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1
Le succès paradoxal du Modus Ponensde Mamdani
Benjamin MOUBÊCHE
ENS Cachan
Directeur de Stage : Marcin DETYNIECKI
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2
Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI
Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani
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2
Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI
Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani
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2
Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI
Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani
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Jussieu→ LIP6→ DAPA→ MALIRE→ LOFTI
Logique Floue→ Modus Ponens→ Modus Ponens Généralisé (MPG) deMamdani
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3
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4
Sommaire
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5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
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5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
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5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
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5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
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5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
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5
Définition
Est-on vieux à 50 ans ?Un peu...
Logique classique : {0, 1}Logique floue : [0, 1]
Zadeh 1960
Lien avec les probabilités ?
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6
Différence avec les probabilités
Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé
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6
Différence avec les probabilités
Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé
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6
Différence avec les probabilités
Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé
![Page 17: Le succès paradoxal du Modus Ponens de Mamdanimoubeche/professionnel/presentation3.pdf · Logique Floue !Modus Ponens!Modus Ponens Généralisé (MPG) de Mamdani. Benjamin Moubêche](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043011/5fa45f13d26a84215963b481/html5/thumbnails/17.jpg)
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6
Différence avec les probabilités
Cette eau est potable à 0,9Probabilité : 1/10 est intoxiquéLogique floue : 10% d’impureté→ 10/10 enbonne santé
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7
Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
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7
Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
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7
Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
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7
Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
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7
Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
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7
Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
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Ensembles flous
Définition :
A = {{x , f (x)}|x ∈ X}
Support : {x ∈ X |f (x) > 0}Noyau : {x ∈ X |f (x) = 1}
Forme de TrapèzeOn parlera toujours d’ensemble
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8
Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
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8
Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
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Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
![Page 28: Le succès paradoxal du Modus Ponens de Mamdanimoubeche/professionnel/presentation3.pdf · Logique Floue !Modus Ponens!Modus Ponens Généralisé (MPG) de Mamdani. Benjamin Moubêche](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022043011/5fa45f13d26a84215963b481/html5/thumbnails/28.jpg)
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Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
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Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
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8
Opérateurs flous
Association opérateurs logiques←→ opérateursensemblistes
et←→ intersectiont-norme 1
ou←→ uniont-conorme 1
non←→ complémentationfA(x) = 1 − fA(x)
Principaux opérateurst-norme t-conorme
Zadeh T (a, b) = min(a, b) ⊥(a, b) = max(a, b)Lukasiewicz T (a, b) = max(a + b − a, 0) ⊥(a, b) = min(1, a + b)
1. Reflexivité - Associativité - Monotonie - Élément neutre 0 ou 1.
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9
Implications
En logique classique : A⇒ B ←→ ¬A ∨ B
En logique floue : choix de l’implication
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10
Implications
L(x, y) = min(1− x + y, 1) KD(x, y) = max(1− x, y) M(x, y) = min(x, y)
W (x, y) = max(1− x, min(x, y)) BG(x, y) = 1 si x ≤ y, y sinon
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Sommaire
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12
Modus Ponens
Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A
Donc je bronze B
Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B
Modus Ponens Généralisé (MPG) :
A′ ∧( A⇒ B )→ B′
On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.
Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))
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12
Modus Ponens
Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A
Donc je bronze B
Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B
Modus Ponens Généralisé (MPG) :
A′ ∧( A⇒ B )→ B′
On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.
Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))
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12
Modus Ponens
Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A
Donc je bronze B
Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B
Modus Ponens Généralisé (MPG) :
A′ ∧( A⇒ B )→ B′
On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.
Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))
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12
Modus Ponens
Si il fait beau alors je bronze A⇒ BOr il fait beau A
Donc je bronze B
Modus Ponens : A ∧ (A⇒ B)→ B
Modus Ponens Généralisé (MPG) :
A′ ∧( A⇒ B )→ B′
On cherche une conclusion sur A′ proche de A àl’aide de l’implication.
Mathématiquement : fB′(y) = supx∈XT(fA′(x), fR(x,y))
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13
Illustration en fonction du choix effectué
⇒
trainLukasiewicz train Kleene-Dienes
trainBouwer-Gödel train Mamdani
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13
Illustration en fonction du choix effectué
⇒
trainLukasiewicz train Kleene-Dienes
trainBouwer-Gödel train Mamdani
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Illustration en fonction du choix effectué
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trainLukasiewicz train Kleene-Dienes
trainBouwer-Gödel train Mamdani
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Le Modus Ponens Généralisé de Mamdani
fB′(y) = supx∈X min (fA′(x), min (fA(x), fB(y)))
T : t-norme de Zadeh→minfR : «implication» de Mamdani→min
Mais
Ce n’est pas une implicationPourtant, c’est le plus utilisé dans le domaine ducontrôle...
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Le Modus Ponens Généralisé de Mamdani
fB′(y) = supx∈X min (fA′(x), min (fA(x), fB(y)))
T : t-norme de Zadeh→minfR : «implication» de Mamdani→min
Mais
Ce n’est pas une implicationPourtant, c’est le plus utilisé dans le domaine ducontrôle...
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Le Modus Ponens Généralisé de Mamdani
fB′(y) = supx∈X min (fA′(x), min (fA(x), fB(y)))
T : t-norme de Zadeh→minfR : «implication» de Mamdani→min
Mais
Ce n’est pas une implicationPourtant, c’est le plus utilisé dans le domaine ducontrôle...
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Sommaire
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Notre formule
Modus Ponens Généralisé avec applicabilité de larègle par conjonction entre la prémisse etl’observation
fB′(y) = supx∈X
T (min(fA(x),fA′(x)), fR(x , y))
(A∧A′) ∧ (A⇒ B)→ B′
Exactement les mêmes résultats que Mamdani pourcertaines (vraies) implications
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Notre formule
Modus Ponens Généralisé avec applicabilité de larègle par conjonction entre la prémisse etl’observation
fB′(y) = supx∈X
T (min(fA(x),fA′(x)), fR(x , y))
(A∧A′) ∧ (A⇒ B)→ B′
Exactement les mêmes résultats que Mamdani pourcertaines (vraies) implications
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Notre formule
Modus Ponens Généralisé avec applicabilité de larègle par conjonction entre la prémisse etl’observation
fB′(y) = supx∈X
T (min(fA(x),fA′(x)), fR(x , y))
(A∧A′) ∧ (A⇒ B)→ B′
Exactement les mêmes résultats que Mamdani pourcertaines (vraies) implications