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Introducción Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones. Las redes de transporte, eléctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria. La representación de redes se utiliza de manera amplia en áreas tan diversas como producción, distribución, planeación de proyectos, localización de instalaciones, administración de recursos y planeación financiera, por mencionar solo algunos ejemplos. En realidad, una representación de redes proporciona un poderoso apoyo visual y conceptual para mostrar las relaciones entre las componentes de los sistemas, de tal modo que se usa casi en todos los ámbitos científicos, sociales y económicos.

Uno de los mayores desarrollos recientes en investigación de operaciones (IO) ha sido el rápido avance tanto en la metodología como en la aplicación de los modelos de optimización de redes. La aparición de algunos algoritmos ha tenido un efecto importante, al igual que las ideas de ciencias de la computación acerca de estructuras de datos y la manipulación eficiente de éstos. En la actualidad se dispone de algoritmos y paquetes de computadora que se usan en forma rutinaria para resolver problemas muy grandes que no se habrían podido manejar hace dos o tres décadas.

Muchos modelos de optimización de redes son en realidad tipos especiales de problemas de programación lineal. Por ejemplo, tanto el problema de transporte como el de asignación, que se presentaron en el capítulo anterior, pertenecen a esta categoría debido a su representación mediante una red.

Uno de los ejemplos de programación lineal que se presentó en la sección 3.4 también es un problema de optimización de redes. Éste es el ejemplo de la Distribution Unlimited Co, que desea saber cómo repartir sus bienes en la red de distribución que se muestra en la figura 6.13. Este tipo especial de problema de programación lineal, llamado de flujo de costo mínimo se presenta en la sección 9.6. Se volverá a analizar este ejemplo en particular en esa sección y después se resolverá con la metodología de redes en la sección siguiente.

En este capítulo solo serán planteadas las bases de la metodología de redes actual. Sin embargo, se presentará una introducción a cinco tipos importantes de problemas de redes y algunas ideas básicas sobre cómo resolverlos (sin profundizar en los aspectos de estructuras de bases de datos, tan vitales para la aplicación exitosa en los problemas a gran escala). Los tres primeros tipos de problemas el de la ruta más corta, el del árbol de mínima expansión y el del flujo máximo tienen una estructura específica que surge con frecuencia en la práctica.

El cuarto tipo problema del flujo de costo mínimo proporciona un enfoque unificado de muchas otras aplicaciones debido a su estructura mucho más general. Esta estructura es tan general que incluye como casos especiales el problema de la ruta más corta y el de flujo máximo, al igual que los problemas de transporte y de asignación del capítulo 8. En razón de que el problema del flujo de costo mínimo es un tipo especial de problema de programación lineal, se puede resolver en forma eficiente mediante una versión simplificada del método símplex llamada método símplex de redes. (No se presentarán problemas de redes aún más generales cuya solución es más complicada). El quinto tipo de problemas de redes que se considera aquí implica la determinación del modo más económico de realizar un proyecto de forma que éste pueda terminarse en su fecha límite. Se utiliza una técnica llamada método CPM de trueques entre tiempo y costo para formular un modelo de red del proyecto y los trueques entre tiempo y costo para sus actividades. Después se utiliza el análisis de costo marginal o la programación lineal para resolver el plan de proyecto óptimo.

Asesoría didáctica Durante este primer periodo usted revisará los capítulos 6 y 10, del texto guía Introducción a la Investigación de Operaciones, contenido que le servirá para desarrollar la actividad. Adicionalmente, usted dispondrá de ejemplos relacionados con el tema de estudio en esta asesoría. La técnica del árbol de expansión mínima implica conectar todos los puntos de una red al mismo tiempo que se minimiza la distancia entre ellos. Ha sido aplicada, por ejemplo, por compañías

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telefónicas para conectar varios teléfonos entre sí al mismo tiempo que se minimiza la longitud total del cableado necesario. Considere la de Lauderdale Construction Company, la que en la actualidad está desarrollando un lujoso proyecto residencial en Panamá City Beach, Florida. Melvin Lauderdale, propietario y presidente de Lauderdale Construction, debe determinar la forma más barata de suministrar agua y electricidad a cada casa. La red de casas se muestra en la figura 10.1. Como se ve en esa figura, hay ocho casas en el golfo. La distancia entre cada una de ellas en cientos de pies se muestra en la red. La distancia entre la casa 1 y 2, por ejemplo, es de 300 pies. (Se coloca un 3 entre los nodos 1 y 2). Ahora, se utiliza la técnica del árbol de expansión mínima para determinar la distancia mínima que puede ser utilizada para conectar todos los nodos. El método se describe como sigue: Pasos de la técnica del árbol de expansión mínima

1. Seleccionar cualquier nodo de la red. 2. Conectar este nodo al nodo más cercano que minimice la distancia total. 3. Considerando todos los nodos que ahora están conectados, encontrar y conectar el nodo más

cercano que no esté conectado. Si hay un empate para el nodo más cercano, seleccionar uno arbitrariamente. Un empate sugiere que puede haber más de una solución óptima.

4. Repetir el tercer paso hasta que todos los nodos estén conectados.

Técnica del flujo máximo Cuatro pasos de la técnica de flujo máximo

1. Elija cualquier trayectoria del inicio (origen) a la terminación (destino) con algo de flujo. Si no existe ninguna trayectoria con flujo, entonces se llegó a la solución óptima.

2. Localice el arco en la trayectoria con la capacidad del flujo más pequeña disponible. Llame C a

esta capacidad. Ésta representa la capacidad máxima adicional que puede ser asignada a esta ruta.

3. Por cada nodo que haya en esta trayectoria, disminuye la capacidad de flujo en la dirección

del flujo en la cantidad C. Por cada nodo que haya en esta trayectoria, incremente la capacidad de flujo en la dirección inversa en la cantidad C.

4. Repita estos pasos hasta que ya no sea posible incrementar el flujo.

Técnica de la ruta más corta La técnica de la ruta más corta señala la forma en que una persona o artículo puede viajar de un lugar a otro al mismo tiempo que se minimiza la distancia total recorrida. En otras palabras, encuentra la ruta más corta una serie de destinos. Todos los días, Ray Desing, Inc, transporta camas, sillas y otros muebles de la fábrica al almacén. Esto implica pasar por varias ciudades. Ray desea encontrar la ruta de menor extensión. Pasos de la técnica de la ruta más corta

1. Encuentre el nodo más cercano al origen. Coloque la distancia en una casilla junto al nodo. 2. Encuentre el siguiente nodo más cercano al origen (planta) y coloque la distancia en una

casilla junto al nodo. En algunos casos, se tendrán que revisar varias trayectorias para encontrar el nodo más cercano

3. Repita este proceso hasta que haya recorrido toda la red. La última distancia en el nodo final

será la distancia de la ruta más corta. Es de notar que la distancia colocada en la casilla junto

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a cada nodo es la ruta más corta a este nodo. Se utilizan estas distancias como resultados intermedios para encontrar el siguiente nodo más cercano.

Algoritmo de la ruta más corta

Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. (Este paso se repetirá paran n =1, 2 hasta que el n-ésimo nodo más cercano sea el nodo destino.)

Datos de la n-ésima iteración: n -1 nodos más cercanos al origen - que se encontró en las iteraciones previas, incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos; el resto son nodos no resueltos.)

Candidatos para n-ésimo nodo más cercano: cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, esto es, el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.)

Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano los empates proporcionan nodos resueltos adicionales, y su ruta más corta es la que genera esta distancia.

Aplicación de este algoritmo al problema de la ruta más corta de Seervada Park

La administración de Seervada Park necesita encontrar la ruta más corta desde la entrada del parque (nodo O) hasta el mirador (nodo T) a través del sistema de caminos que se presenta en la figura 9.1. En la tabla 9.2 se encuentran los resultados que se obtuvieron al aplicar el algoritmo anterior, donde el empate del segundo nodo más cercano permite pasar directo a buscar el cuarto nodo más cercano. La primera columna (n) indica el número de la iteración. La segunda proporciona una lista de los nodos resueltos para comenzar la iteración actual, después de quitar los que no sirven (los que no tienen conexión directa con nodos no resueltos).

PROBLEMA DEL ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA

El problema del árbol de expansión mínima tiene algunas similitudes con la versión principal del problema de la ruta más corta que se presentó en la sección anterior. En ambos casos se considera una red no dirigida y conexa, en la que la información dada incluye alguna medida de longitud positiva distancia, costo, tiempo, etc. asociada con cada ligadura. Los dos problemas involucran también el hecho de seleccionar un conjunto de ligaduras con la longitud total más corta entre todos los conjuntos de ligaduras que satisfacen cierta propiedad. En el caso del problema de la ruta más corta, esta propiedad es que la ligadura seleccionada debe proporcionar una trayectoria entre el origen y el destino. Para el árbol de expansión mínima la propiedad que se requiere es que las ligaduras seleccionadas deben proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos.

El problema del árbol de expansión mínima se puede resumir de la siguiente manera:

1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva de cada una si se insertan en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.)

2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos.

3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red.

Una red con n nodos requiere de solo (n - 1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. No deben usarse más ligaduras puesto que ello aumentaría, sin necesidad, la longitud total de las ligaduras seleccionadas. Las (n - 1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante con solo las ligaduras seleccionadas forme un árbol de expansión, según la definición que

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se presentó en la sección 9.2. Por lo tanto, el problema es encontrar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.

La figura 9.5 ilustra el concepto de árbol de expansión del problema de Seervada Park (sección 9.1). La figura 9.5a no es un árbol de expansión, pues los nodos O, A, B y C no están conectados con los nodos D, E y T. Se necesita una ligadura más para hacer esta conexión. En realidad, esta red consta de dos árboles, uno para cada uno de estos dos conjuntos de nodos. Las ligaduras de la figura 9.5b sí se expanden por toda la red es decir, es una gráfica conexa según la definición de la sección 9.2, pero no es un árbol porque tiene dos ciclos (O-A-B-C-O y D-T-E-D), esto es, tiene demasiadas ligaduras. Como el problema de Seervada Park tiene n = 7 nodos, en la sección 9.2 se indicó que una red debe tener exactamente n - 1 = 6 ligaduras y ningún ciclo para calificar como árbol de expansión. Esta condición se logra en la figura 9.5c, por lo que esta red es una solución factible con una longitud total de 24 millas en las ramas o ligaduras para el problema del árbol de expansión mínima. (Se verá que esta solución no es óptima, puesto que es posible construir un árbol de expansión con solo 14 millas en sus ramas.)

Algunas aplicaciones

A continuación se proporciona una lista de algunos tipos importantes de aplicaciones de este problema.

1. Diseño de redes de telecomunicación (redes de fibra óptica, de computadoras, telefónica, de televisión por cable, etcétera).

2. Diseño de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras (vías ferroviarias, carreteras, etcétera).

3. Diseño de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje.

4. Diseño de una red de cableado de equipo eléctrico como sistemas de cómputo para minimizar la longitud total de cable.

5. Diseño de una red de tuberías para conectar varias localidades.

En esta era de la supercarretera de la información, las aplicaciones del primer tipo han cobrado una importancia especial, pues en una red de telecomunicaciones solo es necesario insertar suficientes ligaduras para que proporcionen una trayectoria entre cada par de nodos, de modo que el diseño de tales redes es una aplicación clásica del problema del árbol de expansión mínima. Debido a que en la actualidad algunas redes de comunicación cuestan muchos millones de dólares, es muy importante optimizar su diseño al encontrar el árbol de expansión mínima.

• FIGURA 9.5 Ilustración del definición del árbol de expansión mínima del problema de Seervada Park: a) no es un árbol de expansión; b) no es un árbol de expansión;

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Formulación del modelo

Considere una red conexa dirigida en la que los o nodos incluyen al menos un nodo origen y un nodo destino. Las variables de decisión son

Flujo a través del arco i - j,

Y la información dada incluye

=ijc Costo de oportunidad de flujo a través del arco ji →

=iju Capacidad del arco ji →

=ib Flujo neto generado por el nodo i

El valor de ib . Depende de la naturaleza del nodo i, donde

0>ib Si i es un nodo fuerte,

0<ib Si i es un nodo demanda,

0=ib Si es un nodo de trasbordo.

El objetivo es minimizar el costo total de enviar los recursos disponibles a través de la red para satisfacer la demanda.

Si se usa la convención de que las sumas se toman solo sobre arcos existentes, la formulación de programación lineal de este problema es la primera suma de las restricciones de los nodos representa el flujo total que sale del nodo i mientras que la segunda representa el flujo total que entra al nodo i; por tanto, la diferencia es el flujo neto generado en este nodo.

Minimizar ∑∑= =

=n

i

n

jijij xcZ

1 1,

Sujeta a:

∑ ∑= =

=−n

j

n

jijiij bxx

1 1, Para cada nodo i,

Y

,0 ijij ux ≤≤ Para cada arco .ji →

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El patrón de los coeficientes de estas restricciones de nodo es una característica importante de los problemas de flujo de costo mínimo. No siempre es fácil reconocer un problema de flujo de costo mínimo, pero al formular (o reformular) un problema de manera que sus coeficientes de restricción tengan este patrón es una buena forma de hacerlo. Lo anterior permite resolver el problema de manera muy eficiente mediante el método símplex de redes.

En algunas aplicaciones es necesario tener una cota inferior 0>ijL para el flujo que pasa por cada

arco .ji → . Cuando esto ocurre se hace una conversión de variables, ,´ijijij Lxx −= donde ijx se

sustituye por ijij Lx +´ en todo el modelo, a fin de ajustarlo al formato anterior con restricciones de no

negatividad.

No se garantiza que el problema tenga soluciones factibles, pues esto depende en parte de qué arcos están presentes en la red y de sus capacidades. De cualquier manera, para una red diseñada en forma razonable, la condición necesaria más importante es la siguiente.

Propiedad de soluciones factibles: una condición necesaria para que un problema de flujo de costo mínimo tenga soluciones factibles es que

∑=

=n

iib

1.0

Es decir, que el flujo total generado por los nodos origen es igual al flujo total absorbido por los nodos destino.

Si los valores de ib , que se dan en alguna aplicación violan esta condición, la interpretación más

común es que los recursos o las demandas lo que se tenga en exceso representan en realidad cotas superiores y no cantidades exactas. Cuando esta situación surgió en el problema de transporte de la sección 8.1, se agregó un destino ficticio para recibir los recursos que sobraban o bien se añadió un origen ficticio para enviar el exceso de demanda.

El paso análogo es agregar un nodo de demanda ficticio para absorber el exceso de recursos se agregan arcos con 0=ijc desde todos los nodos origen hasta este nodo, o bien agregar un nodo

origen ficticio para generar un flujo equivalente al exceso de demanda se agregan arcos con 0=ijc

de este nodo a todos los nodos de demanda.

En muchas aplicaciones, las cantidades ib y iju tendrán valores enteros y la solución requerirá que

las cantidades de flujo ijx también sean enteras. Por fortuna, igual que para el problema de

transporte, este tipo de solución está garantizada sin tener que establecer restricciones enteras de manera explícita sobre las variables. Esto se debe a la siguiente propiedad.

Formulación. Este problema requiere tomar tres decisiones interrelacionadas: cuantas brigadas conviene asignar a cada uno de los tres países. A pesar de que no existe una secuencia fija, estos tres países se pueden considerar como las tres etapas en la formulación de programación dinámica. Las variables de decisión (n=1, 2,3) son el numero de brigadas que se asignan a la etapa (país) n. La identificación de los estados puede no ser tan evidente. Para determinarlos se hacen preguntas como las siguientes. ¿Qué es lo que cambia de una etapa a la otra? Dado que se han tomado las decisiones en las etapas anteriores, ¿Cómo se puede describir el estado de la situación? ¿Qué información sobre el estado actual de las cosas se necesita para determinar la política optima de aquí en adelante? Con esta base, una opción apropiada para “el desarrollo del sistema” es numero de brigadas medicas todavía disponibles para ser asignadas a los países restantes (n…………,3). Así, en la etapa 1 (país 1), cuando todavía quedan por asignar brigadas a los tres países, =5

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Sin embargo, en las etapas 2 o 3 (países 2 o 3), es exactamente 5 menos el numero de brigadas asignadas en etapas anteriores, de manera que la secuencia de estados es

=5 =5-x = - . Debido al procedimiento de programación dinámica que resuelve hacia atrás etapa por etapa, cuando se trabaja e la etapa 2 o 3 todavía no se han obtenido las asignaciones de las etapas anteriores. Por tanto, se deben considerar todos los estados posibles al iniciar la etapa 2 o 3, es decir, =0, 1, 2, 3, 4 o 5. En la figura 10.4 se muestran los estados que deben considerarse en cada etapa. Las ligaduras (segmentos de recta) indican las transiciones posibles de estados de una etapa ala siguiente después de hacer una asignación factible de brigadas médicas al país en cuestión. Los números al lado de las ligaduras son las contribuciones correspondientes a la medida de desempeño, los cuales se tomaron de la tabla 10.1. Desde la perspectiva de esta figura, el problema global es encontrar la trayectoria del estado inicial 5 (inicio de la etapa 1) al estado final 0 (después de la etapa 3) que maximice la suma de los números a lo largo de la ruta. Para establecer el problema completo en forma matemática, sea ( ) la medida de desempeño que se obtiene si se asignan brigadas medicas al país i según los datos de la tabla 10.1. Entonces, el objetivo es elegir y para

Maximizar ), Sujeta a

=5, Y Las son enteros no negativos Si se usa la notación que se presento en la sección 10.2, se observa que es

= + máx ), Donde el máximo se toma sobre las tales que

= Y las son enteros no negativos, para n=1, 2,3. Además,

=

Por lo tanto,

= )+ (Con definido como cero). En la figura 10.5 se resumen estas relaciones básicas. En consecuencia, la relación recursiva que enlaza la funciones en este problema es

= , para n=1,2.

En el caso de la última etapa (n=3)

= .

A continuación se presentan los cálculos que resultan de la programación dinámica. Procedimiento de solución. A partir de la última etapa (n=3), se observa que los valores de

), incluidos en la última columna de la tabla 10.1, aumentan hacia debajo de la columna.

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Entonces si se dispone de brigadas medicas para asignar al país 3, el máximo de ) se logra de manera automática cundo se asignan todas las brigadas; así = y ( )= ), como se puede ver en la siguiente tabla. n=3:

( )

0 1 2 3 4 5

0 0 50 1 70 2 80 3 100 4 130 5

Ahora el proceso se mueve hacia atrás para comenzar la penúltima etapa (n=2). Con objetivo de determinar se necesita calcular y comparar para los distintos valores posibles de , esto es, =0,1,……….., . La siguiente grafica ilustra esta situación cuando =2.

Este diagrama corresponde a la figura 10.5, salvo que ahora se muestra los tres estados posibles en la etapa 3. Así, si =0, el estado que resulta de la etapa 3 será - =2-0=2, mientras que si =1 se llega al estado 1 y =2 conduce al estado 0. Los valores correspondientes de ) en la columna del país 2 de la tabla 10.1 se muestra junto a as ligas y los valores de ( que provienen de la tabla para n=3 y que se dan junto a los nodos de la etapa 3. Los cálculos requeridos para el caso de =2 se resumen abajo: EJEMPLO 4 Programación del nivel de empleados La carga de trabajo del LOCAL JOB SHOP está sujeta a grandes fluctuaciones que dependen de la temporada. Sin embargo, es difícil contratar y costoso capacitar a los operadores de las maquinas, por lo que el administrador rechaza la idea de despedir trabajadores durante las temporadas bajas. Tampoco quiere mantener su nomina de temporadas altas cundo no se requiere. Más aun, en forma definitiva se opone a pagar tiempo extra en forma regular. Como todos los trabajos se hacen sobre pedido, no es posible acumular un inventario durante las temporadas bajas por tanto la administración tiene que determinar cuál debe ser la política sobre los niveles de empleados. A continuación se proporcionan las estimaciones sobre la mano de obra que se requerirá durante las cuatro temporadas del año en un futuro cercano: Temporada Primavera verano otoño invierno primavera requerimientos 255 220 240 200 255

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No se permitirá que en el nivel de empleados baje de estos niveles. Cualquier contratación más alta se desperdicia con un costo aproximado de $2000 por persona por temporada. Se estima que los costos de contratación y despido son tales que el costo de cambiar el nivel de empleados de una temporada a siguiente es igual a $200 multiplicado por el cuadrado de la diferencia de nivel. Es posible contar con niveles fraccionales gracias a que hay algunos empleados de tiempo parcial, y los datos de costos se aplican igual a estas fracciones. Formulación. Si el análisis se basa en los datos disponibles, puede observarse que no vale la pena que ningún nivel de empleo sea mayor que 255, que corresponde a los requerimientos de la temporada pico. De esta manera, en primavera el número de empleados deberá ser de 255 y el problema se reduce a encontrar el nivel de las otras tres temporadas. Para la formulación de programación dinámica, las temporadas deben ser las etapas. En realidad existe un número indefinido de etapas pues el problema se proyecta hacia un futuro indefinido. Sin embargo, cada año comienza un ciclo idéntico y, como se conoce un nivel de empleados de la primavera, es factible tomar en cuenta solo un ciclo de cuatro temporadas que termine en primavera, como se resume en seguida. Etapa 1= verano. Etapa 2= otoño. Etapa 3= invierno. Etapa 4= primavera.

= nivel de empleados de la etapa n (n=1, 2, 3,4). Es necesario que la temporada de primavera sea la última etapa porque debe conocerse o poderse obtener el valor optimo de la variable de decisión de cada estado en esta última etapa, sin tener que considerar otras. En todas las demás etapas, la solución del nivel óptimo de empleo debe tomar en cuenta el efecto sobre los costos de la siguiente temporada. Sea

= mano de obra mínima que se requiere en la etapa n, Donde estos requerimientos se dieron antes como =220, =240, =200 y =255. Así los únicos valores factibles de son

= 255. Si se hace referencia a los datos de costo que se proporcionaron en el enunciado del problema, se tiene Costo en la etapa n=200 +2000( ). Observe que el costo de la etapa actual depende solo de la decisión que se tome en esa etapa y del número de empleados de la etapa anterior . Así, el nivel de empleados anterior es toda la información sobre el estado actual que se necesita para determinar la política óptima de ahí en adelante. Por ello, el estado de la etapa n es Estado = . Cuando n=1, = = =255. Para facilitar la referencia cuando se trabaje en el problema, en la tabla 10.3 se proporciona un resumen de los datos anteriores. El objetivo de este problema es elegir a , (con = ) para Minimizar +2000( )], Sujeta a

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= 255, para i=1, 2, 3,4. Entonces, de la etapa n en adelante (n=1, 2, 3,4), debido a que =

=200 +2000

+ +2000( )],

TABLA 10.3 Datos del problema del local de Job Shop

n Factible Posible = costo

1

2

3

4

220

240

200

255

220 255

240 255

200 255

255

=255

220 255

240 255

200 255

200 2000

200 2000

200 2000

200

Donde esta sumatoria es igual a cero cuando n= 4 (porque no tiene términos). También,

= .

Entonces,

=200 +2000 + Con definida como cero, pues los costos después de la etapa 4 son irrelevantes para el análisis. En la figura 10.8 se presenta un resumen de estas relaciones básicas. En consecuencia, la relación recursiva entre las funciones

FIGURA 10.8 Estructura básica del problema del local Job Shop.

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= 200 +2000 + }.

La programación dinámica utiliza esta relación parar identificar en forma sucesiva estas funciones --

, , y la correspondiente que minimiza. Procedimiento de solución. Etapa 4: si se inicia en la última etapa (n=4), se case que =255, de manera que los resultados son: n=4: Etapa 3: en el caso del problema que consiste nada mas en las dos últimas etapas (n=3), la relación recursiva se reduce a

= 200 +2000 + }.

= 200 +2000 + },

Donde los valores posibles de son . Una manera de obtener el valor de que minimiza ( ) para cualquier valor dado de es el método grafico que se muestra en la figura 109. Sin embargo, una forma más rápida es usar cálculo. Se quiere obtener el valor de que minimiza, en términos de donde tiene un valor fijo (aunque desconocido). Se iguala a cero la primera derivada (parcial) de ( , ) con respecto a ,

( , )=400( )+2000+400(255- )

=400(2 ) =0 Lo que conduce a

= .

200 255

200 255

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Como la según derivada es positiva y como esta solución se encuentra en el intervalo factible de

(200 255), para todos los valores posibles de (240 255), sin duda se trata del mínimo que se busca. Observe que la diferencia clave entre la naturaleza d esta solución y la que se obtuvo en los ejemplos anteriores en done solo había que considerar unos cuantos estados posibles. Ahora se tiene un número infinito de estados posibles (240 255), por lo que ya nos es fatible obtener por separado el valor de para cada valor de . E lugar de ello, se obtiene como una función de incógnita . al utilizar

= =200 +200

+2000( ) Y reducir de manera algebraica esta expresión, se obtienen los resultados que se requieren para el problema de la tercera atapa, que se resumen se la siguiente manera: n=3 Etapa 2: los problemas de la segunda etapa (n= 2) y la primera etapa (n= 1) se resuelven en forma parecida. Para n= 2,

( , )=200 +2000( )+

240 255 50 +50 +1000( )

FIGURA 10.9 Solución grafica de ( ) del problema de Local Job

Shop.

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=200 +2000( ) +50 +50 +1000( ). Los valores posibles de son 220 255 y la región factible de es 240 255. El problema es minimizar el valor de en este intervalo, de modo que

= ( , ).

Si se iguala acero la derivada parcial respecto de :

( , )=400( )+2000-100(250 )-100(260 )+100

=200(3 ) =0 Se obtiene

= .

Puesto que

( , )=600>0,

Este valor de sería el valor que da el mínimo si fuera factible (240 255). En el caso de los valores posibles de (220 255), de hecho esta solución es factible solo si 240 255. En consecuencia, todavía es necesario obtener el valor factible de que minimiza ( , ) cuando 220 255. La clave para analizar el comportamiento de ( , ) dentro de la región factible de es nuevamente la derivada parcial de ( , ). Cuando < 240,

( , )>0, Para 240 255,

De manera que =240 es el valor deseado que minimiza. El siguiente paso es sustituir estos valores de en ( , ) para obtener para 245 y

<240. Con esto se obtiene n=2: Etapa 1: en el problema de la primera etapa (n= 1),

( , )=200 .

220 245

240 255

200 +115000

+

+ ]+2000()

240

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Como =220, la región factible para es 220 255. La expresión para es diferente en los dos intervalos 220 240 y 240 255 de esta región. Por tanto,

Si se considera primero el caso en donde 220 240 se tiene

( , )= +2000

= . Se sabe que =255 (nivel de empleados en primavera), por lo que

( , )= <0

Para toda 240.entones, 240 es el valor que minimiza a ( , ) en la región 220 240 Cuando 240 255,

( , )= +2000

Como

( , )>0 para toda ,

Se establece

( , )=0

Lo que conduce a

.

Como =255, se concluye que =247.5 minimiza el valor de ( , ) en la región 240 255. Observe que esta región (240 255) incluye =240, de manera que ( , )> ( ,

). En el penúltimo párrafo se encontró que =240 minimiza ( , ) en la región 220 240. En consecuencia, se puede concluir que =247.5. También minimiza ( , ) en toda la región factible 220 255.

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El ultimo calculo se hace para encontrar para =255 al sustituir =247.5 en la expresión ( , ) que se cumplen para 240 255. Entonces,

=200 +2000( )

=185000. Estos resultados se resumen se la siguiente manera: n= 1:

Por tanto, al regresar a través de las tablas que se obtuvieron para n= 2.n= 3 y n= 4, respectivamente, y establecer cada vez = , la solución optima que se obtiene es =247.5,

=245 =247.5, =255, con un costo estimado total por ciclo de $185000.

Actividades de aprendizaje

255 185000 247.5

Actividad de aprendizaje 1.1.

Planteamiento

Del texto guía Introducción a la investigación de operaciones de Hillier del capítulo 9, página 381, resuelva los problemas: 9.5.3 y 9.5.6 que se refieren a la técnica del flujo máximo.

Objetivo Conectar todos los puntos de una red y, al mismo tiempo, minimizar la distancia total por medio de la técnica del árbol de expansión mínima.

Orientaciones didácticas

Es necesario considerar los siguientes puntos:

Cuatro pasos de la técnica de flujo máximo

1. Elija cualquier trayectoria del inicio (origen) a la terminación (destino)

con algo de flujo. Si no existe ninguna trayectoria con flujo, entonces se llegó a la solución óptima.

2. Localice el arco en la trayectoria con la capacidad del flujo más

pequeña disponible. Llame C a esta capacidad. Ésta representa la capacidad máxima adicional que puede ser asignada a esta ruta.

3. Por cada nodo que haya en esta trayectoria, disminuye la capacidad de

flujo en la dirección del flujo en la cantidad C. Por cada nodo que haya en esta trayectoria, incremente la capacidad de flujo en la dirección inversa en la cantidad C.

4. Repita estos pasos hasta que ya no sea posible incrementar el flujo.

Pasos de la técnica de la ruta más corta

Page 16: Investigacion Operativa 2

Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II

Parcial de estudio: Primero

1. Encuentre el nodo más cercano al origen. Coloque la distancia en una

casilla junto al nodo.

2. Encuentre el siguiente nodo más cercano al origen (planta) y coloque la distancia en una casilla junto al nodo. En algunos casos, tendrá que revisar varias trayectorias para encontrar el nodo más cercano.

Repita este proceso hasta que haya recorrido toda la red. La última distancia en el nodo final será la distancia de la ruta más corta. Es de notar que la distancia colocada en la casilla junto a cada nodo es la ruta más corta a este nodo. Se utilizan estas distancias como resultados intermedios para encontrar el siguiente nodo más cercano.

Criterios de evaluación

Desarrollo de los ejercicios y la evaluación de los mismos.

Actividad de aprendizaje 1.2.

Planteamiento

Del texto guía Introducción a la investigación de operaciones de Hillier del capítulo 10, página 423, resolver los problemas 10.2.1 y 10.3.11 que se refieren a las características de los problemas de programación dinámica.

Objetivo Determinar el flujo máximo a través de la red por medio de la técnica de flujo máximo.

Orientaciones didácticas

A continuación se presentan y estudian estas características básicas que distinguen a los problemas de programación dinámica.

1. El problema se puede dividir en etapas, cada una de las cuales requiere de una política de decisión.

2. Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su inicio. Los

estados asociados con cada etapa del problema de la diligencia son los estados (o territorios) en los que el caza-fortunas puede encontrarse al iniciar esa jornada específica del viaje. En general, los estados son las distintas condiciones posibles en las que se puede encontrar el sistema en cada etapa del problema. El número de estados puede ser finito como en el problema de la diligencia— o infinito, como en otros ejemplos subsecuentes.

3. El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el estado

actual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa, quizá según una distribución de probabilidad. La decisión del caza-fortunas sobre su siguiente destino lo conduce de su estado actual al siguiente estado en su viaje. Este procedimiento sugiere que los problemas de programación dinámica se pueden interpretar en términos de las redes descritas en el capítulo 9. Cada nodo corresponde a un estado. La red consistiría en columnas de nodos, donde cada columna corresponde a una etapa, en forma tal que el flujo que sale de un nodo solo puede ir a un nodo de la siguiente columna a la derecha. El valor asignado a cada rama que conecta dos nodos puede interpretarse algunas veces como la contribución inmediata a la función objetivo que se obtiene al tomar esa política de decisión. En la mayor parte de los casos, el objetivo corresponde a encontrar la trayectoria más corta o bien la más larga a través de la red.

4. El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una política

óptima para manejar el problema completo, es decir, una receta para

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Nombre de la asignatura: Investigación Operativa II

Parcial de estudio: Primero

Puntaje por actividad

El tutor de la asignatura

elaborar la política de decisión óptima para cada etapa en cada uno de los estados posibles. En el problema de la diligencia, el procedimiento de solución se basa en construir una tabla de cada etapa (n) que prescribe la decisión óptima para cada estado posible (s). Así, además de identificar las tres soluciones óptimas (rutas óptimas) del problema completo, los resultados muestran también cómo debe proceder el cazafortunas en caso de que sea desviado a un estado que no se encuentra en la ruta óptima. En cualquier problema, la programación dinámica proporciona este tipo de receta política sobre qué hacer en todas las circunstancias posibles (a esto se debe que la decisión real que se toma al llegar a un estado en particular se llama política de decisión). Proporcionar esta información adicional, en vez de solo especificar una solución óptima secuencia óptima de decisiones, puede ser muy valioso en muchas situaciones que incluyen el análisis de sensibilidad.

5. Dado el estado actual, una política óptima para las etapas restantes es

independiente de la política adoptada en etapas anteriores. Por tanto, la decisión inmediata óptima depende solo del estado actual y no de cómo se llegó ahí. Este es el principio de optimalidad de la programación dinámica.

Criterios de evaluación

Desarrollo de los ejercicios y la evaluación de los mismos.

Formato de entrega

Archivo de Microsoft Office 2003.

Enviar a

Envíe las actividades de aprendizaje a través de la plataforma, mediante la sección Contenidos, en un archivo cuyo nombre debe ser: Formato: G#.Apellido.Apellido.Nombre.Asignatura

Preguntas o dudas

Envíe sus preguntas o dudas a través de la plataforma: utilice la sección Enviar correo y marque el nombre de su tutor.

Actividades de aprendizaje

Puntaje

Actividad de aprendizaje 1.1. 10 Actividad de aprendizaje 1.2. 10

20

“En caso de que el examen sea estrictamente necesaria la consulta de tablas, fórmulas, esquemas o gráficos, estos serán incluidos como parte del examen

o en un anexo”. EL EXAMEN SERÁ SIN CONSULTA.


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