Download - l fr CVn'e-0 0.;J,
ESTOCAGHl l'OI( ESTl,ATlF l C,\ÇlíO T[RM I C/1
DE LJQUIDO LM RESEl(V/ITORJO
/llcides Padilha
TESE SUBMLTIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÕS GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
UNIVERSIDADE
REQUJSITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTEN(,:ÃO DO GRAU DE JvLCSTE[ EM CIENClAS
(M.Sc.)
Aprovada por:
l 0 fr 0 lJ, CVn'e-0 0.;J,<{a/,,J &.J /.; ' Leopoldo Eurico Gonçalves Bastos
Gi crto /1. Silva
RIO Ili' .J/INEJIW, EJ - BR/\SJL JANEIRO de 1983
ii
PADILHA, ALCIDES
Estocagem por Estratificação Térmica de Líquido em Reserva
tório (Rio de Janeiro) 1982.
X , 127p. 29,7 cm (COPPE-UFRJ, M. Se., Engenharia Mecâni
ca, 1982).
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro. Fac. de Eng~
nharia.
1. Estocagem de Energia Térmica I.COPPE-UFRJ II.Título (Série)
iii
À memória de meu pai João Padilha e à minha mae Luzia,
exemplos de honestidade, trabalho e responsabilidade.
Ao Sr. Ismael de Marchi (em memória), ao Prof. Dr. Luiz
Ferreira Martins e a Sra. Angelina Brocco Foggetti pelo amor,
apoio e orientação a mim dedicados nos momentos difíceis da
minha vida.
lV
À minha esposa Maria
E a minha filha Juliana
pelo estímulo
V
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos aqueles que colaboraram para a
reali~ação deste trabalho e, em particular:
Ao prof. Dr. Leopoldo Eurico Gonçalves Bastos,
cuja seriedade e dedicada orientação guiaram-me nas muitas difi
culdades do trabalho.
Ao Prof. Marco Antônio Rahal Sacoman, da Funda
çao Educacional de Bauru (FEB), pelas sugestões e esclarecimen
tos.
Ao Prof. Emanuel Rocha Woiski, pela colaboração
durante a realização deste trabalho.
Ao Prof. Paulo César Primo Agostinho pelo apoio
e estímulo.
A Diretoria e aos professores da UNESP - Campus
de Ilha Solteira, pela atenção que me dispensaram quando solici
tados.
A Srta. Dulcinêia de Oliveira Costa; pelos tra
balhos de datilografia.
Ao Sr. Antonio Carlos Homem, pelos desenhos.
A CAPES, pelo Auxílio financeiro.
vi
RESUMO
A estocagem d~ energia via· estratificação t;rmi
ca de um líquido em um tanque, é um tema atual de pesquisa e
desenvolvimentp, visto sua grande aplicabilidade. Considerando
um.balanço de energia para o sistema de es~ocagem e proposto
um modelo semi-empirico unidimensional e tra~s{ent~ descreven
do a hist6ria dos p~rfis de temperatura do liquido e da parede
do vaso durante os períodos de operação e repouso.
Os resultados teóricos são comparados com dados
experime~tais existentes, e estudado também a influência da
relação altura/diâmetro do tanque sobre a eficiência da exer
gia.
vii
ABSTRACT
Storage of energy using the thermal stratification
of a liquid in a tank, is a present theme of research and
_deVe lopment, beca use i ts enormous appl icabil i ty; Cons idering
the energy conservation equations, it is proposed a tran~ient
one-dime~sional iemi-empirical model to the ·storage. system,
descri6ing the temperature profile history of.the liquid and
the vessel wall, during the normal operati~g conditions
(charging, discharging and static nade).
The theoretical results are compared to the existing
eXperimental data. Also, the influence of the height to
.dj.ameter ratio (H/D) of the vessel on the exergy efficiency is
studied.
viii
INDICE
CAPÍTULO I - INTRODUÇAO ... . . . . . . . . . . . . .
I~l - Processos de Estocagem
I. 2 - Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3 - Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAPÍTULO II - A ESTOCAGEM POR ESTRATIFICAÇAO
II.l - Descrição . . . . . . . . . . . .
II.2 - Exemplos de Aplicação da estocagem por
estratificação ..... . . . . .
Pág.
1
1
3
5
7
7
9
CAPITULO III - TEORIA. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III.l - Hipóteses simplificadoras . . . . . . . . . . . III.2 - Modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . III.2.1 - Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.2 - Método de solução . . . . . . . . . . . . III.2.2.1 - Operação de carga e descarga
III.2.2.2 - Operação de resfriamento natural
III.2.2.3 - Caso particular ........ .
CAPÍTULO IV - EFICIENCIA TERMICA . . . . . . . . . . .
IV.l - Introdução ....... . . . . . . . . . . . .
14
16
16
21
23
29
34
39
39
lX
IV.2 - Energia e eficiência térmica do sistema de
estocagem, a partir da Primeira Lei da
Termodinâmica ...
IV.3 - Trabalho disponível e eficiência térmica do
sistema de estocagem, a partir da Segunda
Lei da Termodinâmica
CAPITULO V - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
V.l - Introdução .... . . . . . . . . . . . ' . . . . . V.2 - Operação de carga . . . . . . . . . . . . . .
V.3 - Operação de descarga . . . . . . . . . . . . .
V.4 - Operação de resfriamento . . . . . . . . . . . . .
40
43
47
47
49
57
68
CAPITULO VI - CONCLUSÕES ................ 73
VI.l - Validade do modelo e dos métodos de
solução utilizados
VI.2 - Limitações do modelo
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . VI.3 - Resultados e extensões imediatas
VI.4 - Resultados e extensões futuras . . . . . . . . .
APENDICE A - Adimensionalização do sistema de
equações (III-1) a (III-5) . . . . APENDICE B - Método implícito de Crank-Nicolson
APENDICE C - Solução do sistema de equações algébri
cas lineares pelo método iterativo de
Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . .
73
73
75
76
77
79
81
X
APENDICE D - Solução do sistema de equaçoes algé-
bricas nao lineares pelo método ite-
rativo de Newton-Raphson
APENDICE E - Adimensionalização do sistema de
equaçoes (III-33) a (III-39) . . .
APENDICE F - Solução do sistema de equaçoes
(III-40) a (111-43) pelo método
da Transformada de Laplace . . .
APENDICE G - Solução do sistema de equaçoes
(III-40) e (III-44) a (III-46) pelo
método da Transformada de Laplace . APENDICE H - Comparação entre a eficiência térmica
do fluido estratificado e o homogêneo
no reservat6rio ....
89
. . 100
. . . 102
109
114
NOMENCLATURA . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
CAPITULO I - INTRODUÇÃO
I,1 - P~oce~~o~ de E~tocagem
Um dos processos clássicos de estocagem de ene!
gia sob forma de energia interna é o de manter durante um certo
tempo, num tanque isolado, uma determinada massa de líquido a
um nível de temperatura. Esta forma de estocagem é conhecida co
mo estocagem térmica por calor sensível. Outro processo também
utilizado é o da estocagem térmica por calor latente, onde o
fluido mantem-se a uma temperatura constante enquanto cede ou
absorve energia.
Os fluidos mais comumente utilizados são a agua
pressurizada até 3009C (80 bar), os fluidos orgânicos e os sais
fundidos.
Em sistemas nao convencionais de aproveitamento
de energia, como aqueles utilizando energia solar, a estocagem
térmica adquire especial importância. O caráter aleatório dara
diação solar, as condições climáticas da região e o tipo de em
prego previsto para o sistema de conversão da energia solar, dl
tarão as características e dimensões da unidade de estocagem
térmica adequada.
Foi somente a partir do final da década de 60, 1
Koefoed, que a estocagem térmica passou a receber a atenção
de diversos pesquisadores, em vista de sua crescente aplicabill
dade, a partir dessa época, em sistemas de conservaçao e apro
veitamento de energia.
A unidade de estocagem térmica por calor sensí-
vel, quando acoplada a um determinado sistema como, por
plo, a uma bateria de coletores solares, operará com dois
exem
ní-
2
veis distintos de temperatura do fluido de trabalho. Caso haja
um processo de mistura no tanque entre as porções do fluido
quente (vindo dos coletores) e frio (da alimentação), a temper~
tura do fluido estocado terá um valor médio abaixo da temperat~
ra do fluido quente de entrada.
Em alguns sistemas de aproveitamento de ener-
gia, este nível médio de temperatura alcançado é indesejável,
por não ser suficiente para acionar uma máquina térmica, uma vez
que a eficiência dada pela Segunda Lei da Termodinâmica é muito
baixa, havenuo pouca disponibilidade do sistema de estocagem em
fornecer calor a níveis determinados de temperatura para uma rea
lização de trabalho.
Assim, considerando a necessidade da manuten
çao de níveis constantes de temperatura nas fontes quente e
fria e da obtenção, ao mesmo tempo, de uma grande quantidade de
energia térmica armazenada, surgiu a idéia de se utilizar o pr~
cesso de estocagem por estratificação. Através deste processo,
num Único reservatório consegue-se manter um líquido a duas tem
peraturas distintas, sem ocorrer mistura. O fluido quente entra
no topo do tanque através de difusores, ficando aí estocado, ao
passo que o fluido frio segue o caminho inverso.
Quando o líquido no interior do vaso de estoca
geme pouco perturbado, devido à presença de difusores nas toma
das de entrada e saída, forma-se uma camada de fluido interme
diária as regiões quente e fria, Dumond 2 .
A identificação da espessura, e da posição com
o tempo, desta camada intermediária (que apresenta um alto gra
diente de temperatura) , pos si bili ta uma análise sobre a dispon i
bilidade desse sistema de estocagem em atender a uma determina-
3
da demanda de energia, mentendo constantes os níveis máximo e
mínimo de temperatura do fluido de trabalho.
A utilização da estocagem por termoclina é tam
bem do ponto de vista econ6mico, atraente, pois constitiu-se
num sistema simples, acarretando baixos custos tanto em materi-
3 ais, quanto em instalação e manutenção, Gross.
Esta forma de estocagem constitiu-se num tópi
co bastante recente de pesquisa e desenvolvimento, pois apesar
de sua grande aplicabilidade, nao existe ainda definida uma me
todologia de projeto. Pode-se observar, por outro lado, que gra~
de centros de pesquisa no exterior como o Sandia National Labo
ratories, nos EUA, e o Laboratoire d'Energetique Solaire, na
França, estão desenvolvendo estudos experimentais comprotótipos
de tanques de estocagem por termoclinas, bem como exixtem diver
sos autores procurando desenvolver modelos teóricos visando a
simulação do comportamento da frente de estratificação e sua
possível relação com a posição dos difusores. De uma maneira g~
ral, a estocagem por termoclina é um assunto aberto, necessitan
do para o seu completo entendimento um grande esforço teórico
experimental.
Cabelli4 em 1977 apresentou em estudo nume-
rico de um modelo bidimensional de escoamento com transferência
de calor para a água no interior de um vaso com estratificação,
para uso em aplicações solares. Foi determinada a influência da
posição de dois tubos nas regiões de alimentação e descarga do
tanque, o efeito do numero de Reynolds e a contribuição do emp~
xo na estratificação. Estabeleceu ainda uma comparação do mode-
4
lo bidimensional com um modelo unidimensional, nao encontrando
uma grande discrepância entre os valores obtidos. 5
Lavan e Thompson realizaram estudos exper~
mentais também com tanques de agua quente. Os testes foram efe
tuados para altas descargas e diferentes temperaturas de entra
da e saída do fluido, considerando diversas razões entre o diâ
metro e a altura do tanque. Foi apresentado além disso, o estu
do do efeito da configuraçâo das tomadas de alimentação e des
carga na estratificação. Foi estabelecida uma correlação empírt
ca a partir dos dados disponíveis,resultando informações úteis
para o projeto de sistemas de estocagem de água quente. Foi pr~
posta ainda uma forma de configuração para um tanque de estoca
gem específico.
Na França, entre outubro de 1976 e janeiro de
1977, foram efetuados diversos testes na Central Eletrosolar de
1 MWt, que dispõe de um sistema de estocagem térmica por estra
tificação. Foi observado o comportamento dos componentes da cen
tral através de uma série de medidas. A estocagem térmica por
termoclinas foi alcançada com a utilização de um fluido orgâni
co trabalhando a altas temperaturas, CNRS6 .
o conhecimento
foi enfatizada
A necessidade de resultados experimentais para
do processo 3
por Gross
de estocagem por meio de termoclinas
em 1980, quando da descrição de
um programa de testes a serem realizados com um protótipo. 7 Em 1981, Blay apresentou um modelo teórico
unidimensional, considerando as variações de temperatura de um
fluido orgânico em estratificação e o perfil de temperatura da
parede do tanque, quando em processo de resfriamento por conve~
ção natural. Foi adotado um modo estático de operaçã.o (ausência
5
de carga e descarga). A comparaçao dos resultados teóricos com
os dados experimentais comprovou a validade do modelo adotado.
Do histórico exposto acima, pode-se perceber a
necessidade do desenvolvimento de um modelo teórico geral, que
represente o processo de estratificação térmica sob as condi
çoes de carga, descarga e resfriamento natural, bem como, que
seja capaz de fornecer dados sobre a capacidade da massa no in
terior do tanque em armazenar energia interna e disponibilidade
para realização de trabalho.
I.3 - Objetivoh
A finalidade deste trabalho é a formulação de
um modelo matemático capaz de simular os perfis transientes de
temperatura do fluido e na parede de um tanque de estocagem por
estratificação durante as operações de carga, descarga, oures
friamento natural (períodos de inatividade do sistema).
Para cada uma das situações acima, os resulta
dos teóricos obtidos são comparados com dados experimentais dis
poníveis, CNRS 6
Deve-se observar que o modelo a ser apresentado
pode descrever de uma maneira geral as situações encontradas na
estocagem por estratificação, e que, por outro lado, reproduz
como casos particulares não soo modelo unidimensional formulado
4 por Cabelli , que admite como constante a temperatura de pa-7
rede para e tanque, mas também o de Blay no
amento natural do fluido no tanque de estocagem.
caso do resfri
Além disso, considerando a Primeira e aSegunda
Lei da Termodinâmica, apresenta-se a análise da eficiência ener
gêtica e da disponibilidade do processo com o tempo, tanto para
6
o fluido estratificado termicamente, quanto para o fluido homo
geneizado.
7
CAP!TULO II - A ESTOCAGEM POR ESTRATIFICAÇÃO
I I. 1 - V e.é. c.1t.i.ç. ão
No processo de estratificação térmica.o fluido
no interior do reservat6rio distribui-se em três regi6es dis
tintas: uma região onde o fluido é quente, fluido este provenl
ente do sistema de captação solar; uma região fria, alimentada
pelo fluido que retorna do sistema de utilização; e uma outra
região intermediária, que separa as duas precedentes e estásu~
metida a um apreciável gradiente de temperatura. A curva que
representa a história da temperatura do fluido em estratifica
ção ao longo da altura do tanque é denominada de termoclina.
As figuras (II:-1) e (II-:-2) apresentam, esquem~
ticamente o tanque de estocagem e o seu posicionamento num sis
tema genérico de utilização da energia solar. Ao tanque de es
tocagem associam-se dois circuitos independentes como pode ser
visto pela figura (II.2): o circuito primário, que compreende
o sistema de captação e conversão da energia solar em energia
térmica através do aquecimento de um fluido de trabalho que se
deslocará para a região superior do tanque de estocagem ou acu
mulador, e o circuito secundário, que constitui-se no sistema
que irá utilizar este fluido aquecido, resfriando-o e injetando
º na reg1ao inferior do acumulador.
Conforme citado anteriormente, podem ser defi
nidas três situaç6es para o fluido no tanque de estocagem e que
serao analisadas neste trabalho: carga, descarga e resfriamento
natural. A primeira corresponde ao enchimento do tanque pelo
fluido quente, enquanto que a descarga corresponde a uma maior
entrada de fluido frio, com a consequente retração da frente
ISÇ>LANTE TERMICO
DIFUSORES
SAIOA FLUIDO ->-FRIO
8
Figuro II. 1 - Esquema do tanque de estocagem.
SISTEMA DE
TACÃO DE
ENERGIA SOLA TANQUE
l L
J ---~ ENTRADA FLUÍDO
FRIO
SISTEMA DE
UTILIZ ACÃO
FtQUra Il. 2 - Sistema captação-utilização de energia solar oom estocagem
te'rmica.
9
quente. Já o resfriamento natural corresponderá à situação em
que as duas frentes estão estacionárias, sendo que as perdas de
energia através das paredes do vaso para o ambiente, que ocorrem
também nos outros dois casos, adquirem aí, um papel mais impor
tante.
11.2 - Exemploh de Apliea~ão da Ehtoeagem po4 Eht4ati6iea~ão
Apesar de existirem poucos artigos sobre o as
sunto, pode-se mostrar sua atualidade pela existência de um
grande número de aplicações tecnológicas recentes. Notadamente
na área de energia podem ser identificados vários sistemas de
conversão heliotérmica ondeá estocagem por calor sensível uti
liza a estratificação térmica do fluido de trabalho. Como exem
plos, descrever-se-á em seguida, sucintamente, algumas -.aplica
ções comerciais que utilizam esta forma de estocagem.
Na figura (II,3), é mostrado o diagrama esque
rr,ático do programa francês denominado THEK, que compreende a
realização de unidades de produção de energia de média potência
da ordem 100 KW, pela conversao li~lietérmica da energia solar. e
Por intermédio de uma bateria de concentradores parabólicos a
energia solar é concentrada e absorvida por um fluido de traba
lho que circula em cada absorvedor por meio de uma tubulação c~
mum, conectada a um sistema de regulação e de estocagem. A ene~
gia térmica disponível poderá ser utilizada de forma direta ou
indireta. Diretamente,para aquecimento, refrigeração, produção
de vapor, transformações industriais, agrícolas e outras aplic~
ções correlatas, e indiretamente para produção de energia elé
trica. Uma das fases deste projeto compreende a realização de
testes com o reservatório de estocagem, utilizando Óleo gilotherm
RADIACÂO -SOLAR
F,;ura [. 3
10
---------·, 1
CONVERSÃO HELIOTÉRMICA
1
26 MÓDJLOS HELIOTÉRMICOS
L __ _ .J
COLETOR
2 rr"c
LESTOCAGEM TÉRMICA --------- l ,..ONVERSÂO TERMODINÂMICA _j L.:::.--------·-·
GERADOR OE VAPOR IOOO Kg/h 2so•c 26 bors
- Módulos de conversao heliote'rmica 1 sistema de es1ocagem térmica e
sistema de conversão termodinâmica.
11
entre 2809C e 3209C. Este tanque destina-se tanto a regulação
do funcionamento do conversor, quanto à manutenção de um deter
minado nível de energia térmica disponível.
A empresa italian2. Ansaldo, estâ desenvolvendo
uma planta solar de potência de 35 KWe, usando coletores sola
res cilíndrico-parabólicos. No esquema mostrado na figura CTI.4),
pode ser visto que é utilizado um tanque de estocagem operando
por estratificação térmica.
A figura (II-5) mostra o esquema de um circui
to utilizado em sistemas de aproveitamento de energia solar pela
firma francesa TOTAL. Observa-se a importância dada ao reserva-
tório de estocagem de âgua quente. Nele são delimitadas duas
regiões, quente e fria, por um diafragma deslizante numa haste
vertical que estâ engastada no topo do reservatório.A aplicação
tecnológica deste dispositivo é muito recente, uma vez que ai~
fluência dos difusores e do diafragma estâ ainda sendo
de pesquisa, SANDIA, GROSS 3 ,
objeto
Com a finalidade de obter subsídios para o pr~
jeto francês de uma central solar a alta concentração via con
versão termodinâmica na faixa lMWt, foram realizados, em 1977,
em FONT ROMEU uma série de testes com uma central eletrosolar
piloto. Os resultados destes testes, assim como uma anâlise ge
ral do sistema utilizado de conversão e estocagem de fluido tér
mico, usando o processo de estratificação, podem ser encontrados
em (6) .
Procurou-se através dos exemplos, mostrar a im-
portância desta forma de estocagem por calor sensível ficando
evidenciado, a necessidade de se obter um melhor entendimento so
bre o processo de formação das termoclinas. Este e precisamente
o objeto do estudo que se segue.
·~ "
COLETORES
CILINORICOPARABÓUCOS
SUBSISTEMA OE CAPTAÇÃO,
TURBINA
1
1 -PRE·-
ARMA NAMENTO jAQUECEOOR
SUBSISTEMA DE ARMAZENAMENTO E TRANSFERÊNCIA OE
CALOR.
CONDENSADOR
ÁGUA DE
ESFRIAMENTO
SUBSISTEMA DE CONVERSÃO
TERMODINÃMICA.
Figuro Il-4- Planto solar de coletores cilindro-parabólicos de pot&ncia de 35 KW,
AOS
USUÁRIOS
AOS
AUXILIARES
SUISISTEMAS ELÉTRICOS.
...... N
Figuro II- 5 -
13
B
UTILIZAÇÃO
.. ---------•-==:::=J,,,a•---------'
Sistema de aquecimento com fonte de calor descondnua e
estocagem de água quente a alto nível de temperatura.
14
CAPITULO III - TEORIA
111.1 - Hipõte4e4 Simpli6ieado~a4
As seguintes hipóteses serao consideradas na
análise teórica do processo de estocagem térmica de líquidos
por estratificação, ver figura (III-1), durante as operaçoes
de carga, descarga e resfriamento natural:
1
De
·~
1
1
L 1
1 Fluido
1
- .. ~ H
1
'ºº'ª"'' 1
Figura (111-1)- Geometria do Problema.
(1) Nas operaçoes de carga e descarga do fluido, este conside
rado incompressível, o processo de transferência de calor
sera por convecção forçada no interior do tanque, supondo-
se o escoamento laminar unidimensional, tendo uma velocida
de constante.
(2) As propriedades físicas do fluido, e do material do isolan-
te da parede ser ao consideradas constantes, e seus valores
15
numéricos determinados para uma temperatura média (semi-SQ
ma dos valores máximo e mínimo das temperaturas do flui-
do). A resistência térmica da parede metálica supor-se-a
desprezível em comparaçao com o material isolante.
(3) Para o fluido, o calor específico apresenta um valor gran
de de modo que a temperatura do fluido não seja influenci~
da pelo atrito e portanto, pela dissipação viscosa.
(4) No caso em que há somente resfriamento natural do tanque
considerar-se-á que, internamente no mesmo, há
natural, sendo esta caracterizada por um alto
Grashof e de Prandtl.
convecçao
numero de
(S) Serão considerados para este sistema de estocagem quando em
operação, a ocorrência de três regiões distintas: uma re
gião de camada limite no líquido em contato com a parede
interna do tanque, uma segunda região ainda no fluido, on
de o campo de temperaturas é unidimensional e transiente
(a velocidade do fluido é pequena) e finalmente a região
da parede do tanque, considerada como sendo o isolante que
apresenta também um campo de temperatura unidimensional.
(6) Durante as operações de carga, descarga e resfriamento na
tural o topo e o fundo do tanque de estocagem serao consi
derados totalmente isolados do ambiente.
16
III.2 - Modelo Matemãt~eo
III. 2. 1 . - Ca..6 o G e.1tal
Serão agora determinados os.perfis de tempe
ratura para o fluido e para a parede do reservatório, quando o
sistema de estocagem estiver submetido às operações de carga,
descarga e regime estático (só resfriamento natural).
Considerando as hipóteses formuladas e age~
metria do problema, resultarão para dois elementos diferenci
ais um no meio fluido e o outro na parede, as seguintes equa
ções resultantes do balanço de energia e que descrevem os cam
pos de temperatura correspondentes: no seio do fluido T(x,t) e
axialmente na parede T' (x, t):
Fluido
Parede
C ( oT p p at
oT' P' e, P at
+ u 3T)
ax
2 K ~ - Q( x,t )
ax
0 < X < H t > o
= K' º2
T' + Q' ( x,t) - Q0
( x,t) ~
0 < x < H t > o
II I-1
IIh 2
onde:
D
C' p
D, e
17
Calor específico do fluido e do isolante, a pressao
constante, respectivamente.
Diâmetro interno e externo do reservatório, res
pectivamente.
Coeficiente de transferência de calor entre a p~
rede e o fluido no interior do reservatório, e
entre a parede e o meio ambiente respectivamente.
H Altura do reservatório.
K K'
Q(x,t) =
Q'(x,t) =
Condutividade térmica do fluido e do isolànte,
respectivamente.
4 h (T-T') D
4 D h (T- T' ) D2-D2
e
4 (T' -T )
Taxa de calor transferido à parede,
por unidade de volume do fluido.
Taxa de calor absorvido do flui
do, por unidade de volume do iso
lante. 00
~(x,t) = ~~~-----
(De-D ) (bt(De/D) + _l_) Taxa de calor perdida para
o meio ambiente, por unid~
·de de volume do isolante.
2 K' D h e oo
T : Temperatura do meio ambiente. 00
u : Velocidade do fluido no interior do reservatório para
operaçoes de carga ( u > O), descarga (u < O)
friamento natural (u = O).
e res-
p ' p 1 Massa específica do fluido e do material isolante,
respectivamente considerando as operaçoes indica
das, para o sistema de estocagem, as condições de
contorno e iniciais serão as seguintes:
18
oT ( X' t ) = ar' ( X' t ) = o X = 0 t > o III-3
ax ax
are x,t) = oT' ( x,t) = 0 X= H t > o III-4 ax ox
T ( x, O ) = T' ( x, O ) = T0
( x ) O < x < H III-5
onde:
perfil de temperatura inicial. ...
O sistema .de equaçoes (III-1) a (III-5), ~ a
seguir adimensionalizado (ver Apãndice A), usando as variive
is adimensionais.
e =
Sendo:
at Hz
T-T
l\T o
00
X X = H u = - u
H
T' -T 00
8';::; ---l\T
o
a
llT0
= T( 0,0 ) - T( H,O ) diferença inicial das temper~
turas do fluido no topo e no
fundo do reservatório.
a difusividade t~rmica do fluido.
19
Obtem-se então:
a e a -r
a e ' a -r
U ~ - 4B Nu (8 - 8') a X
Ó < X < 1 t > o
+ s C Nu (8 - 8') - F s Nu 8' eq
O < X < 1 t > o
As condições de contorno e inicial se tornam:
onde:
B
e
F
K
as(X,t) ax
as• ex,,) ax
o X=O,t>O
as ex,,)= as• ex,,) X 1
ax ax
8(X,O) = 8'( X,O)
= H/D
= 4 D H/(D 2 - D2) e
8 H
K'/(D 2 - D2) eq e
=8(X,O) o
t > o
O < X < 1
I II-6
III- 7
III-8
I II-9
I II-10
20
Nu= hH/k : Número de Nusselt, devido a convecçao interna.
Nu = K h/(K(ln(D /D) + 2K'/(D h )): Número de Nusselt e eq eq e e oo
W = K/K'
pC/(p'C') p p
quivalente.
Como o modelo teórico tem uma natureza semi-
empírica, o número de Nusselt ( Nu) deverá ser representado por
diferentes correlações para cada situação (convecção livre ou
forçada internamente no tanque de estocagem). No caso de carga
ou descarga, o Nu será definido pela seguinte correlação, dada 9 por Jones et al :
Nu= 0,023 Re 0 •5 rr0 •4
onde:
Pr = v/a Número de Prandtl.
Re = p u H/µ Número de Reynolds.
V = µ/p Viscosidade cinemática do
µ = Viscosidade dinâmica do fluido.
III-11
fluido.
Durante o período de regime estático (i. ê re~
friamento natural do fluido em repouso), Nu será aquele forneci
d K . hlO o por re1t :
Nu O , 13 ( Gr Pr ) 1 / 3 III-12
21
sendo o número de Grashof no caso de líquidos, Schlichting11
dado por:
Gr = g H3
S ( T - T' ) /v z
usando os parâmetros adimensionais já definidos:
onde:
Nu=0,13(Gr Pr(e-e'))l/ 3 o
Gr = g S H3 bT /v 2 o o
III-13
Considerando o processo de resfriamento da
parede externa do reservatório para o meio ambiente, como sen
do de convecção natural, o coeficiente de transferência de ca-16 ~ lor entre a parede e o ambiente Welty , sera:
h = 0,119 ( Gr Pr )Z/S
III.2.2 - Mé~odo de Solução
9 Gr Pr > 10 III-14
Para a solução do modelo geral, será aplica
do o método implícito de Crank-Nicolson (Apêndice B), para dis
cretização do sistema de equações (III-6) a (III-10).
Este método utiliza um centro de simetria p~
ra as equaçoes (III-6) a (III-10), sob a forma de diferenças
finitas, apresentando um erro de truncamento de elevada ordem.
Os pontos estarão distribuídos no fluido e
22
na parede interna do reservatório, como indicado na figura
(III-2).
N+I p
1
1 N+2 2 X
p
1
1 ISOLANTE FLUIOO ISOLANTE
1
1 2 N - 1 N- 1 X
p p
1
2 Np Np 1
Figuro 111 - 2 DISTRIBUIÇÃO DOS PONTOS NO RESERVATÓRIO
A discretização das equaçoes do modelo geral,
sera feita segundo a geometria da rede finita da figura (III-3).
1'.
" + 1
" [ i,M) ~
M-1
;
1 1
M=O 1 1 X
i: o i-1 i + 1
Figuro 111 - 3 PONTOS DA REDE FINITA
23
onde:
Fluido 1 < i < Np Topo : i = 1
Fundo : i = Np
Pontos internos 2 < 1. < Np - 1
Parede Np + 1 < i < 2 Np Topo: i = Np + 1
Fundo : i = 2 Np
Pontos internos
i=l,2,3,
rio.
... ' 2 Np
Np + 2 < i < 2 Np -1
Número de pontos no reservató-
M = O, 1, 2, ••• , Mt : Número do intervalo de tempo dis
creto considerado.
bX = X. 1 - X. : Distância entre os pontos do fluido e 1. + 1.
da parede.
bT = TM+l - TM: Intervalo entre dois instantes de tem
po consecutivos.
III.2.2.1 - Openação de Canga e Ve~canga
Fluido
Parede
08
a ;r
38'
dT
- u 08
ax - 4 B Nu (8 - 8')
E; a28 1
= - -,--,,-- + E; e Nu (8 - 8') - F E; Nu 8' w ax~ eq
Discretizando por diferenças finitas
24
Fluido
6 i ,M+ 1 -
8 i ,M ; 1 e _6_i_-_1_,_,_M_+_1_-_
2=6_i_,_,_M_+_1_+_e_i_+_1_,_,M_+_1 +
t, , 2 t,X z
e - e i+l,M i-1,M ) -U
6 i+l,M+l - 6 i-l,M+l - - e + 2 2 t,X 2 t,X
4 B Nu ( e + i,M+l 6 i,M - 6 i+N ,M+l
2 p
1 6 i,M+l (
/:, '[
+ ~ + 2 B Nu ) + e . M ( -1
+ 2 B Nu + .....!_,,. ) + !:,X l, !:, '[ t,XL
+ 1 6 i-l,M+l (--:;;;;_z
1 + e. M ( -
1-l, 1 z t,X L
U 1 - -- ) + 6i+l,M+l ( - ::--:--::-Z +
4 t,X 2 t,X
u 4 t,X
U 1 ---)+e.1,,C- z
4 !:,X i+ ,P 2 !:,X + -.!:!:._ )
4 t,X
- 6' ( 2 B Nu ) .., i+N ,M+l ei+N M ( 2 B Nu); O
p p'
2<i<N -1 p M > O
) +
III-15
25
Parede
8 '. M 1 - 8 '. M e 1 l, + l, ~ '-; (
fi T W 2
81'.-l,M - 2 8 '. M + 8 '. 1 M + l, 1+ , ) + l:iX
1 +E;CNu ( 2
8 i-N ,M+l + 8i-N M - 8i,M+l -p p,
8' ( i ,M+l 1
!:,,T +
8 ' ) - F E; Nu ( 8 ' 8 ' ) - i,M z eq . i,M+l + i,M
E; 1 ; !:iXZ
+ E; C Nu l + FI; Nu ) + 2 2 eq
+ 8'. M l,
( - 1 + .f ~ + E; e Nu ! + FE; Nu ) + /:i T W !:iX 2 2 eq
+ 8' ( E; 1 ) + 8' ( E; 1 ) + i-1,M+l - ZW l:iX2 i+l,M+l - ZW l:iX2
+ 8' ( - E; 1 ) + 8' ( E; 1 ) + i-1,M ZW l:iXZ i+l,M - ZW !:iX2
+ C 8 i-N ,M+l p + 8i-N M ) (-E;C Nu l)
p' 2 o
N + 2 < i < 2 N - 1 p p M > O Ill-16
26
Pontos extremos Condições de Contorno
Estas temperaturas nao sao conhecidas, então usa-se a expansao
em Série de Taylor
Fluido
Topo
Fundo
Parede
Topo
Fundo
1 = 1 e 1 = Np
e. 1
1
+ ~ L\X\ + ( !!.X
i=l ax i=l
e. 1 = 1-
3 +0(L\X)
e . 1
i=Np
~L\X ax
+ G e !!.X )3
1 = Np + 1 e i
e• i+Np+l
1
= e• / Np+i
+ ( !!.X
2 '.
i=Np+l
+
i=Np
2 Np
+~!!.X ax
1
e !!.X )2 a2e 2 '. a?
+
i=Np+l
3 + 0 ( !!.X )
8' i+Np-1 = e i +Np i=Np
ae• +
!!.X !!.XI +
i=Np
( !!.X <: 2 2 1 ) ~1 + 0 ( !!.X )
3
2 '. 'X"L º . N 1= p
+
i=Np
27
Utilizando as condições de contorno do problema
Fluido
Topo
i=l
Fundo
i=Np
Parede
Topo i;. l
Fundo
i=Np
e. 1
- e. 1- l
e• i+Np+l
i=l
i=Np
1
eNp+il
e' - e' i+Np-1 i+Np
= ( t,X
2
a2~i[
ax I i=l
i=l
= ( 6X
2
i=Np
= ( 6X ) 2
2
111-17
lII-18
lII-19
111-20
i=Np
Para o câlcllo das derivadas segundas que aparecem nas equaçoes
(111-17) a (III-20) são usadas as equaçoes (lII-6) e (IIl-7)
definidas agora para os pontos do contorno e discretizadas con
venientemente.
Fluido :
ae a,
- 4 B Nu (8 - e•)
28
Topo do tanque i 1
8 · M 1 - 8 · M 1, + l.,
tn
2 = l\Xz ( 8i+l,M - 8i,M) - 2 B Nu ( 8i,M+l +
Fundo do tanque
8i,M+l - 81,M =
ÍI T
Parede
08'
dT
Topo do tanque
8 8' - 8' ) + i,M - i+Np,M+l i+Np,M
J. = Np
- 8i+Np,M+l - 8i+Np,M)
+~e Nu (8 - 8') - F ~ Nu 8' eq
]. = 1
III-21
III-22
8i+Np,M+l - 8 i+Np,M =
ÍIT
f z ( 8' 8' ) + W llXZ i+Np+l ,M - i+Np,M
+ ~ C Nu l ( 8. M l + 8 - 8' -z 1, + i,M i+Np,M+l
1 8 ' ) ~ F ~ Nue q ( 8 ' + - i+Np,M z i+Np,M+l
+ 8! N M) III-23 1+ p,
29
Fundo do tanque i: Np
8 • - 8' i+Np,M+l i+Np,M: i; 2 e 8' - 8' ) + ; t:,Xz i+Np-1,M i+Np,M
Í',T
+ 1; e Nu 1
( 8i. M+l + 8. M - 8' -z , i, i+Np,M+l
- 8' ) ~ F i; Nu l ( i+Np,M eq z 8' + i+Np,M+l
+ 8' ) i+Np,M III-24
O sistema de equaçoes algébricas
constituido pelas equações (III-15), (III-16) e
lineares,
(III-21) a
(III-24), será resolvido pelo método iterativo de Gaus~-Seidel,
Carnahan8 (Ap~ndice C),
III.2.2.2 - Ope~ação de Re66~iamento Natu~al
Com a substituição da equaçao (III-13) nas
equaçoes (III-6) e (III-7), e considerando-se a velocidade do
fluido no interior do tanque como sendo nula, obtem-se o sis
tema:
a8
dT
a8'
OT
-cr (8-8') 4/ 3 1
O < X < 1
: f a 2 e' + cr (8 - e') 4 / 3 - i; F w7 2
O < X < 1
Nu eq
T > Ü
T > Ü
8'
III-25
III-26
onde:
a1
= 0,52 B ( Gr0
Pr) l/ 3
a2
= 0,13 ~ C ( Gr Pr )l/ 3
30
As equaçoes (III-25) e (III-26) sao discreti
zadas para os pontos internos do reservatório, a seguir :
Fluido
8 · M 1 - 8 · M l., + l., = 8i-l,M+l - 28 i,M+l + 8i+l,M+l +
211X
e
+ 8i-l,M - 28 i,M + 8i+l,M 8i,M+l + 8 i,M
- a 1 ( -~------'--2!1X 2
8' + 8' i+Np,M+l i+Np,M )4/3
2
2 < i < Np - 1 M > O
1 1 1 + --:-::7 ) 8 i M+ 1 + ( - + 1 )8 1 8 -
nT nx ' ·6T l'IXZ i,M - 211 Xz i-1,M+l
1 1 1 8i+l,M+l 8i-l M 8i+l,M + - 26X 2
.;.
2nX 2 - 26X 2 '
8i,M+l + e. M 8' + 8' ) 4/3 + ª1 e l, i+Np,M+l i+Np,M = o
2 2
2 < i < Np - 1 M > O III-27
31
Parede
8'. M 1 - 8'. M e J., + J., = s e
8 '. 1 M 1 - 28 '. M 1 + 8 '. 1 M 1 J.-,+ J.,+ 1.+,+
e
i;
+
+ !n W 2nX
+ 8i-l,M - 28 i,M + 8 i+l,M ) +
zr:,.x
+ ªz e 8i-Np,M+l + 8i-Np,M
2
0' + 0' ) i,M+l i,M
8i,M+l + 0LM)4/3
2
Np + 2 < i < 2 Np - 1 M > O
1 + _i;_ +
r:,., wnx 2 i; F Nu 1
) 8 i M+ 1 + ( - + 2 , t,. "[
F Nueg, 8'. M
i; e 8' 8' 8i-l,M ) - + + + 2 ]. , 2wnxL i-1,M+l i+l,M+l
8 i-Np,M+l + 8 i-Np,M 8 '. M 1 + 8'. M )4/3 8 '. 1 M ) - G e ]. , + ]. , o ]. + , 2 2 2
Np + 2 < i < 2 Np - 1 M > O III-28
Para o cálculo das derivadas segundas que
aparecem nas equações (III-17) a (III-20) são usadas as equa
ções (III-25) e (III-26) definidas agora para os pontos do con
torno e discretizadas convenientemente.
,
Fluido
38
3T
Topo do tanque
32
a (e - 6') 4/ 3 1
1 = 1
6 · M 1 - e. M J., + l., 2 = -z c_ei+l M -
t,X '
Fundo do tanque
8i,M+l - 6i,M = !:,T
Parede
Topo do tanque
e' + e' i+Np,M+l i+Np,M )4/3
2
i = Np
2 t,X2 ( 6i-l ,M
e' + e' i+Np,M+l i+Np,M) 4/3
2
+ a 2 (•e - 8 ' ) 4
/ 3 - 1:;, F Nu 8 ' eq
i = 1
8' - 8' i+Np,M+l i+Np,M = ç, z ( 8' - 8' ) + W t,Xz i+Np+l,M i+Np,M !:,T
III-29
III-30
33
e' + e' i+Np,M+l i+Np,M )4/3 _
2
e' + e' ) i +Np ,M+l i +Np ,M III-31
Fundo do tanque 1 = Np
e' - e' i+Np,M+l i+Np,M =
6. '[ 8' - B' ) i+Np-1,M i+Np,M +
8 ·M1+e.M e 1, + l,
+ ªz 2
e' + e' i+Np,M+l i+Np,M )4/3 _
2
(e , +e' ) . N M 1 . N M 1 + p, + 1 + 'P, III-32
As equaçoes (III-27) a (III-32), constituem
um sistema de equações algébricas não lineares e será resolvi
8 do pelo método iterativo de Newton-Raphson, Carnahan (Apêndi-
dice D).
A operaçao de resfriamento natural, foi tam-
7 bem estudada teórica e experimentalmente por Blay , para um
tanque, contendo 1 m3
de fluido orgãnico trabalhando a temper~
turas entre 509C e 2209C.
34
III.2.2.3 - Ca~o Pa~t{cula~: a temperatura da parede do reser-
vatõrio ê considerada constante nas operaçoes de
carga e descarga.
Nesta situação considerando um modelo u-
nidimensional e o referencial posicionado no fundo do tanque a
temperatura do fluido será determinada a partir da equaçao :
3T P CP at
p C u oT - Q ( x,t) P ax
o < X < H t > o III-33
Como condições de contorno e incial, sera con
siderada uma variação degrau para a distribuição inicial de tem
peratura nas operações de carga e descarga.
Carga
T ( x,t); Tmax X ; X o t > o
lim T (x,t) T . min t > o x-+-oo
T ( x,O )
Descarga
T . min X > Ü
T(x,t) T . min X ; X
o
1 im T ( x, t ) ; T max
x-++oo
T ( x,O ) ; T rnax
t > o
X > Ü
* condição de contorno fixada por Cabelli 4
t > o
III-34
* III-35
III-36
I II-3 7
III-38
III-39
onde:
35
Q (x, t) = (T -T00)/ (D/ (4h) + D
2 ln (De/D)/ (SK') + D
2 / (4Deh
00)) :
Taxa de calor perdida para o meio ambiente, por
unidade de volume do fluido.
h calculado a partir da equação (III-11).
T . m1n Temperaturas do fluido quente e frio res
pectivamente.
x0
Posição de entrada do fluido quente ou frio no reser
vatório.
Para adimensionalizar o sistema de equaçoes
(III-33) a (III-39), serão utilizados os mesmos parâmetros defl
nidos no item (III-2.1), exceto a temperatura, que serã defini
da como :
e ex,,) = T (x, t) - T . min
Após a adimensionalização (Apêndice E) do
sistema de equaçoes (III-33) a (III-39), resulta a equação:
ae dT
_ u ae ax
O < X < 1 T > Ü III-40
Sujeita às condições de contorno e inicial:
1. Para a operaçao de carga:
8 (X, T) = l X T > Ü III-41
36
1 irn (X, T) ; o T > o III-42 X + - 00
e ex, o) ; o X > o III-43
2 . Para a operaçao de descarga:
e (X,T) ; o X ; X o T > o III-44
lirn (X,T) ; 1 T > o III-45 X + + 00
8 ex, o) ; 1 X > o III-46
onde:
'!' H2
/ (K D/ (4h) + K D2 .C.n (De/D)/ (SK') +.. KD 2 / (@ h ) ) o e oo
A operaçao de carga, foi resolvida analitica 4
mente por Cabelli usando o método da Transformada de Laplace
e considerando a temperatura mínima do fluido de trabalho corno
a temperatura do ambiente no sistema de equações (III-40) a
(III-43). Neste trabalho a equação (III-40) é resolvida pelo
mesmo método (Apêndice F), porém sem a restrição de temperatura
mínima resultando:
8 ( X,T ) ; 0,5 ( exp ((,X - Xº ) ( cl - cz )) erfc CC Xº - X )/( Zv'T) -
- C/T) + exp CC Xº - X) ( cl + cz )) erfc CC Xº - X )/(2/r)+
+ cl/r)) - ~ ( 1 - exp (-'!' T ))/'!' + ~ /2 ( exp CC X - X) o o o o o
37
- x )! e 21r) - e c2 / Ir) III-47
onde:
C l = / ( U2
+ 4 '±' 0
) / 4 , C z = U/ 2
2 , c4 = U/2 - U /4
C = U4/16 - ( U
2 + 4'±' )/ 4 5 o
O sistema de equaçoes (III-40), (III-44) a
(III-46), representa a operaçao de descarga, que não foi anali
zada por Cabelli4
, cuja solução; obtida pelo m;todo da Trans
formada de Laplace (Apêndice G ), produzindo:
€ (X,T)= - 0,5 ( exp ( -'±' T) erfc ((X-X)/( Zff) -o o
- C 2 ff ) + exp ( ( X - X0
) U - '±' 0
T ) erfc ( ( X -
+ 2'±' ) ( exp ( -C 6T ) - exp ( -'±' T ) ) + <jJ / 2 ( exp o o o
( ( X - X0
) ( C z - C1 ) ) / ( C l - ( C z ) z ) erfc (J X -
38
2 + C
1 ))/(C
1 + (C
2)) erfc (( X- X
0 )/( Zv'T) +
II I-48
onde:
c6 = ( uz + 4'!' )/ 2 o
cs = - 3 U2/16 + 'l' o
39
CAPITULO IV - EFICIENCIA TERMICA
IV.1 - In.vr.odu~~o
Keste capítulo sao apresentados alguns con
ceitos básicos da termodinâmica e determinadas as eficiências
de um sistema de estocagern térmica para fluidos com ou sem es
tratificação térmica, considerando a Primeira e Segunda Lei da
Termodinâmica. Através deste estudo pode ser analizada a possi
bilidade de um fluido contido num reservatório estocar energia
sob forma de calor, corno também de apresentar urna disponibili
dade em termos de trabalho Útil que poderá dai ser retirado.
A máxima quantidade de energia sob forma de
calor que um líquido num reservatório pode estocar depende de
vários parâmetros corno: características físico-químicas do flui
do (que podem ser denominadas
peraturas máxima e mínima, T e T . respectivamente, neces rnax rnin
sárias ao bom desempenho do sistema de estocagern e do subsiste
ma de conversão termodinâmica:
X ) n IV-1
Após um tempo t, a quantidade de energia térmica
contida na unidade de estocagern é urna função das característi-
cas térmicas do tanque
... ' X ' n T
max'
... ' z , e também dos rn pararne-
Trnin' da temperatura ambiente T0 e
do fluxo de massa que cruza a fronteira do volume de controle;
IV-2
40
Mas, para um sistema de estocagem, nao é im
portante somente a sua capacidade de estocar energia térmica,
mas também a possibilidade que este sistema possui de armaze
nar trabalho útil. Supondo B'e B' como os trabalhos disponí-max
veis estocados, quando as energias forem E e E , respectivamax
mente tem-se:
B' = B' ( T . , T max max m1n max' X ) n
IV-3
e
B'=B'( T., T , xl, xz, ..• X, Zl, zz, ..• Z, t, TO' m) ·JV-4 run m~ m m
IV,2 - Ene4g~a e e6~c~ênc~a tê4m~ca do -0~-0tema de e-0tocagem, a
pa4ti4 da P4ime~4a Lei da Te4modinâmica
A massa no interior de um volume de controle
considerado no fluido é, constante pois os fluxo do fluido que
sai é igual ao fluxo de fluido que entra, nas situações de car
ga e descarga, ao passo que nenhuma massa abandona o sistema
na situação de resfriamento. O problema fica então reduzido ao
estudo da capacidade que uma massa constante no interior do
reservatório tem de conservar energia térmica.
Considerando um fluido imcompressível a ex
pressao da energia conservada em um sistema fechado entre dois
estados quaisquer, desprezando-se as variações de energia ciné
tica e potencial, será:
E = M' i'>u'. l
IV-5
onde:
41
M' : Massa do fluido no interior do tanque.
nu'.: Variação da anergia interna específica do fluido no l
interior do tanque, entre dois estados ( i = 1, 2 ).
Também, sendo C independente da temperatura: p
nu'= e nT p
IV-6
Considerando que o fluido no interior do re-
servatório se apresenta estratificado num instante t ( porem
mantendo uma temperatura constante em pequenos elementos de
altura nH ), ele apresentará num tempo subsequente tf. 1 uma ina temperatura homogênea e de referência T .. Pode-se então, esmin crever para a variação da energia interna total da massa de
fluido no tanque, entre os instantes t e tfinal:
M ( u' t
u' ) = U' tfinal t
U' = pAC tfinal P O
J H ( T ( x, t) - T . ) dx min
onde:
A Área da seçao reta do reservatório.
IV-7
Portanto, a energia disponível entre um ins-
tante t qualquer e o instante t para a massa de flui-final' do estratificada no reservatório, será:
E = pAC 0
J H ( T ( x, t ) - Tmin ) dx t-tfinal p
IV-8
42
Considerando que, T ( x,t) sera conhecida
para um numero limitado de pontos distribuídos com espaçamento
constante ao longo da altura do reservatório, a equação (IV-8)
pode ser escrita em forma de sornátorio finito:
onde:
E = pAC t-tfinal P
Np-1 ~
i=l
( T (x,t) - T. ) 6x. rn1n 1 IV-9
N Número de pontos distribuídos ao longo da altura, no p
centro do reservatório.
6X. = x. - x. 1 : Espaçamento constante entre os pontos. l l 1-
Quando toda a massa de fluido, no interior do
reservatório, encontra-se a mesma temperatura para cada instan
te de tempo (caso de nao ocorrência de estratificação), a equ~
ção (IV-8) ou (IV-9) torna-se:
E = t-tfinal
M'Cp ( T ( t ) - T . ) rn1n IV-10
Por outro lado, no instante em que a carga é
máxima, a temperatura do fluido no interior do tanque fica ho
rnogenea e igual a T , e partindo de um estado inicial a T . , rnax rn1n
a energia máxima será:
E = E = M'C ( T 0-tf. 1 rnax p rnax 1na
T . ) rn1n IV-11
Considerando a massa de fluido no interior
do reservatório, pode se definir urna eficiência térmica atra
vés da Primeira Lei da Termodinâmica como sendo a relação en-
43
tre a energia interna no instante t e a energia interna mâxi
ma suportada pelo sistema, tomando-se como base a energia in
terna mínima (suposta nula);
a) caso da estratificação térmica
E t-tfinal
---""'cc.;;._..;;;;,.- =
E max
!H ( T ( x,t) - T. o min ) dx IV-12
b) caso da temperatura homogênea em cada instante de tempo
E max
T(t)-T. min
T - T max min
IV-13
IV,3 - T4abalho dihponlvel e e6ieiêneia tê4miea do hihtema de
ehtoeagem, a. pa4ti4 da Segunda Lei da Te4modinâmiea.
O trabalho disponível pode ser obtido atra
ves da determinação da capacidade que uma massa constante no
interior do reservatório tem de realizar trabalho por um pro
cesso reversível.
A expressao do trabalho reversível obtenível
de um sistema fechado entre dois estados quaisquer, despreza~
do-se as variações de energia cinética e potencial FABRY17 , e:
onde:
B' = M ' ( ( ut' - T s ) - ( Ut' - T s ) ) O t final O tfinal
IV-14
s tfinal
Entropia específica do fluido no interior
do tanque nos estados te tfinal respect!
vamente.
44
Para um fluido incompressível e com C indepe~ p
17 te da temperatura, Fabry :
ns e ln p
IV-15
O mesmo raciocínio utilizado na obtenção da
equaçao (IV-7), aplicado à determinação da variação da entro
pia total da massa no interior do tanque, fornecerá a expres
sao:
M' ( s -s ) = S - S = pAC t tfinal t tfinal P
f H ln T ( x, t ) dx o
IV-16 Tnun
Portanto, a expressao do trabalho entre um
instante t qualquer e o instante tf. 1 , para a massa estra 1na
tificada termicamente no reservatório, ê obtida substituindo
se as equações (IV-7) e (IV-16) na equação (IV-14), produzin
do:
B' = pAC p
t-tfinal
((T(x,t) -Tmin) .,.\ln T(x,t)) dx T . min
IV-17
No instante em que a carga for máxima tem-se:
B'
o - t final
= B' max
T. min
) - T ln o
T max
T. min
) H IV-18
Definindo~se então, uma relação entre o tra
balho reversível no tempo t e o trabalho reversível máximo,
como Índice da capacidade da massa estratificada termicamente,
no interior do tanque de realizar trabalho, do tempo t até
45
t (que é a eficiência térmica do sistema a partir da Se-final
gunda Lei da Termodinâmica), pode-se escrever:
E e
B' t-tfinal
B' max
0J
8 ((T(x,t)-Tmin)-T0 ln(T(x,t)/Tmin))dx
;-'---------------------H((T -T. )-Toln(T /T. )) max m1n max min
IV-19
Quando a massa no interior do reservatório ,
apresentar uma temperatura homogênea, dependente do tempo, a
equação (IV-17), ficará reduzida à expressão:
B' t-tfinal
pAH((T(t)-T. min
) T ln T( t ) ) - o T. min
IV-20
Consequentemente, a eficiência térmica a Pª!
tir da Segunda Lei para a massa termicamente homogênea no inte
rior do reservatório, torna-se:
B' t-tfinal ( T ( t) - Tmin) - T0 ln ( T ( t )Ir min 1 ; ______________ _
( T - T . ) - To ln ( T /T . ) max m1n max m1n IV-21
Por outro lado, a temperatura instantânea me
dia do fluido T (t) pode ser determinada a partir das tempera
turas do fluido estratificado, pela relação:
T ( t ) 1
H
H
0! T ( x,t) dx IV-22
Portanto, conclui-se que, para os mesmos va
lores de T , T . e iii, a eficiência térmica pela Primeira Lei max m1n
da Termodinâmica é a mesma, tanto para o fluido estratificado
quanto para o fluido com uma temperatura instantânea homogênea,
para qualquer instante de tempo.
46
Por outro lado, usando-se as.equaçoes (IV-19)
e (IV-21), juntamente com (IV-22), demonstra-se que para as
mesmas T , T. em, a eficiência térmica do fluido estratimax min
ficado, pela Segunda Lei da Termodinâmica, é em qualquer ins-
tante de tempo, maior do que aquela para o fluido
(Apêndice H), ou seja:
E 'f· d > Eh -estrati ica o omogeneo
homogêneo,
IV-23
47
CAPITULO V - APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
V.1 - Int4aduçãa
Nos capítulos precedentes foi proposto e an~
lisado um modelo matemático objetivando a simulação das opera
ções de carga, descarga e resfriamento natural de um fluido em
um reservatório.
Procurou-se formular o modelo de forma a mais
geral possível, de modo a aproximar os resultados teóricos e os
dados experimentais, a níveis de precisão aceitáveis.
O fluido de trabalho utilizado nas operações
de carga, descarga e resfriamento, foi o Óleo "Gilotherm TH",
cuja temperatura de ebulição à pressão atmosférica é de 3609C,
Os resultados foram obtidos para uma vazao
constante (carga 1,85 kg/s e descarga 1,04 kg/s), e as temperatu
ras do Óleo variando entre 25Q9C e 3309C na carga e de 2QQ9C
a 3309C na descarga, enquanto no resfriamento natural a varia
ção foi entre 3309C e 3609C,
Com a finalidade de comparar os resultados
teóricos obtidos com o modelo semi-empírico desenvolvido com
os dados experimentais disponíveis na literatura (6), foram a
dotadas as mesmas características de tipo de fluido, regime de
escoamento, nível de temperatura, reservatório de aço (cilindro
vertical de diãmetro interno 2,Sm e altura 6m) e miterial iso
lante (lã de rocha de espessura 0,08m) assim como as condições
ambientais (temperatura ambiente 0,3ºC).
Embora o método implícito de Crank-Nicolson,
utilizado na solução numérica do modelo, seja estável para to-
48
2 8 dos os valores da razao À= ~T/~x Carnahan, para valores de
À > 2,5 (~T > 0,0173) ocasionava uma divergência nos res_llLtados,
o que poderá ser devido a uma aproximação imprecisa da deriva
da primeira das temperaturas em relação ao tempo (ô8/ôT), como
citado por Smith18 .
Para obtenção dos resultados através da via
numérica, utilizando um computador Burroughs B6700, na operação
de carga como na descarga, foi necessário um tempo de process~
menta igual a 9,0 segundos, enquanto que na operação de resfri
amento foi de 180 segundos.
Neste capítulo, pretende-se analisar os re
sultados obtidos seguindo basicamente quatro procedimentos:
- A precisão entre os resultados obtidos com o modelo propos
to e os dados experimentais.
O comportamento do gradiente de temperatura na parede inter
na do reservatório.
- A disponibilidade térmica do processo de estocagem, por es
tratificação e homogeneização do fluido de trabalho, em rela
ção a Primeira e Segunda Lei da Termodinâmica.
- A influência das características físicas e geométricas do re
servatório e do fluido de trabalho, no processo de estocagem.
Na operação de carga, o fluido quente entra
no topo do reservatório através de difusores, ocorrendo odes
locamento da frente quente para o fundo do reservatório. O com
portamento desta operação é mostrado nas figuras (V-la,b,c)
(V- 2) , (V- 3) , (V-4) e (V- 5) .
As figuras (V-6a,b,c), (V-7), (V-8), (V-10),
(V-11) e (V-12), apresentam o comportamento da operação de des
49
carga ou seJa o fluido frio é injetado pelo fundo do reservató
rio, através de difusores, deslocando a frente quente para o
topo do reservatório.
O comportamento da operaçao de resfriamento
(aus~ncia de carga e descargaj é apresentado nas figu~as (V-13),
(V-14), (V-15), (V-16) e (V-17).
V.2 - Ope4ação de Ca4ga
A medida do tempo real na operaçao de carga
teve início a partir do tanque completamente descarregado
(t; 0,0S), mas o registro dos dados experimentais (6), foi i
niciado (t; 0,0S) com o tanque parcialmente carregado, produ
zindo urna defasagem de tempo de aproximadamente 1000 segundos
entre o tempo real de carga e o experimental, corno é mostrado
na figura (V-4), comparando-se os perfis de temperatura por s~
lução numérica para os instantes 1000 e 2000 segundos e os da
dos experimentais apresentados para os instantes 0,0 e 1000
segundos.
Com o perfil inicial em degrau de temperatu
ra em H; 6m (tanque completamente descarregado) e consideran
do-se a defasagem de tempo de 1000 segundos, são mostrados nas
figuras (V-1a,b,c) os perfis de temperatura por solução analí
tica para os instantes 4000, 5000 e 6000 segundos respectiva
mente, correspondentes aos dados experimentais apresentados p~
ra os instantes 3000, 4000 e 5000 segundos.
Os perfis de temperatura na operação de car
ga, por solução numérica para os instantes 3000, 4000 e 5000
segundos (considerando o perfil inicial de temperatura corno
50
igual ao perfil experimantal no instante 2000 segundos), bem
como os dados experimentais (6) relativos aos mesmos instantes,
são também apresentados nas mesmas figuras (V-la,b,c) respect~
vamente.
Pode ser visto nas figuras (V-la,b,c), que o
perfil de temperatura fornecido pela solução numérica é o que
mais se aproxima dos dados experimentais. O erro máximo encon-
trado para os pontos fora da região de tansição é da ordem
1%; enquanto que na região de transição está na ordem de
devido ã influência de alguns fatores como:
de
7 ~ o ,
a) Os termopares utilizados na obtenção dos dados experimen-
tais, possuem tempo de resposta muito grande em relação ao
tempo de passagem da frente quente.
b) o espaçamento entre os termopares é maior do que a espessu
ra da região de transição, impossibilitando a localização
precisa desta região.
c) o elevado gradiente de temperatura nesta regiao provoca uma
difusão de calor entre as camadas, o que gera uma zona de
mistura nao prevista no modelo proposto.
d) o uso de correlações ~ impiricas na formulação do modelo, im-
plica em simplificações que afetam os resultados obtidos.
e) As perturbações provocadas pela concepçao dos difusores uti
lizados no experimento, nao sao previstas no ~odelo.
A medida que a frente quente se aproxima do
fundo do reservatório, a solução numérica se afasta dos dados
experimentais, sendo que a solução analítica distancia-se ainda
mais, figura (V-lc) isto devido a zona de turbulência neste lo
H(m}
5
4
2
H(m)
8
4
2
51
t • 2000 S
t= 4000S ""
\. - . =-· _..,.. __.:::::: . _,,---
// V
230 255 280 305
/" / 1
1
i J
/
t • 5000 S
o ) Perfis de temperatura do fluido no centro do tonque
'S.2000 s--- / t=sooos ~
'r-~--.-1
El
230 255 280 305 330 T (•e)
b) Perfis de temperatura do fluido no centro do tanque
Figura V· 1 Operação de carga
T1mp1raturo ambiente e 0,3 •e ; vaz.c!o • 1,as Kg/s e R• = 2 1 04 x 1o'l
Perfi I inicial i Perfil H.p1rint1ntal Perfil por solução numer(ca Perfil por 101u;ão anol(tico
EJ Dados experimentais. cNRs6
H(ml
6
s
4
2
230
52
Temperotura ambiente : o,s•c; vozão ,., 1,85 Kg/a
----Perfil inicial'= Perfil experimental
---Perfil por solução numdrico
-·-·-Perfil por solução onolitico C:J Dados experimentais, CNRS6
·~ -- ------- t= 6000 s
-~·-·-· t= socos
255 280 ,os
/
·-/
330
Figuro V-IC Perfis de temperatura do fluido no centro do tanque no operação de cargo.
H!ml
6
5
4
2
230
Figura V· 2
--- Temperatura do fluido.
- - - - Temperatura do pored e i ntemo.
/ I
/
255
-
-
--2 80
/
,os
I /
t I I I
/ I
330 T[ºC}
Perfis de temperatura do fluido e do parede interna do tanque
poro a operação de descargo, pela solução numérica.
Temperatura cmbiente = 0,3ºC i Vazão = 1,es Kg/s
53
cal, provocada pela extração do fluido frio.
O perfil de temperatura correspondente aso
lução analítica do modelo proposto simplificado, coincide com
os dados experimentais na região fria, afastando-se dos mesmos
nas regiões quente e de transição, urna vez que naquela região,
o fluido quente que desce encontra a parede interna do reserva
tório ainda com a temperatura de equilíbrio com o fluido frio.
Na operação de carga, a frente ·de fluido
quente, se desloca para o fundo do reservatório, em contato com
a parede interna fria, produzindo um elevado gradiente de tem
peratura transiente, entre o fluido e a parede, corno mostra a
figura (V-2). Este fator nao é previsto no modelo proposto sim
plificado, que considera constante a temperatura na parede in
terna do reservatório.
Este efeito é mais pronunciado na camada quen
te, figuras (V-la,b,e) causando, nesta região, as maiores dis
crepâncias entre os resultados experimentais e aqueles obtidos
pelo modelo simplificado.
Os perfis transientes da temperatura na par~
de interna do reservatório, durante a operação de carga, para
os instantes 3000, 4000 e 5000 segundos, obtidos pela solução
numérica são mostrados na figura (V-3).
Devido a inexistência de dados experimentais
para a parede do reservatório, adotou-se corno perfil inicial a
temperatura tal corno medida no centro do tanque. Observa-se
então, que após um certo tempo, o próprio modelo se encarrega
de corrigir estes perfis, com um efeito aparente de decréscimo
e posterior recuperação das temperaturas.
Observa-se também na figura (V-3), um eleva-
H(mJ
6
4
2
230
Figuro V· 4
1
1 i----t· o.o s
1
1
1
1
1
1
1
Q
255
54
l'il
til Dados experimentais para t; o.os
Q Oodo1 experimentais poro t = 1.000 s
Perfil de temperatura inicial do fluido
Temperoturo ambiente = 0,3°C ~vazão= ~es ICg/s
___ Per-fil de t.mperaturo por solw;õo num,rico
280 305 330
Perfis de temperatura por solucei, numerica. no operação de cargo, considerando o tanque descarregado totalmente no instante inicial.
H(ml
€
5
4
3
2
230
Figuro v~ 3
eo
70
60
50
o
Figuro \J-_s
55
I I
·~----= 5000
255 280 T("c l
Perfis de temperatura na parede interna do tanque durante o operação de e ergo.
Temperati,o ambiente = °'3ºC, ·vazão= 1,es Kgts
Perfil inicial'= Perfil de temperatura experime'ltol do fluido no centro do tanque. Perfis por solução numérica
Primeiro Lei do Tennodinâmico
Lei do Termodinâmico
2 3 4 5 tx103(sl
Eficiência térmico poro o fluido no interior de tanque ,no operação de cargo.
Temperatura ambiente 0,3?;; vazão = 1,85 Kg Is Fluido homogêneo Fluido e:strotiticado.
Fluido estrotifi cedo termicomr.nt~.
Fluido homogêneo termicomente.
56
do gradiente de temperatura axial transiente na parede do re
servatório. Este comportamento gera um acúmulo de tensões tér
micas na parede do reservatório e no isolante, , exigindo uma
atenção especial por parte do projetista, na escolha dos mate
riais constitutivos e na construção do reservatório. Para o
cálculo destas tensões térmicas é necessário o conhecimento dos
perfis transientes de temperatura, o que é fornecido pelo mode
lo.
A partir de um perfil inicial em degrau de
temperatura para o fluido (tanque completamente descarregado).
figura (V-4), portanto diferente do perfil inicial até agora
considerado, obteve-se o perfil de temperatura no tempo t = 1000
segundos, que coincide razoavelmente com o perfil considerado
inicial no experimento. Comparando-se então o perfil numérico
no tempo t = 2000 segundos, com o perfil experimental considera
do a 1000 segundos, pode-se observar a boa concordância de am
bos os pares de curvas.
Observa-se, ainda na figura (V-4), um erro
da ordem de 4%, entre o perfil de temperatura calculado e os
dados experimentais, para os pontos localizados na região de
transição, enquanto que os pontos fora desta região apresentam
um erro máximo de 1,5%. Embora as causas possam ser as mesmas
citadas na análise das figuras (V-la,b,c); a pequena diferença
entre os erros obtidos neste estudo e os encontrados nos estu
dos anteriores (região de transição 7% e pontos fora desta re
gião 1%), deve-se ao fato de que os perfis de temperatura num~
ricos da figura (V-4), não correspondem exatamente aos perfis
experimentais do mesmo instante real do tempo .. E essa corres
pondência é muito difícil de ser obtida com precisão.
57
Na figura (V-5), é apresentado o comportame~
to da eficiência térmica com o tempo, pela Primeira e Segunda
Lei da Termodinâmica para o fluido estratificado e homogêneo
termicamente, durante a operação de carga, observando-se que:
1. As eficiências aumentam com o tempo, nesta operação.
2. A eficiência, pela Primeira Lei da Termodinâmica é maior que
a eficiência pela Segunda Lei da Termodinâmica para fluido
estratificado e esta maior que a eficiência pela Segunda
Lei da Termodinâmica para o fluido homogêneo termicamente.
3. Pela Primeira Lei da Termodinâmica, tanto o fluido homogê
neo como o estratificado possuem a mesma eficiência, pois
esta lei considera somente o balanço energético no interior
do reservatório.
4. Ao se considerar a taxa de energia interna do reservatório
que pode ser convertida em trabalho, encontra-se uma dife
rença entre as eficiências calculadas para o fluido estrat!
ficado e homogêneo, pois a homogeinização implica em aumen
to da entropia do fluido no interior do reservatório.
Analogamente a operaçao de carga, na descar
ga também ocorre uma defasagem de tempo de 1000 segundos entre
o tempo real de descarga e o experimental, como mostrado na
figura (V-8) pelos perfis de temperatura por solução numérica
para os instantes 2000 e 5000 segundos e os dados experimen
tais apresentados para os instantes 1000 e 4000 segundos.
A partir de um perfil inicial em degrau de
58
temperatura em H = 0,0m (tanque totalmente carregado) e consi
derando-se a defasagem de tempo de 1000 segundos, são aprese~
tados nas figuras (V-6a,b,e) os perfis de temperatura por sol~
ção analítica para os instantes 2000, 3250 e 5000 segundos
respectivamente correspondentes aos dados experimentais apre
sentados para os instantes 1000, 2250 e 4000 segundos na oper~
ção de descarga.
Nas mesmas figuras (V-6a,b,e) sao mostrados
os perfis de temperatura por solução numérica para os instantes
1000, 2250 e 4000 segundos respectivamente (considerando-se o
perfil inicial de temperatura como igual ao perfil experimental
no instante 0,0 segundos), assim como os dados experimentais
(6) para os mesmos instantes de tempo na operação de descarga.
Observa-se que a solução numérica nesta ope
raçao, está mais próxima dos dados experimentais, do que na
operação de carga. Isto pode ser devido à redução da vazao
1,85 kg/s na carga, para 1,04 kg/s na descarga, o que implica
em diminuição da velocidade da frente quente, permitindo uma
maior tolerância no tempo de resposta dos termopares.
O erro máximo encontrado nos pontos fora da
região de transição foi da ordem de 0,5% (na operação de carga
1%), enquanto que para os pontos na região de transição, foi
de 6% (na operação de carga 7%). Nota-se que os erros para os
pontos fora da região de transição caíram à metade, enquanto
que os erros para os pontos na região de transição sofrera~ p~
quena queda (-1%), uma vez que estas discrepâncias não dependem
somente da vazão utilizada, mas também dos parâmetros expostos
no item (5-2a,b,e,d).
Na operação de descarga, a solução analítica
H(m]
6
5
4
3
2
o
H(m)
6
5
4
3
2
o
59
O Dados experimentais po,o t=LOOOs
t=2000S t= 1000s t= O Os •
L \_.-·-\--·-·-·-;r/ ,-·-· ·--·--· \ / . . / ---- - -----200 225 250 275 300 325
ai Perfis de temperatura do fluido no centro do tanque
O Dados experimentais poro t= 2250S
t=3250 s t= 22 sos El
'\. t= oos
.,,,... _"\--==. ~~·=·=· =~· ~---=·-~---::::::--· ~-El ------ ----- --
200 225 250 275 300 325
bl Perfis de temperatura do fluido no centro do tanque.
Figura v-s o peracôõ de descargo
Tfluido: Solução numêrica
Tfuido; Solução analítico
Perfil inicial'= Perfil experimental
Temperatura ambiente = 0.3ºC ; Vazão:: 1,04 Kg/s ( Re = 1, 16 x 10')
TlºC}
1'1ºc>
H(ml
6
5
4
3
2
o 200
Figuro V- 6 e -
H(m)
6
5
4
2
60
8 Dados experimentais poro t::4.000s
t=OOs
--- _2 --- ---225 250 275 300 325 TlªC}
Perfis de temperatura do fluido no centro do· toOQue na operacão de descargo.
Tfuido
Tf1uido
Solução
Solução
nume'rico
onoli'tico
- - -- Perfil inicial : Perfil experimental
Temperatura ambiente = 0,5-C , vazão= 1,04 K9/s
t=4000 s
t=2250S
t=t 0005
-----~·
1
1
1
1
J
__ -- --..........._,=aos .----- .
o 200
Figuro V-7 -
225 250 275 300 325 T(ºC}
Perfis de temperatura no parede interno do tanque durante a operação de
descargo. Perfil inicial'= Perfil experimental : Perfil de temperatura do fluido no centro do tanque. Perfis de temperatura
Temperatura ambiente = 0.3 ºe ; no parede interno , por solucei:> vazão= t,04 Kg/s
nume'rico.
61
do modelo proposto simplificado aproximou-se mais dos dados ex
perimentais, no topo do tanque e na zona de transição ao con
trário do que na operação de carga, isto devido a causas tais
como:
a) A redução na vazao deminui o efeito de mistura e consequen
temente implicou num decréscimo na espessura da zoria de
transição.
b) A frente fria ao subir, encontra a parede interna do reser
vatório ã temperatura do gradiente de equilíbrio, ou seja
razoavelmente inalterável, o que satisfaz a uma das hipóte
ses do modelo simplificado.
A figura (V-7), apresenta os perfis de temp~
ratura transiente da parede interna do reservatório, para os
instantes de tempo 1000, 2250 e 4000 segundos, onde observa-se
que:
1) O perfil inicial de temperatura na parede interna, adotado
como igual ao perfil do fluido no centro do reservatório,
não corresponde ã realidade, uma vez que ocorre uma queda
brusca de temperatura entre o instante inicial e o primeiro
perfil calculado, o que nao ocorre com os demais perfis.
2) Ocorreu um gradiente de temperatura axial maior do que na
operação de carga. Isto ê devido ao fato de que, se antes
da chegada da frente fria, a parede interna perdia calor a
penas ao ambiente, no instante da transição, a parede esta
rá com temperatura maior do que a do fluido frio e a do
meio ambiente, o que faz com que ela perca calor para o
fluido e para o ambiente. No momento em que a temperatura da
parede igualar a temperatura do fluido, a perda de calor
62
dar-se-á apenas para a atmosfera, com um decréscimo ainda
maior da temperatura da parede com relação à do fluido, até
o estabelecimento do gradiente de equilíbrio.
Este elevado gradiente de temperatura tran
siente axial, causa o aparecimento de tensões térmicas nesta
região do reservatório, como na operação de carga. Entretanto,
na operação de descarga, este fenômeno é ainda mais importante
do que nos outros casos.
A figura (V-8), apresenta seis perfis de te~
peratura transiente do fluido, quando o perfil inicial de tem
peratura é considerado como uma função degrau (tanque complet~
mente carregado), além dos dados experimentais correspondentes
a dois instantes de tempo 1000 e 4000 segundos.
O perfil obtido através do estudo numérico
correspondente a 2000 segundos é o que mais se aproxima dos d~
dos experimentais para 1000 segundos, enquanto que aquele cor
respondente a 5000 segundos é o que melhor se aproxima dos da
dos experimentais para 4000 segundos, ou seja pode-se .afirmar
que as medidas experimentais foram registradas após decorrerem
aproximadamente 1000 segundos de descarga. A importância dessas
curvas e a mesma já explicada na operação de carga.
Os mesmos erros calculados entre a solução
numerica e os dados experimentais referentes aos testes anteri
ores tanto para os pontos na região de transição (-7%) quanto
fora desta (-1%), também se reproduzem aproximadamente na fig~
ra (V-8). As justificativas das discrepâncias são as mesmas da
análise da figura (V-la,b,c).
As figuras (V-9) e (V-10), apresentam a in
fluência do Número de Nusselt equivalente (Nu ) que é função eq
5
4
2
o 200
Figuro V- 8
63
t= 6 000 1
t: 5000 1
tS: 4000 1
t• 5000 s
Q t=,ooo•
t= os
225 250 275 300 325 T('c)
Perfis de temperatura por solução numérica, na operação de descargo, considerando: o tanque carregado totalmente no instam, inicial.
Perfil de temperatura inicial do fluido Perfis de temperatura do fluido. por solução numérico
Dados experiment<1is Temperatura ambiente
-t::1QOOS1 ~t= 40001
0,3°C : vazão: 1,04 Kg/s
64
das características físicas e geométricas do reservatório e do
ambiente externo, nos perfis de temperatura na parede e no flui
do térmico.
O Número de Nusselt equivalente caracteriza
o efeito da energia dissipada através do isolante para o exte-
rior figura (V-9), e da energia conduzida axialmente
da parede, figura (V-10), na operação de descarga.
através
Para alto Nu , eq o gradiente de temperatura
entre a parede interna e o fluido térmico na figura (V-9), e
muito elevado no topo (região de fluido quente), onde ocorrem
as maiores parcelas de perdas de calor e diminui no fundo do
tanque (região de fluido frio), com menores perdas de calor,
ou seja, a temperatura da parede e sempre menor que a tempera
tura do fluido e todo tanque perde calor (efeito condutivo).
Quando o Nu é baixo, figura (V-10), o graeq diente de temperatura entre o fluido e a parede e pequeno.
Porém, este gradiente no fundo do reservatório e negativo (te~
peratura da parede maior que a temperatura do fluido), ou seja,
a energia conduzida axialmente pela parede e maior que as per
das térmicas (efeito capacitivo). Isto mostra claramente um
"curto circuito" entre o fluido quente e o fluido frio, por
meio da parede do reservatório.
Para a operação de descarga é apresentada na
figura (V-11), o comportamento da eficiência térmica, para o
fluido homogêneo e estratificado termicamente no interior do
reservatório, onde observa-se que:
1) A eficiência térmica tanto Primeira como Segunda Lei da Ter
modinâmica diminuem com o tempo.
Html
•
5
4
65
I 1 I I NUeq : 200
,.. ____ t.= 4000 s
t= 225015
1
1
1
1 I
/ 2 -· ---·-· ----
200
Figuro V-9 -
H(ml
6
5
4
3
2
200
Figuro v.10 -
- - - - --- --255 250 275 300 525 Tl"C)
influência do oito valor de Nueq nos. perfis e do parede interno do tanque na opera çõo numérico.
de temperatura do fluido de descargo, por soluc:õo
Perfil inicial: Perfil experimental i Tfluido i Tporede
Perfil de temperatura do fluido
Per-fil de temperatura do parede
vozõo::c 1,04 kg/s
NUeq :a 3 O
t•2250s
225 250 275 300 325 TlºCl
1nfluincia do t>oixo valor de Nueq nos perfis de temperatura do fluido e do parede interno do tanque no operocõo de descargo por soluç:õo numérico.
'Perfil inicial=' Perfil experimental: Tfluido 'S T parede
Perfil de tempe rotura do fluido
Perfil de temperatura no parede
Temperatura ambiente • 0,3ªC ; Vozão . 1p4 KGIS
66
2) Os perfis da eficiência pela Primeira Lei e Segunda Lei da
Termodinâmica para o fluido estratificado se aproximam en
quanto os perfis pela Segunda Lei da Termodinâmica se afas
tam, até o instante 4000 segundos.
3) A diferença entre as eficiências térmicas na descarga é maior
que na carga pela Segunda Lei da Termodinâmica.
Nas figuras (V-5) e (V-11), pode-se observar,
pela Segunda Lei da Termodinâmica, que quanto maior a estrati
ficação térmica do fluido, maior o afastamento entre os perfis
de temperatura do fluido estratificado e homogêneo; o que evi
dencia o uso do diafragma no interior dos reservatórios, sepa
rando as regiões quente e fria.
A figura (V-12), apresenta o estudo numérico
realizado relacionando a queda da eficiência térmica com o au
mento da relação altura-diâmetro do reservatório, pela Primei
ra e Segunda Lei da Termodinâmica para um fluido estratificado
termicamente no interior do reservatório.
de descarga feito
Segundo o estudo experimental com a operaçao 5 por Lavan , a eficiência térmica deveria au-
mentar com o aumento da relação altura-diâmetro (H/D). Na rea
lidade, isto é válido para descargas rápidas do fluido, quando
o calor perdido pelas paredes isolantes do reservatório pode
ria ser desprezado. Portanto, na descarga rápida, a parede is~
lante em torno do reservatório se torna desnecessária, reprod~
zindo as condições do estudo de Lavan 5, o que caracteriza um
elevado Número de Nusselt equivalente (Nu ). eq
Porém nesta
condição, para descarga lenta, a eficiência térmica realmente
diminui, figura (V-12), pois as perdas térmicas são apreciáveis.
E tºlol
72,5
70.0
67.S
65.0
62.5
60.0
57.5
ss.o
52.5
50.0
47.5
45.0 o
~", "PRIMEIRA\LEI DA TERMODINÂMICA
,· <"· ," ,,
SEGUNOA LEI ' '\, · 0A TERMODINÂMICA'\, '\_
~. '\. '\.
'\.' '\. '\.
'\. '\
'
2 3
67
" " " ' " ' " 4 5 tx103<s)
Figuro v-11 • Eficiência termico poro o fluido no interior do tonQue, durante a operação de descargo.
Fluid:I homogêneo ou estratificado
Fluido estratificado
Fluido homogêneo
Temperatura ambiente ; o. ?iºC ; Vazão ; 1,04 K g/s
60
PRtMEtRA LEI DA TERMOD!NÃMICA
50 ·7· SEGUNDA LEI DA
·-·-. TERMODINÂMICA
40 2 3 4 H/0
Figuro v-12 - influência do retaçõo altura e dió'metro do tanque no eficiência térmico, dlronte o operoçáo de descargo.
fluido homogêneo ou estratificado Fluido e s trotificodo.
Temperatura ambiente: O?iºC ·, vozõo 1,04 Kg /s
68
V.4 - Ope~ação de Re-06~{amento
Os perfis de temperatura inicial, do fluido
por solução numérica e os dados experimentais para três instan
tes de tempo 2, 6 e 10 horas são apresentados na figura (V-13),
para a operaçao de resfriamento.
O erro máximo encontrado entre as temperatu
ras calculadas pela solução numérica e os dados experimentais e
da ordem de 0.25%, para qualquer região do reservatório.
Observa-se que os pontos localizados na reg~
ao de transição não se afastaram diferentemente dos outros
pontos fora desta região, como ocorreu nas operações de carga
e descarga. Isto é devido à inexistência da influência, nesta
operação, de alguns dos fatores descritos na análise da figura
(V-1a,b,~). pois:
a) A frente quente (região intermediária), encontra-se estacio
nária nesta operação, fazendo com que o tempo de resposta
dos termopares nesta região não interfira nos resultados ob
tidos.
b) Inexistem zonas de misturas, ou seja, os difusores nao in
terferem nesta operação.
c) Uma vez que o gradiente de temperatura na região de transi
çao é muito mais suave do que nas outras condições de oper~
çao, o espaçamento entre os termopares pode ser maior.
É observado na figura (V-13), que o fluido
térmico, inicialmente estratificado, sofre uma homogeinização
térmica com o passar do tempo, enquanto cede calor ao meio am
biente. Além disso, a homogeinização é mais rápida do que o
H(m}
6
s
4
2
Figura
H(m)
6
s
4
3
2
I!,.
330
1
I 1
li l l
330
Figuro V-14
•
11,,
/ /
/
69
0 o 1 1 I /
t::1oh t=en / /
/
/~,O.Oh
/ /
/ /
/ /
335 340 345 360 TlºCl
Perfis de temperatura do fluido no resfriamento
Temperatura ambiente = 0,3 ºe
oados ex.perimentais :
f; 10h
/ /
335
Perfil de temperatura inicial ': Perfil de temperatura experimento_! Perfis de temperatura do fluido : solução numérica
/
t= 6h
/ /.
I
! !
/
/ /
/
340
/ /
/
/ /
345
/
/ /
~''º·º"
1 I /
350 TlºCl
Perfis de temperatura do fluido e do parede interna no resfriamento.
Perfil inicial'= Perfil experimental~ T fluido = T parede
T fluido: solução num4rico
T parede: soltit;õo numérica
70
resfriamento do fluido.
Na figura (V-14), sao mostrados os perfis de
temperatura inicial, do fluido e da parede interna do reserva
tório.
Nesta operaçao o gradiente de temperatura a
xial na parede é menor do que o apresentado na carga e descar
ga, figuras (V-3) e (V-7), amenizando os problemas de tensões
térmicas nas paredes do reservatório.
Observa-se, apôs dez horas de resfriamento,
que a estratificação térmica do fluido está prestes a desapar~
cer, ao mesmo tempo em que a temperatura da parede está próxi
ma a temperatura do fluido.
E apresentado na figura (V-15), o estudo da
influência do Número de Nusselt equivalente (Nu ), no resfria eq
menta do fluido térmico, sendo que:
1) Para Nu nulo, ocorreu efeito capacitivo e a perda de calor eq
foi praticamente desprezível.
2) Para alto valor de Nusselt equivalente (Nu eq
= 20 O) , obser
vou-se um elevado gradiente de temperatura entre o fluido
térmico e a parede interna, o que acelerou as perdas de ca-
lor para o ambiente.
3) Para Nu = 43,3, representou-se as características do reeq
servatôrio experimental, revelando-se este numa situação in
termediária superior.
Na figura (V-16), sao apresentados os perfis
de eficiência térmica pela Primeira e Segunda Lei da Termodinâ
mica para o fluido estratificado e homogêneo no interior dor~
serva tôr io, observando-se que a pouca estratificação do fluido,
71
.H{m)
6 !
5
I t= 6 h
/ Nu 00 • 200
4 / /
/ / 3
2 / / / /
315 320 325 330 335 330 345 350 T(•d
Figura V-15 - Influência do Nueq nos perfis de temperatura do fluido • do parede
e{%)
96
92
interno do tanque 1 no resfriamento.
Perfil inicial~ Perfil experimental ! Tfluido '= Tporede
Solução numérico
Tporede: Solução numérica
Nueq= 4313 : eorocter1stieos do tanque ensaiado experimentalmente
-...._ . .._:rimeira L\_e, da
'-:: ·-" ·-. Segunda Lei d~ -.::::.:
Termodinâmico
--Termodinâmico --. .._., -. -...;;:: ----
""'..;:: ·-·-•e+.-~~-..--~-~--~-~-~-~~-..---.------
o
Figuro V-16 -
2 3 4 6 7 • 9 Kl
Eficiência térmico do tanque experimental para o fluido
estratificado e homogineo termicomente. no resfriamento_
fhomogineo': 6 estrotificodo
E.estratificado
t -homogeneo
t(h 1
72
levou a uma diferença desprezível entre as eficiências pela
Segunda Lei da Termodinâmica, para o fluido estratificado e ho
mogeneo.
A figura (V-17), apresenta os perfis da efi
ciência térmica tanto pela Primeira como pela Segunda Lei da
Termodinâmica, em função das características físicas e geome
tricas do sistema de estocagem (Nu ), após seis horas deres-eq friamento.
Observa-se que, para um dado intervalo de
tempo de resfriamento, as eficiências diminuem para um aumento
do Número de Nusselt equivalente. Isto é devido ao fato que as
perdas de calor aumentam com o aumento de Nu e portanto, o eq
reservatório se resfria mais rapidamente com o tempo, para uma
mesma condição inicial.
'ºº
90 · ~ - . _ . - Prime,ro lei do termodin\_éimico
----- ·--·--·--...,; -....;: . -- . ----a: . ao -.;;;:: -..;;: ~ -- . -
--= ·-segundo lei da termodinâmico -._ -= · -70
60
so o IOO 200 500 400
Figura V-17 - Influência do Nueq na eficiência térmico do tanque. após seis horas de res_
friomento.
8 homogêneo; é-estratificado
E.estratificado
6 homogêneo
73
CAPITULO VI - CONCLUS0ES
VI..1 - Val{dade do modela e da~ me.;tada~ de ~aluç.ãa u;t{l{zada~
Os resultados obtidos e expostos no capítulo
anterior mostraram que, de um modo geral, o modelo proposto
podE simular as condições de estocagem por estratificação em
vaso, dentro de limitações que ocriío discutida~ mais adiante,
mas também, engloba todos os demais modelos da literatura, ge
neralizando o problema da armazenagem de energia por calor sen
sível a estratificação de um fluido de trabalho.
As soluções analíticas desenvolvidas para as
operaçoes de carga e descarga, apresentam hipóteses mais res
tritivas. Os resultados obtidos, concordam com os de Cabelli 4
e são mais gerais do que aqueles. Estes resultados tem a gran
de utilidade de, devido às disparidades com os dados experime~
tais, mostrar a importância das hipóteses e condições de con
torno, na modelagem do problema físico.
Para a operação de resfriamento, nao se pro
curou desenvolver uma solução analítica com hipóteses restrit!
vas, como por exemplo, temperatura constante nas paredes, pois
tais hipóteses, uma vez que os fenômenos de perdas de calor
pelas paredes e consequente desenvolvimento de convecção livre
interna tornam-se muito importantes, e levariam a um afastamen
to ainda maior da realidade.
VI. Z - L{m{;taç.Õ e~ da ma dela
Tanto ao se procurar formular as hipóteses,
quanto ao se buscar solução para um modelo proposto, incorre-se
74
em simplificaçôes que iria naturalmente concorrer para um dis
tânciamento de suas soluçôes com aquelas de resultados experi
mentais,
Dessa forma, ao se utilizar para a operaçao
de resfriamento natural a correlaçio equação (III-9), se.é abri
gado a trazer para o modelo a restrição que o nGmero deGrashof
sera maior do que 109
, ou seja, deve-se garantir valores ade
quadamente altos para o coeficiente da película na parede 1n
terna do reservatório. Já para as operaçôes de carga e descar
ga, a correlaçio empírica, equação (III-8), limita o modelo a
que o escoamento no interior do reservatório, apresente um nu
mero de Reynolds entre 10 4 e 105 , o que implica num regime la
minar próximo da transição. Um dos significados mais,importantes
dessa restriçio é que as turbulências que se desenvolvem nas
entradas e saídas do reservatório, devem ser o mais rápida e
eficientemente dissipadas. Este fato revela o enorme papel de-
sempenhado pelos difusores num processo de
estratificaçio.
armazenagem por
No modelo proposto, a parede metálica do ta~_
que foi considerada de espessura desprezível. Essa simplicaçio
implica em que o tanque a que o modelo se refere, nio trabalha
com fluido altamente pressurizado. Sob essas novas condiçôes,
que obrigariam ao aumento da espessura da parede metálica, não
apenas o gradiente de temperatura entre o fluido e o isolante
se torna um parâmetro importante, mas também ocorre o fenômeno,
já descrito em capítulo anterior, de que as camadas quente e
fria do fluido no interior do reservatório, seriam como que
curto-circuitadas pelo fluxo de calor axial na parede do tan
que, o chamado efeito capacitivo, efeito de curto nio desejado
75
quando se utilizara estratificação térmica.
VI. 3 - Re..óul.tado.t, e. e.x..te.n.óÕe..ó -<.me.d-<.a.ta.ó
Em qualquer regime de operaçao, seja carga,,
descarga ou resfriamento, o aparecimento de tensões térmicas é
inevitável, tanto na direção radial, pela aplicação de materi-
ais diferenciados nas paredes, como na direção axial, devido
ao violento gradiente de temperatura que se estabelece entre o
topo e o fundo do reservatório.
Assim os perfis de temperatura apresentados
pelo modelo nao só revelam que as tensões térmicas obrigam a
um projeto do tanque de armazenamento mais cuidadoso do que se
poderia imaginar, mas também representam dados indispensáveis
ã própria determinação dos parâmetros estruturais de projeto.
Esses mesmos perfis podem, corno já referido
anteriormente, ser utilizados para a verificação da eficiência
dos difusores empregados num projeto real, urna vez que o mode
lo é capaz de fornecer as curvas limite de estratificação para
difusores idealmente eficientes tanto na entrada corno na saida.
Por outro lado, se um dos objetivos princip~
1s da armazenagem e o de manter um alto nível de temperatura
no topo do tanque pelo maior tempo possível, então poder-se-ia
lançar mão do efeito capacitivo que ocorre para Nu suficieneq
temente baixos, usando-se espessuras diferenciadas do isolante
na região do topo e no fundo do tanque.
76
VI.4 - Re.óul.ta.do.ó e ex.ten.óÕe.ó 6u.tuJr.a.ó
Do que foi exposto anteriormente, pode-se cl~
ramente perceber que existem inúmeras possibilidades de desen
volvimento de aspectos que o modelo, tal como proposto, ou nao
consegue atingir ou deixa apenas entrever.
Evidentemente, a maior parte desses aspectos
corresponde ã eliminação de uma ou mais restrições que formam
o corpo de hipóteses sob o qual o modelo está subjacente.
Por exemplo, ao eliminar-se as hipóteses de
escoamento unidimensional, e parâmetros do fluido constantes,
abre-se todo um campo para se introduzir fenômenos atê agora
não tratados, como a presença e o efeito real dos difusores no
comportamento da estratificação, e os efeitos provocados pela
variação da densidade do fluido no interior do tanque.
Por outro lado, mesmo com a formulação atual,
existem aspectos que possibilitam um estudo mais detalhado co
mo a obtenção de um projeto Ótimo de um tanque de estocagem
sob critérios econômicos, utilizando-se as curvas de eficiên
cia termodinâmica, ou a pesquisa sistemática de fluidos de tra
balho com parâmetros mais adequados e de menor custo.
Além disso, toda a importância do modelo se
revela ao introduzi-lo na simulação de todo o ciclo energético.,
por exemplo do coletor a um sistema de conversao termo~-'~J.ê:tri
co, obtendo-se aí então dados e resultados mais confiáveis co
mo base para anteprojetos de grande envergadura.
77
APtNDICE A
O sistema de equaçoes (III-1) a (III-5),
sera adimensionalizado, a partir das seguintes variáveis adi
mensionais:
a t T = ~
X X = H
o que resulta,
P e p
a
H u = a
u
- P e a p H
e T-T __ oo
li T o
u~~H ax
4h LIT o D
(e - 8')
O < X < 1 T > Ü A-1
LIT '6' 'C' o º -p ---p Hz dT
(8 - 8') . 4 LiT e'
(D2-D2) ln (D /D) 1 e (---e- + --)
2 K' D h a
e ""
O < X < 1 T > Ü A-2
Apôs algumas simplificações as equaçoes (A~l)
e (A-2), ficam reduzidas a:
a8 dT
a8' dT
- u ª8 - 4B Nu (8 ax
8')
+ ç C Nu (8 - 8') - ç F Nu e' eq
A-3
A-4
78
Enquanto as condições de contorno e inicial,
(equações (III-3) a (III-5), tornam-se:
aec x,, l = ae•c x,, l = 0 X o ax ax
38( X,,)= 38'( X,,)= O X = 1 ax ax
e e x,o l = e·c x,o l
onde:
B H/D
e = 4DH/ (D 2 - D2) e
F = SH
K = K/(D 2 - Dz) eq e
Nu = hH/K
= 8 ( X,O ) o
T > Ü
T > Ü
O < X < 1
Nu eq = K H/(K(ln(D /D) eq e + ZK'/(D h )) e ""
w = K/K'
E; P e /(p' p
C') p
A-5
A-6
A-7
79
APtNDICE B
Metada ImplZeito de C~rrnR-Nieol6on
Este método elimina a restrição de estabili
dade e melhora a precisão da aproximação, devido ao uso de si
metria na construção da equação diferença, levando a um erro
de truncamento de segunda ordem ao passo que a aproximação pe-
la diferença avançada ou atrasada implica num erro de
menta de primeira ordem.
trunca
Considere a seguinte geometria, figura (B-1),
a qual possui um centro de simetria no ponto A(x,t-K/2), que
não constitui um ponto da grade.
1 1
C(x,t•tO (x•h,t+K) --------li,--------''4--------><
• •
K (1-h, t • 1(/2} A(x, t+K/2) (1t+h, t +K/2)
h-11,t) • e 11.,tl (a +ti ,t) X
Figura ( B-1) Geometria da grade
As equaçoes diferença a partir da geometria
acima, com simetria no ponto A, para a variável
T(x,t), são obtidas como:
temperatura
80
aTI = T( x,t+K) - T( x,t ) ~,A K
aT T( x+h,t+K) - T( x-h,t+K)
ílx e
íl T 1
ax B
= Zh
= T( x+h,t) - T( x-h,t)
Zh
T( x~h,t) - ZT( x,t) + T( x+h,t) h2
= T( x-h,t+K) - ZT( x,t+K) + T( x+h,t+K)
h2
Tomando-se as derivadas da variável no ponto
A, como a média aritmética das derivadas nos pontos B e C, po
de-se escrever:
ílT = 1 ( aT i + ílT )
ílx A 2 axlB ílx e
ql ílx A
1 e 2
)
e
Além disso, o valor da variável no ponto "A"
sera tomado como:
81
APt'.NDICE C
O sistema de equaçoes (III-15), (III-16) e
(III-21) a (III-24) é apresentado a seguir segundo a sequência
de distribuição dos pontos mostrados na figura (III-2).
F lu..í. do
topo do tanque
+8' )=O i+N ,M p
interior do tanque
fundo do tanque
+8'.NM)=O 1+ , p
Panede
topo do tanque
1 = 1
i
Z<i<N -1 p
1 = N p
N + 1 p
e e' + e e' + e e' e (8 9 i,M+l 10 i,M 11 i+l,M + 12 i-N M+l + p'
C-1
C-2
C-3
+ e i-N M ) = O p'
interior do tanque
82
N + 2 < i < ZN - 1 p p
+ 8i-l M + 8i+l M)+ cl2 (ei-N M+l + 8 i-N M) ' ' p' p'
fundo do tanque na parede
onde:
c1
= 1
+ z B Nu /n
l 2N p
1 2 + -:-7 + 2 B Nu
/'n /'ix
C-4
o C-5
C-6
2 !':,x2
- 2 B Nu l + l + 2 B Nu !':,xz
C6
- - 1 + 2 B Nu + l
/':,T /':,Xz
1 21':,Xz
u + --
41':,X
1 21':,Xz
u 41':,X
+ i;C Nu + F i; Nu 2 2 eq
l + §_ - 2- + .f.Ç_ Nu + Fi; Nu /':,T W !':,X 2 2 2 eq
res,
= - E;C Nu 2
1
{',T
83
+ ~ Nu + FE; Nu 2 2 eq
+ ~ Nu + FE; Nu 2 2 eq
Obtem-se um sistema de 2N equaçoes p linea-
representadas pelas equações (c-1) a (c-6), a 2N temper~ p
turas desconhecidas,
i = 1,2,3, ... N p
M > O
i = N +l,N +2, ... 2N p p p
as quais podem ser denominadas por:
X. l
i=l,2,3 ... 2N p
São conhecidas as temperaturas,
i
e! M l,
l
1,2,3 ... N p
1,2,3 ... N p
M > O
M > O
M > O
As constantes C. l
i = 1,2,3 ... n, bem co-
mo o produto destas pelas temperaturas conhecidas, serão deno
minadas pelas novas constantes:
a .. l = 1 , 2 , 3 ... n,n+l lJ
J = 1, 2, 3 N p
84
Substituindo-se as variáveis X. e as constanl
tes a .. nas equações (C-1) a (C-6), obtem-se o sistema de equ'.: lJ ções lineares na seguinte forma geral:
a 2n 1
p
X 1
+ a X 2N 2 2
p
a ZN n
p
= a 2 n +l
X 2N
p
= a 2N n+l
p
C-7
A solução de um sistema de equaçoes lineares
como (C-7) obtido pelo método iterativo de Gauss-Seidel, e en-8 centrada em Carnahan. O diagrama de blocos e a listagem do
programa correspondente são apresentados a seguir.
85
FLUXOGRAMA
T01 , T0 2 · · · T0 2 NP
T2 N , H , O , K', C~., ~·
r- , O • e , u, mt , to I t1 1 Xo , xf
T(O,O), T(H,O),n, kmox i E
C1,C2,. Cl5
i • ,,1., , u , Ke q • 'l"o, 'T"f , S,, w,
Re, Pr, 6 f" 1 B, C, Nueq NU ,
' ' Xo,Xf, 6X, m,
M', d'I, ,nn, 's k .cp, )J,D•
r-- --------------,
o o li 12
14-------1 xoi • xi i: 1,2 ... m
1 --, o o
n n-1 , n n
"-~~i: 2,3 ... n-1
ª i i- t
'>---O .. 1 •• 1 o
nm o
a n•I
ªn• I
r 1 1
r 1
n• J - 1 ,
n•ht
o o n• I "" n.i
a n, I m,1
a o m m-1 m m
a a m n m m,1
i e 2,5 ... n-1
1 _ _J
o
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n,,
n• I 1
n m• I
a n,2 n•• n• 2
a . ntl m• 1
1---k ~ = 1 ,2 ... kmax ">---..i IN o .__ 1 f--~ i r 1,2 ... m
' __ _J 1 ___ _J
F (4.1--IINO - O 14---1 f x": X. f ,(_ E
'
F
V INO ~
1 L_ - - - - - - - - _...J
NÃO CONVERGE
K , X1 , X 2.. X m
K , M
TI ' T2
86
( G ~ "I L L r A 'l • l, t. " I ['-! F '.H r 'i ~ ',; F I' ·d R A ·, J ~ r A e,·,~, ·11r11 AC!<1,.1,1J,x<soi.,.rr·•A\,tt'~ t-<EAI. "{f. .. "í I, MI, ~~1, 'lu(•.;.~!{,. ~"'t~,.'\Ju cr n-,;, , · ,, r v u ,1 i • , e e 3 o > , q ( 3 o J • r ( 3 o J t· l A') ( 3, / ) u I T '1 r,,:, .. t. ~ ~ .,fAJ<'j,/} lfv<IJ,I=l,Z•NJ Sf A J ( 5, /l ( f r < í l • I = 1, 2 • '·1 J .-<lA.;< )./} d,..:•t.• JI.f.I,CPI, í~~.Ht fAt tr F;.. ,~ l j, / ) j Cl , ..., T,. T t T '\ tJ , 1 t- f r~ i-J • X 1) ü, X O t>
~ EA l l 'i, / l f F ,, '.) , f F 4 11
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87
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2 J5 í<I· 1 ,J ,'J t. ~:,
89
APÊNDICE D
O sistema de equaçoes (III-27) a (III-32) e
apresentado a seguir segundo a sequência de distribuição dos
pontos mostrados na figura (III-2).
F .e.u{do
topo do tanque
6 i+N ,M+l p
i = 1
- 6 i +N M ) 4 / 3 = O p'
interior do tanque 2 < i < N - 1 p
+ 6 i+l,M)
e' )4/3=0 i+N ,M
p
fundo do tanque
- 6 i+N ,M+l p
i = N p
-e' )4/3=0 i+N ,M
p
D-1
D-2
D-3
90
Pa.11.ede
topo do tanque
e e , e.' )4/3=º + i- Np , M - i , M + 1 - i , M -
interior do tanque
fundo do tanque l
N + 2 < i < p
ZN p
o
8 i-N ,M+l + 8 i-N M p p'
D-4
D-5
f'=D e• +D e• +D e• +D ce + f 8 i,M+l 9 i,M 10 i-1,M 11 i-N ,M+l
onde:
+ ei-N M - ei M+l - e: ) 4/3 = o p, , 1,M
1 1 + ---:-:7
li T llX
1 +
li T
2
llX 2
p
D-6
ol z4/ 3 '
DS = ln
1 + FE; Nu 2 eq
+ E;F Nu
91
02
24/3
2 eq
1 E;F + - Nu
2 eq
Seguindo-se a mesma sequência apresentada no
Apêndice (C), ou seja:
-Tomando o sistema constituído pelas 2N equaçoes nao p
(D-1) a (D-6), a 2Np temperaturas desconhecidas
lineares
( ei,M+l e
ei,M+l) denominadas por Xi;
e e'. M) as constantes D. e l, 1 1
as temperaturas conhecidas ( ei,M
o produto destas pelas temperatu-
ras conhecidas como sendo
forma:
f e X , X , X 1 1 2 2N
f e X X X 2 1 ' 2 ' 2N
p
p
a., l
)
)
=
=
f ( X ,X , ZN 1 2
X ) 2N
p p
obtem-se o sistema .na seguinte
o
o D-7
o
A solução do sistema de equaçoes nao lineares
como (D-7), obtido pelo método iterativo de Newton-Raphson, e
encontrado em Carnahan8 . O diagrama de blocos e a listagem do
programa correspondente são apresentados a seguir.
92
FLUXOGRAMA DO PANORAMA
1Tmox. iprint, n, f1
, 62
,
T02, T02 . . T02n alt ,
1, , T 2 ••• T2n C p , H
O , S K , E , '3 , \\"', c'p , T ~ , g ,
h 1 ~ • Ll. • m • to • tf •o • xf , T(.O,O), T( H,O)
Fun~ão SIMUL
Resolve o sistema <le n2 Subrotina
PRINCIPAL
.l. 6T , J , oe, Keq, ~,e, w. Nu
G r0 ,Pr, Re, '\"o,~ , 4 f' 1 Xo ,Xf
AX""',B,Kr,Krr, N2
X01, X02, .•. ·xoN2
XI • X2 ... XN2
c1, c2, ... c,4
C4LCN
~---, equações lineares incremento J;k ,
poro ºto----l calculo os elemen·to1 rÍ21<. de motriz A.
K= 1,2, ... ITmax.>---_,
dnk • o determinante d.
~-------- al!ATR I Z INCONOICIIQN.Ol!----f
V
F d = o
i = 1,2, ... n2
X -x i, kt l i k ik
)4-----i CONV . ._ 1
F
iJ. 1 ( ~2 ,__•__.. CONV-0
'" v,... ______ _
CONVERGE
K, d , n2
X l,K• 1
X º2 k .. 1
CONV +- O 1----.iNÃO CONVERGE
1
1
L
L ___ -1
>--..... FIM
1 1 1
__ _J
a
a
a
93
SUBROTINA CALC N
Argumentos ( A , X , N )
0 , , 0 12
a a 1 n• 1 ln2•1
1 L __ _
-a n• i n• i -1 n• i n•i
n+i n• i+ 1 a
n + i
n+i n2+1
2,3 ... n- 1
a n+I n•I
a
"' 1 1
---, 1
1
1
2
a
ºi i-1 CI i it l
nt-1 n+2
a i n1o1
a
a
a
a
n n2
1 _ _J
n n n n2+ 1
a a n2 n2-1 n2 n2
a a n2 n n2 n2+1
FIM RETORNA '4----'
94
FLUXOGRAMA DA FUNÇÃO SIMUL
Argumento,
m-n+'
- ---,
j: 1,2,>-t---<'= 1,2,>-..... --1 ... , n
, _____ -------~-, ' 1
' J
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96
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9 ( 1.$ f I l = r 11- ( v ( li q - 1 l + C 12 • X V (t, + I l + fl 1 • XJ < 'l + I + l l
I =' Cf4(IJ=iVCil ( f 2 l l l = X \/ f I l • X v ( 'J • ! l CT;<Il=(l,-,l~l•XV(~+Il cr 11 1r111=1,r1-..~< CALL C\l.Cf'..t A,X,'.J OU t ,( = - I ~ UI_ ( ~ , XI '4 r , ., ê , L PS 1 , I N rJ I C t l lfl 1;tf;_l.'sc.,U,) ..,[I íL 11 •KIHCo,lOJ
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99
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!: I ... J L.:: q F f l 1!
n(f\d·i , ci J
100
APtNDICE E
Para a adimensionalização do sistema de equ~
çoes (III-33) a (III-39), serão utilizados os seguintes param~
tros:
X X = '[ = H u = u
H
e ( x,t) T( x,t) - Tmin T - Tmin
T - T . max m1n LI T
A substituição dos parâmetros apresentados a
cima, no sistema de equaçoes (III-33) a (III-39), resulta:
P e LIT a e P H2 3,
D +
4h
se:
Dz
38
OT
LI T
ln
e (De/D)
+ SK'
a - P e
p H
D2
4Dehoo
LITU ae -- -- -H ax
( T min D D2 ln
+ 4h
- T ) 00
E-1 (De/D)
+ DZ
SK' 4D h00 e
Uma vez simplificada, a equaçao (E-1) torna-
_ u ae ax
'Y e - <P o o E-2
101
Sujeita as seguintes condições de contorno e
inicial:
A) Ca.Jtga.
ec X,T) = 1
lime ( X,T) = o X+-oo
e(X,O)=O
B) Vu, ea.Jtg a.
8(X,T)=O
lime( X,T ) 1
X + + oo
e(X,O)=l
sendo:
X = X o
T > Ü
X > O
X = X o
T > Ü
X > O
T > Ü
T > Ü
<I> = ljl (T . - T00 ) / (T - T . ) o o min max min
E-3
E-4
E-5
E-6
E-7
E-8
102
APfNDICE F
A operaçao de carga e representada pelo sistema
de equaçoes (III-40) a (III-43), ou equações (F+l) a (F-4) aba~
xo, que será resolvido pelo método da Transformada de Laplace.
ae a2e !ui ae '!' e ~o o < X < 1 > o F-1 = ax 2 + - T
dT ax o
e e X, T ) = 1 X = X T > o F- 2 o
lim e e X,T ) = o T > o F-3 X + - 00
e e x,o ) = o X > o F-4
A geometria considerada no problema dado pelo
sistema de equações dimensionais (III-33) a (III-36) ou sistema
de equaçoes adimensionais (F-1) a (F-4), é representada na fig~
ra (F-1).
De
D
1
1
1
H Fluido
1
• --
1 -L=-- Isolante
f" o
Figura ( F -1 ) - Geometria da Problema
103
Fazendo-se uma mudança da variável dependente
( X ) p· . d 12 e . ,T , 1gue1re o , para:
e( X,T) = V( X,T) eµX+\T F-5
Comµ e À a serem determinados e, substituindo
se a nova variável na equação (F-5) e suas derivadas na equa
çao (F-1), obtem-se:
µX+ÀT µX+ÀT ( 2 + IU I µ-, -'" ) + µX+ÀT ( z v XX e + ve µ " r O
v X e µ +
+ 1 U 1 ) - V e µX+ À T - </i = 0 T O
(F-6):
Pela escolha adequada deµ e À,
µ = - IUl/2 e À - -u2 + 4'f
o
4
A equaçao (F-1) fica reduzida a:
F-6
na equaçao
F-7
Sujeita as seguintes condições de contorno e~-
nicial:
v( X, T ) = e -µX-ÀT X
1 im V ( X, T ) = 0
X-+-oo
v( X, O ) = O
T > Ü
X > O
T > Ü F-8
F-9
F-10
104
A aplicação da Transformada de Laplace no sis
tema de equações (F-7) a (F-10), produz:
V ) - ~ e-µX i( e-ÀT) = o T O
Ou seja:
~o - ( p S - v( X,O )) -
-µX e
p + À o
F-11
:f-::12
Pela condição inicial, equaçao (F-10), tem-se:
- p s
-µX s e
p+À
p + À
Sujeita as condições de contorno:
X X o t > o
F-13
F-14
lim s o T > 0 F-15
X + - 00
O sistema de equaçoes (F-13) a (F-15), e cons-
tituido pela equaçao
1 - _ - 13 -uçao, Kreyszig , e
diferencial não homogênea (F-13), cuja so
apresentada a seguir:
Solução da equaçao geral (S~) = Solução da equaçao
(Sh) + Solução da equação particular (Sp)
homogênea
F-16
s p
105
Solução da Homogênea:
+ B e -lpX
Solução da Particular:
e e-µX
F-17
F-18
Pela substituição da equaçao (F-18) e de suas
derivadas na equaçao (F-13), tem-se:
Ou
e =
s p
cp o
e p+À J e 2 µ -p)
2 e P + À J e 11 -p J -µX
e F-19
Com as equaçoes (F-17) e (F-18), substituídas
em (F-16), obtem-se:
+ -/pX
B e
-µX rpo e
+ ------~z--C p+À J C µ -p )
F-20
As constantes A e B, sao determinadas a partir
das condiç6es de contorno, equaç6es (F-14) e (F-15).
Para que seja satisfeita a equação (F-15):
B = O
106
Substituindo-se o valor de B e a equaçao (F-14)
em (F-20), calcula-se:
(-v'pX -µX ) (-µX -lpX ) q,
0 e O 0
A=e o º+------~-p + À e p+À ) e p-µ )
Com os valores de A e B, substituídos na equa-
çao (F-20), a solução geral do sistema de equações (F-13) a
(F-15), se torna:
(- ~Xo) - ( X -X ) lp) c-L!:!Jx )- e X -X ) lp ) o e 2 ° o
SG = e u2 + 4
p -4
u2 + 4 11' e P -
4
'l'o +
<P o
u + 4 11' e P - ) e p -
4
) e P - u ) 4
Aplicando-se a Transformada Inversa
termo da equação (F-21), tem-se:
1. PoJt de6,úi-<.ção
v( X, T )
u2 -) 4
F-21
em, cada
14 2. Da tabela de T1tan~601tmada Inve1t~a, CaJtlaw :
MX - (X - X)/p 2 o o
e -=---------- ) = uz + 4 11'
e P - ) 4
10 7
X -X X -X erfc( o - e rc ) + exp (( X -X ) cl ) erfc e o + c
1/i ) ) )
2 rc 1 o zrc
cJ.filX + e 2 °
(X-X ) IP) o q, o i-1 1 2 e
uz ) q,
0 exp( c 2 X ) ( eXp ( C
1 T )
u +4'1'o o 2 e P - ) ( p -4
((X-X0
) c1
) e----~~-- erfc (
e - c2 1 2
exp
X -X erfc ( o
+ c 1 iT l l + Zn
X -X 2 o erfc e -- - c2n )
zrc
) 4
X -X o
zrc
q, uz o
exp (X0
-X ) c1 - e
1 iT ) + ---..,-----
-c z - c1
exp ( (X -X) o c4 + C5-r )
4 ( u4 uz + 4 'I' o )
16
)
4
-'!' o
Substituindo-se, a variável v( X,T) na equa
ç~o (F-5), obtern-se a soluçio do sistema de equações (F-1) a
(F-4), corno:
8( X,-r) = 0,5( exp(( X-X0
)( c1-c
2 )) erfc (( X
0-X )/( 2/T) -
108
Onde:
c1 ./ ( uZ + 4 'l' ) J 4 o
Cz = [U[/2
c3 4c/l u 2 / ( u4 2 16'!' ) - 4U -o o
C4 = 1 u [ /2 u2/4
cs = U4/16 - ( Uz+ 4'!' )/4 o
109
APtNDICE G
A operaçao de descarga e representada pelo
sistema de equações (III-40) e (III-44) a (III-46) ou equações
(G-1) a (G-4) abaixo:
08 a28 [u[ 08
'l' 8 - <P o = ;? -a, ax o
o < X < 1 '[ > o G-1
8 e X ) = o X X '[ > o ~-' T o G-2
lim 8( :X, '[ ) = 1 '[ > o G-3 X + + 00
8(X,O)=l X > O G-4
A geometria considerada no problema dado pelo
sistema de equações dimensionais (III-33) e (III-37) a (III-39)
ou sistema de equações adimensionais (G-1) a (G-4) é represe~
tada na figura (F-1), (Apêndice F).
A solução do sistema acima, será obtida se
guindo-se a mesma sequência de desenvolvimento e dos métodos
aplicados na solução do sistema de equações (III-40) e (III-43),
que representa a operação da carga (Apêndice F), ou seja:
Mudança da variável 8( X,,), Figueiredo 12
para:
8( X,,) = v( X,,) eµX+À, G-5
µ 1u 1 /2
equaçao:
v( X,T ) = o
lim v( X,T ) o X + + 00
v( x,o ) e -µX
11 O
Com uma escolha adequada deµ e À:
e À
u2 + 4'l'
o
4
E substituindo-se a nova variável, obtem-se a
-µX-ÀT o <j, e = o G-6
Sujeita as condições de contorno e inicial:
X = X T > o G-7 o
T > o G-8
X > o G-9
Aplicando-se o m~todo da Transformada de La
place ao sistema de equações (G-6) a (G-9), obtem-se:
- e p s + v( x,o )) --µX
<j,o e o G-10
Pela condição inicial equaçao (G-9), tem-se:
- p s - e -µX G-11
Sujeita as condições de contorno:
s o G-12
lim S o X > O G-13 X -+ + oo
111
Solução do sistema de equaçoes (G-11) a (G-13):
Solução da equaçao geral (SG) = Solução da equaçao homogênea
(Sh) + Solução da equação particular (Sp)
Solução da Homogênea:
A lpX B -/px e + e
S = C e-µX p
Solução da Particular:
G-14
G-15
G-16
Substituindo-se a equaçao (G-16) e suas deri
vadas na equaçao (G-11) obtem-se:
e q, o
( p+À ) ( p-µ )
Ou:
( -( p+À ) ( p-µ
+ 1
) p + )J
-µX ) e G-17
A substituição das equaçoes (G-15) e (G-17) em
(G-14) resulta:
q, e-µX S - A /px B -lpX -º------G - e + e -
( p+À ) ( p-µ ) +
-µX e
2 p - )J
G-18
As constantes A e B sao obtidas a partir das
equaçoes (G-12) e (G-13).
Para que seja satisfeita a equaçao (G-13):
A = O
112
Pela substituição da equaçao (G-12) em (G-18),
obtem-se:
e(-µXo + lpxo) + B - -
p - ]J e p+À ic p- 11 i
Substituindo-se os valores de A e B na equa
ção (G-18), a solução geral torna-se:
(-µX ( X-X ) ip) cp e:(-µXo - e X-X ) rp :) - o SG
e, o o o = - + p - ]J e p+À ) e p - ]J )
<P o -µX -µX e e
G-19 2 + e p+À l e p-µ ) p - ]J
Onde:
u2 + 4'1' l.!!l À = o = e ]J
4 2
Aplicando-se a Transformada Inversa de Lapla-
14 ce, a partir das tabelas apresentadas por Carslaw e Kreys-
zig13, aos membros da equação (G-19) e substituindo-se o resul
tado na equação (G-5), obtem-se finalmente:
ec X,T ) = - 0,5 ( exp( -'!' T ) erfc (( X-X )/( 2/i'") -o o
( 2 fi'" ) + C z fi'" ) ) + e Xp ( - '!' T ) + 2 q, / ( U 2 + 2 '!' ) -o o o
-X o
113
Onde:
c1 = luz+ 4 'l' o )/4
Cz JUJ/2
C4 = JUJ/2 - u2/4
c6 = ( uz + 4'l' ) /2 o
c7 4 uz; C 2 'l' ) -3U - o
cs - - 3U2/16 + '!' o
114
APENDICE H
Deseja-se provar que:
E E -estratificado> homogeneo
JH ( ( T ( x, t ) - T . ) - T ln ( T ( X, t ) / T . ) ) dx o min o min
> H (( T - T ) - T ln ( T / T. ) max min o max min
l H (.!. H ) - J T( x,t) dx - T. - T ln H
0! T( x,t) dx/T. H o min o min
Simplificando resulta:
1 0
JH ln T( x,t) dx < ln 1 0
JH T( x,t) dx H H
1
U,x. l
Ou:
1
E6x. l
1
E6x. 1
Em termos de Somatórios:
E ( ln T. ( t )) 6x. < ln l l
ln IT ( T. ( t )) 6xi < ln 1
1
E6x. l
1
E6x. l
1
E T. 1
e t ) 6x. 1
E T. ( t ) 6x. 1 l
E T. l
e t ) 6x. 1
H-1
H-2
115
E também:
1 t;x. l:l';x.
1 ln e rr e T. e t ) ) l ) l < .e.n ,: T. e t ) t;x.
l l:l';x. l l
l
Ou seja:
J] e e
Ou:
Onde:
1 l';x. ,: t;x.
1 T. e t ) ) l ) l < ,: T. e t ) /';X. l l:/';x. l l
l
Admitindo-se /';x. = constante l
/';X
,: t;x t;x
e rr T. e t ) ) < ,: T. e t ) l ,: /';x l
e n J]
i=l T. ( t
l
n ,:
i=l T. ( t )
l
H Altura do reservatório.
H-3
= t;x
H-4
n Número de intervalos, distribuídos ao longo da altura
do tanque.
l';x: Espaçamento entre os pontos.
e
1
n rr T. ( t
i=l l
n ,: T. ( t )
l n i=l
Média geométrica das temperaturas.
Média aritmética das temperaturas.
116
Portanto,deve-se provar que a média geométri
ca e sempre menor do que a média aritmética para qualquer n>O.
A inequação (H-4), foi verificada por KOROV
KIN15, pelo método da Indução Finita. Tentar-se-á uma demons
tração alternativa por Máximos e Mínimos, a seguir:
Dividindo-se ambos os membros da
(H-4) pela expressão l:Tj(t), j = 1, 2, 3, ... M:
1 ( IT T.( t )l/n < l ~-1~~ E T. ( t) 1 nET.(t) 1 l:T. ( t )
J
E definindo-se:
T. ( t ) l
l:T. ( t ) J
r. e t ) l
Obtem-se:
Mas:
n n ( IT y. ( t ))l/n < l E
1 1 n 1
n Eyi(t)=l 1
J
Y. e t ) l
Portanto, deve ser demonstrado que:
n e rr y.( t ))1/n < 1
1 1 n
Seja achar o extremo da função:
inequação
H-5
H-6
117
F ( y. ' Yz' ••• y ) 1 n
n ( II y.( t ))1/n
l l
Sujeito a:
n Eyi(t) 1 1
Considere-se:
Y e t ) n 1 -n-1
E 1
Y. e t ) l
Substituindo-se na equaçao (H-7):
e n-1
II 1
y.(t)(l-l
n-1 E 1
Portanto:
oG ay. e t )
l
n-1
=( II y.(t))(lj f i J
n-1 E 1
y.(t))+ l
y.( t )))1/n l
+( II yi(t))(-1)=0 1
( i = 1, 2, 3, ... n-1 )
Ou seja:
( II j;li
y.(t))(lJ
n-1 E 1
y.(t))=( l
Donde obtem-se que:
1 -n-1
E 1
y.( t) = l
y. ( t ) l
( l =
n-1 II 1
y.(t)) l
1, 2, 3, ... n-1 )
H-7
H-8
118
Logo, pela relação (H-8):
Y e t ) = Y . e t ) ,J./-,. n i i
Ou seja:
E também, por (H-5):
Substituindo-se y. l
lt/,. l
na equaçao (H-7):
e n rr Y· ( t ))1/n = 1 1 1 n
•
Admitindo-se que o extremo determinado e um
maximo, conclui-se que a média geométrica sô será igual a me
dia aritmética quando todos os T.( t) forem iguais, Em qual-1
quer outro caso, a média geométrica será sempre menor.
Supondo-se que F( y1
, y2
, ••• yn) não possua
pontos de sela, pode-se demonstrar que o extremo é um máximo.,
na forma que se segue.
Seja:
1 ( a > O e a'fl)
na
E também que:
y. J
1 J = 3, 4, ... n
n
119
Para determinar o valor de y2
:
Donde:
= 1 -Yz
Substituindo-se
(
Ou seja:
E então:
1 Za-1 ---na na
1 n n
n 1 l: = 1 3 n
1 n-2 Za-1
na na n
os y. assim determinados l
n 1 ) 1/n < 1 ll 3 n n
a 2 - Za + 1 > O
Ou:
na inequação
2 (a-1) >O ( a > O e a -f 1 )
(H-6) :
Fica portanto demonstrado que, se nem todos
os y. ( t) sas iguais: l
( lly.( t ))1/n< 1 l
n
120
E, se nao houver pontos de sela, o extremo e
um máximo.
Por outro lado, quando n cresce indefinida
mente, a inequação (h-4) torna-se:
lim ( IT T.( t )l/n < lim ! I T. ( t) 1 n 1
n + "'
Ou seja:
lim ! .e.11 e rr r. e t l n
E ainda:
lim l I .C.11 T.( t) l n
n + "'
n + "'
) ) < ln 1
H
Que e a inequação (H-2) que se queria demonstrada.
121
NOMENCLATURA
A Área da seçao reta do tanque
B = H/D
B' - Trabalho disponível
C C' - Calor específico do fluido e do isolante a pressao p' p
constante respectivamente
Diâmetro interno e externo do reservatório respectiva
mente
E - Energia térmica conservada
Gr - Número de Grashof
g - Aceleração gravitacional
H - Altura do reservatório
h h - Coeficiente de transferência de calor entre a parede e , 00
i
K,K'
o fluido no interior do reservatório e entre a parede
e o meio ambiente, respectivamente
Índice de localização do ponto no reservatório
Condutividade térmica do fluido e do isolante, respec
tivamente
Keq - condutividade térmica equivalente
M - Número do intervalo de tempo discreto considerado
M' - Massa do fluido no interior do tanque
m - Fluxo de massa
Nu Número de Nusselt, devido a convecçao interna
122
Nu - Número de Nusselt equivalente eq
N - Número p de pontos do reservatório
Pr - Número de Prandtl
Re - Número de Reynolds
S - Entropia do fluido no interior do reservatório
s - entropia específica do fluido no interior do reservató-
rio
T - temperatura dimensional do fluido
T' - temperatura dimensional do isolante
T00
- temperatura do meio ambiente
6T - diferença inicial das temperaturas do fluido no topo e
no fundo do reservatório
t - tempo dimensional
U' - energia interna do fluido no interior do reservatório
u' - energia interna específica do fluido no interior do re
u
u
X
X
w
a' a'
s
serva tório
- velocidade dimensional
- velocidade adimensional
- coordenada dimensional
- coordenada adimensional
- K/K'
difusividade térmica do fluido e da parede, respectiv~
mente
coeficiente volumétrico de expansao térmica
T
e, e'
V
p,p'
123
- tempo adimensional
- temperaturas adimensionais do fluido e do isolante,
respectivamente
viscosidade cinemática
- viscosidade dinâmica
- massa específica do fluido e do material isolante, res-
pectivamente
eficiência térmica pela Primeira Lei da Termodinâmica
eficiência térmica pela Segunda Lei da Termodinâmica
o - sub-Índice relativo as condições iniciais.
124
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