Download - Investigacion Operativa II (1)

Excelencia Académica

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ÍNDICE Pág.

PRESENTACION UNIDAD 1: PROGRAMACION LINEAL ENTERA…………………………… .......... 07 1.1 Introducción………………………………………………………………….. ........... 08 1.2 Clasificación de los Modelos de Programación Lineal Entera………… ............. 09 1.3 Métodos de solución para resolver problemas de Programación Lineal Entera………………………………………………………………………… ............ 09 1.4 Relajación PL……………………………………………………………….. ............. 10 1.5 Aplicaciones de Problemas de Programación Entera………………….. ............. 11 1.6 Programación Lineal Entera: El Enfoque Gráfico………………………. .............. 16 1.7 Programación Lineal Entera: Un Enfoque Conceptual……………… ................. 16 1.7.1 Enumeración de las soluciones enteras posibles……………… ................ 16 1.7.2 El método de ramificación y acotamiento: Un Enfoque Concep- tual…………………………………………………………………… . ............ 17 1.7.3 Programación Lineal Entera: Uso de la computadora…………. ............. 17 1.7.4 Resolución de Problemas de Programación Lineal Entera…… ............. 35 UNIDAD 2: PROGRAMACION CUADRATICA……………………………… ............ 43 2.1 Introducción…………………………………………………………………. ............. 43 2.2 Programación Cuadrática…………………………………………………. ............. 44 2.3 Programación convexa separable………………………………………………… 44 2.3.1 Formulación del modelo de cartera………………………………… .......... 52 UNIDAD 3: PROGRAMACION DINAMICA…………………………………………… 61 3.1 Introducción…………………………………………………………………. ............. 61 3.2 Características de un Problema de Programación Dinámica……………… ....... 62 3.3 Modelos de Programación Dinámica……………………………………. . ............ 62 3.3.1 El problema de la diligencia…………………………………………. ............ 63 3.3.2 Terminología y notación básica…………………………………… ............. 63 3.3.3 Ingresando el problema al WINQSB…………………………………. .......... 64 3.3.4 Problema de la mochila o canasta de equipaje…………………. ............. 66 3.3.5 Programación de producción e inventario……………………….. ............. 69 UNIDAD 4: MODELOS DE INVENTARIO………………………………………… ...... 73 4.1 Introducción………………………………………………………………..…. ........... 73 4.2 Modelo de Inventario Generalizado…………………………………….. ............... 74 4.3 Modelos Deterministas………………………………………………… ................... 75 4.4 Modelo Estocástico de un solo artículo (CPE)……………………… ................ …76 4.5 Problemas de Inventario con el WINQSB…………………………… ................... 78 4.5.1 Ejemplo de un Problema de Cantidad Económica de la Orden (EOQ) para Demanda Determinística…………………………… ................ 79 4.5.2 Ejemplo de un Problema con Demanda Estocástica para un solo período………………………………………………………………… ............. 84


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UNIDAD 5: MODELOS DE COLAS……………………………………………….. ...... 89 5.1 Introducción………………………………………………………………….... .......... 89 5.2 Definiciones…………………………………………………………………… ........... 89 5.3 Introducción a la Teorías de Colas…………………………………… ................... 90 5.3.1 Origen……………………………………………………………… .................. 90 5.3.2 Modelo de formulación de colas……………………………… ..................... 91 5.3.3 Objetivos de la Teoría de Colas………………………………… .................. 92 5.3.4 Elementos existentes en un modelo de colas……………… ...................... 92 5.3.5 El proceso de llegada………………………………………………. .............. 95 5.3.6 El proceso de servicio………………………………………………. .............. 96 5.3.7 Modelos de rendimiento para evaluar un sistema de colas……. .............. 97 5.3.8 Algunos modelos de rendimiento comunes…………………… .................. 97 5.3.9 Relaciones entre medidas de rendimiento……………………… ............... 98 5.4 Análisis de un sistema de colas de un solo canal de una sola línea con llegada exponencial y proceso de servicio (M/M/1)…….. ............. 100 5.4.1 Cálculo de las medidas de rendimiento………………………… ............. 101 5.4.2 Interpretación de las medidas de rendimiento…………………... ............. 103 5.5 Análisis de un sistema de colas de canal múltiple de una sola línea con llegada exponencial y procesos de servicio (M/M/s)………. ............. 105 5.5.1 Cálculo de las medidas de rendimiento………………………….. ............. 105 5.5.2 Interpretación de las medidas de rendimiento…………………… ............ 108 5.6 Aplicaciones con el WINQSB…………………………………………….. ............ 109 5.6.1 Los campos requeridos…………………………………………….. ............ 109 UNIDAD 6: SIMULACION………………………………………………………. ......... 115 6.1 Introducción…………………………………………………………………… ......... 115 6.2 Etapas para realizar un estudio de simulación………………………… ............. 115 6.3 Modelos de simulación………………………………………………….. ............. 117 6.3.1 Modelo teórico……………………………………………………………. ..... 117 6.3.2 Modelo conceptual…………………………………………………. ............. 117 6.3.3 Modelo sistémico…………………………………………………… ………. 117 6.4 Simulación por computadora…………………………………………….. ............. 118 6.5 Simulación en Informática………………………………………………… ............ 118 6.6 Simulación en la preparación……………………………………………………... 119 6.7 Simulación en la Educación……………………………………………… ............. 119 6.8 Simulación en las Ciencias Naturales…………………………………………….120 6.9 Simulación Médica…………………………………………………………………..120 6.10 Simulación con el WINQSB…………………………………………….. ………...120 6.10.1 Ejemplo de simulación………………………………………………….... 120 6.10.2 Analizando los modelos………………………………………………….. 124 6.10.3 Simulación en modo gráfico……………………………………. ………. 127 BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………… ............ 129


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PROGRAMACION LINEAL ENTERA

Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante

• Cita varios ejemplos de programación lineal entera aplicados a problemas propios de la administración

• Modela varios problemas propios de la administración como problemas de programación lineal entera

• Resuelve problemas de programación lineal entera por el método de ramificación y acote

1.1- Introducción Sus pioneros fueron Wagner (1950) y Manne (1959). Tradicionalmente estos modelos se han considerado como subclases de la programación lineal, sin embargo, las variables de decisión que aparecen en ellos sólo toman valores enteros, por lo que realmente deben considerarse como problemas de programación entera. El número de modelos lineales enteros y sus métodos de solución son en la actualidad bastante extenso, lo que nos ha llevado a hacer una selección considerando aquellos que creemos más interesantes y que aparecen con mayor frecuencia en la realidad.

La Programación Lineal Entera (PLE) ha llegado a ser un área muy especializada de la ciencia administrativa. Se trata de formular y solucionar problemas de programación lineal con la particularidad de que alguna o todas las variables asuman valores enteros. La magnitud del rendimiento y la asignación de recursos asociados con cada unidad del problema aconsejan determinar la mejor solución entera posible. Muchos problemas usan variables enteras para indicar decisiones lógicas.

En los problemas de Programación Lineal (PL) se permite a las variables

tener valores fraccionarios y conforme al principio de que “todo lo que está permitido ocurre”, se deben esperar las respuestas fraccionarias. Las variables de decisión en el mundo real a menudo deben ser enteras.

Con sentido práctico, muchas soluciones aceptables para el administrador se

obtiene mediante redondeo. Hay muchos problemas importantes en los que el


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redondeo hacia los requerimientos enteros en los problemas reales simplemente no funciona. El redondeo no siempre conduce a soluciones factibles.

Los científicos de la administración han advertido la importancia de los

problemas de PLE desde hace años, y se ha dedicado una buena cantidad de trabajo y tiempo para investigar la solución a estos problemas. Dichos esfuerzos han rendido algunos dividendos y se ha producido un marcado progreso en esta área durante los últimos 10 años. Muchos problemas que se resuelven fácilmente como problemas se PL llegan a ser irresolubles para propósitos prácticos cuando se exige que las variables de decisión sean enteras.

1.2 Clasificación de los Modelos de Programación Lineal Entera

La PLE es un término general para los modelos de programación matemática

que presentan condiciones de integralidad (condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisión deben tener valores enteros). Atendiendo al tipo de variables se clasifican en:

a) Programas lineales enteros puros (PLE): son aquellos en que todas

las variables de decisión únicamente pueden tomar valores enteros. También se distinguen dentro de estos los programas totalmente enteros como aquellos en que tanto las variables como todos los coeficientes que intervienen en el programa han de ser enteros. Por ejemplo:

Min z = 6x1 + 5x2 + 4x3 s.a. 108x1 + 92x2 + 58x3 ≥ 576 7x1 + 18x2 + 22x3 ≥ 83 x1, x2, x3 ≥ 0 y enteros b) Programas lineales enteros mixtos (PLEM): son aquellos en el que

sólo se requiere que algunas variables tengan valores enteros mientras que otras pueden asumir cualquier número no negativo (es decir, cualquier valor continuo). Por ejemplo:

Min z = 6x1 + 5x2 + 4x3

s.a. 108x1 + 92x2 + 58x3 ≥ 576 7x1 + 18x2 + 22x3 ≥ 83 x1, x2, x3 ≥ 0 ; x1 y x2 enteros c) Programas lineales enteros binarios (PLEB): en estos se restringe el

valor de las variables a 0 y 1. Son de particular interés debido a que se pueden usar las variables 0 – 1 para representar decisiones dicotómicas (si o no). Diversos problemas de asignación, ubicación de plantas, planes de producción y elaboración de cartera, etc. son de programación lineal entera 0 – 1. Por ejemplo:


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Max z = 40x1 + 70x2 + 80x3 + 100x4

s.a. 10x1 + 30x2 + 10x3 + 20x4 ≤ 50 5x1 + 20x2 + 20x3 + 10x4 ≤ 45 20x1 + 10x2 + 27x3 + 40x4 ≤ 70 10x1 + 10x2 + 20x3 + 20x4 ≤ 40 10x2 + 10x3 + 20x4 ≤ 30 xi = 0 o 1 ; i = 1, …, 4

Atendiendo al criterio del tipo de programa: a) Programa lineal entero directo: si el programa de decisión involucra

variables enteras. b) Programa lineal entero codificado: cuando se trata de un problema

que contiene además de aspectos cuantitativos, alguna consideración de tipo cualitativo, y por ello para tratar este tipo de aspectos se requiere el uso de variables enteras o binarias.

c) Programa lineal entero transformado: cuando el programa no incluye variables enteras, pero para ser tratado analíticamente requiere el uso de variables enteras “artificiales”.

Nota: “Un problema de programación entera no lineal es un problema de optimización en el cual la función objetivo o el lado izquierdo de algunas de las restricciones, son funciones no lineales y en el cual algunas de las variables, o todas tienen que ser enteros”.

1.3 Métodos de solución para resolver problemas de Programación Lineal Entera

Un aspecto notable de los métodos de solución de estos problemas, que caen

dentro de la clase denominada de modelos combinatorios, es la complejidad computacional. Un enfoque primitivo de resolución consiste en evaluar cada posible solución, es decir, cada una de las combinaciones de valores enteros para las variables del problema. En este caso incluso en un problema pequeño como podría ser con diez variables y diez valores para cada variable tendría un número grande (diez mil millones) de posibles soluciones, lo que hace necesario planteamientos de solución inteligentes. Estos se han dirigido por una parte hacia los “métodos exactos”, es decir, aquellos que conducen a una solución óptima exacta para el problema combinatorio empleando técnicas que reduzcan la búsqueda de soluciones (caso del método simplex). Por otra parte, se han propuesto un buen número de “métodos heurísticos”, sin una base matemática formal, pero que, basados esencialmente en la intuición, conducen a una solución próxima a la óptima y lo que es más deseable, en una cantidad razonable de tiempo. Más concretamente, lo hacen en tiempo polinomial, frente a muchos métodos exactos para problemas combinatorios que lo hacen en tiempo exponencial, siendo por tanto poco aplicables éstos últimos a problemas de tamaño grande.


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Para resolver problemas de Programación Lineal Entera, se utilizan varios algoritmos como son: Ralph Gomory, Ramificación y Acotamiento (Branch and Bound), Enumeración Exhaustiva o Enumeración Explícita, Enumeración Implícita, Aditivo de Egon Balas y Algoritmos Heurísticos.

En Programación Lineal Entera Pura algunos de los algoritmos de solución

que se emplean son: Método de Plano de Corte, Algoritmo Fraccional de Gomory, Algoritmo Entero Puro de Gomory, Método de Ramificación y Acotamiento y el Algoritmo de Land - Doig, entre otros. Para Programación Lineal Entera Binaria algunos de los utilizados son: Método de Ramificación y Acotamiento, Método Aditivo de Egon Balas, Método Lexicográfico, Método de Lemke y Spielberg, Distancia de Hamming y Retículos y Método de Trubin. En Programación Lineal Entera Mixta se usan el Algoritmo Entero Mixto de Gomory, el Algoritmo de Land – Doig, Método de Benders.

Relajación PL El PL que se obtiene al omitir todas las restricciones enteras o 0 – 1 para las

variables, se llama la relajación PL del PLE. Por ejemplo, la relajación PL de Max z = 3x1 + 2x2 s.a. x1 + x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 ; x1, x2 enteroses Max z = 3x1 + 2x2

s.a. x1 + x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 y la relajación PL de Max z = x1 - x2

s.a. x1 + 2x2 ≤ 2 2x1 – x2 ≤ 1 x1, x2 = 0 o 1 es Max z = x1 - x2

s.a. x1 + 2x2 ≤ 2 2x1 – x2 ≤ 1 x1, x2 ≥ 0 Se puede considerar cualquier PLE como la relajación PL más algunas otras

restricciones (las restricciones que indican cuáles variables tienen que ser enteras o iguales a 0 o 1). Por lo tanto, la relajación PL es una versión menos restringida, o más relajada, del PLE. Esto significa que la región factible para cualquier PLE tiene que estar incluida en la región factible de la relajación PL correspondiente. Para cualquier PLE que es un problema de maximización, esto implica que El valor óptimo de z para la relajación PL ≥ el valor óptimo de z para el PLE.

Para esclarecer más las propiedades de los problemas de programación

lineal entera consideremos el siguiente PLE sencillo:


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Max z = 21x1 + 11x2 s.a. 7x1 + 4x2 ≤ 13 x1, x2 ≥ 0; x1, x2 enteros

x2 3.0

2.0

1.0

0.5 x1 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Fig. Nº 1 : Región factible para el PLE En la Fig. Nº 1 se observa que la región factible para este problema está formada por el siguiente conjunto de puntos: S = {(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1)}. A diferencia de la región factible para cualquier PL, la región factible para este problema es la región del triángulo rectángulo. Después de calcular el valor de z para cada uno de los seis puntos de la región factible, se encuentra que la solución óptima para este problema es z = 33, para x1 = 0, x2 = 3.

Si la región factible para la relajación PL de un PLE pura es acotada, como en el problema anterior, la región factible del PLE estará formada por un número finito de puntos. En teoría, se podría resolver tal PLE enumerando los valores de z para cada punto factible, y determinar el punto factible que tiene el mayor valor de z.

1.4 Aplicaciones de Problemas de Programación Entera

Las principales aplicaciones típicas de problemas de PLE se dan en las áreas de planeación de personal, presupuestación de capital, programación de fuerza de trabajo y ubicación de almacenes.

1.5 Programación Lineal Entera: El Enfoque Gráfico

Un enfoque gráfico promueve la comprensión de las complejidades asociadas con la resolución de problemas de PLE.

Ejemplo 1: Dado el siguiente problema de PL Max. z = 6x1 + 7x2 s.a. x1 + 2x2 ≤ 8 (1) x1 – x2 ≤ 4 (2) x1, x2 ≥ 0 La solución óptima tiene lugar en el vértice C determinado por la intersección

de las ecuaciones x1 + 2x2 = 8 y x1 – x2 = 4


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x2 5.0 Solución óptima para el modelo de PL 4.0 (1) FO x1 = 16/3 x2 = 4/3 3.0 (2) z óptimo = 124/3 = 41.33 2.0 C

1.0 x1 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

Fig. Nº 2 : Región factible para el PL

La pendiente de la FO es m = - 6/7 Supongamos que estamos interesados en la solución óptima entera del PLE.

En este caso el conjunto de soluciones factibles no es el área de la región poligonal cerrada, sino sólo puntos, tal como se muestra en la Fig. Nº 3.

Para determinar la solución óptima entera del PLE necesitamos resolver el modelo de programación lineal entera:

Max. z = 6x1 + 7x2 s.a. x1 + 2x2 ≤ 8 (1) x1 – x2 ≤ 4 (2) x1, x2 ≥ 0; x1, x2 enteros x2

5.0 Solución óptima entera para el modelo de PLE 4.0 (1) x1 = 4 x2 = 2 3.0 FO (2) z óptimo = 38 2.0

1.0 x1 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

Fig. Nº 3 : Soluciones enteras factibles para el PLE

En la Fig. Nº 3 hay 20 valores de soluciones enteras factibles para el PLE, este mismo conjunto de soluciones factibles enteras son listadas en la Tabla Nº 1, además de su contribución o utilidad. Por simple inspección en la segunda columna de la Tabla se observa que la solución óptima es: x1 = 4, x2 = 2 con utilidad de z = 38.


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Tabla Nº 1: Soluciones enteras del PLE

SOLUCION

ENTERA FACTIBLE ENTERA x1 x2

Utilidad = z = 6x1 + 7x2

0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 2 1 2 2 2 3 3 0 3 1 3 2 4 0 4 1 4 2 5 1

0 7 14 21 28 6 13 20 27 12 19 26 33 18 25 32 24 31

38 solución óptima PLE 37 solución obtenida del

redondeo en el PL

Comparando la solución óptima del PL y del PLE se obtiene la siguiente

tabla:

Modelo Solución óptima Utilidad máxima PL

PLE x1 = 16/3, x2 = 4/3 x1 = 4, x2 = 2

41.33 38.00

Puede observarse que la restricción entera hace decrecer la utilidad de 41.33

a 38. Ejemplo 2: Resolver gráficamente el siguiente problema de PLE mediante la

solución del PL (llamada relajación PL) del problema entero, y redondear la solución.

Max. z = x2 s.a. –x1 + x2 ≤ ½ x1 + x2 ≤ 7/2 x1, x2 ≥ 0; x1, x2 enteros Resolviendo el PL con variables que no necesariamente fueran enteras,

hallaríamos el óptimo gráficamente en el punto (x1=3/2, x2=2).


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Redondeando obtendríamos o bien el punto (x1=1, x2=2) o el punto (x1= 2, x2=2). Si se redondea, las soluciones que se obtienen no son factibles

Ejemplo 3: Resolver gráficamente el siguiente PLE: Max. z = x1 + 5x2 s.a. x1 + 10x2 ≤ 20 x1 ≤ 2 x1, x2 ≥0; x1, x2 enteros El óptimo de la relajación PL es el punto (2, 9/5) con z óptimo de 11, que

redondeando en la dirección factible sería (2, 2) con z = 12. Sin embargo esta solución no es la óptima del problema de programación

entera, porque (2, 2) no es un punto factible. La solución óptima entera es x1 = 0, x2

= 2 y z = 10.

1. Para resolver un problema de programación entera con el enfoque gráfico,

se recomienda seguir los siguientes pasos:

i) Encuéntrese el conjunto factible de la relajación PL del problema de PLE.

ii) Identifíquese los puntos enteros dentro del conjunto determinado en el paso (i).

iii) Encuéntrese, entre los puntos determinados en el paso (ii), el que optimiza la función objetivo.

2. Cualquier restricción que se agregue a un problema de programación

matemática no puede mejorar, y si empeorar, el valor óptimo de la función objetivo. Por lo tanto, el valor óptimo disminuye con la adición de las restricciones de enteros. En consecuencia:

i) En un problema de maximización, el valor óptimo de la función

objetivo (VO) del problema relajado constituye siempre una cota superior para el VO del PLE o PLEM original. Si se agregan restricciones de enteros, el VO del PL, o bien empeorará, o bien quedará igual. En un problema de maximización, empeorar el VO significa disminuirlo.

ii) En un problema de minimización, el VO del problema relajado siempre proporciona una cota inferior para el VO del PLE o PLEM original. El agregado de restricciones enteras o bien empeora o bien


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deja igual el VO del PL. En un problema de minimización, empeorar el VO significa aumentarlo.

3. Una solución redondeada no es necesariamente óptima. 4. Una solución redondeada no necesariamente está cerca de la solución óptima

del PLE. 5. Una forma intuitiva de abordar un PLE consiste en resolver la relajación PL

del problema original y redondear después la solución al punto entero vecino. Este procedimiento puede producir ciertos problemas, tales como:

i) Puede ser que ninguno de los puntos enteros próximos sea factible. ii) Aun cuando uno o más de los puntos enteros próximos sean factibles,

No necesariamente serán óptimos para el PLE No necesariamente estarán cerca de la solución óptima del PLE.

Ejercicios propuestos

1. Resolver gráficamente el siguiente PLE:

Max. z = 18x1 + 6 x2 s.a. x1 + x2 ≥ 5 42.8x1 + 100x2 ≤ 800 20x1 + 6x2 ≤ 142 30x1 + 10x2 ≥ 135 x1 – 3x2 ≤ 0 x1, x2 ≥ 0 y enteros

Rpta: El PLE tiene 13 soluciones factibles, éstas son los puntos : (3,6), (4,6), (3,5), (4,5), (5,5), (4,4), (5,4), (4,3), (5,3), (6,3) (4,2), (5,2) y (6,2). La solución óptima del PLE es el punto x1 = 6, x2 = 3; el valor óptimo de la función objetivo es 126. 2. El Programa “MI VIVIENDA” ha obtenido una subvención del Estado de $ 5 millones de dólares para construir edificios de departamentos para personas de ingresos bajos y medianos en una extensión de 180,000 metros cuadrados de terreno. Cada tipo de edificio requiere 20,000 metros cuadrados. El costo estimado de cada edificio de bajos ingresos es de $ 300,000, y el costo estimado de cada edificio de ingresos medios es de $ 600,000. Cada edificio de bajos ingresos proporciona 15 unidades, y cada edificio de medianos ingresos proporciona 12 unidades. Para mantener el vecindario bien balanceado, el gobierno requiere que la proporción de los departamentos de ingresos medios con los ingresos bajos sea de


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al menos 0.80. El director del Programa “Mi Vivienda” desea determinar el mayor número de departamentos individuales que pueden construirse en el terreno disponible con el presupuesto dado. Solución: Variables de decisión: x1 = el número de edificios de departamentos de ingresos bajos a construirse x2 = el número de edificios de departamentos de ingresos medios a construirse El PLE es el siguiente: Max. z = 15x1 + 12 x2 s.a. 3x1 + 6x2 ≤ 50 (presupuesto) 20x1 + 20x2 ≤ 180 (terreno) -x1 + x2 ≥ 0 (proporción: 12x2 / 15x1 ≥ 0.80) x1, x2 ≥ 0 y enteros Rpta: La solución entera óptima es x1 = 4 y x2 = 5, con una valor de la función objetivo de 120. Por tanto, el director debe contratar la construcción de cuatro edificios de ingresos bajos y cinco edificios de ingresos medios, ofreciendo un total de 120 departamentos individuales. 1.7 Programación Lineal Entera: Un Enfoque Conceptual

Este enfoque no puede utilizarse en computadoras porque éstas usan álgebra. Se trata de la idea conceptual que está detrás de un método para resolver por computadora problemas que tienen variables enteras.

1.7.1 Enumeración de las soluciones enteras posibles

Son dos las características de los problemas de PL que permiten el desarrollo de un algoritmo de mejora finita:

1) La capacidad de probar rápidamente la optimalidad de una solución factible particular.

2) La capacidad de determinar una nueva solución factible con un valor de función objetiva estrictamente mejor cuando la actual solución no pasa la prueba.

No se han encontrado procedimientos similares para problemas de PLE. La

única forma conocida para obtener la solución óptima es evaluar todas las soluciones enteras posibles.


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Ejemplo: Un problema de PLE con tres variables Max. z = 3x1 + 2x2 + x3 s.a. x1 + x2 + x3 ≤ 4 (1) 2x1 – x2 – x3 ≤ 0 (2) x1 + x2 – x3 ≤ 0 (3) x1 ≤ 2 (4) x2 ≤ 2 (5) x3 ≤ 2 (6) x1, x2, x3 ≥ 0 y enteras Un enfoque para resolver este problema incluye: 1) Hacer una lista de todas las soluciones enteras posibles. 2) Identificar de todas las soluciones enteras factibles aquella cuyo valor

de función objetivo sea el mejor (en este caso, el mayor).

De las restricciones (4) a (6) se tiene que las tres variables pueden tomar los tres valores enteros posibles de 0, 1 y 2, por tanto, es necesario enumerar las 27 combinaciones de valores enteros para x1, x2 y x3.

Un enfoque es enumerar los tres valores para x1 y, para cada uno, enumerar

los tres valores para x2, lo que se produce en nueve combinaciones. Para cada una de estas nueve, puede enumerar los tres valores para x3, obteniendo el número total de combinaciones, 27. Este enfoque se describe usando un árbol.

1.7.2 El método de ramificación y acotamiento: Un enfoque conceptual

Con el método de ramificación y acotamiento, en vez de buscar los

nodos terminales directamente, comienza en el nivel superior del árbol y procede de nodo en nodo (un círculo en el árbol asociado con un programa entero que indica que algunas variables del problema se han fijado para especificar valores enteros) hacia la base del árbol y los nodos terminales. En cada nodo, se resuelve el programa lineal asociado. Sobre la base de esta solución, se toma una decisión respecto a qué nodos del árbol, si los hay, pueden eliminarse para otras consideraciones, lo que reduce el número de nodos terminales que necesitan examinarse.

Es un método usado para resolver un problema de programación

entera en el que los nodos del árbol asociado se examinan de una manera sistemática tratando de eliminar por consideración tantos nodos terminales como sea posible.

1.7.3 Programación Lineal Entera: Uso de la computadora

Con la popularización de los computadores personales (PC’s) han

surgido programas y aplicaciones muy completas para el tratamiento de los problemas de gestión mediante herramientas cuantitativas, las que en su conjunto


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constituyen los métodos de la investigación de operaciones.

Para el desarrollo del presente curso haremos uso de uno de los softwares mas completos, se trata del WINQSB (Quantitative System Business), podría decirse que es el software más utilizado en la actualidad por estudiantes de pregratos y postgrados que incluyen en su plan de estudios asignaturas como la investigación de operaciones o temas relacionados. Sin embargo no existe en nuestro medio una guía en español para el docente y el estudiante, que permita el aprovechamiento máximo de los módulos que contempla la aplicación.

WINQSB es una aplicación versátil que permite la solución de una gran

cantidad de problemas: administrativos, de producción, re recurso humano, dirección de proyectos, etc.

CREANDO UN NUEVO PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA

La opción Nuevo Problema (New Problem) genera una plantilla en el

cual se introducirán las características de nuestro problema:

A continuación se describirán cada una de las casillas de esta ventana: Título del problema (Problem Title): Se escribe el título con que identificamos

el problema. Número de variables (Number of Variables): Se escribe la cantidad de

variables con que cuenta el sistema en el modelo original. Número de restricciones (Number of Constraints): Se anotan la cantidad de

restricciones con que cuenta el modelo (no se debe contar la restricción de no negatividad).

Objetivo (Objective Criterion): Los problemas de programación lineal entera


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se clasifican en dos: problemas de Maximización (Maximization) y Minimización (Minimization).

Formato de entrada de datos (Data Entry Format): Permite elegir entre dos plantillas distintas para introducir los datos del modelo. La primera alternativa se asemeja a una hoja de calculo, mientras que la segunda, es una plantilla diseñada especialmente para este fin.

Tipo de variable (Default Variable Type): En esta parte se indica las características del modelo:

- Continuas no negativas (Nonnegative continuous): Indica que el

modelo lo componen variables continuas no negativas (iguales o mayores a cero).

- Enteras no negativas (Nonnegative Integer): Variables enteras no negativas.

- Binarias (Binary): Variables cuyo valor solo serán 0 o 1. - Sin asignar / Irrestrictas (Unsigned/unrestricted): Variables

irrestrictas.

Mediante un ejemplo demostraremos como se introducen los datos para la creación de un nuevo problema de programación lineal.

ENUNCIADO Ejemplo: La empresa CISA S.A. desea conocer la cantidad de productos

A, B y C a producir para maximizar el beneficio, si cada unidad vendida genera una utilidad de S/.150, S/. 210 y S/. 130 por unidad respectivamente.

Cada producto pasa por 3 secciones de trabajo, restringiendo la

cantidad de unidades producidas debido al tiempo disponible en cada una de ellas. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por unidad de cada producto en cada sección y el tiempo total disponible semanalmente (tiempo dado en minutos): Tiempo requerido

Sección 1 Tiempo requerido

Sección 2 Tiempo requerido

Sección 3 Producto 1 10 12 8 Producto 2 15 17 9 Producto 3 7 7 8 Tiempo total disponible por mesa

3300 3500 2900

Se supone que cada unidad producida es vendida automáticamente.

Determinar la combinación de productos que maximicen la utilidad para la compañía.

Una vez analizado el enunciado se procederá a formular el modelo matemático.


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MODELO MATEMÁTICO

Max. Z = 150X1 + 210X2 + 130X3 Función Objetivo (F.O)

s.a. 10X1 + 15X2 + 7X3 3300 (Sección 1) 12X1 + 17X2 + 7X3 3500 (Sección 2) Restr. Estructurales 8X1 + 9X2 + 8X3 2900 (Sección 3)

X1 , X2 , X3 0 Restr. No Negatividad

Podemos ver claramente que estamos ante un problema de Maximización, con tres restricciones y tres variables (las cuales trabajaremos como variables continuas de tipo No Negativas).

Teniendo claro esto, se alimenta el programa desde la ventana Nuevo Problema (New Problem):

Una vez llenados todos los campos pulsamos el botón OK, generando nuevas opciones dentro del programa.

INGRESANDO EL MODELO

Si se escogió por la plantilla tipo hoja de calculo (Spreadsheet Matrix Form), se mostrará una nueva ventana dentro de la zona de trabajo, la cual servirá para introducir el modelo matemático.

La primera fila (Variable --) corresponde a los encabezados de las

variables (en gris) definidas automáticamente por el sistema como X1, X2 y X3


21

(son las tres variables del ejemplo), seguido por el operador de relación (Direction) y la solución de las restricciones o Lado de la mano derecha (Right Hand Side -R. H. S). El nombre de las variables se puede cambiar accediendo al submenú Nombre de variables (Variables Names) del menú Editar (Edit).

La segunda fila (Maximize) permite introducir los coeficientes de la

función objetivo. Luego aparecen una serie de filas identificadas por la letra C

y un consecutivo, las cuales corresponden a la cantidad de restricciones con que cuenta el modelo:

Por último aparecen tres filas donde definimos el valor mínimo aceptado por cada variable (Lower Bound), el valor máximo (Upper Bound) y el tipo de variable (Variable Type). En el caso del valor máximo, M significa que la variable podrá recibir valores muy grandes (tendientes a infinito).

EL MODELO DE EJEMPLO

Para ingresar nuestro modelo propuesto en el ejemplo, el primer paso es llenar la segunda fila con los coeficientes de la función objetivo:

Se sigue con las restricciones C1, C2 y C3:

Usted podrá cambiar los operadores de relación pulsando dos veces seguidas sobre ellos con el botón izquierdo del Mouse. Las otras filas se mantienen iguales.

RESOLVIENDO UN PROBLEMA

Cuando haya terminado de ingresar el modelo en la plantilla, podrá


22

utilizar las herramientas que provee el menú Resolver y Analizar (Solve and Analyze). Este menú cuenta con las siguientes opciones:

Resolver el problema (Solve the Problem): Resuelve el problema mediante

el método Simplex Primal. Muestra la solución final completa. Resolver y mostrar los pasos (Solve and Display Steps): Muestra cada uno

de los pasos o las interacciones realizadas por el Simplex hasta llegar a la solución óptima.

Método Gráfico (Graphic Method): Resuelve el problema de programación

lineal mediante el método gráfico (para problemas que trabajan con dos variables).

RESOLVIENDO EL PROBLEMA EJEMPLO Seleccionamos la primera opción del menú Resolver y Analizar

(Solve and Analyze), donde se mostrará una pequeña ventana con el mensaje “El problema ha sido resuelto. La solución óptima ha sido lograda”.

Pulsamos el botón ACEPTAR y automáticamente el programa generará la solución optima.


23

ENTENDIENDO LA MATRIZ FINAL Esta matriz presenta suficiente información sobre el modelo resuelto. La

primera parte (Solution Summary) corresponde al análisis de las variables definidas (X1, X2 y X3).

La columna Valores de la solución (Solution Value) presenta los

valores óptimos encontrados. En este ejemplo se tiene que X1 es 0 unidades, X2 es 105,4795 unidades y X3 es 243,8356 unidades.

La columna Costo o Utilidad Unitaria (Unit Cost or Profit) muestra los coeficientes de la función objetivo para cada variable.

La columna Contribución Total (Total Contribution) representa el

costo o utilidad generado por cada variable. Por ejemplo, si el valor de la variable X2 es 105,4795 unidades y la utilidad unitaria es S/. 210, el beneficio total resultará de la multiplicación de ambos valores dando como resultado S/. 22.150,69. Justo debajo de la última contribución aparece el valor de Z óptimo (S/. 53.849,32).

La columna Costo Reducido (Reduced Cost) identifica el costo que genera incrementar una unidad para cada variable no básica. La siguiente columna llamada Estatus de la Variable (Basis Status) muestra si una variable es básica (Basic) o no (at bound).

La siguiente parte de la matriz final (Constraint Summary), presenta las variables de holgura del sistema (C1, C2, C3).

La columna Lado de la mano derecha (Left Hand Side) muestra el valor alcanzado al reemplazar los valores de X1, X2 y X3 en cada restricción (recuerde que cada restricción se identifica con su variable de holgura).

Las dos columnas siguientes (Direction y Right Hand Side) muestran las especificaciones dadas a las restricciones en cuanto al operador de relación () y los valores originales de las restricciones (3.300, 3.500 y 2.900 minutos).


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La columna Déficit o Superávit (Slack or Surplus) muestran los valores de las variables de holgura y la columna Precios Sombras (Shadow Price) corresponde a los precios sombras; cuánto se estaría dispuesto a pagar por una unidad adicional de cada recurso.

LA TABLA FINAL DEL SIMPLEX

WINQSB permite mostrar los resultados óptimos mediante el formato aplicado por el método Simplex. Para mostrar este formato deberá, una vez resuelto el problema, seleccionar en el menú Resultados (Results) la opción Tabla final del Simples (Final Simplex Tableau).

RESOLVIENDO EL MODELO PASO A PASO Regrese nuevamente a la plantilla correspondiente al modelo inicial (sin solucionar). Procederemos a marcar la opción Resolver y mostrar los pasos (Solve and Display Steps). La primera tabla corresponde a la tabla inicial del Simplex:

WINQSB cuenta con opciones de navegación para pasar de una tabla a otra (este menú se llama Simplex Iteration) hasta encontrar la solución óptima:

Al pulsar sobre la opción Próxima Interacción (Next Iteration) se avanza a la siguiente tabla del Simplex.


25

La opción Escoger variable de entrada (Choose Entering Variable)

permite seleccionar la variable que entra al sistema de forma manual:

Debe pulsar sobre la variable no básica que desee que entre (en este caso se muestra a X1, X3 y C2 como no básicas). Para mostrar la última tabla del Simplex directamente podrá optar por seleccionar la opción llamada Ir a la última tabla (Go To The Last Tableau).

La última opción Nonstop to Finish muestra el resultado final completo (junto al análisis de sensibilidad).

LA OPCIÓN IMPRIMIR Cada ventana mostrada puede ser impresa mediante la opción Imprimir

(Print) que se encuentra en el menú Archivo (File) o mediante el botón desplegado en la barra de herramientas.

GUARDANDO UN PROBLEMA Si quiere acceder a un problema posteriormente simplemente seleccione la

opción Salvar como (Save As) o pulsando sobre el botón .

1.7.4 Resolución de Problemas de Programación Lineal Entera Planeación y programación de personal Ejemplo: La CMAC Huancayo requiere de 8 a 15 cajeros de servicio,

dependiendo de la hora del día, tal como se indica en la Tabla Nº 2. Los cajeros de tiempo completo trabajan 8 horas consecutivas a S/. 15 la hora, comenzando a las 8 am.. Los cajeros de tiempo parcial trabajan 4 horas consecutivas a S/. 8 la hora, comenzando a las 8 am., 10 am. o 12 del mediodía. Las regulaciones sindicales


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requieren que a toda hora al menos 60% de los cajeros sean de tiempo completo. Como gerente del departamento de personal, haga una recomendación respecto al número de empleados de tiempo completo y de tiempo parcial requeridos a lo largo del día para minimizar el costo diario total.

Tabla Nº 2: Requerimientos de cajeros de CMAC Huancayo

PERIODO NUMERO MINIMO DE CAJEROS 8 – 10 am. 10 – 12 mediodía 12 – 2 pm. 2 – 4 pm.

8 10 15 12

Solución: Sean las variables de decisión: x1 = el número de cajeros de tiempo completo a contratar x2 = el número de cajeros de tiempo parcial a contratar Es necesario mayor precisión para los cajeros de tiempo parcial, se necesita saber no sólo cuantos contratar, sino también sus horarios de inicio. Para el efecto se utilizarán tres nuevas variables, cada una correspondiente a las tres horas de inicio. x3 = el número de cajeros de tiempo parcial por contratar que comienzan a las 8 am. x4 = el número de cajeros de tiempo parcial por contratar que comienzan a las 10

am. x5 = el número de cajeros de tiempo parcial por contratar que comienzan a las 12 del

mediodía. Para formular la función objeto, siendo el caso de minimizar el costo diario

total, puede usarse la técnica de descomposición, Costo total = (costo de cajeros de tiempo completo) +

(costo de cajeros de tiempo parcial que comienzan a las 8 am.) + (costo de cajeros de tiempo parcial que comienzan a las 10 am.) + (costo de cajeros de tiempo parcial que comienzan a las 12 del

mediodía) El costo asociado con los cajeros de tiempo completo que trabajan 8 horas al

día, es S/. 15 la hora, lo que suma S/. 120 al día. Los cajeros de tiempo parcial trabajan 4 horas al día y ganan S/. 8 la hora, o S/. 32 al día. Por consiguiente, la función objetivo es:

Min. z = 120x1 + 32x3 + 32x4 + 32x5 Para identificar las restricciones, usaremos el siguiente gráfico y la técnica de

agrupamiento. Tiempo completo x1 Tiempo parcial a las 12 del mediodía x5 Tiempo parcial a las 10 am. x4 Tiempo parcial a las 8 am. x3 8 am. 10 am. 12 mediodía 2 pm. 4 pm.

Restricciones de requerimiento sobre el número de cajeros Existe una restricción para cada segmento de tiempo,


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1) Se requieren al menos ocho cajeros de 8 a 10 am.

x1 + x3 ≥ 8

2) Se requieren al menos diez cajeros de 10 am. a 12 del mediodía x1 + x3 + x4 ≥ 10

3) Se requieren al menos quince cajeros de 12 del mediodía a 2 pm. x1 + x4 + x5 ≥ 15

4) Se requieren al menos doce cajeros de 2 pm. a 4 pm. x1 + x5 ≥ 12

Restricciones de proporción Las regulaciones sindicales requieren que al menos 60% de los cajeros sean de tiempo completo. Por lo tanto, cada uno de los cuatro segmentos de tiempo necesita una restricción de la siguiente forma:

“El número de cajeros de tiempo completo debe ser al menos 60% del número total de cajeros” x1 ≥ 0.6 (x1 + x3) o 0.4 x1 – 0.6 x3 ≥ 0 x1 ≥ 0.6 (x1 + x3 + x4) o 0.4 x1 – 0.6 x3 – 0.6 x4 ≥ 0

x1 ≥ 0.6 (x1 + x4 + x5) o 0.4 x1 – 0.6 x4 – 0.6 x5 ≥ 0 x1 ≥ 0.6 (x1 + x5) o 0.4 x1 – 0.6 x5 ≥ 0 Entonces, el modelo de programación lineal entera es:

Min. z = 120x1 + 32x3 + 32x4 + 32 x5 s.a. Restricciones de requerimiento x1 + x3 ≥ 8 x1 + x3 + x4 ≥ 10 x1 + x4 + x5 ≥ 15 x1 + x5 ≥ 12 Restricciones de proporción

0.4 x1 – 0.6 x3 ≥ 0 0.4 x1 – 0.6 x3 – 0.6 x4 ≥ 0

0.4 x1 – 0.6 x4 – 0.6 x5 ≥ 0 0.4 x1 – 0.6 x5 ≥ 0 Restricciones lógicas x1 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 y enteras Use el WINQSB para obtener la solución del problema de programación lineal entera.

Presupuestación de capital Un problema que muchas compañías de capital empresario y de inversión

enfrentan es como asignar una cantidad dada de dinero a diversos proyectos alternativos. En algunos casos, la pregunta es cuánto invertir en cada alternativa. En


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otros casos, la pregunta es qué alternativas deben elegirse. En este último caso, que implica una decisión de “si, invertir” o de “no invertir”, a menudo es útil un modelo de programación entera apropiado al elegir entre alternativas. El siguiente ejemplo ilustra el caso.

Ejemplo 1: EDPYME CONFIANZA, una compañía de inversión de capital de riesgo, está considerando invertir hasta un millón de dólares en una o más propuestas que ha recibido de diversos empresarios. Cada propuesta ha sido filtrada por el departamento de investigación, y seis han tenido una tasa esperada de retorno suficiente para justificar el riesgo implicado. La inversión única requerida y la tasa de rendimiento esperada asociada para cada proyecto se proporciona en la Tabla Nº 3. Al departamento de investigación se le ha pedido que haga recomendaciones respecto a los proyectos que deben respaldarse. Su meta es lograr la devolución esperada más alta sobre la inversión.

Tabla Nº 3: Requerimientos de capital y tasa de retorno esperada para los proyectos de Edpyme Confianza

PROYECTO REQUERIMIENTO DE CAPITAL ($) TASA DE RETORNO ESPERADA (%)

A B C D E F

200,000 15.0 350,000 16.5 150,000 13.0 125,000 12.5 375,000 14.0 70,000 9.0

Solución: Sean las variables de decisión: x1 = 1 Si Edpyme Confianza invierte en el proyecto A 0 Si Edpyme Confianza no invierte en el proyecto A x2 = 1 Si Edpyme Confianza invierte en el proyecto B 0 Si Edpyme Confianza no invierte en el proyecto B x3 = 1 Si Edpyme Confianza invierte en el proyecto C 0 Si Edpyme Confianza no invierte en el proyecto C x4 = 1 Si Edpyme Confianza invierte en el proyecto D 0 Si Edpyme Confianza no invierte en el proyecto D x5 = 1 Si Edpyme Confianza invierte en el proyecto E 0 Si Edpyme Confianza no invierte en el proyecto E x6 = 1 Si Edpyme Confianza invierte en el proyecto F

0 Si Edpyme Confianza no invierte en el proyecto F

El objetivo es maximizar la devolución esperada total, para el efecto utilizando los datos de la Table Nº 3 junto con las variables de decisión y aplicando la técnica de descomposición, se tiene la función objetivo:


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Maximizar devolución anual total = (devolución de A) + (devolución de B) + (devolución de C) + (devolución de D) + (devolución de E) + (devolución de F)

= (0.15 * 200,000)x1 + (0.165 * 350,000)x2 + (0.13 * 150,000)x3 + (0.125 * 125,000)x4 + (0.14

* 375,000)x5 + (0.090 * 70,000)x6 Max. z = 30,000x1 + 57,750x2 + 19,500x3 + 15,625x4 + 52,500x5 + 6,300x6

La única restricción estructural es que los montos de inversión para los

diferentes proyectos no deben exceder el presupuesto de $ 1 millón. 200,000x1+350,000x2+150,000x3+125,000x4+375,000x5+70,000x6 ≤ 1’000,000

Las restricciones lógicas en este problema son que cada variable debe tener un valor de 0 o 1. Para fines computacionales se escribe estas restricciones de tal forma que cada variable esté entre 0 y 1 y que también sea entera. Por ejemplo, la restricción lógica para la variable x1 es:

x1 ≤1 y x1 ≥ 0 y entero

0 ≤ x1 ≤ 1 Finalmente el programa lineal entero es: Max. z = 30,000x1 + 57,750x2 + 19,500x3 + 15,625x4 + 52,500x5 + 6,300x6

s.a. 200,000x1+350,000x2+150,000x3+125,000x4+375,000x5+70,000x6 ≤ 1’000,000 (Presup.) x1 ≤ 1 x2 ≤ 1 x3 ≤ 1 x4 ≤ 1 x5 ≤ 1 x6 ≤ 1 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 y entero Puede utilizarse cualquier paquete de software de computadora para resolver este problema de programación entera.

Ejemplo 2: Supóngase que el consejo directivo de Doe Ran afronta el problema que se resume en la Tabla Nº 4. Las cantidades en dólares están en millares. El consejo directivo ha de elegir una o más de las alternativas. Si deciden expandir la planta de La Oroya, el valor actual del beneficio neto para la firma es de $ 40,000. Este proyecto requiere $ 10,000 de capital el primer año, % 5,000 el segundo, etc. El consejo directivo ha presupuestado con anterioridad hasta $ 50,000 como inversiones de capital totales para el año 1, hasta $ 45,000 en el año 2, etc.

Tabla Nº 4: Presupuesto de capital

ALTERNATIVA VALOR

PRESENTE DEL BENEFICIO

NETO

CAPITAL REQUERIDO EN EL AÑO i PARA LA ELTERNATIVA j

1 2 3 4 5 Expansión de la planta en La Oroya Expansión de la capacidad de

40 70

10 30

5 20

20 10

10 10

0 10


30

máquinas pequeñas en Casapalca Establecimiento de una nueva planta en Morococha Expansión de la capacidad de máquinas grandes en Chicla

80

100

10

20

20

10

27

40

20

20

10

20

Capital disponible en el año i bi 50 45 70 40 30 Se pide: a) Formular el problema como un modelo de PLE b) Hallar la solución óptima

Solución: Este problema puede formularse como un modelo de PLE en el que todas las variables son del tipo 0 – 1. Sean las variables de decisión:

xi = 1 si el proyecto se acepta y xi = 0 si se rechaza. (i = 1,2,3,4) El modelo de PLE es:

Max z = 40x1 + 70x2 + 80x3 + 100x4 Valor presente de los proyectos aceptados s.a. 10x1 + 30x2 + 10x3 + 20x4 ≤ 50

Capital requerido 5x1 + 20x2 + 20x3 + 10x4 ≤ 45 Capital disponible en el año 2 en el año 2 20x1 + 10x2 + 27x3 + 40x4 ≤ 70

10x1 + 10x2 + 20x3 + 20x4 ≤ 40 10x2 + 10x3 + 20x4 ≤ 30 x1 ≤ 1 x2 ≤ 1 x3 ≤ 1 x4 ≤ 1 xi ≥ 0 ; i = 1, …, 4

La solución óptima entera es que el administrador deberá aceptar las tres primeras alternativas; x4 es igual a cero. El valor de la función objetivo es 190.

Ejemplo 3: INVERMEST tiene la oportunidad de invertir en cinco proyectos diferentes, P1, P2, P3, P4 y P5, cada uno con un beneficio neto estimado como se muestra en la Tabla Nº 5.

Tabla Nº 5: Beneficio neto esperado para los cinco proyectos

PROYECTO NUMERO BENEFICIO NETO ESPERADO ($)

1 2 3 4

5

100 000 80 000 70 000 60 000 90 000


31

Dado que de los diferentes requerimientos de cada proyecto (mano de obra,

equipo, etc.), los costos varían de proyecto a proyecto. Además las obligaciones de requerimientos de flujo de caja, hacen que la Invermest no pueda invertir en todos los cinco proyectos.

La Tabla Nº 6 muestra los costos totales o salidas de caja requeridos para invertir en cada proyecto.

Tabla Nº 6: Costo esperado para los cinco proyectos

PROYECTO NUMERO COSTO ESPERADO ($)1 2 3 4 5

60 000 40 000 20 000 40 000 50 000

Invermest estima (o espera) que tendrá una disponibilidad de caja en la

cantidad de $ 150,000 para el próximo año. ¿En cuáles proyectos podría invertir Invermest el año próximo? Solución: Sean las variables de decisión: xj = 1 si el proyecto j es seleccionado

0 si el proyecto j no es seleccionado j = 1, 2, 3, 4, 5 x1, x2, x3, x4, y x5 son variables de decisión 0/1

El modelo de programación lineal entera es: Max z = 100x1 + 80x2 + 70x3 + 60x4 + 90x5

s.a. 60x1 + 40x2 + 20x3 + 40x4 + 50x5 ≤ 150 (disponibilidad de caja) x1 ≤ 1

x2 ≤ 1

x3 ≤ 1

x4 ≤ 1

x5 ≤ 1 xi ≥ 0 y enteras (j = 1,2,3,4,5)

Invermest invertirá en los cuatro últimos proyectos (x2, x3, x4, x5 = 1) y no así en el primer proyecto (x1 = 0) y la máxima utilidad total esperada es de $ 300,000.

División de existencias Muchas empresas enfrentan el problema de división de productos de gran tamaño en lotes al menudeo de menor tamaño.

Ejemplo: La Industria Papelera ATLAS vende rollos de papel para computadoras y cajas registradoras a diversos vendedores al detalle. Sus rollos estándar tienen 20 pulgadas de ancho. Los vendedores al detalle han hecho pedidos de 1050 rollos de 3 pulgadas de ancho, 2050 rollos de 5 pulgadas de ancho y 4050 rollos de 8 pulgadas de ancho. Para producir estos rollos más pequeños, los rollos de 20 pulgadas son alimentados a la máquina cortadora que tiene ocho montaduras diferentes, como se muestra en la Tabla Nº 4. Cada montura produce un número distinto de cada ancho de rollo de tamaño al detalle, dejando una cantidad fija de


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anchura que se desperdicia. Por ejemplo, la montura número 6 produce 2 rollos de 3 pulgadas de ancho, un rollo de 5 pulgadas de ancho y uno de 8 pulgadas de ancho, dejando una cantidad fija de 1 pulgada del rollo original de 20 pulgadas.

Tabla Nº 7: Rollos de varios tamaños para venta al detalle obtenidos de las monturas de la máquina cortadora

MONTURA NUMERO

NUMERO DE ROLLOS DESPERDICIO(pulgadas) 3 pulg. 5 pulg. 8 pulg.

1 2 3 4 5 6 7 8

6 0 0 0 4 0 1 0 2 0 2 1 4 0 1 2 1 1 5 1 0 1 3 0

2 0 1 2 0 1 0 2

Estos son pedidos únicos. Cualquier rollo sobrante de tamaño para el detalle

se venden con descuento, lo que provoca una pérdida neta de S/. 1 por cada rollo de 3 pulgadas, S/. 1.50 por cada rollo de 5 pulgadas y S/. 2 por cada rollo de 8 pulgadas. El desperdicio es reciclado a un costo neto de S/. 0.50 por pulgada. Como gerente del departamento de producción, se le ha pedido determinar cómo usar las distintas monturas de la máquina cortadora para satisfacer la demanda especificada para los rollos de tamaño para veta al detalle, a la vez que se minimiza el costo total. Solución: Sean las variables de decisión: x1 = el número de rollos de 20 pulgadas a cortarse con la montura 1 x2 = el número de rollos de 20 pulgadas a cortarse con la montura 2 . . . x8 = el número de rollos de 20 pulgadas a cortarse con la montura 8 Para especificar la función objetivo de minimización del costo total, aplicaremos la técnica de descomposición, Costo total = (costo total de desperdicio de todas las monturas) + (costo total de sobreproducción) = (costo de desperdicio de la montura 1) + (costo de desperdicio de la montura 2) + . . . (costo de desperdicio de la montura 8) + (costo de sobreproducción de rollos de 3 pulgadas) + (costo de sobreproducción de rollos de 5 pulgadas) + (costo de sobreproducción de rollos de 8 pulgadas)


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Por ejemplo, cada corte de un rollo de 20 pulgadas con la primera montura produce un desperdicio de 2 pulgadas, como puede observarse en la Tabla Nº 4. Como se cortan x1 de tales rollos, Desperdicio de la montura 1 = 2x1 Usando las variables de decisión y el desperdicio dado por cada montura de la Tabla Nº 4 se tiene: Pulgadas totales de desperdicio = 2x1 + 0x2 + 1x3 + 2x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 + 2x8 Dado que cada pulgada de desperdicio cuesta S/. 0.50, Costo total de desperdicio = 0.50 * (pulgadas totales de desperdicio) = 1x1 + 0x2 + 0.5x3 + 1x4 + 0x5 + 0.5x6 + 0x7 + 1x8

Para especificar el desperdicio de sobreproducción, tomemos como ejemplo, el número de rollos de 3 pulgadas producidos. Número de rollos de 3 pulgadas producidos = 6x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 4x5 + 2x6 + 5x7 + 1x8 Como sólo se necesitan 1050 rollos de 3 pulgadas, Nº de rollos de 3 pulg. sobreproducidos = (6x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 4x5 + 2x6 + 5x7 + 1x8) – 1050 Una restricción de demanda apropiada para los rollos de 3 pulgadas asegurará que la cantidad sobreproducida sea no negativa. Cada rollo de 3 pulgadas sobreproducido tiene como resultado un costo de S/. 1; así: Costo de sobreproducir rollos de 3 pulg. = 1 * (número de rollos de 3 pulg. sobreproducidos) = (6x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 4x5 + 2x6 + 5x7 + 1x8) – 1050 Aplicando un razonamiento análogo para los rollos de 5 y 8 pulgadas sobreproducidos, se tiene: Costo de sobreproducir rollos de 5 pulg. = 1.5 * (número de rollos de 5 pulg. sobreproducidos) = (0x1 + 6x2 + 0x3 + 3x4 + 0x5 + 1.5x6 + 1.5x7 + 1x8) – 3075 Costo de sobreproducir rollos de 8 pulg. = 2 * (número de rollos de 8 pulg. sobreproducidos) = (0x1 + 0x2 + 4x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 0x7 + 0x8) – 8100 Resumiendo, la función objetivo global de minimizar el costo total es: Minimizar z = (1x1 + 0x2 + 0.5x3 + 1x4 + 0x5 + 0.5x6 + 0x7 + 1x8) + (6x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 4x5 + 2x6 + 5x7 + 1x8) – 1050 + (0x1 + 6x2 + 0x3 + 3x4 + 0x5 + 1.5x6 + 1.5x7 + 1x8) – 3075 + (0x1 + 0x2 + 4x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 0x7 + 0x8) – 8100 Min z = 7x1 + 6x2 + 5.5x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 6.5x7 + 6.5x8 – 12225 Las restricciones estructurales deben satisfacer la demanda especificada para cada rollo de tamaño al detalle. Así, el número de rollos de 3 pulgadas producidos debe ser al menos 1050,

Número de rollos de 3 pulgadas producidos ≥ 1050 6x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 4x5 + 2x6 + 5x7 + 1x8 ≥ 1050

Restricciones similares se tienen para los rollos de 5 y de 8 pulgadas, 0x1 + 4x2 + 0x3 + 2x4 + 0x5 + 1x6 + 1x7 + 3x8 ≥ 2050 0x1 + 0x2 + 2x3 + 1x4 + 1x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 ≥ 4050 Entonces, el programa lineal entero es:

Min. z = 7x1 + 6x2 + 5.5x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 6.5x7 + 6.5x8 – 12225 s.a.

Restricciones de demanda

6x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 4x5 + 2x6 + 5x7 + 1x8 ≥ 1050 (rollos de 3 pulgadas)

0x1 + 4x2 + 0x3 + 2x4 + 0x5 + 1x6 + 1x7 + 3x8 ≥ 2050 (rollos de 5 pulgadas) 0x1 + 0x2 + 2x3 + 1x4 + 1x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 ≥ 4050 (rollos de 8 pulgadas)


34

Restricciones lógicas x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ≥ 0 y enteras

Puede usarse cualquier paquete de software de computación para resolver este problema de programación entera.

Problema de ubicación

El problema de transporte implica el embarque de bienes terminados desde puntos de suministro, como plantas o almacenes, hacia puntos de demanda, tiendas o clientes. Una decisión estratégica que debe tomar un gerente moderno se refiere a cuántas plantas y/o almacenes tener y donde ubicarlos, todo lo cual requiere una inversión de capital sustancial y costos fijos. En este caso, un modelo de programación entera a menudo puede ayudar a determinar el plan que de como resultado el mínimo costo total.

Ejemplo: Sistem Computer debe producir una nueva computadora. La

compañía anticipa una demanda mensual de 1700 computadoras de una tienda de ventas al detalle en Lima, 1000 computadoras de una tienda de Trujillo, 1500 computadoras de una tienda de Arequipa y 1200 computadoras de una tienda de Huancayo. Para satisfacer esta demanda anticipada, la gerencia de Sistem Computer está considerando construir plantas de ensamblado en Chiclayo, Cusco, Piura y Tacna. Las capacidades de producción mensual y los costos fijos proyectados se muestra en la Tabla Nº 5. El costo de embarque de una computadora terminada desde cada planta hasta cada tienda detallista se da en la Tabla Nº 6. Como gerente de la división de producción, se le ha pedido recomendar las plantas que se construirían para minimizar los costos totales de transportación mensual y los costos fijos.

Tabla Nº 8: Capacidades de las plantas y costos fijos UBICACION CAPACIDAD MENSUAL COSTOS FIJOS MENSUALES (S/.) Chiclayo Cusco Piura Tacna

1700 2000 1700 2000

70 000 70 000 65 000 70 000

Tabla Nº 9: Costos de transporte (S/. computadora) de las plantas a las tiendas

detallistas PLANTAS TIENDAS

LIMA TRUJILLO AREQUIPA HUANCAYO Chiclayo Cusco Piura Tacna

5 3 2 6 4 7 8 10 6 5 3 8 9 8 6 5

Solución:


35

El problema requiere dos decisiones: una para determinar qué plantas construir, y la otra para determinar el número de computadoras por enviar desde cada planta construida a cada tienda detallista.

Para la primera decisión, debe elegirse qué plantas construir; para cada decisión “si/no” se modela con una variable entera 0 – 1. Sean las variables de decisión: y1 = 1 si se abre una planta en Chiclayo 0 de otra forma y2 = 1 si se abre una planta en Cuzco 0 de otra forma y3 = 1 si se abre una planta en Piura 0 de otra forma y4 = 1 si se abre una planta en Tacna 0 de otra forma

El segundo conjunto de decisiones implica cuántas unidades embarcar desde

cada planta a cada una de los clientes al detalle. Por ejemplo x23 denota el número de computadoras por embarcar desde la planta de Cuzco hasta la tienda detallista de Arequipa.

Tabla Nº 10: Cantidades enviadas desde cada planta a las diferentes tiendas

PLANTAS TIENDAS

LIMA TRUJILLO AREQUIPA HUANCAYOChiclayo Cuzco Piura Tacna

x11 x12 x13 x14

x21 x22 x23 x24

x31 x32 x33 x34

x41 x42 x43 x44

El objetivo es minimizar los costos totales de envío. Haciendo uso de la técnica de descomposición, formulamos la función objetivo:

Costos totales = (costos fijos) + (costos de transporte) donde: Costos fijos = (costo fijo de la planta de Chiclayo) + (costo fijo de la planta de Cuzco) + (costo fijo de la planta de Piura) + (costo fijo de la planta de Tacna) Pude observarse que si se abre la planta de Chiclayo, el costo fijo es de S/ 70,000. Si no se abre la planta, el costo fijo es 0. En términos de las variables de decisión 0 – 1, el costo de la planta de Chimbote es 70,000 y1, que tiene como resultado un costo de S/. 70,000 si se abre la planta (esto es, y1 = 1) y S/. 0 si no se abre (y1 = 0). Aplicando la misma lógica para cada planta potencial se tiene,

Costos fijos = 70 000y1 + 70 000y2 + 65 000y3 + 70 000y4


36

El costo total de embarque es el número de unidades embarcadas desde cada planta hasta cada tienda detallista por el costo del embarque asociado por unidad. Así,

Costo de transporte = (5x11 + 3x12 + 2x13 +6x14) + (4x21 + 7x22 + 8x23 +10x24) + (6x31 + 5x32 + 3x33 +8x34) + (9x41 + 8x42 + 6x43 +5x44) Combinando los costos fijos y de transporte, el objetivo global es:

Min z = 70 000y1 + 70 000y2 + 65 000y3 + 70 000y4 + (5x11 + 3x12 + 2x13 + 6x14) +

(4x21 + 7x22 + 8x23 +10x24) + (6x31 + 5x32 + 3x33 + 8x34) + (9x41 + 8x42 + 6x43 + 5x44) Para identificar las restricciones, aplicamos la técnica de agrupamiento para llegar a lo siguiente: 1. Restricciones de suministro para asegurar que el número de unidades

embarcadas desde cada planta no exceda la capacidad. 2. Restricciones de demanda para asegurar que cada tienda detallista reciba

exactamente el número de unidades solicitadas.

3. Restricciones lógicas. RESTRICCIONES DE SUMINISTRO Número de unidades embarcadas desde Chiclayo = x11 + x12 + x13 + x14 Este número no debe exceder la capacidad de esta planta. Obsérvese que esta planta puede producir hasta 1700 computadoras por mes si se construye, y 0 unidades caso contrario. Usando la variable de decisión 0 – 1y1, esta capacidad es 1700y1. Por lo tanto, la restricción de suministro para la planta de Chiclayo es:

x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 1700y1 o x11 + x12 + x13 + x14 - 1700y1 ≤ 0 (Chiclayo) En forma análoga, las restricciones de suministro para las otras tres plantas

de ensamblado son: x21 + x22 + x23 + x24 - 2000y2 ≤ 0 (Cuzco) x31 + x32 + x33 + x34 - 1700y3 ≤ 0 (Piura) x41 + x42 + x43 + x44 - 2000y4 ≤ 0 (Tacna)

RESTRICCIONES DE DEMANDA Consideremos la tienda detallista de Lima. Por descomposición, Número de unidades embarcadas a Lima = x11 + x21 + x31 + x41 Como esta cantidad debe ser igual a la demanda de la tienda de 1700 unidades, la restricción de demanda en Lima es:

x11 + x21 + x31 + x41 = 1700 (Lima) Las restricciones de demanda para las otras tres tiendas detallistas son:


37

x12 + x22 + x32 + x42 = 1000 (Trujillo) x13 + x23 + x33 + x43 = 1500 (Arequipa) x14 + x24 + x34 + x44 = 1200 (Huancayo)

Finalmente, el problema de programa entera es: Min z = 70 000y1 + 70 000y2 + 65 000y3 + 70 000y4 + (5x11 + 3x12 + 2x13 + 6x14) +

(4x21 + 7x22 + 8x23 +10x24) + (6x31 + 5x32 + 3x33 + 8x34) + (9x41 + 8x42 + 6x43 + 5x44)

s.a. RESTRICCIONES DE SUMINISTRO x11 + x12 + x13 + x14 - 1700y1 ≤ 0 (Chiclayo) x21 + x22 + x23 + x24 - 2000y2 ≤ 0 (Cuzco) x31 + x32 + x33 + x34 - 1700y3 ≤ 0 (Piura) x41 + x42 + x43 + x44 - 2000y4 ≤ 0 (Tacna)

RESTRICCIONES DE DEMANDA

x11 + x21 + x31 + x41 = 1700 (Lima) x12 + x22 + x32 + x42 = 1000 (Trujillo) x13 + x23 + x33 + x43 = 1500 (Arequipa) x14 + x24 + x34 + x44 = 1200 (Huancayo)

RESTRICCIONES LOGICAS y1, y2, y3, y y4 = 0 o 1 y las xij ≥ 0 y enteras (i = 1,2,3,4 y j = 1,2,3,4) Para hallar la solución utilice un paquete de software adecuado.

Problema de carga fijada Ejemplo: Pinturas y Provisiones CPP tiene disponibles tres procesos diferentes estandarizados para producir pintura blanca para casas. Cada proceso tiene unos costos fijos y un costo de proceso por galón. La capacidad de cada proceso se da en siguiente Tabla:

Tabla Nº 11: Costos por proceso

PROCESO NUMERO

COSTOS FIJOS

($)

COSTO DE PROCESO ($ /galón)

CAPACIDAD MAXIMA DIARIA

(galones) 1 2 3

100 200 300

5 4 3

2,000 3,000 4,000

CPP espera una demanda diaria de 3,500 galones. El problema es mostrar

qué procesos usar y qué capacidades con el fin de satisfacer su demanda diaria con un costo total mínimo.

Solución: Sean las variables de decisión:


38

y1 = 1 si el proceso 1 es usado 0 si el proceso 1 no es usado y2 = 1 si el proceso 2 es usado 0 si el proceso 2 no es usado y3 = 1 si el proceso 3 es usado

0 si el proceso 3 no es usado Las variables y1, y2 y y3 son variables 0/1. Sean las variables de producción: x1 = nivel de producción para el proceso 1 x2 = nivel de producción para el proceso 2 x3 = nivel de producción para el proceso 3 El objetivo es escoger los procesos y los niveles de producción que minimizan el costo total.

Costo total = (costo total variable de producción) + (costo total fijo) = (5x1 + 4x2 + 3x3) + (100y1 + 200y2 + 300y3) El modelo de programación lineal entera es:

Min z = 5x1 + 4x2 + 3x3 + 100y1 + 200y2 + 300y3 s.a. x1 + x2 + x3 = 3,500 (demanda diaria) x1 – 2000y1 ≤ 0 (x1 ≤ 2000y1) (capacidad proceso 1) x2 – 3000y2 ≤ 0 (x2 ≤ 3000y2) (capacidad proceso 2) x3 – 4000y3 ≤ 0 (x3 ≤ 4000y3) (capacidad proceso 3) y1 ≤ 1 y2 ≤ 1 y3 ≤ 1 x1, x2, x3 ≥ 0 y1, y2, y3 enteros La solución óptima entera puede hallarse utilizando un software de computadora.

Minimización de costos Ejemplo: Cuatro líneas diferentes de ensamble están disponibles para la

producción de calculadoras en la HP Electronics (HPE). El costo de ensamble de cada calculadora en cada una de las cuatro líneas disponibles, la capacidad máxima diaria de cada línea y los correspondientes costos fijos se dan en la tabla siguiente. La HPE tiene un propósito de demanda de 30,000 calculadoras por día. La gerencia de la HPE desea un plan de promoción que minimice los costos y que especifique cuáles líneas van a ser usadas y con qué capacidades, para satisfacer la demanda mínima diaria de 30,000 calculadoras.

Tabla Nº 11: Producción de calculadoras para la HPE

LINEA DE ENSAMBLE

COSTOS FIJOS

(dólares por día)

COSTO DE ENSAMBLE POR CALCULADORA

(dólares)

CANTIDAD MAXIMA

A 5,000 6 10,000


39

B C D

6,000 1,000 7,000

4 7 3

20,000 25,000 15,000

Solución: Sean las variables de decisión para la producción: x1 = número de calculadoras producidas por día en la línea A x2 = número de calculadoras producidas por día en la línea B x3 = número de calculadoras producidas por día en la línea C x4 = número de calculadoras producidas por día en la línea D Sean las variables para la línea de ensamble: y1 = 1 si la línea A es seleccionada para producción

0 si la línea A no es seleccionada para producción

y2 = 1 si la línea B es seleccionada para producción 0 si la línea B no es seleccionada para producción y3 = 1 si la línea C es seleccionada para producción 0 si la línea C no es seleccionada para producción y4 = 1 si la línea D es seleccionada para producción 0 si la línea D no es seleccionada para producción El modelo de programación lineal entera es:

Min z = 4321 000,7000,1000,6000,5 yyyy +

4321 3746 xxxx

Costo fijo total costos totales variables de producción s.a. x1 + x2 + x3 + x4 = 30,000 (demanda diaria) x1 ≤ 10,000y1 (capacidad en línea A) x2 ≤ 20,000y2 (capacidad en línea B) x3 ≤ 25,000y3 (capacidad en línea C) x4 ≤ 15,000y4 (capacidad en línea D) y1 ≤ 1 y2 ≤ 1 y3 ≤ 1 y4 ≤ 1 x1, x2 , x3 , x4, y1, y2, y3, y4 enteros (no-negativos) Utilice un software de computadora para hallar la solución óptima

1. En los siguientes enunciados escriba una (V) si considera verdadero y (F) si es

falso.

( ) 1.1 Redondear soluciones de PL para satisfacer los requerimientos del mundo real en variables de decisión enteras es una práctica común.

( ) 1.2 En general, no es más difícil resolver un PLE que un PL


40

( ) 1.3 La variable binaria de un PLE se puede usar para representar decisiones dicotómicas

( ) 1.4 En un problema de maximización, el VO del problema relajado siempre constituye una cota inferior del VO del problema original de PLE o PLEM.

( ) 1.5 El primer paso para la obtención de una solución redondeada de un PLE consiste en resolver su relajación PL.

2. En las siguientes afirmaciones marque la alternativa CORRECTA. En un PLE

a) pasando por alto las condiciones de integralidad, todas las funciones de restricción son lineales

b) todas las variables de decisión son enteras c) todas la variables de decisión deben ser no negativas d) todo lo anterior

En un PLEM

a) la función objetivo es lineal b) todas las variables de decisión deben ser enteras c) algunos coeficientes deben ser enteros, otros no d) todo lo anterior

La relajación de un PL en un PLE

a) permite una función objetivo no lineal b) pasa por alto las restricciones de integralidad de las variables de

decisión c) relaja las restricciones de no negatividad de las variables de decisión d) todo lo anterior

Una solución redondeada de un PLE a maximizar puede no ser factible porque a) viola las restricciones de integralidad b) viola las restricciones de no negatividad c) su VO es menor que el VO del problema relajado d) nada de lo anterior

La solución por computadora de un PLEM

a) no contiene información sobre sensibilidad b) contiene información sobre sensibilidad sólo con respecto a las variables

no enteras c) contiene información sobre la sensibilidad sólo con respecto a los lados

derechos d) contiene información sobre sensibilidad sólo con respecto a la función

objetivo 3. Una empresa fabrica dos productos, P1 y P2. La capacidad de la línea P1 es de 7

unidades diarias. Cada unidad de P2 requiere 4 horas de secado, y hay un total de 22 horas disponibles al día para secado. Además, cada unidad de P1 requiere 2 horas de pulido y cada una de P2, 3 horas. Diariamente hay un total de 19 horas de pulido disponibles. Las unidades P1 producen una utilidad de $ 1 y $ 3 las unidades P2, cada una. La empresa quiere determinar el plan de


41

producción diario que maximice la utilidad. Los productos P1 y P2 sólo se pueden fabricar en cantidades enteras. a) Formule el plan como un PLE b) Use el método gráfico para encontrar la solución óptima del problema

relajado c) Encuentre la solución óptima del PLE d) Encuentre una solución entera mediante redondeo de los valores dados en

la respuesta de la parte (b). ¿Es factible la solución? e) ¿Qué utilidad perdería la firma si adopta esta última solución redondeada?

4. Considere el siguiente PLE Max z = 3x1 + 4x2

s.a. 5x1 + 3x2 ≤ 15

x1 + 2x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 y enteros

a) Utilice el método gráfico para encontrar la solución óptima del problema relajado

b) ¿Cuántos puntos factibles hay allí? c) Mediante un tratamiento gráfico determine la solución óptima para el PLE d) Determine una solución factible entera redondeando la respuesta en la

parte (a). ¿Es óptima la solución redondeada? 5. Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unidad de producto A

requiere 1 hora de servicios de ingeniería y 5 horas de tiempo de máquina. Producir 1 unidad de producto B requiere 2 horas de ingeniería y 8 horas de tiempo de máquina. Hay 100 horas de ingeniería y 400 horas de tiempo de máquina disponible. El costo de producción es una función no lineal de la cantidad producida, tal como se da en la siguiente tabla.

Tabla Nº 12: Costo de producción

PRODUCTO A Producción Costo (unidades) unitario

PRODUCTO B Producción Costo (unidades) unitario

0-50 $ 10 50-10 8

0-40 $ 7 40-100 3

Los precios unitarios de venta de los productos A y B son $ 12 y $ 14 respectivamente. La compañía quiere un plan de producción de tal manera que la utilidad sea máxima. Formular un modelo de programación entera para este problema y hallar la solución óptima.

6. Una compañía tiene que escoger un conjunto de proyectos de la siguiente lista. Su meta es maximizar el valor presente neto total del conjunto de proyectos seleccionados pero sin gastar más de lo presupuestado en cualquiera de los próximos años.


42

Los datos para este problema de presupuesto de capital se dan en la siguiente tabla. También se dan algunas restricciones adicionales sobre los proyectos que pueden ser seleccionados.

Tabla Nº 13: Presupuesto de capital

PROYECTO

NUMERO

VALOR PRESENTENETO

(miles de $) DESEMBOLSOS REQUERIDOS Año 1 Año 2 Año 3

1 2 3 4 5 6

50 40 30 40 50 60

$ 10 $ 15 $ 10 20 10 5 10 15 10 20 10 5 10 15 10 20 10 5

Presupuesto estimado 90 80 50


43

PROGRAMACION CUADRATICA

Al finaliza el estudio del presente fascículo el estudiante

• Sea capaz de plantear y resolver problemas de optimización en general, programación lineal, no lineal y entera.

• Relacione las técnicas de Investigación Operativa con los problemas de la realidad empresarial.

• Promover el razonamiento crítico de los resultados obtenidos en el modelado con software de Investigación Operativa.

. 2.1 Introducción

Existen muchos problemas que no pueden ser expresados en términos de funciones lineales, sino por medio de funciones no lineales. Las soluciones a estos problemas son mas dispersas que las de programación lineal, ya que no existe un método de solución general como por ejemplo el algoritmo Simplex; por lo tanto existen soluciones para algunos tipos muy especiales de problemas de programación no lineal.

El problema general de programación no lineal es:

Optimizar = f(x1, x2, x3, ...,xn)

Con las siguientes restricciones:

g1 (x1, x2, x3, ...,xn) ≤ b1 g2 (x1, x2, x3, ...,xn) ≤ b2 g3 (x1, x2, x3, ...,xn) ≤ b3 gm (x1, x2, x3, ...,xn) ≤ bm

xj 0 j= 1,2,3, ....., n


44

La puede corresponder a un problema de maximización o de minimización. Algunos de los principales métodos de solución son los siguientes: La solución gráfica, cuando son máximo tres (3) variables. Las restricciones son ecuaciones en lugar de desigualdades “ m < n “; lo

anterior constituye un caso de optimización clásica y se puede aplicar para su solución los multiplicadores de Lagrange.

" f (x1, x2, x3, ...xn)" es no lineal, pero las "g (x1, x2, x3, ...,xn)" son lineales; para las anteriores condiciones hay dos (2) casos especiales:

2.2 Programación cuadrática

2.3 Programación convexa separable

Donde fi"(xi)" es una función de una sola variable

• La Búsqueda Gradiental para Programación Convexa, si la función lineal es cóncava y las restricciones son convexas.

• Restricciones no lineales, pero separables :

Para garantizar una solución óptima estos problemas deben contener restricciones muy estrictas en las "gij(xj)" y en la función objetivo. • La Programación Geométrica:

Los métodos más generales de solución aplicables en programación no lineal son los multiplicadores de Lagrange y Karush – Kuhn – Zucker.

El método de los multiplicadores de Lagrange consiste en aplicar la función

luego calcular las primeras derivadas parciales, igualarlas a cero y encontrar el óptimo del problema ; para verificar el máximo o mínimo de la función se encuentran las segundas derivadas parciales.

Las condiciones necesarias de Karush – Kuhn – Tucker también son suficientes si la función objetivo y el espacio solución satisfacen ciertos requerimientos con respecto a la convexidad y a la concavidad.


45

Una solución óptima de un problema de programación no lineal, corresponde a la solución óptima definitiva si existen n números negativos i, i = 1, 2, 3, ...., n tales que satisfacen las condiciones siguientes:

i > indica que la i-esima restricción es equivalente a xki = 0 donde xki es la i-esima variable de holgura.

i = 0 explica que la i esima restricción no es limitante a xki 0

Para definir estas condiciones, definimos el problema de Programación No lineal generalizado como:

Optimizar = f(x1, x2, x3, ...,xn) s.a.

La puede corresponder a una maximización o minimización y el multiplicador de Lagrange es:

SENTIDO DE LAOPTIMIZACIÓN

CONDICIONES REQUERIDAS Función Objetivo Espacio Solución

Maximización Minimización

Cóncava Convexa

Conjunto convexo Conjunto convexo

SENTIDO DE LA OPTIMIZACION

CONDICIONES REQUERIDAS

f(x) gi(x) i Maximización Convexa ≥ 0 ( 1 ≤ i ≤ r )

Cóncava Cóncava ≤ 0 ( r+1 ≤ i ≤ p ) Lineal Sin restricción ( p+1 ≤ i ≤ n )

Minimización Convexa ≤ 0 ( 1 ≤ i ≤ r ) Convexa Cóncava ≥ 0 ( r+1 ≤ i ≤ p ) Lineal Sin restricción ( p+1 ≤ i ≤ n )

La programación cuadrática (PC), al igual que la programación lineal entera, es pariente cercana de la programación lineal. Comparemos lo siguiente:


46

Problema de programación lineal: Maximice o minimice el valor de la

función objetivo LINEAL sujeta a un conjunto de restricciones de igualdad y desigualdad lineal así como a condiciones de no negatividad sobre los valores de las variables de decisión.

Problema de programación cuadrática: Maximice o minimice el valor de

una función objetivo CUADRATICA sujeta a un conjunto de restricciones lineales de igualdad y desigualdad así como a condiciones de no negatividad sobre los valores de las variables de decisión.

Es obvio que la única diferencia en estos dos problemas se encuentra en la

forma funcional de la función objetivo. Ejemplo de funciones cuadráticas:

749 121 xx

1413201543 212221

21 xxxxxx

Estas funciones son la suma de los términos que incluyen los cuadrados de las variables (por ejemplo, 2

13x ), productos cruzados (por ejemplo, 214 xx ), funciones

lineales (por ejemplo, 120x ) y constantes (por ejemplo, 14). En general una función cuadrática en N variables se puede escribir bajo la forma

DxCxxBxA i

N

iij

N

ijiij

N

ii

N

ii

11

1

1

2

1

Puede observarse que cuando todos los coeficientes iA y ijB son cero

entonces la función es lineal. Por consiguiente, una función lineal es un caso especial de una función cuadrática.

Ejemplo numérico: Min z = 2

22

1 )8()6( xx s.a. 71 x

52 x

122 21 xx

921 xx

0, 21 xx Consideremos un problema de programación no lineal cuya función objetivo

es la suma de términos de la forma el grado del término

Un problema de programación no lineal, cuyas restricciones son lineales y cuya función objetivo es la suma de


47

términos de la forma (en la cual cada término tiene un grado de 2, 1 o 0) es un problema de programación cuadrática.

Vamos a ilustrar de manera general el método de WOLFE para resolver problemas de programación cuadrática:

Se define un problema de programación cuadrática como:

s.a.

Donde (Vector en con componentes continuas), C es un vector de precios con n componentes, Q es una matriz de nxn , simétrica y positiva definida, es decir ,

para toda , excepto X = 0, b es el vector de recursos con m componentes, A es una matriz de m*n coeficientes tecnológicos y 0 es un vector con n ceros.

El problema de optimización anterior tiene restricciones lineales, si Q es una matriz nula se convierte en un problema de programación lineal. Como Q es positiva definida , implica que W es una función estrictamente convexa y por lo tanto el mínimo si existe es global; si Q es negativa definida, W es estrictamente cóncava y si el máximo existe es global.

A continuación se escribe el problema en notación algebraica, se le aplican los multiplicadores de Lagrange, se verifican las condiciones necesarias y suficientes de Karush – Kuhn- Tucker que deben existir en un óptimo global.

El método de Wolfe sigue con la reescritura del problema original como un problema de programación lineal con holguras complementarias; éste último problema es equivalente al problema original. El problema de programación lineal a resolver será de 2(m + n)n variables, m + n restricciones lineales y m + n restricciones de holgura complementaria.

Ejemplo: Resolver el siguiente problema de programación cuadrática por el método de Wolfe :

Aplicando los multiplicadores de Lagrange tenemos:


48

Las primeras derivadas parciales son:

El problema de programación lineal equivalente al original de acuerdo al método Wolfe es:

Con las siguientes restricciones de holgura complementaria:

Utilizando el método Simplex se tiene que la solución básica inicial es:

En la primera iteración entra y sale X1 ( es de aclarar que aunque el Simplex escoge 1 y 2 para entrar a la base antes que lo haga X2, 1 y 2 no son aceptables, ya que Y1 y Y2 son positivos). El punto extremo luego de recalcular es:

En la tercera iteración no pueden entrar a la base 1 y 2 y Y1 y Y2 son positivas; el Simplex toma como siguiente candidato a 1 y de salida Y1 ; el punto extremo después de iterar es:


49

En la última iteración (V1 = 0 y V2 = 0) debe entrar X1 pero no puede porque 1 es positivo; el siguiente elemento a entrar a la base es 1 el cual reemplaza a V2 Luego De recalcular ( pivotear) el punto extremo es:

La solución anterior corresponde al óptimo:

Solución grafica

Nos permite visualizar el óptimo, pero tiene la desventaja de servir únicamente para representar pocas variables, hasta tres (3).

Ejemplo 1: Resolver el siguiente problema de programación cuadrática.

Min z = 22

21 )8()6( xx

s.a. 71 x

52 x

122 21 xx

921 xx

0, 21 xx Solución obtenida con el WINQSB, menú Quadratic and Integer Quadratic

Programming

Para graficar la función objetivo se puede escribir en la forma:


50

64163612 2221

21 xxxx , pero también se puede reconocer la expresión

22

21 )8()6( xx = k como la ecuación de un círculo con radio k y centro en el

punto (6,8).

La FO. es un caso especial de nuestra función cuadrática

Los contornos de la FO. son círculos concéntricos alrededor del punto (6,8), puesto que estos contornos aumentan de valor según aumenta el radio k y puesto que el problema es de Min., la solución óptima se encuentra en el punto (4,4). Este se puede describir en forma aproximada como el punto donde el contorno “toca por primera vez” la región factible (es un punto de tangencia)

La solución óptima se encuentra en el punto (4,4) El valor óptimo de la FO. (e.i. su valor en el punto (4,4)) es (4-6)2 + (4-8)2 =

20. Comparación con PL: i) No necesariamente existe un vértice óptimo. Por lo tanto para solucionar

este problema no se puede usar un algoritmo como el simplex, que busca el mejor vértice.

ii) Como un resultado directo de i), puede existir más variables positivas en la solución óptima que restricciones. Para el problema del ejemplo hay 5 variables positivas (x1, x2, s1, s2, s3) y solo 4 restricciones.

Solución por computadora

Los problemas de PC del mundo real se solucionan con computadoras.

Decision Solution Unit Cost or Total Dual Basis Allowable Allowable Variable Value Profit c(j) Contribution Slack Status Min. c(j) Max. c(j) 1 X1 4.00 -12.00 -48.00 0 basic -17.00 -7.00 2 X2 4.00 -16.00 -64.00 0 basic -26.00 -6.00 3 X1 * X1 1.00 16.00 4 X2 * X2 1.00 16.00 Objective Function (Min.) = - 80.00 + 100 = 20 Left Hand Right Hand Slack Shadow Allowable Allowable Constraint Side Direction Side or Surplus Price Min.RHS Max. RHS 1 C1 4.00 <= 7.00 3.00 0 4.00 M 2 C2 4.00 <= 5.00 1.00 0 4.00 M 3 C3 12.00 <= 12.00 0 4.00 2.00 13.67 4 C4 8.00 <= 9.00 1.00 0 8.00 M Ejercicios: Resolver los siguientes problemas de programación cuadrática (PC): 1) Min. z = (x1-2)2 + (x2-1)2


51

s.a. x1 – x2 ≤ 1 x1 + x2 ≤ 2 x1 , x2 ≥ 0

2) Min. z = (x1-2)2 + (x2-2)2 s.a. x1 + 2x2 ≤ 3 8x1 + 5x2 ≥ 10

x1, x2 ≥ 0 3) Min. z = 211

22

21 2622 xxxxx

s.a. 221 xx

0, 21 xx

4) Min. z = 21 2010 xx 22

2121 22 xxxx

s.a.

10

8

421

32

xxx

xx

0ix i=1,2,3,4

Selección de Cartera La selección de cartera es un problema fundamental en las finanzas

modernas. Problema: Un inversionista tiene $P para invertir en un grupo de n acciones y

quisiera saber cuanto invertir en cada una de ellas. La combinación seleccionada se conoce como cartera del inversionista. El inversionista tiene metas contradictorias: le gustaría tener una cartera que tuviera al mismo tiempo un gran rendimiento esperado y un riesgo pequeño. Estas metas son contradictorias porque lo más frecuente es que, en el mundo real, las carteras con alto rendimiento esperado tengan también alto riesgo.

Alto rendimiento esperado = alto riesgo Rendimiento: Supóngase que una inversión de Di dólares se aplica al activo

i y suponga que durante algún período de tiempo especificado estos Di dólares se convierten en 1.3Di

En este caso, el rendimiento durante ese período es de 30.03.1

i

ii

D

DD

El riesgo se mide mediante la varianza del rendimiento en la cartera. El gerente de cartera busca bajos riesgos con alto rendimiento esperado, una

forma de enmarcar el problema es minimizar, la varianza del rendimiento (e.i, minimizar el riesgo) sujeto a un límite inferior del rendimiento esperado. También pueden existir algunas restricciones sobre la parte de la cartera dedicada a acciones individuales en particular.


52

2.3.1 Formulación del modelo de cartera

Suponer que: Xi es la proporción de la cartera invertida en la acción i

Ejemplo: En un modelo de dos acciones si se tiene P dólares para invertir y si la solución óptima fuera X1 = 0.7 y X2 = 0.3 entonces se invertiría un total de 0.7P dólares en la acción 1 y los restantes 0.3P dólares en la acción 2.

El modelo general para el problema de dos activos es:

2i = varianza de los rendimientos anuales de la ecuación i, i = 1,2

12 = covarianza de los rendimientos anuales de las acciones 1 y 2 Ri = rendimiento anual esperado de la acción i, i = 1,2 G = límite inferior sobre el rendimiento anual esperado de la inversión total. Si = límite superior sobre la inversión en la acción i, i = 1,2 1. La varianza de los rendimientos anuales de la acción i es un

número que describe la “variabilidad” de estos rendimientos de un año a otro.

2. La covarianza de los rendimientos anuales de las acciones 1 y 2 es un número que describe el grado hasta el que los rendimientos de las dos acciones ascienden o descienden juntos.

3. El rendimiento esperado de la cartera se define por el número X1R1 + X2R2.

4. La varianza de la cartera se define por el número 22

222112

21

21 2 XXXX .

En base a estas definiciones el modelo formal de cartera – dos activos toma

la forma:

Min z = 22

222112

21

21 2 XXXX (varianza de rendimientos)

s.a. X1 + X2 = 1 (Se tiene que invertir todos los fondos) X1R1 + X2R2 G

X1 S1 X2 S2

X1, X2 0

Ejemplo numérico : Dado la siguiente información 09.02

1 R1= 0.06 S1= 0.75 G = 0.03

06.022 R2= 0.02 S2= 0.90 02.012

El modelo de PC es: Min z = 2

2212

1 649 XXXX (Varianza de rendimiento) s.a. X1 + X2 = 1 (Se tiene que invertir todos los fondos)

6X1 + 2X2 3 (Límite superior sobre el rendimiento esperado de la cartera)

Límite inferior sobre el rendimiento esperado de la cartera

Límites superiores sobre las inversiones en acciones individuales


53

X1 0.75 (Límites superiores sobre las inversiones en acciones individuales)

X2 0.90 X1, X2 0

Solución:

La solución gráfica del problema de selección de cartera muestra el conjunto factible. Debido a la restricción de igualdad (x1 + x2 = 1) el conjunto factible es el segmento de recta que conecta los puntos (0.25, 0.75) y (0.75, 0.25). Cada contorno de la función objetivo es una elipse con su centro en el origen y su eje menor sobre una recta que forma un ángulo de 26.55 º con el eje x1. Al graficar varias elipses, la forma es la misma, pero aumenta en tamaño. El problema es seleccionar el valor más pequeño para el contorno en forma tal que la elipse tan solo toque el conjunto factible. En la figura, el contorno 4.54 toca al conjunto factible en el punto

)64.0,36.0( *2

*1 xx que es la solución óptima.

No es importante como elaborar estos contornos. Después de todo los

problemas reales se solucionan con la computadora, no en forma gráfica . Sin embargo, la representación geométrica es una forma útil de comprender

el modelo y una manera práctica de interpretar las propiedades de la solución. A continuación se presenta la solución con el WINQSB. La proporción óptima

de la cartera invertida en la acción 1 es x1 = 0.36 y en la acción 2 es x2 = 0.64, la varianza de rendimiento de la cartera es de 4.55. Dado que la holgura en la restricción del rendimiento esperado (C2) es 0.45, se sabe que el rendimiento esperado de esta cartera es 3.45, entonces se dice que la restricción de rendimiento esperado es inactiva. Comparando los valores óptimos de x1 y x2, se observa que la cartera óptima contiene más del valor con el rendimiento anual esperado más bajo (e.i el valor 2). La razón es que la varianza del valor 2 es inferior a la del valor 1. La combinación óptima es aquella que minimiza la varianza de la cartera al mismo tiempo que garantiza un rendimiento de cartera esperado de por lo menos el 3%.


54

Decision Solution Unit Cost or Total Dual Basis Allowable Allowable Variable Value Profit c(j) Contribution Slack Status Min.c(j) Max. c(j) 1 X1 0.36 0 0 0 basic -8.50 2.50 2 X2 0.64 0 0 0 basic -2.50 8.50 3 X1 * X1 9.00 1.19 4 X1 * X2 4.00 0.93 5 X2 * X2 6.00 2.43 Objective Function (Min.) = 4.55 Left Hand Right Hand Slack Shadow Allowable Allowable Constraint Side Direction Side or Surplus Price Min. RHS Max. RHS 1 C1 1.00 = 1.00 0 0 1.00 M 2 C2 3.45 >= 3.00 0.45 0 -M 3.45 3 C3 0.36 <= 0.75 0.39 0 0.36 M 3 C4 0.64 <= 0.90 0.26 0 0.64 M

Modelo de cartera formal con 3 activos

Supóngase que: X = fracción del activo x en la cartera Y = fracción del activo y en la cartera Z = fracción del activo z en la cartera Usaremos la terminología “activo i” para referirse al activo x, al activo y o al

activo z. - En el mundo real se tienen que estimar los rendimientos esperados,

varianzas y covarianzas con datos históricos. - En general si se cuenta con n períodos (años) de datos, para cada activo i

habrá un rendimiento histórico real tiR relacionado con cada periodo t

donde t oscila desde 1 hasta n. En otras palabras, cada activo tendrá n rendimientos históricos.

- El rendimiento periódico esperado del activo i se estima con:

n

t

tii R

nR

1

1

que es el promedio de los rendimientos históricos del activo. Los rendimientos históricos periódicos t

iR se usan también para estimar las

varianzas y covarianzas. Las fórmulas adecuadas son:

Estimación de la varianza del rendimiento para el activo i = 2

1

1

n

ti

ti RR

n

Estimación de la covarianza de los

rendimientos para los activos i y j =

n

tj

tji

ti RRRR

n 1

1


55

Definimos: G = límite inferior sobre el rendimiento esperado de la cartera. Si = límite superior sobre la fracción del activo i que puede estar en la cartera. En términos de los parámetros, la formulación de la programación cuadrática

del problema de tres activos es: Min Z = YZXZXYZYX YZXZXYZYX 222222222 ←objetivo cuadrático

s.a. RXX + RYY + RZZ G X + Y + Z = 1 X SX

Y SY Z SZ X, Y, Z 0

- La función objetivo es la varianza del rendimiento de la cartera, se considera normalmente que sea el riesgo de la cartera.

- La primera restricción expresa el límite inferior sobre el rendimiento esperado de la cartera.

- La segunda restricción afirma que las fracciones suman uno y las restricciones restantes son límites superiores.

Cuando se permite que una cartera esté integrada por más de tres activos el

rendimiento esperado se define como:

n

iiiRX

1

donde Ri es el rendimiento esperado del activo i y Xi es la fracción del activo i en la cartera. En este caso general de N activos, la varianza de rendimiento de la cartera se define como:

N

i

N

i

N

ijijjiii XXX

1

1

1 1

22 2

Ejemplo: Consideremos tres acciones y rendimientos históricos desde 1995-2006. Las tres acciones seleccionadas son Cementos Pacasmayo, Telefónica y Electro Perú. Los rendimientos para 1995-2006 son (datos tomadas de las SBS, 2006).

Tabla Nº 14: Rendimientos actuales

RENGLON CEMENTOS

PACASMAYO

TELEFÓNICA ELECTRO

PERÚ

1 0.300 0.225 0.149

2 0.103 0.290 0.260

3 0.216 0.216 0.419

La región factible es igual que en PL


56

4 -0.046 -0.272 -0.078

5 -0.071 0.144 0.169

6 0.056 0.107 -0.035

7 0.038 0.321 0.133

8 0.089 0.305 0.732

9 0.090 0.195 0.021

10 0.083 0.390 0.131

11 0.035 -0.072 0.006

12 0.176 0.715 0.908

Definición de rendimiento El rendimiento en el año n se define mediante

donde los precios de cierre y los dividendos se expresan en dólares/acción.

Varianzas y covarianzas estimadas

Cementos Pacasmayo Telefónica Electro Perú

Cementos

Pacasmayo

1.08075E-02

Telefónica 1.24072E-02 5.83917E-02

Electro Perú 1.30751E-02 5.54264E-02 9.42268E-02

Rendimiento promedio

ACCION RENDIMIENTO PROMEDIO

Cementos Pacasmayo 8.90833E-02

Telefónica 0.213667

Electro Perú 0.234583

Supónganse que se desea minimizar la varianza del rendimiento de la cartera, sujeta a un rendimiento esperado del 15% y una restricción de que no más del 75% de la cartera puede ser de alguna acción individual.

El modelo de cartera formal de tres activos es: Min z = 0.0108075X2 + 0.0583917Y2 + 0.0942268Z2 + 0.0248144XY +

0.0261502XZ + 0.1108528YZ s.a. 0.089X + 0.21Y + 0.23Z 0.15

X + Y + Z = 1 X 0.75

(precio de cierre, n) – (precio de cierre, n-1) + (dividendos, n) (precio de cierre, n-1)


57

Y 0.75 Z 0.75 X, Y, Z 0

Solución:

La solución especifica una cartera de 52% para el activo Cementos Pacasmayo, 37% para Telefónica y 12% para el activo Electro Perú. El renglón C1 es activo, puesto que el rendimiento anual esperado es exactamente 15%. El valor óptimo señala que la varianza del rendimiento anual es aproximadamente de 0.023, lo que significa que la desviación estándar es %15023.0 .

Decision Solution Unit Cost or Total Dual Basis Allowable Allowable Variable Value Profit c(j) Contribution Slack Status Min. c(j) Max. c(j) 1 X1 0.52 0 0 0 basic -0.17 0.01 2 X2 0.37 0 0 0 basic -0.01 0.02 3 X3 0.12 0 0 0 basic -0.03 0.01 4 X1 * X1 0.01 0.00 5 X1 * X2 0.02 0.00 6 X1 * X3 0.03 0.00 7 X2 * X2 0.06 0.01 8 X2 * X3 0.11 0.00 9 X3 * X3 0.09 0.00 Objective Function (Min.) = 0.023 Left Hand Right Hand Slack Shadow Allowable Allowable Constraint Side Direction Side or Surplus Price Min. RHS Max. RHS 1 C1 0.15 >= 0.15 0 0.38 0.13 0.21 2 C2 1.00 = 1.00 0 0.01 1.00 1.14 3 C3 0.52 <= 0.75 0.23 0 0.52 M 4 C4 0.37 <= 0.75 0.38 0 0.37 M 5 C5 0.12 <= 0.75 0.63 0 0.12 M


58

1. En los siguientes enunciados escriba una (V) si considera verdadero y (F) si es falso.

( ) 1.1 Un programa de programación cuadrática puede tener funciones de

restricción cuadrática. ( ) 1.2 Cualquier problema de PL se puede solucionar con un código de PC. ( ) 1.3 La solución óptima a un problema de PC no tiene que ser, por

necesidad, un vértice. ( ) 1.4 La solución óptima a un problema de PC debe incluir, por lo menos,

tantas variables positivas como restricciones tenga. ( ) 1.5 El cambio en un coeficiente de un término en la función objetivo de un

PC siempre cambia la solución óptima. ( ) 1.6 La varianza de rendimiento de una cartera es una función lineal de la

cantidad invertida en cada acción en la cartera. 2. A continuación se dan una serie de afirmaciones, marque la letra de la

respuesta correcta en cada caso. 2.1 La definición de un problema de PC no incluye

a. condiciones de no negatividad b. funciones de restricción cuadrática c. restricciones lineales de igualdad d. términos no lineales en la función objetivo

2.2 En un problema de PC con n variables (x1, … xn), la función objetivo quizá

no incluya términos de la forma a. 2

js

b. ji xx

c. ji xx .2

d. ix9

2.3 Un PL es un caso especial de un PC porque

a. la región factible de un PL es un caso especial de una región factible de un PC.

b. las funciones de restricción de un PL son un caso especial de funciones de restricción de un PC.

c. las condiciones de no negatividad son especiales de un PL. d. la función objetivo de un PL es un caso especial de una función

objetivo de un PC.

2.4 La solución óptima de un problema de PC con n restricciones quizá no tenga a. valores negativos para algunas variables de decisión.


59

b. mas de n variables de decisión positivas c. menos de n variables de decisión positivas d. valores cero para algunas variables de decisión.

2.5 La solución optima de un problema de PC a. tiene que encontrarse en un vértice del conjunto factible b. no puede estar en un vértice del conjunto factible c. siempre es no degenerada d. nada de lo anterior

2.6 En la solución optima para un problema de PC las variables de holgura y

excedente a. no tienen significado aunque aparezcan en la solución por computadora b. tienen el mismo significado que en un problema de PL. c. tienen un significado diferente al de un problema de PL. d. no tienen restricciones en signo

2.7 WINQSB se puede utilizar para resolver

a. problemas generales de programación no lineal b. PC c. PL d. todo lo anterior

2.8 Relajar una restricción en un problema de cartera

a. tiene que aumentar el precio dual de esa restricción b. tiene que disminuir el precio dual de esa restricción c. puede cambiar el signo del precio dual en esa restricción d. no puede aumentar la función objetivo

3. Resolver el siguiente problema de programación cuadrática:

Min. z = 21 2010 xx 22

2121 22 xxxx

s.a.

10

8

421

32

xxx

xx

0ix i=1,2,3,4

5. EDPYME CONFIANZA tiene una cartera con 3 activos X, Y y Z. Los

rendimientos históricos de estos tres activos durante la última década se dan a continuación:


60

ACTIVO X ACTIVO Y ACTIVO Z

0.22 0.115 0.387 -0.074 -0.092 0.062 0.045 0.086 0.098 0.087

0.423 0.391 0.298 -0.275 0.148 0.136 0.421 0.395 0.198 0.384

0.185 0.246 0.521 -0.084 0.169 -0.042 0.141 0.722 0.031 0.143

Se pide:

a) El rendimiento promedio de cada acción. b) La matriz de varianzas y covarianzas c) Si se desea minimizar la varianza del rendimiento de la cartera, sujeto a un

rendimiento esperado del 17% y una restricción de que no más del 75% de la cartera puede ser de alguna acción individual, hallar la solución óptima del problema.

6. Las acciones A, B y C tienen rendimientos esperados del 7%, 6% y 10%, respectivamente y la siguiente matriz de covarianza:

A B C A B B

0.01 0.001 0.04 0.001 -0.04 0.08

a) Determine la fracción de la cartera que se debe mantener de cada acción con el fin de minimizar la varianza de la cartera sujeta a un rendimiento esperado mínimo del 8%.

b) ¿Puede ser la varianza de la cartera menor que la varianza de cualquier acción individual? Explíquelo.

c) ¿Que le ocurriría a la varianza de la cartera óptima si el rendimiento esperado mínimo se elevara al 9%?


61

PROGRAMACION DINAMICA

Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante será capaz de:

• Plantear y resolver problemas de optimización en general, a través de una serie de ejemplos prototipo.

• Analizar situaciones donde la optimización se da a través de una serie de decisiones aparentemente independientes, pero cuya combinación nos lleva a obtener la solución óptima.

• Promover el razonamiento crítico de los resultados obtenidos en el modelado con software de Investigación Operativa.

3.1 Introducción

La investigación de operaciones es un área de las matemáticas surgida durante la Segunda Guerra Mundial. Se refiere al diseño y aplicación de modelos matemáticos con el fin de obtener la mejor solución posible a un problema, dadas ciertas limitaciones de recursos.

La programación dinámica es un método de investigación de operaciones que permite resolver un problema de n variables dividiéndolo en n problemas de una variable cada uno. La solución particular de cada etapa depende del contexto, por lo que no hay un modelo general para programación dinámica. La solución óptima de cada etapa se utiliza como variable de entrada de la etapa siguiente.

La programación dinámica se utiliza tanto en problemas lineales como no

lineales. Es útil para resolver un problema donde se deben tomar una serie de decisiones interrelacionadas. A diferencia de la programación lineal, la programación dinámica no tiene formulación matemática estándar. Se trata de un enfoque de tipo general para la solución de problemas, y las ecuaciones se derivan de las condiciones individuales de los mismos.

Muchos problemas de programación matemática determinan soluciones que repercuten en la formulación de los problemas a resolver en el próximo periodo o etapa. Una alternativa es construir un único modelo completo que tenga un gran conjunto de variables indexadas por etapas e iternalizar las relaciones entre etapas como una restricción del problema.


62

Sin embargo esto pude agrandar mucho el tamaño del problema. Surge así Programación Dinámica (PD) como una alternativa de descomposición en que resolvemos subproblemas más pequeños y luego los ligamos. Así, la programación dinámica consiste en solucionar un problema suponiendo que en cada etapa futura siempre se tomaran las decisiones correctas.

La programación dinámica es un enfoque general para la solución de

problemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. Las decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolución futura del sistema, afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrará en el futuro (denominadas estados), y a las decisiones que se plantearán en el futuro.

Conviene resaltar que a diferencia de la programación lineal, el modelado de problemas de programación dinámica no sigue una forma estándar. Así, para cada problema será necesario especificar cada uno de los componentes que caracterizan un problema de programación dinámica.

El procedimiento general de resolución de estas situaciones se divide en el análisis recursivo de cada una de las etapas del problema, en orden inverso, es decir comenzando por la última y pasando en cada iteración a la etapa antecesora. El análisis de la primera etapa finaliza con la obtención del óptimo del problema. 3.2 Características de un Problema de Programación Dinámica

Para que un problema pueda ser resuelto con la técnica de programación dinámica, debe cumplir con ciertas características:

3.2.1 Naturaleza secuencial de las decisiones: El problema puede ser dividido en etapas.

3.2.2 Cada etapa tiene un número de estados asociados a ella. 3.2.3 La decisión óptima de cada etapa depende solo del estado actual y no de

las decisiones anteriores. 3.2.4 La decisión tomada en una etapa determina cual seria el estado de la

etapa siguiente. En síntesis, la política optima desde un estado “s” de la etapa k a la etapa

final esta constituida por una decisión que transforma “s” en un estado “ s’ ” de la etapa k +1 y por la política optima desde el estado ”s’ “ hasta la etapa final.

3.2 Modelos de Programación Dinámica Existen tres modelos diferentes manejados por WINQSB.

Problema de la diligencia (Stagecoach Problem)

Problema de la mochila (Snapsack Problem) Programación de producción e inventarios (Production and Inventory

Scheduling)


63

3.3.1 El problema de la diligencia Ejemplo 1:

Considérese el gráfico que contempla las rutas posibles para ir desde la ciudad 1 hasta la ciudad 10. Cada nodo representa una ciudad y los arcos la infraestructura vial disponible. La tabla recoge el costo asociado al desplazamiento entre cada par de nodos para cada una de las etapas. Supondremos que todos los desplazamientos tienen la misma duración, y que el viaje ha de realizarse en cuatro etapas. Cada una de ellas se corresponde con un único desplazamiento entre un par de nodos del grafo, así al finalizar la primera etapa estaremos en una de las ciudades 2, 3 ó 4. La segunda etapa finalizará en la ciudad 5, la número 6 ó la número7. La tercera jornada nos llevará a la ciudad 8 o a la número 9. La cuarta etapa permite finalizar el viaje en la ciudad 10.

2 5

8

1 3 6 10

9

4 7

3

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 4 3 2 7 4 6 5 1 4 8 3

3 3 2 4 6 6 3 9 4

4 4 1 5 7 3 3


64

3.2 Terminología y notación básica

Períodos o etapas: Sea N= {1, 2,....., n} un conjunto finito de elementos. Mediante el índicen N , representamos cada uno de ellos. N es el conjunto de períodos oetapas del proceso. En la ilustración anterior N= {1, 2, 3, 4}, las cuatro etapas del viaje, cada una de ellas es un período y se representa mediante un valor del índice n, así cuando n =1 nos estamos refiriendo a la primera etapa del proceso. Espacio de estados: {S N } es una familia de conjuntos, uno para cada período n. S se denomina espacio de estados en el período n. Cada uno de sus elementos, que se representa mediante Sn, es un estado, que describe una posible situación del proceso en ese período. En nuestro ejemplo, S1 = {1}, S2 = {2, 3, 4}, S3= {5, 6, 7}, S4= {8, 9}. La función recursiva: Dados unos nodos y unos arcos que conectan estos nodos, el problema de la diligencia intenta encontrar la ruta más corta que conecta un nodo de arranque con el nodo final (el destino).

Sea s: el estado de inicio; j: estado destino

n: la fase, normalmente representa el número de arcos hasta el destino. C(s,j): costo o distancia de ir desde s hasta j. f(n,s): la política de costo mínimo cuando se encuentra en el estado s de

la etapa n. La relación recursiva dinámica se expresa como

f(n,s) = mínimo [C(s,j) + f(n-1,j)] para todos los arcos ( s,j) en la red

3.3.3 Ingresando el problema al WINQSB

El problema contiene 10 nodos claramente identificados:

Al pulsar OK podremos ingresar el resto de información, el cual se basa


65

en las relaciones existentes entre los nodos:

Los valores van de acuerdo a la red establecida en el problema:

Para resolver el problema pulsamos la opción Resolver el problema (Solve the Problem) del menú Resolver y analizar (Solve and Analyze).

La ventana siguiente permite identificar los nodos de inicio y fin: Identifica el nodo de inicio

Identifica el nodo fin

Al pulsar SOLVE generamos la solución al problema:


66

Si queremos una solución detallada debemos pulsar sobre Mostrar solución detallada (Show Solution Detail) en el menú Resultados (Results):

3.3.4 Problema de la mochila o canasta de equipaje

La idea básica es que existen N tipos distintos de artículos que pueden

cargarse en una mochila; cada artículo tiene asociados un peso y un valor. El problema consiste en determinar cuántas unidades de cada artículo se deben colocar en la mochila para maximizar el valor total. Nótese que este enfoque resulta útil para la planificación del transporte de artículos en algún medio, por ejemplo: carga de un buque, avión, camión etc. También es utilizable este modelo en planificación de producción, por ejemplo enrutamiento de la producción a través de varias máquinas. Ejemplo 2:

La carga de un avión se distribuye con el propósito de maximizar el ingreso total.


67

Se consideran 5 elementos y sólo se necesita uno de cada uno. La compañía gana 5000 u.m. por elemento más una bonificación por elemento. El avión puede transportar 2000 libras.

ElementoPeso,

lb Volumen,

pies3 Valor

bonificación 1 1000 70 7002 1100 100 8003 700 100 11004 800 80 10005 500 50 700

a) ¿Cuáles elementos deben transportarse? b) Si se considera un volumen máximo de 200 pies cúbicos. ¿Cuáles

elementos deben transportarse?

El problema se desarrolla bajo las dos consideraciones, primero teniendo en cuenta el peso y luego el volumen. Como puede apreciarse este es un problema que bien podría resolverse por programación lineal entera teniendo en cuenta la función objetivo y restricciones siguientes:

Max. z 5700 x1 5800 x2 6100 x3 6000 x4 5700 x5 s.a. 1000 x1 1100 x2 700

x3 800 x4 500 x5 2000 x j 1, entero.

Siendo xj el elemento j a transportar.

Para el caso del volumen se reformaría la primera restricción cambiando los coeficientes por los volúmenes de los ítems.

Sea j: la variable que representa el artículo:

x(j): el número de unidades cargadas del artículo j w(j): el espacio o el peso que demanda cada unidad del artículo j R(j,x(j)): la función del retorno del artículo j si se llevan x(j) unidades

en la mochila, del artículo j g(j,w): retorno del total acumulativo dado el espacio w disponible

para el artículo j

La relación recursiva dinámica se expresa como:

g(j,w) = máximo {R(j,x(j)) + g[j-1,w-w(j)x(j)]} para todo posible x(j)

Ahora ingresemos los datos al WINQSB:


68

La entrada de datos queda como sigue.

Al resolver el problema tenemos:

La solución nos indica que se deben transportar los ítems 3, 4 y 5 con un retorno total de 17800 u.m. y utilización plena de la capacidad (en peso), disponible del avión. Teniendo en cuenta sólo el volumen, el nuevo modelo es:


69

La solución es:

3.3.5 Programación de producción e inventarios

El problema consiste en determinar un programa de producción para un

periodo de tiempo con el fin de minimizar los costos totales relacionados. Hay demandas conocidas para cada periodo, límites de capacidad tanto para la producción como para los inventarios (almacenamiento). Cuando hay más producción que demanda, se acumula inventario, y cuando la producción es menor que la demanda, se generarán retrasos en el cumplimiento de pedidos (backorder). Para cada periodo, una producción no-cero incurre en un costo de preparación. En programación dinámica, el costo variable se expresa como una función de la producción (P), el inventario (H), y backorder (B).

Sea: o P(n): el número de unidades producidas en el periodo n o D(n): la demanda en el periodo n o H(n): el inventario disponible al final del periodo n o B(n): el backorder al final del periodo n o I(n): la posición del inventario al final del periodo n, es decir, I(n) =

H(n)I(n) =B(n) I (n) = I(n-1) + P(n) - D(n) o S(n): el costo de preparación en el periodo n o V (P(n), I(n)): el costo variable = función de P(n), H(n), y/o B(n) o C(n,P(n),I(n)): = S(n) + V(P(n),I(n)) si P(n)>0, = V(P(n),I(n)) si P(n)=0 o F(n,i): costo total acumulativo dado el nivel del inventario inicial, para el

periodo n

La relación recursiva dinámica se expresa como: f(n,i) = máximo {C(n,P(n),i+P(n)-D(n)) + f(n-1,i+P(n)-D(n))} para todo posible P(n).


70

Ejemplo 3:

La tabla muestra los datos del siguiente problema de producción e inventario: la demanda para los meses de enero, febrero, marzo y abril es de 4, 5, 3 y 4 unidades, respectivamente. Las capacidades de producción son de 6, 4, 7, y 5 unidades; las capacidades de almacenaje son 4, 3, 2 y 4 unidades respectivamente. Los costos de preparación varían de un mes a otro y son: 500, 450, 500 y 600 u.m. para enero, febrero, marzo y abril.

Mes Costos Demanda Capacidad de

producción Capacidad de

AlmacenamientoEnero 500 4 6 4

Febrero 450 5 4 3 Marzo 500 3 7 2 Abril 600 4 5 4

Determinar un programa de producción con el fin de minimizar los costos totales relacionados. Al igual que en los ejercicios anteriores, se procede a ingresar los datos:

La tabla inicial permite ingresar los datos expuestos en el ejemplo.


71

La ventana debería quedar como sigue:

La solución del problema es:

Las cantidades a producir mostradas en la tabla son de tal forma que permiten un costo mínimo en la planeación: se deben producir 5, 4, 3 y 4 unidades para los meses de enero, febrero, marzo y abril respectivamente. El costo total es de $7080, dividido en $2050 por concepto de costos de preparación y $5030 de costos variables. La tabla también muestra el juego de inventarios resultante de la producción y la demanda mensuales.

1. Suponga que se desea seleccionar la ruta más corta entre las ciudades O y T.

La red a continuación muestra las rutas posibles entre ambas ciudades, las cuales cruzan por las ciudades intermedias A-E.

A 12 D 7 8 9 8 T O B 7 9 6 5 C 13 E


72

2. Imaginemos un excursionista que se dispone a llenar su mochila antes de un

viaje. Para ello ha de seleccionar algunos objetos de entre un conjunto N = {1,2, . . . ,n} de objetos posibles, donde suponemos que hay una unidad de cada objeto. El objeto i є N pesa ai kgs., y el excursionista ha fijado un limite de b kgs. en el peso que esta dispuesto a llevar a la espalda en la mochila. Por otra parte, cada objeto i є N tiene para el mochilero un valor ci. El problema que se plantea es: ¿Cual es la selección optima de objetos para llevar en la mochila? Como se puede imaginar, pocos excursionistas han usado tal modelo. Sin embargo, si se cambian las palabras “excursionista” por “empresa”, “objeto” por “proyecto”, y “mochila” por “cartera” (de proyectos), se obtiene un modelo de selección óptima de proyectos que si resulta de interés aplicado. Además de esta, se han encontrado multitud de aplicaciones para el problema de la mochila, reinterpretando el modelo con imaginación en distintos contextos. Para el caso práctico, considere n = 5 objetos y los datos: b = 178; a = (ai) = (79, 53, 53, 45, 45) y c = (ci) = (2, 5, 5, 1, 8). Halle la solución óptima.

3. Se dispone de 5 brigadas para asignar a 3 sectores. Se desea determinar cuántas brigadas asignar a cada sector, si es que le asigna, para maximizar el aumento total en el rendimiento. Se tiene los siguientes datos del consejo que muestran el aumento en unidades producidas, según la asignación que se haga en cada uno de los sectores. Puede asignar de 0 a 5 brigadas para cada uno de los sectores.

Número de brigadas asignadas

Sectores:

1 2 3

0 0 0 0 1 45 20 50 2 70 45 70 3 90 75 80 4 105 110 100 5 120 150 130

4. Un Técnico Forestal, debe revisar 3 faenas: Poda, raleo y cosecha, y dispone de

4 días. Según la dedicación en días que le da a cada faena, éstas tendrán una probabilidad de fracasar, y con ello fracasar la faena total, por lo que puede ser despedido. Por ello, dicho Técnico desea minimizar la probabilidad de ser despedido minimizando la probabilidad de que las 3 tareas fracasen al mismo tiempo.

Dedicación / Faena

Poda

Raleo

Cosecha

0 día 0.50 0.60 0.40 1 día 0.42 0.51 0.35 2 días 0.36 0.41 0.21 3 días 0.25 0.36 0.18


73

MODELOS DE INVENTARIO


• Obtener modelos que permitan establecer la periodicidad con que debe establecerse un proceso de fabricación o hacerse un pedido.

• Determinar la magnitud del lote por fabricar o adquirir, considerando al mismo tiempo la minimización de costos de mantener las existencias un período determinado.

• Analizar y discutir modelos prototipo. • Resolver problemas utilizando el software WINQSB e interpretar los

resultados obtenidos. 4.1 Introducción

Comúnmente los inventarios están relacionados con la mantención de cantidades suficientes de bienes (insumos, repuestos, etc.), que garanticen una operación fluida en un sistema o actividad comercial. La forma efectiva de manejar los inventarios es minimizando su impacto adverso, encontrando un punto medio entre la poca reserva y el exceso de reserva. Esta actitud prevaleció en los países industrializados de Occidente, incluso después de la segunda guerra mundial, cuando Japón instauró con gran éxito el sistema (famoso ahora) "Just in time", ambiente que requiere un sistema de producción (casi) sin inventario.

Definicion Just In Time: "JIT es una concepción tendiente a eliminar los

inventarios, mediante mejoras en la calidad y reducción de desperdicios. JIT considera los inventarios como resultados de deficiencias en los componentes de la producción, tales como: diseño de productos; control de calidad; selección de equipos; administración del material, etc. Al eliminar estas imperfecciones, el proceso productivo puede equilibrarse y la dependencia del flujo de producción de los inventarios puede minimizarse o eliminarse. El sistema JIT es muy adecuado para la fabricación de carácter repetitivo, en consecuencia los requerimientos de las técnicas tradicionales de control de inventario para otro tipo de procesos productivos o de servicios, continuaran por cierto tiempo."


74

En la mayoría de las situaciones del mundo real, el manejo de inventario involucra un número apreciable de productos que varían en precio, desde aquellos relativamente económicos hasta los muy costosos. El inventario representa realmente el capital ocioso, es natural que se ejerza un control en aquellos artículos

que sean responsables en el incremento en el costo de capital. Empíricamente se ha comprobado que un pequeño número de productos del inventario son los que suelen incurrir en parte importante del costo del capital, por ende, son los que deben estar sujetos a control más estricto. ABC es un procedimiento simple que puede ser utilizado para separar los artículos que requieran atención especial en términos de control. Dicho procedimiento sugiere graficar el porcentaje de artículos del inventario total contra el porcentaje del valor monetario total de estos artículos en un período dado (generalmente un año). 4.2 Modelo de inventario generalizado

El objetivo final de cualquier modelo de inventario es dar respuesta a preguntas tales como:

1. ¿Qué cantidad de artículos deben pedirse? 2. ¿Cuándo deben pedirse? La respuesta a la primera pregunta se expresa en términos de lo que

llamaremos cantidad óptima de pedido (EOQ). Ella representa la cantidad óptima a ordenar cada vez que se realice un pedido y puede variar con el tiempo, dependiendo de la situación que se considere. La respuesta a la segunda pregunta dependerá del tipo de sistema de inventarios:

a) Si se requiere revisión periódica en intervalos de tiempo iguales, por ejemplo: cada semana, cada mes, etc., el tiempo para adquirir un nuevo pedido, suele coincidir con el inicio de cada intervalo de tiempo. b) Si se requiere revisión continua, el nivel de inventario al cual debe colocarse un nuevo pedido, suele ser especificado como punto para un nuevo pedido. En consecuencia, se puede expresar la solución del problema general de

inventarios como: a) Caso revisión periódica: Recepción de nuevo pedido de la cantidad especificada por EOQ en intervalos iguales de tiempo. b) Caso revisión continúa: Cuando el nivel de inventario llegue al punto para un nuevo pedido, se coloca el pedido de tamaño igual al EOQ. El modelo general de inventarios parece ser bastante simple, entonces,

¿porqué existen variedad de modelos que van desde el empleo del simple cálculo a refinadas aplicaciones de programación dinámica y matemática? La respuesta radica en la demanda: Sí la demanda del artículo es determinista o probabilística.

Una demanda determinista puede ser:


75

a) Estática: En el sentido que la tasa de consumo permanezca constante durante el transcurso del tiempo. b) Dinámica: Donde la demanda se conoce con certeza, pero varía al período siguiente. Una demanda probabilística tiene análogamente dos clasificaciones: a) Estado estacionario: Donde la función de densidad de probabilidad de la

demanda se mantiene sin cambios con el tiempo. b) Estado no estacionario: Donde la función de densidad de probabilidad varía con el tiempo. A pesar que el tipo de demanda es el factor principal en el diseño del modelo de inventarios, existen otros factores que también pueden influir en la manera como se formula el modelo. Entre estos factores se tiene: 1) Demoras en la entrega: Al colocar un pedido, puede entregarse inmediatamente o requerir de cierto tiempo. 2) Reabastecimiento del almacén: El abastecimiento del almacén puede ser instantáneo (cuando compra de fuentes externas), o uniforme (cuando el producto se fabrica dentro de la organización). 3) Horizonte de tiempo: Que puede ser finito o infinito. 4) Abastecimiento múltiple: Un sistema de inventario puede tener varios puntos de almacenamiento (en vez de uno). 5) Número de artículos: Puede contener más de un artículo, caso que es de interés, principalmente si existe alguna clase de interacción entre diferentes artículos.

4.3 Modelos Deterministas La gestión de inventario preocupa a la mayoría de las empresas cualquiera

sea el sector de su actividad y dimensión, por tres factores imperativos. No hacer esperar al cliente. Realizar la producción a un ritmo regular, aun cuando fluctúe la demanda. Comprar los insumos a precios más bajos. Una buena gestión de los inventarios es definir perfectamente: Mercadería a pedir. Fechas de pedido. Lugar de almacenamiento. La manera de evaluar el nivel de stock. Modo de reaprovisionamiento. Sistema de reaprovisionamiento


76

Reglas de Gestión Cuándo y Cómo Pedir.

1. Cuando es necesario el reaprovisionamiento del inventario; a fecha fija o fecha variable, según el nivel de stock.

2. Cuando es necesario pedir por cantidades fijas o variables según el nivel de stock.

Modelos deterministas. Es difícil idear un modelo general de inventarios que tome en cuenta todas las

variaciones de los sistemas reales, incluso, aun si puede ser formulado un modelo lo suficientemente general tal vez no sea posible su resolución analítica, por consiguiente, estos modelos tratan de ser ilustrativos de algunos sistemas de inventarios.

4.4 Modelo Estocástico de un solo artículo (CPE).

Demanda constante con el tiempo, con reabastecimiento instantáneo y sin escasez.

Figura Nº 4: Variación del nivel del Inventario

La demanda ocurre a una tasa D (por unidad de tiempo), el nivel más alto del inventario ocurre cuando se entrega la cantidad ordenada, la demora en la entrega se supone una constante conocida. Mientras más pequeña es la cantidad ordenada, más frecuente será la colocación de nuevos pedidos, sin embargo se reducirá el nivel del inventario (promedio) mantenido en la bodega. Por otro lado, pedidos de mayor cantidad implica un nivel de inventario mayor, pero colocaciones menos frecuente de pedidos.

Figura Nº 5: Diversas frecuencias de pedidos


77

Como existen costos asociados al colocar pedidos y mantención del inventario en el almacén, la cantidad del artículo se selecciona para permitir un compromiso entre ambos costos. Sea K el costo fijo provocado cada vez que se coloca un pedido y suponga que el costo de mantener una unidad en inventario (por unidad de tiempo) es h, por lo tanto, el costo total por unidad de tiempo CTU (de TCU total cost per unit time) en función de Q, se expresa por:

Tal como lo muestra la figura Nº 4, la longitud de cada ciclo es: t0 = Q / D

Y el inventario promedio es: Q / 2 El valor óptimo de Q se obtiene minimizando CTU(Q) respecto a Q, por consiguiente, suponiendo que Q es una variable continua se deduce:

Cantidad óptima pedida, que también se conoce como lote económico de

pedido de Wilson, o cantidad del lote económico (EOQ). Otra forma de expresarlo es la siguiente: Con h = V * C, donde V es el costo promedio unitario, y C es un porcentaje de dicho costo (unitario) por manejar stock.

Ejemplo: Sea $24 el costo de realizar un pedido, con una demanda semanal

de 120 artículos, el costo de una unidad $100 y los costos de mantener stock un 24%. Determine el EOQ. En la práctica, la mayoría de las veces, se tiene un mayor tiempo de fabricación o de retraso, desde el instante en que se coloca una orden hasta que ella es realmente entregada, en consecuencia, en el modelo la política de pedidos debe especificar con claridad en punto de reordenamiento o reposición, este debe ocurrir cuando queden L unidades de tiempo previo a la entrega, como lo muestra la figura Nº 6.


78

Figura N° 6: Puntos de Reordenamiento

En general, esta información se puede traducir convenientemente para su implantación práctica especificando solo el nivel de inventario en que se debe volver a pedir. Esto es equivalente a observar continuamente el nivel del inventario hasta que se alcance el punto de re-orden (esto hace que en ocasiones se denomina modelo de revisión continúa). Tomando el ejemplo anterior, si el tiempo de fabricación es de 12 días determine el punto de reordenamiento.

Nota: Observe que conforme el sistema se estabiliza (por lo menos dos ciclos), el tiempo de fabricación L, puede ser tomado siempre menor que t0.

4.5 Problemas de Inventario con el WINQSB

La opción Nuevo Problema (New Problem) genera una plantilla en la

cual se introducirán las características de nuestro problema:

A continuación se describirán los diferentes tipos de problemas de inventario disponibles en la ventana Especificaciones del problema de inventario (Inventory Problem Specification):

Problema de cantidad económica de la orden para demanda


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determinística (Deterministic Demand Economic Order Quantity Problem)

Análisis del problema de cantidad discontinua para demanda determinística (Deterministic Demand Quantity Discount Analysis Problem)

Problemas con demanda estocástica para un solo periodo (Single- Period Stochastic Demand Problem)

Problemas con demanda dinámica con existencias de reserva (Multiple-Period Dynamic Demand Lot-Sizing Problem)

Sistema o modelo de cantidad fija de orden continuo (Continuous Review Fixed-Order-Quantity System)

Sistema o modelo revisión continua (Continuous Review Order- Up-To System)

Sistema o modelo de intervalo fijo de revisión periódica (Periodic Review Fixed-Order-Interval System)

Sistema o modelo de revisión periódica con reaprovisionamiento opcional (Periodic Review Optional Replenishment System)

A continuación explicaremos algunos de ellos

4.5.1 Ejemplo de un Problema de Cantidad Económica de la Orden (EOQ) para Demanda Determinística

Mediante un ejemplo demostraremos cómo se introducen los datos

para la creación de un modelo sencillo de inventarios. Ejemplo 1:

La materia prima principal para la creación de un producto cuesta $20 por unidad. Cada unidad del producto final requiere una unidad de esa materia prima. Si la demanda para el próximo año es de 1000 unidades ¿Qué cantidad se debe pedir?

Cada orden por más unidades cuesta $5 y el costo de almacenaje por unidad por año es de $4.

En la ventana Especificaciones del problema de inventario (Inventory Problem Specification) procedemos a digitar los datos básicos para la solución del problema:


80

La ventana siguiente muestra la información completa para la solución del problema:

Demanda por año (Demand per Año): La demanda para el próximo año es de 1000 unidades.

Costo de la orden (Order or Setup Cost per Order): Costo de cada nueva orden ($5).

Costo de almacenar una unidad por año (Unit Holding Cost per Año): El costo de mantener una unidad es de $4.

Costo por la falta de una unidad por año (Unit Shortage Cost per Año): El valor predeterminado es M, equivalente a una costo muy grande.

Costo por la falta de una unidad independiente del tiempo (Unit Shortage Cost Independent of Time): Valor no suministrado en el ejemplo, por tanto lo dejamos en blanco.

Rata de reaprovisionamiento o producción por año (Replenishment or Production Rate per Año): El valor predeterminado es M,

equivalente a una tasa muy grande.


81

Tiempo de salida para una nueva orden por año (Lead Time for a New Order in Año): Valor no suministrado en el ejemplo, por tanto lo dejamos en blanco.

Costo de adquisición de una unidad sin descuento (Unit acquisition Cost Without Discount): Costo de compra de una unidad ($20).

Número de puntos de descuento (Number of Discount Breaks): Valor no suministrado en el ejemplo, por tanto lo dejamos en blanco.

Cantidad de orden si es conocida (Order Quantity If You Known): Cantidad de unidades por pedido, si es conocido.

Una vez introducida la información procedemos a su solución mediante la opción Resolver el problema (Solve the Problem):

La solución óptima del problema se muestra a continuación:

La primera parte muestra un resumen de la información disponible por el

ejemplo (columna Input Data).


82

La columna Economic Order Analysis presenta el análisis

resultante del problema.

El número de unidades a pedir por Orden es de 50 unidades,

generando un máximo de 50 unidades de inventario:

La fila Order Interval in Año nos muestra cada cuanto realizaremos el pedido de las 50 unidades (en este caso 0,05 equivale a una proporción del año). El costo total de ordenar unidades y el costo total de mantener unidades en inventario son de $100 y $100 respectivamente.


83

El costo total de compra equivale a $20.000 (Resulta de la multiplicación de los $20 que vale cada unidad por las 1.000 unidades que se van a pedir el próximo año). El costo total de este sistema por tanto será de $20.200.

Gráficos resultantes

Podremos también realizar un análisis gráfico de los costos de este

sistema activando la opción Análisis gráfico de los costos (Graphic Cost Analysis) en el menú Resultados (Results):

Aparecerá una ventana donde indicaremos unos simples parámetros de

visualización del gráfico: Máximo costo, mínimos costo (ambos para el eje Y), mínima cantidad de re-orden y máxima cantidad de re-orden. Podremos pulsar OK sin modificar estos parámetros.

Para mostrar un gráfico que señale la intensidad de los pedidos

elegiremos la opción Gráfico de la utilidad del inventario (Graphic Inventory Profile):


84

4.5.2 Ejemplo de un Problema con Demanda Estocástica para un solo periodo

Ejemplo 2:

Un supermercado compra uno de sus artículos a un precio de $50 y lo vende a $75. La demanda para el próximo mes tiene un comportamiento normal con media de 1.000 unidades y desviación de 35 unidades. El costo de hacer una nueva orden es de $25. Una unidad faltante en inventario tiene un costo para la

empresa de $70.

La empresa cuenta con un inventario inicial de 100 unidades. Se desea prestar un nivel de servicio del 98%, determinar la utilidad del modelo.

En la ventana Especificaciones del problema de inventario

(Inventory Problem Specification) procedemos a ingresar los datos básicos del problema, seleccionando el modelo de inventario adecuado:


85

El problema nos pide trabajar con una demanda con comportamiento normal: En el caso que se desee cambiar la distribución simplemente haremos doble

clic con el Mouse sobre esta fila hasta aparecer la siguiente ventana:

Ingresamos el resto de la información:


86

Los nuevos campos son:

Media (Mean): Media o promedio de la demanda en un periodo de tiempo. Desviación estándar (Standard Deviation): Desviación estándar de la

demanda. Precio de venta unitario (Unit Selling Price): Precio de venta de cada

unidad. Costo de la unidad faltante (Unit Shortage Cost): Costo e no tener una

unidad disponible. Puede interpretarse como un costo de oportunidad.

Inventario inicial (Initial Inventory): Cantidad de unidades disponibles al iniciar el periodo.

Nivel de servicio deseado en el caso de que sea conocido (Desired Service Level (%) If You Know).

Al resolver el problema tenemos la utilidad esperada del producto incluyendo los costos de inventario y el nivel deseado de servicio de ese producto a los clientes. Los resultados muestran varios aspectos importantes para el análisis:

En el caso de un pedido, este deberá hacerse por cantidad aproximada de 872 unidades.

El nivel de inventario alcanzará un punto máximo de 972 unidades (le sumamos 100 unidades disponibles a las 872 que se piden).

El nivel de servicio es del 98%. La utilidad alcanzada es de $21.349,63.

Además, WINQSB permite realizar un diagnóstico óptimo proponiendo un nivel de servicio diferente que alcanza una mayor utilidad en el sistema. Para este caso tenemos:

En el caso de un pedido, este deberá hacerse por cantidad aproximada de

814 unidades.


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El nivel de inventario alcanzará un punto máximo de 914 unidades (le sumamos 100 unidades disponibles a las 814 que se piden).

El nivel de servicio es del 65,5182%. La utilidad alcanzada es de $23.1059,54.

3. El Hospital Regional de Salud da servicio a una pequeña comunidad. Un

suministro usado con frecuencia es la película de rayos X, que se pide a un proveedor fuera de la ciudad. Como gerente de suministros, debe determinar cómo y cuándo hacer pedidos para asegurar que al hospital nunca se le termine este artículo crítico y, al mismo tiempo, mantener el costo total tan bajo como sea posible.

Para efectuar el análisis, primero debe identificarse las características del sistema. En este caso: 1) Sólo se considera un artículo: la película de rayos X. 2) Esta película se reemplaza en lotes pedidos a un proveedor fuera de la

ciudad. 3) Los registros anteriores indican que la demanda ha sido relativamente

constante a 1500 películas por mes y, por tanto, puede considerarse determinística.

4) El proveedor se ha comprometido a satisfacer pedidos en 1 semana (es decir, el tiempo guía es L = 1 semana).

5) Los déficit no están permitidos, según especificaciones de la administración del hospital.

Habiendo identificado estas características, el objetivo es determinar la cantidad de pedidos óptima, denotada por Q*, y el punto de nuevos pedidos asociado, R. Para hacerlo, primero debe obtenerse estimaciones de los componentes de costos relativamente enumerados. Supóngase que el departamento de contabilidad del hospital ha proporcionado los siguientes valores: 1) Un costo de pedidos fijo de $100 para cubrir los costos de colocar cada

pedido, pagar los cargos de entrega, etc. 2) Un costo de compra de $20 por película sin descuento de cantidad. 3) Una tasa de transferencia de 30% por año (es decir, i = 0.30) para reflejar el

costo de almacenar la película en un área especial, así como el costo de oportunidad del dinero invertido en el inventario ocioso.

4. La Good Year Distributors compra aproximadamente 48 000 llantas en el curso

de un año, a un costo de $20 cada una, a su empresa matriz, Good Year Inc., para su reventa a detallistas locales. Cada pedido incurre en un costo fijo de $75


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por cargos de procesamiento y de entrega, y llega una semana después de haber sido hecho. Suponiendo una tasa de transferencia anual i = 0.25, utilice las fórmulas EOQ para determinar lo siguiente:

a) La cantidad de pedidos óptima, Q*. b) El punto de nuevos pedidos, R. c) El número de pedidos por año. d) El costo anual total.


89

MODELOS DE COLAS


• Proponer la mejor alternativa a las situaciones donde la demanda actual de un servicio exceda la capacidad para proporcionarlo, sobre todo si no se puede predecir con exactitud la frecuencia con que tal servicio se demanda.

• Establecer mecanismos de servicio para minimizar la espera por el mismo. • Formular problemas y dar solución en la computadora

Introducción

“No importa en qué cola se sitúe: La otra siempre avanzará más rápido” (Primera Ley de Harper) “Y si se cambia de cola, aquélla en la que estaba al principio empezará a ir más deprisa” (Segunda Ley de Harper)

Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, en los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes.

El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el

desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas. 5.2 Definiciones iniciales

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un


90

servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de

modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido.

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Los problemas de “colas” se presentan permanentemente en la vida diaria: un estudio en EEUU concluyó que, por término medio, un ciudadano medio pasa cinco años de su vida esperando en distintas colas, y de ellos casi seis meses parado en los semáforos. 5.3 Introducción a la Teoría de Colas

En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc.

Todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento, etc.

5.3.1 Origen El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang

(Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada


91

teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.

5.3.2 Modelo de formación de colas En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales

como personas que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio.

Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez mas larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable.

En la teoría de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan. La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas.

Generalmente el administrador se encuentra en

un dilema

Asumir los costos derivados de tener

largas colas

Asumir los costos derivados de prestar un

buen servicio


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Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones.

5.3.3 Objetivos de la Teoría de Colas Los objetivos de la teoría de colas consisten en: Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el

coste global del mismo. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la

capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones

cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en

la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

5.3.4 Elementos existentes en un modelo de colas Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no

necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio.

Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos: clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de probabilidad. Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en proceso de ser atendidos.

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar

haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita


93

o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.

Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado. La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria. Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los

clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.

La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es

decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de

servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura:

Canal

Canales de servicio en serie

Canales de servicio en paralelo


94

Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de

probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución más usada para los tiempos de servicio es la exponencial,

aunque es común encontrar la distribución degenerada o determinística (tiempos de servicio constantes) o la distribución Erlang (Gamma).

Notación de Kendall Por convención los modelos que se trabajan en teoría de colas se etiquetan

Las distribuciones que se utilizan son: • M: Distribución exponencial (markoviana) • D : Distribución degenerada (tiempos constantes) • E k : Distribución Erlang • G : Distribución general M / M / s : Modelo donde tanto los tiempos entre llegada como los tiempo de servicio son exponenciales y se tienen s servidores.

Fuente de

Llegada de un Cliente

Cola

Disciplina de la Cola

Sistema de la Cola

Mecanismo de Servicio

Servicio

___/___/___

Distribución de tiempo entre

llegadas

Distribución de tiempos de

servicio

Número de servidores


95

M / G / 1: Tiempos entre llegada exponenciales, tiempos de servicio general y 1 sólo servidor Terminología Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar: • Estado del sistema : Número de clientes en el sistema. • Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio. • N(t) : Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t =0). • Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero. • s : Número de servidores en el sistema de colas. • λ(n) : Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema. • µ(n): Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema.y 5.3.5 El proceso de llegada Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas: Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de

tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo).

Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y

variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.

En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo,

resulta difícil. Sin embargo, una distribución, la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos. La función de densidad, para una distribución exponencial depende de un parámetro, digamos λ (letra griega lambda), y está dada por:

f(t)=(1/ λ) e-λ*T

en donde λ (lambda) es el número promedio de llegadas en una unidad de tiempo.

Con una cantidad, T, de tiempo se puede hacer uso de la función de densidad

para calcular la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes T unidades a partir de la llegada anterior, de la manera siguiente:

P(tiempo entre llegadas ≤ T) = 1- e-λ*T


96

Ejemplo: Si los clientes llegan al banco con una rapidez promedio de λ=20 por hora y si un cliente acaba de llegar, entonces la probabilidad de que el siguiente llegue dentro de los siguientes 10 minutos (es decir Y=1/6 de hora) es:

P(tiempo entre llegadas ≤ 1/6 hora) = 1 – e-20*(1/6)

= 1 – e-3.3333

= 1 – 0.036 = 0.964

5.3.6 El proceso de servicio

El proceso de servicio define cómo son atendidos los clientes. En algunos casos, puede existir más de una estación en el sistema en el cual se proporcione el servicio requerido. Los bancos y los supermercados, de nuevo, son buenos ejemplos de lo anterior. Cada ventanilla y cada registradora son estaciones que proporcionan el mismo servicio. A tales estructuras se les conoce como sistemas de colas de canal múltiple. En dichos sistemas, los servidores pueden ser idénticos, en el sentido en que proporcionan la misma clase de servicio con igual rapidez, o pueden no ser idénticos. Por ejemplo, si todos los cajeros de un banco tienen la misma experiencia, pueden considerarse como idénticos.

Al contrario de un sistema de canal múltiple, considere un proceso de producción con una estación de trabajo que proporciona el servicio requerido. Todos los productos deben pasar por esa estación de trabajo; en este caso se trata de un sistema de colas de canal sencillo. Es importante hacer notar que incluso en un sistema de canal sencillo pueden existir muchos servidores que, juntos, llevan a cabo la tarea necesaria. Por ejemplo, un negocio de lavado a mano de automóviles, que es una sola estación, puede tener dos empleados que trabajan en un auto de manera simultánea.

Otra característica del proceso de servicio es el número de clientes atendidos al mismo tiempo en una estación. En los bancos y en los supermercados (sistema de canal sencillo), solamente un cliente es atendido a la vez. Por el contrario, los pasajeros que esperan en una parada de autobús son atendidos en grupo, según la capacidad del autobús que llegue.

Otra característica más de un proceso de servicio es si se permite o no la prioridad, esto es ¿puede un servidor detener el proceso con el cliente que está atendiendo para dar lugar a un cliente que acaba de llegar?. Por ejemplo, en una sala de urgencia, la prioridad se presenta cuando un médico, que está atendiendo un caso que no es crítico es llamado a atender un caso más crítico.

Cualquiera que sea el proceso de servicio, es necesario tener una idea de cuánto tiempo se requiere para llevar a cabo el servicio. Esta cantidad es importante debido a que cuanto más dure el servicio, más tendrán que esperar los clientes que llegan. Como en el caso del proceso de llegada, este tiempo puede ser determinístico o probabilístico . Con un tiempo de servicio determinístico, cada cliente requiere precisamente de la misma cantidad conocida de tiempo para ser atendido. Con un tiempo de servicio probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio.


97

Los tiempos de servicio probabilísticos se describen matemáticamente mediante una distribución de probabilidad. En la práctica resulta difícil determinar cuál es la distribución real, sin embargo, una distribución que ha resultado confiable en muchas aplicaciones , es la distribución exponencial .En este caso, su función de densidad depende de un parámetro, digamos µ (la letra griega my) y esta dada por:

s(t)=(1/ µ)e-µ*t

en la que: µ = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo, de modo

que 1/ µ = tiempo promedio invertido en atender a un cliente.

En general, el tiempo de servicio puede seguir cualquier distribución, pero, antes de que pueda analizar el sistema, se necesita identificar dicha distribución.

5.3.7 Medidas de rendimiento para evaluar un sistema de colas El objetivo último de la teoría de colas consiste en responder cuestiones

administrativas pertenecientes al diseño y a la operación de un sistema de colas. El gerente de un banco puede querer decidir si programa tres o cuatro cajeros durante la hora de almuerzo. En una estructura de producción, el administrador puede desear evaluar el impacto de la compra de una nueva máquina que pueda procesar los productos con más rapidez.

Cualquier sistema de colas pasa por dos fases básicas. Por ejemplo, cuando el banco abre en la mañana, no hay nadie en el sistema, de modo que el primer cliente es atendido de forma inmediata. Conforme van llegando más clientes, lentamente se va formando la cola y la cantidad de tiempo que tienen que esperar se empieza a aumentar. A medida que avanza el día, el sistema llega a una condición en la que el efecto de la falta inicial de clientes ha sido eliminado y el tiempo de espera de cada cliente ha alcanzado niveles bastante estables.

5.3.8 Algunas medidas de rendimiento comunes Existen muchas medidas de rendimiento diferentes que se utilizan para

evaluar un sistema de colas en estado estable. Para diseñar y poner en operación un sistema de colas, por lo general, los administradores se preocupan por el nivel de servicio que recibe un cliente, así como el uso apropiado de las instalaciones de servicio de la empresa. Algunas de las medidas que se utilizan para evaluar el rendimiento surgen de hacerse las siguientes preguntas:

1) Preguntas relacionadas con el tiempo, centradas en el cliente, como: a) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente recién llegado tiene que

esperar en la fila antes de ser atendido?. La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio de espera, representado con Wq.

b) ¿Cuál es el tiempo que un cliente invierte en el sistema entero, incluyendo el tiempo de espera y el de servicio?. La medida de rendimiento asociada es el tiempo promedio en el sistema, denotado con W.

2) Preguntas cuantitativas relacionadas al número de clientes, como:


98

a) En promedio ¿cuántos clientes están esperando en la cola para ser

atendidos?. La medida de rendimiento asociada es la longitud media de la cola, representada con Lq.

b) ¿Cuál es el número promedio de clientes en el sistema?. La medida de rendimiento asociada es el número medio en el sistema, representado con L.

3) Preguntas probabilísticas que implican tanto a los clientes como a los servidores, por ejemplo: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar a ser

atendido?. La medida de rendimiento asociada es la probabilidad de bloqueo, que se representa por pw.

b) En cualquier tiempo particular, ¿cuál es la probabilidad de que un servidor esté ocupado?. La medida de rendimiento asociada es la utilización, denotada con U. Esta medida indica también la fracción de tiempo que un servidor esta ocupado.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que existan n clientes en el sistema?. La medida de rendimiento asociada se obtiene calculando la probabilidad Po de que no haya clientes en el sistema, la probabilidad P1 de que haya un cliente en el sistema, y así sucesivamente. Esto tiene como resultado la distribución de probabilidad de estado, representada por Pn, n = 0,1......

d) Si el espacio de espera es finito, ¿cuál es la probabilidad de que la cola esté llena y que un cliente que llegue no sea atendido?. La medida de rendimiento asociada es la probabilidad de negación del servicio, representada por pd.

4) Preguntas relacionadas con los costos, como: a) ¿Cuál es el costo promedio por unidad de tiempo para operar el

sistema? b) ¿Cuántas estaciones de trabajo se necesitan para lograr mayor

efectividad en los costos? El cálculo específico de estas medidas de rendimiento depende de la clase de

sistema de colas. Algunas de estas medidas están relacionadas entre sí. Conocer el valor de una medida le permita encontrar el valor de una medida relacionada.

5.3.9 Relaciones entre medidas de rendimiento El cálculo de muchas de las medidas de rendimiento depende de los

procesos de llegadas y de servicio del sistema de colas en específico. Estos procesos son descritos matemáticamente mediante distribuciones de llegada y de servicio. Incluso sin conocer la distribución especifica, las relaciones entre algunas de las medidas de rendimiento pueden obtenerse para ciertos sistemas de colas, únicamente mediante el uso de los siguientes parámetros de los procesos de llegada y de servicio.

λ = número promedio de llegadas por unidad de tiempo µ = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en una

estación


99

Supongamos que una población de clientes infinita y una cantidad limitada de

espacio de espera en la fila. El tiempo total que un cliente invierte en el sistema es la cantidad de tiempo invertido en la fila más el tiempo durante el cual es atendido:

{Tiempo promedio en el sistema} = {Tiempo de espera} + {Tiempo de servicio} El tiempo promedio en el sistema y el tiempo promedio de espera están

representados por las cantidades W y Wq, respectivamente. El tiempo promedio de servicio puede expresarse en términos de parámetros de µ. Por ejemplo, si µ es 4 clientes por hora, entonces, en promedio, cada cliente requiere 1/4 para ser atendido. En general, el tiempo de servicio es 1/µ, lo cual nos conduce a la siguiente relación :

W = Wq + 1/ µ

Consideremos ahora la relación entre el número promedio de clientes en el sistema y el tiempo promedio que cada cliente pasa en el sistema. Imaginemos que un cliente acaba de llegar y se espera que permanezca en el sistema un promedio de media hora. Durante esta media hora, otros clientes siguen llegando a una tasa λ, digamos doce por hora. Cuando el cliente en cuestión abandona el sistema, después de media hora, deja tras de sí un promedio de (1/2)*12 = 6 clientes nuevos. Es decir, en promedio, existen seis clientes en el sistema en cualquier tiempo dado. En términos de λ y de las medidas de rendimiento, entonces: {Tiempo promedio de clientes en el sistema} = {Número promedio de llegadas por unidad de tiempo} * {Tiempo promedio en el sistema} de modo que: L = λ* W Utilizando una lógica parecida se obtiene la siguiente relación entre el número promedio de clientes que esperan en la cola y el tiempo promedio de espera en la fila: {Tiempo promedio de clientes en el sistema} = {Número promedio de llegadas por unidad de tiempo} * {Unidad de tiempo en la cola} de manera que:

Lq = λ * Wq


100

La teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de

espera. La formación de colas es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva.

Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también son costosas por tanto para la empresa ya que producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes.

La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.

Pero si utilizamos el concepto de "clientes internos" en la organización de la empresa, asociándolo a la teoría de las colas, nos estaremos aproximando al modelo de organización empresarial "just in time" en el que se trata de minimizar el costo asociado a la ociosidad de recursos en la cadena productiva.

5.4 Análisis de un sistema de colas de un solo canal de una sola línea con

llegada exponencial y procesos de servicio (M/M/1)

El análisis de un sistema de colas M/M/1 consiste en lo siguiente: 1. Una población de clientes finita. 2. Un proceso de llegada en el que los clientes se presentan de acuerdo con

un proceso de Poisson con una tasa promedio de λ clientes por unidad de tiempo.

3. Un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita, con una disciplina de colas de primero en entrar primero en salir.

4. Un proceso de servicio que consiste en un solo servidor que atiende a los clientes de acuerdo con una distribución exponencial con un promedio de µ clientes por unidad de tiempo.


101

Para que este sistema alcance una condición de estado estable, la tasa de

servicio promedio, µ, debe ser mayor que la tasa de llegadas promedio, λ. Si éste no fuera el caso, la cola del sistema continuará creciendo debido a que, en promedio, llegarían más clientes que los que pueden ser atendidos por unidad de tiempo.

Ejemplo: El problema de colas del MTC tiene un número de estaciones para

el pesado de camiones a lo largo de la autopista Huancayo-Lima, para verificar que el peso de los vehículos cumple con las regulaciones estipuladas. La administración del MTC está considerando mejorar la calidad del servicio en sus estaciones de pesado y ha seleccionado una de las instalaciones como modelo a estudiar, antes de instrumentar los cambios. La administración desea analizar y entender el desempeño del sistema actual durante las horas pico, cuando llega a la báscula el mayor número de camiones, suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante este período, el servicio en cualquier otro momento será aún mejor.

El gerente de operaciones siente que el sistema actual cumple con las cuatro

condiciones presentadas anteriormente. Su siguiente paso es estimar las tasas promedio de llegada y de servicio en dicha estación. De los datos disponibles, suponga que la gerencia determina que los valores son:

λ = número promedio de camiones que llegan por hora = 60 µ = número promedio de camiones que pueden ser pesados por hora = 66

El valor de µ = 66 es mayor que el de λ = 60, de modo que es posible hacer el análisis de estado estable de este sistema.

5.4.1 Cálculo de las medidas de rendimiento (*) Intensidad de tráfico:

ρ = λ/µ = 60/66 = 0.9091

Mientras más cerca esté ρ de 1, más cargado estará el sistema, lo cual tiene como resultado colas más largas y tiempos de espera más grandes.

En términos de ρ, λ y µ, las medidas de rendimiento, para el problema del MTC, se calculan de la manera siguiente:

1. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema (P0)

P0 = 1 – ρ = 1 – 0.9091 = 0.0909 Este valor indica que aproximadamente 9% del tiempo un camión que

llega no tiene que esperar a que se le proporcione el servicio porque la estación de pesado está vacía; o, aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene que esperar.


102

2. Número promedio en la fila (Lq)

Lq = ρ2 / 1 – ρ = (0.9091)2 / 1 – 0.9091 = 9.0909 En el estado estable, en promedio, la estación de pesado puede esperar

tener aproximadamente nueve camiones esperando para obtener el servicio (sin incluir al que está pesando).

3. Tiempo promedio de espera en la cola (Wq)

Wq = Lq / λ = 9.0909 / 60 = 0.1515

Este valor indica que, en promedio, un camión tiene que esperar 0.1515 horas, aproximadamente 9 minutos, en la fila antes de que empiece el proceso de pesado.

4. Tiempo promedio de espera en el sistema (W) W = Wq + 1/ µ = 0.1515 + 1/66 = 0.1667

Este valor indica que, en promedio, un camión invierte 0.1667 horas, 10 minutos, desde que llega hasta que sale.

5. Número promedio en el sistema (L)

L = λ * W = 60 * 0.1667 = 10 Este valor indica que, en promedio, existe un total de 10 camiones en la estación de pesado, ya sea en la báscula o esperando a ser atendidos.

6. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar (pw) pw = 1 - P0 = ρ = 0.9091

Este valor indica que aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene que esperar.

7. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (Pn)

Pn = ρn * P0 Utilizando esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades:

n Pn 0 1 2 3 . . .

0.0909 0.0826 0.0751 0.0683

.

.

.


103

Esta tabla proporciona la distribución de probabilidad para el número de camiones que se encuentran en el sistema. Los números que aparecen en la tabla se puede utilizar para responder una pregunta como: ¿cuál es la probabilidad de que no haya más de tres camiones en el sistema? En este caso, la respuesta de 0.3169 se obtiene mediante la suma de las primeras cuatro probabilidades de la tabla, para n = 0, 1, 2 y 3.

8. Utilización (U)

U = ρ = 0.9091 Este valor indica que aproximadamente 91% del tiempo las instalaciones de pesado están en uso (un camión está siendo pesado). De manera equivalente, aproximadamente 9% del tiempo la estación está sin funcionar, sin que haya camiones que se estén pesando.

5.4.2 Interpretación de las medidas de rendimiento

Al evaluar el sistema actual, la gerencia del MTC encuentra que muchas medidas de rendimiento están dentro de los intervalos aceptables. Por ejemplo, un tiempo de espera de W = 10 minutos para que un chofer pueda pasar por el proceso de pesado es algo razonable. Se tiene también que un promedio de Lq = 9 camiones esperando para ser pesados es tolerable, pues la rampa de salida de la carretera tiene una capacidad de 15 camiones, pero la gerencia está preocupada pues hay ocasiones en que la cola llega hasta la autopista.

Para calcular la probabilidad de que esto suceda, se debe calcular la probabilidad de que el número de camiones en el sistema sea de 17 o más (uno siendo atendido y 16 o más esperando en la rampa). Este número se obtiene sumando las probabilidades Pn, de que n camiones se encuentren en el sistema, para n = 17, 18, …Esto tiene como resultado un valor de 0.20, es decir, aproximadamente 20% del tiempo los camiones sobrepasarán la rampa completa y llegarán hasta la autopista. Como éste no es un nivel aceptable de desempeño, la gerencia desea mejorar la eficiencia global del sistema, no solamente por la razón anterior, sino también porque se prevé un aumento en el tráfico de camiones sobre la autopista en el futuro cercano. Un informe reciente indica que el MTC debería planear una tasa de llegada pico de aproximadamente 70 camiones por hora, en vez del actual valor de 60.

Para atender estas cuestiones, la gerencia del MTC ha propuesto contratar un trabajador adicional, lo cual tendría como resultado un aumento en la eficiencia de aproximadamente 10%. Es decir, con esta persona extra, aproximadamente 73 camiones por hora pueden ser pesados en lugar de los originales 66. Como gerente de operaciones, se le ha pedido a usted que evalúe el impacto de la propuesta.

Este análisis puede llevarse a cabo utilizando las fórmulas descritas anteriormente. Los resultados pueden también obtenerse aplicando el software WINQSB que a continuación se presentan.


104

Las primeras tres líneas del primer cuadro muestran los datos de entrada.

Específicamente, este sistema consiste en un servidor, con tasa de llegada de 70 camiones por hora, y una tasa de servicio de 73 camiones por hora.

En el segundo cuadro se enumera los valores de las diferentes medidas de

rendimiento. La gerencia está particularmente preocupada tanto por el tiempo promedio que un conductor de camión invierte en el sistema como por el número esperado de camiones que esperan en la rampa. De los resultados que se presentan en este cuadro, en promedio, un conductor de camión pasa 0.3333 horas (20 minutos) desde el inicio al final del proceso (W). También que el número promedio de camiones que esperan en la rampa es de aproximadamente 22 (Lq = 22.3744).

Basándose en estos resultados, la gerencia del MTC encuentra que tal nivel

de rendimiento es inaceptable. No solo porque los conductores se quejarán del hecho de tener que tardar 20 minutos en el sistema, sino también porque la longitud de cola esperada de 22 camiones excede con mucho la capacidad disponible de 15, lo cual podría tener como consecuencia un posible accidente en la autopista.

Para obtener niveles de rendimiento aceptables, se ha propuesto otra

alternativa, a saber, la construcción de una segunda báscula al otro lado de la estación de pesado. Utilizando el personal actual para que opere ambas básculas, las estimaciones de la gerencia tendrán como resultado una capacidad de peso de aproximadamente 40 camiones por hora en cada báscula.


105

Con esta información adicional, se le ha pedido que evalúe la presente propuesta.

5.5 Análisis de un sistema de colas de canal múltiple de una sola línea con

llegada exponencial y procesos de servicio (M/M/s)

Este modelo consiste en: 1. Una población de clientes infinita. 2. Un proceso de llegada en el que los clientes se presentan de acuerdo a un

proceso de Poisson con una tasa promedio de λ clientes por unidad de tiempo.

3. Un proceso de colas que consiste en una sola fila de espera de capacidad infinita, con una disciplina de colas de primero en entrar, primero en salir.

4. Un proceso de servicio que consiste en s servidores idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de acuerdo con una distribución exponencial, con una cantidad promedio, µ, de clientes por unidad de tiempo.

Este sistema es distinto al sistema M/M/1 únicamente en el paso 4, que nos

permite tener s servidores en lugar de solo uno. Para que un sistema M/M/s alcance una condición de estado estable, la tasa promedio de servicio, s*µ, debe ser estrictamente mayor que la tasa promedio de llegadas, λ. Si este no fuera el caso, la cola del sistema continuaría creciendo debido a que, en promedio y por unidad de tiempo, llegarían más clientes que los que pueden ser atendidos.

La propuesta del MTC de construir una segunda báscula en la estación de

pesado, tiene como resultado un sistema con dos servidores, dos básculas, y la siguiente estimación de llegada, utilizando el personal actual:

S = 2 servidores λ = 70 camiones por hora µ = 40 camiones por hora cada báscula

El valor de s*µ = 2 *40 = 80, es mayor que el de λ = 70, de modo que se puede llevar a cabo un análisis de estado estable para este sistema.

5.5.1 Cálculo de las medidas de rendimiento Los investigadores han derivado fórmulas para calcular las diferentes

medidas de rendimiento de un sistema de colas M/M/s, en términos de los parámetros µ y λ. Estas fórmulas se expresan en términos de ρ, que es el cociente de λ sobre µ. Para el problema del MTC:

ρ = λ / µ = 70 / 40 = 1.75


106

En términos de ρ, λ y µ, las medidas de rendimiento para el problema del MTC se calculan de la manera siguiente:

1. Probabilidad de que ningún cliente esté en el sistema (P0)

P0 =

s

s

sn

ss

n

n

*!!

11

0

donde

)!1(

...!1!0!

1101

0

sn

ss

n

n

y k! = k(k-1)…1 0! =1. Para el problema del MTC en el cual ρ=1.75 y s = 2,

!1

)75.1(

!0

)75.1(

!

101

0

s

n

n

n

= 1 + 1.75 = 2.75

25.128*53125.175.12

2

!2

)75.1(*

!

2

s

s

n

s

06667.015

1

25.1275.2

10

P

Este valor de P0 indica que aproximadamente 7% del tiempo, la estación de

pesado está vacía.

2. Número promedio en la fila (Lq)

06667.0*)75.12(

1*

!1

)75.1(*

)(

1*

)!1( 2

3

02

1

Pss

Ls

q

7167.506667.0*16*359375.5

Significa que en promedio, la estación de pesado puede esperar tener

aproximadamente seis camiones esperando a ser atendidos (sin incluir al que ya está en la báscula).

5. Tiempo promedio de espera en la cola (Wq)

081667.070

7167.5

q

q

LW


107

Este valor indica que en promedio, un camión tiene que esperar 0.0817 horas, aproximadamente 5 minutos, en la fila antes de iniciar el proceso de pesado.

4. Tiempo promedio de espera en el sistema (W)

10667.0025.0081667.040

1081667.0

1

qWW

Este valor indica que en promedio, un camión tiene que esperar 0.10667

horas, aproximadamente 7 minutos, desde que llega hasta que sale de la estación.

5. Número promedio en el sistema (L)

4667.710667.0*70* WL Este valor indica que, en promedio, se tienen entre siete y ocho camiones

esperando en la estación, ya sea en la báscula o en espera de ser atendidos.

6. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar (pw)

06667.0*75.12

2*)75.1(*

!2

1***

!

1 20

P

s

s

sp s

w

81667.006667.0*8*0625.3*5.0 Este valor indica que aproximadamente 82% de las veces un camión que

llega tiene que esperar o, de manera equivalente, aproximadamente 18% de las veces un camión que llega es pesado sin que tenga que esperar.

7. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (Pn) Si n ≤ s:

0*!

Pn

Pn

n

Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades:

n Pn 0 1 2

0.06667 0.11667 0.10210

Si n > s

0*)!(

Pss

Psn

n

n

Al utilizar esta fórmula, se obtienen las siguientes probabilidades:


108

n Pn 3 4 . . .

0.08932 0.07816

.

.

. Estas tablas proporcionan la distribución de probabilidad para el número

de camiones que hay en el sistema. Las cantidades que aparecen en tales tablas se pueden utilizar para responder preguntas como: ¿cuál es la probabilidad de que al menos una báscula no esté funcionando?. Esta probabilidad es la misma que la probabilidad de que haya menos de dos camiones en el sistema. Sumando las dos primeras probabilidades de la tabla para n = 0 y 1, se obtiene la respuesta: 0.18334.

8. Utilización (U)

1210

1...

211 sP

sP

s

sP

s

sPU

875.0125.01)11667.0*5.0(06667.012

11 10

PP

Este valor indica que cada báscula está ocupada 87% del tiempo.

5.5.2 Interpretación de las medidas de rendimiento

Los resultados de la evaluación de las fórmulas con el paquete de cómputo WINQSB, para el sistema de colas propuesto por el MTC, se muestra en el cuadro siguiente. Las primeras tres líneas corresponden a los datos de entrada. Este sistema tiene una tasa de llegada de 70 camiones por hora y dos servidores, con una tasa promedio de servicio de 40 camiones por hora en cada servidor.

El siguiente cuadro enumera los valores de las medidas de rendimiento. El

tiempo promedio que un conductor de camión tiene que invertir en el sistema (W) es de 0.106667 horas (aproximadamente 7 minutos) desde que entra hasta que sale y


109

el número esperado de camiones que esperan en la rampa para ser pesados (Lq) es de 5.716664.

La gerencia del MTC encuentra aceptable este nivel de rendimiento. Sin embargo, la gerencia de nuevo se pregunta si la fila de camiones llegará hasta la autopista. Este suceso se presenta cuando hay dos camiones en la báscula y más de 15 esperando en la rampa. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 17 camiones estén en el sistema en cualquier momento?.

Se puede utilizar el informe del WINQSB para responder a esta pregunta. Específicamente, la probabilidad de que se presente este caso se obtiene sumando las probabilidades correspondientes a cada valor de n = 18,19,…La probabilidad resulta ser de 9.6%. Si tal valor no es aceptable, deben sugerirse modelos alternativos. Por ejemplo, la contratación de una persona más para aumentar la tasa de servicio, o el aumento de la capacidad del área de espera teniendo dos filas en lugar de una sola, podrían ser sugerencias apropiadas.

5.6 Aplicaciones con el WINQSB

Un primer paso consiste, como en todos los modelos, en la especificación del problema mediante la cual se establecerá si el modelo a tratar es un M/M/S (Simple M/M System) o un modelo general (General Queuing System).

5.6.1 Los campos requeridos

Vamos a suponer por ahora un modelo M/M/S. Lo que sigue es el ingreso de


110

los datos de acuerdo con las especificaciones de la ventana.

La ventana anterior consta de: Numero de servidores (Number of Servers) Tasa de servicio (Service Rate) Tasa de llegada de clientes (Customer Arrival Rate) Capacidad de la cola (Queue Capacity) Tamaño de la población de clientes (Customer Population) Costo del servidor ocupado (Busy Server Cost per Hour) Costo del servidor desocupado (Idle Server Cost per Hour) Costo de espera de los clientes (Customer Waiting Cost per Hour) Costo de los clientes siendo servidos (Customer Being Served

Cost per Hour) Costo de los clientes siendo despachados (Cost of Customer

Being Balked) Costo de la unidad de capacidad de la cola (Unit Queue Capacity

Cost) Un ejemplo del modelo es el siguiente (recuerde que las letras M indican un

valor infinito o muy grande):

Una de las posibilidades de solución es calcular las tradicionales medidas de desempeño (medidas de efectividad), que nos proporciona el tablero siguiente:


111

Otra opción con la que se cuenta es simular el sistema, la que inicialmente

nos proporciona la siguiente ventana:

Usando el sistema de reloj con 1000 horas de simulación del sistema de colas.


112

Se obtienen los resultados que se muestran a continuación.

El resumen de probabilidades de encontrar n clientes en el sistema es:


113

Análisis de sensibilidad a cambios en número de servidores iniciando en 2 y terminando en 10.

Un análisis parecido puede hacerse tomando como base la capacidad del sistema, que puede ir desde una capacidad específica de x clientes (capacidad limitada) hasta infinita.


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1. Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad

promedio de diez clientes por hora (µ = 10). Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora (λ = 7). Se considera que las llegadas siguen la distribución exponencial. En la condición uniforme del sistema de colas, ¿cuáles son las características de desempeño? (calcule las medidas de rendimiento y luego interprételos). Ahora es posible evaluar el desempeño del sistema de colas. El administrador tendrá que tomar en consideración el tiempo perdido del prestador del servicio (30%), el tiempo que espera el cliente (0.233 horas) y la longitud de la línea que se forma ( 1.63 clientes). Si este rendimiento es inaceptable ¿se puede colocar un segundo prestador del servicio o hacer otros cambios en las características de las llegadas, de la cola o del portador de los servicios?. Explique.

2. Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez mecánicos por hora buscando partes. En la actualidad el almacén esta a cargo de un empleado a quien se le paga 6 dólares / hora y gasta un promedio de 5 min. para entregar las herramientas de cada solicitud. Como a los mecánicos se les paga 10 dólares / hora, cada hora que un mecánico pasa en el almacén de herramientas le cuesta 10 dólares a la empresa. Esta ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares / hora, un ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante, el almacenista solo tardara un promedio de 4 min. Para atender las solicitudes de herramientas. Supóngase que son exponenciales tanto los tiempo de servicio como el tiempo entre llegadas. ¿Se debe contratar al ayudante?

3. Se trata de un problema de colas del Interbank, suponga que solamente existe un cajero. Cada hora puede atender un promedio de 12 clientes que llegan con una tasa de uno cada 7.5 minutos aproximadamente. En este sistema, los clientes tienen que esperar un promedio de 10 minutos antes de llegar al cajero. Utilice las medidas de rendimiento y la información dada para encontrar los valores de W, Wq, L y Lq. Interprete.

4. Para el problema de colas Plus Gas and Electric Company, el número promedio de llamadas que llegan ha aumentado a 80 por hora. Actualmente, la compañía tiene un personal de seis representantes, cada uno de los cuales puede atender aproximadamente 15 llamadas por hora. La gerencia está considerando la probabilidad de dividir a los representantes en dos grupos iguales: uno para que atienda las llamadas de problemas relacionados con gas y el otro para que se centre en la atención a los problemas sobre electricidad. Los asesores estiman que este planteamiento permitiría alos representantes de cada grupo aumentar su eficiencia en 20%. Suponga que las llamdas que llegan tienen la misma probabilidad de estar referidas a problemas de gas que a problemas de electricidad. Para aproximar este propósitos como dos colas M/M/s, ¿cuál es una tasa razonable de llegadas para las llamadas que se reciben en cada uno de los dos grupos?.


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SIMULACION


• Apreciar el alcance de los modelos matemáticos como medio idóneo para la imitación de procesos.

• Estimar cuál sería su desempeño real a partir de información estadística sobre sus características.

• Generar aleatoriamente eventos que ocurren en el sistema estudiado. INTRODUCCIÓN

Simulación es la experimentación con un modelo de una hipótesis o un conjunto de hipótesis de trabajo.

Thomas H. Naylor y R. Bustamante la definen así: "Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo".

Una definición más formal formulada por R.E. Shannon es: "La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a término experiencias con él, con la finalidad de comprender el comportamiento del sistema o evaluar nuevas estrategias -dentro de los limites impuestos por un cierto criterio o un conjunto de ellos - para el funcionamiento del sistema".

Etapas para realizar un estudio de simulación

Definición del sistema Para tener una definición exacta del sistema que se desea simular, es

necesario hacer primeramente un análisis preliminar de éste, con el fin de determinar la interacción con otros sistemas, las restricciones del sistema, las variables que interactúan dentro del sistema y sus interrelaciones, las medidas de efectividad que se van a utilizar para definir y estudiar el sistema y los resultados que se esperan obtener del estudio.


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Formulación del modelo

Una vez definidos con exactitud los resultados que se esperan obtener del estudio, se define y construye el modelo con el cual se obtendrán los resultados deseados. En la formulación del modelo es necesario definir todas las variables que forman parte de él, sus relaciones lógicas y los diagramas de flujo que describan en forma completa el modelo.

Colección de datos

Es importante que se definan con claridad y exactitud los datos que el modelo va a requerir para producir los resultados deseados.

Implementación del modelo en la computadora

Con el modelo definido, el siguiente paso es decidir si se utiliza algún lenguaje como el fortran, algol, lisp, etc., o se utiliza algún paquete como Vensim, Stella y iThink, GPSS, simula, simscript, Rockwell Arena etc., para procesarlo en la computadora y obtener los resultados deseados.

Validación

A través de esta etapa es posible detallar deficiencias en la formulación del modelo o en los datos alimentados al modelo. Las formas más comunes de validar un modelo son:

1. La opinión de expertos sobre los resultados de la simulación. 2. La exactitud con que se predicen datos históricos. 3. La exactitud en la predicción del futuro. 4. La comprobación de falla del modelo de simulación al utilizar datos que hacen

fallar al sistema real. 5. La aceptación y confianza en el modelo de la persona que hará uso de los

resultados que arroje el experimento de simulación.

Experimentación

La experimentación con el modelo se realiza después que éste haya sido validado. La experimentación consiste en generar los datos deseados y en realizar un análisis de sensibilidad de los índices requeridos.

Interpretación

En esta etapa del estudio, se interpretan los resultados que arroja la simulación y con base a esto se toma una decisión. Es obvio que los resultados que se obtienen de un estudio de simulación ayuda a soportar decisiones del tipo semi-estructurado.


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Documentación

Dos tipos de documentación son requeridos para hacer un mejor uso del modelo de simulación. La primera se refiere a la documentación del tipo técnico y la segunda se refiere al manual del usuario, con el cual se facilita la interacción y el uso del modelo desarrollado.

6.3 Modelos de simulación

La experimentación puede ser un trabajo de campo o de laboratorio. El modelo de método usado para la simulación seria teórico, conceptual o sistémico.

Después de confirmar la hipótesis podemos ya diseñar un teorema. Finalmente si éste es admitido puede convertirse en una teoría o en una ley.

6.3.1 Modelo teórico

El modelo teórico debe contener los elementos que se precisen para la simulación. Un ejemplo con trabajo de laboratorio es un programa de estadística con ordenador que genere números aleatorios y que contenga los estadísticos de la media y sus diferentes versiones: cuadrática – aritmética – geométrica - armónica. Además debe ser capaz de determinar la normalidad en términos de probabilidad de las series generadas. La hipótesis de trabajo es que la media y sus versiones también determinan la normalidad de las series. Es un trabajo experimental de laboratorio. Si es cierta la hipótesis podemos establecer la secuencia teorema, teoría, ley.

6.3.2 Modelo conceptual

El modelo conceptual desea establecer por un cuestionario y con trabajo de campo, la importancia de la discriminación o rechazo en una colectividad y hacerlo por medio de un cuestionario en forma de una simulación con una escala de actitud. Después de ver si la población es representativa o adecuada, ahora la simulación es la aplicación del cuestionario y el modelo es el cuestionario para confirmar o rechazar la hipótesis de si existe discriminación en la población y hacia que grupo de personas y en que cuestiones. Gran parte de las simulaciones son de este tipo con modelos conceptuales.

6.3.3 Modelo sistémico

El modelo sistémico es más pretencioso y es un trabajo de laboratorio. Se simula el sistema social en una de sus representaciones totales. El análisis de sistemas es una representación total. Un plan de desarrollo en el segmento de transportes con un modelo de ecología humana, por ejemplo. El énfasis en la teoría general de sistemas es lo adecuado en este tipo de simulaciones. Este método, que es para un Sistema complejo, es sumamente abstracto, no se limita a la descripción del


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sistema, sino que debe incluir en la simulación las entradas y salidas de energía y procesos de homeostasis, autopoiesis y retroalimentación.

Tanto el programa de estadística, como la escala de actitud, como el sistema total, son perfectas simulaciones de la realidad y modelizan todos los elementos en sus respectivas hipótesis de trabajo. Son también un microclima y el ambiente o el escenario en los procesos de simulación/experimentación. Otras propiedades que deben contener las simulaciones es que sean repetibles indefinidamente. Que eviten el efecto de aprendizaje que incita al encuestador a rellenar él mismo los cuestionarios y que se podrá evitar con algún control, que sean flexibles o mejorables y que no sea invasivo o cambiar la población de las muestras sucesivas.

6.4 Simulación por computadora

Es un intento de modelar situaciones de la vida real por medio de un programa de computadora, lo que requiere ser estudiado para ver cómo es que trabaja el sistema. Ya sea por cambio de variables, quizás predicciones hechas acerca del comportamiento del sistema.

La simulación por computadora se ha convertido en una parte útil del modelado de muchos sistemas naturales en física, química y biología, y sistemas humanos como la economía y las ciencias sociales (sociología computacional), así como en dirigir para ganar la penetración su comportamiento cambiará cada simulación según el conjunto de parámetros iniciales supuestos por el entorno. Las simulaciones por computadora son a menudo consideradas seres humanos fuera de un loop de simulación.

Tradicionalmente, el modelado formal de sistemas ha sido a través de un modelo matemático, que intenta encontrar soluciones analíticas a problemas que permiten la predicción del comportamiento de un sistema de un conjunto de parámetros y condiciones iniciales. La simulación por computadora es frecuentemente usada como un accesorio para, o sustitución de, sistemas de modelado para los cuales las soluciones analíticas de forma cerrada simple no son posibles. Ahí se encuentran muchos tipos diferentes de simulación por computadora, la característica común que todas ellas comparten es el intento por generar una muestra de escenarios representativos para un modelo en que una enumeración completa de todos los estados posibles serían prohibitivos o imposibles. Existen varios paquetes de software para modelar por computadora, el funcionamiento de la simulación se realiza sin esfuerzo y simple (por ejemplo: la simulación Monte Carlo y el modelado estocástico como el Simulador de Riesgo).

Es cada vez más común escuchar acerca de simulaciones a muchas clases designadas como "ambientes sintéticos". Esta etiqueta ha sido adoptada al ampliar la definición de "simulación", que abarca virtualmente cualquier representación computarizada.


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6.5 Simulación en informática

En informática la simulación tiene todavía mayor significado especializado: Alan Turing usó el término "simulación" para referirse a lo que pasa cuando una computadora digital corre una tabla de transición de estado (corre un programa) que describe las transiciones de estado, las entradas y salidas de una máquina sujeta a discreto-estado. La simulación computarizada de una máquina sujeta.

En programación, un simulador es a menudo usado para ejecutar un programa que tiene que correr en ciertos tipos de inconvenientes de computadora o en un riguroso controlador de prueba de ambiente. Por ejemplo, los simuladores son frecuentemente usados para depurar un microprograma (microcódigo) o algunas veces programas de aplicación comercial. Dado que, la operación de computadoras es simulada, toda la información acerca de la operación de computadoras es directamente disponible al programador, y la velocidad y ejecución pueda variar a voluntad.

Los simuladores pueden ser usados para interpretar la ingeniería de seguridad o la prueba de diseño de lógica VLSI, antes de que sean construidos. En informática teórica el término "simulación" representa una relación entre los sistemas de transición de estado. Esto es usado en el estudio de la semántica operacional.

En el área de las ciencias son de gran ayuda ya que los estudiantes relacionan conceptos abstractos con reales (el choque de moléculas) y también ayuda en el sentido de los recursos ya que solo se tiene que disponer con un par de computadores y no con todo el aparataje de un laboratorio entero.

6.6 Simulación en la preparación

La simulación es usada en el entrenamiento o preparación tanto del personal

civil como militar; esto sucede cuando es prohibitivamente caro o simplemente muy peligroso para permitirle usar equipo real a un aprendiz en el mundo real. En esta última situación ellos aprenderán valiosas lecciones en un ambiente virtual seguro. La conveniencia es permitir errores durante el entrenamiento para un sistema crítico de seguridad.

El entrenamiento simulado típicamente viene en tres categorías: 1. Simulación de "Vida", es cuando las personas reales usan equipo

simulado en el mundo real. 2. Simulación "Virtual", es cuando las personas reales usan equipo simulado

en mundos simulados o ambientes virtuales. 3. Simulación "Constructiva", es cuando personas simuladas, usan equipo

simulado, en ambientes simulados.

6.7 Simulación en la educación

Este tipo de simulación es un tanto parecida a la de entrenamiento o preparación. Ellas se enfocan en tareas específicas. En el pasado los videos eran usados por maestros y para educar alumnos a observar, solucionar problemas y


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jugar un rol; sin embargo se ha visto desplazada por la simulación, puesto que ésta incluye viñetas narrativas animadas, éstas son videos de caricaturas hipotéticas e historias basadas en la realidad, envolviendo a la clase en la enseñanza y aprendizaje, también se usa para evaluar el aprendizaje, resolver problemas de habilidades y disposición de los niños, y el servicio de los profesores.

6.8 Simulación en las ciencias naturales

Los experimentos basados en técnicas como la espectroscopía de RMN proveen datos detallados sobre el comportamiento de la materia. Sin embargo, para interpretar estos experimentos y para obtener una resolución mayor en espacio y tiempo, tenemos que recurrir a modelos teóricos. La resolución analítica de estos modelos es imposible para la mayoría de los sistemas de interés práctico. Por ello, es necesario recurrir a la resolución numérica de estos modelos en forma de simulaciones. Una simulación busca recrear los elementos que se consideran importantes en la reproducción de un fenómeno observado empíricamente. Ejemplos importantes son la dinámica molecular y la química computacional, ambas utilizadas ampliamente para estudiar el plegamiento de proteínas en la biofísica y las propiedades mecánicas de polímeros artificiales en la ciencia de materiales.

6.9 Simulación médica

Este tipo de simulación se incrementa cada vez más y se están desplegando para enseñar procedimientos terapéuticos y de diagnóstico así como conceptos y la toma de decisión médica al personal en las profesiones médicas. Estos simuladores se han estado desarrollando para el entrenamiento en una gama de procedimientos básicos como la transfusión de sangre, una cirugía laparoscopica, cuidados traumatológicos, auscultación pulmonar y cardiaca, etc.

6.10 Simulación con el WINQSB

La simulación manejada por WINQSB permite la participación de cuatro actores dentro del ambiente simulado:

Tasa de llega de clientes (Customer Arriving Source). Colas (Queue). Líneas de espera. Servidores (Server): Se especifica la cantidad de servidores en el sistema. Colectores de Basura (Garbage Collector): Indica la posibilidad que

el cliente abandone el proceso sin terminarlo. Puede ser considerado como un defecto en el sistema.

Para que WINQSB comprenda esta designación la tasa de llegada

de los consumidores, las colas, los servidores y los colectores de basura serán identificados con las letras C, S, Q y G respectivamente.

6.10.1 Ejemplo de simulación

Ejemplo 1:


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Un banco posee dos cajeros (Pedro y Juan) los cuales atienden a un cliente en un promedio de 15 minutos con una desviación de 0.01. Los clientes llegan a una tasa de uno cada 10 minutos y hacen una sola cola cuya capacidad es de máximo 15 clientes. Se considera que la llegada de los clientes se comporta de forma muysimilar a una distribución tipo Poisson y los cajeros con una distribución normal. Simular con 100 minutos de tiempo el modelo anterior.

Podemos observar que existen tres actores principales: Dos cajeros, los cuales serán considerados como servidores. Los clientes, representados por una tasa de llegada. La cola o línea de espera, a donde los clientes llegan para ser atendidos.

Hay que considerar que los bancos emplean un sistema de espera de tipo

PEPS (FIFO – First In First Out), es decir, los primeros clientes en entrar serán los primeros en ser atendidos.

Para ingresar esta información registramos la cantidad de actores participantes en la ventana Especificaciones del Problema (Problem Specification).

Juan

Pedro Capacidad: 15

Tasa de Atención:

Personas en fila

0.067 clientes/ minuto

Tasa de llegada: 0.1 cliente /

minuto


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Es recomendable darle nombres a cada uno de los actores para evitar confusiones futuras.

Los cajeros se denotan con la S (Server), los clientes con la C (Customer) y la cola con Q (Queue).

Al pulsar OK, aparecerá una plantilla donde ingresaremos la información primaria del problema.


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Comencemos llenando los datos para los cajeros. Para programarlos es necesario introducir la información de que los cajeros dependen de los clientes. Para que WINQSB entienda esto en la columna Distribución de tiempos de servicio (Service Time Distribution) se ingresa la siguiente notación:

Clientes/Normal/0.06667/0.01 La notación completa es:

Nombre predecesor/Distribución/Parámetro 1/Parámetro 2/Parámetro 3

La primera corresponde a la conexión con los clientes, la segunda a la distribución de probabilidad de los servidores y los siguientes datos (parámetros) son utilizados de acuerdo a la información requerida por la distribución (por ejemplo, la distribución Normal requiere de dos parámetros: la media y la desviación).

Las distribuciones disponibles son: Beta (Beta) Binomial (Binomial) Constante (Constant) Discreta (Discrete) Erlang (Erlang) Exponencial (Exponential) Gamma (Gamma) Hypergeométrica (Hypergeometric) Laplace (Laplace) Normal (Normal) Pareto (Pareto) Poisson (Poisson) Función de poder (Power Function) Triangular (Triangular) Uniforme (Uniform) Weibull (Weibull)


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De igual forma debemos completar los parámetros para los clientes. Lo primero es indicar la dependencia de una de las colas en la columna Sucesor inmediato (Immediate Follower). Luego, en la columna Distribución del tiempo entre llegada (Interarrival Time Distribution) con el siguiente formato:

Distribución/Parámetro 1/Parámetro 2/Parámetro 3

Para nuestro caso, la distribución quedaría:

Poisson/0.1

Los parámetros 2 y 3 no son requeridos para esta distribución. El resultado debe lucir como sigue:

a columna Distribución de los tamaños de los lotes (Batch Size Distribution), indica si los clientes llegan de forma agrupada o individual. En nuestro caso omitiremos llenar esta columna indicando que los clientes llegan de a uno al banco.

Para programar la cola, debemos indicar que los dos cajeros se alimentarán de ella colocando los nombres en las casillas correspondientes a la columna Sucesor inmediato (Immediate Follower).

En Disciplina de la cola (Queue Discipline) marcamos FIFO y en

Capacidad de la cola (Queue Capacity) su capacidad (máximo 15 personas en espera).

6.10.2 Analizando los resultados

Para resolver el problema pulsamos sobre Realizar simulación (Perform Simulation) en el menú Resolver y analizar (Solve and Analyze).

En la nueva ventana podremos indicar la cantidad de minutos a simular y que tipo de base (seed) para la generación de números aleatorios.


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Pulsemos en el botón SIMULATE. WINQSB tomará el tiempo y mostrará las observaciones recolectadas durante ese tiempo:

El botón SHOW ANALYSIS nos mostrará los resultados de la simulación.


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Se puede observar que en los 100 minutos llegaron 1123 clientes (Total

Number of Arrival) El tiempo de espera promedio fue de 0.1879 (Average Waiting Time). El número máximo de personas en el sistema fue de 17: 15 en espera y 2 siendo atendidos (Maximun Numberin the System). En promedio permanecieron 2,2144 personas en el sistema (Average Number in the System).

Un análisis desde el punto de vista de los cajeros nos muestra más información de la simulación:

Los cajeros tuvieron un promedio de utilización (Server Utilization) del 28,89%. El cajero 1 atendió 431 personas y el cajero 2 a 440 para un total de 871 (Customer Processed). De los 1123 solo finalizaron el proceso 871.


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Desde el punto de vista de la cola tenemos:

El promedio de personas en la cola fue de 1.6366 (Average Q.

Length). El máximo de personas en la cola es de 15 (Maximun Q. Length).

6.10.3 Simulación en modo gráfico

Podemos ingresar el problema mediante el modo gráfico que provee

WINQSB en la ventana inicial:

El problema quedaría:

Para intercambiar los modos pulsamos en Pasar a formato matriz

(Switch to Matrix Form) en el menú Formato (Format)


128

1. Un banco posee dos cajeros, los cuales atienden a un cliente en un promedio de 10 minutos con una desviación de 0.02. Los clientes llegan a una tasa de uno cada 8 minutos y hacen una sola cola cuya capacidad es de máximo 10 clientes. Se considera que la llegada de los clientes se comporta de forma muy similar a una distribución tipo Poisson y los cajeros con una distribución normal. Simular con 80 minutos de tiempo el modelo anterior.

2. El Gerente General de la Comisión de la TINKA acaba de diseñar una nueva

lotería instantánea. Como se muestra en la figura siguiente:

Tarjeta de lotería Fila 1

Fila 2

Fila 3

Raspe una casilla en cada fila

Cada tarjeta de lotería contiene tres filas. En cada renglón, hay dos casillas, una de las cuales tiene un valor oculto de S/. 1 y la otra de S/. 5. El jugador raspa cualquier casilla de cada renglón para descubrir el valor asociado en nuevos soles. Si los tres números ocultos son iguales, el jugador gana esa cantidad, Antes de comprometer a la institución en este juego e imprimir una gran cantidad de tarjetas, usted, como Gerente de la Comisión de la TINKA, desea evaluar la factibilidad económica del juego. Entre las preguntas que debe contestar está la siguiente: ¿Cuál es la mínima cantidad que se puede cobrar por cada tarjeta y todavía esperar tener una ganancia?.


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3. Mega Centro es una tienda que compra videos de estreno a S/. 25 la copia, los renta en S/. 3 al día y después de un mes los vende a otra tienda en S/. 5 la copia. Basándote en datos anteriores, la tienda ha estimado las siguientes probabilidades de demanda diaria para cada película:

Número de copias Probabilidad0 1 2 3 4

0.15 0.25 0.45 0.10 0.05

Como representante de ventas de Mega Centro, usted desea decidir cuántas copias de cada nueva película pedir: 0, 1, 2, 3 o 4.

ARBONAS, M.E. “Optimización Industrial (I): Distribución de los recursos”. Colección Productica No. 26. Marcombo S.A, 1989. ARBONAS, M.E. “Optimización Industrial (II): Programación de recursos”. Colección Productica No. 29. Marcombo S.A, 1989.

BELLO PÉREZ, Carlos. “Manual de producción aplicado a las pequeñas y medianas empresas”. Editorial ECOE EDICIONES. Colombia, 1997.

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130

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