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I
Le sorprende que yo est trabajando simultneamente en literatura y matemticas. Muchas personas que no han tenido nunca la oportunidad de aprender que son las matemticas, las confunden con la aritmtica y la consideran una ciencia rida y fra. El hecho es que es la ciencia que ms imaginacin necesita. Uno de los ms grandes matemticos de nuestro siglo dice muy acertadamente que es imposible ser matemtico sin ser un poeta de espritu. A m me parece que el poeta debe ser capaz de ver lo que los dems no ven, debe ver ms profundamente que otras personas. Y el matemtico debe hacer lo mismo.
Sonya Kovalevskaya
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II
ANLISIS MATEMTICO
MARA MOLERO APARICIO
ADELA SALVADOR ALCAIDE
TRINIDAD MENARGUEZ PALANCA
LUIS GARMENDIA SALVADOR
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III
CONTENIDO
CONTENIDO I
PRLOGO XI VARIABLE COMPLEJA 1
HISTORIA DE LA VARIABLE COMPLEJA 2 Los nmeros complejos 2 Funciones de variable compleja 5
La funcin logaritmo 6 Integracin 8
Cauchy y la variable compleja 9 Riemann y la variable compleja 12 Weierstrass y la variable compleja 13
CAPTULO 1. Los nmeros complejos 17 1.1. EL CUERPO DE LOS NMEROS COMPLEJOS 18
1.1.1. Nmeros complejos en forma binmica 19 1.1.2. Operaciones en forma binmica 20 1.1.3. Propiedades algebraicas 21
Ejemplos resueltos 23 Ejercicios 23
1.2. REPRESENTACIN GEOMTRICA. DIAGRAMA DE ARGAND 25 Ejemplos resueltos 27 Ejercicios 29
1.3. FORMA POLAR 30 1.3.1. Mdulo 30 1.3.2. Argumento 31 1.3.3. Propiedades del mdulo, del conjugado y del
argumento de un nmero complejo 32 1.3.4. Forma polar 33
Ejemplos resueltos 34 Ejercicios 35
1.4. FORMA EXPONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO 37 1.4.1. Operaciones entre nmeros complejos en forma exponencial 37 1.4.2. Frmula de Moivre 40
Ejemplos resueltos 40 Ejercicios 41
1.5. TOPOLOGA DEL PLANO COMPLEJO 43 Ejemplos resueltos 47 Ejercicios 47
1.6. LA ESFERA DE RIEMANN. PROYECCIN ESTEREOGRFICA. 48 Ejercicios 51
1.7. EJERCICIOS 52
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IV
CAPTULO 2. Funciones complejas 57 2.1. DEFINICIN. FUNCIONES ELEMENTALES 59
2.1.1. Definicin de funcin compleja 59 2.1.2. Funciones Elementales 60
2.1.2.1. Polinomios 60 2.1.2.2. Funciones racionales 61 2.1.2.3. Funcin exponencial 61 2.1.2.4. Funciones trigonomtricas 63 2.1.2.5. Funciones hiperblicas 65 2.1.2.6. Funcin logaritmo 66 2.1.2.7. Funciones definidas como potencias 68 Ejemplos resueltos 70 Ejercicios 74
2.2. LMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. 76 2.2.1. Lmites de funciones 76 2.2.2. Lmites en el infinito. Lmites infinitos 76 2.2.3. Continuidad. 77
Ejemplos resueltos 79 Ejercicios 81
2.3. DERIVADA COMPLEJA 82 2.3.1. Definicin de derivada 82 2.3.2. Propiedades 85 2.3.3. Condiciones de Cauchy Riemann. 86 2.3.4. Estudio de la derivada de distintas funciones 89
Ejemplos resueltos 91 Ejercicios 93
2.4. FUNCIONES HOLOMORFAS 94 2.4.1. Funciones holomorfas. Definiciones 95 2.4.2. Estudio de la holomorfa de las distintas funciones 95 2.4.3. Propiedades de las funciones holomorfas 96
Ejemplos resueltos 97 Ejercicios 98
2.5. FUNCIONES ARMNICAS 99 2.5.1. Funciones armnicas. Definicin 99 2.5.2. Propiedades de las funciones armnicas. 101
Ejemplos resueltos 102 Ejercicios 103
2.6. EJERCICIOS 104
CAPTULO 3. Series complejas 111 3.1. SUCESIONES Y SERIES DE NMEROS COMPLEJOS 113
Ejemplos resueltos 117 Ejercicios 119
3.2. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES COMPLEJAS 120 3.2.1. Sucesiones de funciones complejas 120 3.2.2. Series de funciones complejas. Definicin y convergencia 122 3.2.3. Series de funciones complejas. Continuidad y derivabilidad 125
Ejemplos resueltos 127 Ejercicios 128
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V
3.3. SERIES DE POTENCIAS 129 3.3.1. Definicin. Convergencia de una serie de potencias 129
Ejemplos resueltos 135 3.3.2. Funciones definidas por series de potencias 136
Ejemplos resueltos 141 Ejercicios 144
3.4. FUNCIONES ANALTICAS 145 3.4.1. Definicin y propiedades 145 3.4.2. Desarrollos en serie de funciones 147 3.4.3. Prolongacin analtica 148
Ejemplos resueltos 152 Ejercicios 153
3.5. SERIES DE LAURENT 154 3.5.1. Series de Laurent. Definicin y convergencia 154 3.5.2. Representacin de funciones en series de Laurent 158
Ejercicios 163 3.6. EJERCICIOS 163
CAPTULO 4. Integracin en el plano complejo 169 4.1. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. 170
Ejemplos resueltos 175 Ejercicios 178
4.2. INTEGRACIN SOBRE CAMINOS. 179 4.2.1. Integral de una funcin sobre un camino 180 4.2.2. Relacin de la integral compleja con la integral curvilnea real 181 4.2.3. Propiedades elementales 182
Ejemplos resueltos 184 Ejercicios 188
4.3. NDICE DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CURVA. 190 4.3.1. Definicin de ndice 190 4.3.2. ndice y homotopa 192 4.3.3. ndice y conexin 193
Ejemplos resueltos 193 Ejercicios 195
4.4. TEOREMA DE CAUCHY. 196 4.4.1. Primitivas 196 4.4.2. Distintos enunciados del teorema de Cauchy. 199
Versin primera del Teorema de Cauchy 200 Lema de Goursat 201 Teorema de Cauchy para un disco 205 Teorema de Cauchy para caminos homtopos 206 Teorema de Cauchy en dominios simplemente conexos 207 Teorema de Cauchy-Goursat 208 Ejemplos resueltos 208 Ejercicios 209
4.5. INTERPRETACIN FSICA Y GEOMTRICA DE LA INTEGRAL COMPLEJA 211
4.5.1. Trabajo y flujo 211 4.5.2. Teorema de la divergencia 213
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VI
4.6. FRMULA INTEGRAL DE CAUCHY. 214 4.6.1. Frmula integral de Cauchy. 217
Ejemplos resueltos 219 Ejercicios 220
4.7. CONSECUENCIAS DE LA FRMULA DE CAUCHY. 221 4.7.1. Aplicacin al clculo de integrales reales 223 4.7.2. Desarrollo en serie de potencias de una funcin holomorfa 223 4.7.3. Derivadas de orden superior 225 4.7.4. Desigualdad de Cauchy 228 4.7.5. Teorema de Liouville 229 4.7.6. Teorema fundamental del lgebra 229 4.7.7. Teorema de Morera 230 4.7.8. Principio del mdulo mximo 232 4.7.9. Otras consecuencias 233
Principio de prolongacin analtica 234 Ceros de funciones holomorfas 234 Regla de LHpital 235 Ejemplos resueltos 236 Ejercicios 237
4.8. EJERCICIOS 238
CAPTULO 5. Singularidades y residuos 245 5.1. SINGULARIDADES 245
Ejemplos resueltos 246 Ejercicios 247
5.2. CARACTERIZACIN DE LAS SINGULARIDADES AISLADAS 248 5.2.1. Singularidades evitables 249 5.2.2. Polos 249 5.2.3. Singularidad esencial 251 5.2.4. Ceros de una funcin analtica 253
Ejemplos resueltos 254 Ejercicios 256
5.3. SERIES DE LAURENT 257 5.3.1. Expresin integral de los coeficientes de la serie de Laurent 258 5.3.2. Relacin entre el tipo de singularidad y los coeficientes de
la serie de Laurent 260 Ejemplos resueltos 260 Ejercicios 261
5.4. RESIDUOS 262 5.4.1. Teorema del residuo 263 5.4.2. Clculo de residuos. Residuos en los polos 264 5.4.3. Residuo en el infinito 267
Ejemplos resueltos 271 Ejercicios 275
5.5. FUNCIONES MEROMORFAS, ANALTICAS Y ENTERAS 278 5.5.1. Funciones meromorfas 278 5.5.2. El principio del argumento y sus consecuencias 279 5.5.3. Teorema de Rouch 282 5.5.4. Teorema fundamental del lgebra 282
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VII
5.5.5 Teorema de Hurwitz 283 5.5.6. Teorema de la aplicacin abierta 284 5.5.7. Teorema del mdulo mximo 285 5.5.8. Teorema de los tres crculos de Hadamard 286 5.5.9. Problema de Dirichlet 286 5.5.10. Teorema de Phragmen-Lindelf 287 5.5.11. Lema de Schwarz. 289 5.5.12. Principio de Lindelf o principio de subordinacin 289 5.5.13. Clasificacin de las funciones enteras 291 5.5.14.Orden de una funcin entera 293
5.6. EJERCICIOS 296
CAPTULO 6. Geometra de las transformaciones complejas 307 6.1. TRANSFORMACIONES CONFORMES 308
Observaciones 310 Ortogonalidad 311 Equivalencia conforme 312
6.1.1. Teoremas de la aplicacin abierta y de la aplicacin de Riemann. 313 Teorema de la aplicacin abierta 313 Teorema de la aplicacin de Riemann 314 Ejemplos resueltos y ejercicios 316
6.2. ALGUNAS TRANSFORMACIONES SENCILLAS 317 6.2.1. La aplicacin lineal: f(z) = az + b 317 6.2.2. La funcin f(z) = z2 319 6.2.3. La funcin f(z) = zn 320 6.2.4. La funcin exponencial w = exp(z) = ez 320 6.2.5. La funcin w = cos(z) 321 6.2.6. La funcin w = z 321 6.2.7. La funcin w = 1/z 321 6.2.8. Otras transformaciones 323
Ejemplos resueltos y ejercicios 324 6.3. TRANSFORMACIN BILINEAL O DE MBIUS 327
6.3.1. Propiedades bsicas 328 6.3.2. Tipos particulares de transformaciones bilineales 331 6.3.3. Razn doble 334 6.3.4. Principio de simetra y principio de orientacin 338
Circunferencia de Apolonio 341 Ejemplos resueltos y ejercicios 344
6.4. APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES CONFORMES 349
6.4.1. Transformaciones de funciones armnicas 349 6.4.2. Ecuacin de Laplace con condiciones de contorno 349 6.4.3. Aplicaciones a la hidrodinmica 351 6.4.4. Aplicaciones a la teora del calor 352 6.4.5. Aplicaciones a la electrosttica 352 6.4.6. La transformacin de Schwarz-Christoffel 353
6.5. EJERCICIOS 354
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VIII
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 365
HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 369
CAPTULO 7. Ecuaciones diferenciales en el mundo fsico. Integracin elemental 407
7.1. NATURALEZA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 409
7.1.1. Primeras definiciones 409 7.1.2. Soluciones 410 7.1.3. Campos de direcciones. Curvas integrales. Isoclinas 412
Ejemplos resueltos 413 Ejercicios 415
7.2. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMTICOS 417
7.2.1. Crecimiento, desintegracin y reacciones qumicas 417 7.2.2. Cuerpos en cada libre y con resistencia 418 7.2.3. Movimiento pendular 420 7.2.4. La cicloide. La curva braquistcrona 423 7.2.5. Circuitos elctricos simples. Oscilaciones en resortes. 426 7.2.6. Dinmica de poblaciones. 428 7.2.7. La catenaria. 429 7.2.8. Ecuacin diferencial de una familia de curvas 430
Ejemplos resueltos 431 Ejercicios 432
7.3. INTEGRACIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 433
7.3.1 Ecuaciones diferenciales con variables separadas 434 Ecuaciones diferenciales reducibles a este tipo 434 Ejemplos resueltos 434 Ejercicios 435
7.3.2 Ecuaciones diferenciales homogneas 436 Ecuaciones diferenciales reducibles a homogneas 437 Ejemplos resueltos 438 Ejercicios 440
7.3.3. Ecuaciones diferenciales exactas 440 Ejemplos resueltos 442 Ejercicios 444
7.3.4. Factores integrantes 445 Factores integrantes que dependen exclusivamente de la variable x o de y. 446 Ejemplos resueltos 447 Ejercicios 448
7.3.5. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 449 Mtodos de resolucin 450 Mtodo 1: Factor integrante 450 Mtodo 2: Cambio de variable 450
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IX
Mtodo 3: Variacin de las constantes 451 Ejemplos resueltos 453 Ejercicios 455
7.3.6. Algunas ecuaciones diferenciales especiales 456 Ecuacin de Bernoulli 456 Ecuacin de Ricatti 457 Ecuacin de Lagrange 459 Ecuacin de Clairaut 459 Ejemplos resueltos 460 Ejercicios: 462
7.3.7. Trayectorias ortogonales 462 Ejemplos resueltos 464 Ejercicios 465
7.3.8. Envolvente de un haz de curvas 466 Ejemplos resueltos 469 Ejercicios 469
7.3.9. Soluciones singulares 470 Ejemplos resueltos 470 Ejercicios 472
7.3.10. Aplicaciones 473 Circuitos elctricos 473 La curva tractriz 474 Ejemplos resueltos y ejercicios 475
7.6. EJERCICIOS 477
CAPTULO 8. Existencia y unicidad de soluciones 481 8.1. PROBLEMA DE CAUCHY. TEOREMAS PREVIOS 482
8.1.1. Problema de Cauchy 482 8.1.2. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo. 485 8.1.3. Funciones equicontinuas. Teorema de Ascoli-Arzel 487 8.1.4. Condicin de Lipschitz. 489
Ejemplos resueltos 493 Ejercicios 496
8.2. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIN. SOLUCIN GLOBAL 497
8.2.1. Teorema de existencia global. Teorema de Cauchy-Peano 498
8.2.2. Teorema de existencia y unicidad global. Teorema de Picard-Lindelf 501
8.2.3. Iterantes de Picard 504 Ejemplos resueltos 506 Ejercicios 511
8.3. PROBLEMA DE CAUCHY. SOLUCIN LOCAL 513 8.3.1. Teorema de existencia y unicidad local de soluciones 513 8.3.2. Teorema de existencia local de soluciones 518 8.3.3. Prolongacin de soluciones 518
Ejemplos resueltos y ejercicios 520 8.4. EJERCICIOS 532
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X
CAPTULO 9. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Transformada de Laplace 535
9.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 537
9.1.1. Ejemplos 537 9.1.2. Conceptos previos 541 9.1.3. Reduccin de ecuaciones diferenciales a sistemas de
ecuaciones 543 Ejemplos resueltos 545 Ejercicios 547
9.2. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS SOLUCIONES 547 9.2.1. Teoremas de existencia y unicidad para sistemas 547 9.2.2. Teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones
diferenciales de orden n 549 Ejemplos resueltos 550 Ejercicios 551
9.3. MTODOS DE REDUCCIN DE ORDEN EN CASOS PARTICULARES 551
9.3.1. Ecuaciones en las que falta la funcin incgnita 551 La catenaria 552
9.3.2. Ecuaciones en las que falta la variable independiente. 553 El movimiento armnico simple 553 Movimiento de un cohete. Velocidad de escape 555 Ecuacin de Van der Pol 555
9.3.3. Reduccin de orden en sistemas autnomos. 556 Ecuaciones de rapaz y presa de Lotka-Volterra 557 La barca en el ro 557 Ejemplos resueltos 558 Ejercicios. 559
9.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE 559 9.4.1. Definicin, condiciones de existencia y primeras propiedades 560
Primeras propiedades: 564 Transformada de Laplace de algunas funciones 564 Ejemplos resueltos 565 Ejercicios 567
9.4.2. La funcin de Heaviside y la delta de Dirac 568 Ejemplos resueltos 570 Ejercicios 571
9.4.3. Teoremas de traslacin y transformada de una funcin peridica 572 Teoremas de traslacin 572 Transformada de una funcin peridica 573 Ejemplos resueltos 574 Ejercicios 575
9.4.4. Transformadas de derivadas e integrales 576 Transformada de una derivada 576 Transformada de una integral 578 Ejemplos resueltos 581 Ejercicios 582
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XI
9.4.5. La convolucin 583 Propiedades de la convolucin 583 Ejemplos resueltos 585 Ejercicios 586
9.4.6. La transformada inversa 586 Transformadas inversas de funciones racionales 587 Ejemplos resueltos 591 Ejercicios 593
9.4.7. Aplicaciones 593 1. Resolucin de ecuaciones diferenciales lineales 593 2. Resolucin de sistemas de ecuaciones diferenciales 595 3. Resolucin de ecuaciones integrales 595 4. La curva tautcrona 596 Ejemplos resueltos 598 Ejercicios 602
9.5. EJERCICIOS 603
CAPTULO 10. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 607
10.1. CONCEPTOS PREVIOS. 609 10.1.1. El operador diferencial D 610 10.1.2. El operador lineal L 611 10.1.3. Operadores con coeficientes constantes. 613 10.1.4. Teorema de existencia y unicidad 614
Ejemplos resueltos 615 Ejercicios 616
10.2. ESTRUCTURA DE LAS SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 617
10.2.1. Dependencia e independencia lineal. Wronskiano 617 10.2.2. Estructura de las soluciones de la ecuacin homognea 619 10.2.3. Estructura de las soluciones de la ecuacin completa 627
Ejemplos resueltos 629 Ejercicios 631
10.3. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES 632
10.3.1. Ecuacin caracterstica. Autovalores 632 10.3.2. Discusin de las soluciones 633
Ejemplos resueltos 636 Ejercicios 638
10.4. MTODOS DE RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 639
10.4.1. Reduccin de orden de una ecuacin diferencial lineal homognea. Mtodo de DAlembert 639
10.4.2. Mtodo de variacin de las constantes 640 Ejemplos resueltos 643 Ejercicios 645
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XII
10.4.3. Ecuaciones diferenciales lineales no homogneas con coeficientes constantes 646 Mtodo del anulador 647 Mtodo de los coeficientes indeterminados 648 Ejemplos resueltos 650 Ejercicios 654
10.4.4. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes no constantes 655 Ecuacin de Euler-Cauchy 655 Cambios de variable 658 Ejemplos resueltos 658 Ejercicios 661
10.5. DESARROLLOS EN SERIES DE POTENCIAS 661 10.5.1. Soluciones en torno a puntos ordinarios 662 10.5.2. Soluciones en torno a puntos singulares 666
Ejemplos resueltos 672 Ejercicios 676
10.6. APLICACIONES 677 10.6.1. Movimiento oscilatorio armnico 677
Vibraciones armnicas simples no amortiguadas 677 Vibraciones amortiguadas 678 Vibraciones forzadas 680 Vibraciones libres forzadas. Resonancia. 681
10.6.2. Circuitos elctricos 682 10.6.3. Las leyes de Kepler 684
Ejemplos resueltos 689 Ejercicios 690
10.7. EJERCICIOS 691
CAPTULO 11. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 695
11.1. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES
DIFERENCIALES. 696 11.1.1. Conceptos previos 697 11.1.2. Teoremas de existencia y unicidad. 701
Ejemplos resueltos 702 Ejercicios 704
11.2. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 705
11.2.1. Dependencia e independencia lineal. 705 11.2.2. Estructura de las soluciones del sistema homogneo 707 11.2.3. Matriz fundamental 714
Propiedades de la matriz fundamental 715 11.2.4. Estructura de las soluciones del sistema no homogneo 716
Ejemplos resueltos 719 Ejercicios 721
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XIII
11.3. SISTEMAS LINEALES HOMOGNEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES 722
11.3.1. Resolucin por eliminacin mediante el operador diferencial D 723 Ejemplos resueltos 725
11.3.2. Resolucin buscando soluciones exponenciales. Mtodo de Euler 727 Ejemplos resueltos 730
11.3.3. Ecuacin caracterstica. Autovalores y autovectores 733 Ejemplos resueltos 745 Ejercicios 747
11.4. EXPONENCIAL DE UNA MATRIZ 748 11.4.1. Propiedades de la exponencial de una matriz 750 11.4.2. Clculo de la funcin matricial eAx 751 11.4.3. Estudio del caso general 753
Ejemplos resueltos 754 Ejercicios 757
11.5. SISTEMAS LINEALES NO HOMOGNEOS 758 11.5.1. Mtodo de variacin de las constantes 758 11.5.2. Sistemas lineales no homogneos con coeficientes
constantes 759 Reduccin a una ecuacin diferencial mediante el operador diferencial D 760 Mtodo de coeficientes indeterminados 761 Ejemplos resueltos 762 Ejercicios 768
11.6. EJERCICIOS 769
CAPTULO 12 775
Teora cualitativa de ecuaciones diferenciales 705 12.1. CONCEPTOS PREVIOS: GENERALIDADES 778
12.1.1. Soluciones y trayectorias en un sistema de ecuaciones diferenciales 778
12.1.2. Diagrama de fases 781 12.1.3. Puntos crticos 784 12.1.4. rbitas cclicas 787 12.1.5. Estabilidad de Liapunov y estabilidad orbital 790 12.1.6. Dinmica en un sistema lineal homogneo de dimensin
n = 1. 794 12.1.7. Dinmica en un sistema lineal homogneo de dimensin
n = 2. 795 Ejemplos resueltos 800 Ejercicios 802
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XIV
12.2. COMPORTAMIENTO DINMICO DE UN SISTEMA LINEAL HOMOGNEO 805
12.2.1. Comportamiento dinmico de una ecuacin diferencial lineal homognea de coeficientes constantes de orden superior 809 Ejemplos resueltos 810 Ejercicios 812
12.3. SISTEMAS CASI-LINEALES 814 Ejemplos resueltos 818 Ejercicios 821
12.4. SISTEMAS BIDIMENSIONALES AUTNOMOS 823 12.4.1. Teorema de Poincar - Bendixson 823 12.4.2. Dinmica del pndulo 825 12.4.3. Dinmica de poblaciones: sistemas de Lotka-Volterra 831
Ejemplos resueltos 834 Ejercicios 837
12.5. ESTABILIDAD EN SISTEMAS HAMILTONIANOS O CONSERVATIVOS, EN SISTEMAS DISIPATIVOS Y EN SISTEMAS GRADIENTE. 838
12.5.1. Sistemas conservativos y funciones de Hamilton 838 12.5.2. Sistemas disipativos y funciones de Lyapunov 842 12.5.3 Sistemas gradiente 843
Ejemplos resueltos 845 Ejercicios 848
12.6. DINMICAS CATICAS 848 12.6.1. El sistema de Lorenz 848
Ejercicios 855 12.7. EJERCICIOS 856
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XV
RESOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 869
HISTORIA DE LA RESOLUCIN NUMRICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. 875 Solucin numrica antes de los ordenadores 876 Solucin numrica despus de los ordenadores 881
CAPTULO 13. Mtodos numricos de un paso 883 13.1. EL MTODO DE EULER 886
Ejemplos resueltos 890 Ejercicios 895
13.2. ESTUDIO GENERAL DE LOS MTODOS DE UN PASO 896 13.2.1. Control del error: error de redondeo, error de truncamiento,
error local y error global 897 Clculo del orden del error de truncamiento para el mtodo de Euler: 900
13.2.2. Convergencia, consistencia y estabilidad de los mtodos de un paso 903 Ejemplos resueltos 905 Ejercicios 910
13.3. MTODOS DE TAYLOR 912 Ejemplos resueltos 914 Ejercicios 918
13.4. MTODOS DE RUNGE-KUTTA 920 13.4.1. Mtodos de Runge-Kutta de dos etapas o mtodos de
Euler modificados 924 13.4.2. Mtodos de Runge-Kutta de tres etapas 928 13.4.3. Mtodos de Runge-Kutta cuatro 930
Ejemplos resueltos 935 Ejercicios 937
13.5. ESTIMACIN DEL ERROR EN CADA PASO 938 La extrapolacin de Richardson 939 Pares encajados de Runge-Kutta 942 Ejemplos resueltos 948 Ejercicios 949
13.6. ESTABILIDAD ABSOLUTA EN LOS MTODOS DE UN PASO 950
Ejemplos resueltos 955 Ejercicios 960
13.7. APNDICE: ECUACIONES EN DIFERENCIAS 961 Ejemplos resueltos 966 Ejercicios 969
13.7. EJERCICIOS 971
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XVI
CAPTULO 14. Mtodos numricos lineales multipaso 983 14.1. DEFINICIN 984
Ejemplos resueltos 986 Ejercicios 987
14.2. MTODOS DE ADAMS 987 14.2.1. Mtodos de Adams-Bashforth 991 14.2.2. Mtodos de Adams-Moulton 996
Ejemplos resueltos 1004 Ejercicios 1011
14.3. CONVERGENCIA, CONSISTENCIA Y ESTABILIDAD 1015 14.3.1. Definicin de convergencia 1015
Ejemplos resueltos 1017 14.3.2. Orden de consistencia y error de truncamiento 1018 14.3.3. Constante de error 1020
Ejemplos resueltos 1025 14.3.4. Polinomios de estabilidad 1027 14.3.5. Estabilidad. Condiciones de raz 1029 14.3.6. Condicin de raz fuerte 1033
Ejemplos resueltos 1035 14.3.7. Relaciones entre convergencia, consistencia y estabilidad 1039 14.3.8. Orden mximo de convergencia: Primera barrera de
Dahlquist 1041 Ejemplos resueltos 1042
14.3.9. Mtodos multipaso vectoriales 1046 Ejemplos resueltos 1047 Ejercicios 1048
14.4. ESTABILIDAD ABSOLUTA Y ESTABILIDAD RELATIVA 1050 14.4.1. Estabilidad absoluta 1052 14.4.2. Estabilidad relativa 1059 14.4.3. Estabilidad absoluta de los mtodos lineales multipaso
en sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 1061 Ejemplos resueltos 1063 Ejercicios 1070
14.5. OTROS MTODOS DE K PASOS 1071 14.5.1. Nystrm y Milne-Simpson 1071 14.5.2. Mtodo predictor-corrector 1072 14.5.3. Mtodos multipaso de tamao de paso variable 1078 14.5.4. Problemas stiff 1080
Ejemplos resueltos 1081 Ejercicios 1088
14.6. EJERCICIOS 1089
BIBLIOGRAFA 1097 BIBLIOGRAFA DE CONSULTA RECOMENDADA 1097
Bibliografa de variable compleja 1097 Bibliografa de ecuaciones diferenciales 1098 Bibliografa de mtodos numricos para ecuaciones diferenciales ordinarias 1099
REFERENCIAS 1100
-
XVII
Prlogo
En este libro los autores y autoras hemos pretendido desarrollar los
contenidos de un curso clsico de Anlisis Matemtico: Variable Compleja,
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Mtodos Numricos para las ecuaciones
diferenciales. Est dirigido de manera especial a estudiantes de ingeniera y
por tanto los contenidos se han seleccionado teniendo muy presentes las
posibles aplicaciones. Nuestro deseo es que esta obra sea de utilidad tanto
para estudiantes de escuelas tcnicas como para el profesorado que imparte
las correspondientes asignaturas.
Se ha procurado que el texto tenga una estructura clara y sencilla. Por
esta razn se han eliminado las demostraciones de algunos resultados que,
quizs, por su excesiva abstraccin o sus dificultades tcnicas, pudieran
complicar la comprensin, en lugar de ayudar a mejorarla.
Se ha intentado mantener un orden coherente en la presentacin y
desarrollo de los distintos conceptos que se van introduciendo, incorporando al
final de cada apartado algunos ejemplos totalmente resueltos que pueden
contribuir en gran medida a su comprensin y asimilacin. Al final de cada
apartado y de cada captulo se adjuntan ejercicios y problemas, y en las
ocasiones que se ha considerado adecuado, se han aadido las soluciones.
El equipo formado por los autores y las autoras del libro lleva numerosos
aos explicando los contenidos del texto a alumnado de distintas ramas de
ingeniera: caminos, informtica, telecomunicaciones... A partir de la propia
-
XVIII
experiencia se observ que existen magnficos textos de ecuaciones
diferenciales ordinarias, que sin embargo proporcionan un tratamiento
demasiado elemental, en opinin de los autores, al estudio de los
procedimientos de resolucin numrica de ecuaciones diferenciales.
Igualmente, existen estupendos textos de mtodos numricos, pero que no
abordan el estudio general de las ecuaciones diferenciales ordinarias, y de
forma similar sucede con la teora de las funciones complejas, donde se
encuentran esplndidos textos de variable compleja, pero que no tratan ni las
ecuaciones diferenciales ordinarias, ni los mtodos para la resolucin numrica
de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Aunque exista bastante bibliografa
de consulta, no conocamos ninguna obra en el mercado que reuniera todos los
aspectos que necesitbamos que tuviese el libro de texto. Desde un punto de
vista docente es muy importante que una materia de este tipo se encuentre
recogida en un nico texto, de forma que el profesorado pueda utilizarlo como
gua y recomendarlo a los alumnos. En este libro se ha pretendido recopilar los
contenidos bsicos de las materias anteriores de manera que su estructura
rena con el nivel de rigor requerido, ni demasiado riguroso, ms adecuado
para el alumnado de matemticas, ni carente de rigor, de manera que los
estudiantes de ingeniera, a los que va especialmente dirigido, encuentren lo
necesario para servirles de gua y les permita comprender y asimilar la materia
desarrollada.
El texto se puede considerar formado por tres secciones diferenciadas,
que abordan, en este orden, el estudio de las funciones de variable compleja, el
estudio general de la teora de ecuaciones diferenciales y el tratamiento
numrico de las ecuaciones diferenciales. En cada una de ellos se ha aadido
-
XIX
una introduccin histrica, con el fin de introducir en las distintas materias que
se van a estudiar a travs de un recorrido por el tiempo, en el que se muestra
su origen, evolucin y desarrollo posterior. Pensamos que conocer la evolucin
histrica de las matemticas, la forma de trabajar del matemtico profesional y
la contribucin de ste, as como las dificultades, las razones o los
procedimientos de los que han surgido los conceptos y las ideas, mejora el
aprendizaje.
La primera seccin aborda el estudio de la teora de funciones de una
variable compleja. Se ha dividido en seis captulos, que van precedidos por una
introduccin histrica. En ella se ha pretendido presentar de forma resumida la
aparicin de los nmeros complejos, su utilizacin en los comienzos como
solucin de distintos problemas planteados, pero pensando en los nmeros
complejos como entes extraos e imaginarios, y su sucesiva formalizacin
hasta llegar a su aceptacin por parte de la comunidad cientfica como
disciplina dotada de una base slida y coherente, eliminando definitivamente el
carcter misterioso que tenan en un principio dichos nmeros.
El primer captulo es esencialmente una revisin de los nmeros
complejos, concepto y propiedades, ya conocidos de cursos anteriores, tanto
por las asignaturas de primer curso de ingeniera como en el bachillerato: se
introducen los nmeros complejos, sus operaciones, propiedades y estructura.
Quizs se aade a lo que usualmente conocen, la notacin exponencial. Se
define el plano complejo, se representan conjuntos en l, se concretan algunas
definiciones topolgicas y se define la esfera de Riemann, que permite
introducir el punto de infinito en el plano complejo, insistiendo en la diferencia
-
XX
en el concepto de infinito en la recta real, que es un conjunto totalmente
ordenado con y +, y el concepto de infinito en el plano complejo.
En el segundo captulo se definen las funciones complejas. Se extienden
al plano complejo las funciones reales ya conocidas, y se define la derivada de
una funcin compleja, de importancia fundamental dentro de la teora, poniendo
especial atencin en presentar las diferencias existentes entre la derivada de
las funciones de en , las funciones de en y la derivada compleja.
Se introduce el concepto de holomorfa. Se podra haber definido funcin
holomorfa en un punto como funcin derivable en dicho punto, pero entonces
se perderan muchas de sus buenas propiedades, por lo que la experiencia en
su docencia, nos ha llevado a definir que una funcin es holomorfa en un punto
z0 si es una funcin derivable en todos los puntos de un entorno de z0. Este
hecho supone que dichas funciones adquieran propiedades muy diferentes a
las de las funciones derivables en el cuerpo de los nmeros reales o las
definidas en el plano real.
Se apunta ya el inters en sealar de manera especial a las funciones
holomorfas, pues como se demostrar en captulos posteriores las funciones
holomorfas van a tener muy buenas propiedades. Por el hecho de ser una
funcin holomorfa en un abierto, va a ser analtica, es decir desarrollable en
serie de potencias en los puntos de ese abierto; va a ser infinitamente derivable
en su dominio de holomorfa; y va a ser integrable, y las integrales a lo largo de
curvas cerradas en recintos donde la funcin sea holomorfa, valen cero, y si la
curva no es cerrada, la integral no depende del camino. Se puede decir que
derivacin, series, integracin se entretejen para construir estas funciones,
cuyas propiedades se desarrollan en los siguientes captulos. El captulo
-
XXI
termina con la introduccin de las funciones de dos variables reales armnicas,
estudiando su relacin con las funciones holomorfas.
El tercer captulo est dedicado al desarrollo en serie de las funciones
complejas. Adems de tratar con el desarrollo en serie de potencias, se
estudian las series de Laurent. Se podra haber dejado el tratamiento de las
series de Laurent para cuando se conocen los valores de sus coeficientes
mediante frmulas integrales, pero la experiencia en impartir esta enseanza
nos ha llevado a considerar que presentarlas en este momento simplifica su
comprensin. Se introducen las funciones analticas en un punto z0 como
funciones desarrollables en series de potencias en un entorno de z0, y se
estudian sus propiedades, como por ejemplo, el hecho de que una funcin
analtica es indefinidamente derivable. Finalmente se introducen las series
dobles o series de Laurent, que permiten desarrollar funciones que presenten
algn tipo de singularidad en series de potencias positivas y negativas.
En los captulos cuarto y quinto se estudia la integral de una funcin
compleja a lo largo de una curva situada en el plano complejo y se prueban sus
propiedades. Se presenta el teorema de Cauchy y sus consecuencias,
remarcando de manera especial la frmula integral de Cauchy, que permite
expresar el valor de una funcin en el interior de un recinto cerrado a travs de
los valores que toma la funcin en la frontera del recinto, y que autoriza a
asegurar que toda funcin holomorfa es desarrollable en serie de potencias, es
decir, es analtica, y por tanto infinitamente derivable. Se tiene demostrado
entonces que los conceptos de holomorfa y analiticidad son equivalentes.
Se considera a continuacin la situacin en la que la funcin que se
quiere integrar tenga singularidades aisladas. Se estudian los distintos tipos de
-
XXII
singularidades que puede presentar una funcin a travs de los
correspondientes desarrollos de Laurent. Se introduce el concepto de residuo
de una funcin en un punto, y se muestra la forma de obtener el valor de la
integral de la funcin a travs del teorema de los residuos, que se aplica
tambin para la obtencin de integrales de funciones reales y de integrales
impropias.
En el sexto captulo de consideran las funciones complejas como
transformaciones geomtricas, pues una funcin compleja transforma un
subconjunto del plano complejo en otro subconjunto del plano complejo que es
precisamente la imagen a travs de la funcin del conjunto inicial. Se dedica
una especial atencin al tratamiento de las transformaciones de Mbius por sus
especiales propiedades.
Los captulos siete al doce constituyen lo que los autores consideran
como la segunda seccin. En ellos se aborda el estudio de la teora general de
las ecuaciones diferenciales ordinarias y van precedidos por una introduccin
histrica, comenzando por el siglo XVI, donde se analizan los distintos logros
que se han ido obteniendo de forma sucesiva, as como los problemas que los
generaron. De esta forma se puede conocer el origen y la evolucin de los
distintos tipos de ecuaciones diferenciales que se van a estudiar, as como de
los mtodos que se van a aplicar o de los resultados que se van a poder aplicar
al estudiar los distintos temas que se presentan a continuacin.
El objetivo fundamental del captulo siete es introducir las ecuaciones
diferenciales en el mundo fsico acercando stas a las aplicaciones. Se tratan
diferentes problemas concretos que se pueden explicar a partir de
comportamientos regidos por ecuaciones diferenciales. De esta forma se da
-
XXIII
una primera aproximacin, que a lo largo de los siguientes captulos se ir
desarrollando, de cmo las ecuaciones diferenciales pueden proporcionar
modelos para estudiar casos tan diferentes como la dinmica de poblaciones o
como el crecimiento y desintegracin de las reacciones qumicas. Tambin,
siguiendo el desarrollo histrico de las matemticas, se tratan distintas
maneras de resolver algunas ecuaciones diferenciales conocidas, tal y como se
trabajaban en el siglo XVII.
Una de las cuestiones fundamentales en el tratamiento de las
ecuaciones diferenciales es el estudio de las condiciones por las que se puede
asegurar la existencia de solucin, o que sta sea nica, sin tener que
resolverla previamente. Una ecuacin diferencial en general no tiene por qu
tener solucin y aunque la tenga, sta no tiene por qu ser nica. En el captulo
ocho se introducen los problemas de valor inicial, o problemas de Cauchy, y se
tratan las condiciones que garantizan la existencia y la unicidad de solucin,
que se conocen como teoremas de existencia y unicidad.
Al escribir este captulo nos hemos encontrado con la dificultades
siguientes. Por un lado queramos que supieran que, siguiendo el desarrollo
histrico de las matemticas, en un principio no se imaginaba que una
ecuacin procedente de un problema fsico pudiera no tener solucin, o que
sta no fuera nica, y que fue en el curso de Anlisis que imparti Cauchy,
cuando se plante este problema, lo que supone una nueva etapa en las
matemticas. Ser conscientes de que toda ecuacin diferencial no tiene por
qu tener solucin y aunque la tenga, sta no tiene por qu ser nica, supone
un gran paso en la historia. Tratarlas, por ello, con el requerido cuidado, es
importante. Pero por otro, stos teoremas son complicados y sus
-
XXIV
demostraciones sobrepasan en muchas ocasiones el nivel de este libro. Se ha
valorado el grado de dificultad que presentan y se han incluido aqullas que por
el propio razonamiento que siguen puedan aportar una claridad adicional. D.
Alberto Dou fue profesor tanto de la escuela de ingenieros de caminos como de
la facultad de matemticas, impartiendo en ambos lugares, la asignatura de
ecuaciones diferenciales, y le hemos odo comentar que estos teoremas y su
desarrollo minucioso pareca adecuado en un determinado momento para los
matemticos, y que sin embargo, resultan ser tremendamente prcticos para
los ingenieros que iban a resolver las ecuaciones diferenciales que les
aparecieran usando el ordenador y los mtodos numricos, obteniendo una
solucin, que poda no tener ningn sentido si antes no haban garantizado la
existencia y unicidad de las soluciones.
El inters de los teoremas de existencia y unicidad estriba en que en
muchas ocasiones, al resolver un problema cuyo modelo es una ecuacin
diferencial, no es preciso encontrar la solucin exacta de la ecuacin y basta
encontrar valores aproximados de ella, lo que se puede conseguir aplicando
alguna frmula numrica como las que se presentan el los captulos trece y
catorce. Pero para que los valores obtenidos a partir de dichas frmulas sean
aceptables es preciso conocer a priori que el problema en cuestin tiene una
nica solucin.
En el captulo nueve se trabaja la relacin entre los sistemas de
ecuaciones diferenciales de primer orden y las ecuaciones diferenciales de
orden superior, particularizando los teoremas de existencia y unicidad a estos
casos. Se introduce la transformada de Laplace como herramienta para
transformar una ecuacin diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales
-
XXV
en una ecuacin algebraica o un sistema de ecuaciones algebraicas, y se
estudian sus propiedades. Se estudian, de nuevo, un buen nmero de
aplicaciones particulares.
El captulo diez se ocupa de las ecuaciones diferenciales lineales de
orden superior, y el captulo once de los sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales. El orden para impartir estos captulos es discutible. Ya se ha visto, en
el captulo anterior, la relacin existente entre un sistema de n ecuaciones
diferenciales ordinarias lineales de primer orden y una ecuacin diferencial
lineal de orden n, y la posibilidad de convertir las unas en los otros. El estudio
de la estructura algebraica de las soluciones de las ecuaciones diferenciales
lineales, estructura de espacio vectorial para las que son homogneas, y de
espacio afn, para las no homogneas, proporciona una idea de cules deben
ser los procedimientos para buscar las soluciones. Quizs un orden ms
matemtico sera estudiar antes los sistemas, pero las ecuaciones de orden
superior resultan ms sencillas, por lo que se ha decidido trabajarlas antes, y
poder as aadir en el captulo once cuestiones como la exponencial de una
matriz, especficas de los sistemas lineales.
El captulo doce es una iniciacin a los sistemas dinmicos. Los modelos
matemticos simplifican la realidad para poder estudiarla, y una de esas
simplificaciones es la linealizacin, lo que implica considerar que el proceso es
lineal. Existe para ello una razn importante. En las ecuaciones diferenciales no
lineales aparecen grandes complicaciones. Con el uso de los ordenadores se
ha visto que ecuaciones diferenciales no lineales, que verifican los teoremas de
existencia y unicidad, pueden producir caos, es decir, que si existe un pequeo
error en la obtencin de las condiciones iniciales, pueda dar lugar al cabo de un
-
XXVI
cierto tiempo, a que la nueva solucin que se obtenga se aleje demasiado de la
anterior, con lo que el fenmeno resulte impredecible. Despus de explicar
durante muchos aos en cursos de doctorado y tercer ciclo estos hechos se ha
intentado dar unas orientaciones sencillas en este captulo donde quizs
queden abiertas las puertas de manera que el estudiante interesado pueda
sentirse invitado a seguir trabajando, pues ya sabe que no conoce todo sobre
ecuaciones diferenciales sino que existen muchos problemas abiertos de gran
inters y belleza que merecen el esfuerzo de ser estudiados.
La tercera seccin la constituyen los mtodos numricos para la
resolucin de ecuaciones diferenciales. Comienza, como las secciones
anteriores, con una breve introduccin histrica. Es interesante saber que estos
mtodos ya existan antes del uso de los ordenadores, y cmo se aplicaban a
resolver sobre todo problemas de balstica, por lo que muchas veces sus
resultados se mantenan en secreto. Con la aparicin de los ordenadores se
han podido analizar las soluciones obtenidas, comprobar qu mtodos tenan
mejores propiedades, y confeccionar aquellos que tienen una relacin calidad-
coste ptima.
Los distintos mtodos numricos para la resolucin de ecuaciones
diferenciales se agrupan en dos grandes grupos: los mtodos de un paso y los
mtodos lineales multipaso. Su estudio se realiza en los captulos trece y
catorce.
En el captulo trece se estudian los mtodos numricos para resolver
ecuaciones diferenciales de un solo paso como el mtodo de Euler, los
mtodos de Taylor, los mtodos de Runge Kutta o los pares encajados de
Runge Kutta. Una vez conocidos estos mtodos, sus ventajas y sus
-
XXVII
inconvenientes, se hace un estudio general de los mtodos de un paso para
poder analizar los distintos tipos de errores, el error global, el error de
truncamiento y el error local, as como los conceptos de convergencia y
consistencia. Se estudia a continuacin la estabilidad absoluta de las distintas
frmulas, y tambin se comenta brevemente la extrapolacin de Richarson.
En el captulo catorce se estudian los mtodos numricos para resolver
ecuaciones diferenciales lineales multipaso, especialmente los mtodos de
Adams-Bashforth y los mtodos de Adams-Moulton, siendo los primeros
mtodos explcitos y los segundos, implcitos. Termina el captulo con un
estudio detenido de los conceptos de convergencia, consistencia, orden de
consistencia y estabilidad, as como algunos tipos distintos de estabilidad,
como la estabilidad absoluta y la relativa de las frmulas lineales multipaso.
Termina el texto con una bibliografa separada en las tres secciones que
lo forman.
Esto es todo, los autores desean que el libro resulte de su agrado y sea
de utilidad.
Los autores
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VARIABLE COMPLEJA
La teora de las funciones de variable compleja se puede considerar,
como se observa al analizar su azarosa historia, uno de los milagros de la
Matemtica. La derivabilidad de una funcin real en un abierto slo implica, en
general, que sta tenga derivada en los puntos del abierto. Sin embargo en el
campo complejo basta que una funcin sea derivable en un conjunto abierto
para que sea infinitamente derivable en dicho conjunto. La condicin de
derivabilidad es ms fuerte en el campo complejo puesto que deben cumplirse
las condiciones de Cauchy-Riemann, pero entonces se verifican otras muchas
relaciones: las funciones como transformaciones son conformes, sus funciones
componentes son armnicas ya que verifican la relacin de Laplace, son
desarrollables en serie de potencias, tienen funcin primitiva, la integral a lo
largo de un camino cerrado es nula, etc.
Comienza el apartado de Variable Compleja con una introduccin
histrica que permite comprender las dificultades que los matemticos han ido
encontrando y resolviendo hasta que la variable compleja se ha convertido en
lo que hoy es. Esta introduccin requiere distintas lecturas, quizs, una al
principio, pero al ir avanzando en el estudio de la variable compleja se aconseja
volver de nuevo a leerlo, pues entonces se estar en condiciones de
comprender el inters y la importancia de algunos resultados.
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2 Variable Compleja
HISTORIA DE LA VARIABLE COMPLEJA
El desarrollo de las Matemticas est ntimamente relacionado con la
historia del nmero. Como el producto de un nmero real por s mismo es
siempre positivo es claro que se necesita ampliar el campo numrico para dar
solucin a determinadas ecuaciones. Stillwell1 dice que los nmeros complejos
son uno de los milagros de la Matemtica: La resolucin de la paradoja de
1 fue muy poderosa, inesperada y bella por lo que nicamente la palabra
milagro parece adecuada para describirla. Al principio de su historia los
nmeros complejos fueron considerados como nmeros imposibles tolerados
nicamente en un limitado dominio algebraico porque parecan tiles para
resolver ecuaciones cbicas. Cobraron significado cuando se interpretaron
geomtricamente y no obstante la variable compleja ha servido para la
unificacin de las funciones algebraicas con las transformaciones conformes,
teora del potencial y otros imposibles campos como las geometras no
eucldeas.
Los nmeros complejos
Los nmeros complejos se empiezan a utilizar para obtener soluciones de
ecuaciones algebraicas y culminan, en este sentido, cuando se demuestra el
teorema fundamental del lgebra.
B. Riemann dijo, en su Discurso inaugural de 1 851 que la introduccin
de magnitudes complejas en las Matemticas tiene su origen y finalidad
1 Stillwell, J.: Mathematics and its history. Springer. 1989. Pgina 188.
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Historia de la variable compleja 3
inmediata en la teora de leyes de dependencia simple de magnitudes
variables, leyes expresadas por operaciones entre las magnitudes. En efecto si
se les aplican estas leyes de dependencia en un campo ms extenso,
atribuyendo valores complejos a las magnitudes variables a las que se refieren
estas leyes, se presenta entonces una armona y una regularidad que sin esto
quedan escondidas.
Usualmente se dice que los nmeros complejos nacen de la necesidad de
resolver la ecuacin cuadrtica x2 + 1 = 0, con la dificultad de que carece de
sentido geomtrico el que un cuadrado tenga un rea negativa. Sin embargo
esto no es enteramente cierto. Muchas ecuaciones cuadrticas, como crculos
o parbolas, estn ya implcitas en la geometra de los griegos y entonces se
analiz si tenan o no solucin real, por ejemplo, la interseccin de una recta
con dichas figuras. Los babilonios, alrededor del ao 2000 antes de Cristo,
conocan esencialmente el mtodo para resolver ecuaciones cuadrticas, y
Hern de Alejandra (100 a. C.) utiliz 63 , aunque algebraicamente, sin
preguntarse por su significado, pues por aquellos tiempos no se especulaba
acerca de la naturaleza de las races imaginarias.
Sin embargo cuando en 1 545 Girolamo Cardano escribi2
155)15540
estos nmeros fueron considerados sin sentido y se les aplic el trmino de
imaginarios.
Incluso cuando aparecen las ecuaciones cuadrticas, con Diofanto o los
rabes, no hay razn para admitir que no tengan solucin. Se comienza a
2 Bell, E. T. (1985): Historia de las Matemticas. (2 ed.). Edic. Fondo de Cultura Econmica.
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4 Variable Compleja
necesitar cuando Ferro, Tartaglia y Cardano intentan resolver la ecuacin
cbica x3 = px + q en cuya frmula de solucin aparecen nmeros complejos
(cuando (q/2)2 (p/3)2 < 0) y sin embargo tiene siempre una solucin real.
Bombelli en 1 572 trabaj formalmente con el lgebra de los nmeros
complejos e implcitamente introdujo las funciones complejas, aunque a pesar
de ello los nmeros complejos todava eran considerados como imposibles. A.
Girard enunci en Linvention nouvelle en algbre en 1 629 el principio de
permanencia segn el cual se puede aplicar a los nmeros complejos todas
las identidades obtenidas en el campo real, y a lo largo del siglo XVIII se sigue
utilizando frecuentemente dicho principio usando la frase: recurso de las
razones extradas de la generalidad del lgebra. Estos argumentos son
criticados por Cauchy en su Cours dAnalyse (1 821) donde dice: las razones
de este tipo ... no pueden ser consideradas, a mi parecer, ms que como
inducciones propias para presentir alguna vez la verdad, pero estn poco de
acuerdo con la exactitud tan alabada de las ciencias matemticas.
Al final del siglo XVIII ya se tena una gran maestra en la manipulacin de
los nmeros complejos y sin embargo no se tena la nocin de un nmero
complejo como un par de nmeros reales formado por su parte real y su parte
imaginaria. C. Wessel, en 1 799, en el artculo Sur la reprsentation analytique
dune direction asoci todo nmero complejo con un vector del plano con
origen en O, y reinterpret con estos vectores las operaciones elementales de
los nmeros complejos. R. Argand en 1 806 en Essai sur une manire de
reprsenter les quantits imaginaires interpret geomtricamente los nmeros
complejos. El nmero i, por ejemplo, lo represent como una rotacin de un
ngulo recto alrededor del origen. A partir de dicha interpretacin ya
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Historia de la variable compleja 5
empezaron a usarse sin dificultades dichos nmeros.
Funciones de variable compleja
La teora moderna de las funciones de variable compleja ha tenido cuatro
fundadores: Carl Friedrich Gauss (1 777 1 855), Augustin-Louis Cauchy
(1789 1 857), Bernhard Riemann (1 826 1 866) y Karl Weierstrass (1 815
1 897).
Figura 1: Carl Friedrich Gauss (1 777 1 855)
El primero no ejerci influencia en su tiempo por no haber publicado nada,
y haberse encontrado sus manuscritos mucho tiempo despus de su muerte.
Cada uno de los otros tres matemticos sigui un camino diferente. Cauchy
impuso algunas condiciones restrictivas para que dichas funciones tengan
derivadas continuas. Su teora reposa sobre un teorema muy importante
relativo a las integrales complejas y sobre la nocin de residuo. Esta teora
contiene en germen los planteamientos geomtricos de Riemann y los
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6 Variable Compleja
aritmticos de Weierstrass. La imagen geomtrica jug un papel predominante
en Riemann. Una funcin compleja era para Riemann una ley por medio de la
cual las superficies se pueden transformar y su objetivo fue el de representar
estas transformaciones y analizarlas. Weierstrass se preocup por el desarrollo
en series de potencias de la funcin dentro de su crculo de convergencia, que
se puede prolongar mediante la prolongacin analtica. Todo resultaba para l
como una consecuencia de la teora de series y esta teora estaba establecida
sobre bases slidas.
Los primeros desarrollos en serie de las funciones elementales
aparecieron en el siglo XVII. Taylor utiliz las frmulas de interpolacin de
Gregory-Newton para tener en 1 712 la frmula que lleva su nombre y obtener
el desarrollo en serie de potencias de una funcin, cuyas propiedades se
probaron por procedimientos algebraicos; se pueden utilizar las tcnicas de
derivacin e integracin de manera formal en el anillo de las series
consideradas, todava, sin preocupaciones de convergencia. Los analistas se
habituaron as, a lo largo del siglo XVIII a manipular indiferentemente
argumentos reales y complejos no slo en expresiones racionales sino incluso
en la funcin exponencial o en las funciones trigonomtricas. De Moivre, a
principios del siglo, gracias a una utilizacin sistemtica de las frmulas de la
trigonometra, resalt la relacin entre las races de un nmero complejo y la
divisin de la circunferencia en partes iguales. En la primera mitad del siglo se
utilizaron frmulas notables entre las funciones elementales.
La funcin logaritmo
La extensin del campo complejo a la funcin logaritmo hace aparecer un
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Historia de la variable compleja 7
problema que no tena lugar con las funciones reales: las funciones
multiformes. En virtud del principio de permanencia no existi duda, a principios
del siglo XVIII, sobre la existencia de una funcin, y por tanto unvoca, log z,
definida por: ze zlog , y que verifica la ecuacin diferencial: z
dz)z(logd . En
este contexto la determinacin de los logaritmos de 1 y de i condujo a
contradicciones indisolubles dando lugar a la clebre controversia entre
Gottfried Wilhelm Leibniz (1 646 1 716) y Jean Bernoulli de 1 700 a 1 716.
Bernoulli en 1 702 observ la descomposicin de la integral de 21 zdz
en
dos fracciones y lleg a la conclusin de que los logaritmos imaginarios
expresan sectores circulares reales, lo que dicho en lenguaje actual equivale a
decir que
zizilog
izarctg
21 . Sin embargo persistentemente sostena que
log(x) = log(x), y en particular que log(1) = 0, pues d(log(x)) = 1/x = d(log x).
Leibniz en cambio afirmaba que los logaritmos de los nmeros negativos,
y por una razn ms fuerte los de los nmeros imaginarios, eran imaginarios.
Utilizaba en su razonamiento el principio de permanencia, y por l, la
inyectividad del logaritmo complejo. Este desacuerdo entre dos grandes de las
Matemticas hizo que existiera una fuerte controversia y produjo en aquella
poca un profundo malestar.
Leonhard Euler3 (1 707 1 783) expres con claridad la necesidad de
abandonar el principio de permanencia, rompiendo con los principios de
Leibniz, y con una claridad genial afirm que se deba abandonar la unicidad de
la funcin logaritmo afirmando que todo nmero real positivo tiene una infinidad
3 Euler, L: Letter to John Bernoulli. 10-XII-1728. Bibli. Math. ser. 3, 4, 352-354.
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8 Variable Compleja
de logaritmos complejos de los cuales slo uno es real. Los logaritmos
complejos son funciones infinitamente valoradas.
La memoria de Euler no convenci a sus contemporneos, en especial a
DAlembert (1 717 1 783) quien volvi a utilizar las ideas de Bernoulli,
apoyadas con las suyas propias, para mostrar que los logaritmos de las
cantidades negativas se podan suponer indiferentemente reales o imaginarios
dependiendo del sistema de logaritmos que se eligiese.
Diversas frmulas obtenidas por Leonhard Euler mostraron que a menudo
es posible reunir dos igualdades reales en una sola igualdad compleja, efectuar
en ella los clculos y separando parte real e imaginaria obtener nuevas
expresiones de inters, que son difciles de conseguir directamente. Al mismo
tiempo Ctes (1 714) descubri la relacin entre los logaritmos complejos y las
funciones circulares: log(cos x + isen x) = ix, reconociendo la importancia de
este resultado en el trabajo titulado Harmonia Mensurarum. Se usaron
medidas de las funciones logaritmo y arco tangente, relacionadas con las
integrales xdx
1 y 21 x
dx , aunque no se comprendi porqu eran necesarias
esas extraas medidas. Despus de Bernoulli sta fue la primera vez en que
se empez a sospechar que el problema de determinar el dominio de la funcin
logaritmo compleja y de las inversas de las funciones circulares era
esencialmente el mismo.
Integracin
En una serie de memorias de publicacin pstuma, escritas a partir de
1776, Euler utiliz los nmeros complejos para obtener, a partir de integrales
-
Historia de la variable compleja 9
reales ya conocidas, otras integrales. Y en su obra De integrationibus maxima
memorabilis ex calculo imaginariorum oriundis lleg a escribir las ecuaciones
que tradicionalmente se conocen con el nombre de Cauchy-Riemann.
DAlembert en su ensayo Essai sur une nouvelle thorie de la rsistence des
fluides hizo la primera descripcin sobre las funciones armnicas conjugadas
que Riemann tomar como punto de partida de su teora sobre las funciones de
variable compleja en su discurso inaugural de 1 851. Joseph-Louis Lagrange
(1736 1 813) lo utilizar en la mecnica de fluidos.
Euler y Laplace, hacia la misma poca, pero de forma independiente,
utilizaron frmulas de clculo bastante parecidas para el tratamiento de
integrales definidas, aunque ninguno de ellos las consideraba suficientemente
rigurosas. En Memoire sur les intgrales dfinies Poisson seal que la
integral b
adx)x(f puede no ser la misma segn que la variable pase de a a b
por una sucesin de valores reales o por valores imaginarios, llegando a
expresar que la integral depende del camino recorrido, base del concepto de
integral curvilnea.
La idea de Gauss sobre la futura teora de variable compleja era ya
notablemente clara en 1 811. Por entonces Gauss ya tena la representacin
geomtrica de los nmeros complejos y la nocin de integral curvilnea, el
teorema integral de Cauchy e incluso las primeras nociones sobre los periodos
de las integrales. Pero no expuso sus ideas pblicamente hasta 1 831.
Cauchy y la variable compleja
Cauchy no utiliz la representacin geomtrica hasta 1 825 y en su
-
10 Variable Compleja
Cours dAnalyse continu representando a los nmeros complejos como
expresiones simblicas que pueden ser sometidas a las diversas operaciones
del lgebra.
Figura 2: Augustin-Louis Cauchy (1 789 - 1 857).
Cauchy est muy relacionado con los ms importantes resultados de la
poca. Estudi con precisin la convergencia de una serie de potencias
resaltando la existencia del radio de convergencia, y tambin el problema
recproco, la posibilidad de desarrollar localmente en serie de potencias una
funcin holomorfa, siendo el radio de convergencia la distancia del centro a la
singularidad ms prxima. Escribi Mmorie sur les intgrales dfinies prises
entre des limites imaginaires, autntico punto de partida de las integrales
curvilneas, donde aparece el concepto de variacin continua de las curvas que
hoy se conoce por homotopa y el caso en el que la funcin se vuelve infinita
en puntos de un rectngulo de lados paralelos a los ejes. Hasta 1 850 Cauchy
no consider otras singularidades que los polos. Introdujo la nocin de residuo
en Sur un nouveau genre de calcul analogue au calcul infinitsimal dando en
-
Historia de la variable compleja 11
una nota posterior la frmula de los residuos para un rectngulo.
En Turn en 1 831 public una memoria sobre la mecnica celeste donde
desarroll un mtodo para el estudio de la convergencia de series y acotacin
de errores al sustituir la serie por la suma de un nmero finito de trminos.
Estableci la frmula integral que lleva el nombre de teorema integral de
Cauchy y las desigualdades de Cauchy de las que se sigue de forma
inmediata el teorema de Liouville, esencial en el estudio de las funciones
enteras.
Una extensin importante de estos resultados se debe a P. M. H. Laurent
(1 813 1 854) quien consider funciones holomorfas definidas sobre coronas
circulares y lleg al desarrollo conocido con su nombre, que es el punto de
partida del estudio de las singularidades esenciales.
Como ya se ha indicado, Cauchy no present jams una visin general de
su teora, que fue elaborada en distintas memorias e innumerables notas
publicadas en Comtes Rendues. Hacia 1 844 J. Liouville (1 809 1 882) en sus
clases impartidas en el Collge de France dedicadas a funciones peridicas
intent establecer una exposicin sistemtica de las funciones de variable
compleja, pero dichas lecciones no fueron publicadas, aunque dieron lugar a
una querella entre Cauchy y Liouville sobre la prioridad del teorema que hoy se
conoce como de Liouville. Las lecciones de Cauchy son el origen de la primera
presentacin de la teora de funciones realizada por Briot y Bouquet en
Recherches sur la thorie des fonctions (Journal de lEcole Polytechnique,
1856). Las demostraciones estn incompletas en muchas ocasiones y se
utilizaron nociones intuitivas de topologa por lo que es necesario esperar a
Weierstrass para una construccin precisa.
-
12 Variable Compleja
Riemann y la variable compleja
Figura 3: Bernhard Riemann (1 826 1 866)
La primera publicacin de Riemann fue su discurso inaugural Principios
fundamentales para una teora general de las funciones de una variable
compleja (Gttingen, 1 851). l mismo indic que sus demostraciones eran a
menudo incompletas, y nicamente con la construccin de nuevas teoras y
entes matemticos podran ser posteriormente rellenadas las lagunas. La
primera presentacin completa de estos trabajos de Riemann se debe a H.
Weyl que utiliz nociones como variedad analtica, homologa y formas
armnicas. Riemann descubri nuevas geometras que con una axiomatizacin
conveniente han llegado a ser el cuadro geomtrico de la Fsica y la
Matemtica contempornea.
Riemann se situ en un marco geomtrico y represent los nmeros
complejos como puntos de un plano. Escribi por ejemplo: Cuando a todo
valor de z le corresponde un valor determinado w, variando de forma continua
-
Historia de la variable compleja 13
con z, ..., entonces a todo punto del plano A corresponde un punto del plano B,
a toda lnea, de forma general, una lnea, a toda porcin conexa de superficie,
una porcin de superficie igualmente conexa. En consecuencia se puede
considerar esta dependencia de la magnitud w de z como una representacin
del plano A sobre el plano B. As nos mostraba Riemann que w es una funcin
de z, derivable en sentido complejo si entre dos tringulos infinitesimales que
se corresponden hay similitud.
La idea fundamental de Riemann para estudiar una funcin multiforme fue
recuperar la uniformidad de la funcin desdoblando, tantas veces como fuera
necesario, los valores de la variable. Dijo entonces: la funcin multiforme
admite en cada punto de una superficie que representa as el modo de
ramificacin, un nico valor determinado, y puede ser vista como una funcin
perfectamente determinada sobre esa superficie. Explic cmo las familias de
funciones algebraicas y los perodos de sus integrales estn caracterizados por
un nico invariante topolgico de sus superficies de Riemann, el orden de
conexin, definido a partir de sistemas de curvas. Riemann obtuvo, en su
memoria, teoremas de prolongacin para funciones armnicas, el principio del
mdulo mximo y el principio de prolongacin analtica. Termin con una
magistral aplicacin del principio de Dirichlet, que dice que: Dos superficies de
Riemann simplemente conexas pueden siempre ser representadas
conformemente una sobre la otra.
Weierstrass y la variable compleja
La motivacin principal de Weierstrass fue el estudio de las funciones
elpticas y abelianas, y desde este punto de vista profundiz en la teora de las
-
14 Variable Compleja
funciones de variable compleja.
Hizo una presentacin rigurosa de la teora, independiente de toda
referencia a la intuicin geomtrica. Sus primeros trabajos, que datan de 1 840
a 1 842, se publicaron por primera vez en 1 894, por lo que fueron ignorados
por sus contemporneos.
Figura 4: Karl Weierstrass (1 815 1 897)
Conoci el desarrollo en serie de Laurent; introdujo la nocin de
convergencia uniforme y demostr, utilizando el mtodo de los mayorantes, el
teorema sobre las soluciones analticas de un sistema de ecuaciones
diferenciales mediante el desarrollo en serie; esboz la teora de la
prolongacin analtica y el estudio de los puntos singulares. Weierstrass se hizo
clebre cuando en 1 854 publica su memoria Sobre la teora de funciones
abelianas. Entre 1 857 y 1 887 elabor cuidadosamente su edificio
matemtico, donde partiendo de una construccin correcta de los nmeros
reales desemboc en una teora general de las funciones analticas, y en la
teora de las funciones elpticas y abelianas.
El punto de partida de Weierstrass fue el concepto de funcin analtica. La
-
Historia de la variable compleja 15
representacin local de una funcin analtica como serie de potencias hizo ver
que una funcin de este tipo posee numerosas propiedades anlogas a las de
un polinomio. Esto permiti hablar del orden de un cero, y partiendo del hecho
de que los ceros son aislados se lleg al principio de prolongacin analtica.
En su memoria Teora de las funciones analticas Weierstrass demostr
que si una funcin tiene una singularidad esencial en un punto, z0, el conjunto
de imgenes de los puntos de un disco cualquiera centrado en dicho punto y
sin su centro (disco pinchado) es denso en el plano complejo. Este resultado
fue completado por E. Picard (1 856 1 941), en 1 879, demostrando que este
conjunto de valores omite, a lo sumo, un punto del plano complejo.
-
CAPTULO 1
Los nmeros complejos
La variable compleja permite resolver problemas muy diferentes dentro de
reas tan variadas como pueden ser hidrulica, aerodinmica, electricidad,
electromagnetismo... Algunos de ellos slo requieren el conocimiento de los
nmeros complejos, como sucede en el caso del clculo de los autovalores
asociados a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Otros en cambio
requieren la utilizacin de la teora de funciones analticas complejas, como los
problemas de contorno que aparecen, por ejemplo, en el estudio del flujo de
fluidos,1 la conduccin del calor, la elasticidad o el potencial electrosttico.
Muchos problemas geomtricos pueden resolverse utilizando las
transformaciones complejas. Mientras que para los primeros bastara con los
contenidos que se revisan en este captulo, sobre los nmeros complejos y las
propiedades de sus operaciones que quiz ya conozca el alumnado de
secundaria, sin embargo para resolver los problemas de los siguientes tipos se
requiere un conocimiento profundo sobre las funciones complejas que se
estudiarn en los siguientes captulos.
Dentro de las Matemticas propiamente dichas, es interesante estudiar la
variable compleja por estar estrechamente relacionada con distintas reas, de
manera que su estudio pueda hacer accesible parte del lgebra, de la
1 Ver en Lamb, H.: Hydrodynamics, aplicaciones de la teora de funciones analticas a la
hidrodinmica.
-
18 Captulo 1: Variable Compleja
trigonometra, o proporcione herramientas para el clculo integral y la teora de
ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.
Comienza este captulo con una revisin del conjunto de los nmeros
complejos, su estructura algebraica de cuerpo conmutativo, la conjugacin, los
conceptos de mdulo y argumento, su interpretacin geomtrica en el plano y
las operaciones elementales en forma binmica y en forma polar, pues para
poder entender adecuadamente las funciones de variable compleja es
necesario comprender el conjunto sobre el que estn definidas: los nmeros
complejos. Se suponen conocidas las propiedades de los nmeros reales.
Al dotar el campo de los complejos de una distancia se tiene un espacio
mtrico. La estructura de orden de los nmeros reales se pierde con los
nmeros complejos, por lo que el concepto de infinito es ahora distinto. Es
preciso ampliar el conjunto de los complejos aadiendo un nuevo ente, el
infinito, y explicar su significado.
1.1. EL CUERPO DE LOS NMEROS COMPLEJOS
Los antiguos algebristas operaron con expresiones en las que apareca
1 . Leibniz, en el siglo XVII, todava deca que 1 era una especie de
anfibio entre el ser y la nada. En 1 777 Euler le dio al monstruo 1 el
nombre de i (por imaginario). En la actualidad esta notacin se usa casi
universalmente, excepto en ingeniera elctrica, donde se utiliza j en lugar de i,
ya que esta letra se usa para indicar la intensidad de la corriente.
-
Los nmeros complejos 19
Cuando se desarroll la teora de los nmeros complejos, la electricidad
era una materia de inters slo de laboratorio. Pero antes del final del siglo XIX
los descubrimientos sobre electricidad y electromagnetismo transformaron el
mundo, y en este proceso los nmeros complejos fueron una herramienta que
simplific el clculo con las corrientes alternas. Esto prueba que conocimientos
que son matemtica pura para una generacin se convierten en aplicados para
la siguiente.
1.1.1. Nmeros complejos en forma binmica
Definicin 1.1.1:
Un nmero complejo se define como una expresin de la forma
z = x + iy
donde x e y son nmeros reales.
Este tipo de expresin, z = x + iy, se denomina forma binmica.
Se llama parte real de z = x + iy al nmero real x, que se denota Re(z), y
parte imaginaria de z = x + iy, al nmero real y, que se denota Im(z), por lo
que se tiene entonces que: z = Re(z) + iIm(z).
El conjunto de los nmeros complejos es, por tanto,
C = {z = x + iy; x, y }.
Esta construccin permite considerar a los nmeros reales como un
subconjunto de los nmeros complejos, siendo real aquel nmero complejo de
parte imaginaria nula. As, los nmeros complejos de la forma z = x + i0 son
nmeros reales y se denominan nmeros imaginarios a los de la forma z = 0 +
-
20 Captulo 1: Variable Compleja
iy, es decir, con su parte real nula.
Dos nmeros complejos z1 = x + iy y z2 = u + iv son iguales si y slo si
tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias: x = u, y = v.
1.1.2. Operaciones en forma binmica
Las operaciones de suma y producto definidas en los nmeros reales se
pueden extender a los nmeros complejos. Para la suma y el producto de dos
nmeros complejos escritos en la forma binmica: x + iy, u + iv se tienen en
cuenta las propiedades usuales del lgebra con lo que se definen:
Definicin 1.1.2:
Suma: (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)
Definicin 1.1.3:
Producto: (x + iy) (u + iv) = (xu yv) + i(xv + yu)
Se comprueba que el cuadrado del nmero complejo i es un nmero real
negativo, 1, pues: (0 + i) (0 + i) = 1 + i(0) = 1.
Si los nmeros complejos son reales, con su parte imaginaria nula, estas
operaciones se reducen a las usuales entre los nmeros reales ya que:
(x + i0) + (u + i0) = (x + u) + i(0)
(x + i0) (u + i0) = (xu) + i(0)
Esto permite considerar al cuerpo de los nmeros reales como un
subconjunto de los nmeros complejos, C.
Definicin 1.1.4:
-
Los nmeros complejos 21
El conjugado del nmero complejo z = x + yi, se define como: i yxz
1.1.3. Propiedades algebraicas
El conjunto de los nmeros complejos con las operaciones de suma y
producto tiene estructura de cuerpo conmutativo. Esto es, verifica las
siguientes propiedades:
1. Propiedad asociativa de la suma: (z1 + z2) + z3 = z1+ (z2 + z3) para
todo z1, z2, z3 C.
2. Propiedad conmutativa de la suma: z1 + z2 = z1 + z2 para todo z1, z2
C.
3. Existencia de elemento cero: Existe un elemento, 0 = 0 + 0i, tal
que para todo z C, verifica: z + (0 + 0i) = (0 + 0i) + z = z.
4. Existencia de elemento opuesto: Para todo z C, existe z C,
definido como z = x + (y)i, tal que z + (z) = 0.
5. Propiedad asociativa del producto: (z1z2)z3 = z1(z2z3) para todo
z1, z2, z3 C.
6. Propiedad conmutativa del producto: z1z2 = z1z2 para todo z1, z2
C.
7. Existencia de elemento unidad: Existe un elemento, 1 = 1 + 0i, tal
que para todo z C, verifica: z(1 + 0i) = (1 + 0i)z = z.
8. Existencia de elemento inverso: Para todo nmero complejo no
nulo, z C/{0}, existe z-1 = 221
yxiyx
z
, tal que zz -1 = 1.
-
22 Captulo 1: Variable Compleja
9. Propiedad distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 para todo z1, z2, z3
C.
Todas estas propiedades son sencillas de verificar, lo que se deja como
ejercicio. (Ejercicio 1.1).
Se observa que, en efecto, el inverso de z no est definido para el
elemento nulo, pues entonces se estara dividiendo por cero, ya que entonces
x2 + y2 = 0.
El cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado. Esto significa que
cualquier polinomio de grado n, mayor o igual a uno, con coeficientes reales o
complejos tiene al menos una raz compleja. Este resultado, (que se
demostrar en el captulo 4) se conoce como Teorema Fundamental del
lgebra y fue probado por Gauss (1 799). Como consecuencia se tiene que
cada polinomio de grado n tiene exactamente n races en el campo complejo,
no necesariamente distintas.
Se recuerda que los nmeros reales tienen estructura de cuerpo
conmutativo y ordenado. Al ser un subconjunto de los nmeros complejos, son
un subcuerpo de ellos. Pero como contrapartida se pierde una importante
propiedad, el orden. El cuerpo de los nmeros complejos no es un cuerpo
ordenado.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1.1.1: Calcular (2 i)(1 + 2i)
Para calcular (2 i)(1 + 2i) se procede con las reglas usuales del lgebra
-
Los nmeros complejos 23
teniendo en cuenta que i2 = 1:
(2 i)(1 + 2i) = 2 + 4i i 2i2 = 2 + 4i i + 2 = 4 + 3i.
Ejemplo 1.1.2: El conjugado del nmero complejo z = 3 + 5i, es iz 53
Ejemplo 1.1.3: Para dividir nmeros complejos se multiplica, numerador y
denominador por el conjugado del denominador, y as se consigue que el
denominador sea un nmero real:
i111i22
i)1(i)1i)12
i12
(( .
Ejemplo 1.1.4: Para elevar a potencias la unidad imaginaria, se tiene en
cuenta que i2 = 1, y por tanto, i3 = i, i4 = 1:
i6 = 1,
i-3 = .i1)(
ii
1i13
Ejemplo 1.1.5: Calcular (1 + i)4.
Utilizando el binomio de Newton se obtiene:
(1 + i)4 =
04
14 +
14
i +
24
i2 +
34
i3 +
44
i4 = 1 + 4i 6 4i + 1 = 4.
Ejercicios
1.1. Demostrar que las operaciones de suma y producto de nmeros
complejos dotan a C de una estructura de cuerpo conmutativo.
1.2. Comprobar que:
a) (1 i)4 = 4.
-
24 Captulo 1: Variable Compleja
b) 2i
i24i3
10i5
c) (1 + i)5 = 4 4i
1.3. Realizar las siguientes operaciones con nmeros complejos:
a) i)(3i)(2i)(1
68
b) (2 + i) i (1 2i) .
c) 5i
i33i4i2
d) (3 2i)(3 + 2i)
1.4. Comprobar si:
a) Im(iz) = Re(z).
b) Re(iz) = -Im(z).
c) Im(iz) = 0.
d) Re((3 i)( i101
51 )(3 + i)) = 2.
1.5. Comprobar si:
a) Im z3 = 3x2y y3
b) (Im z)3 = y3.
c) Im zz
22
2yx
xy
1.6. Calcular:
-
Los nmeros complejos 25
a) Im zz
b) Re(z4)
c) (Re(z))4
1.2. REPRESENTACIN GEOMTRICA. DIAGRAMA
DE ARGAND
El desarrollo moderno de los nmeros complejos empez con el
descubrimiento de su interpretacin geomtrica que fue indistintamente
expuesta por John Wallis (1 685) y ya de forma completamente satisfactoria por
Caspar Wessel (1 799). El trabajo de Wessel no recibi ninguna atencin, y la
interpretacin geomtrica de los nmeros complejos fue redescubierta por Jean
Robert Argand (1 806) y de nuevo por Carl Friedrich Gauss (1 831).
El conjunto de los nmeros complejos con las operaciones de suma y el
producto por un nmero real tiene estructura de espacio vectorial de dimensin
dos, y es, por tanto, isomorfo a 2. Una base de este espacio est formada por
el conjunto {1, i}. (Ejercicio 1.7).
i
x
z = x + iy
Figura 1.1: Representacin de los nmeros complejos
-
26 Captulo 1: Variable Compleja
Al igual que los nmeros reales representan los puntos de una recta, los
nmeros complejos pueden ser puestos en correspondencia biunvoca con los
puntos de un plano. Los nmeros reales se representan en el eje de abscisas o
eje real, y a los mltiplos de i = 1 se les representa como puntos del eje
imaginario, perpendicular al eje real en el origen. A esta representacin
geomtrica se la conoce como el Diagrama de Argand. El eje y = 0 se
denomina eje real y el x = 0, eje imaginario.
Como la condicin necesaria y suficiente para que x + iy coincida con u +
iv es que x = u, y = v, el conjunto de los nmeros complejos se identifica con
2, y los nmeros complejos se pueden representar como puntos del plano
complejo. El nmero complejo z = x + iy se corresponde con la abscisa y la
ordenada del punto del plano asociado al par (x, y). En unas ocasiones se
refiere el nmero complejo z como el punto z y en otras como el vector z.
La suma de nmeros complejos corresponde grficamente con la suma
de vectores. Sin embargo, el producto de nmeros complejos no es ni el
producto escalar de vectores ni el producto vectorial.
El conjugado de z, z , es simtrico a z respecto del eje de abscisas.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1.2.1: Representar en el plano de Argand los nmeros complejos:
a = 2 + i, b = 2i y c = 2 2i.
Los nmeros complejos a = 2 + i, b = 2i y c = 2 2i se representan:
-
Los nmeros complejos 27
Figura 1.2.2: Representacin de los nmeros complejos a, b y c.
Ejemplo 1.2.2: Representar en el plano de Argand los nmeros complejos:
2 + 3i, 1 + 2i, 3 2i, 5 + i y 4 3i.
Ejemplo 1.2.3: Representar el nmero complejo conjugado de a = 2 + i.
El conjugado de a = 2 + i, 2 i, se representa:
a = 2+i b=2i
c=22i
Figura 1.2: Ejemplo 1.2.1 - Representacin de a, b y c.
Figura 1.3: Ejemplo 1.2.2 - Representacin de nmeros complejos
-
28 Captulo 1: Variable Compleja
Figura 1.2.4: Representacin del conjugado.
y se observa que es el simtrico respecto del eje de abscisas. La conjugacin
es un automorfismo del campo complejo relacionado con la simetra.
Ejemplo 1.2.4: Representar la suma de dos nmeros complejos.
La suma se representa igual que la suma vectorial:
Figura 1.2.4: Representacin de la suma de nmeros complejos.
Ejemplo 1.2.5: Representar el producto del nmero complejo 2 + i por la
unidad imaginaria: i.
El producto de 2 + i por i es igual a 1 + 2i, y al representarlo se observa
que multiplicar por la unidad imaginaria es girar 90.
2 + i
2 i
Figura 1.4: Ejemplo 1.2.3 - Representacin del conjugado.
Figura 1.5: Representacin de la suma de nmeros complejos.
-
Los nmeros complejos 29
Figura 1.2.6: Representacin del producto de un nmero complejo por la unidad imaginaria
Ejercicios
1.7. Demostrar que C, con las operaciones de suma y el producto de
un nmero real, tiene estructura de espacio vectorial bidimensional.
1.8. Representar grficamente los siguientes nmeros complejos:
a) a = 3i
b) b = 2i
c) c = 5
d) d = 1 + i
e) e = 1 i
1.9. Representar grficamente el conjugado de los nmeros
complejos:
a) a = 3i
b) b = 2i
c) c = 5
i
Figura 1.6: Representacin del producto de un nmero complejo por la unidad imaginaria
-
30 Captulo 1: Variable Compleja
d) d = 1 + i
e) e = 1 i
1.10. Representar grficamente la suma de los siguientes nmeros
complejos:
a) a + b
b) a + c
c) b + d
d) d + e
1.11. Representar grficamente el producto de los siguientes
nmeros complejos:
a) ai
b) bi
c) ci
d) di
e) ei.
1.3. FORMA POLAR
1.3.1. Mdulo
Definicin 1.3.1:
-
Los nmeros complejos 31
El mdulo de un nmero complejo se define como 22 yxz , y
representa la distancia de z al origen, es decir, la longitud del vector libre (x, y)
de 2.
Por tanto el mdulo nunca puede ser un nmero real negativo. El mdulo
de un nmero real coincide con su valor absoluto.
Aunque no tiene sentido decir si z1 < z2, salvo que sean nmeros reales,
s tiene sentido la desigualdad 21 zz y significa que z1 est ms prximo al
origen que z2.
Otra forma de expresar el mdulo de un nmero complejo es mediante la
expresin zzz donde z es el conjugado de z, siendo el producto de un
nmero complejo por su conjugado igual a (x + iy)(x iy) = x2 + y2 un nmero
real y positivo.
1.3.2. Argumento
El argumento de un nmero complejo z, si z 0, representa el ngulo, en
radianes, que forma el vector de posicin con el semieje de abscisas positivas.
Es por tanto cualquier nmero real tal que cos = zx , sen =
zy . Se tiene
entonces que cada nmero complejo no nulo tiene infinidad de argumentos,
positivos y negativos, que se diferencian entre s en mltiplos enteros de 2.
Si z es igual a cero, su mdulo es cero, pero su argumento no est
definido.
Si se quiere evitar la multiplicidad de los argumentos se puede
-
32 Captulo 1: Variable Compleja
seleccionar para un intervalo semiabierto de longitud 2, lo que se llama
elegir una rama del argumento; por ejemplo, si se exige que (, ], (o para
otros autores a [0, 2)), se obtiene el argumento principal de z, que se denota
por Arg(z). Si z es un nmero real negativo su argumento principal vale . En
ocasiones es preferible utilizar argumentos multivaluados:
arg(z) = {Arg(z) + 2k; kZ}
donde Z representa el conjunto de los nmeros enteros.
Si se define Arg(z) como arctg(y/x) se tiene una nueva ambigedad, ya
que existen dos ngulos en cada intervalo de longitud 2 de los cuales slo uno
es vlido. Por todo ello, las afirmaciones con argumentos deben ser hechas
con una cierta precaucin, pues por ejemplo la expresin:
arg(zw) = arg(z) + arg(w)
es cierta si se interpretan los argumentos como multivaluados.
Si z es distinto de cero, z verifica que z = z, y Arg( z ) = Arg(z).
1.3.3. Propiedades del mdulo, del conjugado y del
argumento de un nmero complejo
Algunas propiedades del conjugado y del mdulo de un nmero complejo
son:
1. z, w C, wz = z + w , wz = z w , wz = z w .
2. z C, z = z, Arg( z ) = Arg(z), arg( z ) = arg(z).
3. z z = z .
-
Los nmeros complejos 33
4. z, w C, zz = z2, z = z, zw = zw, wz
wz
.
5. z = 0 z = 0.
6. z C, Re(z) = 2
zz , Im (z) = i2zz .
7. z C, Re(z)z, Im(z)z, zRe(z)+Im(z)
8. z, w C, zwz + w z+ w
Las propiedades de la conjugacin prueban que sta es un
automorfismo idempotente en C. Se observa que las desigualdades 7 y 8 son
siempre entre nmeros reales, no entre complejos, por lo que s tiene sentido
escribir una desigualdad. La segunda parte de la propiedad 8 se conoce con el
nombre de desigualdad triangular. Las propiedades del mdulo prueban que
ste es una norma en el espacio vectorial C.
La comprobacin de estas propiedades se deja como ejercicio. (Ejercicio
1.12).
1.3.4. Forma polar
Definicin 1.3.2:
Si es igual al mdulo del nmero complejo no nulo z y es un
argumento de z, entonces (, ) son las coordenadas polares del punto z.
La conversin de coordenadas polares en cartesianas y viceversa se
hace mediante las expresiones:
x = cos , y = sen , por lo que z = x + iy = (cos + isen ).
Esta ltima expresin es vlida incluso si z = 0, pues entonces = 0, por
-
34 Captulo 1: Variable Compleja
lo que se verifica para todo .
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1.3.1: Calcular el mdulo de los siguientes nmeros complejos:
2 + 3i y 4 + i.
Al calcular 1332 i y 174 i se sabe que el primero dista
menos del origen que el segundo.
Ejemplo 1.3.2: Calcular el argumento de los siguientes nmeros
complejos: 5i, 7i, 3 y3.
El argumento principal de 5i es igual a 2 , el de 7i es
23 , el de 3 vale 0
y el 3 es .
Ejemplo 1.3.3: Escribir en forma binmica el nmero complejo de mdulo
2 y argumento 3 .
El nmero complejo de mdulo 2 y argumento principal 3 es 1+ 3 i, ya
que: x = 2 cos3 = 1 e y = 2 sen
3 = 3 .
Ejemplo 1.3.4: Calcular el mdulo y el argumento de: 1 i.
El nmero complejo 1 i tiene de mdulo = 22 11 )()( = 2 .
Uno de sus argumentos es + 4 =
45 , y su argumento principal es
43 , por tanto arg(1 i) =
43 + 2k.
-
Los nmeros complejos 35
Ejemplo 1.3.5: Comprobar si se verifica que Arg(zw) = Arg(z) + Arg(w).
Se verifica que arg(zw) = arg(z) + arg(w) considerando estos argumentos
como conjuntos, y en general no se verifica que Arg(zw) = Arg(z) + Arg(w),
pues por ejemplo Arg((i)2) = Arg(1) = , mientras Arg(i) + Arg(i) = 2
2
= .
Ejercicios
1.12. Demostrar las propiedades del apartado 1.3.3.
1.13. Discutir el significado de las siguientes expresiones, poniendo
distintos ejemplos:
a) arg(zw) = arg(z) + arg(w),
b) arg( z ) = arg(z1) = arg(z),
c) arg(z/w) = arg(z) arg(w).
1.14. Calcular el modulo y el argumento principal de los siguientes
nmeros complejos:
a) i3
b) 2 2i
c) 1 i3
d) 4i
1.15. Expresar en forma polar los siguientes nmeros complejos:
a) i
-
36 Captulo 1: Variable Compleja
b) i
c) 4 + 4i
d) 4
1.4. FORMA EXPONENCIAL DE UN NMERO
COMPLEJO
Definicin 1.4.1.:
Se denomina Frmula de Euler a la expresin:
ei = exp(i) = cos + isen ,
donde se mide en radianes.
Definicin 1.4.2:
La frmula de Euler permite expresar un nmero complejo no nulo en lo
que se conoce como la forma exponencial:
z = zei = ei.
Al estudiar la funcin exponencial se justificar esta expresin.
Para cada valor previamente fijado de los puntos de la ecuacin z =
ei estn sobre la circunferencia de radio y centro el origen.
Dos nmeros complejos, z1 = ei y z2= rei, no nulos, son iguales si, y
slo si, = r y = + 2k, donde k es cualquier nmero entero.
-
Los nmeros complejos 37
1.4.1. Operaciones entre nmeros complejos en forma
exponencial
Para multiplicar nmeros complejos expresa