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8/19/2019 La Estadistica en Educacion Secundaria

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LA ESTADISTICA EN EDUCACION

SECUNDARIA

INDICE

Estadística descriptiva 3

Análisis de datos 3

Tabla de frecuencias 4

Características de una muestra 6

Medidas de tendencia central 6

Medidas de dispersión 6

Teoría de probabilidades 7

Aplicaciones del método Montecarlo 4

El método Montecarlo en laEducación !ecundaria 6

"esarrollo de actividades de aprendi#a$e %&

!ituaciones de evaluación 3%


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Materiales de consulta 3'ESTADÍSTICADESCRIPTIVA

ANÁLISIS DE DATOS

Cuando aplicamos la estadística( )a sea en su parte descriptiva o inferencial( estaremosenfrentados a la obtención de mediciones de una o más variables procedentes de una población* A estas mediciones las llamamos datos( ) +eneralmente las clasificamos encuatro tipos, nominales, ordinales, de intervalo y porcentaje.

-os datos nominales son mediciones .ue simplemente clasifican las unidades de la población o muestra en cate+orías* Estos datos .ue también llamamos datoscate+óricos( son nombres o eti.uetas .ue identifican la cate+oría a la cual pertenecen*E$emplos de éstos son, la filiación política de los estudiantes de una facultad( el se/o de losm0sicos de una or.uesta( etcétera* 1bsérvese .ue en estos casos sólo e/iste lacate+ori#ación en unidades simples*

-os datos ordinales pertenecen a mediciones .ue permiten .ue éstas sean ordenadascon respecto a la variable de interés* Este tipo de datos nos permite indicar las cantidadesrelativas de una cierta propiedad .ue posee una unidad medida* E$emplos de éstos son,los in+resos( se+0n puestos( de los empleados de una institución bancaria( la efectividad enel desempe2o de un profesor por e$emplo en una escala de a '( etcétera*

-os datos de intervalo son medidas .ue nos permiten determinar cierta característica .ue posee la variable estudiada* Estos datos son siempre numéricos( ) permiten obtener diferencias entre las unidades medidas para la variable considerada* !on los tipos de datosa los cuales estamos más 5abituados( ) al+unos e$emplos serían, la temperatura en +radosCelsius( el diámetro de una esfera en centímetros( el salario de un obrero en pesos(etcétera*

or 0ltimo( los de ra#ón o porcenta$e son mediciones .ue permiten la determinaciónde cuantas veces es detentada la característica medida por la unidad obtenida de unamuestra con respecto a otra unidad de la misma muestra* E$emplos de éstos datosson, los porcenta$es de desempleo en un país o re+ión( porcenta$es de consumo de losdiversos alimentos por una población( o los porcenta$es de edades o se/os en unaescuela*

Estos datos representan la culminación en el proceso estadístico de medición* ara estecaso( los resultados pueden utili#arse para cate+ori#ar( ordenar( diferenciar ) efectuar mediciones m0ltiples de una unidad con respecta a otra* Es importante reconocer .ue el

ori+en o punto cero carece de si+nificado para estos datos* or e$emplo( cero desempleo(cero in+resos o cero mu$eres en una escuela tienen un si+nificado preciso inmediato*

!in embar+o( los cuatro tipos de datos rese2ados se a+rupan( para la ma)oría de lasaplicaciones estadísticas( en dos clases* -os datos nominales y ordinales se clasificancomo datos cualitativos, mientras .ue los datos de intervalo y de tasa son clasificadoscomo cuantitativos.


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-a ma)oría de los métodos prácticos para anali#ar datos son esencialmente simples enconcepto* "ependiendo del uso .ue se pretenda dar al análisis de los datos( éstos presentan una descripción sumaria del comportamiento del fenómeno a estudiar* En lama)oría de los casos serán utili#ados dos o más métodos de análisis para obtener ma)or claridad en la descripción .ue se desea* Al+unos de éstos son, +raficación de al+unacaracterística contra el tiempo( distribuciones de frecuencia( 5isto+ramas( obtención de

características de la muestra( como pueden ser, media( desviación estándar( mediana(moda( percentiles( medidas de tendencia central )o medidas de dispersión*

8na ve# .ue se 5an obtenido los datos es mu) instructivo +raficar la salida "Y” contra eltiempo en el cual el e/perimento fue reali#ado* Entre los fenómenos posibles .ue puedenllamar nuestra atención en tales +ráficas podemos mencionar,

9 Al+unas observaciones( principalmente al inicio del e/perimento( .ue seencuentran más dispersas de lo esperado: estas mediciones pueden representar una curva de aprendi#a$e del e/perimentador con respecto a la situación dele/perimento( ) deben( en lo posible( ser repetidas*

9 !e pudiera observar al+una tendencia dentro de cada día o semana o mes: este5ec5o puede representar fenómenos tales como calentamiento de la ma.uinaria(

fati+a del operador( o sencillamente tendencias relacionadas con el tiempo*9 -a variabilidad puede decrecer o incrementarse con el tiempo: esto puededeberse a la curva de aprendi#a$e( al material nuevo( cambios en lotes demateriales de insumo( etcétera*

TABLA DE FRECENCIAS

-a tabla de frecuencias o distribución es una 5erramienta estadística para representar uncon$unto numeroso de datos en una forma .ue 5a+a más clara las medidas de tendenciacentral ) de dispersión( al i+ual .ue la ocurrencia de frecuencias relativas para los datos*

-a tabla %* muestra los datos observados .ue representan las medidas de la resistenciaeléctrica de && bobinas* -a mera observación de estos datos no proporciona informaciónrelevante ) carece de si+nificado*

Ta!la "#$# ;alores de resistencias 15ms de && bobinas3*37 3*3' 3*33 3*34 3*333*%< 3*3& 3*33 3*34 3*3<3*3' 3*3& 3*33 3*3' 3*3%3*3% 3*34 3*36 3*36 3*333*3' 3*3= 3*44 3*36 3*%<3*3= 3*34 3*3& 3*36 3*3%

3*%< 3*%7 3*4 3*36 3*333*3 3*3' 3*3' 3*3 3*373*4& 3*37 3*3' 3*3= 3*33* 3' 3*3< 3*3 3*3' 3*3'3*34 3*3% 3*%= 3*3 3*343*36 3*3 3*34 3*36 3*343*36 3*3% 3*3' 3*34 3*3=3 37 3*3= 3*37 3*3 3*3&3*33 3*37 3*3% 3*3% 3*3'


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3*3< 3*3% 3*3< 3*4& 3*333*4 3*36 3*37 3*37 3*363*33 3*34 3*34 3*36 3*3'

3*36 3*3 3*3& 3*33 3*3

-a tabla %*% muestra los datos a+rupados* >ótese cómo la columna llamada ?conteo defrecuencias? 5ace más evidente en dónde está locali#ada la tendencia central ) .ué tandispersas están las mediciones* -a columna llamada ?frecuencia? es sencillamente unconteo de éstas* -a columna llamada ?frecuencia acumulativa? muestra el n0mero de bobinas con resistencia

Ta!la %*%* "istribución de frecuencias de los valores de las resistencias

@ntervalos recuenciaabsoluta

recuenciaabsoluta

acumulada

recuenciarelativa

porcentuali#ada

recuenciarelativa

acumulada porcentuali#ada

3*%7 B 3*3& ' ' ' '

3*3& B 3*33 %3 %= %3 %=

3*33 B 3*36 37 6' 37 6'

3*36 B 3*3< %6


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Más de &&& %

%* Calcule apro/imadamente la amplitud delintervalo* El tama2o del intervalo es i+ual ala diferencia entre el valor de la ma)or menos la menor observación dividido entre

el n0mero de intervalos* Dedondee esten0mero a un valor conveniente*

3* Constru)a los intervalos definiendo sus límites* ara cálculos posteriores,

a -os límites del intervalo no deben tener más decimales .ue de los .ue posean losdatos*

b -os tama2os de los intervalos deben permanecer constantes en todo el proceso decálculo ) construcción del dia+rama de frecuencia*

4* Cuente cada observación contenida en cada intervalo ) enliste la frecuenciaabsoluta para cada intervalo*

E/isten varias maneras de presentar la distribución de frecuencia en forma +ráfica* Elmás popular es el 5isto+rama de frecuencias* -a fi+ura %* muestra los datos de lasresistencias de las bobinas en forma de un 5isto+rama de frecuencia* Este dia+rama essencillo de construir e interpretar ) por esto es ampliamente utili#ado para un análisiselemental de datos*

CARACTERÍSTICAS DE NA %ESTRA& %EDIA' %EDIANA' %ODA'

VARIAN(A' PERCENTILES

-a estadística descriptiva debe enfrentar con un método simple la manera de e/traer información de una masa de n0meros( .ue a primera vista carecen de periodicidad ora#ón de ser* Esta información de los datos puede estar relacionada a un ?valor típico? ocentral, media( mediana( moda: o a una medida de ?cuanta variabilidad? esté presentevarian#a( desviación estándar o a una medida de frecuencia percentiles* -os primerosdos valores valor central típico ) variabilidad serán discutidos ense+uida*

%EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

-a ma)oría de las distribuciones ofrecen una ?tendencia central?( o sea( una forma tal .uelas mediciones se apilan en un área comprendida entre dos e/tremos* -a tendencia centrales uno de los conceptos fundamentales en el análisis estadístico*

E/isten tres principales indicadores de tendencia central, la media aritmética( la mediana )la moda*


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-a media aritmética o promedio es un dato cuantitativo ) se define como la suma de lasmediciones dividido entre el n0mero de datos .ue e/isten en la muestra( ) es utili#ada paradistribuciones simétricas o apro/imadamente simétricas( o también para distribuciones conuna clara ausencia de un pico dominante*-a media aritmética (X) es la medida más utili#ada en traba$os de control de calidad: seemplea a menudo para reportar medidas promedio de porcenta$es defectuosos en las

cartas de control( .ue en estudios de la calidad se dise2aron para anali#ar ) mantener control de este parámetro* Así( las cartas de control proporcionan los pri meros indicios decambios si+nificativos en el valor central( ) por tanto( una llamada de atención para su pronta corrección*

-a mediana los datos se arre+lan de acuerdo a su tama2o se utili#a para reducir losefectos de los valores e/tremos( o para datos .ue pueden ser ordenados pero .ue no soncuantitativamente medibles forma( color( aspecto( olores o para al+unas situacionesespeciales de prueba* -a moda el valor .ue ocurre con más frecuencia en los datos es utili#ada endistribuciones severamente asimétricas( .ue describen una situación irre+ular( o cuandoson encontrados dos picos( o para eliminar los efectos de los valores e/tremos*

%EDIDAS DE DISPERSI)N

En el pará+rafo anterior presentamos al+unas de las medidas de tendencia central paradatos cuantitativos( sin embar+o( estas medidas nos presentan sólo una parte del todo* Esclaro .ue nuestra información estaría incompleta sin una medida de la variabilidad odispersión de los datos considerados* -os datos recolectados de una muestra o de una población están siempre dispersos alrededor de un punto ) en una #ona de tendenciacentral* A la e/tensión de esta dispersión es lo .ue llamamos variación o variabilidad*-a medición de la dispersión es la se+unda medida fundamental en el análisis estadístico*E/isten varios parámetros para medir la dispersión* El más sencillo de todos es el ran+o(

.ue es simplemente la diferencia entre el valor má/imo ) el mínimo de todos los datos deuna población o muestra* Como el ran+o está basado sólo en dos valores( es mu) 0tilcuando el n0mero de observaciones es pe.ue2o alrededor de & o menos*-as medidas más importantes de la variación son, la desviación media( la desviaciónestándar( la varian#a ) el coeficiente de variación

TEORÍA DE PROBABILIDADES * SS APLICACIONES

%a+# L,is Palomares Alvari-o

Introd,..i/n a la 0ro!a!ilidad

recuentemente se usa el término probabilidad para su+erir .ue e/iste duda o incertidumbresobre lo .ue ocurrió( lo .ue ocurre u ocurrirá* -a e/periencia 5umana demuestra .ue e/isteuna serie de 5ec5os( acontecimientos( e/perimentos cu)os resultados no se puedendeterminar anticipadamente( pero .ue sin embar+o si es posible definir( estimar o predecir el probable resultado* odemos conocer el pasado( pero nunca el futuro( pero e/iste un permanente interés por despe$ar las incertidumbres*


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-as situaciones .ue implican incertidumbre varían desde simples $ue+os de a#ar( como laruleta( los dados( los naipes( la lotería( etc* a otros e/perimentos ) acontecimientos tanvariados( comple$os e importantes dentro de las ciencias médicas( ciencias sociales( laeconomía( las industrias( los ne+ocios( los se+uros( etc* ermanentemente interesa predecir

o estimar lo .ue sucederá en ciertas circunstancias* 8n empresario puede decidir lacomerciali#ación de un producto si conoce .ue la probabilidadF de é/ito es mu) alta* Elaficionado de f0tbol( puede apostar contra su e.uipo favorito si sabe .ue la probabilidad.ue +ane es mu) pe.ue2a* El a+ricultor no sembrará demasiadas 5ectáreas de café si la probabilidad de .ue ba$e el precio es mu) elevada* Es posible .ue nin+uno de ellos sepadefinir o medir la probabilidad( pero si encontrará 0til la idea de estimar intuitivamente: asícomo ellos( t0 también estas elaborando supuestos en relación a la ocurrencia de un 5ec5o(es decir estas preocupado en aspectos .ue pertenecen al campo de la probabilidadF( lae/pectativa ) los supuestos*ero( G.ué es probabilidadH( Gcómo se puede medirH( Gcómo se usaH*-as respuestas a estas pre+untas son preocupación de esta a)uda*

En principio será necesario tener idea de al+unos conceptos previos( como,• E/perimento aleatorio• Espacio muestral de un e/perimento• Evento de un espacio muestral

Fen/meno aleatorio o e10erimento aleatorio

Es un fenómeno .ue puede repetirse varias veces( no se sabe .ue resultado se obtendrá encada repetición( pero si se sabe cuál es el con$unto de todos los resultados posibles*E$emplos,

a -an#ar un dado normal( esperar .ue se deten+a ) leer el n0mero .ue aparece en lacara superior* b -an#ar dos monedas ) cuando 5a)an caído leer las fi+uras .ue aparecen en el lado

superior*c Ele+ir al a#ar una persona de un +rupo ) decir su se/o*

Es0a.io m,estral

Es el con$unto de todos los resultados posibles de un e/perimento aleatorio* Ieneralmentese le representa por Ω ome+a*E$emplos,

a El espacio muestral de lan#ar un dado es( Ω J K ( % ( 3( 4( '( 6L b El espacio muetral de lan#ar dos monedas es( Ω J Kcc( cs( sc( ssLc El espacio muestral de ele+ir una persona de un +rupo es( Ω J K5ombre( mu$erL

Evento o s,.eso

Es un subcon$unto una parte del espacio muestral* Ieneralmente se le representa por unaletra ma)0scula*


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E$emplos,-ue+o de lan#ar un dado( cu)o espacio muestral es( Ω J K ( %( 3( 4( '( 6 L(el evento de obtener un n0mero menor .ue 3 es( A J K( %Lel evento de obtener un n0mero primo es( J K%( 3( 'Lel evento de obtener un n0mero ma)or .ue 6 es( C J K L

El evento de obtener un n0mero menor .ue 7 es( " J K ( %( 3( 4( '( 6L

Notas&a "os eventos se llaman dis$untos( o e/clu)entes cuando no pueden ocurrir a la ve#(

es decir si A∩ J K L b "os eventos son complementarios cuando la reunión de los dos es i+ual al espacio

muestral ) son e/clu)entes* Es decir( si A∪ J Ω ) además A∩ J K L

E2em0los&En el espacio muestral de lan#ar un dado(A J K%( 3L ) J K'( 6L son eventos e/clu)entes

A J K%( 3L ) C J K( 4( '( 6L son eventos complementarios

Pro!a!ilidad de ,n evento

"ado un evento A de un espacio muestral Ω( la probabilidad .ue ocurra A es(

>0mero de elementos de AA J

>0mero de elementos de Ω

;eamos al+unos e$emplos,

a !i se 5ace rodar un dado correcto e/perimento aleatorio se puede obtener comoresultado cual.uiera de sus seis caras o lados Espacio muestral K( %( 3( 4( '( 6L.ue tiene el dado casos posibles( esto si+nifica .ue la suerte o probabilidadF .uetiene cada cara es 6*!i a5ora se espera obtener un n0mero para( tenemos .ue pensar .ue 5a) tres carasel evento es K%( 4( 6L .ue cumplen la condición de ser n0mero par casosfavorables( lue+o la probabilidadF de obtener n0mero par será 36 es decir N*"e este e$emplo se deduce,

3 casos favorables

obtener par J J J 6 % casos posibles

En términos de con$untos( sería,

Ω J K : % : 3 : 4 : ' : 6L A J K% : 4 : 6L

El espacio muestral Ω tiene 6 elementos( nΩ J 6( ) el evento tiene 3 elementos


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nA J 3 nA 3

A J J J nΩ 6 %

b !i el e/perimento es lan#ar dos monedas ) observar el resultado( su espaciomuestral es( Ω J Kcc( sc( cs( ssL

-a probabilidad de obtener dos caras es la probabilidad del evento A J KccLEntonces esa probabilidad es(

dos caras J KccL J A J O

c El e/perimento consiste en lan#ar dos monedas ) un dado( ) observar el resultadoobtenido*!u espacio muestral es(

Ω J Kcc( cc%( cc3( cc4( cc'( cc6( sc( sc%( sc3( sc4( sc'( sc6( cs( cs%( cs3( cs4(cs'( cs6( ss(ss%( ss3( ss4( ss'( ss6LGCuál es la probabilidad de obtener dos caras ) un n0mero parHEl evento es, A J Kcc%( cc4( cc6LComo A tiene 3 elementos ) Ω tiene %4 elementos( entonces,

dos caras ) un n0mero par J A J 3%4 J = J &(%'

Pro0iedades de las 0ro!a!ilidades

-as propiedades fundamentales de las probabilidades son tres,

a -a probabilidad es un n0mero positivo menor o i+ual a uno

& ≤ A ≤ A J & ( si A J K LA J ( si A JΩ

b -a probabilidad .ue no ocurra un evento es i+ual a uno menos la probabilidad .ue siocurra el evento*

no A J AP J B A

c -a probabilidad .ue ocurra un evento A o un evento es i+ual a la suma de las probabilidades de A ) de ( menos la probabilidad .ue ocurran A ) a la ve#*

A ∪ J A Q B A ∩

!i los eventos A ) son dis$untos entonces( A ∪ J A Q


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Ta!las de 3re.,en.ia

!on tablas de traba$o estadístico( .ue presentan la distribución de un con$unto de elementosde acuerdo a las cate+orías de la variable* En ellas se observa la frecuencia o repetición decada uno de los valores de la variable .ue se obtiene después de reali#ar la operación de

tabulación*-as frecuencias pueden ser de dos tipos, absolutas ) relativas*-as tablas de frecuencia sirven también para or+ani#ar los datos*;eamos dos e$emplos,

* !e 5a consultado a los alumnos de una sección por el n0mero de 5ermanos .uetiene( obteniéndose como resultado la si+uiente tabla de frecuencias,

El n0mero 7 .ue está delante del indica .ue 5ubieron siete alumnos .ue declararontener un solo 5ermano* También se puede ver .ue 5a) dos alumnos .ue son 5i$os0nicos( por.ue declaran no tener 5ermano* Tres alumnos tienen 4 5ermanos*En total fueron consultados %' alumnos( eso se ve en la suma de las frecuencias*

!i además se .uiere saber .ue parte del total corresponde a cada n0mero de 5ermanos(se obtiene la frecuencia relativa* ara eso basta dividir la frecuencia del n0mero .ue lecorresponde a cada n0mero de 5ermanos entre el total*Así( %%' J &(&=: 7%' J &(%=:


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"ía >0mero desacos

recuenciarelativa

-unes ' &('6%'Martes 7 &(%=7'

Miércoles 4 &(%'&&

Rueves ' &('6%';iernes = &(%'&&&!ábado 3 &(&


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b >o se puede decir .ue esto es válido para todos los casos*

or e$emplo( para la otra tabla de frecuencias( la .ue corresponde al n0mero de sacos de papa*

"ía >0mero desacos recuenciarelativa-unes ' &('6%'Martes 7 &(%=7'

Miércoles 4 &(%'&&Rueves ' &('6%';iernes = &(%'&&&!ábado 3 &(&0mero de recuencia recuenciasacos absoluta relativa

3 4 &(3334 7 &(%333' < &(3&&&6 ' &(6677 3 &(&&&= % &(&667

total 3& (&&&&


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En los casos de nuestro traba$o las distribuciones de probabilidad serán presentadas0nicamente ba$o la forma de tablas o cuadros de distribución*

;eamos las tablas de distribución de probabilidades de los dos e$emplos anteriores*En el caso del n0mero de 5ermanos de los alumnos de una sección se tendría,

/ & % 3 4

/ &(&= &(%= &(36 &(6 &(%

En el caso del n0mero de sacos de papa cosec5ados por día( la tabla de distribuciónde probabilidades sería,

/ 3 4 ' 6 7 =

/ &(333 &(%333 &(3&&& &(667 &(&&& &(&666

También podría presentarse como tablas verticales*

Sim,la.i/n

En síntesis la simulación es la reproducción de un proceso o de un fenómenomediante otro más sencillo o más cómodo de mane$ar( .ue evoluciones de maneraseme$ante al primero*"esde el punto de vista matemático( simulación es un procedimiento cuantitativo.ue conduce una serie de e/perimentos de tanteos or+ani#ados en un modelo de un proceso para predecir la conducta de ese proceso con el tiempo*ese a .ue los matemáticos recomiendan el uso de la simulación solo como 0ltimorecursoF( es una de las técnicas de la ciencia administrativa más ampliamenteusadas*

Ra4ones 0ara el ,so de la sim,la.i/n&a or la dificultad .ue representa la observación real del fenómeno* b -a observación del fenómeno real es mu) costosa*c -a observación del fenómeno real toma demasiado tiempo*d -a operación real del fenómeno resulta demasiado destructiva*

Limita.iones de la sim,la.i/n&a >o es precisa* >o es un proceso de optimi#ación( no proporciona una respuesta

sino un con$unto de respuestas del fenómeno ba$o diferentes condiciones deoperación*

b 8n buen modelo de simulación muc5as veces es mu) caro ) toma a vecesdemasiado tiempo elaborarlo*


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c >o todas las situaciones se pueden simular( las me$ores son las .ue involucranincertidumbre*

d Ienera formas de evaluar el fenómeno más no proporciona soluciones almismo*

El m5todo %onte.arlo

El método Montecarlo es un método de simulación de procesos para +enerar valores de unavariable de acuerdo con una distribución de probabilidades conocida*

Cuando se inicia el proceso( un +enerador de n0meros aleatorios produce un n0mero* -osn0meros producidos deben tener una distribución de probabilidad uniforme( es decir( debenser i+ualmente probables* "espués la transformación convierte los n0meros condistribución uniforme en el valor .ue se desea( de acuerdo con la distribución .ue se .uiere*

En el fondo no es más .ue la ad$udicación de n0meros de manera proporcional a las probabilidades( para lue+o( al a#ar e/traer los n0meros ) teóricamente e$ecutar el procesose+0n el n0mero e/traído*

E$emplo,María vive mu) cerca del cole+io( durante varias semanas 5a tomado el tiempo .ue demoraen lle+ar desde su casa al cole+io ) 5a obtenido los si+uientes resultados,

Tiempo frecuencia frecuenciaEn minutos acumulada

% < <4 4' '4= 6 6&

A partir de esa información 5a encontrado la distribución de probabilidad( para cada uno deesos tres tiempos de lle+ada de su casa al cole+io*-o+rando incluso construir la tabla si+uiente,

Tiempo robabilidad robabilidadEn minutos acumulada

% &(' &('4 &(7' &(o será necesario .ue María realice sus despla#amientos* -a simulación lo5aremos con el método Montecarlo*

rimero precisamos los n0meros .ue le corresponderán a cada variación de la variabletiempo .ue demora en lle+ar desde su casa al cole+io*


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Tiempo robabilidad robabilidad >0mero .ue leEn minutos acumulada corresponde

3 &(' &(' "e a '4 &(7' &(


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demanda( también por.ue se trata de un bien perecedero )( por 0ltimo( al alto costo por notener el stocV adecuado*!e usó una simulación para permitir al 5ospital e/plorar las diferentes políticas deinventarios en un esfuer#o para encontrar la política más efica#* "e ese modo los +astos por la falta de stocV ) la satisfacción de los solicitantes me$oraron notablemente*

8E9OS DE NE9OCIOS-as ne+ociaciones .ue se 5acen en el mundo +erencial real son mu) diversos( variados )aleatorios* ormar a una persona para .ue pueda desempe2arse adecuadamente en esemundo no es fácil*-a simulación de muc5os $ue+os de ne+ocios usada en las escuelas de administración deempresas en pro+ramas de entrenamiento es una buena solución en estos casos*!e 5an construido modelos de firmas ) de industrias completas .ue permiten insumose/ternos para ciertas variables como el precio del producto* -os $u+adores( estudiantes de+erencia introducen sus decisiones( procesan el modelo para el si+uiente periodo ) se danlos resultados a los $u+adores para otro ciclo de decisión*"e este modo se está lo+rando .ue los futuros +erentes esté preparados a resolver situaciones mu) seme$antes a los de la realidad( de manera efica#*

TO%A DE DECISIONES :%ANAS1tra aplicación de la simulación es para imitar los procesos de toma de decisiones de unindividuo o un +rupo*or e$emplo( se constru)o un modelo de simulación para imitar el proceso por medio delcual en una ciudad se alteró los re+lamentos de #onificación con ob$eto de satisfacer nuevas necesidades* En este tipo de simulación no busca la optimi#ación( ni si.uiera lasme$oras* Más bien se trata de automati#ar un proceso 5umano* El modelo de creado se $u#+ó e/itoso( por.ue en la ma)oría de los casos la decisión tomada fue la misma .ue la delos participantes 5umanos*

EL %7TODO %ONTECARLO EN LA EDCACI)N SECNDARIA


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%a+# L,is Palomares Alvari-o

%)DLO

$# PLANEA%IENTO

"entro de los contenidos básicos de Matemática para el tercer a2o de Educación!ecundaria se encuentran los correspondientes a robabilidades( ) .ue pese a su +ranimportancia .ue tiene dentro de la actividad 5umana ) a su estrec5a relación confenómenos reales en su ori+en 5istórico( su tratamiento en el campo educativo estádesatendido )( muc5as veces( i+norado por los docentes* W es .ue en +eneral todo locorrespondiente a las probabilidades( como contenido matemático( es de un nivel alto deabstracción( lo .ue conduce a un desarrollo sobre todo teórico mu) rí+ido ) con simbolo+íamu) dispersa*

O!2etivos

• ropiciar la observación de la realidad para descubrir situaciones .ue involucran probabilidades*

• Capturar la información de situaciones reales para modelarlas teóricamente dentrodel marco de la teoría de las probabilidades*

• rocesar la información utili#ando técnicas creativas .ue permitan pro)ectar elmodelo a otras situaciones afines de la realidad*• "esarrollar la capacidad de traba$o individual sin menoscabo de la actividad

colaborativa ) de la interacción profesoralumno*

Nivel y %odalidad

D1>1!T@CA>"1EL

8T8D1


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Teniendo en cuenta .ue la Educación !ecundaria está dentro del pro+rama de emer+enciaeducativa ) reconociendo la importancia del tema ) su relativo abandono( el módulomultimedia .ue se está elaborando corresponde al >ivel de Educación !ecundaria deMenores( se+undo ciclo( en la modalidad de Educación a "istancia*

Área del C,rr;.,loEl área del currículo al cual corresponden los contenidos .ue se desarrollan con estematerial corresponden al Xrea de Matemática*

Nom!re del %/d,lo

Teniendo en cuenta .ue el título debe cumplir varias funciones( entre otras motivar laatención del usuario( apro/imarse al contenido del currículo .ue corresponde ) su+erir al+uno de sus ob$etivos( se 5a ele+ido poner como nombre a este softYare,ronosticando el futuroF

Rela.i/n .on el C,rr;.,lo Na.ional

"e ra#onamiento ) demostración,@dentificar datos e informaciones pertinentes( con los .ue puede formular con$eturas*1r+ani#ar los datos disponibles para poder lue+o procesarlos con facilidad ) claridad*@nterpretar los datos e informaciones .ue implícitamente aparecen en las situaciones deestudio*ormular con$eturas acerca de los resultados .ue obtendrá lue+o de aplicar los procesos pertinentes*Decrear las le)es .ue encierran las situaciones probabilísticas*Evaluar sus resultados en relación a los .ue le ofrece la realidad de la .ue fue e/traída lasituación*

"e interpretación de +ráficos,@dentificar los +ráficos ) los códi+os .ue la realidad ofrece para distin+uir una situación probabilística*Anali#ar los datos disponibles de esa realidad con la intención de or+ani#arlosadecuadamente para la obtención de buenos resultados*ormulación de e$emplos ) contrae$emplos .ue le permitan apro/imarse a la estructura dela situación ) la futura e/tracción de lo si+nificativo de la misma*

"e la resolución de problemas,@dentificar procesos para poder enfrentar las situaciones problemáticas con las 5erramientasadecuadas*Anali#ar las situaciones problemáticas para determinar la ruta .ue me$or conviene se+uir enla b0s.ueda de su solución*@nterpretar los resultados de la manera más conveniente( teniendo en cuenta la realidad dela .ue fue e/traída la situación*Evaluar todo el proceso con el fin de proponer ) utili#ar alternativas de me$ora o adaptación para el lo+ro de los me$ores resultados de los problemas*


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"# DISE,5 es im0ortante el m/d,lo

El solo 5ec5o de ser una 5erramienta para colaborar con el aprendi#a$e de las probabilidades ) una de sus aplicaciones( el Modelo de simulación MontecarloF dice )a bastante de la importancia del módulo: pero 5a) al+o más( ) puede ser de ma)or relevanciatodavía* El tema de las probabilidades en +eneral( en el ámbito del aprendi#a$e de lamatemática en el nivel secundario( no 5a alcan#ado todavía el nivel de atención necesaria )(muc5o menos( el interés de los docentes por me$orar su statu.uo en el amplio panorama en.ue se desenvuelve la educación matemática de los alumnos*Al estudio de las probabilidades( los docentes lo tratan como el patito feo del pro+ramaF*Está ubicado al final( con mu) poco énfasis( demostrado por las po.uísimas líneas .ue se lededica: por tanto se le desarrolla si 5a) tiempo( si los otros temas 5an sido )a aprendidos(en fin( dentro de un ambiente de cenicientaF: lo .ue ni se lo merece ni es $usto .ue ocurra(dado .ue muc5as de las situaciones de la vida corriente se desarrollan como refle$os clarosde los modelos probabilísticos( con cu)o conocimiento a.uéllas serían me$or interpretadas(lo .ue conllevaría a elevar su conocimiento ) enri.uecer la aplicación de sus resultados*Con este módulo se pretende .uebrar esa situación de indi+encia en .ue se encuentra elestudio de las probabilidades( ) especialmente esa importante aplicación( para .ue de esemodo los alumnos )( sobre todo( los profesores se inicien en la introducción del maravillosouniverso de las probabilidades*

B= ?,5 se es0era del al,mno

• Zue el alumno descubraF .ue en su mundo( en su vida diaria( e/iste matemática encantidades( ) .ue los n0meros ) las probabilidades lo rondan con una cercaníasorprendente ) una docilidad e/traordinaria*

• Zue puedan comen#ar a verF su mundo no solo con los sentidos sino con la ra#ón(

para descubrir las venta$as ) desventa$as .ue les ofrece( pero( sobre todo( paraadmirar su maravilla*• Zue sea capa# de reconocer una situación .ue involucra probabilidades*• Zue pueda abstraer lo suficiente una situación como para .ue identifi.ue la

posibilidad de utili#ar el modelo de Montecarlo en su comprensión( su desarrollo einterpretación*

• Zue sea capa# de crear situaciones realesF donde se pueda modelar con las probabilidades ) resolver los problemas con el modelo Montecarlo*


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• Zue esté en condiciones de evaluar su participación ) la de sus compa2eros en la b0s.ueda de resolver problema( primero los for#adamente presentados )( másadelante( los e/traído de la realidad*

C= Re.,0era.i/n de sa!eres 0revios

El módulo está preparado para .ue en un inicio el estudiante se formule ) responda al+unasinterro+antes esenciales*

GCómo se reconoce un e/perimento probabilístico aleatorioHGZué se entiende por espacio muestral de un e/perimentoHGCómo se encuentra la probabilidad de un eventoH

D= Desarrollo de las a.tividades @ estrate+ias de a0rendi4a2e

• resentación de una situación inicial( de la vida diaria( donde se aprecie lanecesidad de un e/perimento aleatorio( su espacio muestral ) la aplicación deconocimientos de probabilidades*

• !e enri.uece la situación inicial proponiendo otras condiciones .ue conducen a unasimulación con el modelo Montecarlo( lo .ue obli+a a pensar en otras alternativasde acción( más avan#adas .ue las empleadas 5asta el momento*

• !e su+iere al+unas acciones .ue involucran la participación de los compa2eros delalumno con la finalidad de obtener resultados .ue permitan modelar me$or lasituación*

• !e conduce el pensamiento ló+ico 5acia la posibilidad de 5acer intervenir al+unos

cálculos .ue favorecen la consecución de la solución de la situación*• !e presenta otras situaciones .ue tienen estructura seme$ante ) .ue por consi+uiente

pueden ser modeladas de manera análo+a a la primera*• !e aclara el proceso se+uido ) se le formali#a( utili#ando la simbolo+ía )

terminolo+ía matemática adecuadas al nivel ) a la situación( de$ando clarada laestructura de un problema .ue puede ser abordado ) resuelto utili#ando el modeloMontecarlo*

• !e formali#a el proceso( tanto de identificación de situaciones como de resoluciónde las mismas ) de interpretación de resultados( llamando a cada concepto con ladenominación matemática institucionali#ada*

E= Tareas o e2er.i.ios de a0li.a.i/n

"urante el proceso( en repetidas oportunidades( se solicita al alumno .ue identifi.ue(ima+ine ) formule situaciones de la vida diaria de su realidad con estructura seme$ante ala propuesta( con la finalidad .ue pueda( de un lado fi$ar las condiciones ) características detales situaciones )( de otro lado( mostrar el nivel de avance de sus conocimientos al


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respecto( especialmente en lo .ue corresponde a la aplicación de los al+oritmos adecuados para la solución de las situaciones*Estas situaciones( fruto de la ima+inación ) creatividad del alumno( deberán ser recolectadas por el profesor( para ser comentadas en reunión de toda la clase( una ve# .uetodos los alumnos 5a)an interactuado con el material*

F= Re3le1iones .o+nitivas

Al final del traba$o el alumno se enfrenta a una serie de pre+untas .ue el mismo deberíaformularse( ) .ue es inducido a responderlas( entendiendo .ue esa actividad colaborará consu aprendi#a$e*

GZué 5e aprendido con este móduloHG"e .ué so) capa# lue+o de traba$ar con este móduloHGuedo identificar las diferencias entre una simulación ) un pronóstico en un ambiente probabilísticoHGZué parte del módulo me presentó dificultades ) cómo lo+ré superarlasH

DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES @ ESTRATE9IAS DE APRENDI(A8E

!e sabe .ue no es posible saber e/actamente lo .ue ocurrirá en el futuro( pero en al+unoscasos es posible apro/imarse bastante a lo .ue debe ocurrir*

Con este módulo aprenderás a pronosticar lo .ue sucederá en el futuro( de maneraapro/imada( usando tus conocimientos de probabilidades*

[ATD\;ETE]

Presenta.i/n

En la vida diaria la ma)oría de los procesos se desarrollan de manera aleatoria* Es decir( pueden repetirse varias veces( no se sabe .ue resultado se obtendrá( pero si se conocentodos los resultados posibles* >o se puede predecir con se+uridad cómo se desarrollará un proceso dado( por e$emplo una fiesta( un partido de f0tbol( un e/amen( etc* etc*

!ería mu) interesante saber con .ué probabilidad un evento posible tendrá lu+ar*-os procesos reales son( en +eneral( tan complicados .ue está le$os de nuestras posibilidades anali#arlo mediante cálculos precisos ) se+uros*


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ero( en muc5os casos( es posible simularlos mediante el Método Montecarlo( obteniéndoseentonces un resultado bastante apro/imado de la probabilidad de ocurrencia de un eventoen especial*En este módulo tendrás la oportunidad de $u+ar con las probabilidades para pronosticar elfuturo*

Introd,..i/n

Roa.uín es un ni2o .ue vive en ucará( un pueblito de la sierra del departamento del Cu#co*!u papá tiene una pe.ue2a tienda de alimentos( donde también vende unos pastelitos .ue prepara su mamá* Todos los días do2a !aturnina prepara & pastelitos( pero ocurre .ue 5a)días .ue no los vende todos( debiendo consumirlos o re+alarlos al final de la tarde( por.ueno se pueden +uardar para el día si+uiente*

Fen/meno aleatorio

G!e podrá saber cuántos pastelitos se venderán ma2anaH

[Claro( .ue no]( pero se sabe .ue deben ser desde & 5asta &( no es posible otro n0mero*

GCuál es la posibilidad de .ue ma2ana venda solo tres pastelitosH

[>o se puede saber]( pero es posible* Guede ser .ue se vendan tres pastelitos H*

GConoces otras situaciones parecidas a ésta( donde 5a) un fenómeno .ue se puede repetir varias veces( cu)os resultados no se puedan conocer( pero .ue si se sabe cuáles son esosresultados posibles( ) .ue no puede ocurrir otra cosa diferenteH*

[iensa]( ) anótalos en tu cuaderno( para mostrarlos después a tu profesor ) comentarloscon él*En resumen,8n fenómeno .ue puede repetirse varias veces( cu)o resultado no se conoce( pero si se sabecuáles son los posibles resultados( se llama 3en/meno aleatorio o e10erimento aleatorio*

Es0a.io m,estral

Sit,a.i/n ini.ial


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W el con$unto de todos los resultados posibles de un fenómeno aleatorio se llama es0a.iom,estral ) se representa por ^

Así( en la situación de la venta de pastelitos se tiene, Ω J {&: : %: 3: 4: ': 6: 7: =:


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"e los e$emplos .ue propusiste anteriormente para mostrarlos al profesor presenta al+unose$emplos de probabilidades ) muéstralos a tu profesor para comentarlos con él*

Introd,..i/n

Al+unos días( los clientes .uieren comprar más pastelitos cuando )a se vendieron todos*Roa.uín está preocupado por las pérdidas de su mamá( tanto cuado no vende todos los pastelitos .ue prepara como cuando le piden más de los die# .ue siempre prepara(Roa.uín se .ueda pensando*GCómo pudiera saber cuanto venderá ma2ana para decirle .ue prepare esa cantidadH*

GCómo 5arías t0 para saber cuanto venderá ma2ana la mamá de Roa.uínH*

>o creo .ue eso sea fácil( piensa Joaquín, pero se acuerda que su mamá tiene registradaslas ventas de todos los días desde ace veinte días*

Ta!la de 3re.,en.ias

[Entonces( si se sabe cuantos pastelitos 5a vendido en los 0ltimos días se podrá saber cuántas veces se 5a vendido cada n0mero de pastelitos]

W eso puede a)udar para saber cuánto se vende un día cual.uiera*

Esta es la lista del n0mero de pastelito vendidos en esos veinte días

' & 7 7 6 67 4 4 ' 6 7< 6 ' ' = 7= 7

A)0dale a Roa.uín a construir una tabla donde se pueda ver cuántas veces se repite cadan0mero* Así( el 4 se 5a repetido % veces( entonces la frecuencia de 4 será %*( ) asísucesivamente( 5asta 5aber encontrado las frecuencias de todos los n0meros*

Entonces se tendrá una tabla*

Tu tabla debe ser parecida a esta

Frecuencia y probabilidades


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>S de pastelitosvendidos frecuencia

4 %' 4

6 47 6= %< &

total %&

GCómo entiendes el n0mero 6 .ue está frente al 7H

[Claro]( en 6 de los %& días no necesariamente consecutivos la mamá de Roa.uínvendió 7 pastelitos*

-o mismo( en % de los %& días vendió = pastelitos( etc*

Anota en tu cuaderno la e/plicación de cada n0mero .ue aparece en la columna defrecuencias( para mostrarlo más tarde al profesor ) 5acer comentarios con él*

Distri!,.iones de 0ro!a!ilidad

8tili#ando la información de la tabla de frecuencias se puede calcular la probabilidad de.ue en un día cual.uiera se venda 6 pastelitos*

>S de pastelitosvendidos recuencia

4 %' 46 47 6= %< &

total %&

!e divide el n0mero de días .ue se vendió 6 pastelitos entre el n0mero total de días*

[or supuesto]( 4 dividido por %&

Entonces( 6 J 4%& J ' J &(%


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@+ual podrás encontrar las probabilidades de cada una de las otras cantidades vendidas*"ividiendo entre %& cada una de las frecuencias( para obtener la probabilidad .ue lecorresponda( de este modo 5abrás lo+rado construir una tabla de probabilidades*

Completa entonces la si+uiente tabla,

ventas frecuencia probabilidad

4 %' 46 4 &(%&7 6= %< &

total %&

Cuando 5a)as terminado de llenar la tabla preséntala a tu profesor para conversar con élsobre tus respuestas*

Terminados todos los cálculos se tendría la si+uiente tabla,

ventas frecuencia probabilidad4 % &(&' 4 &(%&6 4 &(%&

7 6 &(3&= % &(&< &(&'& &(&'

%& (&&

A esta tabla se le llama ta!la de distri!,.i/n de 0ro!a!ilidad(

or.ue la unidad se 5a distribuido entre los oc5o resultados posibles* or eso la suma de lasoc5o probabilidades es uno*

Godrías e/plicar lo .ue si+nifica cada n0mero .ue está frente a cada frecuenciaH

GCuál es la probabilidad .ue un día cual.uiera do2a !aturnina venda los 7 pastelitos .ueelaboróH*

[Claro]( 6%&: o lo .ue es lo mismo .ue 3& ó finalmente &(3&* .ue resulta de efectuar la división


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Entonces, 7 J &(3&

@+ual se entienden los otros n0meros* Escribe en tu cuaderno tus e/plicaciones de cadan0mero de la columna probabilidad( para .ue los muestres ) comentes lue+o a tu profesor*

A5ora si( vamos a pronosticar el futuro( [prepárate]ara eso necesitamos una tabla de probabilidades*8saremos la .ue constru)ó Roa.uín a partir de las ventas de pastelitos durante veinte días

Introd,..i/n

ventas frecuencia probabilida

d4 % &(&' 4 &(%&

6 4 &(%&7 6 &(3&= % &(&< &(&'& &(&'

%& (&&

Con esta información vamos a crear un modelo .ue permita simular lo .ue pasará ma2ana*

Toma una 5o$a de papel en blanco pártelo de modo .ue ten+as %& peda#os*En cada peda#o escribe un n0mero del 4 al &( se la si+uiente manera,

El n0mero 4 escribes en % peda#osEl n0mero ' escribes en 4 peda#osEl n0mero 6 escribes en 4 peda#osEl n0mero 7 escribes en 6 peda#osEl n0mero = escribes en % peda#osEl n0mero < escribes en peda#oEl n0mero & escribes en peda#o

El Método Montecarlo


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"obla los peda#os de papel( de modo .ue no se pueda ver el n0mero escrito*Me#cla los papeles doblados ) e/trae uno de ellos* Anota el n0mero e/traído*Esa 0odr;a ser la cantidad de pastelitos .ue venda ma2ana*

El %5todo %onte.arloara convencernos de .ue el proceso es válido( es decir .ue se puede utili#ar como unmodelo de la realidad( tendríamos .ue ver si esos resultados se repiten*ero esto también podemos simularlo*

ara esto( dobla nuevamente el tro#o de papel( me#cla los papeles doblados ) e/trae otro peda#o( anota el n0mero e/traído( vuélvelo a doblar( mé#clalos ) e/trae otro n0mero(anótalo*Depite el proceso 5asta .ue ten+as unos %& n0meros*

Cuenta entonces cuántas veces salió cada uno de los siete n0meros*Anota tus resultados en tu cuaderno para mostrarlos ) comentarlos( lue+o( con tu profesor*Estos resultados no convencen fácilmente( entonces vamos a reali#ar una actividad .ue nosa)ude a entender me$or lo anterior*ide a)uda a unos cinco ami+os*

Zue cada uno ten+a sus veinte tro#os de papel con sus respectivos n0meros escritos en losmismos( tal como t0 lo 5iciste anteriormente*

Zue cada uno repita el proceso, e/traer un n0mero( anotarlo( doblar el papel( ponerlo $untocon el resto( me#clarlo bien( e/traer un n0mero anotarlo( doblar el papel( etc* etc* 5asta .uecada uno ten+a %& n0meros*

Cuando tus ami+os 5an terminado su tarea( re0ne todos los resultados en un solo ) observacuántas veces salió cada n0mero*

Tu tabla final debe ser mu) parecida a esta,El 4( salió & vecesEl '( salió %& vecesEl 6( salió %& vecesEl 7( salió 3& vecesEl =( salió & vecesEl


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!e llama así( por.ue fue en el Casino de Montecarlo( de la ciudad de Mónaco( dondecomen#ó su estudio( observando los resultados de la ruleta*

Evidentemente este método no sirve para adivinar .ué n0mero saldrá en la si+uiente $u+ada(

pero permite modelar muc5as situaciones de la vida corriente( en las .ue no es posible tener resultados 5istóricos( por.ue las repeticiones reales serían mu) costosas o por.ue tomaríanmuc5o tiempo ) esfuer#o reali#arlas*

Introd,..i/n

En la vida diaria la ma)oría de los procesos se desarrollan de manera aleatoria* Es decir( pueden repetirse varias veces( no se sabe .ue resultado se obtendrá pero si se conocen todoslos resultados posibles* >o se puede predecir con se+uridad cómo se desarrollará un proceso dado( por e$emplo una fiesta( un partido de f0tbol( un e/amen( etc* etc*

!ería mu) interesante saber con .ué probabilidad un evento posible tendrá lu+ar*-os procesos reales son( en +eneral( tan complicados .ue están le$os de nuestras posibilidades anali#arlos mediante cálculos precisos ) se+uros*

ero( en muc5os casos( es posible simularlos mediante el Método Montecarlo( obteniéndoseentonces un resultado bastante apro/imado de la probabilidad de ocurrencia de un eventoen especial en la realidad*

Es.o+iendo 2,+,etes

8n padre sale con sus cinco 5i$os para comprarles un $u+uete para cada uno* -le+an a unatienda donde 5a) precisamente cinco $u+uetes diferentes( entonces cada uno eli+e( sindecirle a los demás( el $u+uete .ue .uisiera .ue le compren*

Claro .ue no todos los $u+uetes 5abrán sido ele+idos*!e .uiere entonces saber tres cosas

• Gcuántos $u+uetes de$aron de ser ele+idosH(• Gcuáles son los $u+uetes menos ele+idosH( )• Gcuál es la probabilidad .ue un $u+uete cual.uiera no sea ele+idoH

A licaciones del Método Montecarlo


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1bservar este fenómeno en la realidad sería mu) difícil( ) para calcular su probabilidadtendría .ue ocurrir muc5as veces( lo .ue complica a0n más las posibilidades de verlorealmente* Entonces vamos a simularlo*

repara cinco tro#os de papel( cada uno con un n0mero( del al '* 8n n0mero corresponde

a un $u+uete bien determinado: dóblalos( mé#clalos bien ) eli+e uno al a#ar ) anota eln0mero* "óblalo nuevamente( $0ntalo con los otros( mé#clalos ) eli+e uno al a#ar* Anota eln0mero ) repite el proceso( 5asta tener cinco n0meros*

-os n0meros anotados corresponden a los $u+uetes ele+idos* "e ese modo se podrá saber( por simulación( cuales fueron los $u+uetes no ele+idos*or e$emplo( si salieron los n0meros

( %( '( %( 3( el $u+uete 4 no fue ele+ido4( 3( %( '( %( el $u+uete no fue ele+ido3( ( ( '( %( el $u+uete 4 no fue ele+ido*

G!erá verdad .ue los $u+uetes 4 ) son los .ue más frecuentemente no son ele+idosHG!erá verdad .ue siempre solo un $u+uete no es ele+idoH

ara apro/imarnos a una buena respuesta( repetiremos el proceso unas %& veces*

ara esto pide a)uda a 4 de tus ami+os*Zue cada uno de tus cuatro ami+os realice el proceso de ele+ir cinco n0meros ) anotarlos

Anota todos los resultados en una lista ) responde las si+uientes pre+untas,

GCuáles son los $u+uetes menos ele+idosHGEn promedio cuántos $u+uetes no fueron ele+idosHGCuál es la probabilidad .ue un $u+uete determinado no sea ele+idoH

Anota las respuestas en tu cuaderno*usca otras situaciones en tu vida corriente .ue se pare#can a ésta para .ue puedasencontrar las probabilidades mediante el método Montecarlo*Muéstrale lue+o a tu profesor tus respuestas ) las situaciones .ue 5as encontrado paracomentarlos con él*

Los 0astelitos de do-a Sat,rnina

-os pastelitos de do2a !aturnina tienen pasas* En la masa .ue 5ace para die# pastelitos ella pone die# pasas ) me#cla mu) bien la masa* "espués ella corta la masa en die# partes delmismo volumen* Esos peda#os de pasta de transforman lue+o en pastelitos*

!e .uiere saber Gcuántos pastelitos tienen &( ( %( 3( ó más de 3 pasasH

-a simulación de este fenómeno es relativamente fácil*


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repara die# tro#os de papel en los .ue se 5a escrito un n0mero del & al < el & reempla#a al&*"óblalos( mé#clalos( eli+e al a#ar un tro#o( anota el n0mero .ue salió*"obla nuevamente el papel( mé#clalo( eli+e uno al a#ar( anota el n0mero( etc( etc(Depite el proceso 5asta tener die# n0meros anotados*

A5ora )a tienes escritos los die# n0meros .ue fueron ele+idos al a#ar*GCuántos n0meros fueron ele+idos & vecesHGCuántos n0meros fueron ele+idos ve#HGCuántos n0meros fueron ele+idos % vecesHGCuántos n0meros fueron ele+idos 3 vecesHGCuántos n0meros fueron ele+idos más de 3 vecesH

Te pon+o un e$emplo para .ue puedas presentar tus resultados*

or e$emplo( si fueron ele+idos los n0meros, ( 7( %( =( =( =( %( 6( 3 )

& veces fueron ele+idos, &( 4( '( < Total, 4 n0meros ve#( fueron ele+idos, 3( 6 ) 7 Total, 3 n0meros% veces( fueron ele+idos, ) % Total, % n0meros3 veces( fue ele+ido, Total, n0meroMás de 3 veces( no fue ele+ido nin+uno Total & n0meros

A5ora anota tus resultados( de manera parecida al e$emplo*

Iracias al método Montecarlo podemos tener al+una se+uridad .ue esto .ue acaba desuceder aleatoriamente puede ocurrir en la realidad*

En el e$emplo se ve .ue los resultados fueron descendentes 4( 3( %( ) &*G!iempre será así( en forma descendenteH

ara responder esta pre+unta ) también para conocer el promedio de veces .ue aparececada n0mero( vamos a repetir el proceso && veces( con la a)uda de tus ami+os*

usca die# ami+os* Zue cada uno ten+a sus die# papelitos con los n0meros del & al


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%3

Másde 3

Cuando 5a)as terminado de llenar el cuadro( calcula el promedio de cada una de las veces.ue salió un n0mero ele+id

Copia entonces este otro cuadro en tu cuaderno ) llénalo con los promedios .ue 5a#obtenido*

>S de veces romedio&

%3más de 3

-os promedios .ue tienes escritos en el cuadro de tu cuaderno están mu) cerca de larespuesta a la pre+unta(

GCuántos de los pastelitos de do2a !aturnina tienen cero pasas( una pasa( dos pasa( tres pasas ) más de tres pasasH*

resenta tus resultados al profesor( e/plícale cómo los 5as obtenido ) coméntalos con él*

El 0ro!lema del aniversario

edro feste$ó su cumplea2os con una pe.ue2a fiesta con sus ami+os* El total de asistentes ala fiesta de edro fueron %3 personas* Al día si+uiente sur+ió la pre+unta,

GCuántas personas .ue asistieron a la fiesta tendrán su aniversario el mismo día del a2oH*

Como )a no están las personas para pre+untarles ) llamarlas por teléfono sería mu)traba$oso ) molestoso para ellos( se decidió simular la situación*

repara die# papelitos con los n0meros de & al


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!i la terna de n0meros está fuera del con$unto K&&: &&%: &&3: *********: 364: 36'L( se dice .uees una terna mala ) la elimina ) nuevamente reali#as el proceso 5asta tener una terna!,ena

Este proceso se debe repetir 5asta tener %3 ternas de n0meros dentro del con$unto indicado(

pero( como te ima+inas( ese traba$o sería mu) tedioso ) 5asta aburrido* Entonces me$or pedimos a)uda a tus ami+os*usca cuatro ami+os ) .ue cada uno ten+a sus die# papelitos enumerados del & al


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ara esto necesitamos %% ami+os más t0( para .ue sean %3 personas .ue reali#an lasimulación*usca %% ami+os ) re+resas a continuar traba$ando

T0 ) tus %% ami+os reali#an la actividad*

Cada uno( con los die# peda#os de papel .ue tiene con los n0meros del & al


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Personas solitarias

M J K&( ( %( ******(


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A5ora puedes poner a prueba tus conocimientos sobre probabilidades ) el métodoMontecarlo*!i consideras .ue no estás preparado todavía( puedes re+resar ) comen#ar a traba$ar con elmódulo* Más tarde volverás a estas situaciones de evaluación*

Situación inicial Xlvaro( runo ) Carla 5an escrito su nombre en peda#os de papel( los 5an doblado( los pusieron en una ca$a ) los me#claron bien*8n fenómeno aleatorio consiste en e/traer de la ca$a( en forma sucesiva( uno por uno lostres nombres ) escribirlos en el orden .ue salen*

a Gor .ué este fenómeno es aleatorioH b GCuál es su espacio muestralHc !e sabe .ue el orden alfabético es, Xlvaro( runo( Carla( es decir Xlvaro es primero(

runo es se+undo ) Carla es tercera* GCuál es el evento formado por los elementosdel espacio muestral .ue no tienen nin+0n nombre bien ubicado alfabéticamenteH*

d GCuál es la probabilidad .ue al ele+ir un elemento del espacio muestral éste ten+aun nombre bien ubicado alfabéticoH

Escribe tus respuestas en tu cuaderno para .ue después puedas corre+irlas con tu profesor o profesora*

recuencia y pro#a#ilidad "on Ruan vende man#anas por ca$ones* `ltimamente los clientes de don Ruan se 5an.ue$ado por.ue encuentran al+unas man#anas malo+radas en los ca$ones* "on Ruan 5arevisado %& ca$ones ) 5a encontrado los si+uientes resultados, >S de man#anas >S de

malo+radas ca$ones& = %% 33 44 %'

total %&

a GCuál de las dos columnas indica la frecuenciaH b GZué si+nifica el n0mero 4 .ue está en la columna de n0mero de ca$onesFH

c GZué si+nifica el n0mero ' .ue está en la columna de n0mero de man#anasmalo+radasFH

d GCuántos ca$ones encontró don Ruan .ue tenían al menos una man#ana malo+radaHe G"on Ruan encontró al+0n ca$ón .ue tenía 7 man#anas malo+radasHf GCuál es la probabilidad .ue al esco+er al a#ar uno de esos %& ca$ones se encuentre

solo dos man#anas malo+radasH+ GCuál es la probabilidad .ue al ele+ir uno de esos %& ca$ones se encuentre más de %

man#anas malo+radas*


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5 Constru)e la tabla de distribución de probabilidades de esta tabla de frecuencias*


El Método MontecarloAplica la técnica de Montecarlo para +enerar %& valores para la si+uiente tabla dedistribución de probabilidad,


Aplicaciones del método Montecarlo

Los números de la tinka

En la tinVa se e/traen 6 n0meros del con$unto K( %( 3( 4( *****( 4'L*!imule %& veces este e/perimento aleatorio aplicando el método Montecarlo*8tili#ando tus propios resultados responde entonces( Gcuál es la probabilidad de .ue en una $u+ada de la tinVa 5a)an al menos un par de n0meros consecutivosH*


Sol,.ionario

Situación inicial

a Es un fenómeno aleatorio por.ue puede repetirse varias veces( no se sabe en .ueorden saldrán los nombres( pero si se sabe cuales son los posibles ordenes son los.ue aparecen en el espacio muestral*

b Ω J KXlvaro( runo( Carla( Xlvaro( Carla( runo( runo( Xlvaro( Carla(runo( Carla( Xlvaro( Carla( Xlvaro( runo( Carla( runo( Xlvaro L

c El evento de los elementos .ue no tienen nin+0n nombre bien ubicado(alfabéticamente es, A J Kruno( Carla( Xlvaro( Carla( Xlvaro( runo L

d Como el evento de los elementos .ue tienen uno bien ubicado alfabéticamente es, J KXlvaro( Carla( runo( runo( Xlvaro( Carla( Carla( runo( XlvaroL(entonces su probabilidad es, 36 J N J &('

>o puede 5aber solo dos elementos bien ubicados por.ue entonces el tercero tambiénestaría bien ubicado alfabéticamente*

/ % 4 6 = &/ &* &*% &*3 &*3 &*


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Frecuencia y probabilidades

a -a frecuencia es la columna de n0mero de ca$onesF por.ue indica el n0mero deveces .ue se repite la variación de la variable n0mero de man#anas malo+radas por ca$ónF

b El n0mero 4 si+nifica .ue don Ruan encontró 4 ca$ones .ue contenía 3 man#anas

malo+radas*c El n0mero ' indica .ue se encontraron ' man#anas malo+radas*d "on Ruan encontró .ue 5abían % ca$ones .ue tenían al menos una man#ana

malo+rada %& ca$ones menos = .ue no tenían man#anas malo+radas*e "on no encontró ca$ón .ue tuviera 7 man#anas malo+radas* El ma)or n0mero de

man#anas malo+radas .ue encontró en un ca$ón es '*f -a probabilidad de encontrar solo dos man#anas malo+radas es 3%&( o lo .ue es lo

mismo( &('*+ -a probabilidad de encontrar más de dos man#anas malo+radas( .uiere decir .ue

podemos encontrar 3( 4 ó ' man#anas malo+radas( entonces la probabilidad es,6%&( es decir( &(3&*

5 -a tabla de distribución de probabilidad debe ser,

El método Montecarlo

reparar & papelitos con los n0meros %( 4( 6( =( &( de la si+uiente manera, papelito con el n0mero %% apelitos con el n0mero 43 papelitos con el n0mero 63 papelitos con el n0mero = papelito con el n0mero &"oblar los papelitos( me#clarlos bien ) ele+ir al a#ar uno ) anotar el n0mero: doblar el papelito e/traído( me#clarlo con los demás( ele+ir uno al a#ar ) anotar el n0mero*Depetir todo el proceso 5asta tener %& n0meros ele+idos* Aplicaciones del método Montecarlo

Los números de la tinka

!e busca la participación de %& personas* Cada una tiene un con$unto de 4' papelitosdoblados( con los n0meros del al 4' escritos en su interior*Cada persona me#cla bien los papelitos( eli+en al a#ar seis papelitos( sin reposición( ) anotalos seis n0meros obtenidos* Ese es el resultado de una $u+ada de la tinVa*

>S de man#anas robabilidadmalo+radas

& &(4& &(&% &('3 &(%&4 &(&' &(&'

total (&&


39/39

Teniendo los %& resultados obtenidos se observa en cuántos resultados 5a) al menos un par de n0meros consecutivos dicen .ue debe 5aber más o menos la mitad( es decir & .ue sitienen n0meros consecutivos ) & .ue no tienen n0meros consecutivos*Con las cantidades obtenidas se calcula la probabilidad( dividiendo el n0mero de veces .uesi tenían n0meros consecutivos entre %&*

%ATERIALES DE CONSLTA

Do.,menta.i/n .ons,ltada

a* -a ciencia ) el 5ombre de acciónF* Arnold aufmann* EdicionesIuadarrama* Madrid(

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