Download - Integral Doble en Coordenadas Polares
-
Integral doble en coordenadas polares
-
Contenido
1. Coordenadas polares
2. Grafica de ecuaciones polares
3. Regiones en coordenadas polares
4. Integrales dobles en coordenadas polares
-
Coordenadas polares
(, )
Sistema de coordenadas rectangulares Sistema de coordenadas polares
(eje polar)(polo)
b
a
(, )
-
Coordenadas polares
2 = 2 + 2
tan =
= sin =
coordenadas polares a
rectangulares
coordenadas rectangulares
a polares
Relacin entre coordenadas polares y rectangulares
-
Coordenadas polares
Ejemplo 1. Polar a rectangular. Convierta las coordenadas polares (2, 6)en coordenadas rectangulares.
Ejemplo 2. Rectangular a polar. Convierta las coordenadas rectangulares (1, 1) en coordenadas polares.
Ejemplo 3. Ecuacin rectangular en ecuacin polar. Encuentre la ecuacin polar del crculo 2 + 2 = 8
Ejemplo 4. Ecuacin rectangular en ecuacin polar. Encuentre la ecuacin polar de la parbola 2 = 8(2 )
Ejemplo 5. Ecuacin polar en ecuacin rectangular. Encuentre una ecuacin rectangular de la ecuacin polar 2 = 9 cos 2
-
Grficas de ecuaciones polares
La grfica de una ecuacin polar = () es el conjunto de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuacin.
Ejemplo 1. Grafica de una ecuacin polar. Grafique = 1 cos
Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 2
r
-
Grficas de ecuaciones polares
La grfica de una ecuacin polar = () es el conjunto de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuacin.
Ejemplo 1. Grafica de una ecuacin polar. Grafique = 1 cos
Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 2
0
r
-
Grficas de ecuaciones polares
La grfica de una ecuacin polar = () es el conjunto de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuacin.
Ejemplo 1. Grafica de una ecuacin polar. Grafique = 1 cos
Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 2
0
r 0
-
Grficas de ecuaciones polares
La grfica de una ecuacin polar = () es el conjunto de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuacin.
Ejemplo 1. Grafica de una ecuacin polar. Grafique = 1 cos
Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 2
0
r 0
-
Grficas de ecuaciones polares
La grfica de una ecuacin polar = () es el conjunto de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuacin.
Ejemplo 1. Grafica de una ecuacin polar. Grafique = 1 cos
Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 2
0
r 0 0.29
-
Grficas de ecuaciones polares
La grfica de una ecuacin polar = () es el conjunto de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuacin.
Ejemplo 1. Grafica de una ecuacin polar. Grafique = 1 cos
Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 2
0
r 0 0.29
-
Grficas de ecuaciones polares
La grfica de una ecuacin polar = () es el conjunto de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuacin.
Ejemplo 1. Grafica de una ecuacin polar. Grafique = 1 cos
Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 2
0
r 0 0.29 1
-
Grficas de ecuaciones polares
La grfica de una ecuacin polar = () es el conjunto de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuacin.
Ejemplo 1. Grafica de una ecuacin polar. Grafique = 1 cos
Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 2
0
r 0 0.29 1
-
Grficas de ecuaciones polares
La grfica de una ecuacin polar = () es el conjunto de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuacin.
Ejemplo 1. Grafica de una ecuacin polar. Grafique = 1 cos
Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 2
0
r 0 0.29 1 1.71
-
Grficas de ecuaciones polares
La grfica de una ecuacin polar = () es el conjunto de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuacin.
Ejemplo 1. Grafica de una ecuacin polar. Grafique = 1 cos
Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0 2
0 5
r 0 0.29 1 1.71 2 1.71 1 0.29 0
-
Grficas de ecuaciones polares
0 5
r 0 0.29 1 1.71 2 1.71 1 0.29 0
Grafica de =
-
Grficas de ecuaciones polares
Cardioides
-
Grficas de ecuaciones polares
Curvas de las rosas. Las graficas de = y = con 2 se denominan curvas de las rosas. Si es par tiene 2 ptalos y si es impar tiene ptalos.
= =
-
Grficas de ecuaciones polares
Crculos con centros sobre un eje.
-
Grficas de ecuaciones polares
Lemniscatas.
-
Grficas de ecuaciones polares
Limacones. = y =
-
Regiones en coordenadas polares
Regin r-simple.
= 1() 2()
-
Regiones en coordenadas polares
= 0 3cos 3
6
6
Ejemplo, regin r-simple.
=
6
=
6
-
Regiones en coordenadas polares
= 1 2
1() 2()
Regin -simple.
-
Regiones en coordenadas polares
= 1 2
0
3
= 0
Ejemplo, regin -simple.
-
Regiones en coordenadas polares
= 1 21 2
Ejemplo 1. Exprese la regin en coordenadas polares.
=
6
=
4
= 2= 4
= 2 4
6
4
-
Regiones en coordenadas polares
= 0 2
0
2
Ejemplo 2. Exprese la regin en coordenadas polares.
-
Regiones en coordenadas polares
= 1 30 2
Ejemplo 3. Describa la siguiente regin en coordenadas polares.
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Algunas integrales dobles son mucho ms fciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es as especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y ptalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen 2 + 2.
-
Integrales dobles en coordenadas polares
, =1
( , )
=
El rea de la base del slido
El volumen del pequeo slido
( , )
El altura del pequeo slido
( , )
El volumen aproximado del slido
-
Integrales dobles en coordenadas polares
, = lim
=1
( , )
Como = cos y = sen , = ( cos , sin ), obtenemos la integral doble en coordenadas polares:
, =
=
(, )
El volumen exacto del slido
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejemplo 1. Sea la regin anular comprendida entre los dos crculos 2 + 2 = 1 y 2 + 2 =5. Evaluar
la integral 2 +
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejemplo 2. Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de la regin slida limitada superiormente
por el hemisferio = 16 2 2
einferiormente por la regin circular dada por 2 + 2 4
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejemplo 3. Utilizar una integral doble para hallar el rea encerrada por la grfica de = 3 cos 3
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejemplo 4. Hallar el rea de la regin acotada superiormente por la espiral = 3 e inferiormente por el eje polar, entre = 1 y = 2
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejercicios 1 a 4. Se muestra la regin R para la integral
, . Decir si seran ms convenientes
coordenadas rectangulares o polares para evaluar la integral.
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejercicios 5 a 8. Utilizar coordenadas polares para describir la regin mostrada.
5. 6.
7.
8.
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejercicios 9 a 16. Evaluar la integral doble y dibujar la regin R.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejercicios 17 a 26. Evaluar la integral iterada pasando a coordenadas polares.
23.
17. 22.
24.
25.
26.21.
20.
19.
18.
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejercicios 27 a 28. Combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante.
27.
28.
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejercicios 29 a 32. Utilizar coordenadas polares para escribir y evaluar la
integral doble ,
29.
31.
30.
32.
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejercicios 33 a 38. Utilizar coordenadas polares para escribir y evaluar la
integral doble ,
-
Integrales dobles en coordenadas polares
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejercicios 42 a 44. Utilizar la integral doble para calcular el rea de la regin sombreada.
42. 43. 44.
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejercicios 45 a 47. Utilizar la integral doble para calcular el rea de la regin sombreada.
45. 46. 47.
-
Integrales dobles en coordenadas polares
Ejercicios 48 a 53. Trazar una grfica de la regin limitada por las grficas de las ecuaciones, despus, usa la integral doble para encontrar el rea de la regin.
48.
49.
50.
51.
52.
53.