INTEGRASI NUMERIK
Pengantar
Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
Misalnya dalam termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda padat.
INTEGRASI NUMERIK
Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
Fungsi yang rumit misal :
dxex
x x5.0
2
0
23
sin5.01
)1cos(2
Cxxxdxx
Cxdxx
Cbaa
dxbax
Cbaa
dxbax
Ca
edxe
Cn
axdxax
axax
nn
||ln||ln
||ln1
)sin(1)cos(
)cos(1)sin(
1
1
INTEGRASI NUMERIK
Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.
digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.
Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar
Dasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
)(...)()(
)()(
1100
0
nn
i
n
i
i
b
a
xfcxfcxfc
xfcdxxf
x0 x1 xn xn-1 x
f(x)
0
2
4
6
8
10
12
3 5 7 9 11 13 15
Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.
Dasar Pengintegralan Numerik
Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
dxxfdxxfIb
an
b
a )()(
Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
n
n
1n
1n10n xaxaxaaxf
)(
Dasar Pengintegralan Numerik
fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat
fn (x) bisa juga fungsi kubik atau
polinomial yang lebih tinggi
Polinomial dapat didasarkan pada data
INTEGRASI NUMERIK
Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan :
L =
b
a
dxxf
Metode Integral Reimann
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
Metode Integral Reimann
Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x
Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]
Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi). ix
Metode Integral Reimann
Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :
Dimana
Didapat
i
n
ii
n
n
xxf
xxfxxfxxfxxf
LLLLL
0
3221100
210
...
..
n
ii
b
a
xfhdxxf0
hxxxx n ...210
Contoh
Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x**2
1
0
2dxxL =
Contoh
Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
Secara kalkulus :
Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052
385,085,31.0
00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0
)(.10
0
i
ixfhL
.....3333,0|3
1 10
31
0
2 xdxxL
Algoritma Metode Integral Reimann:
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi
Tentukan jumlah pembagi area N
Hitung h=(b-a)/N
Hitung
N
iixfhL
0
)(.
Metode Integrasi Trapezoida
Aproksimasi garis lurus (linier)
)()(
)()()()(
10
1100i
1
0i
i
b
a
xfxf2
h
xfcxfcxfcdxxf
x0 x1 x
f(x)
L(x)
Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari
Solusi eksak
Aturan trapesium
926477.5216)12(4
1
4
1
2
4
0
2
4
0
224
0
2
xe
eex
dxxe
x
xxx
dxxe4
0
x2
%..
..
.)()()(
123579265216
66238479265216
6623847e4024f0f2
04dxxeI
84
0
x2
Aturan Komposisi Trapesium
)()()()()(
)()()()()()(
)()()()(
n1ni10
n1n2110
x
x
x
x
x
x
b
a
xfxf2x2fxf2xf2
h
xfxf2
hxfxf
2
hxfxf
2
h
dxxfdxxfdxxfdxxfn
1n
2
1
1
0
x0 x1 x
f(x)
x2 h h x3 h h x4
n
abh
Metode Integrasi Trapezoida
iiii
iiii
xffL
atau
xxfxfL
.2
1
.2
1
1
1
1
0
iiLL
nn
n
iii fffff
hffhL
1210
1
01 2...22
22
1
n
n
ii fff
hL
1
10 2
2
Algoritma Metode Integrasi Trapezoida
Definisikan y=f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
Tentukan jumlah pembagi n
Hitung h=(b-a)/n
Hitung
n
n
ii fff
hL
1
10 2
2
function f = example1(x)
% a = 0, b = pi
f=x.^2.*sin(2*x); dxx2sinx
0
2)(
Aturan Komposisi Trapesium
» a=0; b=pi; dx=(b-a)/100;
» x=a:dx:b; y=example1(x);
» I=trap('example1',a,b,1)
I =
-3.7970e-015
» I=trap('example1',a,b,2)
I =
-1.4239e-015
» I=trap('example1',a,b,4)
I =
-3.8758
» I=trap('example1',a,b,8)
I =
-4.6785
» I=trap('example1',a,b,16)
I =
-4.8712
» I=trap('example1',a,b,32)
I =
-4.9189
» I=trap('example1',a,b,64)
I =
-4.9308
» I=trap('example1',a,b,128)
I =
-4.9338
» I=trap('example1',a,b,256)
I =
-4.9346
» I=trap('example1',a,b,512)
I =
-4.9347
» I=trap('example1',a,b,1024)
I =
-4.9348
» Q=quad8('example1',a,b)
Q =
-4.9348
MATLAB function
Aturan Komposisi Trapesium
n = 2
I = -1.4239 e-15
Exact = -4. 9348
dxx2sinx0
2)(
n = 4
I = -3.8758
Eksak = -4. 9348
dxx2sinx0
2)(
n = 8
I = -4.6785
Eksak = -4. 9348
dxx2sinx0
2)(
n = 16
I = -4.8712
Eksak = -4. 9348
dxx2sinx0
2)(
Hitung integral dari dxxeI4
0
x2
%..)().().(
).().()(.,
%..)().(
)().()().(
)().()(.,
%..)()(
)()()(,
%..)()()(,
%..)()(,
662 9553554f753f253f2
50f2250f20f2
hI250h16n
5010 7657644f53f2
3f252f22f251f2
1f250f20f2
hI50h8n
7139 7972884f3f2
2f21f20f2
hI1h4n
75132 23121424f2f20f2
hI2h2n
12357 66238474f0f2
hI4h1n
Aturan Komposisi Trapesium
» x=0:0.04:4; y=example2(x);
» x1=0:4:4; y1=example2(x1);
» x2=0:2:4; y2=example2(x2);
» x3=0:1:4; y3=example2(x3);
» x4=0:0.5:4; y4=example2(x4);
» H=plot(x,y,x1,y1,'g-*',x2,y2,'r-s',x3,y3,'c-o',x4,y4,'m-d');
» set(H,'LineWidth',3,'MarkerSize',12);
» xlabel('x'); ylabel('y'); title('f(x) = x exp(2x)');
» I=trap('example2',0,4,1)
I =
2.3848e+004
» I=trap('example2',0,4,2)
I =
1.2142e+004
» I=trap('example2',0,4,4)
I =
7.2888e+003
» I=trap('example2',0,4,8)
I =
5.7648e+003
» I=trap('example2',0,4,16)
I =
5.3559e+003
Aturan Komposisi Trapesium
dxxeI4
0
x2
Aturan Komposisi Trapesium
Aturan Simpson 1/3
Aproksimasi dengan fungsi parabola
)()()(
)()()()()(
210
221100i
2
0i
i
b
a
xfxf4xf3
h
xfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
1 xx
0 xx
1 xx
h
dxd
h
xx
2
abh
2
ba x bx ax let
xfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxx xf
xxxx
xxxxxL
2
1
0
1
120
2
1202
10
1
2101
200
2010
21
,,
,,
)())((
))((
)())((
))(()(
))((
))(()(
)()(
)()()()(
)( 21
2
0 xf2
1xf1xf
2
1L
Aturan Simpson 1/3
)()(
)()()()(
)( 21
2
0 xf2
1xf1xf
2
1L
1
1
23
2
1
1
3
1
1
1
23
0
1
12
1
0
2
1
1
10
1
1
)23
(2
)(
)3
()()23
(2
)(
)1(2
)()1)(
)1(2
)()()(
ξξhxf
ξξhxf
ξξhxf
dξξξh
xfdξξ(hxf
dξξξh
xfdξLhdxxfb
a
)()()()( 210
b
axfxf4xf
3
hdxxf
Aturan Simpson 1/3
Aturan Komposisi Simpson
x0 x2 x
f(x)
x4 h h xn-2 h xn
n
abh
…...
h x3 x1 xn-1
Metode Integrasi Simpson
Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
atau dapat dituliskan dengan:
nnnn ffh
ffh
ffh
ffh
ffh
ffh
L 11243322110 23
23
...23
23
23
23
n
genapii
ganjilii ffff
hL
0 24
3
N = 0 – n
L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb
0
2
2000
2
2002!2
)()(
!2
)()()( f
h
hxxf
h
xfxf
h
hxxxf
h
xxfxp
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]
0
2
00
0
2
00
0
22
2
3
0
2
0
2
00
2
2
2
2
3
0
2
0
2
0
0
2
200
2
0
2
2
0
322
3
422
4
4
6
8
2
42
|462
!2
)(
)(
fh
fhxhfL
fhh
fhxhfL
fh
h
h
hf
h
hxhfL
fh
x
h
xf
h
xxfL
dxfh
hxxf
h
xfL
xdxpdxxfL
hx
x
h
hh
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
Mengingat
Maka selanjutnya
010 fff
)4(3
33
4
3
33
2
3222
)2(3
)(22
210
210
012010
012010
fffh
L
fh
fh
fh
L
fh
fh
fh
hfhfxhfL
fffh
ffhxhfL
0120112010
2 2)()( ffffffffff
Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik
)()()()(
)()()()()()(
3210
33221100i
3
0i
i
b
a
xfxf3xf3xf8
h3
xfcxfcxfcxfcxfcdxxf
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
x3 h
)())()((
))()(()(
))()((
))()((
)())()((
))()(()(
))()((
))()(()(
3
231303
2102
321202
310
1
312101
3200
302010
321
xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxx
xfxxxxxx
xxxxxxxf
xxxxxx
xxxxxxxL
)()()()( 3210
b
a
b
a
xfxf3xf3xf8
h3
3
abh ;L(x)dxf(x)dx
Error Pemenggalan
3
abh ;f
6480
abfh
80
3E
45
45
t
)(
)()(
)()(
Aturan Simpson 3/8
Metode Integrasi Gauss
Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik2 data
diskrit. Dengan batasan :
H sama
Luas dihitung dari a sampai b
Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
Metode Integrasi Gauss
Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]
Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida
Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya min
2
)1()1()1()1(2
)(
1
1
h
ffffh
dxxfI
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI
Metode Integrasi Gauss
Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]
f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
)()()( 2211
1
1
xfcxfcdxxfI
0
32
0
21
1
1
33
22
3
11
1
1
22
22
2
11
1
1
2211
1
1
21
dxxxcxc
dxxxcxc
dxxxcxc
dxcc
Didapat
3
1
3
1
1
21
21
xx
cc
Metode Integrasi Gauss
Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik
)3
1()
3
1()(
1
1
ffdxxf
Transformasi
Range [a,b] [-1,1]
X u f(x) g(u) dx du
b
a
i dxxfL )(
1
1
)( duugLi
Transformasi
duab
dx
uabbax
aububax
aabux
abuax
u
ab
ax
2
2
)()(
2
2))(1(2
))(1(22
2
1
a b x
-1 1 u
Transformasi
duuabba
fabduug
1
1
1
12
)()()(
2
1)(
1
1
)( duugLi
)()()(2
1)(
21
21 abuabfabug
Analisa
Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.
Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi
1
1
)( duug
Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)
Hitung nilai konversi variabel :
Tentukan fungsi g(u) dengan:
Hitung
)(2
1
2
1abuabx
)()()(2
1)(
21
21 abuabfabug
3
1
3
1ggL
Contoh Soal
Metode Gauss Legendre 3 Titik
Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :
Dengan cara yang sama didapat
)()()()( 332211
1
1
xfcxfcxfcdxxfI
543
2
)(;)(;)(
)(;)(;1)(
xxfxxfxxf
xxfxxfxf
53;0;53
9
5;
9
8;
9
5
321
321
xxx
ccc
Metode Gauss Legendre 3 Titik
5
3
9
50
9
8
5
3
9
5)(
1
1
gggduug
Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik
Metode Gauss n-Titik
Beberapa Penerapan Integrasi Numerik
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.
Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Skala 1:100000
0 10 5
6
3
15
9
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:
Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
Dengan menggunakan metode integrasi Simpson
5.7322
15
1160
iiyyy
hL
5.7316
0
i
iyhL
74243
160
genapi
i
ganjili
i yyyyh
L
Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
Luas benda putar:
Volume benda putar:
b
a
p dxxfL )(2
b
a
p dxxfV2
)(
Contoh :
Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu
dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
Bagian I:
Bagian III:
4 cm
6
cm
7 cm
12 cm
7 cm
5 cm
I II III IV
satuan dalam cm
56)7)(4(2 IL
196)7)(4( 2 IV
288)12(122 IIIL
172812122IIIV
Contoh :
Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
Pada bagian II dan IV: dan
Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:
10822
2)(4
150
iiIVII yyy
hLL
5.118722
4
1
225
20
iiIVII yyy
hVV
IVII LL IVII VV
Contoh :
Luas permukaan dari botol adalah:
Luas = 1758.4 cm2
Volume botol adalah:
Volume = 13498.86 cm3
4.1758
560
10828810856
IVIIIIII LLLLL
4299
5.118717285.1187196
IVIIIIII VVVVV