Download - Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm
![Page 1: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/1.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 11
H W ARE YOU TO
DAY LANJUTAN 4TM2101
2011 / 2012
![Page 2: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/2.jpg)
POKOK BAHASAN ke
- empatDASAR-DASAR
INTEGRAL, FUNGSI DARI FUNGSI, FUNGSI
POLINOMIAL PECAHAN PARSIAL, PENERAPAN
INTEGRAL
April 19, 2023 2TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN
INTEGRASI SUATU PERKALIAN-
PERBAGIAN, PECAHAN PARSIAL FUNGSI TRIGONOMETRIS
![Page 3: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/3.jpg)
IN TEG RALIntegral adalah proses kebalikan perdiferensial. Pada diferensial memulainya dengan fungsi dan memproses menemukan koefisien diferensialnya. Sedangkan integral memulainya dengan koefisien dan kemudian menentukan fungsi dari yang telah menurunkannya.Contoh: d/dx(xn) = nxn-1
Bila diintegralkan kembali dari (nxn-1) maka diperoleh n/(n-1)+1 [x](n-1)+1]
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN – PERTAMBANGANN 3
Konstanta integrasi
![Page 4: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/4.jpg)
Bila M= 4x3 dx, menunjukkan bahwa M=3 jika x=1. Hasil dari integral fungsi ini adalah M = x4 + C. Karena M=3 dan x=1, maka C=2. jadi dapat dituliskan bahwa M = x4 + 2.
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 4
C adalah konstanta integrasi dan harus ditulis dan nilainya tidak diketahui . Integral seperti ini disebut integral tak tentu.
![Page 5: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/5.jpg)
DAFTAR INTEGRAL STANDAR [BAKU]
SETIAP KOEFISIEN INTEGRAK SELALU DITULIS SEBAGAI KEBALIKAN
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 5
Ini ditulis daftar koefisien diferensial standar seperti daftar sebelumnya
![Page 6: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/6.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 6
![Page 7: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/7.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 7
Jawaban dilembar
berikutnya
![Page 8: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/8.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 8
![Page 9: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/9.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 9
![Page 10: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/10.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 10
![Page 11: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/11.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 11
![Page 12: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/12.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 12
![Page 13: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/13.jpg)
Integral fungsi dari fungsi linear dalam x
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 13
Sering perlu untuk mengintegralkan beberapa fungsi yang ditunjukkan pada integral standar jika variabel, x, digantikan dengan fungsi linear x, misalnya bentuk (ax + b).Contoh, y= (ax + b)ndx, dimisalkan u=(ax+b), maka y=un. Bahwa dy/du= (dy/dx)(dx/du). Olehnya itu du/dx= a dan dx/du=1/a. karena y= (ax + b)ndx dan dy/dx= un dan dx/du= 1/a. Jadi dy/du= un(1/a). Diperoleh, y= un (1/a)du = 1/a [1/(n+1)u
(n+1)) + C
Atau, y = 1/a(n+1)(ax + b)n+1 + C
![Page 14: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/14.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 14
![Page 15: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/15.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 15
Untuk mengintegralkan fungsi pada fungsi linear, x, menyederhanakan dengan mengganti x dengan hasil standar yang berhubungan dengan fungsi linear dan dibagi koefisien x pada fungsi linearnya.
![Page 16: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/16.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 16
![Page 17: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/17.jpg)
LATIHAN
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 17
![Page 18: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/18.jpg)
INI SOLUSINYA … !
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 18
![Page 19: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/19.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 19
![Page 20: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/20.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 20
![Page 21: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/21.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 21
![Page 22: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/22.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 22
Daftar koefisien diferensial dasar dan integral dasar
INTEG
RA
L S
TA
ND
AR
-
BA
KU
![Page 23: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/23.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 23
INTEG
RA
L S
TA
ND
AR
-
BA
KU
![Page 24: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/24.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 24
Seperti contoh sebelumnya bahwa integral baku berikut ini dapat diselesaikan dengan baik
![Page 25: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/25.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 25
Perhatikan bahwa betapa miripnya bentuk kedua kelompok ini dan perbedaan-perbedaan kecil, tetapi penting, yang ada
![Page 26: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/26.jpg)
Bahwa serupa dengan itu, karena cos x dx = sinx + C
Maka bila cos(2x + 5) dx = ……… ? cos(2x + 5) dx = ½ sin (2x+5) + C
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 26
Dan lanjutkan soal lain pada lembar berikutnya
Dengan serupa, maka cobalah lakukan ini dengan tidak melihat jawabannya
![Page 27: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/27.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 27
![Page 28: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/28.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 28
![Page 29: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/29.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 29
![Page 30: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/30.jpg)
INTEGRAL DALAM BENTUK F1(x)/F(x) dx dan F(x) F1(x) dxModel integral ini tidak termasuk dalam integral
baku, untuk menyelesaikan integral seperti ini, maka diperlukan ketajaman berpikir walaupun pada dasarnya mudah dikerjakan.
Contoh:(2x + 3)/(x2+3x–5)dx.
Perhatikan bahwa jika diferensialkan penyebutnya, maka diperoleh pembilangnya. Karena itu, misalkan penyebutnya dan nyatakan dengan z, dan kemudian nyatakan pula dz/dx, yaitu
z = (x2 + 3x – 5), maka dz/dx = 2x + 3 atau dz= (2x+3)dx
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 30
![Page 31: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/31.jpg)
Dengan demikian bahwa integralnya dapat dinyatakan dalam fungsi z.(2x + 3)/(x2 + 3x – 5)dx = dz/z dan diketahui bahwa (1/z)dz = lnz + C atau Jadi integral dari, (2x + 3)/(x2 + 3x – 5)dx. = ln(x2 + 3x – 5) + C
Perhatikan berikut ini:
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 31
![Page 32: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/32.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 32
Bentuk logaritma ini selalu muncul dalam hasilnya setiap kali pembilangnya merupakan koefisien diferensialkan dari penyebutnya, atau kelipantannya ataupun kelipatan bagiannya.Contoh : cot x dx = (cos x/sin x) dx dan karena cos x adalah koefisien diferensial dari sin x, makacot x dx = (cos x/sin x) dx = ln sin x + CBagimana bila tan x dx diingat kembali bahwa tan x= sin x/cos x, makatan x= sin x/cos x dx = -(-sin x)/cos x dx
= -ln cos x + C
![Page 33: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/33.jpg)
Tiap kali berhadapan dengan integral yang berbentuk perbagian, maka yang pertama adalah memeriksa apakah pembilangnya merupakan koefisien diferensial dari penyebut atau bukan. Jika betul, maka hasilnya adalah logaritma dari penyebutnya. Di sini saya menurutkan tahapan penyelesaian integral ini, yakni1.Nyatakan penyebutnya sebagai z2.Nyatakan z sebagai dz/dx3.Nyatakan integral itu sebagai fungsi z, kemudian integralkan4.Subtitusi harga z April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 33
![Page 34: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/34.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 34
Con
toh
p
en
yele
saia
n in
teg
ral
dala
m b
en
tuk F
1(x
)/F(x
) d
x
dan
F
(x)
F1(x
) d
x
![Page 35: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/35.jpg)
Hampir serupa dengan itu, tetapi kadang-kadang penyelesaian integral menjadi rumit tapi kadang-kadang menarik, perhatikan bentuk lain dari integral berikut.tan x sec2x dx
Tentu saja ini bukan pembagian, melainkan perkalian, tetapi perhatikan fungsi yang satu (sec2x) adalah koefisien diferensial dari fungsi yang lain (tan x).
Bila misalkan z=tan x, maka dz= sec2x dx dan integralnya dapat dituliskan sebagai z dz yang menghasilkan ½ z2 + C.
Subtitusi z sebagai fungsi x, maka diperoleh integral dari :
tan x sec2x dx = ½ tan2x + C
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 35
![Page 36: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/36.jpg)
Bahwa sinx cosx dx, disini akan dimisalkan bahwa z= sinx, dz= cosx dx. Maka integral akan dituliskan dalam bentuk: z dz = ½ z2 + C Atau, = ½ (sin2x) + CIngat bahwa F1(x)/F(x) dx dan F(x) F1(x) dxSatu-satunya hal yang harus diamati hanyalah apakah salah satu faktor dari perkalian tersebut merupakan koefisien diferensial dari faktor yang lain, atau kelipatannya.
1. lnx/x dx = lnx 1/x dx, z= 1/x, dz= lnx dx= z dz = ½ z + C = ½(lnx)2 + C
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 36
![Page 37: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/37.jpg)
(sin-1x)/((1-x2) dx = [sin-1x [1/(1-x2)]] dx
= sin-1x d(sin-1x)= ½ (sin-1x)2 + C
sinhx coshx dx = sinh x d(sinhx)= ½ sinhx + C
Berikut adalah ulangan singkat agar lebih memudahkan atau mengingat kembali cara mengerjakan integral-integral dari suatu fungsi. Perhatikan lembar kerja berikut:
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 37
bahwa z= sin-1x, dz= 1/(1-x2)dx
bahwa z= sinhx, dz= coshxdx
![Page 38: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/38.jpg)
Notice that the top is exaxly the derivative of the botton, i.e. dz/z
Perhatikan contoh berikut
![Page 39: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/39.jpg)
Integration of products and integration by parts
Mengintegralkan suatu perkalian fungsi yang masing-masing fungsinya bukan koefisien diferensial dari yang lain. Sebagai contoh adalah.
x2 lnx dx, dengan ln x bukanlah koefisien diferensial dari x2
x2 bukanlah koefisien diferensaial dari ln xDalam keadaan seperti ini, bahwa untuk mengintegrasi fungsi, maka diturunkan aturan untuk hal ini, yaituJika u dan v adalah fungsi x, maka akan diketahui bahwa:April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 39
![Page 40: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/40.jpg)
d/dx(uv) = u dv/dx + v du/dxSelanjutnya mengintegralkan kedua ruasnya terhadap x., sehingga ruas kiri kembali fungsi asanya,
(uv) = u (dv/dx) dx + v (du/dx) dx Dan bila suku-sukunya disusun kembali, maka
u (dv/dx) dx = uv - v (du/dx) dx (MD)Persamaan ini menunjukkan bahwa ruas kiri dijumpai perkalian dua buah faktor yang harus diintegrasikan adalah u. Dan faktor yang lain adalah sebagai koefisien diferensial dari suatu fungsi v. Untuk memperoleh v, maka tentu saja harus mengintegralkan faktor ini secara terpisah.April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 40
![Page 41: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/41.jpg)
Seteleh mengetahui u dan v, maka disubtitusi keduanya ke dalam ruas kanan. Bentuk perkalian yang dijumpai di ruas kanan yang harus diintegralkan lagi seperti ditunjukkan oleh suku di ujung baris. Perkalian ini akan lebih mudah ditangani, kecuali kalau pikiran dalam galau dan tidak beruntung … ?Dengan demikian persamaan (MD) dapat dituliskan dalam bentuk sederhana saja.
u dv = uv - v duCara ini dikenal sebagai cara integrasi perkalian (integration by parts – kadang2 diterjemahkan sebagai integrasi parsial)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 41
![Page 42: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/42.jpg)
Simak contoh2 berikut1. x2 ln dx =Faktor dari fungsi ini adalah x2 dan ln x, dan harus
memilih mana sebagai u dan yang mana dv. Jika dipilih x2 sebagai u dan ln x sebagai dv, maka harus mengintegralkan ln x untuk memperoleh v. Tetapi ln x dx tidak termasuk dalam daftar integral baku, karena itu memilih u dan dv yang lain, yaitu misalkan ln x = u dan x2 = dv.
Bila, u= ln x, du= 1/x dx dan dv= x2, maka v = 1/3 x3
x2 ln dx = ln x (1/3 x3) – 1/3 x3 1/x dxx2 ln dx = lan x (1/3 x3) – 1/3 x3 1/x dx = (1/3x3) ln
x – 1/3 x2 dxx2 ln dx = 1/3 x3 ln x – 1/9 x3 + Cx2 ln dx = 1/3x3 (lnx – 1/3) + C
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 42
![Page 43: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/43.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 43
![Page 44: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/44.jpg)
44
![Page 45: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/45.jpg)
45
![Page 46: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/46.jpg)
Kerjakan tanpa buka FILE INI … ?
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 46
![Page 47: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/47.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 47
Kerjakan tanpa buka FILE INI … ?
![Page 48: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/48.jpg)
Ulangi dan nyatakan bahwa bisa
48
![Page 49: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Ini jawabannya ..
!
![Page 50: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/50.jpg)
Hitunglah konstanta C dari:1. M = (2 – 3x)2dx, maka M = 1/-3(1/3)[2 – 3x]3 + C
jadi M = (2 – 3x)2dx = 1/-9 (2 – 3x)3 + C
bila x = 1 dan M = 28/9, maka C = 3
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 50
2. M = (2x + 1) dx , bila M= 15 dan x= 23. M = (x + 1)/(x2 + 4x + 3)dx, bila M= 10 dan x= 14. M = (x + 7)/(x2 - 7x + 10)dx, bila M= 14 dan x= 75. M = (10x + 37)/(x2 + 3x – 28) dx, M= 14 dan x= 7
![Page 51: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/51.jpg)
INTEGRAL POLINOMIAL
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 51
Bagaimana dengan cara lain,
Jika M= (8x3 - 3x2 + 4x - 5)dx, tentukan M jika x=3 yang menghasilkan bahwa pada x = 2, M= 26Pertama-tama menentukan fungsi untuk M, jadi penyelesaian integral , akan diperoleh
M= 2x4 - x3 + 2x2 – 5x + C
![Page 52: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/52.jpg)
Ekspresikan fungsi untuk M dalam bentuk jaringan, yaitu M= [[(2x - 1)x + 2]x – 5]x + CHarga konstanta C dapat dihitung dengan mensubtitusi harga x = 2 dan M = 26 ke dalam hasil integrasi tadi, atau ke dalam bentuk jaringan fungsi. Sehingga diperoleh harga C adalah C = 4Disini akan diberikan tahapan penyelesaian
1. Bentuklah integralnya2. Tunjukkan fungsi hasil dalam bentuk jaringan3. Nyatakan konstanta integral, menggunakan fakta bahwa jika x=2, dan M=264. atau subtitusi x=2 dan M=26 akan diperoleh C=4
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 52
![Page 53: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/53.jpg)
INTEGRAL DENGAN PECAHAN PARSIAL
Integral dengan pecahan parsial (DPP) akan didasari dari diferensial DPP sebelumnya, dengan sangat mudah penyelesaiannya.
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 53
Ingat materi sebelumnya bahwa fungsi ini dapat ditunjukkan dalam DPP yang lebih sederhana pada strukturnya.
![Page 54: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/54.jpg)
INGAT MATERI SEBELUMNYA: ATURAN PECAHAN PARSIAL
1. Pembilang fungsi yang duberikan harus berderajat lebih rendah daripada penyebutnya. Jika tidak kita kemudian membanginya dengan pembagian panjang untuk mendapat polinomial dan sisanya dibagi penyebut yang dapat ditunjukkan sebagai pecahan parsial.
2. Faktorisasikan penyebut ke dalam faktor prima. Itu menetukan bentuk pecahan parsial yang dipunyai.
3. Faktor linear (ax + b) memberikan pecahan parsial berbentuk [A/ (ax + b)].
04/19/23 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 54
![Page 55: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/55.jpg)
4. Ulangi faktor (ax + b)2 memberikan pecahan parsial [ A/ (ax + b) ] + [ B/ (ax + b)2]
5. Serupa dengan di atas (ax + b)3 memberi [ A/ (ax + b) ]+ [ B/ (ax + b)2 ] + [ C+/ (ax + b)3 ].
6. `Sebuah kuadrat irreducibel yaitu faktor kuadratik yang tidak dapat difaktorkan lebih lanjut ke faktor linear (ax2 + bx + c) memberikan pecahan parsial,[ Ax + B ] / [ ax2 + bx + c ]
7. Ulangi faktor kuadratik tipe yang sama, (ax2 + bx + c)2, memberi pecahan parsial,[Ax + B]/ [ ax2 + bx + c ] + [Cx + D]/ [ax2 + bx + c]2
![Page 56: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/56.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 56
![Page 57: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/57.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 57
Perhatikan pula lembar
berikutnya
1
2
![Page 58: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/58.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 58
Perhatikan pula lembar
berikutnya
3
4
![Page 59: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/59.jpg)
TAHAPAN2NYA ADALAH … ?
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 59
(1) SEDERHANAKAN FUNGSI YANG DIBERIKAN DALAM BENTUK PECAHAN PARASIAL (2) MASING2 PECAHAN PARSIAL DIINTEGRALKAN
CONTOH 3
![Page 60: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/60.jpg)
BERPIKIR ITU = OLAHRAGA JIWA DAN NALAR
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 60
3
![Page 61: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/61.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 61
Pecahan parsial (PP) ini adalah fungsi dari fungsi linear x, berdasarkan integral standar 1/x sehingga hasilnya jelas.
YANG INI
![Page 62: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/62.jpg)
Olehnya itu perlu diingat atau dipelajari lagi aturan pecahan parsial tentu saja pada materi kuliah sebelumnya. Jika tidak, maka akan mendapatkan hambatan atau kebingungan dalam menyelesaikan integral ini ..… ?
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 62
YANG INI
![Page 63: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/63.jpg)
Dalam penyelesaian integral dengan DPP, saya tidak mengulangi cara menyederhanakan fungsi DPP. Tetapi perhatikan pengintegralan berikut.
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 63
![Page 64: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/64.jpg)
Sekarang kerjakan ini dengan cara yang sama, dan tunjukkan bahwa:
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 64
![Page 65: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/65.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 65
Perhatikan fungsi sebelah
ini dan memiliki keterkaitan
penyelesaian integral fungsi
linear dan DPP
Dan tunjukkan pula yang ini ….. bahwa
![Page 66: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/66.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 66
YANG INI
![Page 67: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/67.jpg)
INTEGRAL FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRISSudah banyak contoh2 penyelesaian integral yang dibahas sampai saat ini. Namun fungsi2 trigonometris belum ada ditemukan. Mari simak berikut.I. Pangkat sinx dan cos x dan telah diketahui bahwa
sin x dx = -cos x + Ccos x dx = sin x + CUntuk mengintegralkan sin2x dan cos2x,
nyatakan fungsi tersebut dalam cosinus sudut rangkap.
cos 2x = 1 – 2sin2x dan cos2x = 2cos2x – 1Jadi, sin2x = ½ (1-cos2x) dan cos2x = ½ (1 + cos2x)April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 67
1
2
![Page 68: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/68.jpg)
Perhatikan: kedua hasilnya mirip, tetapi ada perbedaan karenanya salinlah dengan baik dan rapi lalu jadikan rujukan.
3Mengitegralkan sin3x dan cos3x
Untuk mengintegralkan sin3x, dengan memisahkan sebuah faktor sin x dan sisanya, sin2x, diubah menjadi (1- cos2x), jadi.
![Page 69: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/69.jpg)
Dengan cara yang sama sekarang lakukan pengintegralan cos3x dx.
cos3x dx = sin x – (1/3 sin3x) + C
Tentu saja bagaimana pula yang satu ini. Mengintegralkan sin4x dan cos4x
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 69
4
![Page 70: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/70.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 70
Jangan menghafalkan, tetapi ingatlah dan cara memahami itu penting ?
![Page 71: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/71.jpg)
Tentukan, cos4x dx
Mengintegralkan sin5x dan cos5xDapat mengintegralkan sin5x dengan cara yang sama
dengan cara untuk menghitung integral sin3x
dan hasilnya adalah,
5
sin5 x
![Page 72: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/72.jpg)
Perhatikan caranya dan jangan mencoba menghafal hasil2nya, karena engkau akan bingung dan streeees.
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 72
cos5 x
5
![Page 73: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/73.jpg)
Integral berikut ini adalah cara menyelesaikan bentuk integral perkalian sinus dengan cosinus. Simak berikut.
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 73
II. Perkalian sinus dengan cosinus
![Page 74: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/74.jpg)
Ada 4 identitas yang mirip dengan yang digunakan tadi
![Page 75: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/75.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 75
Contoh penyelesaian integral
1
2
![Page 76: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/76.jpg)
Nomor 3 ini adalah penutup dari bahasan dasar2 integral, dan jangan lupakan catatan2 saudara yang rapi itu agar alamat intergral tetap diingat.April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 76
3
![Page 77: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/77.jpg)
Latihan untuk lulus …
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 77
![Page 78: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/78.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 78
![Page 79: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/79.jpg)
latihan dan latihan serta latihan akan meringankan latihan dalam latihan
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 79
![Page 80: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/80.jpg)
SOAL-SOAL PENTING ‘012A. Nyatakan fungsi berikut dengan pecahan parsial dan selanjutnya diintegralkan.1.(6x + 1)/ (4x2 + 4x – 3) 2.(3x – 17)/ ( 12x2 – 19x + 4)3.(20x + 2)/ (8x2 – 14x - 15) 4.(7x2 – 18x – 7)/ (x – 4)(x2 + 4x + 3)] 5.(18x2 + 3x + 6)/ (3x + 1)3 6.(20x2 - 54x + 35)/ (2x - 3)3 7.(x + 7)/ (x2 -7x + 10)3
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 80
![Page 81: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/81.jpg)
1. (6x + 12/ x2 + 4x + 4) dx
2. (x + 3/ x2 + 6x) dx3. [sin2x / (1 + cos2x)]
dx4. [sec2x/ (1 + tanx)]
dx5. (sin2x + cos2x) dx6. (sin2x + cos2x) x dx7. [x/ (sin2x + cos2x)]
dx
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 81
1. (x/ x2 + 7) dx2. (2x - 4/ 2x2 +
8x + 6) dx3. (2x2 – 4x + 2)
(2x3 - 6x2 + 6) dx
4. (6x - 3)/ (x2 - x + 6) dx
5. (4x + 8) (x2 + 4x + 6) dx
6. (x2/ 6x3 - 6) dx7. (x+ 1/ x2 + 2x
+ 7) dx
Selamat BEKERJA dan semoga tidak tErbebani ... !
B. Integralkan fungsi-fungsi berikut.
![Page 82: Integral Kalkulus Satu Em Mhd 081 Ftm](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081421/55cf990b550346d0339b38e5/html5/thumbnails/82.jpg)
April 19, 2023 TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN 82
SELANJUTNYA 4TM2101