Download - ITS Undergraduate 17830 1200109024 Paper
-
7/24/2019 ITS Undergraduate 17830 1200109024 Paper
1/7
PROPOSAL TUGAS AKHIR
DIMENSI PARTISI PADA GRAF KINCIR
PARTITION DIMENSION OF WINDMILL GRAPH
Oleh:
CHANDRA IRAWANNRP : 1200 109 024
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA
2008
-
7/24/2019 ITS Undergraduate 17830 1200109024 Paper
2/7
ABSTRAK
Misalkan G(V,E) adalah graf terhubung sederhana dan S adalah sebuah subset dari V(G),
jarak antara v dan S adalah ( ) ( ){ }SxxvdSvd = ,min, .
Himpunan berpasangan ( )k= ,....,, 21 dari V(G) dan setiap titik v pada G,
representasi dari v pada adalah k-vektor ( ) ( )( ( ) ( ) )kvdvdvdvr = ,,.....,,,, 21 ,k-partisi adalah resolving partisi jika k-vektor adalah berbeda. Nilai minimum dari kyang
merupakan resolvingk-partisi dari V(G)adalah dimensi partisi pd(G) dari G.
Graf kincir adalah graf lengkap K n yang terdapat m salinan dari graf lengkap K n dengan
sebuah titik sebagai titik pusat bersama dari semua salinan graf lengkap tersebut.
Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai dimensi partisi graf kincir.
Kata kunci : resolving partisi, resolving k-partisi, dimensi partisi.
2
-
7/24/2019 ITS Undergraduate 17830 1200109024 Paper
3/7
DIMENSI PARTISI PADA GRAF KINCIR
A. LATAR BELAKANG
Graphmerupakan salah satu struktur dasar dari ilmu komputer. Banyak permasalahan
dapat dinyatakan dalam bentuk graph dan diselesaikan menggunakan graph
pencarian/manipulasi algoritma. Graph adalah kumpulan vertek dan edge, didefinisikan
sebagai ),( EVG = , dimana V adalah kumpulan dari vertek dan Eadalah kumpulan dari
edge. Setiap edge menghubungkan satu vertek ke vertekyang lain, dan setiap vertek dapat
mempunyai banyak edgeyang menghubungkannya ke vertekyang lain.
Banyak penelitian telah dilakukan pada graph, diantaranya edge labelling, coloring graph,
teori Ramsey pada graph, vertex labelling,partition dimension of graph, dan lain-lain.
Dimensi partisi merupakan permasalahan yang menarik untuk dibahas dan banyak mendapat
perhatian dari kalangan peneliti. Beberapa hasil penelitian tentang dimensi partisi pada graph
sudah banyak dipublikasikan.
Dalam penelitian sebelumnya juga telah dibahas oleh Tomaseu, I, Javaid, I, danSlamin tentang Dimensi Partisi pada Graph Wheel. Dimensi partisi pada Graph Wheel
merupakan pd ( )nC dari graph G terhubung yang dipengaruhi oleh penambahan vertek
tunggal. Dimensi partisi pada W n untuk n3 maka pd ( )nC =3 ketika pd ( )3W = 4 seperti
pada pd ( )nW = 3 ketika 4n7 dan pd ( )nW = 4 ketika 8n19.Secara garis besar, pencarian dimensi partisi dari graphG berisi penentuan nilai k minimum
untuk resolvingk-partisi dari V(G).
Graf kincir adalah Complete graph / graf lengkap Kn yang terdapat m salinan dari
complete graph dengan sebuah vertek sebagai pusat vertek bersama dari semua salinan
complete graphtersebut.Untuk setiap vertek vdari graphterhubung dan sebuah subset S dari V(G), jarak antara v dan
S adalah d (v,S) =min {d(v,x) x S }.Untuk setiap pasangan k-partisi
{ }k
SSS ,.....,,21
= dari V(G)dan setiap vertek vdari G, merupakan representasi v pada
didefinisikan sebagai k-vektor
( ) ( )( ( ) ( ) )kSvdSvdSvdvr ,,....,,,, 21=
Partisi disebut sebagai resolving partition jika k-vektor )( )(, GVvvr , adalah
berbeda. Nilai minimum k untuk resolving k-partisi dari V(G)adalah dimensi partisi ( )Gpd dari G.[3][4]
Sejauh ini dimensi partisi kincir belum ditentukan.
Pada tugas akhir ini akan di bahas tentang Dimensi Partisi padagraf kincir.
B. PERUMUSAN MASALAH
Permasalahan-permasalahan yang ada adalah bagaimana menentukan dimensi partisi
dari graf kincirdengan 2 bilah , 3 bilah dan kemudian menentukan dimensi partisi graf kincir
dengan n-bilah.
C. BATASAN MASALAH
Adapun penelitian dalam tugas akhir ini yang dikaji adalah graph sederhana dan tak-
berarah (undirected).
3
-
7/24/2019 ITS Undergraduate 17830 1200109024 Paper
4/7
Graphsederhana adalah graphyang tidak memuat loopdan multiple edge. Loopadalah sisi
yang menghubungkan suatu titik dengan dirinya sendiri. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang
menghubungkan dua titik, maka sisi-sisi tersebut dinamakan multiple edge.
D. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIANTujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari dimensi partisi pada graph windmill.
Adapun manfaatnya adalah :
Memberi kontribusi pada penelitian dalam bidang teori graf, utamanya dalam dimensi partisi
pada graph windmill.
E. TINJAUAN PUSTAKA
Graphadalah kumpulan vertekdan edge, didefinisikan sebagai ),( EVG = , dimana V
adalah kumpulan dari vertekdanEadalah kumpulan dari edge. Setiap edgemenghubungkan
satu vertek ke vertek yang lain, dan setiap vertek dapat mempunyai banyak edge yang
menghubungkannya ke vertekyang lain. Sebuah segmen garis yang menghubungkan duavertekdisebut dengan edge.[2].
Gambar 1. Gambar vertekdan edgegraf. V1dan V2adalah vertekdan e adalah edge.
Graph adalah himpunan dari vertek dan edge yang terbatas dimana setiap edge
menghubungkan dua vertek. GraphG mempunyai himpunan vertek )(GV dan himpunan
edge )(GE , dimana jumlahnya dinyatakan dengan )(GV atau v dan )(GE atau e.
Suatu edge yang menghubungkan dua vertek disebut dengan adjacent, sedangkan apabilasebuah vertekberhubungan dengan dua edgedisebut incident.[2]
Graph wheel
Pada graph roda nW untuk n 3 adalah nC + 1K yang menggabungkan semua
semua vertex pada nC = 0v , 1v ...... 1nv . Untuk penambahan vertek disebut pusat. Graph
W n terdiri dari vertek n+1, pusat, dan vertek n lingkaran memiliki diameter 2. Contoh graph
wheeldapat dilihat pada Gambar 2
Gambar 2. Graph Wheel
4
-
7/24/2019 ITS Undergraduate 17830 1200109024 Paper
5/7
Graph Windmill
Windmill atau kincir adalah graph lengkap K n yang terdiri atas m salinan dari graph
lengkap K n dengan sebuah titik sebagai pusat titik bersama dari semua salinan graph
lengkap tersebut. Contohgraphdapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Graph Windmilldengan tiga bilah( ( )33
W )
Untuk titik-titik u dan v dalam graphterhubung G, jarak ( )vud , adalah panjang darilintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan berpasangan
( )k
WWWW ,....,,21
= dari titik-titik dalam graph terhubung Gdan titik v pada G, adalah
vektor-k (pasangan k-tuple)
( ) ( )( ( ) ( ) )kwvdwvdwvdWur ,,.....,,,, 21=
menunjukkan matrik representasi dari vpada W. Himpunan Wdinamakan resolving set Gjika
titik-titik G mempunyai representasi berbeda. Himpunan resolving berisi jumlah minimal dari
titik-titik yang dinamakan minimum resolving setatau basis G. Jumlah titik-titik pada basis
Gadalah (metrik) dimensi = dim (G).[3][4]
Dimensi partisiGraph( pd(G) )Untuk setiap titik v dari graphterhubung dan sebuah subset S dari V(G), jarak antara v
dan S adalah
d (v,s) =min {d(v,x) x s }Untuk setiap pasangan k-partisi { }kSSS ,.....,, 21= dari V(G)dan setiap titik v dari G,merupakan representasi vpada didefinisikan sebagai k-vektor
( ) ( )( ( ) ( ) )kSvdSvdSvdvr ,,....,,,, 21=
Partisi disebut sebagai resolving partition jika k-vektor )( )(, GVvvr , adalah
berbeda. Nilai minimum k untuk resolving k-partisi dari V(G)adalah dimensi partisi ( )Gpd
dari G,sebagai contoh :Dimensi partisi pada Path (P n )
Gambar 4. Graph Path(P 4 )
P n = v1 ,v 2 , ...,v n
Misalkan dengan 2 partisi,
asumsikan ={ S1 , S 2 } adalah partisi dari V(P n ) dengan
S 1 ={ v1 } dan S 2 ={ v 2 ,v 3 , ...,v n }
5
-
7/24/2019 ITS Undergraduate 17830 1200109024 Paper
6/7
Gambar 5. Graph Path(P 4 )dengan 2 partisi
Maka (v 1 v 1 =0) ; (v 1 v 2 =1) ; (v1 v 3 =2) ; (v 1 v 4 =3)
Berapapun nilai n, maka nilai r(v|) akan berbeda,
sehingga dapat dirumuskan
r(v 1 |)=(0,1)
r(v i |)=(i-1,0) ; untuk 2 i n
karena adalah resolvingpartisi dari P n makapd (P n )=2
F. METODOLOGI PENELITIAN
Metodologi penelitian dalam mengerjakan tugas akhir ini adalah sebagai
berikut:
1. Studi Literatur Tentang dimensi partisi graphdangraph Windmill
Mempelajari teori-teori yang berhubungan dengangraph Windmilldandimensi
partisi graph.
2. Analisa
a. Menentukan dimensi partisi pada graph Windmill.
b. Menganalisis dimensi partisi graph Windmill.
3. Evaluasi
Melakukan evaluasi terhadap analisis, untuk mengetahui apakah analisis tentang
dimensi partisi pada graph Windmillsesuai dengan yang diharapkan.
4. Penyimpulan Hasil Penelitian
Penyimpulan hasil penelitian merupakan kesimpulan dan dokumentasi dari
analisis tentang dimensi partisipadagraph Windmill.
G. JADWAL PELAKSANAAN
Kegiatan Bulan ke1 2 3 4
1.Studi literatur
2.Analisa
3.Evaluasi
4. Penyusunan Laporan
6
-
7/24/2019 ITS Undergraduate 17830 1200109024 Paper
7/7
H. DAFTAR PUSTAKA
1. Harary, F., 1969, Graph Teory, Wesley Publishing Company,Inc.
2. Seshu, Sundaram, Reed, B., Myril, 1961, Linear Graph and Electrical Network,
Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
3. Tomescu, I., Javaid, I., Slamin., Maret. 2007. On the partition dimension and
connected partition of wheels,
4. Chartrand, G., Salehi, E., Zhang, P., 2000. The Partition dimension of a graph.
Aequation Math 59:45-54.
7