractrise par deux axes d-q, condition
que le champ o les forces magntomotrices et la puissance instantane soient conserves.
La matrice de Park [P()] est donne sous la forme suivante:
2
1
2
1
2
1
3
2sin
3
2sinsin
3
2cos
3
2coscos
.3
2P (I.14)
Son inverse [P()]-1
est donne par :
2
1
3
2sin
3
2cos
2
1
3
2sin
3
2cos
2
1sincos
.3
2P 1 (I.15)
O langle lectrique dsignant la position du rotor par rapport au stator.
-
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I.6.1. Application de la transformation de Park la MSAP
Fig.1.4. Reprsentation de la MSAP dans le systeme d'axe biphas dq
I.6.2. quations lectriques dun enroulement triphas dans lesystme daxes d-q
Dans ce paraghraphe nous allons donner les quations lctriques de la MSAP dans les
ysteme biphas en appliquant la transformation de Park l quation (1.2) on obtient :
En appliquant la transformation inverse de Park au courants et flux on obtient:
Telle que:
dq0V :sont les composantes direct, en quadrature et homopolaire de la tension.
dq0I :sont les composantes direct, en quadrature et homopolaire du courant.
(I.16)
(I.17)
-
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dq0 : sont les composantes direct, en quadrature et homopolaire du flux.
On peut crire l'quation de la tension (1.16) sous la forme:
=
On a :
Aprs simplification de l'quation (1.16) on a:
En prenant le driv de l'quation (1.15), nous obtenons :
En multipliant les quations [1.14] et [1.21] nous obtenons:
(I.18)
(I.19)
(I.20)
(I.21)
(I.22)
(I.23)
(I.24)
-
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On remplace (1.19) et (1.24) dans l'quation (1.18)
0
q
d
0
q
d
r
0
q
d
s
s
s
o
q
d
dt
d
.
000
001
010
I
I
I
.
R00
0R0
00R
V
V
V
(I.25)
Puisque le systme est quilibr 0Vo , on obtient finalement le modle lectrique dynamique
pour lenroulement statorique biphas quivalent:
drdssq
qrddsd
dt
dIRV
dt
dIRV
(I.26)
I.6.3. quations des flux
qqqxs1soq
mddmdxs1sod
ILILL2
3L
ILILL2
3L
(I.27)
I.6.4. Le circuit quivalant du MSAP dans le systme d'axe d-q
En reprenant les quations (1.26) (1.27) prcdente on peut crire
mrddrqqqsq
qqrdddsd
ILIdt
dLIRV
ILI
dt
dLIRV
(I.28)
Ces quations permettent de dessiner le circuit quivalant du MSAP dans le systme d'axe
d-q prsent ci-dessous [8] :
Fig.1.5. Le circuit quivalant du MSAP dans le systme d'axe d-q
-
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20
I.6.5. quation de la puissance instantane
Le calcule de couple mcanique de la machine asynchrone se base sur la connaissance de la
puissance instantane P(t), soit :
qddqscscsbsbsasa IVIV23
IVIVIVP(t) (I.29)
En remplaant (1.25) dans (1.26)
qd
q
qsdqd
ds Idt
dIRI
dt
dIR
2
3P(t)
dqqdqq
dd2
q
2
ds II2
3I
dt
dI
dt
d
2
3IIR
2
3
(I.30)
2
q
2
ds IIR2
3
: reprsente les pertes par effet Joules dans les enroulements statoriques
q
q
d
d Idt
dI
dt
d
2
3: reprsente les variations de lnergie magntique emmagasin dans
les enroulements du stator.
dqqd II
2
3 : reprsente la puissance lectrique transforme en puissance mcanique
lintrieur de la machine ou puissance lectromagntique.
Donc l'expression de la puissance lectromagntique est donn par l'quation suivante:
p.
IIp..2
3II
2
3P dqqddqqde
(I.31)
I.6.6. quation du couple lectromagntique
Le rle du couple lectromagntique est justement dquilibrer tout instant laction
rsultante exerce sur larbre du rotor par:
Le couple rsistant (ou statique) impos par la charge mcanique: Cr. Le couple des frottements visqueux : .Fr . Le couple dinertie des massesen rotation rapport au diamtre du rotor :
dt
dJ .
-
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dqqdee IIp2
3
PC (I.32)
On remplace (1.27) dans (1.32) on a :
qmqdqde IIILLp.2
3C (I.33)
Le couple lectromagntique se dcompose en deux termes:
qmep .Ip2
3C : Prsente le couple principal.
qdqder IILLp2
3C : Prsente le couple de reluctance variable.
Lquation du mouvement de la machine est :
remr CCFdt
dJ (I.34)
On constate que le couple lectromagntique rsulte de linteraction dun terme de flux et dun terme
de courant.
I.7. Modlisation sous la forme dtats de la MSAP
I.7.1. Reprsentation d'tat
On cherche obtenir un systme dquations crit sous forme dquations dtats.Sera du type :
C(t)Y
BUAX(t)dt
dX
(I.35)
X :vecteur dtat.
U: vecteur de commande.
A : matrice fondamentale qui caractrise le systme.
B: matrice dapplication de la commande.
C : matrice de sortie (matrice dobservation).
I.7.2. Reprsentation dtat du modle de la MSAP dans le repre d-q
Plusieurs faons sont possibles pour le choix du vecteur dtat. Cela dpendra de lobjectif
trac. Pour la MSAP alimente en tension on choisit le vecteur d'tat comme la suite:
Variables de commande :les tentions statoriques vd, vqet le flux permanent m.
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Variables dtat:les courantsqd I,I .
Variables de sortie : Les courantsqd I,I .
En utilisant les quations (1.28), aprs arrangement le systme prend la forme suivante :
q
qq
md
q
dq
q
sq
d
d
q
d
q
d
d
sd
VL
1p
L
Ip
L
LI
L
R
dt
dI
VL
1Ip
L
LI
L
R
dt
dI
(I.36)
q
d
I
IX
m
q
d
V
V
U
q
d
I
IY (I.37)
q
s
q
d
d
q
d
s
L
Rp
L
L
pL
L
L
R
A
pL
1
L
10
00L
1
B
qq
d
10
01C (I.38)
Lquation mcanique est donn par :
p
IIILLp2
3C
CCFdt
dJ
r
qmqdqdem
rem
(I.39)
A partir des quations (1.36) (1.39) , on peut reprsenter le MSAP par un bloc diagramme illustr
par la figure (1.6).
-
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23
Fig.1.6.Bloc diagramme de la MSAP dans le rfrentiel d-q
On remarque que le bloc diagramme est compos de plusieurs blocs linaires illustrant la
relation qui existe entre les entres (commandes), les tats et les sorties. Les trois types de non
linarits dI qI , et qdII sont reprsentes par les trois blocs de multiplication. De plus, les
dynamiques du systme sont reprsentes par trois fonctions de transfert. Deux fonctions de
transfert donnent la dynamique rapides (courants) et une fonction qui dfinit la dynamique lente
(vitesse).
-
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I .8.Bloc de simulation du MSAP
Fig. I.7.Schma de simulation de la MSAP alimente en tension
-
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Chapi tr e I Modlisation de la MSAP
25
I .8.1.Rsultats de simul ati on
0 0.2 0.4 0.60
50
100
150
temps(sec)
vitesse(rad/sec)
0 0.2 0.4 0.6 00
5
10
15
20
25
30
temps(sec)
coupleelectromagnetique(N.m
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8-1
0
1
2
3
tem s sec
courantisd(A)
0 0.2 0.4 0.6 00
20
40
60
80
tem s sec
courantisq(A)
I.9.Conclusion
Dans ce chapitre on a prsent une tude complte de la machine synchrone
aimants permanents, une mise en quations, les diffrents types des rotors, les
diffrents types dalimentation, son schma quivalent et enfin une modlisation de
cette dernire avec des rsultats de simulation.
La figure I.8 prsente la simulation de la machine synchrone aimants permanents
vide o la vitesse est fixe 100 (rad/sec) et les courants idet iq sont reprsents
respectivement.
Fig. I.8.Rsultats de simulation de la MSAP vide en mode normal
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
26
Chapitre
Commande vectorielle de la MS PI I .1. I ntroduction
La commande vectorielle est apparue avec les travaux de BLASCHKE [12].Elle na
cependant pas eu tout de suite un grand essor car les rgulations, lpoque, reposaient sur
des composants analogiques nouveaux, limplantation de la commande tait alors difficile.
Avec lavnement des microcontrleurs, les composants dlectronique de puissance et des
dispositifs permettant le traitement du signal [13], [14].Il est devenu possible de raliser une
telle commande un cot raisonnable. Cela a conduit une explosion des recherches et des
applications relatives la commande vectorielle de la MSAP.
Si beaucoup de problmes sont rsolus, certains autres font encore lobjet de recherche.
Quand on ne cherche pas obtenir des performances leves, mme si lidentification nest
pas bien faite et que les rgulateurs du schma de contrle vectoriel ne sont pas rgls loptimum, le comportement global du systme commande machine parat satisfaisant.
Cependant, les problmes ne surgissent que lorsque la machine est pousse dans ses
retranchements.
La commande vectorielle des MSAP ncessite une connaissance prcise de la position du
rotor [15] qui assure l'autopilotage de la machine. Cette connaissance peut tre obtenue
directement par un capteur de position ou indirectement par un capteur de vitesse. Quel que
soit le but de la commande (rgulation de couple, de vitesse ou de position), le contrle du
couple de moteur est ncessaire. Celui-ci, dpendant des deux variables id et iq nous laisse un
degr de libert.
I I .2. Les quations du MSAP en rgime quelconque
Pour cette mise en quation, nous supposons les mmes hypothses simplificatrices
prises dans le prcdent chapitre. La mise en quation de la MSAP avec les hypothses que
nous avons retenues tant classique, nous ne mentionnerons que les points qui nous semblent
essentiels et les choix qui nous sont propres par rapport ce qui ce fait habituellement .Les
quations lectriques dans un repre fixe li au stator sont dcrites par :
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
27
b
b
a
c
b
a
s
c
b
a
dt
d
i
i
i
R
V
V
V
La somme instantane des courants statoriques est nulle, de sorte qu'il n'y a pas de
courant homopolaire. Par consquent, s'il existe une composante homopolaire de tension ou
de flux, elle n'intervient pas dans le couple [16].Le comportement de la machine est donc
reprsent par deux variables indpendantes. En appliquant la transformation restreinte de
Concordia T32, on obtient :
dtd
iiR
VV s
O :
2
3
2
1
2
3
2
1
01
3
2; 3232 Tavec
x
x
x
Tx
x
c
b
a
t
xpeut tre V, i, ou . En appliquant la transformation de Park au systme d'quations (II.1),
on peut exprimer tous les vecteurs dans un repre li au rotor. Si est l'angle lectrique
dsignant la position du rotor par rapport au stator, nous avons :
cossin
sincos;
:
2
.
pavecx
xp
x
x
o
pdt
d
i
iRV
V
q
d
q
d
q
d
q
d
s
q
d
(II.1)
(II.3)
(II.2)
(II.4)
(II.5)
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
28
Vd, Vq, idet iqsont les composantes direct et en quadrature de tension et de courant. det q
sont les composantes directe et en quadrature du flux.
Dans les machines synchrones rpartition sinusodale des conducteurs, d et q sont
fonctions linaires des courants idet iq:
qqq
eddd
iL
iL
LdetLqsont les inductances directe et en quadrature et elles sont supposes indpendantes de
. e reprsente le flux des aimants travers le circuit quivalent direct. En reportant les
expressions des flux dans l'quation (II.4) on aboutit :
q
d
q
d
q
d
q
d
q
d
q
d
s
q
d
e
e
i
i
L
Lwp
i
i
dt
d
L
L
i
iR
V
V
0
0
20
0
o =p,p tant le nombre de paires de ples et la vitesse angulaire du rotor. ed et eq
sont les composantes directe et en quadrature de f.e.m..
Dans le cas des machines synchrones aimants permanents et rotor lisse, les inductances
directe et en quadrature sont identiques (Ld=Lq=L). Le systme d'quations (II.7) se simplifie
alors :
q
d
q
d
q
d
q
d
s
q
d
e
e
i
iPL
i
i
dt
dL
i
iR
V
V
2
I I . 3. Principe de la commande vectoriel le
L'objectif principal de la commande vectorielle des MSAP est donc de contrler le
couple de manire optimale selon un critre choisi. Pour simplifier la commande, on fixe
souvent courant idde manire que le couple soit proportionnel iqdans une plage de vitesse
donne. Dans les machines rotor lisse, o le couple ne dpend que de la composante en
quadrature du courant, la valeur optimale du courant direct est videmment nulle :
id ref = 0
(II.6)
(II.7)
(II.8)
(II.9)
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
29
Mais dans les machines ples saillants, elle peut tre fixe une valeur qui
correspond au couple maximal courant maximal [17].
Le couple est contrl par la composante en quadrature, iq ref est donc proportionnel au couple
demand. La commande vectorielle revient alors contrler les deux composantes id et iq du
courant statorique en imposant les tensions Vdet Vqqui conviennent. A l'aide des rgulateurs,
on obtient les tensions de rfrence permettant de maintenir les courants direct et en
quadrature au voisinage de leurs valeurs de rfrence id ref et iq ref. Le schma bloc du principe
de la commande vectorielle des MSAP est reprsent sur la figure II.1.
Sur ce schma, la matrice T22est dfinie par :
21
03
2
122T
En ralit nous navons accs quaux tensions et courants des trois phases de la machine. Le
passage aux grandeurs intermdiaires (tensions et courants de Park) se fait laide des
transformations de Park et de Concordia (directe et inverse). Sous les hypothses suivantes :
La priode de la porteuse Tp est suffisamment petite par rapport aux constantes detemps lectrique de la machine, et la frquence de la porteuse pp T/2 estnettement suprieure la pulsation lectrique maximale de la machine
Fig.II.1.Schma principal de la commande vectorielle des MSAP
Vdr
V r
Var
Vbr
Vcr
idref
iqref
idiq
Va
Vb
Vc
=0 Rgulateurs
des
courants
pT32
22Tp
Onduleur
MLI MSAP
ia
ib
ic
Cr
(II.10)
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
30
La compensation du temps mort est parfaite La prcision de la mesure de position est suffisante.
Si le courant id refest forc zro qss ii , do la reprsentation suivante:
Et la forme du couple lectromagntique sera de la forme suivante :
Comme le flux est constant, le couple est directement proportionnel qss ii , do la
reprsentation suivante :
Avec :
Il est parfaitement remarquable que cette expression (II.5) soit similaire celle dune
machine
courant continu excitation spare, et quun contrle indpendant du couple et du flux est
tabli (dcouplage).
I I .4. Structure de la commande en tension
Dans cette technique de commande on se limite la mthode indirecte, pour le
contrle du flux, en utilisant un bloc de dfluxage. Donc le flux ne peut tre rgul, il est
dduit de la vitesse partir du bloc de dfluxage (Fig. II.2)[18].
Le bloc de dfluxage permet lexploitation optimale des capacits magntiques de la
machine, permettant un fonctionnement couple constant si la vitesse est infrieure la
vitesse nominale,dune part, dautre part ce bloc permet, daffaiblir le flux inversement
proportionnel la vitesse, pour les fonctionnements puissance constante lorsque la vitesseexcde la vitesse nominale. Il est dfini par la relation non linaire suivante :
r
nom nom
rnom
r
Fig.II.2. Bloc de dfluxage.
(II.12)
(II.13)
(II.14)
(II.11)
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
31
Avec :: La vitesse de rotation nominale
Aprs lapplication de principe de la commande vectorielle ces quations, et aprs
arrangement ncessaire on aura le systme dquations suivant :
qsqsds ILV
eqsqsqs
qs
qsqss ILVdt
IdLIR
Le schma de commande ncessite deux boucles de rgulations pour les courants (Ids,
Iqs) et une autre pour la rgulation de la vitesse. La structure de commande en tension est
donner par la figure (II.3).
On tient signaler ici que le schma-bloc de la structure de commande en tension
contient un bloc de compensation dont les quations sont donnes comme suit :
Posons :
dsq1sq
qsd1sd
eVV
eVV
Tel que (ed, eq) reprsentent les perturbations quil faut compenser.
eq
ed
(II.16)
(II.17)
(II.15)
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
32
Sachant que :
q1sdsd
d1sqsq
qsqsq
fdsdsd
eVV
eVV
ILe
)IL(e
Alors on peut donner le schma bloc de la compensation par la figure (2.4).
Fig. II.4.Schma de compensation
Fig. II.3.Structure de la commande vectorielle en tension
(II.18)
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
33
La figure II.5. reprsente le schma bloc de la commande vectorielle en tension du MSAP.
I I . 5. Fonction de transfert d'une MSAP
Dans la plupart des cas, la dynamique mcanique de la machine est nettement plus
lente que celle lectrique et nous pouvons donc faire l'hypothse que la vitesse angulaire
=p est considre constante dans les quations lectriques de la machine. Nous avons
alors le modle linaire suivant :
La matrice de transfert du systme Y(s) est dfinie par :
Avec :
Fig. II.5. Schma bloc de la commande vectorielle du MSAP
(II.19)
(II.20)
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
34
qdqd sssP 211
Os
q
q
s
d
dR
LetR
L sont les constantes de temps lectriques.
La transmittance du rgulateur PI utilis dans notre tude peut tre exprime de la
manire suivante :
)p1(p
K
p
KK iip
Avec :
i
p
K
K
La fonction de transfert du systme (machine + rgulateur PI) en BF est donne par :
1ssK
J
s1
)s(
)s(
2
i
reff
En comparant lquation caractristique de la fonction de transfert (II.20) avec la
forme standard du second ordre, on trouve que :
2o
i
J
K
o
2
Avec : coefficient damortissement
A partir des quations (II.21), (II.22) et pour 1 , on aura :
2i
J4
K
Pour calculer iK , la constante de temps associe au rgulateur est choisie en fonction de la
constante de temps statorique dans laxe q parS
qs
R
L qui caractrise la dynamique du
couple. Par consquence :
.KK ip
(II.21)
(II.22)
(II.23)
(II.24)
(II.25)
(II.26)
(II.27)
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
35
La boucle de rgulation de la vitesse est donne par la figure (II.6), mais on a ajout cette
boucle un filtre pour liminer le dpassement d lexistence dun (Zro) dans la FTBF du
Systme (machine + rgulateurPI)
I I .6.Onduleur de tension
Les onduleurs de tension alimentent les machines courant alternatif partir
dune source de tension continue. Ils permettent dimposer aux bornes de la machine des
tensions damplitude et de frquence rglables par la commande. Une machine triphase sans
liaison de neutre alimente par un onduleur de tension trois bras comprenant chacun deux
cellules de commutation. Chaque cellule est compose dun interrupteur, command
lamorage et au blocage et dune diode antiparallle. Dans notre travail londuleur est
command par la technique de Modulation de Largeur dImpulsions (MLI) chantillonne
symtrique. Elle consiste imposer aux bornes de la machine des tensions, haches
frquence fixe, voluant en fonction des rfrences de tension obtenues partir des
rgulateurs des courants. A laide dun signal triangulaire appel porteuse , ces tensions
sont modules en largeur dimpulsions (MLI) afin de dterminer les instants de commutation
et la dure de conduction de chaque interrupteur de londuleur. A chaque instant, lun des
deux interrupteurs de chaque bras est en conduction et lautre est bloqu. En MLI
chantillonne symtrique, le signal de rfrence est constant pendant au moins une priode
de la porteuse. Ce qui permet de calculer facilement les instants dintersectiondu signal de
rfrence avec la porteuse au dbut de chaque priode de celle-ci.
Fig. II.6.:Rgulation de la vitesse
s1
1
s
KK ip sJ
1reff
eC
rC
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
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I I .7.Modlisation des onduleurs de tension
Dans ltude de lensemble commande-onduleur-machine-charge, nous nous
intressons uniquement au comportement dynamique des variables lectriques et mcaniques
de la machine. Du fait que les constantes de temps des machines et des rgulateurs sont trsgrandes devant le temps de transition dun tat lautre des composants semi-conducteurs, on
peut faciliter la modlisation et rduire le temps de simulation en modlisant londuleur par
un ensemble dinterrupteurs idaux: cest--dire rsistance nulle ltat passant, rsistance
infinie ltat bloqu, raction instantane aux signaux de commande. Cette mthode est la
plus couramment utilise dans ltude de lensemble onduleur-machine. La figure (II.7)
prsente le schma de cet onduleur et son modle. Les six interrupteurs de londuleur relient
les deux bornes de la source de tension aux trois phases de la machine. Ltat de conduction
des composants de londuleur peut-tre reprsent par une matrice de connexion [15] de
dimension (2,3) dont chaque lment reprsente ltat de conduction dun interrupteur:
ncpc
napb
napa
cc
cc
cc
C
Les indices netp spcifient la liaison des lments aux bornes ngative ou positive de
la source et les indices a, bet cindiquent les trois phases de sortie de londuleur:1- 1ijc lorsque linterrupteur reliant la borne i de la source de tension la phasej de
la machine est passant.
2- 0ijc lorsque linterrupteur correspondant est bloqu.
(II.28)
Fig. II.7Schma de londuleur et de son modle.
Tc Tb Ta
U0n
a
c
b Van
U0/2
0n
Tp
Tr
Ubc
Vcn
VbnUab
Uca
Trpa
U0/2
ab
c
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
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Les tensions de sortie de londuleur par rapport au point milieu m de la source pris
comme la rfrence de potentiel sont donnes par :
1
1
2
0 CU
V
VV
cm
bm
am
Et pour liminer la composante homopolaire dans les expressions des tensions aux
bornes des enroulements statoriques, nous avons :
cm
bm
am
t
c
b
a
V
V
V
TT
V
V
V
211
121
112
3
13232
La figure (2.8) montre le principe de la commande dun bras de londuleur par la
technique MLI chantillonne symtrique. La tension de rfrence Vjrest constante sur une
priode de la porteuse Tpet les commandes cpjet cnjsont dtermines partir des intersections
de la porteuse et la rfrence.
(II.29)
(II.30)
-
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-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
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21
20U
T
tV
p
j
j
Ce qui nous conduit au modle suivant, au sens des valeurs moyennes sur une priode
de hachage, de londuleur MLI:
jrondj VGV
Avec :p
ondV
UG
2
0
Dans ce paragraphe, nous citons quelques mthodes avances de conception des
rgulateurs. Il s'agit de trois familles des rgulateurs avancs : rgulateurs linaires robustes,
rgulateurs non linaires et rgulateurs intelligents. Nous ne ferons pas ici une prsentation
exhaustive des mthodes susmentionnes. La mthode la plus frquente est celle utilise dans
ce mmoire Cest le rgulateur PI.
Nous nous limiterons donc par la suite aux rgulateurs PI suivants :
ss
KsCs
s
KsCs
sKsC
jw
jw
iq
iq
qq
id
iddd
1
;
1
;1
O Cd(s) et Cq(s) sont les rgulateurs des courants direct et en quadrature (idet iq) et C(s) est
le rgulateur de vitesse angulaire mcanique .
(II.32)
(II.33)
(II.34)
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
40
I I .8. Simulation numrique de l'ensemble commande- onduleur - machine
a-sans onduleur
a-1- en mode normal
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
50
100
150
temps(sec)
vitesse(rad/sec)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
temps(sec)
coupleelectromagnetique(N.m
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
0
1
2
3
temps(sec)
courantisd(A)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
10
20
30
40
temps(sec)
courantisq(A)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-10
-5
0
5
10
15
t(sec)
isc(A)
Fig. II.9.Rsultat de simulation de la MSAP videen mode normal.
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
50
100
150
200
250
temps(sec)
vites
se(rad/sec)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-30
-20
-10
0
10
20
temps(sec)
coupleelectromagnetique(N.m
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-30
-20
-10
0
10
20
temps(sec)
co
urantisd(A)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-80
-60
-40
-20
0
20
40
temps(sec)
co
urantisq(A)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100
-50
0
50
100
150
temps(sec)
vitesse(rad/sec
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-30
-20
-10
0
10
20
temps(sec)
coupleelectromagnetiq
ue(N.m
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-15
-10
-5
0
5
10
temps(sec)
courantisd(A)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-80
-60
-40
-20
0
20
40
temps(sec)
corantisq(A)
Fig. II.10.Rsultat de simulation de la MSAP- effet de reference de
vitesse wm=200 rad/sec et wm=0rad/sec en mode normal.
Fig. II.11.Inversion de la vitesse -en mode normal et deflux cr=0 Nm.
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
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a-2-en mode d flux
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
50
100
150
200
temps(sec)
vitesse(rad/sec)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
5
10
15
temps(sec)
coupleelectromagnetique(N.m
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5
0
5
10
temps(sec)
courantisd(A)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
10
20
30
40
temps(sec)
courantisq(A)
Fig. II.12.Rsultat de simulation de la rgulation analogique (mode
normal et dflux).
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
20
40
60
80
100
120
temps(sec)
vitesse(rad
/sec)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5
0
5
10
15
20
25
temps(sec)
coupleelectromagnetique(N.m
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
1
2
3
4
courantisd(A
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10
0
10
20
30
40
courantisq(A)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100
-50
0
50
100
temps(sec)
vitesse(rad/sec)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-30
-20
-10
0
10
20
temps(sec)
coupleelectromagntique(N.m
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-10
-5
0
5
temps(sec)
courantisd(A)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60
-40
-20
0
20
40
temps(sec
courantisq(A)
Fig. II.13.Rsultats de simulation de la rgulation analogique (mode
normal).en charge Cr=5N.m t=0.3s
Fig. II.14.Rsultat de simulation de l'inversion de sens de la vitesse
(Mode normal). Cr=5N.m t=0.5s
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
44
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
50
100
150
200
250
temps(sec)
vitesse(rad/sec)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10
0
10
20
30
40
temps(sec)
coupleelectromagnetique(N.
m)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10
-8
-6
-4
-2
0
temps(sec)
courantisd(A)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10
0
10
20
30
40
50
temps(sec)
courantisq(A)
Fig. II.15.Rsultats de simulation de dfluxage en charge Cr=5N.m
(Mode dflux). t=0.5s
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
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b-avec onduleur
a-mode normal
Fig. II.17.Rsultat de simulation de la rgulation de vitesse
(Mode normal)
Fig. II.16.Rsultats de simulation vide
(Mode normal)
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
46
I I .9.I nterprtati on des rsul tats
Les figures (II.9)-(II.17) prsentent les rsultats de simulation obtenus. Ces courbes ont t
traces l'aide du logiciel MATLAB 6.5.
La figure (II.9).reprsente les rsultats dun dmarrage vide o la vitesse est fixe la
rfrence de 100(rad/sec), la figure (II.9), reprsente aussi lallure du courant isd et isq.
La figure (II.9).Illustre les rsultats de simulation d'un dmarrage suivi par une inversion de
vitesse t=0.5s. La vitesse angulaire poursuit sa rfrence (+/-100rd/s) et le contrle du
couple (image de iq) est satisfaisant.
II.10.Conclusion
Ce chapitre est une prsentation de la commande vectorielle des machines synchrones
aimants permanents (MSAP). Nous avons d'abord prsent les rfrentiels et les
transformations utiliss dans les systmes de commande des machines, une modlisation de
l'onduleur t prsente, les rsultats de simulation (figure II.9) montrent les performances de
la rgulation tant donn que la vitesse est obtenue sans dpassement avec un temps de
rponse court car la machine est vide et que l'inertie est faible. Lors du dmarrage, le couple
Fig. II.18.Rsultat de simulation de l'inversion du sens de la vitesse (de
100 -100 rad/sec) (Mode normal)
-
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Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP
47
lectromagntique atteint la valeur limite (30 N.m) et se stabilise une valeur pratiquement
nulle en rgime permanent.
La rponse des deux composantes du courant satatorique montre bien le dcouplage
introduit par la commande vectorielle de la machine ids avant qu'il prenne une valeur nulle il
est ngatif et aprs 0.02 sec il atteint sa valeur nulle.
Nous avons galement examin le fonctionnement en mode dflux (figure. II.12)
pour lequel nous constatons, une vitesse de rfrence (100 rad/sec), que le systme rpond
pratiquement sans dpassement avec un temps de rponse plus important que dans le cas du
mode normal.
Nous avons galement tudi la robustesse de la rgulation en simulant un dmarrage,
puis une inversion du sens de rotation. Pour les deux modes examins (figure II.13 et figure
II.14), nous constatons que la vitesse rpond sans dpassement en dmarrage et en inversion.
En charge sur les figures (II.13) et (II.14) on voit clairement que la machine l instant
t=0.5sec rpond et le couple atteint la valeur en charge de cr=5 N.m linstant t=0. 5 sec.
La machine synchrone aimants permanent est alimente maintenant par un onduleur
de tension MLI. Les rsultats de simulation du systme avec onduleur, sont donns sur la
figure (II.16) pour le fonctionnement normal. Pour le fonctionnement en mode normal, nous
constatons que le systme rpond toujours sans dpassement avec pratiquement le mme
temps de rponse que le systme sans onduleur.
Les rsultats de simulation sont obtenus l'aide d'un logiciel de simulation
MATLAB/SIMULINK.
-
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CHAPI TRE I I I Dveloppement Thorique de la Mthode Backstepping
48
ChapitreDveloppement Thorique de la Mthode
du ackstepping III.1. Introduction
Depuis quelques annes,beaucoup de progrs ont t faits dans le domaine de la
commande des systmes non linaires. La technique du backstepping fait partie de ces
nouvelles perces dans ce domaine. Ellea t dveloppepar Kanellakopoulos et al, au dbut
des annes '90. Elle offreune mthode systmatique pour effectuer le design d'uncontrleur,
pour des systmes non linaires. L'avantage principal de cette mthode est de garantir la
stabilit ducouple contrleur-procd. La mthode du backstepping permet de dterminer une
loi de mise jours des paramtres, pour une loi de commande adaptative, qui garantie, elle
aussi, la stabilit du couple contrleur- procd, [19].
La plupart des systmes physiques qui nous entourent sont non linaires. Bien souvent,
ces non linarits sont faibles ou ne sont pas visibles sur la plage d'oprations de ces procds.
Le souci constant d'amliorer les performances des systmes commands conduit des
modlisations de plus en plus prcises qui permettent de rpondre sur une plus large plage
d'oprations. C'est ce moment que les non linarits se font sentir et rendent les outils
d'analyse et/ou de synthse des lois de commande, utiliss dans le domaine linaire, anciens et
absolument incapables de rendre compte de certains phnomnes. C'est pourquoi, depuisquelques annes, beaucoup de recherches ont t effectues dans le domaine de la commande
des systmes non linaires. Le backstepping fait partie de ces nouvelles mthodes de
commande.
Dans ce qui suit, nous irons clarifier dabord la notion dessystmes non linaires, puis
le concept et la mise au point de la technique backstepping, ensuite nous
tablironslalgorithme gnralis. Quelques modles exemplaires seront le sige de
lapplication de cette technique base sur la thorie de lyapunov qui va garantir la stabilit dusystme non linaire command.
-
8/12/2019 Inj Messadi Mouna
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CHAPI TRE I I I Dveloppement Thorique de la Mthode Backstepping
49
Les centres dintrt du projet sarticulent autour des systmes non lina ires et les
deux types de commande suivants iront nous permettre datteindre nos objectifs:
Commande non Adaptative et Adaptative des Systmes Non linaires par latechnique backstepping ,
Commande Adaptative des Systmes Non-linaires par lApproche backstepping-Neuronale .
III.2. Systmes non linaires
Pendant trs longtemps, les systmes physiques modliss par des quations non
linaires ont t tudis en considrant que les non linarits taient ngligeables par rapport
aux termes linaires ce qui donne naissance des problmes gnraux dans ce sens au niveau
du comportement du processus.
Comme nous lavons vu, prcdemment, le modle dun tel systme linaire est
valable pour une zone de fonctionnement particulire, en dehors de cette zone, le systme
nest plus linaire ou les coefficients choisis ne sont plus valides.
Ces notions nous permettent daborder une autre catgorie des systmes, dont leur
tude constituera une importance majeure dans le domaine de la commande des processus
physiques, ce sont les systmes non linaires.
Quelques exemples de ces phnomnes sont donns. Un systme linaire possde un
seul point dquilibre. Un systme non linaire peut en avoir plusieurs. Le systme peut
converger, en rgime permanent, lun des points, suivant les conditions initiales (point
dopration).
Ltat dun systme linaire instable peut prendre des valeurs infinies quand le temps
devient infini. Un systme non linaire peut voir son tat prendre des valeurs infinies, pour
des valeurs finies du temps (finite escape time). Cette proprit peut-tre lorigine de srieux
problmes de stabilit, notamment en commande adaptative, [20].
Pour quun systme linaire prsente des oscillations entretenues, il faut quil ait une
paire de ples imaginaires. Il est presque impossible de maintenir de telles oscillations en
prsence de perturbations.
Dans la pratique, les oscillations stables (damplitudes et frquence fixes) doivent -tre
ralises par des systmes non linaires. Ce type doscillations est connu sous le nom de
cycles limits.
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Un systme linaire, sous leffet dune entre priodique, produit un signal priodique
de mme priode sa sortie. Un systme non linaire peut osciller avec des frquences qui
sont des sous multiples et / ou de multiples de la frquence dentre.
Un systme non linaire peut avoir des rgimes permanents plus compliqus que ceux
cits prcdemment. Ces rgimes sont connus sous le nom de chaos. Ils prsentent un aspect
stochastique.
Contrairement au cas linaire, les systmes non linaires, tant dfinis par ngation, ne
reprsentent pas un ensemble homogne. Une mthode qui donne de bons rsultats sur une
classe de systmes, peut avoir des consquences catastrophiques sur une autre classe, trs peu
diffrente de la premire. Par consquent, dans le cadre de la commande des systmes non
linaires la question de lapplicabilit est primordiale, et une mthode gnrale nexiste pas.
Tous les efforts consentis ces dernires annes visent largir, le plus possible, lensemble
des systmes auxquels les mthodes sont applicables. Ces ensembles sont dfinis en termes de
contraintes imposes aux non-linarits du systme,[21].
III.3. Stabilit des systmes linaires et non linaires
I I I .3.1. Equil ibre et stabil itdes systmes
Quelques dfinitions relatives la stabilit des systmes non linaires seront donnes.
Les mthodes danalyses seront brivement prsentes. On parlera surtout des mthodes de
Lyapunov, et laccent sera, plus particulirement, mis sur la deuxime mthode de Lyapunov,
qui constitue llment central de la mthode design adopte, i.e. le backstepping.
On appelle systmes linaires les systmes physiques reprsents par des quations
diffrentielles linaires coefficients constants, lhypothse de linarit quivaut au principe
de superposition. Les systmes non linaires, par opposition aux systmes linaires, sont des
systmes physiques qui ne sont pas rgis par des quations linaires. Autrement dit, le
principe de superposition ne peut leur tre appliqu.Physiquement, un systme est en quilibre quand il conserve son tat en absence de
forces externes. Mathmatiquement, cela quivaut dire que la drive x de son tat est
nulle pour un systme.
)x(x (III.1)
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Ltat (ou les tats) dquilibre xe est la solution (sont les solutions) de lquation
algbrique 0ex .
Dans le cas de systmes linaires, on a Axx , ce qui implique que x=0 est un point
dquilibre pour tout systme linaire. Si A est rgulire, lorigine est le seul point
dquilibre. Dans le cas o la matrice A est singulire, tout le sous espace dfini par Ax=0
constitue une rgion dquilibre. Pour les non linaires, la solution est moins vidente et
lorigine, nest pas forcment un point dquilibre. En plus, en prsence de plusieurs
quilibres, ces derniers peuvent se prsenter, comme dans le cas linaire, sous forme de
domaines continus, mais aussi de points isols, voir mme de combinaisons de deux.
Pour comprendre le comportement dun systme non linaire, on utilise souvent une
reprsentation de ses trajectoires dans lespace de phase (Fig. 3.1). Ces trajectoires sont unensemble de courbes qui reprsentent lvolution de ltat du systme dans le temp s.
Lobtention de ces trajectoires passe, toutefois, par la rsolution de lquation diffrentielle
(III.1), qui peut savrer une tche difficile. Cest pourquoi, les outils permettent lanalyse du
comportement du systme, sans avoir rsoudre les quations qui les dcrivent, ont connu un
grand succs. Les techniques bases sur la deuxime mthode de Lyapunov font partie de
cette classe.
Stabi l i t(dfini ti on intui ti ve)
On dit quun systme est stable sil dplace de sa position dquilibre et tend y
revenir ; instable, sil tend sen carter davantage :
Exemple 3.1
Soit stabiliser lorigine (x1=0) du systme scalaire :
uxxx 11T
111
.
(III.2)
t
X
X2
Fig. III.1 : Trajectoire dun systme dans le plan de phase
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o 11 et sont des fonctions non linaires, et est un vecteur de paramtres
connus. Pour ce fait, la fonction de Lyapunov 1xV doit tre choisie et une commande u qui
annule sa drive le long de la trajectoire, doit tre calcule. La fonction suivante :
211 x21xV (III.3)
reprsente souvent un bon choix . Sa drive le long de la solution de lquation (III.2)
donne :
]u.x.x.[xx.xxV 11T
1111
.
11
.
(III.4)
Un choix judicieux de u rend 1xV ngative et assure la stabilit asymptotique de
lorigine du systme. Un exemple de commande est donn par le choix de u tel que :
0kx.ku.x.x 11111T
11 (III.5)
ce qui donne :
].xx.k.[)x(
1uT
111111
(III.6)
La drive scrit alors:
0xkxV 2111.
(III.7)
Do la stabilit asymptotique de lorigine. Le fait que, dans lquation (III.4).
V soit
semi dfinie ngative nimplique pas forcment une stabilit simple. Lensemble des points
o la drive sannule ne constitue pas une trajectoire possible du systme, puisquelle ne
sannule qu lorigine. On peut donc, selon le thorme de Barbasin- Krasovskij, affirmer la
stabilit asymptotique. [22].
Remarque 3.1. (Choix de la commande)
Le choix de u nest pas unique. Un bon choix permet de rendre ngative la drive,
sans supprimer les non-linarits utiles dans le systme, ni augmenter inutilement leffort
fourni par lactionneur.
I I I .3.2. Choix de la fonction de Lyapunov
La thorie de lyapunov a t pendant longtemps un outil important dans la commande
linaire aussi bien que la commande non-linaire cependant, son utilisation dans la commande
non-linaire a t entrave par les difficults pour trouver une fonction de lyapunov pour un
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systme donn mais la tche de trouver une telle fonction a t souvent laisse l'imagination
et l'expertise du concepteur.
Mme pour des systmes simples et en labsence dincertitudes le choix de la fonction
de Lyapunov, et de la loi de commande nest pas toujours facile. Aucune rgle gnrale
nexiste ce jour quant au choix dune telle fonction. Et quand on sait linfluence de ce choix
sur le comportement gnral du systme, on comprend lintrt qua suscite ce problme ces
dernires annes.
La thor ie de Lyapunov
Une condition de base sur un systme command est qu'elle devrait atteindre
l'quilibre dsir sans prendre un dtour trop grand y arrivant. Formalisons cette condition en
termes de proprits de l'quilibre dsir, daprs Slotine et Li, [23].
Dfini ti on.3.1 (l a stabi l i tde lyapunov)
Considrons un systme de temps invariable :
xfx.
Commenons ltat initial x (0). Soit xe un point dquilibre du systme, alors
.0exf Nous savons que le point dquilibre eststable, si pour chaque 0 il existe 0 tel
que
00 ttoutpourxtxxx ee
instable, sil nest pas stable; asymptotiquement stable, sil est stable et une addition existe r>0 tel que
tsixtxrxx ee0
globalement asymptotiquement stable sil est asymptotiquement stable pour tousles tats initiales.
Dfini ti on 3. 2
La fonction scalaire xV est dite :
positive dfinie si :
et00V
0x,0xV
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