Download - Jorgeeduardosalazartrujillo20072 parte3

139

Método de la sección transformada. Transformemos la sección en madera:

2010200

GPaGPa

EEnmadera

acero

Analicemos la viga como si fuera toda de madera:

Calculemos Iecc ,, 21

221

2211 67.4200400

12200400 cIAA

yAyAy

33.1767.4221 c

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140

422 67.2292267.260027200 cmAdII D

433

2720032010

32200 cmID

Finalmente, calculamos los esfuerzos en la madera y en el acero:

KPa.mcm

cmN.

cm.cm.cmN

IcM max

real,madera)max( 6272110162726722922

331710036002

24

241

KPa.mcm

cmN.

cm.cm.cmN

IcM max

ficticio,madera)max( 47331034736722922

67410036002

24

242

Como en la realidad en la parte inferior de la viga no hay madera sino una platina de acero,debemos “devolvernos” por as� decirlo y multiplicar este esfuerzo ficticio por n para obtener elesfuerzo real en el acero:

KPaKPan ficticiomaderarealacero 149547.74720,)max(,)max(

En conclusi�n hemos encontrado los siguientes esfuerzos m�ximos en la viga:



141

Variación de esfuerzos a través de la sección:

La viga entonces, absorberá los esfuerzos de la siguiente forma:

Como se ve, la platina de acero soporta la mayor parte de los esfuerzos de tensión.

La viga también puede analizarse transformando toda la sección en acero. Veámoslo acontinuación.

Resolución del problema transformando la viga en acero

Vamos a transformar toda la viga en acero. Por lo tanto:

05.020010

GPa

GPaE

Enacero

madera



142

Sección transformada en acero

Analicemos la sección transformada:

221

2211 67.41020

1210120 cAA

yAyAy

33.1767.4221 c

Cálculo del momento de inercia:

13.114667.2301360 22 AdII D

13603

205.03

210 33

DI



143

Cálculo de los esfuerzos:

Esfuerzo máximo en la madera:

KPan ficticioaceroCrealmaderaC 6.27745549205.0,)max(,)max(

En resumen:

Obviamente, los valores soniguales a los que obtuvimostransformando la sección enmadera

KPaPaficticioaceroC 554921020.554913.1146

33.171003670 4,)max(

KPaParealaceroT 7.149531037.149313.1146

67.41003670 4,)max(

KParealmaderaC 6.2774,)max(

KParealaceroT 7.14953,)max(



144

PROBLEMAS PROPUESTOS

Calcular los esfuerzos normales y cortantes máximos en las siguientes vigas



145

C A P Í T U L O 4

D E F O R M A C I O N E S E N V I G A S

NÓTENSE LAS DEFORMACIONES Y FISURAS EN LOS EXTREMOS DE LA VIGA

Tal como se ha dicho, un elemento estructural no sólo debe ser resistente a la rotura sino quedebe tener unas condiciones de rigidez adecuadas de tal manera que se cumplan algunas condicionesmínimas, a saber:

Que se garantice la funcionalidad de la estructura evitando grandes deformaciones que podríanafectar su desempeño. (Por ejemplo el alineamiento y nivelación de equipos).

Que no se afecte la estética de la estructura con la aparición de grietas, producto de grandesdeformaciones.



146

NÓTESE AGRIETAMIENTO DE LA VIGA EN LA SECCIÓN DE MOMENTO NEGATIVO,POR FALTA DE REFUERZO

Adicionalmente como se ha visto, en el caso de vigas estáticamente indeterminadas es necesarioobtener ecuaciones adicionales basadas en las deformaciones que nos ayuden a levantar laindeterminación y así poder resolverlas.

De otra parte, en los próximos cursos de ingeniería estructural se requerirán los conocimientosrelativos a los métodos de cálculo de deformaciones en vigas para poder afrontar el estudio de estructurasestaticamente indeterminadas (por ejemplo en el método conocido como pendiente- deflexión o slopedeflection).

Por estos motivos se hace necesario calcular las deformaciones que se producen en las vigascuando están son sometidas a cargas.

Existen varios métodos para calcular las deformaciones en vigas:

Métodos matemáticos: Método de la doble integración o de la Ecuación de la elástica.

Métodos geométricos: Basados en la forma de la viga deformada. El mas conocido es elmétodo del Área de momentos o Teoremas de Mohr.

Métodos derivados de los anteriores: Método de la viga conjugada conocido en algunostextos como Método de los Pesos Elásticos.

Métodos energéticos: Basados en la conservación de la energía desarrollada por las fuerzasal deformar las vigas. (Teoremas de Maxwell, de Castigliano y otros).



147

Tipos de deformaciones



148



149

Funcionalidad afectada por deformaciones excesivas (se desnivelan los elementos soportadospor la viga).

Deformaciones excesivas pueden causar agrietamientos que afectan la estética de las estructuras.



150

Deformaciones con concavidades contrarias.

4.1 MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

En la teoría de flexión se vió que: EIM

1

En matemáticas se tiene que:

23

2

2

21

1

dxdy

dxyd



151

Por lo tanto:

EIM

dxdy

dxyd

23

2

2

21

pero 0

dxdy las pendientes en las vigas son muy peque�as

Con mayor raz�n: 02

dxdy

En conclusi�n: "2

2y

EIM

dxyd

o lo que es lo mismo: MEIy "

EI: Rigidez a la flexi�ny‘’ : segunda derivada de la ecuaci�n de la viga deformada o el�sticaM: Ecuaci�n del momento flector en el tramo de viga considerado

Si integramos esta ecuaci�n obtenemos la ecuaci�n de la pendiente y’:

1CMdxyEI

Si integramos otra vez (doble integraci�n) obtenemos la ECUACI�N DE LA EL�STICA:

21 CxCMdxEIy ECUACI�N DE LA EL�STICA

Con estas ecuaci�n podemos calcular la pendiente y’ o la deformacion y en cualquier punto de la viga.

Las constantes C1 y C2 se calculan estableciendo las condiciones iniciales o de borde que dependende los apoyos y las caracter�sticas de la viga y de las cargas como se ver� en los ejemplos.

MEIy "



152

CONDICIONES INICIALES EN DIFERENTES TIPOS DE VIGAS



153

PROBLEMA

Calcular la deformación en el extremo libre B de la viga en voladizo:

Tal como se vió en el método de doble integración:

MEIy "

Para poder integrar necesitamos la ecuación del momento flector M. Para encontrarla hacemosun corte a una distancia x del empotramiento A.

0M 0 PxPLM

Ecuación del momento:

PLPxM

Por lo tanto:

PLPxEIy "

Integrando una vez:

1

2

2CPLxPxyEI

Integrando otra vez (doble integración):

21

23

26CxCPLxPxEIy



154

Para calcular C1 y C2 debemos establecer las condiciones iniciales. Para esto, observamos elproblema f�sico, la viga empotrada en A. En el empotramiento (x=0) se est�n impidiendo tantola deformaci�n (y=0) como el giro (y’=0). Recordemos que un empotramiento por definici�n esun apoyo que impide el giro.

Entonces:

Condiciones iniciales:

0000

yxyx

00 yx 21

23

26CxCPLxPxEIy por tanto: 02 C

00 yx 1

2

2CPLxPxyEI por tanto: 01 C

Al ser las dos constantes iguales a cero, las ecuaciones quedan:

Ecuaci�n de la el�stica:

261

26

2323 PLxPxEI

yPLxPxEIy

Ecuaci�n de la pendiente:

PLxPx

EIyPLxPxyEI

21

2

22

C�lculo de la deformaci�n en el extremo B:

LB y

0 0 0

0 0 0 0



155

EIPLPLPL

EIB 3261 333

EIPL

B 3

3

Análisis de deformación

Vemos que mientras mayores sean P y L mayor será la deformación y que mientras mayor sea EI,será menor.

EI: Rigidez a la flexión. Para un material dado (E), la deformación depende del momento de lainercia.

Influencia del momento de inercia en la deformación

Influencia de la longitud de la viga L en la deformación

LB y

261 23 PLxPxEI

y

EIPL

B 3

3



156

Si duplicamos la longitud de la viga tendremos:

| Al duplicar la longitud, ladeformación se hace 8 vecesmás grande

Cálculo de la pendiente de la viga en B:

Ecuación pendiente:

PLxPx

EIy

61 2

LB y|

EIPLPLPL

EIB 221 2

22

EIPL

B 3

3

EIPL

EILP

B 38

32 33



157

PROBLEMA

Calcular la deformación máxima en la viga, la pendiente en los apoyos A y B y la deformaciónen el centro de la luz

3000500350 BBA RRM

2003005000 Ay RF

En este caso la ecuación de momentos no es única para toda la viga: tiene una expresión distintaen cada uno de los 2 tramos. Veamos:

30 x xM 200

53 x

Encontremos la ecuación de la elástica para cada tramo:

3500200 xxM

21

33

21

3

1

22

1

2

63500

6200

6200

23500

2200

2200

3500200"200"

5330

DxDxxEIyCxCxEIy

DxxyEICxyEI

xxEIyxEIy

xx

Tenemos 4 constantes.Necesitamos por tanto4 condiciones iniciales



158


02 C

056

25006

52000 21

33

CD

211 55 DDC

11 DC

De estas cuatro ecuaciones obtenemos:

70000 1122 DCDC

CBAC

CBAC

yyxyyx

33

C es un punto común de lostramos AC y CB. Por tanto endicho punto las ordenadas y laspendientes de los 2 tramos soniguales

1

22

1

3

21

33

1

3

21

33

1

3

23500

2200

2200

63500

6200

6200

63500

6200

620000

2

DxxyEICxEIyyy3x

DxDxxEIyCxCxEIyyy3x

DxDxxEIy0y5x

CxCxEIyyx

CBAC

CBAC

2



159

Deformaci�n m�xima: Por observaci�n vemos que ocurre en el tramo AC de la viga. Adem� esen dicho punto la tangente a la el�stica horizontal, es decir y’=0.

La ecuaci�n de la pendiente para el tramo AC es:

1

2

2200 CxyEI

Por tanto:

7002

2002

20002

1

2

xCx

65.2x En este punto ocurre la deformaci�n m�xima

EIEIy 2.65

68.123465.27006

65.22001 3

max

Pendientes en los apoyos A y B:

EIEICx

EIy 0A

7007002

020012

2001 2

1

2

EIEIDxx

EIy 5B

8007002

355002

520012

35002

2001 22

1

22

Deformaci�n en el centro de la viga:

EIEIy 2.5centro

17.12295.27006

5.22001 3

0yeny max



160

En resumen:

PROBLEMA

Calcular la deformación máxima en la viga que tiene rigidez a la flexión EI:

1220338046000

338008400036000

Ay

BBA

RF

R10RM



161

Ecuaciones del momento flector:

30 x xM 1220

6x3 3-x-xM 6001220

106 x

2

66100036001220

xxxxM

26100036001220

2

xxxM



162

Pero: MyEI

30 x x 63

xEIy 1220" 36001220 -x-xEIy"

CxyEI 1

2

21220

1

2

23600

21220 DxxEIy

2

21

3

61220 CxCxEIy

21

33

63600

61220 DxDxxEIy

CxyEI 1

2

21220

DxxyEI 1

22

23600

21220

21

3

61220 CxCxEIy

21

33

63600

61220 DxDxxEIy

106 x

2610006001220

2

x3-x-xEIy"

1

322

661000

23600

21220 Ex-xxyEI

21

433

2461000

63600

61220 ExEx-xxEIy

1

322

661000

23600

21220 ExxxyEI

21

433

2461000

63600

61220 ExExxxEIy



163


CxCxEIy0y0x 21

3

61220

02C

DxDxxEIyCxCxEIyyy3x CDAC 21

33

21

3

63600

61220

61220

211 33 DDC

DxxyEICxyEIyyx CDAC 1

22

1

2

23600

21220

212203

1DC1

21

433

21

33

2461000

63600

61220

63600

612206 ExExxxEIyDxDxxEIyyyx DBCD

2121 66 EEDD

1

32222

661000

23600

21220

23600

212206 Exx-xyEIDxxyEIyyx 1DBCD

1ED1

21

433

21

43310

24610

10006

3106006

10122024

61000

63600

61220

10 EE0ExExxx

EIy0yx

2110671583660 EE.



164

En últimas, tenemos: Resolviendo el sistema, las constantestienen los siguientes valores:

02C 02C

211 33 DDC 02 D

11 DC 67.158361 C

2121 66 EEDD 022 DE

11 ED 67.158361 D

211067.1583660 EE 67.158361 E

Cálculo de la deformación máxima

Por observación, vemos que estará ubicada en el tramo central de la viga. La condición es queallí la pendiente debe valer cero (tangente horizontal). Por tanto:

0yeny max

La ecuación de la pendiente para el tramo CD es: 1

22

23600

21220 DxxyEI

Por tanto: 67.158362

36002

1220022

xx

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

73.11

92.5

2

1

x

x

La raíz 73.112 x solo tiene significado matemático. Para nosotros el valor que tiene significado

físico para la viga que estamos analizando es el de 92.51 x . Chequeamos además que está

comprendido en el tramo 63 x .



165

Por lo tanto:

ymaxima 92.5 en la ecuación de y válida en dicho punto:

21

33

63600

61220 DxDxxEIy

EIEI1ymaxima

28.5405692.567.158366

392.56006

92.51220 33

92.5

92528.54056 .xenEImaxima

4.1.1 FUNCIONES DE SINGULARIDAD

Observemos las ecuaciones del momento flector para la viga del problema anterior:

2

6100036001220106

30

2

xxxMx

3-x600-1220xM6x3

1220xMx



166

Como se ve, cada ecuaci�n es igual a la anterior mas un t�rmino, de tal manera que la �ltima las“contiene” a todas por as� decirlo, lo cual la convierte en la ecuaci�n representativa de la viga.

1062

61000360012202

xxxxM

63266100036001220

2

xxxxxM

30266100036001220

2

xxxxxM

Este hecho hace que podamos utilizar la �ltima ecuaci�n como representativa de la viga con unacondici�n: que para cada tramo solo se incluyan los t�rminos necesarios.

Esto se logra utilizando FUNCIONES DE SINGULARIDAD, que tienen una expresi�n distintapara cada tramo incluyendo los t�rminos afectados por par�ntesis solo cuando se necesiten.Matem�ticamente esto se expresa escribiendo la ecuaci�n con par�ntesis angulares los cuales s�lo seincluir�n en la ecuaci�n cuando su valor sea positivo seg�n la siguiente convenci�n:

ECUACI�N REPRESENTATIVA DE LA VIGA: 26

1000360012202

x

xxM

Condici�n para los par�ntesis:

axsiax

axsiaxax

0

Resolvamos el problema anterior utilizando funciones de singularidad:

Si le quitamos untérmino, se convierte enla segunda:

Si le quitamos otrotérmino, se convierte enla primera:



167

2

6100036001220106

36001220

122030

2

xxxMx

x-x-M6x3

xMx

ECUACIÓN REPRESENTATIVA DE LA VIGA: 26

1000360012202

x

xxM

Por lo tanto:

21

433

1

322

2

246

10006

36006

1220

66

10002

36002

1220

26

100036001220

CxCxxxEIy

CxxxyEI

xxxyEI

Como vemos, el problema se simplifica pues sólo tenemos 3 ecuaciones y 2 constantes: C1 y C2En consecuencia sólo necesitamos 2 condiciones iniciales.


024

61000

63600

612200 21

433

2CCxC

xxxEIy0yx

= 0 pues

x < 3

= 0 pues

x < 6



168

Cálculo de la deformación máxima en la viga:

0yeny max

La ecuación de la pendiente para el tramo CD es:

Por tanto:

92567.158362

36002

1220022

.xxx

Por lo tanto: 92.5yδmaxima

EIEIyδmaxima

28.5405692.567.158366

392.56006

92.512201 33

92.5

= (x-3) pues

x > 3

CxCxxxEIy0yx 21

433

246

10006

36006

122010

= (x-6) pues

x > 6

.-CCEIy 671586301024

61010006

3106006

10122021

433

= (x-3) pues

x > 3

= 0 pues

x < 6

CxxxyEI 1

322

66

10002

36002

1220

= (5.92

-3)pu

esx > 3

= 0 pues

x < 6

21

433

246

10006

36006

1220 CxCxxxEIy

= 0



169

5.92xenEI

δmaxima 28.54056

Obviamente, el resultado es igual al obtenido sin emplear funciones de singularidad.

Caso especial

Cuando la carga distribuida no se extiende hasta el extremo derecho de la viga, se rompe lasecuencia entre las ecuaciones de los 2 últimos tramos de tal manera que la última ecuación no contienea la penúltima y por tanto no puede ser adoptada como ecuación representativa de la viga. Veamos lasituación y el artificio que se emplea para resolverla.

7.23.360

3.305.560

Ay

BBA

RF

KNR10RM

x.M 72



170

5.5672 xx.M

74 x

Como se ve, la tercera ecuación no se convierte en la segunda al quitarle el último término: 5.5672 xx.M

Para obligar a que esto ocurra se aplica el siguiente artificio que hace cambiar la forma de latercera ecuación de tal manera que ocurra lo requerido.

Se agregan simultáneamente las dos cargas distribuidas mostradas que al ser iguales de sentidocontrario se anulan no afectando por tanto ni las reacciones ni las fuerzas internas de la viga original.

2

42722

xx.M

107 x



171

La viga que estamos analizando queda por lo tanto así:

Tal como se expresó en la página anterior, las reacciones no cambian: KNR.R BA 3.372

Los dos primeros cortes de la viga también quedan idénticos:

30 x

x.M 72

74 x

2

42722

xx.M

En el tercer corte, cambia la expresión del momento adoptando la forma que necesitamos:

107 x

2

722

427222

xxx.M



172

La adoptamos entonces como ecuación representativa de la viga, con los paréntesis angularespreviamente definidos:

ECUACIÓN REPRESENTATIVA DE LA VIGA: 2

722

4272

22

xxx.M

Esta ecuación la igualamos a EIy’’: 2

722

4272

22

xxx.yEI

y resolvemos el problema utilizando funciones de singularidad con todas las ventajas que se hananotado.

4.2 MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS (TEOREMAS DE MOHR)

Como su nombre lo indica, el método utiliza los diagramas de momento flector de las vigasRecordemos los diagramas correspondientes a alguna vigas típicas:



173

En 2 dimensiones los diagramas se ven así:

El método se basa en 2 teoremas:

El primer teorema (de Mohr) relaciona el cambio de pendiente a lo largo de la viga con el área deldiagrama de momentos entre los puntos considerados.

El teorema dice que la diferencia de pendiente entre dos puntos (por ejemplo C y D) es igual alárea de momentos entre dichos puntos dividida por la rigidez a la flexión EI.



174

El teorema establece que:

El segundo teorema (de Mohr) establece que la distancia vertical desde un punto de la elásticahasta la tangente trazada por otro es igual al momento estático del área entre dichos puntos respecto alprimero.

El teorema establece que:

AxC

D

CD

DdesdeMedidax :

Área del diagrama de M/EIentre los puntos C y D



175

Demostración del Primer Teorema de Mohr

El teorema dice que la diferencia de pendiente entre dos puntos (por ejemplo C y D) es igual alárea de momentos entre dichos puntos dividida por la rigidez a la flexión EI.

Diferencia de pendiente entre dos puntos separados ddx :

La pendiente en una viga por ser tan pequeña es igual a la derivada:

dxdy Por tanto:

2

2

dxyd

dxd

Pero:

EIM

dxyd2

2

Por lo cual: EIM

dxd

y dAdxEIMd



176

D

C

D

C

D

C

x

x

x

x

x

x

dAdxEIMd ÁreaCD

CD =

lo que se quería demostrar.

Demostración del Segundo Teorema de Mohr

El segundo teorema (de Mohr) establece que la distancia vertical desde un punto de la elásticahasta la tangente trazada por otro es igual al momento estático del área entre dichos puntos respecto alprimero.

xdd

D

C

D

C

D

C

D

C

x

x

x

x

x

x

x

x

xdAdxEIMxxdd

Pero: C

D

D

C

x

x

d y AxxdD

C

x

x

puesto que

dA

xdAx

Por tanto: AxC

D lo que se quería demostrar



177

DdesdeMedidax :

La utilidad de los 2 teoremas estriba en lo siguiente:

Primer teorema: Sirve para calcular la pendiente en cualquier punto de la viga cuando seconoce la pendiente en otro punto y el diagrama de momentos.

Segundo teorema: Conocido el valor de la distancia , mediante la aplicación de algunasrelaciones de tipo geométrico y trigonométrico pueden calcularse las deformaciones en laviga.

El segundo teorema es especialmente útil para calcular deformaciones de vigas en voladizoaprovechando el hecho de que la tangente a la elástica en el empotramiento es horizontal como veremosen los ejemplos.

PROBLEMA

Calcular la deformación y la pendiente en el extremo libre del voladizo, B

El método es especialmente útil envigas en voladizo porque al ser latangente horizontal en el origen,la deformación es igual a ladistancia D



178

Para calcular la deformación aplicamos el segundo teorema: AxA

B

Para calcular la pendiente en B aplicamos el primer teorema:

AAB EI

PLEIPLLA

22

2

0A

EIPL

B 20

2

EIPL

B 2

2

En resumen:

EIPL

EIPLLAx

AB

3232 32

EIPL

B 3

3

32Lx

(En el empotramientono hay giro, portanto la tangente eshorizontal)

EIPL

B 2

2

EIPL

B 3

3



179

PROBLEMA

Calcular la deformación en B y la pendiente en C Rigidez a la flexión: EI

Cálculo de la deformación en B:

Con el fin de facilitar el cálculo de las áreas y los centros de gravedad aplicamos el PRINCIPIODE SUPERPOSICIÓN mediante el cual podemos decir que la viga original es igual a la suma delas dos siguientes vigas:

21 BBB

5.21243

x

2332 x

EIEIA

3200021000

31

EIEIA

39003600

21



180

EI.

B673466

Cálculo de la pendiente en C

EIEI

AxA

BB 35000

320005.21

EIEIAx

ABB

180090022

AAC 1

EIEIA

3200021000

31

EI1000

EIC 32000

1

EIEIB1800

35000

21 CCC



181

EIEIC800

32000

EIC

67.1466

PROBLEMA

Calcular la pendiente en B y la deformación en C

EIEIEIxA 8004002

212002

EIC800

2

AAC 2EI200

EI400

4504501350900

0

1350

090096

0

A

A

y

B

B

A

RR

F

NRR

M

BB 3tan3

pues es muypequeño



182

En la viga se observa que: B

CBC 3

Por tanto debemos calcular B y C/B

Por tanto:EI

EIB

BA 5400

66

32400

Cálculo de C/B

BBB

A

6tan

EIEIA 810062700

21

4632

x

EI2700

EIEIAx

BA

3240081004



183

Finalmente, calculamos la deformación en C recordando que: B

CBC 3

EIEIC810054003

EIC24300

Resolver con fines comparativos el siguiente problema que ya fue solucionado con el método dela doble integración:

EI

A EI 40502

32700

2332 x

EIEIAx

BC

810040502

Los valores de B y C/B los tomamos positivos porque setrata de sumar dos distancias como se ve en la figura)

2003005000

300050030

Ay

BBA

RF

R5RM



184

Según la convención que hemos manejado: EIA700

Ahora: AAB

EIEIB1500700

Cálculo de la deformación máxima

La clave es encontrar el punto D donde ocurre, en el cual la pendiente D es cero (pendientehorizontal).

5A

B

A

2211 AxAxAxA

B

EIEIEIAB

3500900360034

EI

A EI 6002

2 600

1

EIA EI 900

23 600

2

342

32

1 x

333122 x

EIEI

A700

5

3500

EIEIEIA 1500600900

EIB800



185

Como:

Cálculo de la distancia x a la cual ocurre la deformación máxima

Primer teorema: AAD EI

xxA EI

x

2200

2

2200

2

(Distancia a la cual ocurre la deformación máxima)

xM

R

x

A

200

200

65.2

100700

22007000

2

2

x

x

EIx

EI

ADAmax . 652



186

La diferencia se debe a las aproximaciones

Otra forma

Aprovechándonos de que ya sabemos que en D la tangente es horizontal, tenemos:

88.0365.2

1 x

EI265200

EIA EI 25.702

265.2 65.2200

EIEIAx

AD

98.61725.70288.0

EIEI98.61770065.2max

EI02.1237

max

65.232

EI65.2200

EIEIAx

DA

64.124025.70265.232

EI64.1240

max EI

A EI 25.7022

65.2 65.2200

DAmax



187

PROBLEMA

Calcular la deformación máxima y la pendiente en los apoyos A y B de la viga:

Calculo de las pendientes:

EIL

EIM

8

2max

Por simetría la deformaciónmáxima se presenta en el puntomedio de la viga C.

Por lo tanto:

DA max

AxC

A

EIL

EILL

CA 384

52416

5 43

EIL

8

2

EIL

3845 4

max

EIL

A 240

3

AAC

EIL

A 24

3

EIL

B 24

3

165

285 LLx

EIL

EILLA

248232 22



188

Por simetría: BA

En resumen:

4.3 MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

Se basa en las relaciones que existen entre la fuerza distribuida, la fuerza cortante y el momentoflector estudiadas en el curso de Mecánica y las existentes entre la curvatura, el momento flector, larigidez a la flexión, la pendiente, y la ecuación de la elástica estudiadas en este curso de Resistencia deMateriales.

Recordemos las relaciones estudiadas en mecánica entre , V y M:

dxdv

vdx

dM

EIL

A 24

3 EIL

3845 4

max

EIL

B 24

3



189

Y la relación estudiada en este curso:

EIM

dxyd2

2

Observando estas relaciones se ingenió un artificio mediante el cual se dibuja una viga imaginaria(VIGA CONJUGADA), apoyada y cargada de tal manera que satisfaciéndose estas relaciones secumplan las siguientes condiciones:

Deformación en la viga real y = Momento flector en la viga conjugada M

Pendiente en la viga real y' = Fuerza cortante en la viga conjugada

La idea es por tanto que una vez dibujada la VIGA CONJUGADA baste calcular en ella la fuerzacortante V y el momento flector M en cualquier punto cuyos valores corresponderán a los de lapendiente y la deformación de la viga real en los susodichos puntos.

Con el fin de dibujar la viga conjugada miremos primero que carga deberá aplicarse a la misma yluego que apoyos deberán ponérsele.

Antes de hacerlo, recordemos los tipos de apoyo mas comunes en las vigas y los valores de lafuerza cortante y del momento flector en los mismos.

TIPOS DE APOYOS EN VIGAS Y VALORES CORRESPONDIENTES DE PENDIENTE,DEFORMACIÓN, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN LOS MISMOS



190



191

TIPOS DE APOYOS EN VIGAS Y VALORES CORRESPONDIENTES DE PENDIENTE,DEFORMACIÓN, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN LOS MISMOS



192

De las relaciones mostradas se infiere que la relación entre los apoyos de la viga real y la viga



193

conjugada debe ser la siguiente:

Ejemplos de vigas conjugadas



194



195

PROBLEMA

Calcular la deformación y la pendiente en el extremo libre del voladizo, B

La viga conjugada es:

Por lo tanto: EI

PLEI

PLBB 23

23

En resumen:

conjugadavigaBrealvigaB M

conjugadavigaBrealvigaB V

EIPLL

F EIPL

R 22

2

32Lx

BconjugadavigaB MM

BconjugadavigaB RV

EIPLL

EIPLM

M

EIPLR

F

B

B

B

y

332

2

0

2

0

32

2

EIPL

B 3

3

EIPL

B 2

2



196

PROBLEMA

Calcular la pendiente en B y la deformación en C

Dibujemos la viga conjugada:

Calculemos el momento en el empotramiento C en la viga conjugada:

4504501350900

0

1350090096

0

A

A

y

B

B

A

RR

F

NRR

M

conjugadavigaCrealvigaC M

CconjugadavigaC MCntoempotramieelenMomentoM

EIF EI

28100

26 2700

1

EIF EI 4050

23 2700

2



197

4.4 INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ENERGÍA

Como se dijo al principio del capítulo, aparte de los métodos matemáticos y geométricos estudiadosaquí, existen otros métodos que se estudiarán en detalle en el curso de Ingeniería Estructural I que sebasan en el principio de conservación de la energía denominados por tanto, métodos de energía.

Recordemos lo visto en el primer capítulo según lo cual cuando se aplica una carga axial graduala una barra dicha carga efectúa un trabajo externo que debe ser igual al trabajo interno de deformaciónque se acumula en el interior de la barra y que es el que permite que la barra recupere su forma inicialuna vez retirada la carga siempre que estemos en el rango elástico lineal.

En el capítulo mencionado veíamos que para la barra de la figura el trabajo externo realizado porla fuerza es igual a la energía acumulada en el interior de la barra.

internaexterno UW

EIRR

EI-M BBA

540006810040 EIEIEI

MM CC2430024050354000

EIRV BconjugadavigaBB

5400

EIMM BconjugadavigaBB

24300

EIC24300



198

Recordemos además que el trabajo externo realizado por la fuerza es igual al área bajo lacurva P- :

Área bajo la recta= 2P

Y encontramos que para fuerzas axiales la energía interna de deformación es:

Energía interna de deformación = LAE

AELP

22

22

De manera similar en el caso de flexión se tiene que un momento M al producir un giro d en uncuerpo efectúa un trabajo que es igual a Md .

Por lo tanto el trabajo total será:

0MdW

Y como el momento se aplica gradualmente, se tendrá que similarmente al caso axial en el cual

encontramos que 2PW , en esta situación:

2MW



199

En el curso de Ingeniería estructural se verá en detalle que la energía de deformación acumuladaen el interior de una barra cuando es flectada por un momento M es igual a:

L

EIdxMU

0

2

2

A partir de la aplicación del principio de conservación de la energía, en el curso mencionado seestudiarán métodos para el cálculo de deformaciones y pendientes en vigas a través de conceptoscomo el principio del trabajo y las fuerzas virtuales y de teoremas como los de Castigliano.

En Internet se encuentran muchos programas útiles para calcular deformaciones en vigas.Recomiendo el programa DRBEAM (www.drbeam.com), por su gran utilidad didáctica en la visualizaciónde las deformaciones producidas en vigas con diferentes tipos de apoyos y cargas.

4.5 VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Tal como se ha visto en capítulos anteriores, en el caso de las vigas también surgen situacionesestáticamente indeterminadas (mayor número de reacciones que ecuaciones, por lo cual deberá seguirseun procedimiento similar a los ya estudiados: obtener a partir de las deformaciones ecuaciones adicionalesque levanten la indeterminación).

Pero cómo surgen las vigas estáticamente indeterminadas? Veamos:

La siguiente viga como se sabe es estáticamente determinada:

Estáticamente determinada

M

F

F

A

y

x

0

0

0

y

y

x

B

AA

Ecuaciones deequilibrio: 3

Reacciones(incógnitas): 3



200

Al hacer el análisis deben calcularse los esfuerzos actuantes máximos maxy max y la

deformación máxima max .

Estos valores deben ser menores que los esfuerzos y la deformación admisibles para que la vigasea segura y funcional como se ha visto.

Sin embargo puede suceder que sean mayores (uno de ellos o todos).

En este caso el diseñador debe enfrentar varias alternativas:

a) Cambiar el material (por uno mas resistente o mas rígido según el caso).

b) Aumentar la sección transversal de la viga incrementando su resistencia y su rigidez, sincambiar el material.

Sin embargo en muchas ocasiones no es posible cambiar el material o las dimensiones por problemasde disponibilidad de otros materiales o por requerimientos arquitectónicos que no hacen posible cambiarlas dimensiones.

En estas condiciones la única alternativa para aumentar la seguridad de la viga y su rigidez serácolocar un apoyo adicional intermedio C.

Estáticamente indeterminada

y

y

y

x

CBAA

M

F

F

A

y

x

0

0

0Ecuaciones deequilibrio: 3




201

Al poner el apoyo en C se mejoran las condiciones de rigidez y resistencia de la viga:

Más RIGIDEZ (menos deformaciones) y más RESISTENCIA (más seguridad)

Lo que se gana en rigidez y en resistencia logicamente debe “pagarse” con la obtenci�n deecuaciones adicionales a partir de las deformaciones que levanten la indeterminaci�n.

El nuevo apoyo (que podemos llamar “redundante”), garantiza adem�s una seguridad extra a laviga puesto que provee a la viga con la posibilidad de mantenerse estable en caso de falla de uno de losapoyos.

Volvamos a considerar la viga original con solamente 2 apoyos:

Veamos que sucede si se produce una falla y desaparece el apoyo B:

Observemos que si el apoyo C est� presente, �ste “acude en auxilio” de la viga para garantizarsu estabilidad. Puede ser que la viga sufra deformaciones y grietas excesivas pero el apoyo redundanteevita su colapso.

Es obvio que la viga pierde su estabilidad



202

Esta es pues, otra de las ventajas de las vigas estáticamente indeterminadas: los apoyos redundantesgarantizan la estabilidad en caso de fallas.En general, mientras mas apoyos redundantes tenga una vigao una estructura, mas segura será. Lógicamente también tendrá un mayor grado de indeterminación ypor consiguiente el análisis será mas largo, puesto que involucrará mas ecuaciones.

Observemos como se obtiene la ecuación adicional que nos resulve la indeterminación:

Volvamos a la situación de indeterminación estática:

Estáticamente indeterminada

Para resolver el problema empleamos un artificio muy utilizado en ingeniería estructural : Quitamosel apoyo redundante y dejamos que la viga se deforme, luego lo volvemos a poner a actuar revirtiendola deformación que obviamente será igual a la primera. Para el análisis empleamos el principio desuperposición asi:

Como en la situación original hay un apoyo en C, allí la deformación será cero. Por este motivo:

No sobra terminar diciendo que C1 y C2 se obtienen con cualquiera de los métodos vistos paracalcular deformaciones: El de la doble integración, el del área de momentos o el de la viga conjugada.

y

y

y

x

CBAA

M

F

F

A

y

x

0

0

0Ecuaciones deequilibrio: 3


Esta es la ecuación que levantala indeterminación y nospermite resolver el problema

21 CC

Se quita el apoyo redundante Cpermitiendo que la viga sedeforme por efecto de las doscargas una cantidad igual a C1

Se restituye el apoyo C (o loque es lo mismo, la reacciónCy) y se deja que produzca ladeformacion contraria C2



203

PROBLEMA

Calcular las reacciones en los apoyos y hacer los diagramas de fuerza cortante y momentoflector de la viga

Debemos obtener una ecuación adicional basada en la compatibilidad de deformaciones: como enB hay un apoyo,entonces la deformación allí es igual a cero

0B

Aplicando el principio de superposición y considerando la reacción en B como redundante, tenemos:

2 ecuaciones ESTÁTICAMENTE

3 incógnitas INDETERMINADO

-RRF

RMM

BAY

BAA

0150

05.11550

25.43432 x

EIA EI 5.22

33 5.22

AxA

BB 1

EIEIB625.955.2225.41

3105

32 x

EIA EI

RB 5.122

5 5

AxA

BB 2

EIR

EIR BB

B666.415.12

310

2



204

Como: EI

REI. B

BB1B666.41625910 2

Por tanto:mKNMKNRKNR AAB 5.112.255.1158.1220.21520.2

Con estos valores, construimos los diagramas de fuerza cortante y momento flector:

Resolver el problema utilizando el método de la doble integración:

Esta es la 3a

ecuación que levantala indeterminación

56.2

8.124.382.2

2.23

8.12

a

aa

aa

02.2240.4

40.42

2.244.088.4

88.42

8.1256.25.11)max(

B

C

M

M

M



205

Como la carga no llega hasta el extremo derecho de la viga empleamos el artificio ya visto cuandoestudiamos funciones de singularidad:

Ecuación representativa de la viga: 2

352

522

xxMxRM AA

Aplicamos el método de la doble integración:

235

25

22

xxMxRMyEI AA

1

332

635

65

2C

xxxMxRyEI AA

21

4423

2435

245

26CxC

xxxMxREIy AA


0000

1

2

C0yxC0yx

2 ecuaciones ESTÁTICAMENTE

3 incógnitas INDETERMINADO

-RRF

RMM

BAY

BAA

0150

05.11550

53 x



206

Ahora obtenemos la tercera ecuación que levanta la indeterminación:

875.1265.12833.20

2425

2455

25

655

4423

AA

AA

MR0

MR00yx

Con esta y con las condiciones de equilibrio obtenemos la siguiente solución del sistema:

2.27.120.11

B

A

A

RRM

las cuales son sensiblemente las mismas obtenidas por superposición

PROBLEMAS PROPUESTOS

Calcular las deformaciones solicitadas en cada caso. En todos los problemas utilizar rigidez a laflexión EI.

?? BC MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS

?? DC MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

?? DC MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN



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