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CAPITULO 0

Introduccion y Revision deElectricidad y Magnetismo

I. Revision de elementos matematicos

En este apartado se introducen los elementos basicos del calculo vectorialque seran utiles en el desarrollo de los contenidos de los apuntes. Tambiense hace un repaso breve del problema de las magnitudes y unidades en lasleyes fısicas.

0.1 DEFINICIONES BASICAS

0.1.1

Definiciones de campo

Definimos un campo escalar ψ como:

ψ : D ⊂ R3 −→ R

funcion escalar y de punto que asocia a cada punto ~x en su dominio D unescalar ψ.

Definimos un campo vectorial ~A como:

~A : D ⊂ R3 −→ R3

funcion vectorial y de punto que asocia a cada punto ~x en su dominio D unvector ~A.

Las versiones complejas de los campos escalares y vectoriales se definen demanera analoga.

0.1.2

Vectores unitarios y cosenos directores

a= Vector unitario en la direccion de ~a:

a = ~a/|~a|

8 INTRODUCCION Y REVISION DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Si los vectores estan definidos en el cuerpo complejo se debe emplear:

a = ~a/√~a · ~a∗

Cuando empleemos el sistema de coordenadas cartesiano, podemos expresarcualquier vector unitario r en funcion de los cosenos de los angulos (α, β, γ)que forma con los ejes x, y, z:

r = cosαx+ cosβy + cos γz

conocidos como cosenos directores.

0.1.3

Lıneas de campo

Las lıneas de campo son lıneas tangentes al campo vectorial en cada punto.Indican direccion y sentido e intensidad, para lo cual se dibujan de formaque hay mayor densidad de lıneas en las zonas donde la intensidad de campoes mayor.

En dinamica de fluidos, una lınea de campo es precisamente una trayectoriarecorrida por una partıcula de fluido.

0.1.4

Flujo de ~A a traves de una superficie S

Dado un campo vectorial ~A decimos que su flujo a traves de una superficieS viene dado por: ¨

S

~A · d~s

En dinamica de fluidos, donde ~A representa un campo de velocidades, eldiferencial de flujo mide la cantidad de fluido que pasa por el paralelogramotangente por unidad de tiempo.

0.1.5

Radian y estereorradian

El radian es la medida de un angulo plano y se define como el angulo planocuyo vertice, en el centro de una circunferencia de radio r, subtiende unarco cuya longitud es r.

La medida del angulo solido es el estereorradian, que corresponde al angulosolido cuyo vertice, en el centro de una esfera de radio r, subtiende unasuperficie esferica cuyo area tiene como valor r2.

Dado que la superficie de una esfera es S = 4πr2, hay 4π estereorradianesen una esfera cerrada.

El elemento infinitesimal de area ds sobre la superficie de la esfera de radior viene dado por:

ds = r2 sin θdθdφ (m2)

por lo que el elemento diferencial de angulo solido sera:

dΩ =ds

r2= sin θdθdφ (sr)

0.2. Sistemas de coordenadas 9

y vemos que se cumple, efectivamente que:¨Ω

dΩ = 4π

0.2 SISTEMAS DECOORDENADAS

0.2.1

Definicion

Dependiendo del problema y de las simetrıas que presente, es convenienteelegir el sistema de coordenadas.

Coordenadas rectangulares (x, y, z).

Coordenadas cilındricas (ρ, φ, z).

Coordenadas esfericas (r, θ, φ). Notar que el angulo θ es de revolucioncon respecto al eje z y varıa entre 0 y π mientras que el φ se midesiempre en el plano xy y varıa en un margen de 0 a 2π.

0.2.2

Cambios de coordenadas rectangulares-cilindricas

Las coordenadas se relacionan segun:

x = ρ cosφy = ρ sinφz = z

y los vectores unitarios (que dependen de φ): AρAφAz

=

cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0

0 0 1

AxAyAz

AxAyAz

=

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1

AρAφAz

0.2.3

Cambios de coordenadas cilindricas-esfericas

ρ = r sin θz = r cos θ

y los vectores unitarios (que dependen de θ): ArAθAφ

=

sin θ 0 cos θcos θ 0 − sin θ

0 1 0

AρAφAz

AρAθAz

=

sin θ cos θ 00 0 1

cos θ − sin θ 0

ArAθAφ

0.2.4

Cambios de coordenadas rectangulares-esfericas

Las coordenadas se relacionan segun:

x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφz = r cos θ

y los vectores unitarios (que dependen de θ y φ): ArAθAφ

=

sin θ cosφ sin θ sinφ cos θcos θ cosφ cos θ sinφ − sin θ− sinφ cosφ 0

AxAyAz

AxAyAz

=

sin θ cosφ cos θ cosφ − sinφsin θ sinφ cos θ sinφ cosφ

cos θ − sin θ 0

ArAθAφ

0.3 CALCULO DIFERENCIALVECTORIAL

0.3.1

Gradiente de una funcion escalar de punto ψ

Sea ψ(x, y, z) una funcion escalar y de punto. Se define el gradiente de ψ encoordenadas rectangulares como:

∇ψ(x, y, z) =∂ψ(x, y, z)

∂xx+

∂ψ(x, y, z)∂y

y +∂ψ(x, y, z)

∂zz

Interpretacion geometrica del gradiente

Se demuestra que si ∇ψ 6= 0, entonces ∇ψ apunta en la direccion en la cualψ esta creciendo mas rapidamente.

Propiedad

Sea S la superficie que consta de aquellos (x, y, z) tales que f(x, y, z) =k=cte. El plano tangente a S en un punto (xo, yo, zo) de S esta definido porla ecuacion:

< ∇ψ(xo, yo, zo), (x− xo, y − yo, z − zo) >= 0

si ∇ψ(xo, yo, zo) 6= 0, siendo < · > el producto escalar.

0.3.2

Laplaciana de una funcion escalar de punto ψ

Sea ψ(x, y, z) una funcion escalar y de punto. Se define la laplaciana de ψen coordenadas rectangulares como:

4ψ(x, y, z) = ∇2ψ(x, y, z) =∂2ψ(x, y, z)

∂x2+∂2ψ(x, y, z)

∂y2+∂2ψ(x, y, z)

∂z2

0.3. Calculo diferencial vectorial 11

0.3.3

Divergencia de una funcion vectorial de punto ~A

Sea ~A(x, y, z) = Ax(x, y, z)x+Ay(x, y, z)y+Az(x, y, z)z una funcion vecto-rial y de punto. Se define la divergencia de ~A en coordenadas rectangularescomo:

∇ · ~A =∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

0.3.4

Rotacional de una funcion vectorial de punto ~A

Sea ~A = Axx + Ay y + Az z una funcion escalar y de punto. Se define elrotacional de ~A en coordenadas rectangulares como:

∇× ~A =(∂Az∂y

− ∂Ay∂z

)x+

(∂Ax∂z

− ∂Az∂x

)y +

(∂Ay∂x

− ∂Ax∂y

)z

que simbolicamente puede expresarse como:

∇× ~A =

∣∣∣∣∣∣x y z

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zAx Ay Az

∣∣∣∣∣∣0.3.5

Laplaciana de una funcion vectorial de punto ~A

Sea ~A(x, y, z) = Ax(x, y, z)x+Ay(x, y, z)y+Az(x, y, z)z una funcion vecto-rial y de punto. Se define la laplaciana de ~A en coordenadas rectangularescomo:

4 ~A = 4Axx+4Ay y +4Az z

0.3.6

Teorema de la divergencia de Gauss

Sea V una region y S la superficie cerrada orientada que acota V . Sea ~A uncampo vectorial definido en V . Entonces:ˆ

V

∇ · ~Adv =‹S

~A · d~s

El significado fısico de la divergencia es que en un punto P , ∇· ~A es la razondel flujo neto que sale por P por unidad de volumen.

0.3.7

Teorema de Stokes

Sea S una superficie orientada definida por una funcion C2, z = f(x, y),(x, y) ∈ D y sea ~A un campo vectorial C1 en S. Entonces, si L denota unacurva frontera orientada de S, tenemos:¨

S

∇× ~A · d~s =˛L

~A · d~l


El significado fısico del rotacional en un punto P , ∇ × ~A es la circulacionde ~A por unidad de area en una superficie perpendicular a d~s.

0.3.8

Operadores en coordenadas cilındricas

∇ψ =∂ψ

∂ρρ+

1ρ

∂ψ

∂φφ+

∂ψ

∂zz

∇ · ~A =1ρ

∂(ρAρ)∂ρ

+1ρ

∂Aφ∂φ

+∂Az∂z

∇× ~A =[1ρ

∂Az∂φ

− ∂Aφ∂z

]ρ+

[∂Aρ∂z

− ∂Az∂ρ

]φ+

[1ρ

∂(ρAφ)∂ρ

− 1ρ

∂Aρ∂φ

]z

4ψ = ∇2ψ =1ρ

∂

∂ρ

[ρ∂ψ

∂ρ

]+

1ρ2

∂2ψ

∂φ2+∂2ψ

∂z2

4 ~A =[4Aρ −

2ρ2

∂Aφ∂φ

− Aρρ2

]ρ+

[4Aφ +

2ρ2

∂Aρ∂φ

− Aφρ2

]φ+4Az z

0.3.9

Operadores en coordenadas esfericas

∇ψ =∂ψ

∂rr +

1r

∂ψ

∂θθ +

1r sin θ

∂ψ

∂φφ

∇ · ~A =1r2∂(r2Ar)∂r

+1

r sin θ∂

∂θ(sin θAθ) +

1r sin θ

∂Aφ∂φ

∇× ~A =1

r sin θ

[∂

∂θ(Aφ sin θ)− ∂Aθ

∂φ

]r+

1r

[1

sin θ∂Ar∂φ

− ∂(rAφ)∂r

]θ+

1r

[∂(rAθ)∂r

− ∂Ar∂θ

]φ

4ψ = ∇2ψ =1r2

∂

∂r

[r2∂ψ

∂r

]+

1r2 sin θ

∂

∂θ

[sin θ

∂ψ

∂θ

]+

1r2 sin2 θ

∂2ψ

∂φ2

4 ~A =[4Ar −

2r2

(Ar + cotθAθ + cscθ

∂Aφ∂φ

+∂Aθ∂θ

)]r+[

4Aθ −1r2

(csc2θAθ − 2

∂Ar∂θ

+ 2cotθcscθ∂Aφ∂φ

)]θ+[

4Aφ −1r2

(csc2θAφ − 2cscθ

∂Ar∂φ

− 2cotθcscθ∂Aθ∂φ

)]φ

0.4. Unidades, sistemas de unidades y ecuaciones de dimensiones 13

0.3.10

Identidades vectoriales

Suma y multiplicacion

~A · ~A = |A|2~A · ~A∗ = |A|2~A+ ~B = ~B + ~A~A · ~B = ~B · ~A~A× ~B = − ~B × ~A

( ~A+ ~B) · ~C = ~A · ~C + ~B · ~C( ~A+ ~B)× ~C = ~A× ~C + ~B × ~C~A · ~B × ~C = ~B · ~C × ~A = ~C · ~A× ~B~A× ~B × ~C = ( ~A · ~C) ~B − ( ~A · ~B)× ~B

( ~A× ~B) · (~C × ~D) = ~A · ~B × (~C × ~D) = ~A( ~B · ~D ~C − ~B · ~C ~D)( ~A× ~B)× (~C × ~D) = ( ~A× ~B · ~D)~C − ( ~A× ~B · ~C) ~D

Diferenciacion

∇ · (∇× ~A) = 0∇×∇Ψ = 0∇(Φ + Ψ) = ∇Φ +∇Ψ∇(ΦΨ) = Φ∇Ψ + Ψ∇Φ∇ · ( ~A+ ~B) = ∇ · ~A+∇ · ~B∇× ( ~A+ ~B) = ∇× ~A+∇× ~B

∇ · (Ψ ~A) = ~A · ∇Ψ + Ψ∇ · ~A∇× (Ψ ~A) = ∇Ψ× ~A+ Ψ∇× ~A

∇( ~A · ~B) = ( ~A · ∇) ~B + ( ~B · ∇) ~A+ ~A× (∇× ~B) + ~B × (∇× ~A)∇ · ( ~A× ~B) = ~B · ∇ × ~A− ~A · ∇ × ~B

∇× ( ~A× ~B) = ~A∇ · ~B − ~B∇ · ~A+ ( ~B · ∇) ~A− ( ~A · ∇) ~B∇×∇× ~A = ∇(∇ · ~A)−4 ~A

0.4 UNIDADES, SISTEMASDE UNIDADES YECUACIONES DEDIMENSIONES

Para expresar una magnitud en un cierto espacio de referencia, se tomacomo patron la unidad U de forma que una magnitud X puede expresarsede la forma:

X = Ux = U ′x′

siendo x la medida de esta magnitud, que variara segun la unidad elegida.

Para comparar cantidades de la misma magnitud es necesario efectuar susmedidas con la misma unidad.

Las leyes fısicas relacionan entre sı medidas de magnitudes de distinta na-turaleza. Las leyes fısicas, en general, se expresan mediante relaciones de laforma:

x = Kxa11 · xa2

2 ... · xan1 (1)

donde K es una constante y a1, a2, ..., an son numeros racionales positivoso negativos, de manera que:

Las magnitudes relacionadas mediante una ley se dice que son cohe-rentes entre sı cuando la constante K es la unidad.


Las magnitudes fısicas se dicen fundamentales cuando son indepen-dientes entre sı, es decir, no hay ninguna ley fısica que las relacione.Las unidades que tomemos para la medida de estas, las denominare-mos unidades fundamentales.

Toda magnitud fısica relacionada con las fundamentales mediante unaley fısica se denomina magnitud derivada. Sus unidades se denomi-naran unidades derivadas y se obtendran mediante una relacion deltipo (1) entre las unidades de las magnitudes fundamentales.

Como magnitudes fundamentales comunes a todos los campos de la fısica,se han tomado la longitud y el tiempo; ellas son suficientes para desarrollarla cinematica; en los demas campos de la mecanica se hace necesario utilizaruna tercera magnitud fundamental, que puede ser la masa o la fuerza. En losrestantes campos de la fısica es necesaria una cuarta magnitud fundamen-tal, tomandose en termodinamica la temperatura; en optica la intensidadluminosa y en electricidad el amperio.

Un sistema de unidades queda definido cuando se han elegido sus magnitu-des fundamentales con sus respectivas unidades de medida. A partir de estasy mediante las correspondientes leyes fısicas se deduciran sus magnitudes yunidades derivadas.

En lo que sigue utilizaremos el sistema M.K.S.A que ha pasado a formarM.K.S.A.= metro, kilogramo, segundo,amperio parte del Sistema Internacional (S.I.), adoptado oficialmente en Espana

desde 1967.El sistema C.G.S. es una variante del an-terior que utiliza el centımetro, el gramoy el segundo. Cada magnitud fundamental se representa por un sımbolo que en el Sistema

Internacional y para las magnitudes mecanicas es:

L para la longitud

T para el tiempo

M para la masa

Si en la expresion de una ley fısica sustituimos cada magnitud fundamentalpor su sımbolo, obtendremos la llamada ecuacion de dimensiones de lamagnitud derivada de que se trate.

La ecuacion de dimensiones nos permite establecer la homogeneidad de lasformulas fısicas, diciendose que una expresion es homogenea cuando ambosmiembros tienen la misma ecuacion de dimensiones. Ademas facilita el esta-blecimiento de la coherencia entre unidades fısicas, diciendose que una seriede unidades son coherentes entre sı, cuando la ecuacion de dimensiones de laley fısica que las relaciona no contiene factor numerico multiplicativo salvola unidad.

un sistema de unidades U , U1, U2, ..., Un para el cual es X = Ux, X1 =U1x1, X2 = U2x2, ..., Xn = Unxn se dice que es acorde con una ley fısicacomo la (1) cuando verifica:

x = Kxa11 · xa2

2 ... · xann (2)

Un nuevo sistema de unidades U ′, U ′1, U

′2, ..., U ′

n para el cual es X = U ′x′,X1 = U ′

1x′1, X2 = U ′

2x′2, ..., Xn = U ′

nx′n se dice que es no acorde con una

ley fısica cuando cambia la cosntante de la misma, es decir, verifica:

x′ = K ′x′a11 · x′a2

2 ... · x′an

n (3)

0.4. Unidades, sistemas de unidades y ecuaciones de dimensiones 15

El cociente entre (2) y (3):

x

x′=

K

K ′

(x1

x′1

)a1(x2

x′2

)a2

...

(xnx′n

)an

en funcion de las unidades de los respectivos sistemas se expresa:

U

U ′ =K

K ′

(U1

U ′1

)a1(U2

U ′2

)a2

...

(UnU ′n

)an

expresion que nos permite cambiar de sistema de unidades en la expresionde una ley fısica, al darnos el coeficiente k′ de la expresion correspondienteal nuevo sistema de unidades:

K ′ = KU

U ′

(U1

U ′1

)a1(U2

U ′2

)a2

...

(UnU ′n

)an

(4)

Una misma ley fısica, tal como la (1), en un cierto sistema de unidades, seexpresa mediante una relacion como la (2), mientras que en otro sistema deunidades se expresa mediante la (3), estando dado el coeficiente K ′ por laecuacion (4).


II. Revision de Electricidad y Magnetismo

En este apartado se revisan los conceptos mas importantes de la electricidady magnetismo clasicos hasta llegar al planteamiento de las ecuaciones deMaxwell.

0.5 ELECTROSTATICA

0.5.1

La cargaElectricidad deriva de ηλεκτρoν que sig-nifica ambar en griego Introducimos la funcion ρ(~r) conocida como densidad de carga

ρ(~r) =dq

dv

La carga esta cuantizada, de forma que la carga total de un cuerpo esun multiplo entero de la carga de un electron. Las distribuciones de cargaque emplearemos son continuas. Por ello, consideraremos elementos de vo-lumen suficientemente grandes como para englobar un numero elevado departıculas cargadas, de forma que deje de manifestarse su caracter discretoy veamos efectos de promedio.La unidad de carga en el sistema MKSA

(SI) es el Coulombio (C). La carga de unelectron es de −1.602× 10−19C Se entiende por carga puntual situada en ~r1 la definida como:

ρ(~r) = qδ(~r − ~r1)

donde δ(·) es una funcion delta de Dirac. Una carga puntual tiene sentidoal considerar distribuciones de carga a distancias muy grandes respecto asu tamano.

0.5.2

Ley de Coulomb y principio de superposicion

Hay dos leyes fundamentales en la electrostatica: la Ley de Coulomb y elprincipio de superposicion. Supongamos dos cargas puntuales de valor q yq′ separadas una distancia r. La Ley de Coulomb establece que la fuerzaentre ellas responde a la expresion:

~F = Cqq′

r2r

donde C es una constante que depende del medio. En un sistema racionali-zado la ecuacion anterior resulta:

~F =qq′

4πεr2r

siendo ε una constante conocida como permitividad o constante dielectricadel medio.

Cuando las cargas se encuentran en el vacıo, decimos que ε = εo. El valorde esta constante en MKSA es (notar que tiene dimensiones):

ε0 =1

36π10−9(Faradios/m) = 8.854× 10−12(F/m)

0.5. Electrostatica 17

Para medios lineales, homogeneos e isotropos distintos al vacıo, la permiti-vidad se expresa como:

ε = εrεo

siendo εr la permitividad relativa del medio, que cumple siempre εr > 1. Masadelante comentaremos brevemente como se introducen los medios materia-les en la descripcion del fenomeno electromagnetico. En cuanto al principio Un medio es homogeneo cuando sus ca-

racterısticas no dependen de las coorde-nadas, e isotropo, cuando las propieda-des del mismo varıan igual en todas lasdirecciones en torno a un punto dado.

de superposicion, establece que la fuerza que experimenta una carga dadadebida a una distribucion de cargas es la suma vectorial de las fuerzas queproducirıan cada una de las cargas de la distribucion si estuvieran aisladasdel resto.

0.5.3

Definicion de ~E

Aunque las dos leyes anteriores son suficientes para resolver cualquier pro-blema de la electrostatica, es convieniente por razones practicas y concep-tuales introducir dos ideas secundarias que seran de gran utilidad: el campoelectrico y el potencial electrostatico.

Se define el campo electrico ~E creado por q′ en la posicion de la carga qcomo la fuerza que experimenta la unidad de carga:

~E =~Fq

de donde se sigue que:~E =

q′

4πεr2r (5)

Observamos que se trata de un campo de fuerzas centrales. Sus unidadesmas habituales en MKSA son N/C o V oltio/m = V/m.

El principio de superposicion se expresa como:

~E =N∑i=1

q′i4πεr2i

ri

0.5.4

Definicion de ~D

Resulta de interes introducir un nuevo vector mas relacionado con las cargasque ~E . Definimos:

~D = ε~E (6)

asumiendo una relacion lineal entre ~E y ~D. Este nuevo campo se denominavector desplazamiento electrico o vector de densidad electrica de flujo. Paracargas puntuales, este vector tiene la propiedad de que es radial e indepen-diente del material en cuyo seno se encuentran las cargas. Ademas su flujoa traves de una superficie cerrada que englobe a la carga es igual a la cargatotal: ‹

S

~D · d~s = Σqi

y esto es independiente de la superficie en cuestion.

Cuando se trabaja con medios materiales reales (no en el vacıo), la presen-cia de un campo electrico en dichos medios puede provocar que las cargas


de las moleculas (neutra en un principio) se desplacen de forma que dichasmoleculas se polarizan. Tambien puede ocurrir que la molecula inicialmen-te se encuentre polarizada (o lo que es lo mismo, que tenga un momentodipolar permanente), por lo que el campo hara que se oriente de determi-nada forma. Grosso modo, el campo final sera la suma del campo inicialmas las contribuciones de los distintos dipolos y la distribucion de campoen el interior del material sera difıcil de determinar y presentara grandesvariaciones a nivel microscopico. De acuerdo con la evidencia experimentalse verifica:

~D = εo~E + ~Pe (7)

El vector ~Pe es el vector adicional de polarizacion electrica.Recordamos que una distribucion con unmomento dipolar ~Pe crea un campo ex-terno equivalente al que producirıa unadistribucion volumetrica de carga ρp =

−∇ · ~Pe y una distribucion superficialρs = Pen

En medios lineales, homogeneos e isotropos (7) se convierte en:

~D = εo~E + ~Pe = εo~E + εoχe~E = εo(1 + χe)~E = ε~E

donde χe es una constante positiva que depende del material y se denominasusceptibilidad electrica

0.5.5

Propiedades integrales y diferenciales de ~E y ~D

Estudiamos las propiedades integrales y diferenciales de ~E a partir de laexpresion (5) utilizando resultados conocidos del calculo vectorial.Segun el teorema de Helmholtz, un cam-

po vectorial queda unıvocamente deter-minado si se conocen su divergencia y surotacional en todos los puntos del espa-cio

Se demuestra que se verifica la ecuacion:‹S

~D · d~s =ˆV

ρdv

donde S es la superficie cerrada que encierra el volumen V .

Esta expresion se conoce como Teorema de Gauss. Esto significa que el flujoneto a traves de una superficie cerrada que no encierra ninguna carga escero.

La version diferencial de este teorema es:

∇ · ~D = ρ

Por otra parte, es facil demostrar que

∇× ~E = 0

y aplicando el teorema de Stokes a esta integral, resulta:˛~E · d~l = 0 (8)

Un campo que verifica (8) se denominaconservativo.

0.5.6

Potencial electrostatico

Esta propiedad permite una simplificacion. Sabemos que un campo quecumpla esta propiedad se puede calcular como:

~E = −∇Φ (9)

0.6. Magnetostatica 19

siendo Φ una funcion escalar y de punto denominada potencial electrostaticoque tiene una propiedad muy util: la diferencia entre dos puntos es igual altrabajo que hay que realizar para trasladar una carga unidad entre ellos.

En efecto, el trabajo que hay que realizar para transportar una carga delpunto 1 al punto 2 contra el campo ~E sera:

W12 = −ˆ 2

1

~E · d~l = Φ2 − Φ1

Ası, la diferencia de potencial entre dos puntos es igual al trabajo que hayque realizar para trasladar una carga unidad entre los dos puntos. La ecua-cion Φ(~r) = cte. define una superficie equipotencial, siendo el campo per-pendicular a estas superficies en todo punto.

Si ahora tomamos la divergencia de (9), resulta:

4Φ = −ρε

se obtiene la conocida como Ecuacion de Poisson, que para puntos delespacio donde ρ = 0 se convierte en:

4Φ = 0

conocida como Ecuacion de Laplace.

Teniendo en cuenta que el potencial creado por una carga puntual es:

Φq =q′

4πεr

para un elemento de carga ρdv′ sera dΦ = ρdv′/|~r−~r′| por lo que el potencialtotal sera, por superposicion:

Φ(~r) =1

4πε

ˆV ′

ρ(~r′)|~r − ~r′|

dv′

que corresponde a la version integral de la ecuacion de Poisson. Esta ecua-cion plantea un problema de suma en contraste con los problemas de con-diciones de contorno, bastante mas complejos, en los que ρ(~r) no se conocede antemano.

0.6 MAGNETOSTATICA

0.6.1

Corriente y conceptos relacionadosLa palabra magnetismo deriva de Mag-nesia, region de Grecia donde se encon-traron las primeras piedras iman con es-tas propiedades

Supongamos una distribucion de carga que se mueve con velocidad ~v cons-tante. Definimos un vector densidad superficial de corriente electrica ~J encada punto como:

~J = ρ~v (10)

esto es, como la cantidad de carga que por unidad de tiempo atraviesa unaunidad de area (A/m2 en MKSA).

Supongamos ahora una densidad de corriente dependiente del tiempo ~J (~r, t)y una superficie infinitesimal d~s situada en el seno de la corriente y sea


dI la carga que atraviesa la superficie por unidad de tiempo. ClaramentedI = ~J · d~s por lo que se verificara:

I =¨S

~J · d~s

I se denomina corriente a traves de la superficie S.

Supongamos que la superficie S es cerrada y que admitimos el principio deque la carga no se crea ni se destruye. Entonces, la carga total en el volumenV sera

´Vρdv y su tasa de variacion con el tiempo ∂/∂t

´Vρdv. Por tanto,

el principio de conservacion de la carga se expresa como:‹S

~J · d~s+∂

∂t

ˆV

ρdv = 0

Si aplicamos el teorema de la divergencia al primer sumando podemos susti-tuirlo por

´V∇ · ~J d~s y dado que la expresion anterior debe verificarse para

cualquier volumen V , se sigue que:

∇ · ~J +∂ρ

∂t= 0 (11)

expresion matematica de la Ley de conservacion de la carga o ecuacion decontinuidad de la carga.

Si la densidad de carga ρ es una funcion solo de ~r y no varıa con el tiempo,la ecuacion anterior se convierte en:

∇ · ~J = 0

que implica que las lıneas de flujo de corriente se cierran sobre sı mismas,esto es, forman lazos cerrados.

Cuando la corriente se produce dentro de un conductor y dentro del conocidocomo margen lineal, se verifica experimentalmente la conocida Ley de Ohm(generalizada):

~J = σ~E

siendo σ la conductividad del medio (Ω−1m−1 en MKSA). El valor σ per-mite clasificar a su vez a los medios como conductores, semiconductores yaislantes, si bien esta division es relativa, como veremos mas adelante.

A partir de la anterior se deriva la Ley de Joule:

dP

dv= ~J · ~E = σ|~E|2

0.6.2

Fuerzas entre conductores

Supongamos dos lazos por los que discurren las corrientes I1 y I2 respec-tivamente. Los experimentos de Ampere mostraron que la fuerza total ~F1

sobre el circuito 1 debida a su interaccion con el circuito 2 es proporcional alas dos corrientes I1 y I2 y a una integral que depende solo de la geometrıa(ver figura 1):

~F1 = CI1I2˛C1

˛C2

d~l1 × (d~l2 × ~r12)r312

La constante de proporcionalidad C depende del medio. En un sistema

0.6. Magnetostatica 21

I2

I1

r12

dl2

dl1

Figura 1: Ley de Ampere

racionalizado, la ecuacion anterior se escribe:

~F1 =µ

4πI1I2

˛C1

˛C2

d~l1 × (d~l2 × ~r12)r312

siendo µ una constante conocida como permeabilidad magnetica del medio,cuyas unidades son (Henrio/m)=H/m en MKSA. La permeabilidad delvacıo en este sistema es

µ0 = 4π × 10−7 (H/m)

Para cualquier otro medio lineal, homogeneo e isotropo, podemos escribir:

µ = µrµo

0.6.3

Definicion del vector de intensidad de campo magnetico ~H

Partimos de una situacion en la que tenemos corrientes electricas estaciona-rias, esto es ∂ ~J /∂t = 0. Tal y como hicimos en electrostatica, es convenientedefinir un nuevo campo, imaginando que una de las corrientes produce uncampo que actua sobre la otra.

Definimos el vector intensidad de campo magnetico ~H producido por I2como:

~H =I24π

˛d~l2 × ~r12r312

Entonces, postulamos que este campo ~H ejerce una fuerza ~F1 sobre lacorriente I1 dada por:

~F1 = µI1

˛d~l1 × ~H

siendo las unidades de ~H A/m en MKSA.

Es conveniente extender la definicion de ~H asumiendo que cada elementod~I de corriente produce un campo d ~H dado por:

d ~H =I

4πd~l × ~rr3

siendo ~r el vector que une el elemento y el punto en el que se calcula elcampo. Esta expresion recibe el nombre de Ley de Biot y Savart. Notar queimplıcitamente estamos utilizando el principio de superposicion de fuerzasmagneticas.


0.6.4

Definicion del vector de induccion magnetica ~B

De la misma forma que hicimos con el campo electrico en electrostatica, esnecesario introducir el efecto de lo microscopico en nuestro planteamientomacroscopico. A efectos de calcular el campo magnetico, los medios materia-les se caracterizan mediante momentos dipolares magneticos. Introducimosun vector vector de induccion magnetica ~B definido como:

~B = µ ~H (12)

que puede expresarse como

~B = µo ~H+ ~Pm (13)

siendo ~Pm el vector adicional de magnetizacion. En medios lineales, ho-mogeneos e isotropos (13) se convierte en:

~B = µo ~H+ ~Pm = µo ~H+ µoχm ~H

donde χm es una constante positiva o negativa que depende del material yse denomina susceptibilidad magnetica

0.6.5

Propiedades diferenciales e integrales de ~B y ~H

Operando a partir de las ecuaciones anteriores, se puede demostrar que:

∇× ~H = ~J (14)

∇ · ~B = 0 (15)

esto es, el campo ~B es rotacional puro. Empleando los teoremas de la diver-gencia y Stokes llegamos a las versiones integrales:Notar que el campo ~B no es conservativo

ˆC

~H · d~l = I

conocida como Ley de Ampere, junto con‹S

~B · d~s = 0

0.6.6

El Potencial vector magnetico

Dado que ∇ × ~B es distinto de cero, no puede existir un potencial realpara calcular el campo mediante una diferenciacion. No obstante, podemosintroducir un potencial generalizado de tipo vectorial que sı cumple estapropiedad. Ademas el resultado sera valido tambien para el interior de lascorrientes.

Introducimos un vector ~A al que llamaremos potencial vector de forma que:

~B = ∇× ~A

0.7. Energıa en campos estaticos 23

por lo que se cumplira automaticamente que:

∇ · ~B = 0

Entonces, la ecuacion (14) resulta:

∇× (∇× ~A) = µ ~J

que corresponde a un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas y quese puede expresar como:

∇(∇ · ~A)−4 ~A = µ ~J

Por el teorema de Helmholtz, ~A queda determinado solo cuando definamos∇ · ~A. Como tenemos libertad para hacerlo como queramos, a la vista de laecuacion anterior, interesa imponer ∇ · ~A = 0 de forma que:

4 ~A = −µ ~J

Dado que esta ecuacion tiene la misma forma que la ecuacion de Poisson,su solucion sera analoga, de forma que podemos decir que:

~A(~r) =µ

4π

ˆV ′

~J (~r′)|~r − ~r′|

dv′

0.7 ENERGIA EN CAMPOS

ESTATICOS

0.7.1

Energıa electrostatica

Suponemos una distribucion arbitraria de cargas. Se demuestra que la energıapotencial del sistema conocida como energıa electrostatica viene dada por:

WE =12

ˆV

ˆV ′

ρ(~r)ρ(~r′)|~r − ~r′|

dvdv′

Una variante de esta expresion es:

WE =12

ˆV

ρ(~r)Φ(~r)dv

Aunque esta integral se extiende solo a los puntos donde existe densidad decarga, puede ser extendida a todo el volumen de espacio Vt de la siguienteforma:

WE =12

ˆV t

~E · ~Ddv

Esta formula expresa la energıa unicamente en terminos del campo elec-trostatico, concepto basico Maxwelliano (la energıa reside en el campo noen las fuentes).


0.7.2

Energıa magnetostatica

Se demuestra que la energıa necesaria para formar una distribucion decorriente viene dada por:

WM =12

ˆV

~A · ~J dv

Aunque la energıa parece residir en las corrientes, esta expresion puedemodificarse para que la energıa se exprese unicamente en funcion del campo:

WM =12

ˆV t

~B · ~Hdv

0.8 ELECTRODINAMICA

0.8.1

El problema de la variacion temporal

La electrostatica trata distribuciones de cargas estaticas, esto es, inmovilesen promedio. Por tanto, los campos electricos que se producen son indepen-dientes del tiempo. La magnetostatica estudia los campos creados por cargasen movimiento, con la particularidad de que estas corrientes son estaciona-rias, esto es, independientes del tiempo. Los campos electricos y magneticosson, por tanto, independientes del tiempo. Ahora vamos a calcular el efectodel movimiento de las cargas de manera arbitraria, por los que los camposseran variables con el tiempo.

En espacio libre, en presencia unicamente de cargas y distribuciones decorriente pero no de materia, hay cuatro ecuaciones basicas para los cam-pos estaticos, dos para definir la divergencia y el rotacional de ~E y otrasdos para ~B. Para el caso electrodinamico, las ecuaciones que definen losrotacionales deben completarse con terminos que dependen de la variaciontemporal. Uno de ellos fue encontrado experimentalmente por Faraday. Elotro, fue postulado por Maxwell. Este conjunto de 4 ecuaciones completasse denomina ecuaciones de Maxwell para espacio libre.

0.8.2

La Ley de Faraday

Faraday encontro, empleando corrientes en lazos, que la integral curvilıneadel campo electrico alrededor de un lazo es proporcional a la variacion tem-poral del flujo magnetico a traves de ese lazo:

˛~E · d~l = −

ˆS

∂ ~B∂t· d~s (16)

La evidencia empırica indica que esta relacion entre un campo magneticovariable y el campo electrico, es una propiedad de los campos en el espacio:los cables y las corrientes que fluyen en ellos sirve unicamente para que semanifieste (16).

0.8. Electrodinamica 25

Empleando el teorema de Stokes podemos escribir:

∇× ~E = −∂~B∂t

que es la generalizacion de la ley ∇× ~E = 0 de la electrostatica.

Si generalizamos lo anterior a lazos de forma variable se obtiene la conocidaLey de Lenz :

fem = −∂φ∂t

(17)

siendo φ el flujo a traves de la superficie que define el lazo y fem la fuerzaelectromotriz generada.

0.8.3

La corriente de desplazamiento y las ecuaciones de Maxwell

Discutimos ahora una generalizacion de las ecuaciones anteriores debidaa James C. Maxwell. Esta generalizacion es un postulado que se entiendemejor si miramos al contexto de la epoca en que se introdujo.

Consideremos la ecuacion de la magnetostatica ∇ × ~B = µ ~J . Si tomamosla divergencia de esta ecuacion obtenemos:

∇ · ~J = 0

Sabemos que el hecho de que la divergencia de un vector sea cero implicaque las lıneas de campo se cierran sobre sı mismas. Por lo tanto, la ecuacionanterior implica que la corriente fluye en lazos cerrados. Esto es lo queocurre con campos estaticos. Sin embargo ahora, nos encontramos ante unasituacion diferente.

Si p. ej. consideramos un condensador que se carga conectando las dos pla-cas a una baterıa, podemos decir que existe corriente en el cable pero nohabra corriente entre las placas del condensador. La concepcion de esteproceso por parte de Maxwell es diferente. Para entenderla acudimos a losdescubrimientos de Faraday sobre el fenomeno de la polarizacion o lo quees lo mismo, a la separacion de cargas en un medio material debido a lapresencia de un campo electrico. Las cargas deben moverse para separarsey, dado que las cargas en movimiento constituyen una corriente, el procesode polarizacion implica la existencia de una corriente que puede llamarsecorriente de polarizacion. En aquel momento se suponıa que las accioneselectromagneticas no se transmitıan a traves del vacıo sino a traves de uneter que no era distinto en nada a la materia dielectrica. Por lo tanto, noera raro que Maxwell extendiera el concepto de corriente de polarizacion aleter.

Maxwell considero que, en el proceso de carga de un condensador, los cablesdel condensador y el eter entre dichas placas formaban un circuito materialcontinuo. Para ello, modifico las ecuaciones anteriores como se indica acontinuacion.

A partir de ∇ · ~D = ρ se sigue:

∂ρ

∂t=

∂

∂t∇ · ~D


Si introducimos esto en la ecuacion de continuidad de carga (11) obtenemos:

∇ ·

[~J +

∂ ~D∂t

]= 0 (18)

El segundo sumando ∂ ~D/∂t tiene las dimensiones de una corriente y fuedenominado por Maxwell corriente de desplazamiento. Si consideramos quela corriente total consiste en una densidad de corriente mas una corriente dedesplazamiento, vemos que la corriente total siempre fluye en lazos cerrados.Sin embargo, debemos recordar que la corriente de desplazamiento no es unacorriente en el sentido ordinario, ya que no esta asociada a un flujo de carga.

A partir del resultado (18), Maxwell generalizo la Ley de Ampere diferencial∇ × ~H = ~J asumiendo que para los campos variables con el tiempo, lacorriente en esta formula deberıa ser la corriente total incluyendo la corrientede desplazamiento, de forma que esta ecuacion resulta:

∇× ~H = ~J +∂ ~D∂t

(19)

Esta ecuacion es un postulado que ha quedado contrastado ampliamentepor la experiencia. Entonces, las ecuaciones del modelo de Maxwell son:

∇× ~H = ~J +∂ ~D∂t

∇× ~E = −∂~B∂t

y si imponemos como postulado la ley de conservacion de carga:

∇ ~J +∂ρ

∂t= 0

se puede demostrar facilmente que se cumple:

∇ · ~D = ρ

∇ · ~B = 0

Ademas, en el sistema de ecuaciones planteado, hemos de considerar el tipode medio material (ε, µ, σ):

~J = σ~E~D = ε~E~B = µ ~H

conocidas como relaciones constitutivas del medio material

Las ecuaciones de Maxwell permiten calcular los campos ~E , ~D, ~B y ~H a partirde fuentes arbitrarias. Dado que estos campos son importantes debido a suaccion sobre las cargas, los fundamentos de la teorıa electromagnetica secompletan prescribiendo como es dicha accion. Para ello se utiliza la Ley dela densidad de fuerza de Lorentz : dada una distribucion de carga arbitrariacaracterizada por ρ(~r) que se mueve a una velocidad ~v(~r) con respecto a unsistema de referencia inercial en el cual hay campos ~E y ~B, la densidad defuerza (fuerza/unidad volumen) que actua sobre la distribucion ~f es:

~f = ρ(~E + ~v × ~B)

0.8. Electrodinamica 27

Observamos como el primer sumando es una extension del campo elec-trostatico al caso electrodinamico. El segundo sumando es la esencia delpostulado. Generaliza los resultados obtenidos en magnetostatica sobre lafuerza entre dos lazos con corrientes estacionarias. Por ultimo, la energıa al-macenada (electrica y magnetica) por el campo electromagnetico vendra da-da por:

WE =12

ˆV t

~E · ~Ddv

WM =12

ˆV t

~B · ~Hdv

Como veremos a lo largo del curso, los conceptos clave del planteamiento,ampliamente validado por la experiencia, son:

la introduccion de ~D y ~H

la simetrizacion del sistema ( ~J + ∂ ~D/∂t no tiene manantiales)

la inseparabilidad ~E ↔ ~B: observamos como estan acoplados en lasecuaciones y que, aunque se verifique ~J = 0 existiran fuentes de cam-po magnetico si ∂ ~D/∂t 6= 0, por lo que si existen campos electricosvariables, estos se convierten en fuentes de campo magnetico variabley lo mismo ocurre al contrario: aunque no existan distribuciones decargas, si existen campos magneticos variables ∂ ~B/∂t 6= 0, estos seconvierten en fuentes de campo electrico.


0.9 EJERCICIOS 0.2 Sean los vectores ~a = 3x+ 2y − z y ~b = −y + 3z. Calcule:

A. ~a ·~b

B. ~a×~b

C. Angulo que forman ~a y ~b

D. Vector unitario en la perpendicular del plano que forman ~a y ~b

Sol : A) −5; B) 5x− 9y − 3z; C) 115; D) ± 1√115

(5x− 9y − 3z)

0.3 Sean los vectores ~a = 3jx+ 2y − jz y ~b = −y + (1 + 2j)z. Calcule:

A. |~a| y |~b|

B. |~a ·~b∗|

C. 12Re[~a×~b

∗]

Sol : A) |~a| =√

14 ; |~b| =√

6; B) |~a ·~b∗| = 3; C) 1/2Re[~a×~b∗] = x+ 3y

0. 4 Indicar las coordenadas esfericas que definen:

A. La direccion z

B. El plano bisector de los ejes xy

C. La direccion ~r = −x+ y + z

Sol : A) θ = 0; B) φ = π/4; C) φ = 135 θ = 54.73

0. 5 Expresar la curva ρ = a(1 + cosφ) en coordenadas cartesianas.

Sol : x2 + y2 = a√x2 + y2 + ax

0. 6 Expresar en coordenadas cilındricas el vector ~r = x − y + 2z en ladireccion definida por φ = 3π/2

Sol : ~r = ρ+ φ+ 2z

0. 7 Calcule el gradiente de los campos escalares:

A. ψ =√x2 + y2 + z2

B. ψ = r

C. ψ = 1r

D. ψ = 3x2 + yz

Para el cuarto caso, calcule un vector unitario que apunte a la direccion demaxima variacion de ψ en el punto Po(1,−1, 0).

Sol : A) x√x2+y2+z2

x + y√x2+y2+z2

y + z√x2+y2+z2

z = r; B) r; C) − 1r2 r; D)

(6x+ y)x+ xy; v = 1√26

(5x+ y)

0.9. Ejercicios 29

0. 8 Sea ~A = 3x2yx+ (x3 + y3)y. Verificar que ~A es irrotacional.

Sol : ∇× ~A = 0

0. 9 Calcular 4( 1r ) para r 6= 0.

Sol : 4Ψ = 1/r2 ∂∂r [r

2 ∂ψ∂r ] con ψ = 1/r ⇒ 4( 1

r ) = 0

0. 10 Sea ~F = k Qr2 r un campo vectorial central, donde k y Q son cons-tantes. Calcular

´V∇ · ~Fdv siendo V el volumen definido por una esfera de

radio R centrada en el origen de coordenadas.

Sol : kQ4π

0. 11 Sea U(r, θ.φ) = Uo

r2 sin θ. Calcular cuanto vale¸SUds.

Sol : π2Uo

0. 12 Demostrar que cualquier solucion de la ecuacion∇×∇× ~A−k2 ~A = 0satisface automaticamente la ecuacion vectorial de Helmholtz 4 ~A+k2 ~A = 0y la condicion solenoidal ∇ · ~A = 0.

Sol : Aplicando ∇· a la ecuacion y simplificando ⇒ ∇· ~A = 0; Desarrollando∇×∇ y aplicando lo anterior ⇒ 4 ~A+ k2 ~A = 0

CAPITULO 1

El modelo electromagnetico

1.1 EL CAMPO

ELECTROMAGNETICOSOBRE EL CUERPO REAL1.1.1

Ecuaciones locales

Postulamos que las magnitudes que intervienen en el electromagnetismoestan ligadas por las ecuaciones locales:

∇× ~H = ~J +∂ ~D∂t

(1.1)

∇× ~E = −∂~B∂t

(1.2)

∇ ~J +∂ρ

∂t= 0 (1.3)

∇ · ~D = ρ (1.4)

∇ · ~B = 0 (1.5)~J = σ~E (1.6)~D = ε~E (1.7)~B = µ ~H (1.8)

Las dos primeras son igualdades vectoriales y se conocen habitualmente conla designacion de primera y segunda ecuacion de Maxwell, respectivamente.La tercera, escalar, traduce el postulado de la conservacion de la cargaelectrica y, unida a la cuarta y la quinta, tambien escalares, forma el bloquede las ecuaciones de la divergencia. Las tres ultimas, vectoriales, introducenlas constantes materiales σ, ε y µ que caracterizan electromagneticamenteel medio soporte del campo (relaciones constitutivas del medio material).

Ha de indicarse que, el sistema de ecuaciones ası establecido es compatiblea pesar de no ser independiente. Vemos que efectivamente no lo es ya que(1.4) es consecuencia de (1.1) y (1.3) y (1.5) lo es de (1.2).

Si tomamos la divergencia de los dos mimebros de (1.1) y tenemos en cuentaque el operador ∇ · (∇×) es identicamente nulo, llegamos a:

∇ · ~J +∇ · ∂~D∂t

= 0

32 EL MODELO ELECTROMAGNETICO

sustituyendo en esta igualdad ∇ · ~J , de acuerdo con (1.3) y conmutandoel orden de los operadores ∇· y ∂/∂t en el segundo termino del primermiembro, obtenemos:

− ∂ρ

∂t+∂

∂t∇ · ~D = 0

o lo que es lo mismo:∂

∂t(∇ · ~D − ρ) = 0

que nos dice que ∇ · ~D− ρ no varıa localmente en el transcurso del tiempo.Su valor actual en un punto del espacio debe ser igual al que tenıa en elmismo punto en cualquier instante anterior, p. ej. hace un millon de anos.Es natural admitir que este valor era cero y, en consecuencia:

∇ · ~D = ρ

Repitiendo el mismo razonamiento con (1.2) se llega a (1.5).

Por ultimo, hay que destacar las siguientes observaciones:

A. Los campos vectoriales y escalares que aparecen en las ecuacionesanteriores son reales, por su propia definicion.

B. En lo sucesivo, salvo indicacion expresa, consideraremos las tres cons-tantes materiales σ, ε y µ como magnitudes escalares independientesdel punto del espacio y del tiempo, consecuencia de admitir que elmedio es homogeneo e isotropo.

C. Todas las leyes integrales del electromagnetismo experimental se de-ducen con todo rigor de las ecuaciones postuladas.

1.1.2

Condiciones de contorno

Para resolver el sistema de ecuaciones en derivadas parciales (1.1)-(1.8) hayque anadir:

A. Condiciones de contorno

B. Condiciones lımite

C. Condiciones iniciales

que exige cualquiera de estos sistemas para su resolucion. Vamos a limitarnosa las primeras, pues las segundas, ademas de ser las habituales, no nos serannecesarias, y las ultimas, como veremos mas adelante, seran sustituidas porla busqueda de soluciones estacionarias (Fourier).

Las condiciones de contorno relacionan los valores que toman las magni-tudes del campo electromagnetico en dos puntos infinitamente proximos,situados a uno y otro lado de una superficie de discontinuidad del espaciosoporte del campo, superficie que sera la frontera de dos medios materialeselectricamente distintos, que no estan caracterizados por las mismas cons-tantes σ, ε y µ (habitualmente conocidos como medios 1 y 2 ).

Postulamos que las magnitudes que intervienen en cualquier problema decampo electromagnetico satisfacen las condiciones de contorno, sobre una

1.1. El campo electromagnetico sobre el cuerpo real 33

superficie de separacion S de dos medios distintos (anexo A):

n · ( ~D2 − ~D1) = ρs

n · ( ~B2 − ~B1) = 0

n · ( ~J2 − ~J1) = −∂ρs∂t

n× ( ~H2 − ~H1) = ~Jsn× (~E2 − ~E1) = 0

en que n es un vector unitario normal a S y dirigido del medio 1 hacia elmedio 2. Veamos ahora que ocurre en dos casos particulares.

1.1.3

Medio material de conductividad infinita. Condiciones de contorno en lafrontera de otro medio

Supongamos un medio conductor perfecto, en que σ →∞. La densidad decorriente ~J en un punto cualquiera de tal medio seguira valiendo:

~J = σ~E

y sera infinita si ~E es distinto de cero. Como es inadmisible fısicamente que~J valga infinito en ningun punto, ~E debe ser nulo en todos los puntos delmedio. Pero entonces, (1.2) nos dice que ~B no varıa en el transcurso deltiempo, y retrocediendo entonces en este como lo hicimos antes, deducimosque ~B debe ser tambien nulo.

Como ~D = ε~E y ~B = µ ~H, y tanto ε como µ no pueden ser infinitos, noson posibles la creacion ni la propagacion del campo electromagnetico enmedios de conductividad infinita.

El razonamiento parece impecable, pero no lo es si ~H y ~D son nulos en todoslos puntos del medio, lo que nos dice que ~J tambien debe ser cero, o seaque no pueden existir corrientes de conduccion en medios superconductores.Si queremos eliminar esta contradiccion, debemos aceptar que ∂ ~D/∂t y, enconsecuencia ~D, sean distintos de cero, lo que exige que ε sea infinita; ~Dqueda indeterminada, en consecuencia. Como no existen medios materialesde valor infinito de µ, si ~B es cero ~H sera nulo.

Consideremos ahora las condiciones de contorno en la frontera S de unmedio 1, de condictividad infinita, y un medio 2, de conductividad finita.Aceptando que ~J y ~D no sean nulos, quedan indeterminados, por lo quehabıa que prescindir de las ecuaciones en que intervienen. Por otra parte~E1 = ~B1 = ~H1 = 0, ~B2 = µ ~H2 y las condiciones (A.1)-(A.5) se reducen a:

n · ~B2 = 0 ⇐⇒ n · ~H2 = 0 (1.9)

n× ~H2 = ~Js (1.10)

n× ~E2 = 0 (1.11)

Observamos que:

(1.9) afirma que debe ser nula la componente de ~H2 segun la normala S

(1.11) establece que lo mismo debe ocurrir para la componente de ~E2

segun el plano tangente a S


(1.10) da explıcitamente la corriente superficial en funcion de ~H2

Podemos expresar estos resultados de modo sencillo diciendo que en lospuntos de un medio material de conductividad finita inmediatos a una su-perficie frontera con otro de conductividad infinita, el campo electrico debeser normal y el campo magnetico tangencial a dicha superficie. Ademas, lacorriente sobre este viene dada por (1.10), en que n es un vector unitarionormal dirigido en el sentido que va del medio conductor perfecto al otromedio.

1.1.4

Medio material de conductividad nula

Si un medio material es un aislante perfecto, σ es cero y (1.6) nos diceque no hay corrientes de conduccion ~J en ningun punto del medio. Peroentonces, (1.3) establece que la densidad cubica de carga no depende deltiempo, es decir, que se mantiene igual al valor inicial en todos los puntosdel medio. Es un resultado que fısicamente podıamos haber dado a priori,pues si el medio no es conductor, no permitira el desplazamiento de cargasen su interior y ρ se mantendra invariable.

En los problemas que trataremos a continuacion supondremos, salvo encasos excepcionales, que es un aislante perfecto el medio para el que plan-tearemos y resolveremos las ecuaciones de Maxwell y, en consecuencia, pres-cindiremos de ~J . A pesar de que esta hipotesis solo implica que ρ sea in-dependiente del tiempo, pero no identicamente nula, postularemos tambienesta anulacion, apoyandonos en el resultado a que llegaremos en el apartadosiguiente. Las ecuaciones locales para estos medios aislantes seran pues:

∇× ~H =∂ ~D∂t

∇× ~E = −∂~B∂t

∇ · ~D = 0

∇ · ~B = 0~D = ε~E~B = µ ~H

1.1.5

Evolucion temporal de la densidad cubica de carga

Sea un medio material homogeneo e isotropo cualquiera con σ finita y nonula, para el que son validas las ecuaciones (1.1)-(1.8). De (1.3) y (1.6),deducimos que:

∇ · ~J = ∇ · (σ~E) = σ∇ · ~E = −∂ρ∂t

por lo que

∇ · ~E = − 1σ

∂ρ

∂t

y de (1.4) y (1.7):∇ · ~D = ∇ · (ε~E) = ε∇ · ~E = ρ

1.2. El campo electromagnetico sobre el cuerpo complejo (dominio de la frecuencia) 35

se sigue que:∇ · ~E =

ρ

ε

Igualando los segundos miembros de estas ecuaciones, dado que el primermiembro es el mismo, llegamos a:

− 1σ

∂ρ

∂t=ρ

ε=⇒ ∂ρ

∂t= −σ

ερ

ecuacion que da la dependencia temporal de ρ y cuya integracion inmediataes:

ρ(x, y, z, t) = ρo(x, y, z, to)e−σε t = ρo(x, y, z, to)e−

tτ

siendo τ = ε/σ la constante de relajacion del medio, valor de t que corres-ponde a una caıda de 1/e (63%).

En esta solucion, ρo(x, y, z, t) es el valor de la densidad cubica de carga enel punto (x, y, z) en el instante inicial t = 0. Pero este resultado nos diceque, salvo el caso extremo de un aislante rigurosamente perfecto, en que σsea identicamente nulo, la densidad cubica de carga tiende a anularse en eltranscurso del tiempo, siendo tanto mas rapida esta tendencia cuanto menorsea la cte. τ . P. ej. para el Cobre (conductor), τ = 1.5 · 10−17 s y para elcuarzo (aislante) τ = 20 dıas.

En consecuencia, salvo si en un instante determinado creamos voluntaria-mente una densidad cubica de carga, su evolucion temporal sera continua-mente decreciente y esta disminucion sera un proceso que se habra iniciadoen el comienzo de los tiempos. Es pues natural suponer que, por pequenoque sea σ, la densidad cubica de carga es despreciable y admitir que estadensidad es cero.

1.2 EL CAMPO

ELECTROMAGNETICOSOBRE EL CUERPOCOMPLEJO (DOMINIO DELA FRECUENCIA)

1.2.1

Soluciones estacionarias

De la misma forma que se hace en la teorıa de circuitos, cuando se trabajaen regimen permanente (soluciones estacionarias) es conveniente imponervariaciones de tipo armonico en el tiempo. En ese caso, tal y como ocurreen cualquier sistema lineal, excitaciones de entrada con la forma:

x(t) = cosωt

proporcionan salidas del tipo:

y(t) = A cos(ωt+ φ)

Dado que el seno o el coseno no son mas que combinaciones de las expo-nenciales complejas ejωt y e−jωt, es mas sencillo suponer que la senal deentrada es directamente una de estas funciones:

X(ω) = ejωt

a la que corresponde una salida

Y (ω) = H(ω)X(ω) = Aejφ · ejωt


quedando el problema caracterizado por un numero complejo H = Aejφque depende de ω. Esta notacion se conoce como fasorial. Entonces, paratrasladar al dominio del tiempo cualquier fasor basta con multiplicar porejωt y tomar la parte real, p. ej. en el caso del fasor Y :

y(t) = Re[H · ejωt]

o la parte imaginaria si nuestra referencia es el seno. En cualquier caso, estono es una limitacion de cara a trabajar con senales de variacion arbitra-ria, ya que estas se pueden expresar como suma de senos y cosenos en ωt(transformada de Fourier).Las exponenciales ejωt son autofuncio-

nes de los sistemas lineales y los autova-lores asociados son los H Todo lo visto hasta ahora para senales de una dimension, es directamente

trasladable al calculo del campo EM en regimen permanente, ya que lasecuaciones de Maxwell son un sistema lineal, con la particularidad de quelas magnitudes que manejamos son vectoriales, de forma que los fasoresson tambien vectoriales. De esta forma podemos trabajar con campos decomponentes complejas ~E que se pueden trasladar al dominio del tiemposin mas que tomar:

~E = Re[ ~E · ejωt] (1.12)

Una ventaja de este planteamiento es que la variable t y las derivadas ent desaparecen, quedando la frecuencia ω como parametro que se conocede antemano (especificado en cada caso). P. ej. si imponemos este tipo desolucion a la ecuacion del rotacional de ~E y trabajamos en el cuerpo complejo(o dominio de la frecuencia), tendremos:

∇×Re[ ~Eejωt] = − ∂

∂t(Re[ ~Bejωt])

Re[∇× ~Eejωt] = Re[− ∂

∂t( ~Bejωt]) = Re[−jωt ~Bejωt]

que, de forma compacta, se enscribe en el cuerpo complejo como:

∇× ~E = −jω ~B

y tenemos una ecuacion que relaciona directamente los fasores complejos ~Ey ~B a partir de los cuales se pueden calcular los campos en el dominio deltiempo ~E y ~B aplicando ecuaciones del tipo (1.12).El planteamiento presentado es equiva-

lente a trabajar directamente con lastransformadas de Fourier de las ecuacio-nes y los campos

Entonces, el sistema de las ecuaciones de Maxwell junto con las relacionescostitutivas del medio y las condiciones de contorno expresado en el cuerpocomplejo es:

∇× ~H = ~J + jω ~D (1.13)

∇× ~E = −jωµ ~H (1.14)

∇ · ~D = 0 (1.15)

∇ · ~B = 0 (1.16)~J = σ ~E (1.17)~D = ε ~E (1.18)~B = µ ~H (1.19)

(1.20)

1.2. El campo electromagnetico sobre el cuerpo complejo (dominio de la frecuencia) 37

junto con las condiciones de contorno:

n · ( ~D2 − ~D1) = ρs (1.21)

n · ( ~B2 − ~B1) = 0 (1.22)

n · ( ~J2 − ~J1) = −jωρs (1.23)

n× ( ~H2 − ~H1) = ~Js (1.24)

n× ( ~E2 − ~E1) = 0 (1.25)

y resuelto el problema planteado por estas ecuaciones, se obtienen las versio-nes de los campos en el dominio del tiempo tomando la parte real o imagariade cada vector multiplicado por ejωt.

Si existieran densidades de corrientes debidas a fuerzas no electromagneti-cas, y por tanto independientes del campo, la ecuacion (1.13) se escribirıa:

∇× ~H = ~Jext + ~J + jω ~D

1.2.2

Medio material de conductividad infinita. Condiciones de contorno en lafrontera con otro medio

Las condiciones de contorno aplicables en este caso son:

n · ~B2 = 0 ⇐⇒ n · ~H2 = 0 (1.26)

n× ~E2 = 0 (1.27)

n× ~H2 = ~Js (1.28)

Puesto que las partes reales e imaginarias de ~E2 y ~H2 satisfacen a (1.26) y(1.27), podemos traducir en palabras tales ecuaciones diciendo que en lospuntos infinitamente proximos a un medio que sea conductor perfecto, loscampos complejos electrico y magnetico deben ser respectivamente normaly tangencial a la superficie que limita dicho medio.

1.2.3

Medio material de conductividad nula (aislante perfecto)

Las ecuaciones correspondientes a un medio material de tal caracterısticase deducen del sistema anterior sin mas que anular la conductividad σ delmedio en cuestion.

1.2.4

Medio conductor no perfecto

Es interesante hacer observar que si para un medio conductor, pero noperfecto, hacemos en el sistema de ecuaciones la sustitucion

σ + jωε = jωεc

las nuevas ecuaciones con esta nueva permitividad son las correspondientesa un medio aislante. En consecuencia, si el medio es conductor, podemostratarlo como aislante de permitividad compleja εc(εc ∈ C) mediante:


εc = ε− jσ

ωNotar que la parte imaginaria de εc esnegativa que se suele expresar como:

εc = ε[1− j

σ

ωε

]De esta forma, el sistema de las ecuaciones de Maxwell en medios ho-mogeneos, lineales y con perdidas se puede escribir tambien como:

∇× ~H = jωεc ~E

∇× ~E = −jωµ ~H

junto con las condiciones de contorno, que pueden reagruparse como:

n · [εc2 ~E2 − εc1 ~E1] = 0 (1.29)

n · [µ2~H2 − µ1

~H1] = 0 (1.30)

n× [ ~E2 − ~E1] = 0 (1.31)

en medios lineales y homogeneos.

Como puede observarse, la parte imaginaria de la permitividad complejaesta relacionada con la conductividad y por lo tanto, con las corrientes deconduccion y las perdidas por efecto Joule.

A frecuencias altas, por encima de los GHz, existe otro mecanismo por elcual pueden aparecer perdidas o lo que es lo mismo, parte imaginaria enεc. Este tiene que ver con calentamiento del material debido al amortigua-miento de las vibraciones de los dipolos e iones de que esta constituido(microscopico). Esto equivale a decir que los vectores ~D y ~E no son direc-tamente proporcionales (es decir, estan en fase), sino que aparece un ciertoretardo o desfasaje entre ellos que es mas sencillo de expresar en el dominiode la frecuencia mediante una parte imaginaria ε′′:

~D = (ε′ − jε′′) ~E = [ε′(f)− jε′′(f)] ~E =√ε′2 + ε′′2 e−jφ ~E

Para tener en cuenta este efecto se debe anadir un nuevo sumando a εc:

εc = ε′ − jε′′ − jσ

ω

En la practica, las perdidas debidas a σ y las debidas a ε′′ son indistinguibles.Por ello, una cantidad de interes y ademas medible, relacionada con estaexpresion, es la conocida como tangente de perdidas electricas del materialque se define como:

tan δ =ωε′′ + σ

ωε′

de forma que se verifica:Un material con perdidas es aquel en elque tan δ 6= 0

εc = ε(1− j tan δ)

que en funcion de la permitividad relativa εr resulta:

εc = εrεo(1− j tan δ)

donde εo es la permitividad del vacıo. Finalmente, hay que destacar que~D = (ε′ − jε′′) ~E 6= εc ~E.Un mismo medio material puede ser ais-

lante a unas frecuencias y conductor aotras

1.3. Energıa y potencia en los campos electromagneticos reales y complejos. Vector de Poynting 39

Por ultimo, hay que senalar que aunque con campos estaticos se puedendividir los materiales en conductores y aislantes dependiendo de la cte. derelajacion τ , no ocurre lo mismo en la electrodinamica. No obstante, esposible establecer un criterio, que dependera de la frecuencia, segun el cualse considera (analizando el termino jωεc ~E en la ecuacion del rotacional de~H):

Conductor: aquel medio en el cual predomina la corriente de conduc-cion sobre la de desplazamiento (predomina la parte imaginaria enεc):

σ + ωε′′(f) >> ωε′(f)

Aislante (dielectrico): aquel medio en el cual predomina la corrientede desplazamiento sobre la de conduccion (predomina la parte real enεc):

ωε′(f) >> σ + ωε′′(f)

1.3 ENERGIA Y POTENCIAEN LOS CAMPOSELECTROMAGNETICOSREALES Y COMPLEJOS.VECTOR DE POYNTING

1.3.1

Introduccion

El estudio electromagnetico se inicia con la electrostatica y sus definicio-nes de carga electrica y campo electrico, ligadas entre sı por el conceptomecanico de fuerza. Dada una distribucion estatica de cargas sobre conduc-tores, puede obtenerse energıa mecanica de esta distribucion por alteracionde la misma o por desplazamiento de los conductores. En consecuencia, ala configuracion estatica en cuestion le corresponde una energıa mecanicapotencial, de origen electrico, denominada energıa electrostatica.

Para evaluarla se extiende el principio de conservacion de la energıa, queincluıa ya las energıa mecanica y calorıfica, a este nuevo tipo y se calcula lacorrespondiente a una distribucion estatica de cargas, partiendo de la basede que sera igual a la energıa mecanica que hay que gastar para llegar aesa configuracion desde otra energıa nula, siempre que no hayan aparecidoenergıas de los tipos ya conocidos, mecanica y calorıfica.

Para hacer este calculo se elige arbitrariamente como configuracion de energıanula la que presenta ausencia total de cargas electricas a distancia finita delos conductores, estando tales cargas a distancia infinita. Esta afirmacionno es objetable, dado que solo estaremos interesados en conocer diferenciasde energıa y no sus valores absolutos.

Pero si es discutible la hipotesis posterior, en la que se afirma que la energıaalmacenada en el estado final, conseguido a base de traer las cargas desdeel infinito hasta los conductores, no depende del modo como se haga esteaporte de cargas, siempre que se tomen las precauciones necesarias para queno aparezcan energıas indeseadas.

Como no hay posibilidad matematica de demostrar esta hipotesis, hay queintroducirla en forma de postulado, que afirma en esencia que la energıaelectrostatica del sistema es una energıa potencial.

Para evitar la aparicion de energıas de otro tipo hay que traer las cargasen cantidades infinitamente pequenas, desplazandolas ademas de modo quepasen por una sucesion indefinida de estados de equilibrio, lo que requiere


un tiempo infinitamente grande y Se demuestra que esta energıa es iguala una integral de volumen extendida a todos los puntos del espacio en queexistan los vectores ~E y ~D ˆ

V

Udv

en la que aparece una densidad cubica de energıa U que vale

U =~E · ~D

2(1.32)

si el medio es homogeneo e isotropo.

La idea general de Maxwell consistio en postular que este resultado ma-tematico era la traduccion de una realidad fısica, la del almacenamiento dela energıa en el medio asilante exterior a los conductores, en los puntos delespacio donde existan ~E y ~D, en lugar de estar concentrada en donde eralogico suponer, en las cargas llevadas a los conductores.

Esta idea, de la que se desprendieron la definicion de campo, la sustitucionde la accion a distancia entre cargas por la de accion del campo sobre lacarga y la del retardo inherente al tiempo necesario para la propagacion deeste campo, demostro ser acertada al comprobarse dicho retardo.

Pero nada autoriza matematicamente a afirmar que si la energıa total es laintegral del volumen anterior, el elemento de volumen dv contribuye con lacantidad UdV , o, lo que es igual, que en el elemento dv esta almacenadala energıa UdV . Es la hipotesis mas sencilla, pero no la unica posible, yaque conocido el valor de una integral de volumen, hay infinitas cantidadessubintegrales que conducen al mismo valor. Basta, por ejemplo, agregar ala integral anterior otra, extendida al mismo volumen y que valga cero, sinque sea identicamente nula la cantidad subintegral, para que tuviesemosdistinta distribucion local de la densidad de energıa. Cumple esta condicionla divergencia de cualquier campo vectorial de flujo total nulo a traves delas superficies de los conductores y de la superficie que delimite el campo adistancia infinita.

Las mismas objecciones se presentan a proposito del razonamiento, analogoal anterior, que lleva a afirmar que la energıa magnetostatica esta almace-nada en el medio con una densidad:

W =~H · ~B

2(1.33)

si el medio es homogeneo e isotropo.

Dificultades parecidas se oponen al rigor de la deduccion de la formulaque establece la densidad de energıa por unidad de tiempo que se disipa enforma calorıfica en un medio material conductor recorrido por una corrienteestacionaria caracterizada por una densidad de corriente ~J

q = ~E · ~J (1.34)

1.3.2

Energıa y potencia en el campo electromagnetico real. Vector de Poyn-ting

A pesar de que como ya hemos dicho antes, los razonamientos seguidos paradeducir U , W y q se han hecho para fenomenos estacionarios y nada justifica


extenderlos a los variables, vamos a postular que tambien en este caso sonvalidos los resultados obtenidos. Es decir, supondremos que, cualquiera quesean el campo existente y su variacion temporal, la energıa electromagneticaesta almacenada en el medio, parte en forma de energıa electrostatica, condensidad (1.32) y el resto en magnetostatica, con densidad (1.33), teniendoademas lugar la disipacion calorıfica local (1.34) si el medio es conductor.

Con estos postulados previos, pasaremos a presentar la interpretacion energeti-ca de una ecuacion local y de su correspondiente forma integral, ambasdeducidas por Poynting a partir de las ecuaciones de Maxwell.

Si de la igualdad deducida al multiplicar escalarmente (1.2) por ~H restamosmiembro a miembro el resultado de multiplicar (1.1) por ~E , obtenemos:

~H(·∇ × ~E)− ~E(·∇ × ~H) = − ~H · ∂~B∂t− ~E · ~J − ~E · ∂

~D∂t

Agrupando convenientemente los terminos y teniendo en cuenta la identidadvectorial:

∇ · ( ~A× ~B) = ~B · ∇ × ~A− ~A · ∇ × ~B

llegamos a

∇ · (~E × ~H) + ~E · ~J = −~E · ∂~D∂t

− ~H · ∂~B∂t

(1.35)

Multiplicando los dos miembros de esta igualdad por el elemento de volumende dv e integrando el resultado para un volumen cualquiera V , llegamos a :

ˆV

∇ · (~E × ~H)dv +ˆV

~E · ~J dv = −ˆV

~E · ∂~D∂tdv −

ˆV

~H · ∂~B∂tdv

Si el volumen V y su superficie exterior Σ cumplen las condiciones que per-miten aplicar el teorema de Gauss, podemos transformar la primera integralde volumen de la igualdad anterior en la integral sobre Σ del flhjo del vector(~E × ~H). Con esta transformacion:

˛Σ

∇ · (~E × ~H)d~s+ˆV

~E · ~J dv = −ˆV

~E · ∂~D∂tdv −

ˆV

~H · ∂~B∂tdv (1.36)

siendo d~s el vector normal a Σ correspondiente al area elemental ds y diri-gido hacia el exterior de V .

Debemos resaltar al llegar a este punto que (1.35) es rigurosamente validaen todos los puntos del espacio, si para ellos hemos postulado la validezde las ecuaciones de Maxwell, y que otro tanto le ocurre a (1.36), con laresticcion de que se satisfagan las condiciones necesarias para la aplicaciondel teorema de Gauss al volumen V .

Este rigor matematico va a desaparecer en la interpretacion energetica de(1.36) que vamos a hacer a continuacion. La energıa electromagnetica Wem

contenida en el interior de V en un instante cualquiera valdra, de acuerdocon la postulacion hecha:

Wem =ˆV

~E · ~D2

dv +ˆV

~H · ~B2

dv

y, asumiendo un medio homogeneo e isotropo, su incremento en un intervalo


de tiempo infinitamente pequeno ∆t sera:

∆Wem =∂Wem

∂t∆t =

∂

∂t

[ˆV

~E · ~D2

dv +ˆV

~H · ~B2

dv

]∆t =[ˆ

V

∂

∂t

(~E · ~D

2

)dv +

ˆV

∂

∂t

(~H · ~B

2

)dv+

]∆t

si suponemos que V no varıa en el transcurso del tiempo.

Puesto que:

∂

∂t

(~E · ~D

2

)=

∂

∂t

(ε~E · ~E2

)=ε

2

(~E · ∂

~E∂t

+∂~E∂t· ~E

)=

ε~E · ∂~E∂t

= ~E · ∂∂t

(ε~E) = ~E · ∂~D∂t

y, analogamente,

∂

∂t

(~H · ~B

2

)= ~H · ∂

~B∂t

resultando finalmente:

∆Wem =

[ˆV

~E · ∂~D∂tdv +

ˆV

~H · ∂~B∂tdv

]∆t

En consecuencia, el segundo miembro de (1.36) multiplicado por ∆t, esigual a la variacion en dicho intervalo de tiempo, cambiada de signo, dela energıa electromagnetica almacenada en el interior de V . Teniendo encuenta el signo, sera igual a la energıa que ha desaparecido del interior deV en el mencionado intervalo de tiempo.

Por otra parte, el segundo termino del primer miembro, tambien multiplica-do por ∆t, da la energıa disipada en forma de calor en el volumen V duranteel intervalo ∆t.

Ahora bien, si postulamos que en el caso de medios materiales en reposolas unicas formas posibles de energıa son la electromagnetica y la calorıfica,la diferencia entre la desaparecida en la segunda sera una energıa que hadebido salir de V hacia otras regiones del espacio, dado que aceptamosla validez del principio de conservacion de la misma, extendido al campoelectromagnetico:

∆Wem = −[∆t˛

Σ

(~E × ~H) · d~s+ ∆tˆV

~E · ~J dv]

Entonces, lo mas natural e intuitivo es suponer que tal energıa haya salido atraves de la superficie Σ que limita V y como (1.36) nos dice que la diferenciaen cuestion vale

∆t˛

Σ

(~E × ~H) · d~s

es decir, viene dada por una integral de superficie, es logico suponer queesta integral nos da el flujo de la energıa electromagnetica a traves de Σ porunidad de tiempo (notar que esta expresion es tanto mas aproximada a laverdad cuanto menor sea la unidad de tiempo elegida).

Puesto que la energıa que fluye a traves de Σ por unidad de tiempo es unaintegral de superficie, parece natural que el elemento ds de ella contribuyaal flujo total con el valor de la cantidad superficial

(~E × ~H) · d~s

que es el flujo a taves de ds del vector

~S = ~E × ~H (1.37)

llamado Vector de Poynting. Afirmar que el flujo de ~S a traves de ds es Hemos comprobado como la energıaelectromagnetica se propaga. Mas ade-lante estudiaremos de que forma y aque velocidad ocurre este fenomeno

igual a la energıa electromagnetica que pasa a traves de dicha superficie porunidad de tiempo (o, mas correctamente, a la potencia electromagneticaque pasa a traves de ds) implica que el flujo a traves de Σ sea la primeraintegral que aparece en (1.36). Pero a identico valor de esta intensidad sellega si en vez de tomar como vector de Poynting (1.37) tomamos:

~S ′ = (~E × ~H) +∇× ~A (1.38)

siendo ~A un campo vectorial cualquiera. En efecto˛Σ

~S ′ · d~s =˛

Σ

(~E × ~H) · d~s+˛

Σ

∇× ~A · d~s

=˛

Σ

(~E × ~H) · d~s+˛V

∇ · (∇× ~A)dv =˛

Σ

(~E × ~H) · d~s

Localmente, ~S ′ es distinto de ~S y dara lugar a diferente flujo de potenciapara una superficie no cerrada.

A pesar de todo, postularemos que el flujo de ~S = ~E× ~H a traves de cualquiersuperficie, abierta o cerrada, es igual al flujo de potencia electromagneticaa traves de la misma, apoyandonos en dos circunstancias:

es el vector mas sencillo

hasta ahora, no ha llevado a ninguna contradiccion con la experiencia

1.3.3

Energıa y potencia en el campo electromagnetico complejo. Vector dePoynting complejo

Aceptado el postulado anterior, si empleamos la formulacion compleja, elflujo instantaneo de potencia a traves de una superficie Σ valdra:˛

Σ

[Re( ~Eejωt)×Re( ~Hejωt)] · d~s

cantidad que varıa periodicamente con el tiempo.

En el estudio de las corrientes alternas se demuestra que no tiene interespractico, en general, el conocimiento del valor instantaneo de la potencia,siendo suficiente determinar su valor medio.

De acuerdo con lo desarrollado en el anexo B, el valor medio del vectorde Poynting real, correspondiente a una solucion compleja ~Ec, ~Hc de lasecuaciones de Maxwell, valdra:

< ~S >= Re( ~Eejωt)×Re( ~Hejωt) =12Re( ~Eejωt× ~H∗e−jωt) =

12Re( ~E× ~H∗)

(1.39)

El valor medio (1.39) es la parte real del llamado vector de Poynting com-plejo S:

S =12~E × ~H∗ (1.40)

Teniendo en cuenta la identidad vectorial compleja

∇ · ( ~A× ~B∗) = ~B∗ · ∇ × ~A− ~A∗ · ∇ × ~B

y recordando las dos primeras ecuaciones complejas de Maxwell

∇× ~H = σ ~E + jωε ~E =⇒ ∇× ~H∗ = σ ~E∗ − jωε ~E∗

obtenemos

∇ · S =12∇ · ( ~E × ~H∗) =

12[ ~H∗ · ∇ × ~E − ~E · ∇ × ~H∗] =

−12σ ~E · ~E∗ +

12jωε ~E · ~E∗ − 1

2jωµ ~H · ~H∗

(1.41)

Analicemos los terminos del segundo miembro. Recordemos que en el camporeal tenıamos:

q = ~E · ~J = σ~E · ~E= Densidad de disipacion de potencia en el medio

U = 1/2~E · ~D = 1/2ε~E · ~E= Densidad de energıa electrica almacenadaen el medio

W = 1/2 ~H · ~B = 1/2ε ~H · ~H= Densidad de energıa magnetica almace-nada en el medio

Si hemos hallado la solucion ~E, ~H compleja de las ecuaciones de Maxwell,los valores que tienen en la realidad fısica q, U , W seran

q =σRe( ~Eejωt) ·Re( ~Eejωt)

U =12εRe( ~Eejωt) ·Re( ~Eejωt)

W =12µRe( ~Hejωt) ·Re( ~Hejωt)

Y teniendo en cuenta (B.1) que σ, ε y µ son constantes en el tiempo y que~E · ~E∗ y ~H · ~H∗ son numeros reales, obtenemos los valores medios:

< q >= < σRe( ~Eejωt) ·Re( ~Eejωt) >=12σ ~E · ~E∗

= <12εRe( ~Eejωt) ·Re( ~Eejωt) >=

14ε ~E · ~E∗

< W >= <12µRe( ~Hejωt) ·Re( ~Hejωt) >=

14µ ~H · ~H∗

Sustituyendo estos resultados en (1.41)

∇ · S = − < q > +2jω[ − < W >] (1.42)

Como < q >, y < W > son numeros reales,

Re(∇ · S) =∇ ·Re(S) = − < q > (1.43)

Im(∇ · S) =∇ · Im(S) = 2jω[ − < W >] (1.44)

Si multiplicamos las ecuaciones (1.43) por el elemento de volumen dv, inte-gramos los resultados para un volumen V limitado por una superficie Σ yaplicamos a las integrales de divergencia el teorema de Gauss, deducimos

Re

[˛Σ

S · d~s]

=−ˆV

< q > dv (1.45)

Im

[˛Σ

S · d~s]

=2ω[ˆ

V

 dv −ˆV

< W > dv

](1.46)

Las igualdades (1.45) dan a S categorıa de vector de uso practico, si bienla interpretacion es un poco mas complicada que en la version equivalenteen el dominio del tiempo. Estas ecuaciones indican que:

A. La parte real, cambiada de signo, del flujo de S a traves de una super-ficie cerrada Σ cualquiera y hacia su exterior es igual al valor medio dela potencia disipada en efecto Joule dentro de Σ. Si no existen fuen-tes de campo, la potencia neta que entra en V se disipa en el mediomaterial.

B. La parte imaginaria del flujo de S a traves de una superficie cerradaΣ cualquiera y hacia su exterior es igual al doble del producto de lapulsacion del campo por la diferencia entre los valores medios de lasenergıas electrica y magnetica almacenadas en el interior de Σ

Resuelto ası en el campo complejo las cuestiones relativas a la energıa ypotencia en volumenes cerrados, queda todavıa pendiente la del flujo depotencia a traves de una superficie, abierta o cerrada. Puesto que hemospostulado que la potencia que pasa a traves de una superficie abierta es igualal flujo a traves de ella del vector de Poynting real, si queremos calcular lacitada potencia, cuando se ha planteado y resuelto un problema en el campocomplejo, tendremos que utilizar:

= Re[ˆ

Σ

S · d~s]

=12Re[ˆ

Σ

~E × ~H∗ · d~s]

Podemos resumir este resultado diciendo que, en el campo complejo, el valormedio de la potencia electromagnetica que pasa a traves de una superficieΣ, abierta o cerrada, es igual a la parte real del flujo del vector de Poyntingcomplejo, S, a traves de dicha superficie.

1.4 EJERCICIOS 1. 14 El plano z = 0 de un sistema cartesiano de referencia constitu-ye la frontera entre dos medios dielectricos de permitividades ε1 y ε2 res-pectivamente. Se mide el campo electrico sobre dicho plano en el lado 1obteniendose:

~E1 = E1(x+ y + z)

A. ¿Cuanto vale ~E2 en el plano al otro lado de la discontinuidad?

B. ¿Que densidad superficial de carga habrıa que depositar en la separa-cion de los dielectricos para que el campo tuviese el mismo valor enambos medios?

Sol : A) ~E2 = ~E1(x+ y + ε1ε2z); B) ρs = (ε2 − ε1)E1

1. 15 Expresar fasorialmente el campo ~E = 2 cos(ωt+ π/4)x.

Sol : ~A = 2ejπ/4x

1. 16 Calcular el vector ~D en el seno de un medio material con ε′r = 10 yε′′r = 0.1 sabiendo que ~E = x.

Sol : ~D = 10εo cos(ωt− 9.9 · 10−3)x

1. 17 Calcula el vector densidad de corriente lineal en la superficie de unconductor perfecto sobre la que incide de forma normal un campo electro-magnetico tal que ~H = Ho(x+ y).

Sol : ~Js = Ho(−x+ y)

1. 18 Calcular el vector de Poynting real y complejo del campo:

~E = Eo cos(ωt− kz)x

~H =√ε

µEo cos(ωt− kz)y

y la potencia que atravesara una superficie cuadrada de 1m de lado situadaen el plano z = 0.

Sol : A) ~S =√

εµE

2o [

12 + 1

2 cos 2(ωt − kz)]z; B) < ~S >=√

εµE2

o

2 z; C) S =√εµE2

o

2 z; D) P =√

εµE2

o

2

1. 19 Calcular el vector de Poynting correspondiente al campo:

~E = Eoe−jkr

rθ

~H =Eoηo

e−jkr

rφ

ası como la potencia que fluye a traves de una superficie de radio R centradaen el origen de coordenadas.

Sol : A) S = E2o

2ηo

1r2 r; B) P = 2π

ηo|Eo|2

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