Download - integral numerik.pdf
1
Integral Numerik
Sunkar E. Gautama, 2013
http://paradoks77.blogspot.com
Integral numerik ialah metode untuk menghitung nilai integrasi suatu fungsi dalam suatu
selang tanpa mempedulikan fungsi hasil integralnya dengan menggunakan metode numerik. Jadi,
untuk menghitung nilai integral tentu π π₯ = 2π₯2 + 5π₯ β 3 terhadap π₯ secara numerik, tidak perlu
mengetahui fungsi πΉ(π₯).
Dalam integral numerik, digunakan teorema integral tentu dari suatu fungsi π π₯ terhadap
π₯ dalam selang [π, π] sama dengan luas daerah di bawah kurva yang dibatasi oleh sumbu X, garis
π₯ = π, dan π₯ = π. Dengan demikian, digunakan suatu metode untuk menghitung luasan di bawah
kurva tadi, dengan pengandaian luas daerah tadi setara dengan suatu segiempat dengan panjang
Ξπ₯ = π β π dan tinggi rata-rata ketinggian titik pada kurva, π¦ . Beberapa metode yang akan dibahas
di bawah ini ialah metode trapesium, metode Simpson, dan metode Simpson 3/8, dengan perluasan
integral komposit untuk kurva dengan loop yang tidak sederhana.
1. Metode Trapesium (trapezoidal rule)
Metode trapesium ialah metode yang paling sederhana diantara tiga metode yang
dibahas di sini. Metode trapesium mengandaikan daerah luasan yang ditinjau berbentuk
trapesium dengan panjang Ξπ₯ = π β π dan dipilih dua titik ketinggian yakni tinggi rusuk sejajar
masing-masing π π₯0 = π(π) dan π π₯1 = π(π) yang berjarak β = Ξπ₯.
Pada trapesium, πΏ = panjang Γ tinggi rata β rata = Ξπ₯ Γ π¦
Dengan π¦ =π€0π¦0+π€1π¦1
π€0+π€1. π€0 dan π€1 masing-masing ialah pembobotan untuk tiap ketinggian titik
yang diambil. Mengingat pada trapesium (dua sudut siku-siku) rusuk miringnya linier, maka
pembobotannya seragam, yakni π€0 = π€1 = 1. Dengan demikian, luas daerah di bawah kurva
ialah:
Luas = Ξπ₯ Γπ¦0 + π¦1
2+ (galat)
2
πΌ = π(π₯)π
π
ππ₯ =Ξπ₯
2 π π + π π + π(β3)
πΌ = π(π₯)π₯1
π₯0
ππ₯ =β
2 π π₯0 + π π₯1 + π(β3)
2. Metode Simpson
Jika pada metode trapesium hanya diambil dua titik ketinggian, maka pada metode
simpson diambil tiga titik ketinggian yang berjarak sama, β =Ξπ₯
2=
πβπ
2.
Tinggi rata-rata, π¦ =π€0π¦0+π€1π¦1+π€2π¦2
π€0+π€1+π€2. Titik tinggi yang berada di tengah mendapatkan bobot
yang lebih tinggi, sebagaimana dapat dilihat bahwa ketinggian rata-rata cenderung mendekati
ketinggian pada titik tengahnya. Menggunakan fungsi Lagrange orde-2:
π2 π₯ = π₯ β π₯1 π₯ β π₯2
π₯0 β π₯1 π₯0 β π₯2 π π₯0 +
π₯ β π₯0 π₯ β π₯2
π₯1 β π₯0 π₯1 β π₯2 π π₯1 +
π₯ β π₯0 π₯ β π₯1
π₯2 β π₯0 π₯2 β π₯1 π π₯2
Di mana β =πβπ
2, π₯0 = π, π₯1 = π + β, π₯2 = π = π + 2β. Dengan demikian
πΌ = π(π₯)π₯2
π₯0
ππ₯ = π2(π₯)π₯2
π₯0
ππ₯ + π π
Di mana Rs ialah suku yang mengandung galat komputasi, O(h5). Dari kedua persamaan di atas,
diperoleh rumus integral Simpson
πΌ = π(π₯)π₯2
π₯0
ππ₯ =β
3 π π₯0 + 4π π₯1 + π π₯2 + π(β5)
Dengan demikian, diperoleh pembobotan π€0 = 1, π€1 = 4, π€2 = 1.
3
3. Metode Simpson 3/8
Pada metode Simpson 3/8 dipilih empat titik ketinggian pada selang yang berjarak
sama, β =Ξπ₯
3=
πβπ
3, sehingga π₯0 = π, π₯1 = π + β, π₯2 = π + 2β, π₯3 = π + 3β = π.
Ketinggian rata-rata ialah π¦ =π€0π¦0+π€1π¦1+π€2π¦2+π€3π¦3
π€0+π€1+π€2+π€3, dengan π€0 = 1, π€1 = 3, π€2 =
3, π€3 = 1.
Luas daerah di bawah kurva:
πΌ = π(π₯)π
π
ππ₯ = Ξπ₯ Γ π¦ + (galat)
πΌ = π(π₯)π₯3
π₯0
ππ₯ =3β
8 π π₯0 + 3π π₯1 + 3π π₯2 + π π₯3 + π(β5)
4. Metode Bode
Metode integral Bode menggunakan lima titik ketinggian yang berjarak sama, β =Ξπ₯
4=
πβπ
4 dan
tinggi rata-rata, π¦
π¦ =π€0π¦0 + π€1π¦1 + π€2π¦2 + π€3π¦3 + π€4π£4
π€0 + π€1 + π€2 + π€3 + π€4
Dengan π€0 = 7, π€1 = 32, π€2 = 12, π€3 = 32, π€4 = 7, sehingga
πΌ = π(π₯)π
π
ππ₯ = Ξπ₯ Γ π¦ + (galat)
πΌ = π(π₯)π₯4
π₯0
ππ₯ =2β
45 7π π₯0 + 32π π₯1 + 12π π₯2 + 32π π₯3 + 7π π₯4 + π(β7)
4
5. Integral Komposit
Metode integral komposit yaitu metode menghitung integrasi numerik suatu fungsi
dengan membaginya dalam selang-selang tertentu menjadi segmen-segmen luasan sebanyak N,
selanjutnya segmen-segmen tadi dihitung luasnya menggunakan metode trapesium atau
Simpson kemudian dijumlahkan untuk menghitung integrasi fungsi. Karena pembagian menjadi
segmen-segmen, menggunakan integral komposit mengaruskan kita membuat vektor yang
merepresentasikan sumbu X. Makin banyak segmen yang dibuat maka solusi numerik yang
diperoleh akan makin mendekati solusi sebenarnya.
πΌ = π(π₯)π
π
ππ₯ = π(π₯)π₯1
π₯0
ππ₯ + π(π₯)π₯2
π₯1
ππ₯ + β― + π(π₯)π₯π
π₯πβ1
ππ₯
Jika luasan tiap segmen dihitung menggunakan metode trapesium, diperoleh:
πΌ =β
2 π π₯0 + π π₯1 +
β
2 π π₯1 + π π₯2 + β― +
β
2 π π₯πβ1 + π π₯π
πΌ =β
2 π π₯0 + 2 π(π₯π)
πβ1
π=1
+ π(π₯π)
Misalkan kita ingin menghitung integral fungsi π(π₯) dalam selang (π, π) dengan
pembagian selang menjadi 100 upaselang (ingat, 100 upaselang berarti ada 100+1 titik).
Berikut algoritmanya:
1) a batas bawah; // definisikan batas bawah integrasi
2) b batas atas; // definisikan batas atas integrasi
3) h = (b β a)/100; // definisi lebar upaselang
4) x0 = a // membuat vektor X
for i = 1, i <= 100 // bernilai awal a, naik dengan beda h, hingga b
xi = x0 + h;
yi = f(xi); // membuat vektor Y (hasil fungsi)
end
5) for i = 0, i < 100 // perulangan dari i = 0 hingga 99
ui = (h/2)*(fi + fi+1) // menghitung luasan segmen
end
6) L0 = 0 // menghitung luas total segmen
for i = 1, i <= 100
Li = Li-1 + ui-1;
end
7) I = L100 // diperoleh hasil integrasi = luas total
Jika program/bahasa pemrograman yang digunakan mendukung fungsi barisan,
maka poin (4) dapat diganti dengan βx = a:h:bβ, atau dalam Matlab menyediakan fungsi βx =
linspace(a,b,101)β. Jika program menyediakan fungsi sumasi, maka poin (7) dan (8) dapat
dihilangkan dan diganti menjadi βI = sum(y)β
Patut diingat pula indeks yang digunakan, apakah berjalan dari 0 ataukah dari 1.
Pada algoritma di atas, indeks berjalan dari nol, sehingga vektor X = (x0 x1 x2 β¦ x100), jika indeks
berjalan dari satu, maka vektor X akan menjadi X = (x1 x2 x3 β¦ x101)
5
Lampiran:
1. Contoh program integral numerik dengan metode Simpson menggunakan bahasa C++:
Fungsi: π¦ π₯ = 2π₯2 + 5π₯ β 3.
//Integral Numerik Simpson by skaga
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int i, kol=3;
float x[kol], y[kol], a, b, deltax, h , ratay, L;
char off;
cout << "Masukkan batas bawah (a) : ";
cin >> a;
cout << "Masukkan batas atas (b) : ";
cin >> b;
deltax = b - a;
h = deltax/2;
x[0] = a, x[1] = a+h, x[2] = a+2*h;
for (i=0; i<3; i++){
y[i]=2*x[i]*x[i] + 5*x[i] - 3; // masukkan fungsi
}
ratay = (y[0] + 4*y[1] + y[2])/6;
L = deltax*ratay;
cout << "integral y(x) = " << L << '\n';
cin >> off;
return 0;
}
6
2. Contoh program integral numerik metode Simpson 3/8 menggunakan Matlab:
3. Contoh perhitungan integral numerik metode trapesium komposit menggunakan MS Excel.
π¦ π₯ = π₯2 sin π₯ ; π = 2, π = 3, β = 0.1
i x(i) y(i) y(i-1) + y(i) (h/2)*(x(i-1) + x(i))
0 2 3.6371897
1 2.1 3.8067533 7.443943014 0.372197151
2 2.2 3.9131226 7.719875901 0.385993795
3 2.3 3.9447806 7.857903167 0.392895158
4 2.4 3.8906679 7.835448492 0.391772425
5 2.5 3.7404509 7.631118821 0.381555941
6 2.6 3.4847893 7.225240174 0.361262009
7 2.7 3.1155993 6.6003886 0.33001943
8 2.8 2.6263071 5.741906424 0.287095321
9 2.9 2.0120869 4.638393956 0.231919698
10 3 1.2700801 3.282166931 0.164108347
sum 3.298819274
% Integral numerik dengan metode Simpson 3/8
a = input('masukkan batas bawah = ');
b = input('masukkan batas atas = ');
deltax = b - a;
h = deltax/3;
x = [a (a+h) (a+2*h) b];
y = input('masukkan fungsi y=f(x) : ');
y = [1 3 3 1].*y;
ratay = sum(y)/8;
L = deltax*ratay;
fprintf('integral fungsi y(x) dari x = %g hingga x
= %g ialah %g \n', a, b, L);
π₯2 sin π₯ ππ₯ = βπ₯2 cos π₯ + 2π₯ sin π₯
+ 2 cos π₯ + πΆ
Metode analitik memberikan
solusi
Sehingga π₯2 sin π₯3
2ππ₯ = 3,30719 β¦
Dengan program Matlab pada
lampiran 2, diperoleh hasil I = L =
3,3091.
7
4. Contoh program plot integral numerik fungsi
Panas jenis zat padat sebagai fungsi temperatur berdasarkan model Debye diberikan oleh
fungsi
πΆπ π = 9πππ3
ππ·3
π₯4ππ₯
ππ₯ β 1 2
ππ· /π
0
ππ₯
Dengan ππ· temperatur Debye (konstanta), N jumlah atom, dan k tetapan Boltzmann. Plot fungsi
CV terhadap T dibuat dengan memerikan vektor T, memasukkan fungsi dan
mengintegralkannya, kemudian diplot. Berikut programnya menggunakan Matlab.
Daftar Pustaka:
Suarga, Fisika Komputasi: Solusi Problema Fisika dengan Matlab, Penerbit ANDI, Yogyakarta, 2005
% Perhitungan Panas Jenis Zat Padat model Debye menggunakan Simpson 3/8
% @Sunkar Eka Gautama, 2011
clear;
theta = input('nilai theta(Debye) = ');
batasatas = input('batas atas temperatur = ');
T = linspace(0,batasatas/theta,300); % T = T/theta
t = 1./T;
h = t/3;
a = 0.*h; b = h; c = 2*h; d = 3*h;
y = (3.*h./8).*(0 + 3.*(b.^4.*exp(b)./(exp(b)-1).^2)...
+ 3.*(c.^4.*exp(c)./(exp(c)-1).^2) + (d.^4.*exp(d)./(exp(d)-1).^2));
Y = 9.*T.^3.*y;
plot(T,Y);
title('Kurva Panas Jenis Zat Padat (CV) Model Debye');
xlabel('temperatur'); ylabel('CV (dalam R)');