Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Interpolacja i aproksymacja
Michał Goliński
Elementy metod numerycznych
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Plan wykładu
1 Interpolacja wielomianowaZagadnienie Lagrange’a
Baza Lagrange’aBaza naturalnaBaza Newtona
Zagadnienie Hermite’a
2 Aproksymacja funkcji wielomianamiBłędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Plan wykładu
1 Interpolacja wielomianowaZagadnienie Lagrange’a
Baza Lagrange’aBaza naturalnaBaza Newtona
Zagadnienie Hermite’a
2 Aproksymacja funkcji wielomianamiBłędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Zagadnienie interpolacyjne Lagrange’a
Sformułowanie problemu
Dane są:n + 1 różnych punktów (tzw. węzły interpolacji): x0, x1, . . . , xn
n + 1 liczb: y0, y1, . . . , yn
Zadanie:Znaleźć wielomian L stopnia co najwyżej n taki, że
L(xi ) = yi .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Zagadnienie interpolacyjne Lagrange’a
Sformułowanie problemu
Dane są:n + 1 różnych punktów (tzw. węzły interpolacji): x0, x1, . . . , xn
n + 1 liczb: y0, y1, . . . , yn
Zadanie:Znaleźć wielomian L stopnia co najwyżej n taki, że
L(xi ) = yi .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Zagadnienie interpolacyjne Lagrange’a
Sformułowanie problemu
Dane są:n + 1 różnych punktów (tzw. węzły interpolacji): x0, x1, . . . , xn
funkcja f
Zadanie:Znaleźć wielomian L stopnia co najwyżej n taki, że
L(xi ) = f (xi ).
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład
x −2 −1 0 1y −1 2 1 2
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład
x −2 −1 0 1y −1 2 1 2
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład
x −2 −1 0 1y −1 2 1 2
L(x) = x3 + x2 − x + 1
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Fakt
Zagadnienie Lagrange’a ma co najwyżej jedno rozwiązanie.
Dowód.
Przypuśćmy, że wielomiany L i L̃ są rozwiązaniami zagadnieniaLagrange’a, tzn. są stopnia co najwyżej n oraz
L(xi ) = yi = L̃(xi ) dla i = 0, 1, . . . , n.
Zatem P = L− L̃ jest wielomianem stopnia co najwyżej n i
P(xi ) = L(xi )− L̃(xi ) = 0 dla i = 0, 1, . . . , n.
Czyli P ma co najmniej n+ 1 pierwiastków. Zatem musi być P ≡ 0.Stąd L = L̃.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Fakt
Zagadnienie Lagrange’a ma co najwyżej jedno rozwiązanie.
Dowód.
Przypuśćmy, że wielomiany L i L̃ są rozwiązaniami zagadnieniaLagrange’a, tzn. są stopnia co najwyżej n oraz
L(xi ) = yi = L̃(xi ) dla i = 0, 1, . . . , n.
Zatem P = L− L̃ jest wielomianem stopnia co najwyżej n i
P(xi ) = L(xi )− L̃(xi ) = 0 dla i = 0, 1, . . . , n.
Czyli P ma co najmniej n+ 1 pierwiastków. Zatem musi być P ≡ 0.Stąd L = L̃.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Fakt
Zagadnienie Lagrange’a ma co najwyżej jedno rozwiązanie.
Dowód.
Przypuśćmy, że wielomiany L i L̃ są rozwiązaniami zagadnieniaLagrange’a, tzn. są stopnia co najwyżej n oraz
L(xi ) = yi = L̃(xi ) dla i = 0, 1, . . . , n.
Zatem P = L− L̃ jest wielomianem stopnia co najwyżej n i
P(xi ) = L(xi )− L̃(xi ) = 0 dla i = 0, 1, . . . , n.
Czyli P ma co najmniej n+ 1 pierwiastków. Zatem musi być P ≡ 0.Stąd L = L̃.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Fakt
Zagadnienie Lagrange’a ma co najwyżej jedno rozwiązanie.
Dowód.
Przypuśćmy, że wielomiany L i L̃ są rozwiązaniami zagadnieniaLagrange’a, tzn. są stopnia co najwyżej n oraz
L(xi ) = yi = L̃(xi ) dla i = 0, 1, . . . , n.
Zatem P = L− L̃ jest wielomianem stopnia co najwyżej n i
P(xi ) = L(xi )− L̃(xi ) = 0 dla i = 0, 1, . . . , n.
Czyli P ma co najmniej n+ 1 pierwiastków. Zatem musi być P ≡ 0.Stąd L = L̃.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Fakt
Zagadnienie Lagrange’a ma rozwiązanie.
Dowód
Zauważmy, że wielomian P0(x) = (x − x1)(x − x2) . . . (x − xn) mapierwiastki w x1, x2, . . . , xn. Stąd wielomian
l0(x) =P0(x)
P0(x0)=
(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn)
(x0 − x1)(x0 − x2) . . . (x0 − xn)
spełnia {l0(x0) = 1l0(xi ) = 0 dla i = 1, 2, . . . , n
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Fakt
Zagadnienie Lagrange’a ma rozwiązanie.
Dowód
Zauważmy, że wielomian P0(x) = (x − x1)(x − x2) . . . (x − xn) mapierwiastki w x1, x2, . . . , xn.
Stąd wielomian
l0(x) =P0(x)
P0(x0)=
(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn)
(x0 − x1)(x0 − x2) . . . (x0 − xn)
spełnia {l0(x0) = 1l0(xi ) = 0 dla i = 1, 2, . . . , n
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Fakt
Zagadnienie Lagrange’a ma rozwiązanie.
Dowód
Zauważmy, że wielomian P0(x) = (x − x1)(x − x2) . . . (x − xn) mapierwiastki w x1, x2, . . . , xn. Stąd wielomian
l0(x) =P0(x)
P0(x0)=
(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn)
(x0 − x1)(x0 − x2) . . . (x0 − xn)
spełnia {l0(x0) = 1l0(xi ) = 0 dla i = 1, 2, . . . , n
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Dowód cd.
Analogicznie wielomian
lj(x) =(x − x0)(x − x1) . . . ̂(x − xj) . . . (x − xn)
(xj − x0)(xj − x1) . . . ̂(xj − xj) . . . (xj − xn)
spełnia {lj(xj) = 1lj(xi ) = 0 dla i 6= j
Zatem L =∑n
j=0 yj lj jest rozwiązaniem zagadnienia Lagrange’a.Istotnie:
L(xi ) =n∑
j=0
yj lj(xi ) = yi li (xi ) = yi .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Dowód cd.
Analogicznie wielomian
lj(x) =(x − x0)(x − x1) . . . ̂(x − xj) . . . (x − xn)
(xj − x0)(xj − x1) . . . ̂(xj − xj) . . . (xj − xn)
spełnia {lj(xj) = 1lj(xi ) = 0 dla i 6= j
Zatem L =∑n
j=0 yj lj jest rozwiązaniem zagadnienia Lagrange’a.Istotnie:
L(xi ) =n∑
j=0
yj lj(xi ) = yi li (xi ) = yi .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład dla postaci Lagrange’a
l0(x)
l1(x)
l2(x)
l3(x)
L(x) = −l0(x) + 2l1(x) + l2(x) + 2l3(x)
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Niestety, w praktyce interesuje nas obliczanie wartości wielomianyinterpolacyjnego poza podanymi węzłami, powyższy sposób jest dotego bardzo niepraktyczny. Ponadto dodanie kolejnego węzłaspowoduje koniecznośc powtórzenia wszystkich obliczeń.
Zauważmy, że w isocie znaleźliśmy przedstawienie pewnegowielomianu (wyznaczonego przez swe wartości) w pewnej specjalnejbazie przestrzeni liniowej wielomianów stopnia co najwyżej n. Bazętę moglibyśmy nazwać bazą Lagrange’a, a postać wielomianu –postacią Lagrange’a wielomianu interpolacyjnego. Możemyspróbować znaleźć przedstawienie tego wielomianu w innej bazie.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Niestety, w praktyce interesuje nas obliczanie wartości wielomianyinterpolacyjnego poza podanymi węzłami, powyższy sposób jest dotego bardzo niepraktyczny. Ponadto dodanie kolejnego węzłaspowoduje koniecznośc powtórzenia wszystkich obliczeń.Zauważmy, że w isocie znaleźliśmy przedstawienie pewnegowielomianu (wyznaczonego przez swe wartości) w pewnej specjalnejbazie przestrzeni liniowej wielomianów stopnia co najwyżej n. Bazętę moglibyśmy nazwać bazą Lagrange’a, a postać wielomianu –postacią Lagrange’a wielomianu interpolacyjnego. Możemyspróbować znaleźć przedstawienie tego wielomianu w innej bazie.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Każdy wielomian stopnia co najwyżej n ma przedstawienie wpostaci naturalnego rozwinięcia:
L(x) = c0 + c1x + c2x2 + . . .+ cnx
n.
Warunki na wielomian interpolacyjny prowadzą do układu n + 1równań o n + 1 niewiadomych:
y0 = L(x0) = c0 + c1x0 + c2x20 + . . .+ cnx
n0
y1 = L(x1) = c0 + c1x1 + c2x21 + . . .+ cnx
n1
...yn = L(xn) = c0 + c1xn + c2x
2n + . . .+ cnx
nn .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Każdy wielomian stopnia co najwyżej n ma przedstawienie wpostaci naturalnego rozwinięcia:
L(x) = c0 + c1x + c2x2 + . . .+ cnx
n.
Warunki na wielomian interpolacyjny prowadzą do układu n + 1równań o n + 1 niewiadomych:
y0 = L(x0) = c0 + c1x0 + c2x20 + . . .+ cnx
n0
y1 = L(x1) = c0 + c1x1 + c2x21 + . . .+ cnx
n1
...yn = L(xn) = c0 + c1xn + c2x
2n + . . .+ cnx
nn .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Zauważmy, że ze względu na poszukiwane współczynnikic0, c1, . . . , cn są to równania liniowe. W notacji macierzowej:
(y0, y1, . . . , yn)T = V (x0, x1, . . . , xn)(c0, c1, . . . , cn)
T ,
gdzie
V (x0, x1, . . . , xn) =
1 x0 x2
0 . . . xn01 x1 x2
1 . . . xn1...
......
. . ....
1 xn x2n . . . xnn
to tzw. macierz Vandermone’a. Macierz ta jest nieosobliwa (o ilewęzły są różne), więc możemy obliczyć poszukiwane współczynniki:
(c0, c1, . . . , cn)T = V (x0, x1, . . . , xn)
−1(y0, y1, . . . , yn)T ,
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład dla postaci naturalnej
x −2 −1 0 1y −1 2 1 2
Obliczamy współczynniki:c0c1c2c3
=
1 −2 4 −81 −1 1 −11 0 0 01 1 1 1
−1
−1212
=
0 0 1 0
1/6 −1 1/2 1/30 1/2 −1 1/2−1/6 1/2 −1/2 1/6
−1212
=
1−111
Zatem L(x) = 1− x + x2 + x3.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład dla postaci naturalnej
x −2 −1 0 1y −1 2 1 2
Obliczamy współczynniki:c0c1c2c3
=
1 −2 4 −81 −1 1 −11 0 0 01 1 1 1
−1
−1212
=
0 0 1 0
1/6 −1 1/2 1/30 1/2 −1 1/2−1/6 1/2 −1/2 1/6
−1212
=
1−111
Zatem L(x) = 1− x + x2 + x3.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład dla postaci naturalnej
x −2 −1 0 1y −1 2 1 2
Obliczamy współczynniki:c0c1c2c3
=
1 −2 4 −81 −1 1 −11 0 0 01 1 1 1
−1
−1212
=
0 0 1 0
1/6 −1 1/2 1/30 1/2 −1 1/2−1/6 1/2 −1/2 1/6
−1212
=
1−111
Zatem L(x) = 1− x + x2 + x3.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Niestety macierz Vandermonde’a ma bardzo złe własnościnumeryczne, więc obliczenia maszynowe współczynnikówwielomianu interpolacyjnego w bazie naturalnej obarczone sądużym błędem.
Podsumowując:baza Lagrange’a
trudno obliczyć wartośc w konkretnym punkciełatwo napisać wielomian interpolacyjny
baza naturalnałatwo obliczyć wartość w punkcie (schemat Hornera)trudno obliczyć współczynniki wielomianu (macierz źleuwarunkowana)
Kompromisem jest baza Newtona:łatwo obliczyć wartość wielomianu w punkcie (wariantschematu Hornera)stosunkowo łatwo obliczyć potrzebne współczynnikiponadto, dodanie kolejnych węzłów nie wymaga powtarzaniawszystkich obliczeń
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Niestety macierz Vandermonde’a ma bardzo złe własnościnumeryczne, więc obliczenia maszynowe współczynnikówwielomianu interpolacyjnego w bazie naturalnej obarczone sądużym błędem.Podsumowując:
baza Lagrange’atrudno obliczyć wartośc w konkretnym punkciełatwo napisać wielomian interpolacyjny
baza naturalnałatwo obliczyć wartość w punkcie (schemat Hornera)trudno obliczyć współczynniki wielomianu (macierz źleuwarunkowana)
Kompromisem jest baza Newtona:łatwo obliczyć wartość wielomianu w punkcie (wariantschematu Hornera)stosunkowo łatwo obliczyć potrzebne współczynnikiponadto, dodanie kolejnych węzłów nie wymaga powtarzaniawszystkich obliczeń
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Algorytm Neville’a
Wielomian interpolacyjny Lagrange’a L(x) możemy zapisać w tzw.postaci Newtona L(x) =
∑ni=0 bipi (x), gdzie
p0(x) = 1,p1(x) = (x − x0),
p2(x) = (x − x0)(x − x1),
. . .
pn(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)
bi = f [x0, . . . , xi ],
gdzie z kolei f [x0, . . . , xi ] to tzw. ilorazy różnicowe (lub: różnicedzielone) dane rekurencyjną zależnością:
f [xi ] = f (xi ) = yi ,
f [xl , . . . , xl+k ] =f [xl+1, . . . , xl+k ]− f [xl , . . . , xl+k−1]
xl+k − xl.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Tablica ilorazów różnicowych
Wartości ilorazów różnicowych z reguły zapisujemy w postaciwygodnej do obliczeń trójkątnej tablicy, np:
x0
x1
x2
x3
x4
f [x0]
f [x1]
f [x2]
f [x3]
f [x4]
f [x0, x1]
f [x1, x2]
f [x2, x3]
f [x3, x4]
f [x0, x1, x2]
f [x1, x2, x3]
f [x2, x3, x4]
f [x0, x1, x2, x3]
f [x1, x2, x3, x4]
f [x0, x1, x2, x3, x4]
Wyróznione wartości to poszukiwane współczynniki w postaciNewtona.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład
−2
−1
0
1
−1
2
1
2
3
−1
1
−2
11
L(x) = −1+ 3(x + 2)− 2(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x + 1)x= −1+ (x + 2) [3+ (x + 1)(−2+ x)]
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład
−2
−1
0
1
−1
2
1
2
3
−1
1
−2
11
L(x) = −1+ 3(x + 2)− 2(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x + 1)x= −1+ (x + 2) [3+ (x + 1)(−2+ x)]
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład
−2
−1
0
1
−1
2
1
2
3
−1
1
−2
1
1
L(x) = −1+ 3(x + 2)− 2(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x + 1)x= −1+ (x + 2) [3+ (x + 1)(−2+ x)]
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład
−2
−1
0
1
−1
2
1
2
3
−1
1
−2
11
L(x) = −1+ 3(x + 2)− 2(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x + 1)x= −1+ (x + 2) [3+ (x + 1)(−2+ x)]
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład
−2
−1
0
1
−1
2
1
2
3
−1
1
−2
11
L(x) = −1+ 3(x + 2)− 2(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x + 1)x= −1+ (x + 2) [3+ (x + 1)(−2+ x)]
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Zagadnienie interpolacyjne Hermite’a
Dane są:różne punkty (węzły interpolacji): x0, x1, . . . , xn
nieujemne liczby całkowite: k0, k1, . . . , kn
n + k0 + k1 + . . .+ kn liczb:
y0,0 y0,1 . . . y0,k0
y1,0 y1,1 . . . y1,k1...
......
...yn,0 yn,1 . . . yn,kn
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Zagadnienie interpolacyjne Hermite’a c.d.
Problem:Znaleźć wielomian H(x) stopnia co najwyżejk0 + k1 + . . .+ kn + n − 1 taki, że:
H(x0) = y0,0 H ′(x0) = y0,1 . . . H(k0)(x0) = y0,k0
H(x1) = y1,0 H ′(x1) = y1,1 . . . H(k1)(x1) = y1,k1...
......
...H(xn) = yn,0 H ′(xn) = yn,1 . . . H(kn)(x0) = yn,kn .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Zagadnienie interpolacyjne Hermite’a cd.
Dane są:różne punkty (węzły interpolacji): x0, x1, . . . , xn
nieujemne liczby całkowite: k0, k1, . . . , kn
odpowiednio wiele razy różniczkowalna w odpowiednichpunktach funkcja f
Problem:Znaleźć wielomian H(x) stopnia co najwyżejk0 + k1 + . . .+ kn + n − 1 taki, że:
H(x0) = f (x0) H ′(x0) = f ′(x0) . . . H(k0)(x0) = f (k0)(x0)
H(x1) = f (x1) H ′(x1) = f ′(x1) . . . H(k1)(x1) = f (k1)(x1)...
......
...H(xn) = f (xn) H ′(xn) = f ′(xn) . . . H(kn)(xn) = f (kn)(xn).
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Fakt
Tak postawione zagadnienie Hermite’a ma zawsze jednoznacznerozwiązanie.
Dowód
Poszukujemy wielomianu H stopnia co najwyżejk0 + k1 + . . .+ kn + n − 1 takiego, że:
H(x0) = y0,0 H ′(x0) = y0,1 . . . H(k0)(x0) = y0,k0
H(x1) = y1,0 H ′(x1) = y1,1 . . . H(k1)(x1) = y1,k1...
......
...H(xn) = yn,0 H ′(xn) = yn,1 . . . H(kn)(x0) = yn,kn .
Zauważmy, że mamy układ k0 + k1 + . . .+ kn + n równań liniowycho k0 + k1 + . . .+ kn + n niewiadomych (współczynnikachposzukiwanego wielomianu H).
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Fakt
Tak postawione zagadnienie Hermite’a ma zawsze jednoznacznerozwiązanie.
Dowód
Poszukujemy wielomianu H stopnia co najwyżejk0 + k1 + . . .+ kn + n − 1 takiego, że:
H(x0) = y0,0 H ′(x0) = y0,1 . . . H(k0)(x0) = y0,k0
H(x1) = y1,0 H ′(x1) = y1,1 . . . H(k1)(x1) = y1,k1...
......
...H(xn) = yn,0 H ′(xn) = yn,1 . . . H(kn)(x0) = yn,kn .
Zauważmy, że mamy układ k0 + k1 + . . .+ kn + n równań liniowycho k0 + k1 + . . .+ kn + n niewiadomych (współczynnikachposzukiwanego wielomianu H).
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Dowód cd.
Z algebry liniowej wiemy, że układ taki ma jednoznacze rozwiązaniedokładnie wtedy, gdy układ jednorodny:
H(x0) = 0 H′(x0) = 0 . . . H
(k0)(x0) = 0
H(x1) = 0 H′(x1) = 0 . . . H
(k1)(x1) = 0...
......
...
H(xn) = 0 H′(xn) = 0 . . . H
(kn)(x0) = 0.
ma tylko rozwiązanie zerowe (bo macierz jest odwracalna dokładniewtedy gdy ma trywialne jądro).
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Dowód cd.
Kolejne wiersze dają nam, że:
(x − x0)k0+1 | H
(x − x1)k1+1 | H
. . .
(x − xn)kn+1 | H.
Zatem (x − x0)k0+1(x − x1)
k1+1 . . . (x − xn)kn+1 | H. Ale H było z
założenia wielomianem stopnia co najwyżejk0 + k1 + . . .+ kn + n − 1. Stąd H = 0.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Uwagi
Interpolacja Lagrange’a jest szczególnym przypadkieminterpolacji Hermite’a (mianowicie gdyk0 = k1 = . . . = kn = 0).
Jeżeli mamy tylko jeden węzeł (ale stawiamy ewentualniewarunki na pochodne), to wielomian interpolacyjny Hermite’adla funkcji f jest po prostu wielomianem Taylora w tympunkcie.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Uwagi
Interpolacja Lagrange’a jest szczególnym przypadkieminterpolacji Hermite’a (mianowicie gdyk0 = k1 = . . . = kn = 0).Jeżeli mamy tylko jeden węzeł (ale stawiamy ewentualniewarunki na pochodne), to wielomian interpolacyjny Hermite’adla funkcji f jest po prostu wielomianem Taylora w tympunkcie.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Do wyznaczania wielomianu Hermite’a można użyć zarównoodpowiednika bazy Lagrange’a (tutaj znacznie bardziejskomplikowanego) jak i odpowiednika bazy Newtona. Poznamytylko tę drugą metodę, bo różnice w stosunku do interpolacjiLagrange’a są niewielkie:
Węzeł xi zapisujemy w tabelce ki + 1 razy (czyli tyle razy, ilemamy warunków postawionych w tym punkcie). Koniecznienależy umieścić kopie węzła w sąsiadujących wierszach.Tabelkę konstruujemy tak samo jak ostatnio. W pierwszejkolumnie wpisujemy (być może powtarzając) pożądanewartości wielomianu interpolacyjnego (nie pochodnych).Następnie prowadzimy obliczenia ilorazów różnicowych. Jeżelitrafimy na koniecznośc wyliczenia wartości 0
0 , to wpisujemy w
kolejnych kolumnach wartości f k (xi )k! . Jeżeli nie popełnimy
błędu (a problem był poprawnie postawiony), wykorzystamywszystkie warunki.Elementy bazy zawierają również potegi dwumianów (x − xi ).
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Do wyznaczania wielomianu Hermite’a można użyć zarównoodpowiednika bazy Lagrange’a (tutaj znacznie bardziejskomplikowanego) jak i odpowiednika bazy Newtona. Poznamytylko tę drugą metodę, bo różnice w stosunku do interpolacjiLagrange’a są niewielkie:
Węzeł xi zapisujemy w tabelce ki + 1 razy (czyli tyle razy, ilemamy warunków postawionych w tym punkcie). Koniecznienależy umieścić kopie węzła w sąsiadujących wierszach.
Tabelkę konstruujemy tak samo jak ostatnio. W pierwszejkolumnie wpisujemy (być może powtarzając) pożądanewartości wielomianu interpolacyjnego (nie pochodnych).Następnie prowadzimy obliczenia ilorazów różnicowych. Jeżelitrafimy na koniecznośc wyliczenia wartości 0
0 , to wpisujemy w
kolejnych kolumnach wartości f k (xi )k! . Jeżeli nie popełnimy
błędu (a problem był poprawnie postawiony), wykorzystamywszystkie warunki.Elementy bazy zawierają również potegi dwumianów (x − xi ).
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Do wyznaczania wielomianu Hermite’a można użyć zarównoodpowiednika bazy Lagrange’a (tutaj znacznie bardziejskomplikowanego) jak i odpowiednika bazy Newtona. Poznamytylko tę drugą metodę, bo różnice w stosunku do interpolacjiLagrange’a są niewielkie:
Węzeł xi zapisujemy w tabelce ki + 1 razy (czyli tyle razy, ilemamy warunków postawionych w tym punkcie). Koniecznienależy umieścić kopie węzła w sąsiadujących wierszach.Tabelkę konstruujemy tak samo jak ostatnio. W pierwszejkolumnie wpisujemy (być może powtarzając) pożądanewartości wielomianu interpolacyjnego (nie pochodnych).Następnie prowadzimy obliczenia ilorazów różnicowych. Jeżelitrafimy na koniecznośc wyliczenia wartości 0
0 , to wpisujemy w
kolejnych kolumnach wartości f k (xi )k! . Jeżeli nie popełnimy
błędu (a problem był poprawnie postawiony), wykorzystamywszystkie warunki.
Elementy bazy zawierają również potegi dwumianów (x − xi ).
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Do wyznaczania wielomianu Hermite’a można użyć zarównoodpowiednika bazy Lagrange’a (tutaj znacznie bardziejskomplikowanego) jak i odpowiednika bazy Newtona. Poznamytylko tę drugą metodę, bo różnice w stosunku do interpolacjiLagrange’a są niewielkie:
Węzeł xi zapisujemy w tabelce ki + 1 razy (czyli tyle razy, ilemamy warunków postawionych w tym punkcie). Koniecznienależy umieścić kopie węzła w sąsiadujących wierszach.Tabelkę konstruujemy tak samo jak ostatnio. W pierwszejkolumnie wpisujemy (być może powtarzając) pożądanewartości wielomianu interpolacyjnego (nie pochodnych).Następnie prowadzimy obliczenia ilorazów różnicowych. Jeżelitrafimy na koniecznośc wyliczenia wartości 0
0 , to wpisujemy w
kolejnych kolumnach wartości f k (xi )k! . Jeżeli nie popełnimy
błędu (a problem był poprawnie postawiony), wykorzystamywszystkie warunki.Elementy bazy zawierają również potegi dwumianów (x − xi ).
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Baza wygląda następująco:
1, x − x0, (x − x0)2, (x − x0)
3, . . . , (x − x0)k0+1
(x − x0)k0+1(x − x1), . . . , (x − x0)
k0+1, (x − x1)k1+1
. . . , (x − x0)k0+1(x − x1)
k1+1(x − x2)k2+1 . . . (x − xn)
kn
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
Przykład
Znajdziemy wielomian interpolacyjny Hermite’a H dla wielomianu
f (x) = 4x7 + x6 − 2x5 + 7x4 − 5x3 + 2x2 − x + 5,
przyjmując x0 = 0, k0 = 3, x1 = 1, k1 = 2. Oznacza to, żewielomian H będzie miał stopień co najwyżej 6. Tworzymy tabelkęjak dla wielomianu Lagrange’a, uwzględniając wielokrotne węzły.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
0
0
0
0
1
1
1
5
5
5
5
11
11
11
−1
−1
−1
6
40
40
2
2
7
34
108
−5
5
27
74
10
22
47
12
2513
Odczytujemy wielomian w bazie Newtona:
H(x) = 5− x + 2x2 − 5x3 + 10x4 + 12x4(x − 1) + 13x4(x − 1)2.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
0
0
0
0
1
1
1
5
5
5
5
11
11
11
−1
−1
−1
6
40
40
2
2
7
34
108
−5
5
27
74
10
22
47
12
2513
Odczytujemy wielomian w bazie Newtona:
H(x) = 5− x + 2x2 − 5x3 + 10x4 + 12x4(x − 1) + 13x4(x − 1)2.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
0
0
0
0
1
1
1
5
5
5
5
11
11
11
−1
−1
−1
6
40
40
2
2
7
34
108
−5
5
27
74
10
22
47
12
2513
Odczytujemy wielomian w bazie Newtona:
H(x) = 5− x + 2x2 − 5x3 + 10x4 + 12x4(x − 1) + 13x4(x − 1)2.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
0
0
0
0
1
1
1
5
5
5
5
11
11
11
−1
−1
−1
6
40
40
2
2
7
34
108
−5
5
27
74
10
22
47
12
2513
Odczytujemy wielomian w bazie Newtona:
H(x) = 5− x + 2x2 − 5x3 + 10x4 + 12x4(x − 1) + 13x4(x − 1)2.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
0
0
0
0
1
1
1
5
5
5
5
11
11
11
−1
−1
−1
6
40
40
2
2
7
34
108
−5
5
27
74
10
22
47
12
2513
Odczytujemy wielomian w bazie Newtona:
H(x) = 5− x + 2x2 − 5x3 + 10x4 + 12x4(x − 1) + 13x4(x − 1)2.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
0
0
0
0
1
1
1
5
5
5
5
11
11
11
−1
−1
−1
6
40
40
2
2
7
34
108
−5
5
27
74
10
22
47
12
25
13
Odczytujemy wielomian w bazie Newtona:
H(x) = 5− x + 2x2 − 5x3 + 10x4 + 12x4(x − 1) + 13x4(x − 1)2.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
0
0
0
0
1
1
1
5
5
5
5
11
11
11
−1
−1
−1
6
40
40
2
2
7
34
108
−5
5
27
74
10
22
47
12
2513
Odczytujemy wielomian w bazie Newtona:
H(x) = 5− x + 2x2 − 5x3 + 10x4 + 12x4(x − 1) + 13x4(x − 1)2.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Zagadnienie Lagrange’aZagadnienie Hermite’a
0
0
0
0
1
1
1
5
5
5
5
11
11
11
−1
−1
−1
6
40
40
2
2
7
34
108
−5
5
27
74
10
22
47
12
2513
Odczytujemy wielomian w bazie Newtona:
H(x) = 5− x + 2x2 − 5x3 + 10x4 + 12x4(x − 1) + 13x4(x − 1)2.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Błąd interpolacji Hermite’a
Załóżmy, że wszystkie dane są jak w zagadnieniu Hermite’a . NiechK = k0 + k1 + . . .+ kn + n będzie liczbą danych zagadnieniaHermite’a. Niech f będzie funkcją klasy CK na przedziale Izawierającym wszystkie punkty x0, . . . , xn. Wtedy dla każdego x ∈ Iistnieje ξ ∈ I takie, że
f (x)− H(x) =f (K)(ξ)
K !(x − x0)
k0+1(x − x1)k1+1 . . . (x − xn)
kn+1.
Wniosek – błąd interpolacji Lagrange’a
Załóżmy, że wszystkie dane są jak w zagadnieniu Lagrange’a . Niech fbędzie funkcją klasy n na przedziale I zawierającym wszystkiepunkty x0, . . . , xn. Wtedy dla każdego x ∈ I istnieje ξ ∈ I takie, że
f (x)− L(x) =f (n)(ξ)
n!(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn).
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Błąd interpolacji Hermite’a
Załóżmy, że wszystkie dane są jak w zagadnieniu Hermite’a . NiechK = k0 + k1 + . . .+ kn + n będzie liczbą danych zagadnieniaHermite’a. Niech f będzie funkcją klasy CK na przedziale Izawierającym wszystkie punkty x0, . . . , xn. Wtedy dla każdego x ∈ Iistnieje ξ ∈ I takie, że
f (x)− H(x) =f (K)(ξ)
K !(x − x0)
k0+1(x − x1)k1+1 . . . (x − xn)
kn+1.
Wniosek – błąd interpolacji Lagrange’a
Załóżmy, że wszystkie dane są jak w zagadnieniu Lagrange’a . Niech fbędzie funkcją klasy n na przedziale I zawierającym wszystkiepunkty x0, . . . , xn. Wtedy dla każdego x ∈ I istnieje ξ ∈ I takie, że
f (x)− L(x) =f (n)(ξ)
n!(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn).
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dowód – preliminaria
Wielokrotny pierwiastek
Mówimy, że funkcja różniczkowalna f ma w punkcie x pierwiatekk-krotny, jeżeli:
f (x) = f ′(x) = . . . f (k−1)(x) = 0.
Uogólnione twierdzenie Rolle’a
Przypuśćmy, że funkcja klasy C k ma na przedziale [a, b] k + 1pierwiastków (licząc z krotnościami). Wtedy istnieje ξ ∈ [a, b] takie,że:
f (k)(ξ) = 0.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dowód cd.
Jeżeli x jest jednym z węzłów interpolacji, to nie ma czegodowodzić. Załóżmy więć, że x ∈ I nie jest żadnym z węzłów xi .
Niech P(t) = (t − x0)k0+1(t − x1)
k1+1 . . . (t − xn)kn+1.
Rozważamy funkcję g(t) = f (t)− H(t)− f (x)−H(x)P(x) P(t).
Zauważmy, że g jest funkcją klasy CK , ponadto w każdym punkciexi ma pierwiastek o krotności ki + 1. Ponadto g(x) = 0. Zatem gma w przedziale K + 1 pierwiastków (licząc z krotnościami) wprzedziale I . Z tw. Rolle’a istnieje ξ ∈ I takie, że g (K)(ξ) = 0. Stąd
g (K)(ξ) = f (K)(ξ)− f (x)− H(x)
P(x)K ! = 0.
Zatem, wstawiając definicję P(x) mamy, że:
f (x)−H(x) =f (K)(ξ)
K !(x−x0)
k0+1(x−x1)k1+1 . . . (x−xn)
kn+1.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dowód cd.
Jeżeli x jest jednym z węzłów interpolacji, to nie ma czegodowodzić. Załóżmy więć, że x ∈ I nie jest żadnym z węzłów xi .Niech P(t) = (t − x0)
k0+1(t − x1)k1+1 . . . (t − xn)
kn+1.
Rozważamy funkcję g(t) = f (t)− H(t)− f (x)−H(x)P(x) P(t).
Zauważmy, że g jest funkcją klasy CK , ponadto w każdym punkciexi ma pierwiastek o krotności ki + 1. Ponadto g(x) = 0. Zatem gma w przedziale K + 1 pierwiastków (licząc z krotnościami) wprzedziale I . Z tw. Rolle’a istnieje ξ ∈ I takie, że g (K)(ξ) = 0. Stąd
g (K)(ξ) = f (K)(ξ)− f (x)− H(x)
P(x)K ! = 0.
Zatem, wstawiając definicję P(x) mamy, że:
f (x)−H(x) =f (K)(ξ)
K !(x−x0)
k0+1(x−x1)k1+1 . . . (x−xn)
kn+1.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dowód cd.
Jeżeli x jest jednym z węzłów interpolacji, to nie ma czegodowodzić. Załóżmy więć, że x ∈ I nie jest żadnym z węzłów xi .Niech P(t) = (t − x0)
k0+1(t − x1)k1+1 . . . (t − xn)
kn+1.Rozważamy funkcję g(t) = f (t)− H(t)− f (x)−H(x)
P(x) P(t).
Zauważmy, że g jest funkcją klasy CK , ponadto w każdym punkciexi ma pierwiastek o krotności ki + 1. Ponadto g(x) = 0. Zatem gma w przedziale K + 1 pierwiastków (licząc z krotnościami) wprzedziale I . Z tw. Rolle’a istnieje ξ ∈ I takie, że g (K)(ξ) = 0. Stąd
g (K)(ξ) = f (K)(ξ)− f (x)− H(x)
P(x)K ! = 0.
Zatem, wstawiając definicję P(x) mamy, że:
f (x)−H(x) =f (K)(ξ)
K !(x−x0)
k0+1(x−x1)k1+1 . . . (x−xn)
kn+1.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dowód cd.
Jeżeli x jest jednym z węzłów interpolacji, to nie ma czegodowodzić. Załóżmy więć, że x ∈ I nie jest żadnym z węzłów xi .Niech P(t) = (t − x0)
k0+1(t − x1)k1+1 . . . (t − xn)
kn+1.Rozważamy funkcję g(t) = f (t)− H(t)− f (x)−H(x)
P(x) P(t).
Zauważmy, że g jest funkcją klasy CK , ponadto w każdym punkciexi ma pierwiastek o krotności ki + 1. Ponadto g(x) = 0. Zatem gma w przedziale K + 1 pierwiastków (licząc z krotnościami) wprzedziale I . Z tw. Rolle’a istnieje ξ ∈ I takie, że g (K)(ξ) = 0. Stąd
g (K)(ξ) = f (K)(ξ)− f (x)− H(x)
P(x)K ! = 0.
Zatem, wstawiając definicję P(x) mamy, że:
f (x)−H(x) =f (K)(ξ)
K !(x−x0)
k0+1(x−x1)k1+1 . . . (x−xn)
kn+1.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dowód cd.
Jeżeli x jest jednym z węzłów interpolacji, to nie ma czegodowodzić. Załóżmy więć, że x ∈ I nie jest żadnym z węzłów xi .Niech P(t) = (t − x0)
k0+1(t − x1)k1+1 . . . (t − xn)
kn+1.Rozważamy funkcję g(t) = f (t)− H(t)− f (x)−H(x)
P(x) P(t).Zauważmy, że g jest funkcją klasy CK , ponadto w każdym punkciexi ma pierwiastek o krotności ki + 1. Ponadto g(x) = 0. Zatem gma w przedziale K + 1 pierwiastków (licząc z krotnościami) wprzedziale I .
Z tw. Rolle’a istnieje ξ ∈ I takie, że g (K)(ξ) = 0. Stąd
g (K)(ξ) = f (K)(ξ)− f (x)− H(x)
P(x)K ! = 0.
Zatem, wstawiając definicję P(x) mamy, że:
f (x)−H(x) =f (K)(ξ)
K !(x−x0)
k0+1(x−x1)k1+1 . . . (x−xn)
kn+1.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dowód cd.
Jeżeli x jest jednym z węzłów interpolacji, to nie ma czegodowodzić. Załóżmy więć, że x ∈ I nie jest żadnym z węzłów xi .Niech P(t) = (t − x0)
k0+1(t − x1)k1+1 . . . (t − xn)
kn+1.Rozważamy funkcję g(t) = f (t)− H(t)− f (x)−H(x)
P(x) P(t).Zauważmy, że g jest funkcją klasy CK , ponadto w każdym punkciexi ma pierwiastek o krotności ki + 1. Ponadto g(x) = 0. Zatem gma w przedziale K + 1 pierwiastków (licząc z krotnościami) wprzedziale I . Z tw. Rolle’a istnieje ξ ∈ I takie, że g (K)(ξ) = 0.
Stąd
g (K)(ξ) = f (K)(ξ)− f (x)− H(x)
P(x)K ! = 0.
Zatem, wstawiając definicję P(x) mamy, że:
f (x)−H(x) =f (K)(ξ)
K !(x−x0)
k0+1(x−x1)k1+1 . . . (x−xn)
kn+1.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dowód cd.
Jeżeli x jest jednym z węzłów interpolacji, to nie ma czegodowodzić. Załóżmy więć, że x ∈ I nie jest żadnym z węzłów xi .Niech P(t) = (t − x0)
k0+1(t − x1)k1+1 . . . (t − xn)
kn+1.Rozważamy funkcję g(t) = f (t)− H(t)− f (x)−H(x)
P(x) P(t).Zauważmy, że g jest funkcją klasy CK , ponadto w każdym punkciexi ma pierwiastek o krotności ki + 1. Ponadto g(x) = 0. Zatem gma w przedziale K + 1 pierwiastków (licząc z krotnościami) wprzedziale I . Z tw. Rolle’a istnieje ξ ∈ I takie, że g (K)(ξ) = 0. Stąd
g (K)(ξ) = f (K)(ξ)− f (x)− H(x)
P(x)K ! = 0.
Zatem, wstawiając definicję P(x) mamy, że:
f (x)−H(x) =f (K)(ξ)
K !(x−x0)
k0+1(x−x1)k1+1 . . . (x−xn)
kn+1.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dowód cd.
Jeżeli x jest jednym z węzłów interpolacji, to nie ma czegodowodzić. Załóżmy więć, że x ∈ I nie jest żadnym z węzłów xi .Niech P(t) = (t − x0)
k0+1(t − x1)k1+1 . . . (t − xn)
kn+1.Rozważamy funkcję g(t) = f (t)− H(t)− f (x)−H(x)
P(x) P(t).Zauważmy, że g jest funkcją klasy CK , ponadto w każdym punkciexi ma pierwiastek o krotności ki + 1. Ponadto g(x) = 0. Zatem gma w przedziale K + 1 pierwiastków (licząc z krotnościami) wprzedziale I . Z tw. Rolle’a istnieje ξ ∈ I takie, że g (K)(ξ) = 0. Stąd
g (K)(ξ) = f (K)(ξ)− f (x)− H(x)
P(x)K ! = 0.
Zatem, wstawiając definicję P(x) mamy, że:
f (x)−H(x) =f (K)(ξ)
K !(x−x0)
k0+1(x−x1)k1+1 . . . (x−xn)
kn+1.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Interpolacja z użyciem większej liczby węzłów jest bardziejpracochłonna niż dla mniejszej liczby węzłów. naturalnym jest więcoczekiwanie, że gdy liczba węzłów rośnie, to różnica między funkcjąa jej wielomianem interpolacyjnym maleją. Niestety, w ogólności niejest to prawdą.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Przykład Rungego
Niech f (x) = 1x2+1 . Poniżej zaznaczono wielomiany interpolacyjne
Lagrange’a oparte na równoodległych węzłach na przedziale [−5, 5]dla 3, 5, 7 i 9 węzłów.
-6 -4 -2 0 2 4 6-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Zauważmy, że błąd interpolacji zamiast maleć, rośnie!Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Wielomiany Czebyszewa
Wielomiany Czebyszewa definiujemy następująco:
Tn(x) = cos(n arc cos x).
Pierwsze pięc wielomianów Czebyszewa to:
T0(x) = 1T1(x) = x
T2(x) = 2x2 − 1
T3(x) = 4x3 − 3x
T4(x) = 8x4 − 8x2 + 1
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Wielomiany Czebyszewa
Wielomiany Czebyszewa definiujemy następująco:
Tn(x) = cos(n arc cos x).
Pierwsze pięc wielomianów Czebyszewa to:
T0(x) = 1T1(x) = x
T2(x) = 2x2 − 1
T3(x) = 4x3 − 3x
T4(x) = 8x4 − 8x2 + 1
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Wykresy wielomianów Czebyszewa
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Zera wielomianów Czebyszewa a zjawisko Rungego
Niech f (x) = 1x2+1 . Poniżej zaznaczono wielomiany interpolacyjne
Lagrange’a oparte na zerach wielomianu Tn(x/5) na przedziale[−5, 5] dla n = 3, 5, 7, 9i21.
Zauważmy, że tym razem wielomiany interpolacyjne są coraz lepsze.Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dla każdej funkcji istnieje dobry układ węzłów
Twierdzenie Marcinkiewicza
Dla każdej funkcji ciągłej f na [−1, 1] istnieje ciąg układów węzłówtaki, że ciąg odpowiednich wielomianów interpolacyjnychLagrange’a dla f jest jednostajnie zbieżny do f .
Tweirdzenie to wynika z dwóch faktów. Po pierwsze, z twierdzeniaWeierstrassa istnieje ciąg wielomianów zbieżny jednostajnie dofunkcji f . Po drugie, z twierdzenia Czebyszewa wynika, że dlakażdego n wielomian, który przybliża f najlepiej spośródwielomianów stopnia co najwyżej n jest w istocie pewnymwielomianem interpolacyjnym Lagrange’a dla f .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dla każdej funkcji istnieje dobry układ węzłów
Twierdzenie Marcinkiewicza
Dla każdej funkcji ciągłej f na [−1, 1] istnieje ciąg układów węzłówtaki, że ciąg odpowiednich wielomianów interpolacyjnychLagrange’a dla f jest jednostajnie zbieżny do f .
Tweirdzenie to wynika z dwóch faktów. Po pierwsze, z twierdzeniaWeierstrassa istnieje ciąg wielomianów zbieżny jednostajnie dofunkcji f .
Po drugie, z twierdzenia Czebyszewa wynika, że dlakażdego n wielomian, który przybliża f najlepiej spośródwielomianów stopnia co najwyżej n jest w istocie pewnymwielomianem interpolacyjnym Lagrange’a dla f .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dla każdej funkcji istnieje dobry układ węzłów
Twierdzenie Marcinkiewicza
Dla każdej funkcji ciągłej f na [−1, 1] istnieje ciąg układów węzłówtaki, że ciąg odpowiednich wielomianów interpolacyjnychLagrange’a dla f jest jednostajnie zbieżny do f .
Tweirdzenie to wynika z dwóch faktów. Po pierwsze, z twierdzeniaWeierstrassa istnieje ciąg wielomianów zbieżny jednostajnie dofunkcji f . Po drugie, z twierdzenia Czebyszewa wynika, że dlakażdego n wielomian, który przybliża f najlepiej spośródwielomianów stopnia co najwyżej n jest w istocie pewnymwielomianem interpolacyjnym Lagrange’a dla f .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Dla każdego układu węzłów istnieje zła funkcja
Twierdzenie Fabera (1914)
Dla każdego układu węzłów na [−1, 1] istnieje funkcja ciągła ftaka, że ciąg odpowiednich wielomianów interpolacyjnychLagrange’a dla f nie jest jednostajnie zbieżny do funkcji f .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Istnieje bardzo dobry układ węzłów
Twierdzenie Kriłowa (1956)
Dla każdej funkcji absolutnie ciągłej f na przedziale [−1, 1] ciągwielomianów interpolacyjnych Lagrange’a w węzłach Czebyszewajest jednostajnie zbieżny do f .
Twierdzenie Kriłowa (1956)
Dla każdej funkcji ciągłej f o ograniczonej wariacji na przedziale[−1, 1] ciąg wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a w węzłachCzebyszewa jest jednostajnie zbieżny do f .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Istnieje bardzo dobry układ węzłów cd.
Wniosek z twierdzenia Diniego
Jeśli moduł jednostajnej ciągłości ωf funkcji f na przedziale [−1, 1]spełnia
limδ→0+
ωf (δ) ln δ = 0
(warunek Diniego-Lipshitza), to ciąg wielomianów interpolacyjnychLagrange’a w węzłach Czebyszewa jest jednostajnie zbieżny do f .
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Absolutna ciągłość
Definition
Funkcję f : [−1, 1]→ R nazywamy absolutnie ciągłą, gdy dlakażdego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla każdego układurozłącznych przedziałów
[a1, b1], [a2, b2], . . . , [an, bn] ⊂ [−1, 1]
takich, że∑n
i=1 |bi − a1| < δ mamy, żen∑
i=1
|f (bi )− f (ai )| < ε.
Uwaga
Każda funkcja absolutnie ciągła jest jednostajnie ciągła, ale nie naodwrót. Kontrprzykładem jest funkcja Cantora.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Wariacja funkcji
Definition
Niech f : [−1, 1]→ R. Wariacją całkowitą funkcji f nazywamyliczbę
V (f ) = sup
{n−1∑i=0
|f (xi+1)− f (xi )| : −1 ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ 1
},
gdzie supremum rozciąga się po wszystkich możliwych skończonychukładach punktów odcinka.Funkcja ma ograniczoną wariację, gdy V (f ) <∞.
Uwaga
Każda funkcja monotoniczna ma ograniczoną wariację.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja
Interpolacja wielomianowaAproksymacja funkcji wielomianami
Błędy interpolacjiZachowanie asymptotyczne
Moduł jednostajnej ciągłości
Definition
Niech f : [−1, 1]→ R będzie funkcją ciągłą. Modułem jednostajnejciągłości (czasem w skrócie: modułem ciągłości) funkcji fnazywamy każdą funkcję ωf : [0,∞)→ R+ spełniającą
|f (x)− f (y)| < ωf (|x − y |)
dla wszystkich x , y ∈ [−1, 1]. Modułów ciągłości może być dużo, wpraktyce interesuje nas możliwie najmiejsza taka funkcja. Istotnejest zachowanie modułu w okolicy zera.Moduł jednostajnej ciągłości koduje zależność δ od ε wepsilonowo-deltowej definicji jednostajnej ciągłości.
Michał Goliński Interpolacja i aproksymacja