prof. Francesco RagusaUniversità di Milano
Interazioni Elettrodeboli
anno accademico 2018-2019
Lezione n. 1627.11.2018
Corrente Adronica: Fattori di FormaCVC e decadimento π− → π0 e− νe
Decadimenti con variazione di stranezzaThe Eightfold Way. Correnti di SU(3)
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 475
Digressione: la corrente elettromagneticaLa conservazione della corrente elettromagnetica implica che F3 = 0
Imponendo questa condizione sulla parametrizzazione
Osserviamo cheIl primo termine diventa pertanto
Il secondo termine è nullo per l’antisimmetria di σμν
Otteniamo in definitiva
L’elemento di matrice della corrente elettromagnetica del protone è pertanto
Gli esperimenti di scattering elastico e p → e p permettono di misurare i fattori di forma F1 e F2 in funzione del momento trasferito q2
( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 0
2f ip pi q
q u F q F q F q q um
μννμ μ
μσ
γ⎡ ⎤
+ + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) 0f em ip J x pμμ∂ = ( )0 iq x
f em ip J p eμμ
⋅∂ ( )0 0f em iq p J pμμ= =
f iq p pμμγ = −/ /
( )f ip f i pu p p u−/ / p ppu mu=/( ) 0f ip p p pu m m u= − =
( )23 0f ip pq u F q q uμμ = ( )2 2
3 0f ip pq F q u u = ( )23 0F q =
( ) ( ) ( )2 21 20
2f if em i p pi q
p J p u F q F q um
μννμ μ σ
γ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 476
Digressione: la corrente elettromagneticaPer una particella puntiforme che obbedisce all’equazione di Dirac
Il Fattore di Forma F1 è costante (non dipende da q2) ed è uguale a 1Il Fattore di Forma F2 è sempre nullo
Occorre tenere presente che il fattore F2 rappresenta una interazione di momento magnetico aggiuntiva
La corrente vettoriale contiene già una interazione di tipo magneticoLo abbiamo visto nel limite di bassa energia
Lo si può vedere esplicitamente con la Scomposizione di Gordon della corrente vettoriale
Dal momento che F2 descrive una interazione di momento magnetico aggiuntiva viene detta “Momento Magnetico Anomalo”
In particolare il suo valore a momento trasferito nullo κ = F2(0)In alcuni articoli o testi si fa la sostituzione F2 → κF2 con F2(0) = 1 e κ è il momento magnetico anomalo
f iu uμγ
( ) ( )12i i i if f f fu u u p p i p p um
μμ μνν
γ σ⎡ ⎤= + + −⎢ ⎥⎣ ⎦
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 477
Scomposizione di GordonLa scomposizione di Gordon mette in evidenza i due termini di interazione di una particella di Dirac
L’interazione di una particella senza spinL’interazione dovuta al momento magnetico
Per dimostrare la relazione sviluppiamo il secondo termine
Dalle regole di commutazione delle matrici γμ
Utilizzando la relazione per i due termini otteniamo
( )i if fu p p uμνν
σ − ( )( )2 i if fiu p p uμ ν ν μ
νγ γ γ γ= − −
( )2 f f f i i iiu p p p p uμ ν μ μ ν μ
ν νγ γ γ γ γ γ= − − +/ /
( )2i i if f fi
imu u u p p uμ μ ν ν μννγ γ γ γ γ= − + +
( ) ( )2 22 if f i i f i f if f ii
u p p u im gu u pu p pg p uμ μν μ νν ν
ν ν μμν μν ν νγ γγ γ γσ − = −−− ++
{ }, 2 2g gμ ν μν μ ν μν ν μγ γ γ γ γ γ= → = −
( ) ( )12i i i if f f fu u u p p i p p um
μμ μνν
γ σ⎡ ⎤= + + −⎢ ⎥⎣ ⎦
f f fu p mu=/
i i ip u mu=/
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 478
Scomposizione di Gordon
Applicando ancora una volta l’equazione di Dirac otteniamo
Ridisponendo i termini otteniamo la scomposizione di Gordon della corrente vettoriale
( ) ( )2i i i i if f f f fu p p u i mu u iu p p uμ μμν μν
σ γ− = − + +
( ) ( )12i i i if f f fu u u p p i p p um
μμ μνν
γ σ⎡ ⎤= + + −⎢ ⎥⎣ ⎦
( )2 22f i f f i iifi
imu u u p p p p uμ μμ μ μγ γ γ= − + − + −/ /
( ) ( )2 22f f i i f i f f f i i ii
u p p u imu u u g p p g p p uμν μ μν ν μ μν μ νν ν ν ννσ γ γ γ γ γ− = − + − + −
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 479
I Fattori di Forma del protoneRitorniamo ai fattori di forma elettromagnetici
Le figure riportano i due fattori di forma del protone†
† Borkowski et al Nucl. Phys. 93 (1975) p. 461Thomas A., Weise W. – The structure of the nucleon p. 11-12 – John Wiley and Sons 2001
( )12pp
em
μ κ= + 1 2.792847 351 0.000000028κ+ = ±
κ
misure di NMR
F1(0) = 1
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 480
I Fattori di Forma del protoneUna analisi analoga può essere fatta per il neutrone
Le figure mostrano i risultati di esperimenti e n → e n che permettono di misurare i fattori di forma in funzione del momento trasferito q2
Misure dei Fattori di Forma del neutrone mostrano una complessa struttura di cariche e correnti
Il neutrone si comporta come se avesse un nucleo positivo e una superficie negativa (con la carica totale ovviamente nulla): n → p + π− → n
( ) ( ) ( )2 21 20
2f i
n nf em i p p
i qp J p u F q F q u
m
μννμ μ σ
γ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1.9130427 0.00000052np
em
μ = − ±
( )21 0nF q ≈
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 481
Corrente elettromagnetica e isospinIl formalismo precedente può essere unificato utilizzando gli isospinori Ψ per descrivere protoni e neutroni
Per il protone possiamo scrivere la corrente vettoriale come
La matrice 2×2 può essere riscritta utilizzando le matrici di Pauli τ
Otteniamo pertanto
Occorre tenere presente che gli operatori γμ e (1 + τ3)/2 operano in spazi differenti e quindi la loro posizione relativa non è essenziale
Pertanto, nello spazio dell’isospin, la corrente del protone è la somma di due termini
La corrente è un isoscalare
La corrente è la componente 3 dell‘isovettore
pn
ψψ
⎛ ⎞⎟⎜Ψ = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
p p pjμ μψ γ ψ= ( )( ) ( )1 00 0
pp n n
μ ψψ ψ γ ψ=
( ) 31 0 10 0 2
τ+=
312pj
μ μ τγ
+= Ψ Ψ
3p Sj j jμ μμ = +
Sjμ
3jμ
1Sjμ μγ= Ψ Ψ
12V
μ μγ= Ψ Ψj τ
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 482
Corrente elettromagnetica e isospinAnalogamente per il neutrone
Per tutte le correnti introdotte possiamo introdurre i fattori di forma
A seconda dei casi la corrente JX, gli spinori u e la matrice T sono Per X = n, p
La corrente JX è un operatore nello spazio degli spinori uLa matrice T non è presente
Per X = S, VLa corrente JX è anche un operatore nello spazio degli isospinori uLa matrice T è o 1 (S) o τ3 (V)
Si hanno ovviamente le seguenti relazioni
3n Sj j jμ μμ = −
( ) ( ) ( )2 21 20
2f i
X Xf i p pX
i qp j p u F q F q Tu
m
μνμ νμ σ
γ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( )1,2 1,21,212
pS nF F F= + ( )1,2 1,21,212
pV nF F F= −
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 483
Il Fattore di Forma del π±
Richiamiamo alcuni risultati relativi al campo complesso φ soluzione della equazione di Klein-Gordon
Descrive una particella puntiforme di spin zero s±
La corrente elettromagnetica è data da
Consideriamo adesso gli stati di particella singolaUtilizzando l’espansione in operatori di creazione e distruzione per il campo φè facile calcolare l’elemento di matrice della corrente elettromagnetica
Anche nel caso del mesone π l’interazione forte modifica l’elemento di matriceConsiderazioni di invarianza relativistica portano a concludere che
L’elemento di matrice può dipendere solo dai 4-vettori pi e pf
L’elemento di matrice contiene funzioni scalari (invarianti) della variabile q2
Invece che i due 4-vettori pi e pf è conveniente utilizzare la loro somma e la loro differenza
( )† †emj ieμ μ μφ φ φ φ⎡ ⎤= ∂ − ∂⎣ ⎦
†, 2 0ps p E a+ =
( ) ( ) ( )em, | | . i fi p p x
f i i fs p j x s p e p p eμ μμ − − ⋅+ + = +
i fq p pμ μμ = − i fP p pμ μμ = +
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 484
Il Fattore di Forma del π±
Pertanto l’elemento di matrice si può scrivere
Una ulteriore semplificazione deriva dalla conservazione della corrente elettromagnetica
Osserviamo che l’elemento di matrice dipende da x solo attraverso l’esponenziale e pertanto
Sostituendo
Si verifica facilmente che qμPμ = 0 e quindi
In definitiva otteniamo
La funzione Fπ(q2) è il fattore di forma elettromagnetico del pionePer una particella scalare puntiforme Fs(q2) = 1
( ) ( ) ( )[ ]2 2em, | | . iq x
f ip j x p e F q P G q q eμ μ μπ ππ π+ + − ⋅= +
( ) ( )em em 0j x q j xμ μμ μ∂ = =
( ) ( )2 2 0F q q P G q q qμ μπ μ π μ+ =
( ) ( )( )2em, | | . iq x
f i i fp j x p eF q p p eμ μμππ π+ + − ⋅= +
( )em 0j xμμ∂ =
( )2 2 0q G qπ = ( )2 0G qπ =
( ) ( )em, | | . iq xf i i fs p j x s p e p p eμ μμ+ + − ⋅= +
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 485
Il Fattore di Forma del π±
Il fattore di forma del π+ si può misurare in vari modiMediante la fotoproduzione di pioni con fotonireali o virtuali
Mediante lo scattering di pioni su elettroni
Calcoliamo il momento trasferito q2
In queste reazioni il momento trasferito è sempre negativo
Si dice che q2 è space-likeIl valore massimo q2 = 0 si ha per
La figura mostra la compilazione dei dati di due esperimenti
I risultati sono compatibili con
ki kfπ−π−
pi pf
γ
e− e−
ki kfe−e−
pi pf
γ
p n
π+
π−
( )22i fq k k= − 2 2 2 2i f i fm m E Eπ π= + − + ⋅p p
( )0 1Fπ =
e eπ π− − − −→
i f=p p
e p e n π− − +→
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 486
La corrente debole adronica
3Vj Jα α=
†1 2J J iJα α α= +
1810472Da quanto fin qui esposto, in particolare richiamiamo la diapositiva , risulta evidente che la componente vettoriale della corrente debole adronica ha molte analogie con la componente isovettoriale della corrente elettromagnetica
Entrambe le correnti sono “insensibili” alle correzioni radiative fortiIl fattore di forma relativo tende a 1 per q2 → 0
È possibile che anche la componente vettoriale della corrente debole sia conservata
Queste analogie risultano implicite se si fanno le seguenti assunzioniIl nucleone è descritto da un campo isospinorialeLa teoria è invariante per trasformazioni globali di isospin SU(2)
Esistono 3 correnti conservate J1, J2, J3
Alle 3 correnti corrispondono 3 cariche T1, T2, T3
La componente isovettoriale della corrente adronica elettromagnetica è la corrente J3
La componente vettoriale della corrente debole adronica è la corrente J1 + iJ2
Questa ipotesi fu proposta da Gell-Mann e prende il nome diConserved Vector Current o, in breve, CVC
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 487
Il decadimento “β” del pione carico π−
Come applicazione della ipotesi CVC calcoliamo la larghezza del decadimento
È un decadimento raro dato il piccolo volume dello spazio delle fasi dovuto al piccolo Q valore del decadimentoÈ tuttavia molto interessante perchè consente una verifica della CVC
L’ampiezza del decadimento è data da
Dobbiamo calcolare l’elemento di matrice adronicoInnanzitutto, per l’invarianza relativistica, l’elemento di matrice può dipendere solo dai 4-vettori pi e pf
Sappiamo inoltre che la corrente ha una parte polare e una assiale
( )0 5| | 12 eG
J u vμμ νπ π γ γ−
+= −M
0 0 0| | | | | |J V Aμ μ μπ π π π π π− − −+ + += +
0 | | i fJ ap bpμ μ μπ π−+ = +
0eeπ π ν− −→
081.036 10
ee
all
π π ν
π
− −
−
→ −
→
Γ= ×
Γ
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 488
Il decadimento “β” del pione carico π−
Dimostriamo adesso che solo la parte vettoriale V+ della corrente contribuisce all’elemento di matrice
Consideriamo le proprietà di trasformazione per inversione spaziale P(ricordiamo che P−1 = P e P|π,p> = −|π,−p>)
Per la componente temporale abbiamo
Per la componente spaziale
In modo analogo per la parte assiale dell’elemento di matrice si ottiene
Nella diapositiva precedente abbiamo visto che per motivi di invarianza
Solo l’elemento di matrice vettoriale si comporta come un 4-vettoreIn modo analogo si dimostra che per π− → μ− νμ contribuisce solo A+
0 0, | | ,f iVπ π−+p p
0, | | ,f iπ π−+p V p
0 0, | | ,f iVπ π−+= p pPP PP 0 0V V+ +=P P
0 0, | | ,f iVπ π−+= − −p p
0, | | ,f iπ π−+= − − −p V p + += −V VP P
0 0 0 0, | | , , | | ,f i f iA Aπ π π π− −+ += − − −p p p p
0 0, | | , , | | ,f i f iπ π π π− −+ += − −p A p p A p
0 0A A+ += −P P
+ +=A AP P
0 | | i fJ ap bpμ μ μπ π−+ = +
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 489
Il decadimento “β” del pione carico π−
0 0| | | |J Vμ μπ π π π− −+ +=
[ ],l m lmk kT V i V μμ ε=
[ ]1 3 132 2 2,T V i V iVε= = − [ ]2 3 231 1 1,T V i V iVε= =
[ ] [ ]1 3 2 3, ,T V i T V+ 2 1iV V= − − [ ]1 2 3,T iT V= + [ ]3,T V+=V+= −
[ ]3,V T V+ +=
1802464
Utilizziamo adesso l’ipotesi CVC per calcolare l’elemento di matrice
L’ipotesi CVC consiste nell’assumere che le correnti deboli cariche e la corrente elettromagnetica siano correnti di isospin V1, V2, V3
In particolareLa componente isovettoriale della corrente elettromagnetica è V3
Per la corrente debole V+ = V1 + i V2 (V− = V1 − i V2 )Nella diapositiva (con l’identificazione J = V ) abbiamo visto che le cariche e le correnti soddisfano le seguenti regole di commutazione
In particolare
Dalle due relazioni precedenti si ottiene
In conclusione
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 490
Il decadimento “β” del pione carico π−
Questa regola ci permette di trovare una relazione fraL’elemento di matrice del decadimento β del π−
L’elemento di matrice della corrente elettromagnetica del π−
Il π− e il π0 sono due autostati |T, T3> dell’isospin
Otteniamo pertanto
Sfruttiamo le proprietà degli operatori di innalzamento e abbassamento
Introducendo nell’elemento di matrice
[ ]3,V T V+ +=
1, 1π− = − 0 1, 0π =
0 | | 1, 0 | | 1, 1V Vμ μπ π−+ += − [ ]31, 0 | , | 1, 1V T+= −
( )( )3 3 3 3, 1 , 1T T T T T T T T T+ = − + + + 1, 1 2 1, 0T+ − =
( )( )3 3 3 3, 1 , 1T T T T T T T T T− = + − + − 1,0 2 1, 1T− = −
3 31, 0 | | 1, 1V T T V+ += − − 3 31, 0 | | 1, 1 1, 0 | | 1, 1V T T V+ += − − −
3 31, 0 | | 1, 1 1, 0 | | 1, 1V T T V+ +− − − 32 1, 0 | | 1, 0V= 32 1, 1 | | 1, 1V− − −
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 491
Il decadimento “β” del pione carico π−
Utilizzando l’ipotesi CVC abbiamo pertanto ottenuto
Ricordiamo inoltre che l’ipotesi CVC identifica V3 con la corrente elettromagnetica jem
Un’ultima semplificazione si ottiene dalla proprietà della corrente elettro-magnetica rispetto all’operatore di coniugazione di carica C = C−1 = C†
Questa relazione dice semplicemente che il segno del campo elettromagneticodipende dal segno della carica elettrica della particella
Inoltre il π0 è un autostato di C con autovalore +1 C|π0> = +|π0>
Otteniamo pertanto
Da cui
Pertanto l’elemento di matrice del decadimento β del π− è
0 0 03 3| | 2 | | 2 | |V V Vμπ π π π π π− − −
+ = −
ki kfπ−π−
pi pf
γ
e− e−
1em emC j C jμ μ− = −
0 0em| |jμπ π 0 † 0
em| |C j Cμπ π= 0 0em| |jμπ π= −
0 0em| | 0jμπ π =
0em| | 2 | |V jμ μπ π π π− − −
+ = −
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 492
Il decadimento “β” del pione carico π−
Pertanto che l’elemento di matrice adronico della corrente debole può essere calcolato a partire dall’elemento di matrice della corrente elettromagnetica
Il Q valore del decadimento è molto piccolo
La massima quantità di moto è di appena 4 MeV
Introducendo i valori numerici vediamo che
È possibile pertanto trascurare la dipendenza da q2 e assumere Fπ(q2) = 1
Pertanto
Il calcolo è a questo punto semplice ed è lasciato come esercizio
0em| | 2 | |V jμ μπ π π π− − −
+ = −
( ) ( )( )2em, | 0 | .f i i fp j p F q p pμ μμ
ππ π± ± = +
0 eQ m m mπ π−= − − 139.570 134.977 0.511 4.082 MeV= − − =
02 2 2max 2 2i f i fq m m E Eπ π−= + − + ⋅p p 00
2 2 2m m m Eπ ππ π−−= + −
2 2 6 2max 4.626MeV 4.626 10 GeV 0q −= = ×
( )0 | | 2 i fV p pμ μ μπ π−+ = − +
( )0 0
25
330e
Gm mβ
ππ ν ππ−Γ = −
22 22 2
218
ll l
G mf m m
mβ
ν π πππ
⎛ ⎞⎟⎜Γ = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠da confrontare con
pi = 0
0 0E mπ π≈( )0 22q m mπ π−≈ −
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 493
Il decadimento β del neutroneCon lo stesso procedimento nel caso del decadimento β del neutrone si può verificare la relazione fra
La parte vettoriale dell’elemento di matrice della corrente caricaLa parte isovettoriale della corrente elettromagnetica
Infatti per l’ipotesi CVC
Utilizzando il commutatore
Otteniamo
Per le proprietà di T+ e T−
Introduciamo nell’elemento di matrice
Abbiamo pertanto la relazione fra l’elemento di matrice del decadimento βe quello della corrente isovettoriale elettromagnetica
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, | | , , | | , , | | ,V V Vμ
+ − = − − −
1 1 1 1 1 1 1 13 32 2 2 2 2 2 2 2, | | , , | | ,V V T T Vμ
+ ++ − = − −
1 1 1 12 2 2 2, ,T+ − = + 1 1 1 1
2 2 2 2, ,T− = −
[ ]3,V T V+ +=
| | | |p J n p V nμ μ+ += 1 1 1 1
2 2 2 2, | | ,V μ+= −
em em| | | | | |p V n p j p n j nμ μ μ+ = −
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 494
Decadimenti con variazione di SAbbiamo già notato (diapositiva ) che la corrente debole adronica ha una parte che non conserva la stranezza (che ha una parte polare e una assiale)
Bisogna comunque sottolineare che non tutti i decadimenti che coinvolgono particelle strane sono dovuti alla corrente S†α
Ad esempio il seguente decadimento è indotto dalla corrente
La prima regola di selezione relativa alla corrente ΔS ≠ 0 è |ΔS| = 1
Questa regola empirica è fortemente supportata dalla non esistenza del decadimento altrimenti favorito per spazio delle fasi
Questo decadimento avrebbe una variazione |ΔS| = 2: mai osservatoLa seconda regola di selezione è ΔS = ΔQ
Questa regola impone una correlazione fra i segni delle variazioni della carica elettrica e della stranezza del sistema adronico
La base empirica è ancora una volta la non osservazione di decadimenti altrimenti permessi e favoriti dallo spazio delle fasi
n π− −Ξ → 1321.71 939.56 139.57 242.58Q = − − =
1798460
†0Sh Sα α
Δ ≠ ≡
( )0e ee ν ν± ±Σ → Λ + +
( ) ( )en e μμ ν ν+ + +Σ → + + 1QΔ = − 1SΔ = +
†0Sh Jα α
Δ = ≡
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 495
Decadimenti con variazione di SLa regola di selezione ΔS = ΔQ spiega anche perché
Esiste il decadimentoNon esiste il decadimento
E analogamente per i decadimenti del mesone K0
La regola di selezione ΔS = ΔQ può essere facilmente compresa nell’ambito del modello a quark
Un adrone è composto da quarkUn mesone da una coppia quark-antiquarkUn barione da tre quark
Ad esempio, il decadimento Λ0 → p π−
Il quark s (S = −1, q = −1/3) si trasforma in un quark u (S = 0, q = +2/3)La trasformazione di un quark s in quark u porta a variazioni correlate di stranezza e carica elettrica
L’assenza dei decadimenti proibiti è facilmente compresa considerando la composizione degli adroni in termini di quark
0eK eπ ν− +→ + + 1QΔ = − 1SΔ = −
0eK eπ ν+ −→ + + 1QΔ = + 1SΔ = −
ud
dus
duu
π−
0Λ−W
p
( )0 1 1u sS S SΔ = − = − − = + ( )2 13 3 1u sQ q qΔ = − = − − = +
( )uus+Σ = ( )n udd=
( )0K ds= ( )udπ+ = ( )udπ− =
s u→
s u→
la transizione non porta al neutrone
la transizione porta solo al mesone π−
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 496
Decadimenti con variazione di SIl processo più semplice da calcolare è il decadimento del mesone K−
È un decadimento analogo al decadimento del mesone π: π− → μ− νμPoichè c’è variazione di stranezza l’elemento di matrice adronico è
Come nel caso del decadimento del pione l’elemento di matrice è diverso da zero solo per la parte assiale
Un calcolo analogo a quanto fatto per il π− porta al risultato
La costante a è stata inserita perchè le misure sperimentali mostrano che per riprodurre il risultato occorrerebbe utilizzare una costante G più piccola(a ≈ 0.22)
La differenza fra la costante di accoppiamento fra le transizioni senza e con variazione di stranezza portò Cabibbo a ipotizzare che la corrente adronica fosse così composta
θc è l’angolo di Cabibbo ( θc ≈ 13o )
K μμ ν− −→ +
0 | |S Kμ −
( )22 2 22 2 238
KKK
K
mG fa m m
mμ
μμμ ν π
− −→Γ = −
( ) ( ) ( )cos sinc ch x J x S xμ μ μθ θ+ + += +
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 497
L’angolo di CabibboLa presenza di cosθc nella corrente ΔS = 0 spiega la differenza fra
La costante di accoppiamento ricavata dal decadimento del μLa costante di accoppiamento ricavata dal decadimento del neutrone
cos 13o = 0.974
L’ipotesi di Cabibbo permette di recuperare il concetto di universalità messo in crisi dalla differenza relativamente grande fra l’intensità dei decadimenti con ΔS = 0 e |ΔS| = 1
Le interazioni deboli di corrente carica possono essere descritte da correnti deboli (cariche) dei quark
Ad esempio, per il decadimento β del neutrone ( d → u )Per il decadimento di una particella strana ( s → u )
L’ipotesi di Cabibbo si può esprimere dicendo che i quark d e s sono “mescolati”I campi d e s sono sostituiti dai campi d' e s'
Le correnti deboli Jμ e Sμ sono sostituite dalla corrente
La combinazione ortogonale s' compare in una analoga corrente con il quark c
( )51J u dμ μγ γ+ = −( )51S u sμ μγ γ+ = −
cos sinc cd d sθ θ′ = + sin cosc cs d sθ θ′ = − +
( ) ( ) ( )5 5 51 cos 1 sin 1c cu d u d u sμ μ μγ γ θ γ γ θ γ γ′− = − + −
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 498
The Eightfold WayLa proliferazione di particelle “elementari” stimolò l’elaborazione di teorie per classificare gli stati osservati
La teoria di maggiore successo fu la “Eightfold Way” di Gell-Mann†
Le ipotesi di Gell-Mann erano:Gli 8 Barioni noti (in quegli anni …) formano un super-multipletto che generalizza i multipletti di isospinLa simmetria alla base di questa associazione è una generalizzazionedella simmetria unitaria dell’isospinTutti i membri di un supermultipletto dovrebbero avere la stessa massa
In natura la simmetria è rottaI barioni sono classificati secondo una rappresentazione 8-dimensionaledel gruppo SU(3)
Anche i mesoni pseudoscalari vengono inseriti in un ottetto con la predizione di un ulteriore singoletto di isospinPer arrivare a questa classificazione studiamo il gruppo SU(3)
Preliminarmente alcune definizioni sui gruppi unitari†Murray Gell-Man – “The Eightfold Way: A Theory Of Strong Interaction Simmetry” -Report non pubblicato Caltech CTSL-20, 1961
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 499
Gruppi SU(N)Per definizione il gruppo U(N) è il gruppo delle matrici unitarie N N ( = n n)
Una generica matrice n n del gruppo U(N) soddisfa pertanto la relazione
L’equazione precedente implica n n relazioni fra gli n n elementi di matriceInoltre U è una matrice complessa n n e ha pertanto 2 n n parametri reali
Pertanto dei 2 n n parametri reali solo 2 n n n n n n sono indipendentiIl gruppo SU(N) è il sottogruppo di U(N) delle matrici con determinante = 1
La richiesta che il determinante sia 1 riduce di un’altra unità il numero dei parametri indipendenti
Pertanto i parametri indipendenti dei due gruppi più importanti per la fisica delle particelle sono
SU(2) 3 parametri realiSU(3) 8 parametri reali
Veniamo alle rappresentazioni:Una rappresentazione è un omomorfismo di un gruppo con un gruppo di matrici definite su uno spazio vettoriale di dimensione nI fisici spesso chiamano rappresentazione i vettori dello spazio vettoriale
†UU I=
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 500
Gruppi SU(N)Tutti i gruppi hanno una rappresentazione banale di dimensione uno che corrisponde all’elemento 1La dimensione della rappresentazione di dimensione più piccola successiva dipende dal gruppoSi introduce inoltre la rappresentazione coniugata
Se la rappresentazione è costituita dalle matrici M allora la rappresentazione coniugata è costituita dalle matrici M*
Ricordiamo che l’operazione di aggiunto e di coniugazione complessa, in teoria di campi quantistici, fa passare dalle particelle alle antiparticelle
Le rappresentazioni non banali di dimensione più piccola per i gruppi SU(2) e SU(3) sono
SU(2): è realizzata su uno spazio vettoriale di dimensione 2La rappresentazione coniugata delle matrici M* coincide la rappresentazione normale
Esiste una trasformazione unitaria che trasforma le matrici M in M*Una sola rappresentazione:
SU(3): è realizzata su uno spazio vettoriale di dimensione 3La rappresentazione coniugata delle matrici M* non coincide con la rappresentazione normaleDue rappresentazioni: e
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 501
The Eightfold WayRitorniamo al modello a quark di Gell-Mann
Gell-Mann ipotizzò che i tre quark (u, d, s) fossero una base della rappresentazione 3 del gruppo SU(3)
Si tratta di un gruppo di operatori unitariUtilizzando i generatori λn una generica matrice di questo gruppo può essere rappresentata come
Abbiamo visto che il gruppo dipende da 8 parametri reali: 8 generatoriLe matrici λn soddisfano le seguenti regole di commutazione
Le grandezze fijk sono le costanti di struttura del gruppo fijk è totalmente antisimmetricoGli elementi diversi da zero sono
8
1
exp n nn
U i α λ=
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦∑
, 2i j ijk kifλ λ λ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
ijk fijk ijk fijk ijk fijk 12
12−
12
12
32
12− 1
232
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 502
La rappresentazione 3 di SU(3)Le 8 matrici della rappresentazione 3 (matrici di Gell-Mann) sono
Evidentemente gli operatori λ3 e λ8 commutano fra di loro (sono diagonali)Per motivi che saranno evidenti fra poco si definiscono gli operatori
Gli operatori T3e Y sono già in forma diagonaleAnalizziamo il loro comportamento sulla base standard
Rappresentiamo sul piano Y T3 i 3 stati
1 2 3
0 1 0 1 0 00 01 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0
iiλ λ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟= = = −⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠54 6
0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1
0 01 0 0 0 1 0
i
iλ λ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞−⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟= = =⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7 8
1 0 00 0 0 10 0 0 1 0
30 0 0 0 2i
iλ λ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟= − = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟−⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 128 3 33
Y Tλ λ= =
01 00 1 00 0 1
u d s⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟= = = ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Y
T12
12−
13
23−
ud
s
13 2T u u= +
123T d d= −
3 0T s s=
13Y u u= +
13Y d d= +
23Y s s= −
3
1 0 010 1 0
2 0 0 0T
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
1 0 010 1 0
3 0 0 2Y
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎟⎜⎝ ⎠
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 503
La rappresentazione 3 di SU(3)Analogamente studiamo la rappresentazione coniugata in cui generatori sono
Riportiamo per brevità solo gli operatori λ3 e λ8
Definiamo nuovamente
Studiamo infine l’effetto dei generatori diagonali sulla base standard
Rappresentiamo sul piano Y T3 i 3 stati
*n nλ λ→ −*
8 8*
1 1
exp expn n n nn n
U i U iα λ α λ= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= → =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎦−
⎣ ⎣ ⎦∑ ∑
* *3 8
1 0 0 1 0 010 1 0 0 1 0
30 0 0 0 0 2λ λ
⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟− = − = −⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
* *1 128 3 33
Y Tλ λ= − = − 3
1 0 010 1 0
2 0 0 0T
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
1 0 010 1 0
3 0 0 2Y
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
01 00 1 00 0 1
u d s⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟= = = ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
123T u u= −
13 2T d d= +
3 0T s s=
13Y u u= −
13Y d d= −
23Y s s= +
Y
T
12
12−
23
13−
du
s
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 504
Interpretazione: Carica elettricaQuesti stati rappresentano i tre quark o i tre anti-quark
Analizziamo i numeri quantici dei vettori base delle due rappresentazioni
Innanzitutto la carica elettrica con la relazione di Gell-Mann e Nishijima
Per i tre stati della rappresentazione 3
E analogamente per la rappresentazione 3
Gli stati hanno pertanto carica frazionaria
Quark Q B T T3 S
u 2+
3 13 1
21
+2 0
d −13 1
3 12
12
− 0
s −13 1
3 0 0 1
Y
T1212−
13
23−
ud
s
Y
T
12
12−
13−
23
u d
s
32Q Y
Te
= +
1 1 26 2 3
uQe
= + = 1 1 16 2 3
dQ
e= − = −
2 10
6 3sQe
= − + = −
1 1 26 2 3
uQ
e= − − = −
1 1 16 2 3
dQ
e= − + =
2 10
6 3sQ
e= + =
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 505
Interpretazione: Numero BarionicoInoltre ricordiamo la definizione della Ipercarica
Attribuiamo la stranezza e il numerobarionico ai vari stati
Per la rappresentazione 3
Per lo stato Y=1/3 B = 1/3, S = 0
Per lo stato Y=1/3 B = 1/3, S = 0
Per lo stato Y=−2/3 B = 1/3, S = −1Per la rappresentazione 3
Per lo stato Y=−1/3 B = −1/3, S = 0
Per lo stato Y=−1/3 B = −1/3, S = 0
Per lo stato Y=2/3 B = −1/3, S = +1
I famosi Quark e Anti-Quark con carica frazionaria di Gell-Mann
Y B S= +
Y
T1212−
13
23−
ud
s
Y
T
12
12−
13−
23
u d
s
u
d
s
u
d
s
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 506
Le correnti di SU(3)Abbiamo già detto che interazioni deboli che abbiamo studiato possono essere interpretate a livello dei quark costituenti
Queste transizioni possono descritte in modo unitario nell’ambito del modello a quark
Nel caso di SU(2) abbiamo introdotto correnti di isospin
Possiamo generalizzare quel formalismo a SU(3)
ud
dus
duu
π−
0Λ−W
p
νee
dud
duu
n
−W
p
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 507
Le correnti di SU(3)In modo completamente analogo a quanto visto per SU(2) si può definire l’isospinore
Si può definire la Lagrangiana libera dei quark come
Notiamo che questo implica che le masse dei tre quark sono ugualiRichiedere l’invarianza di questa lagrangiana rispetto alle trasformazioni di SU(3) porta a 8 correnti conservate
A queste correnti corrispondono 8 cariche conservate
u
ds
uq d
s
ψψψ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟Ψ = ≡ =⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
( )q m qμμγ= ∂ +L
12 kkV q qμ μγ λ= Inoltre è conservata la corrente barionica B q Iqμ μγ=
† 312k kQ q qdλ= ∫ r † 3B q qd= ∫ r
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 508
Le correnti di SU(3)Le cariche soddisfano le regole di commutazione di SU(3)
Le regole di commutazione dei campi sono
Come abbiamo visto sono molto importanti le due seguenti cariche La terza componente dell’isospin
L’ipercarica
[ ] 12,k kQ q qλ= − † †1
2,k kQ q q λ⎡ ⎤ =⎣ ⎦
,i j ijk kQ Q if Q⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
3 3T Q=
823
Y Q=
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 509
Le correnti di SU(3)Una combinazione importante, che porta alla corrente elettromagnetica
Ricordiamo la definizione fatta per le correntiPer capire la definizione di calcoliamo la somma delle due matrici che definiscono le correnti V3 e V8
Utilizzando questo risultato troviamo la corrente elettromagneticaespressa in funzione dei tre quark ( e delle loro cariche elettriche!)
Per quel che riguarda le correnti deboli si hanno le seguenti identificazioni
em 3 813
j V Vμ μμ = +
12k kV q qμ μγ λ=
3 3
1 0 01 10 1 0
2 2 0 0 0T λ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= = − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠8
1 0 01 1 10 1 0
2 62 3 0 0 2Y λ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎟⎜⎝ ⎠⎟
23
13 3
13
0 01
0 02
0 0Q T Y
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= + = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ − ⎟⎜⎝ ⎠⎟
emjμ
2 1 1em 3 3 3j q Qq u u d d s sμ μ μ μ μγ γ γ γ= = − −
1 2J V iVμ μ μ+ = + 54S V iVμ μ μ
+ = +
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 510
Le correnti di SU(3)È facile verificare le seguenti regole di commutazione
La corrente J+ cambia la carica elettrica di una unità
La corrente S+ cambia la carica elettrica di una unità
Pertanto la corrente adronica carica h = J+cosθc + S+sinθc ha la regola di selezione ΔQ = 1
La corrente J+ conserva l’ipercarica (quindi la stranezza)
La corrente S+ cambia l’ipercarica di una unità |ΔS| = 1
Inoltre questa regola insieme alla prima implica che ΔQ = ΔS
Per finire le regole dell’isospin
La corrente J+ cambia l’isospin (T3) di una unità
La corrente S+ cambia l’isospin di 1/2
[ ],Q J Jμ μ± ±= ±
[ ], 0Y J μ± =
[ ],Q S Sμ μ± ±= ±
[ ]3,T J Jμ μ± ±= ±
[ ] 13 2,T S Sμ μ
± ±= ±
[ ],Y S Sμ μ± ±= ±
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 511
Le correnti di SU(3)Per finire scriviamo le correnti esplicitando il contenuto dei quarkPer la corrente J+
Pertanto la corrente J+ trasforma un quark d in un quark uPer la corrente S+ otteniamo
Pertanto la corrente S+ trasforma un quark s in un quark u
1 2J V iVμ μ μ+ = + 1 2
0 1 0 0 0 0 1 01 11 0 0 0 0 0 0 0
2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0
iii i
λ λ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−+ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜= + =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )0 1 00 0 00 0 0
uJ u d s d
sμ μγ+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟= ⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠u dμγ=
4 50 0 1 0 0 0 0 11 10 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 0 0 0 0 01 0 0
iiii
λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜+ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟= + =⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
54S V iVμ μ μ+ = +
( )0 0 10 0 00 0 0
uJ u d s d
sμ μγ+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟= ⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠u sμγ=
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 512
Le correnti di SU(3)Il formalismo sviluppato permette di trovare relazioni fra gli elementi di matrice di moltissimi processi
Analogo all'ipotesi CVCL’invarianza (globale) per SU(3) è una simmetria nello spazio del “sapore”(flavor) dei quark
La sua origine è nella quasi uguaglianza delle masse dei quark più leggeri
La simmetria è rotta per i quark più pesantiNon ci sono sviluppi sostanziali per gruppi più estesi di SU(3)
Non ci sono sviluppi interessanti se si richiede una invarianza locale