Download - Le derivate (sintesi)
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1. Il rapporto incrementale
2. La derivata di una funzione
3. Il significato geometrico della derivata
2
Il rapporto incrementale
Consideriamo la funzione y = x2+1 e un punto del suo grafico A(3; 10) f(3)= 32+1 = 10Incrementando l’ascisse di 0,1 si ottiene il punto B di coordinate: xB=3+0,1=3,1 yB= f(xB) = 3,12+1=10,61Chiamiamo xB - xA= 0,1 l’incremento di x e yB - yA=10,61-10 = 0,61 l’incremento di y.Il rapporto tra questi due valori sarà chiamato rapporto incrementale
1,631,3
1061,10
AB
AB
xx
yy
3
Coefficiente angolare della retta passante per AB
Consideriamo la retta passante per AB e calcoliamo la sua equazione.La retta ottenuta ha coefficiente angolare uguale al rapporto incrementaleRicordiamo che …l’equazione esplicita della retta è y = mx + q m è chiamato coefficiente angolare della retta
3,81,6103,181,6
)3(1,610)(
xyxy
xyxxmyy
xx
yym
AA
AB
AB
4
Definizione di rapporto incrementale
Data una funzione y=f(x), definita in un intervallo [a; b], e due numeri reali c e c + h interni all’intervallo, si chiama rapporto incrementale di f (relativo a c), il numero
Infatti se consideriamo A(c; f(c)) B(c+h; f(c+h)) xB = c + h yB = f(xB)= f(c + h) Si ottiene
h
cfhcf
chc
cfhcf
xx
yy
AB
AB )()(
h
cfhcf )(
5
Esempio. Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione y = 2x2 - 3x relativo al suo punto A di ascissa 1.
Applichiamo la formula e troviamo
12
12211
211211
113121
1233242
3321213121
11
2
22
2
22
22
hh
hh
h
hh
h
fhf
h
cfhcf
hhhhfhf
f
hhhhh
hhhhhhfh
fhf
h
cfhcf
)()()(
)()(
)(
)()()()(
)()(
In generale, il valore del rapporto incrementale dipende dal valore di h. Nell’esempio, se h=0,2 il rapporto incrementale vale 2(0,2)+1=1,4… con h=0,1 allora il rapporto vale 1,2
6
Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione nel punto c = -1 e con h = 0,25
3
44
3
1
4
13
1
25,0
13
2
11
12
1
1)1(2)1(
3
2
75
50
75,0
50,0
75,0
150,1
75,0
1)75,0(2)75,0(
75,025,01)(
12)(
f
f
hchch
cfhcfx
xxf
7
)1(3
41
3
475,025,01
3
2;75,0)1;1(
12)(
xy
mhchc
BA
x
xxf
8
Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione nel punto c = -3 e con h generico.
10
)10(292910)(
2981298)3(4)3()3(
29108412698)3(4)3()3(
33)(
84)(
2
2
222
2
hh
hh
h
hh
h
cfhcf
f
hhhhhhhhf
hhcgenericohch
cfhcf
xxxf
9
Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione in un punto generico c e un incremento generico h.
22)22(22
2222)(
2)(
222)(2)()(
)(
2)(
2
222
2
222
2
chh
chh
h
hhch
h
cchchchc
h
cfhcf
cccf
hchchchchchcf
genericihech
cfhcf
xxxf
10
Il rapporto incrementale
Il rapporto
incrementale si
indica in generale
con i simboli
yx
f (c h) f (c)
h
11
La derivata di una funzione
f '(c) limh 0
f (c h) f (c)h
12
La derivata di f in un punto c
rappresenta il coefficiente
angolare della retta tangente al
grafico di f nel suo punto di
ascissa c.
Significato geometrico della derivata
13
Significato geometrico della derivata
Quando h 0
la retta secante s
tende alla tangente t
18
Il calcolo della derivata in un punto particolare
6)6(
lim6
lim
8169lim
)19(13lim
)3(3lim)3(
31)()(
lim)(
0
2
0
2
0
2
0
0
'
2
0
'
h
hh
h
hh
h
hh
h
h
h
fhff
cexxfconh
cfhcfcf
hh
h
h
h
h
19
)3(68 tangente
6)3(')(
6)3('83)8;3(1)( 2
xyretta
fmxxmyyrettedifascio
fyxAxxf
AA
AA
20
Il calcolo della derivata in un punto generico
46)463(lim
)463(lim
463lim
4344363lim
)43()(43lim
)(lim)(
43)()(
lim)(
0
0
2
0
222
0
22
0
0
'
2
0
'
cchh
chh
h
hchh
h
cchchchc
h
cchchc
h
cfhcfcf
xxxfconh
cfhcfcf
h
hh
h
h
h
h
21
F’ (c) = 6c - 4 è la derivata della
funzione f(x) = 3x2 - 4x .
Al variare di c si ottengono i
coefficienti angolari delle rette
tangenti nel punto c.
1)-10(x7-yè)7(-1;in tangente
104)1(6)1('7)1(1
2)-8(x4-yè4)(2;in tangente
84)2(6)2('4812)2(2
46)('46)('43)( 2
rettaLa
ffyxSe
rettaLa
ffyxSe
xxfccfxxxf
22
03
4
3
20
3
4
3
4;
3
2in tangente
043
26
3
2'
3
4
3
8
3
4
3
24
9
43
3
24
3
23
3
2
3
2 xSe
2
yxyèrettaLa
f
fy
La retta tangente calcolato
in quest’ultimo esempio è
parallela all’asse delle x e
individua un punto
particolare della funzione:
un punto di minimo
23
Negli esempi rappresentati la retta tangente al grafico è orizzontale ed ha come equazione y = k, ossia il suo coefficiente angolare è uguale a 0. Quindi la derivata in quei punti è uguale a 0. m = f ‘ (x) = 0
minimo massimo punti di flesso
I PUNTI STAZIONARIData una funzione y = f(x) e un punto x = c, se f ’(c) = 0, allora x = c si dice punto stazionario o punto a tangenza orizzontale.
24
Una funzione è derivabile in un intervallo [ a ; b ] :
- è derivabile in tutti i punti interni dell’intervallo;
- le derivate sono valori finiti;
- la derivata destra è uguale alla derivata sinistra.
Inoltre se una funzione è derivabile in un punto essa è anche
continua in quel punto
La derivata destra e la derivata sinistra
h
cfhcfcfistraderivatala
h
cfhcfcfdestraderivatala
h
cfhcfcfderivatala
h
h
h
)(lim)(sin
)(lim)(
)(lim)(
0
'
0
'
0
'
25
Esempio in cui la derivata destra non è uguale alla derivata sinistra
La funzione valore assoluto non è derivabile nel punto x=0
26
Le derivate fondamentali
5 35
35
31
5
2
5
25 2
3 23
23
21
3
13
1
22111
2
12
11
2
1
2
1
267341
5
2
5
2
5
2
5
2
3
1
3
1
3
1
3
1,0
1
11
1
02
1
2
1
2
1
2
1
1;2;7;4
04
3;030
xx
xxDxxD
xx
xxDxDNnxconxn
xD
xxxDx
xD
xconx
x
xxDxxD
DxxDxxDxxDxnxDx
DDDk
esempion n
n
esempinn
esempi
27
Le derivate fondamentali
22
22
22
22
2
2
2
2
22
2
22
1
1
1
11
1
1
1
11
11
1111
1333
xxD
xxarcsenD
xxD
xxarctgD
inversefle
xxsen
xD
xtgx
x
x
xsen
x
xxsen
xxtgD
senxxD
xsenxD
richetrigonometflex
ex
xDex
xDex
xD
eeeeDeDaaDa
fLe
eesempioaa
xxxxxesempi
xx
arccosen
arccotg
cotgcotg
helogaritmiceliesponenzia
.
)(
coscos
coscoscos
cos
cos
cos
.
logln;loglogloglog
)(lnln;lnln
.
28
Le regole di derivazione
La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione
55634' 962
3
2
3433 xxxDxxDxfkxfkD
esempio
La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni
5121245324532
25
)(
354646
42525
''
xxDDxDxDxxxxD
xxDxDxxxD
xgxfxgxfD
29
Le regole di derivazione
xxxsenxDsenxxsenDxxsenxD
xx
xx
xxxDxxDxxxD
xgxfxgxfxgxfD
cos
2
3
22
11
)( ''
La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma della derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata con la prima funzione non derivata per la seconda derivata
30
Le regole di derivazioneLa derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione che ha:
• Per numeratore la differenza fra la derivata della funzione al numeratore per la funzione al denominatore e la funzione al numeratore per la derivata della funzione al denominatore
• Per denominatore il quadrato della funzione al denominatore
2
2
2
22
2
22
2
''
52
8102
52
82104
52
24522
52
4
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xD
xg
xgxfxgxf
xg
xfD
31
32
33
2
2
2
2
2
''
22
'
2223
'1
''
42525''
34'
52
1062.....
52
252522
52
4
2
2
52
11
231232232
2
3
22
11
)(
25)(
433
x
xx
x
xxx
x
xD
xg
xgxfxgxf
xf
xgD
xxD
xf
xf
xfD
xxxDxxD
xfxfnxfD
xx
xx
xxxDxxDxxxD
xgxfxgxfxgxfD
xxDxDxxxDxgxfxgxfD
xxDxfkxfkD
esempio
esempio
esempio
nn
esempio
esempio
esempio
34
2
2
2
2
2
''
22
'
2223
'1
''
42525''
34'
52
1062.....
52
252522
52
4
2
2
52
11
231232232
2
3
22
11
)(
25)(
433
x
xx
x
xxx
x
xD
xg
xgxfxgxf
xf
xgD
xxD
xf
xf
xfD
xxxDxxD
xfxfnxfD
xx
xx
xxxDxxDxxxD
xgxfxgxfxgxfD
xxDxDxxxDxgxfxgxfD
xxDxfkxfkD
esempio
esempio
esempio
nn
esempio
esempio
esempio
35