Estadística II
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1. INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES Y DISTRIBUCIONES
1.1. INFERENCIA ESTADÍSTICA Y POSIBILIDAD
La estadística se divide en dos ramas, la estadística descriptiva se enfoca en la
recolección, resumen y presentación de un conjunto de datos; y la estadística inferencial
utiliza datos de las muestras para obtener conclusiones acerca de cierta población.
La inferencia estadística es el conjunto de métodos que permiten inducir, a través de una
muestra, el comportamiento de una determinada población. La inferencia estadística
estudia entonces, como sacar conclusiones sobre los parámetros de población de datos.
De la misma manera estudia también el grado de fiabilidad de los resultados extraídos del
estudio.
Para entender el concepto es importante entender tres conceptos:
Inferencia: Inferir significa, literalmente, extraer juicios o conclusiones a partir de
ciertos supuestos, sean estos generales o particulares.
Población: Una población de datos, es el conjunto total de datos que existen sobre
un variable.
Muestra estadística: Una muestra es una parte de la población de datos.
Normalmente, en estadística, se trabaja con muestras debido a la gran cantidad de datos
que tiene una población. Por ejemplo, si queremos sacar conclusiones, esto es, inferir, los
resultados de las elecciones generales, es imposible preguntar a toda la población del país.
Para solventar ese problema se escoge una muestra variada y representativa. Gracias a la
cual se puedan extraer una estimación del resultado final. Escoger una muestra adecuada
corre a cargo de las distintas técnicas de muestreo.
1.2. EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD
La probabilidad es un tema de todos los días. Cada vez que se habla de clima, por ejemplo,
si va a llover o no en un día determinado, o bien, la posibilidad de sufrir un accidente está
implícito el concepto de probabilidad. En general, se habla de probabilidad en cualquier
situación en la que no haya certeza del resultado.
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La probabilidad es un valor numérico de la incertidumbre de que un suceso
especifico pueda ocurrir.
La probabilidad es una proporción o fracción cuyo valor varía entre 0 y 1 inclusive. Un
evento que no tiene oportunidad de ocurrir (por ejemplo, un evento imposible) tiene una
probabilidad de 0. Un evento que ocurrirá con toda seguridad (es decir, un evento seguro)
tiene una probabilidad de 1.
Existen tres aproximaciones sujetas a la probabilidad:
1.2.1 Probabilidad clásica a priori
La probabilidad de éxito se basa en el conocimiento previo del proceso implicado. En el
caso más simple, en el que cada resultado es igualmente probable, la oportunidad de
ocurrencia de un evento se define en la ecuación:
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
Ejemplo:
Un dado estándar tiene seis caras. Cada cara contiene uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis
puntos. Si usted tira el dado, ¿cuál es la probabilidad de que caiga la cara de cinco puntos?
SOLUCIÓN: Cada cara tiene la misma posibilidad de ocurrir. Como hay seis caras, la
probabilidad de obtener la cara con cinco puntos es de .
1.2.2 Probabilidad clásica empírica:
Los resultados se basan en datos observados, no en un conocimiento previo del proceso.
Ejemplos de este tipo de probabilidad son la proporción de votantes registrados que optan
por un determinado candidato político, o la proporción de alumnos que tienen un empleo de
medio tiempo.
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Por ejemplo, si usted realiza una encuesta a alumnos, y el 60% de ellos afirma que tiene
un trabajo de medio tiempo, entonces hay una probabilidad de 0,60 de que un alumno en
particular tenga un trabajo de medio tiempo.
1.2.3 Probabilidad subjetiva:
Se distingue de los otros dos en que la probabilidad subjetiva difiere de persona a persona.
Por ejemplo, tal vez el equipo de desarrollo para un nuevo producto asigne una probabilidad
de 0,6 a la oportunidad de éxito para el producto, mientras que el presidente de la empresa
es menos optimista y asigna una probabilidad de 0,3.
La asignación de probabilidades subjetivas a diferentes resultados generalmente se basa
en una combinación de las experiencias pasadas del individuo, la opinión personal y el
análisis de una situación particular. La probabilidad subjetiva es particularmente útil al tomar
decisiones en situaciones en las que no es posible usar la probabilidad clásica a priori o la
probabilidad clásica empírica.
1.2.4 Definiciones: evento, evento simple, evento compuesto, espacio muestral
Un evento es cualquier conjunto de resultados o consecuencias de un procedimiento.
Un evento simple es un resultado o un evento que ya no puede desglosarse en
componentes más simples. En el caso del lanzamiento de un dado, un evento simple es
que al tirar el dado salga un cuatro.
Un evento compuesto se puede descomponer en otros eventos. Por ejemplo, al tirar el
dado que salga un número par es un evento compuesto, porque se compone de los eventos
dos, cuatro y seis.
El espacio muestral (E) de un procedimiento se compone de todos los eventos simples
posibles. Es decir, el espacio muestral está formado por todos los resultados que ya no
pueden desglosarse más. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado el espacio muestral
es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Un punto muestral es cada uno de los elementos del espacio muestral. Por ejemplo, en el
lanzamiento de un dado un punto muestral puede ser cualquiera de los elementos del
espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
1.2.5 Operaciones con eventos
Sean dos eventos A y B dentro de un espacio muestral. Por ejemplo, en el experimento de
tirar un dado de 6 caras:
• Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Evento A: que salga un número par = {2, 4, 6}
• Evento B: que salga un múltiplo de 3 = {3, 6}
Se definen las siguientes operaciones con dichos eventos (unión, intersección y
complemento).
1.2.5.1 Unión de Eventos
Sean dos conjuntos A y B cualesquiera. La unión de los
conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que están
en A, en B o en ambos. Se simboliza con A ∪ B. En diagrama de
Venn se ve como se muestra en la figura.
En el ejemplo del tiro del dado: A ∪ B = {2, 3, 4, 6}
1.2.5.2 Intersección de Eventos
Sean dos conjuntos A y B cualesquiera. La intersección, de los
conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que están en A y
también en B. Se simboliza A ∩ B.
En el ejemplo del tiro del dado: A ∩ B = {6}
6
2
43
1
5
2
43
1
5
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Cuando A ∩ B es vacía, se dice que A y B son conjuntos disjuntos o mutuamente
excluyentes.
Los eventos A y B son disjuntos cuando ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo. Es
decir, los eventos disjuntos no se traslapan.
1.2.4.3 Complemento de un evento
El complemento del conjunto A es el conjunto de todos los
elementos del espacio muestral que no están en A. Se denota
AC.
En el ejemplo del tiro del dado: AC = {1, 3, 5}
Ejemplo
Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas (R), 5 blancas (B) y 6 negras
(N).
Espacio muestral = {R, R, R, R, B, B, B, B, B, N, N, N, N, N, N}
Evento A: Que la bola sea roja = {R, R, R, R}
Evento B: Que la bola sea blanca = {B, B, B, B, B}
Evento C: Que la bola sea negra = {N, N, N, N, N, N}
Que la bola sea roja o blanca: A ∪ B = {R, R, R, R, B, B, B, B, B}
Que la bola no sea blanca: Bc = {R, R, R, R, N, N, N, N, N, N}
Que la bola sea blanca y negra: A ∩ C es vacía, por lo tanto, es mutuamente
excluyente.
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2
43
1
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1.3. PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS PROBABILIDADES
La probabilidad de un evento A se podría expresar como:
1.3.1 Axiomas de probabilidad
Axioma 1: La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero
y uno.
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
Axioma 2: La probabilidad de un evento seguro es 1.
𝑃(𝐴) = 1
Axioma 3: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, es decir, que la intersección
entre A y B es vacía, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces:
𝑃(𝐴 𝑈 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Ejemplo:
En una bodega hay 400 televisores (T), 100 videograbadoras (V), 200 cámaras fotográficas
(F) y 300 computadoras (C). Si se selecciona un aparato al azar, ¿Cuál es la probabilidad
de que sea un televisor o una computadora?
𝑃(𝑇 ∪ 𝐶) =400
1000+
300
1000=
700
1000= 0,7
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1.3.2 Propiedades de probabilidad
Propiedad 1: La suma de las probabilidades de un evento y su complemento es 1.
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴 ) = 1
Propiedad 2: La probabilidad de un evento imposible es cero.
𝑃(∅) = 0
Propiedad 3: La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades
menos la probabilidad de su intersección.
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Ejemplo
Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un 10% son obesos y
un 3% son hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar
sea obeso o hipertenso?
A = {obeso}
B = {hipertenso}
A ∩ B = {hipertenso y obeso}
A ∪ B = {obeso o hipertenso}
P(A) = 0,10
P(B) = 0,15
P (A ∩ B) = 0,03
P (A ∪ B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22
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1.4. PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad condicional es la probabilidad de que un segundo evento (B) se presente si
un primer evento (A) ya ha ocurrido. Simbólicamente se escribe P(B | A)
1.4.1 Para eventos independientes
Para eventos estadísticamente independientes, la probabilidad condicional de que suceda
el evento B dado que el evento A se ha presentado, es simplemente la probabilidad del
evento B:
𝑃(𝐵 | 𝐴) = 𝑃(𝐵)
Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento de una moneda se obtenga
corona, dado que el resultado del primero fue corona?
Simbólicamente, lo anterior se escribe como P(C1 | C2).
Recuerde que para dos eventos independientes el resultado del primer lanzamiento no tiene
absolutamente ningún efecto sobre el resultado del segundo. Como la probabilidad de
obtener cara y la de obtener cruz son exactamente iguales en cada lanzamiento, la
probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento es de 0,5. Por tanto, debemos
decir que P(C1 | C2) = 0,5.
1.4.2 Para eventos dependientes
Para eventos estadísticamente dependientes, la probabilidad condicional de que suceda el
evento B dado que el evento A se ha presentado, es
𝑃(𝐵 | 𝐴) =𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)
𝑃(𝐴)
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Ejemplo:
La probabilidad de encontrar una camisa con descuento en una tienda es del 13%, la de
encontrar vestidos es un 35%. El 7,8% de las veces se pueden encontrar ambos artículos
en descuento. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar vestidos con descuento si ya sabemos
que las camisas lo tienen?
P(C) = 13%
P(V) = 35%
P(C y V) = 7,8%
𝑃(𝑉 | 𝐶) =𝑃(𝑉 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐶)=
78%
13%= 60%
1.5. LA REGLA DEL PRODUCTO
La regla de la multiplicación o regla del producto permite encontrar la probabilidad de que
ocurra el evento A y el evento B al mismo tiempo (probabilidad conjunta). Esta regla
depende de si los eventos son dependientes o independientes.
1.5.1 Eventos dependientes
Dos eventos A y B son dependientes, si la ocurrencia de uno de ellos afecta la ocurrencia
del otro. Para eventos dependientes, la regla de la multiplicación establece que:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵|𝐴)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ⋅ 𝑃(𝐴|𝐵)
Ejemplo
Se sabe que 84% de las familias en un vecindario en particular está suscrita a un servicio
de televisión digital. Si A denota el evento de que una familia se suscriba al paquete básico,
P(A) = 0,84. Además, se sabe que la probabilidad de que una familia que ya cuenta con
una suscripción básica también adquiera un paquete de canales deportivos (evento B) es
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0,75; es decir, P(B | A) = 0,75. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia se suscriba tanto
al paquete básico como al deportivo?
Utilizando la ley de la multiplicación, calculamos el P(B ∩ A) deseado como
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵|𝐴) = 0,84 ⋅ 0,75 = 0,63
1.5.2 Eventos independientes
Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la
ocurrencia del otro, es decir, cuando los eventos A y B no están relacionados. Para eventos
independientes, la regla de la multiplicación establece que:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
Ejemplo 2:
En un colegio, la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar hable inglés (Evento
A) es de 0,20; mientras que la probabilidad de que un alumno juegue fútbol (Evento B) es
de 0,80.
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 0,20 ⋅ 0,80 = 0,16
1.6. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y CONTINUA
Experimento estadístico: es un proceso mediante el cual se generan observaciones
aleatorias.
Variable aleatoria: cantidad numérica cuyo valor se determina a través de un experimento
aleatorio.
Las variables aleatorias se clasifican en:
• Variable aleatoria discreta: si se puede contar su conjunto de resultados posible.
Ejemplos: cantidad de artículos defectuosos, cantidad de personas en una fila, etc.
• Variable aleatoria continua: cuando la variable aleatoria puede tomar valores en
una escala continua. Ejemplos: estatura, peso, longitud, etc.
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1.7. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Una distribución de probabilidad permite determinar el valor de la probabilidad para todos y
cada uno de los eventos del espacio muestral. La distribución de probabilidad puede
expresarse empleando una tabla, un gráfico o una función algebraica.
Ejemplo:
Suponga que se lanza al aire una moneda dos veces para ver si cae “corona” (evento A) o
“escudo” (evento B), Construya la tabla de distribución de probabilidad.
Existen 4 resultados posibles, cada uno con las siguientes probabilidades.
Evento Probabilidad
AA 0,25
AB 0,25
BA 0,25
BB 0,25
Las distribuciones de probabilidad son distribuciones de probabilidad continuas o
distribuciones de probabilidad discretas, dependiendo de si definen probabilidades para
variables continuas o discretas.
1.7.1 Media y varianza de una distribución de probabilidad
La media de una distribución de probabilidad es la esperanza matemática o valor esperado
de la variable aleatoria correspondiente. Si las probabilidades de los eventos 𝒙𝒊 son 𝑃(𝒙𝒊)
entonces:
La media es:
𝝁 = 𝒙𝒊𝑷(𝒙𝒊)
La varianza es:
𝝈𝟐 = (𝒙𝒊 − 𝝁)𝟐 ∙ 𝑷(𝒙𝒊)
La desviación estándar es la raíz de la varianza:
𝝈 = 𝝈𝟐
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Ejemplo:
Calcule la media y la desviación estándar de la demanda semanal de cierto artículo en
una ferretería. Los datos de demanda y su probabilidad de ocurrencia se dan en la tabla.
Unidades vendidas 𝒙𝒊 30 35 40 45 50
Probabilidad 𝑃(𝒙𝒊) 0,20 0,28 0,30 0,15 0,07
Solución:
Media
𝜇 = 𝑥 𝑃(𝑥 ) = 30 ∙ 0,2 + 35 ∙ 0,28 + 40 ∙ 0,30 + 45 ∙ 0,15 + 50 ∙ 0,07 = 38,05
Varianza:
𝜎 = (𝑥 − 𝜇) 𝑃(𝑥 ) = 0,2(30 − 38,05) + 0,28(35 − 38,05) + 0,3(40 − 38,05)
+ 0,15(45 − 38,05) + 0,07(50 − 38,05) = 33,95
Desviación estándar:
𝜎 = 𝜎 = 33,95 = 5,83
1.8. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD
Las variables discretas toman valores que se obtienen por conteo y cada uno de ellos
asumirá esos valores con una cierta probabilidad. Así, si 𝑥 representa los posibles valores
numéricos de la variable, entonces se podría disponer de una función 𝑓(𝑥) que permita
conocer los valores de cada valor de 𝑥. Esa función se definiría como la distribución de
probabilidad de la variable aleatoria discreta en cuestión.
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1.9. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: CARACTERÍSTICAS, EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Suponga que un vendedor de un producto sabe que cada cliente que visita puede comprar
su producto, o bien, no comprarlo, por lo que solamente hay dos posibles resultados. Por
su experiencia sabe que el porcentaje de casos en los que logra la venta permanece
constante a lo largo del tiempo y que generalmente cada cliente no tiene contacto con los
demás. El vendedor desea saber la probabilidad de lograr 3 ventas si visita 8 clientes. Una
situación como esta corresponde a un problema de una distribución binomial de
probabilidad.
Un experimento binomial (o sea, un ejercicio en que se emplea la distribución binomial) se
da cuando se realiza un experimento aleatorio cuyo resultado es una variable aleatoria
discreta y cumple con las siguientes suposiciones:
1. Existen solamente dos resultados posibles en cada ensayo, llamados,
arbitrariamente, éxitos y fracasos. Por ejemplo, vender y no vender.
2. Existe un número fijo n de intentos o ensayos. Por ejemplo, el vendedor visita 8
clientes, es decir, va a realizar 8 intentos de vender su producto.
3. La probabilidad de un éxito, representada por p, permanece constante en todos los
intentos. Por ejemplo, suponga que el vendedor logra la venta en el 30 % de los
casos.
4. Todos los n intentos repetidos son independientes. En el ejemplo se dijo que cada
cliente no tiene contacto con los demás, por lo que cada evento es independiente
de los otros.
Si realizamos n repeticiones independientes de un experimento con característica binomial
y representamos por x el número de éxitos obtenidos en las n repeticiones de este, entonces
la probabilidad de obtener x éxitos en n repeticiones viene dada por:
𝑷(𝒙) = 𝑪(𝒏, 𝒙) ⋅ 𝒑𝒙 ⋅ 𝒒𝒏 𝒙 para 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛
Donde 𝒙 es el número establecido de éxitos, 𝒏 el número de ensayos u observaciones, 𝒑
la probabilidad de éxito y 𝒒 la probabilidad de fracaso (𝒒 = 𝟏 − 𝒑).
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La expresión ),( xnC es conocida como coeficiente binomial y equivale a:
𝑪(𝒏, 𝒙) =𝒏!
𝒙! (𝒏 − 𝒙)!
Entonces, la fórmula de la distribución binomial puede ser escrita como:
𝑷(𝒙) =𝒏!
𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∙ 𝒑𝒙𝒒𝒏 𝒙
1.10. LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
o Media de la distribución de probabilidad binomial
𝝁𝒙 = 𝒏 ∙ 𝒑
o Varianza de la distribución de probabilidad binomial
𝒔𝟐 = 𝒏𝒑𝒒
o Desviación estándar
𝓸 = 𝒏𝒑𝒒
Ejemplo:
Un vendedor de un producto sabe, por su experiencia, que logra la venta en el 30% de los
clientes que visita, porcentaje que ha permanecido constante a lo largo del tiempo. Cada
cliente no tiene contacto con los demás. El vendedor desea saber la probabilidad de que si
visita 8 clientes,
a. Logre vender en exactamente 3 casos.
b. Logre vender en por lo menos 3 casos.
c. Logre vender en menos de 6 casos.
d. No logre vender en a lo más 5 casos.
e. No logre vender en más de 7 casos.
f. Calcule la media y la varianza según su definición específica para la
distribución binomial
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Solución
a. intentos 𝑛 = 8 probabilidad de lograr 3 ventas 𝑥 = 3
éxito 𝑝 = 0,30 probabilidad del fracaso 𝑞 = 1 – 0,30 = 0,70
𝑃(𝑥 = 3) =8!
3! (8 − 3)!(0,30) (0,70) = 0,2541
b. En este caso se requiere que 𝑥 ≥ 3 , lo que significa que nos interesa que 3 o más clientes
compren el producto, por lo que buscamos:
𝑃(𝑥 ≥ 3) = 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) + 𝑃(𝑥 = 6) + 𝑃(𝑥 = 7) + 𝑃(𝑥 = 8)
Esto implica emplear la fórmula anterior 6 veces y luego sumar los resultados. O recurrir a
la regla de la complementación para encontrar la probabilidad de 𝑥 ≥ 3 :
𝑃(𝑥 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑥 = 0) − 𝑃(𝑥 = 1) − 𝑃(𝑥 = 2)
𝑃(𝑥 = 0) =8!
0! (8 − 0)!(0,30) (0,70) = 0,0576
𝑃(𝑥 = 1) =8!
1! (8 − 1)!(0,30) (0,70) = 0,1977
𝑃(𝑥 = 2) =8!
2! (8 − 2)!(0,30) (0,70) = 0,2965
𝑃(𝑥 ≥ 3) = 1 − 0,0576 − 0,1977 − 0,2965 = 0,4482
c. En este caso se requiere que 𝑥 < 6 , es decir, nos interesa la probabilidad de que de 0 a
5 clientes compren el producto:
𝑃(𝑥 < 6) = 𝑃(𝑥 ≤ 5)
𝑃(𝑥 ≤ 5) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5)
𝑃(𝑥 = 4) =8!
4! (8 − 4)!(0,30) (0,70) = 0,1361
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𝑃(𝑥 = 5) =8!
5! (8 − 5)!(0,30) (0,70) = 0,0467
𝑃(𝑥 ≤ 5) = 0,0576 + 0,1977 + 0,2965 + 0,2541 + 0,1361 + 0,0467 = 0,9887
d. Se desea determinar la probabilidad de que a lo más 5 clientes no realicen la compra.
Aquí se considera como éxito no lograr la venta, así que 𝑝 = 0,70 y 𝑞 = 0,30. Entonces, se
debe calcular:
𝑃(𝑥 ≤ 5) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5)
𝑃(𝑥 = 0) =8!
0! (8 − 0)!(0,70) (0,30) = 0,001
𝑃(𝑥 = 1) =
𝑃(𝑥 = 2) =
𝑃(𝑥 = 3) =
𝑃(𝑥 = 4) =
𝑃(𝑥 = 5) =
𝑃(𝑥 ≤ 5) =
e. Se desea determinar la probabilidad de que más de 7 clientes no compren el producto
(𝑝 = 0,70). Es decir, solo interesa que 𝑥 = 8
𝑃(𝑥 = 8) =
f. Media: 𝝁𝒙 = 𝟖 ∙ 𝟎, 𝟑𝟎 = 𝟐, 𝟒
Varianza: 𝒔𝟐 = 𝟖 ⋅ 𝟎, 𝟑𝟎 ⋅ 𝟎, 𝟕𝟎 = 𝟏, 𝟔𝟖
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1.11. USO DE LA TABLA DE PROBABILIDADES PARA LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL.
Se han desarrollado tablas que proporcionan la probabilidad de x éxitos en n ensayos para
un experimento binomial. Por lo general son fáciles de usar y más rápidas que la ecuación.
Para usarla, se deben especificar los valores de n, p y x según el experimento binomial de
que se trate.
Ejemplo
En una situación binomial con 𝑛 = 6 y 𝑝 = 0,40,
a. Calcule la probabilidad de 𝑥 = 3.
n = 6 x
p
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277
1 0,2321 0,3543 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2437 0,1866 0,1359
2 0,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3280 0,3110 0,2780
3 0,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2355 0,2765 0,3032
4 0,0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0951 0,1382 0,1861
5 0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0044 0,0102 0,0205 0,0369 0,0609
6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0018 0,0041 0,0083
𝑃(𝑥 = 3) = 0,2765
b. calcule la probabilidad de 𝑥 ≥ 3.
𝑃(𝑥 ≥ 3) = 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) + 𝑃(𝑥 = 6)
𝑃(𝑥 ≥ 3) = 0,2765 + 0,1382 + 0,0369 + 0,0041 = 0,4557