3.1Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Didaktik der GeometrieModul 5: Fachdidaktische Bereiche
Jürgen Roth
3.2Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Inhalt
Didaktik der Geometrie
1 Ziele und Inhalte
2 Begriffsbildung
3 Konstruieren
4 Argumentieren und Beweisen
5 Problemlösen
6 Entdeckendes Lernen
3.4Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Inhalt
Kapitel 3: Konstruieren
3.1 Was bedeutet „Konstruieren“?
3.2 Konstruktionsaufgaben
3.3 Konstruktionsbeschreibung
3.4 Konstruieren mit einem dynamischen Geometrie-System (DGS)
3.6Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Konstruieren?!
Praktische Bedeutung räumliches Vorstellungs-vermögenArchitekturMaschinenbau…
theoretische BedeutungKonstruktionsprobleme haben wesentliche Fortschritte in der Geometrie initiiertKonstruieren kann des Verständnis von Begriffen, … unterstützen
3.7Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Konstruieren?!
Konstruieren im engeren Sinn
Zeichnen nach bestimmten Regeln
Zeichenschritte werden nur mit jeweils zugelassenen Zeichengeräten ausgeführt (z. B. Zirkel und Lineal)
Zeichengeräte werden nur zum Ausführen bestimmter Grundfunktionen benutzt(z. B. Lineal nur zum Verbinden zweier vorhandener Punkte)
Beschränkung auf Zirkel und Lineal historisch begründet
Auch eine Beschränkung auf andere Werkzeuge wäre denkbar
http://www-madin.math.uni-wuppertal.de/madin/weigandh/didaktik_geometrie/konstruieren/zul/theorie/andere.html
3.8Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Konstruieren?!
Es gibt viele mit Zirkel und Lineal nicht lösbare Konstruktionsprobleme.
Quadratur des KreisesWinkeldreiteilungregelmäßiges 7-Eck
Erweiterung der erlaubten WerkzeugeWinkel- und Längenmessskalen(gegebene Größen als Maße angeben)Geodreieck als Modulsammlung
http://realmath.de/Neues/Klasse6/winkel/winkelmessen2.html
„Grundfunktionen“Schwierigkeiten im Umgang
3.9Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Konstruieren?!
„Reines“ Konstruierenz. B. nur mit Zirkel und Lineal als Werkzeug
Modulares KonstruierenBereits durchgeführte Konstruktionen können als Bausteine (Module) in an-deren Konstruktion verwendet werden. Dynamische Geometrie-Systeme (DGS):Als Makros bzw. Werkzeuge gespeicherte Konstruktionen (Module) können in anderen Konstruktionen verwendet werden.Elemente des Euklid: Konstruktions-beschreibungen verweisen auf bereits gelöste Konstruktionsaufgaben → Verwendung von Modulen
https://www.geogebra.org/geometry
3.10Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Konstruieren?!
Konstruktion → ProzessOft wird zu viel Wert auf die fertige Zeichnung gelegt.
Konstruktionsbeschreibung (Konstruktionsplan)Erklärung (Verbalisierung) des Prozesses.
Schritte des KonstruktionsprozessesVergleichbar mit den Schritten beim Auflösen einer Gleichung, die am Rand notiert werden: 2𝑥𝑥 + 4 = 8 | ∶ 2Die sequenziell notierte Lösung einer Gleichung ist auch ohne die Randbemerkung nachvollziehbar.Der fertigen Konstruktion sieht man ihren Ablauf nicht an.Die Konstruktionsbeschreibung ist insbesondere auch für das Nachvollziehen und das Verständnis einer Konstruktion hilfreich und notwendig.
3.11Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Beispiele für grundlegende Konstruktionen
KonstruierenWinkel an Halbgerade antragenBildpunkt bei einer AchsenspiegelungSymmetrieachse zu zwei PunktenParallele zu einer Geraden
HalbierenStreckeWinkel
Lotvon einem Punkt (außerhalb einer Geraden) auf eine Gerade fällenin einem Geradenpunkt auf einer Geraden errichten
Kreise am DreieckUmkreisInkreis
3.13Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Grundkonstruktionen
Grundkonstruktionen sindEindeutig (Zu jeder Anfangs- gibt es genau eine Zielkonfiguration.) und in einem Schritt durchführbar (mit dem zugelassenen Zeichengerät)
Grundkonstruktionen mit Zirkel und LinealZu zwei verschiedenen gegebenen Punkten
die Verbindungsgerade zeichnen,eine Halbgerade zeichnen, die in einem derPunkte beginnt und durch den anderen verläuft,eine Strecke zeichnen, die in einem der Punktebeginnt und im anderen endet,einen Kreis zeichnen dessen Mittelpunkt einer der Punkte ist und der durch den anderen Punkt verläuft.
3.14Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Konstruktionsaufgaben
Aufgabe: Von einer Ausgangs- zu einer Zielkonfiguration kommen.Konfiguration: Menge geometrischer Objekte + System von BedingungenZu einer Anfangskonfiguration kann es keine, genau eine(eindeutig lösbar) oder mehrere Zielkonfigurationen gibt.
Finden der LösungPlanfigur, heuristische Strategien
DarstellungKonstruktionsbeschreibungKonstruktion
RichtigkeitZeigen, dass jeder Konstruktionsschritt durchführbar ist.
https://www.geogebra.org/m/yZmynFqz
3.15Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Durchführen von Konstruktionsaufgaben
Analyse – Finden der KonstruktionPlanfigurWelche Teile sind in welcher Reihenfolge konstruierbar?Evtl. Hilfslinien einzeichnen bzw. zunächst TeilkonstruktionenEs entsteht ein Lösungsplan der die Begründungfür die Durchführbarkeit der Konstruktion enthält.
Ausführung – Darstellen der KonstruktionKonstruktionsbeschreibungKonstruktionszeichnungBegründung der Richtigkeit
DeterminationDiskussion der Anzahl der Lösungen (evtl. unter verschiedenen Bedingungen für die Ausgangsgrößen)
heuristische Phase
algorithmische Phase
analytischePhase
3.16Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Didaktische Funktionen von Konstruktionsaufgaben
Einführen neuer BegriffeKonstruiere ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind.→ Parallelogramm
Entdecken von Sätzen und ihren BeweisenKonstruiere zu einem gegebenen Dreieck einen Kreis durch die drei Eckpunkte.→ Satz:
In jeden Dreieck schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt.
Thematisieren anschaulich evidenter SätzeKonstruiere ein Dreieck aus den Seitenlängen𝑎𝑎 = 1 cm, 𝑏𝑏 = 3 cm und 𝑐𝑐 = 5 cm.→ Dreiecksungleichung
https://www.geogebra.org/m/yZmynFqz
3.18Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Konstruktionsbeschreibung
Verbalisieren als übergreifendes Lernzielsprachliche Korrektheit und Verwendung der Fachsprachekorrekte Reihenfolge von Argumentationsschrittensinnvolle Schrittweite von ArgumentationsschrittenVollständigkeit der Angaben
Typische Fehler bei Konstruktionsbeschreibungen„Erlebnisbericht“
„Zunächst nehme ich den Zirkel zur Hand. Dann steche ich im Punkt A ein …“
Fehlende Konstruktionsparameterz. B. Kreise ohne Angabe von Mittelpunkt und/oder Radius
Es werden keine Module verwendet!z. B. werden bei der Inkreiskonstruktion nicht die Winkel-halbierenden angegeben, sondern wie man sie konstruiert
3.19Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Konstruktionsbeschreibung
https://www.geogebra.org/m/xu4BFgpa
3.20Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Konstruktionsbeschreibung mit GeoGebra
Gegeben:Dreieck ∆ABC
Gesucht:Inkreis von ∆ABC
Konstruktionsbeschreibung:Winkelhalbierende 𝐵𝐵,𝐴𝐴,𝐶𝐶 =∶ 𝑑𝑑Winkelhalbierende 𝐶𝐶,𝐵𝐵,𝐴𝐴 =∶ 𝑒𝑒schneide 𝑑𝑑, 𝑒𝑒 =∶ 𝐷𝐷Senkrechte 𝐷𝐷, 𝑐𝑐 =∶ 𝑓𝑓schneide 𝑓𝑓, 𝑐𝑐 =∶ 𝐸𝐸Kreis 𝐷𝐷, Strecke 𝐷𝐷,𝐸𝐸 =∶ 𝑔𝑔Der Kreis 𝑔𝑔 ist der gesuchte Inkreis.
https://www.geogebra.org/m/qFVuPqbq
3.21Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Konstruktionsbeschreibung im Heft
Gegeben:Dreieck ∆ABC
Gesucht:Inkreis von ∆ABC
Konstruktionsbeschreibung:(1) 𝐷𝐷 ist der Schnittpunkt
der Winkelhalbierenden von ∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 mitder Winkelhalbierenden von ∠𝐶𝐶𝐵𝐵𝐴𝐴.
(2) 𝐸𝐸 ist der Schnittpunkt des von 𝐷𝐷 auf 𝑐𝑐 gefällten Lotes fmit der Dreiecksseite 𝑐𝑐.
(3) Der Inkreis 𝑘𝑘 𝐷𝐷, 𝐷𝐷𝐸𝐸 ist der Kreis um 𝐷𝐷 mit der Strecke [𝐷𝐷𝐸𝐸] als Radius.
https://www.geogebra.org/m/qFVuPqbq
3.22Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
3.4 Konstruieren mit einem dynami-schen Geometrie-System (DGS)
Kapitel 3: Konstruieren
3.23Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Vorteile des Konstruierens mit einem DGS
ZugmodusErstellte Konstruktionen können variiert werden.Jede DGS-Konfiguration umfasst eine ganze Klasse von Figuren die so konstruiert werden können. („zugfest“)
OrtslinienfunktionBei der Variation von Konstruktionen können Ortslinien von Punkten erstellt werden.
MakrosMakros erlauben ein modulares Konstruieren, also das Zurückgreifen auf bereits erstellte Konstruktionen
AußerdemKonstruktionen können schneller, sauberer und präziser erstellt, leichter korrigiert und Messungen genauer durchgeführt werden.
http://www.juergen-roth.de/dynageo/ellipse/Ellipse.html • https://www.geogebra.org/m/uJB7dY8u
3.24Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
KonstruktionsaufgabeBeispiel 1
AufgabeKonstruieren Sie zum spitzwinkligen Dreieck 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 ein Quadrat 𝐷𝐷𝐸𝐸𝐷𝐷𝐷𝐷 mit 𝐷𝐷,𝐸𝐸∈[𝐴𝐴𝐵𝐵], 𝐷𝐷∈[𝐵𝐵𝐶𝐶] und 𝐷𝐷∈[𝐴𝐴𝐶𝐶].
HinweisNutzen Sie die (𝑛𝑛 − 1)-Strategie.
https://www.geogebra.org/m/CKPpUnUr
3.25Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
KonstruktionsaufgabeBeispiel 2
https://www.geogebra.org/m/WBMHuKW5 • https://www.geogebra.org/m/x82N6kk2
3.26Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
KonstruktionsaufgabeBeispiel 2
Konstruktionsbeschreibung
1. 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 sind die Endpunkte der Strecke [𝐴𝐴𝐵𝐵] mit |𝐴𝐴𝐵𝐵| = 𝑐𝑐.
2. 𝐸𝐸 ist Schnittpunkt
a) der Parallelen zu 𝐴𝐴𝐵𝐵 im Abstand ℎ𝑐𝑐2
mit
b) dem Kreis 𝑘𝑘 𝐴𝐴, 𝑠𝑠𝑎𝑎 .
3. C ist Schnittpunkta) der Parallelen zu 𝐴𝐴𝐵𝐵 im Abstand ℎ𝑐𝑐 mitb) der Halbgeraden [𝐵𝐵𝐸𝐸.
http://www.juergen-roth.de/dynageo/konstruktion/index.html
https://www.geogebra.org/m/WBMHuKW5 • https://www.geogebra.org/m/x82N6kk2
(2 Möglichkeiten)(2 Möglichkeiten)