LECCIONES DEL
CURSO DE MODELACIÓN
MATEMÁTICA Y COMPUTACIONALPOSGRADOS DE
CIENCIAS DE LA TIERRA
Y DE
CIENCIA E INGENIERÍA DE LA
COMPUTACIÓN
UNAM
AUTOR:
ISMAEL HERRERA REVILLA1
Basado en el Libro
‘‘Mathematical Modeling in
Science and Engineering:
An Axiomatic Approach’’Por
Ismael Herrera y George F. Pinder
2
3
John Wiley
2012
CAPÍTULO 8
4
RECUPERACIÓN MEJORADA
DEL
PETRÓLEO
BIBLIOGRAFÍA
5
1. Herrera I. & G.F. Pinder, "Mathematical Modeling in Science
and Engineering: An Axiomatic Approach", John Wiley and
Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, pp.243, 2012.
2. Herrera, I. & Herrera G. “Unified Formulation on Enhanced
Oil-Recovery Methods”, Geofísica Internacional 50 (1) pp., 85-
98 2011.
3. Chen, Z., G.Huan & Y. Ma, "Computational Methods for
Multiphase Flows in Porous Media", SIAM, Society for Industrial
and Applied Mathematics, Philadelphia, pp.521, 2006.
4. Green, D.W. & G.P. Willhite, "Enhanced Oil Recovery", SPE
TEXTBOOK SERIES, Vol. 6, Richardson, TX USA, pp.545,
1998.
5. Lake, L.W., "Enhanced Oil Recovery", Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliff, New Jersey, pp.550, 1989.
6
A.
PERSPECTIVA GENERAL
REPASO
7
LOS PROCESOS DE LA
PRODUCCIÓN DEL
PETRÓLEO
8
¿CÓMO ES UN YACIMIENTO DE PETRÓLEO?
Está constituido de un material sólido y poroso
(la matriz), cuyos huecos están llenos de fluidos
que generalmente se separan en tres fases: agua,
aceite y gas. Inicialmente en la fase agua sólo
hay H2O, pero tanto en la fase de aceite como en
la fase de gas hay muchos hidrocarburos de
distinta composición. En algunas técnicas EOR
ocurren más de tres fases; por ejemplo, espuma.
También, algunas componentes pueden ser
solubles en la fase agua.
9
¿CÓMO SE REALIZA LA EXPLOTACIÓN?
• PRODUCCIÓN PRIMARIA: Se extrae a través de pozos utilizando su presión original
• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: Es la segunda etapa de la explotación, y usualmente se implementaba cuando la producción primaria declinaba
• RECUPERACIÓN MEJORADA: Anteriormente se le llamó ‘recuperación terciaria’, pero en actualidad los términos Recuperación Mejorada son más aceptados
10
¿QUÉ PROCESOS HAY QUE MODELAR?
• PRODUCCIÓN PRIMARIA: El movimiento de una o dos fases
• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: En actualidad estos términos son usados casi exclusivamente para la inyección de agua. Al caer la presión, parte del petróleo pasa a ser gas y se tienen cuando menos dos fases (aceite y gas) y frecuentemente tres fases (agua, aceite y gas)
• RECUPERACIÓN MEJORADA: Control de la movilidad (agua con polímero), químicos (para reducir la tensión superficial), miscibles, térmicos (agua caliente, vapor y combustión in-situ) y otros (ej., microbianos)
11
¿QUÉ NOS DA LA MODELACIÓN
DE ESTOS PROCESOS?
• Cómo se debe desarrollar y producir el
yacimiento para aumentar su rendimiento
• Cual es la estrategia de producción mejorada
más adecuada y cómo debe implementarse
• Cuando el comportamiento observado se
desvía del esperado, cómo corregirlo
• Cuál será su vida útil y su rendimiento total
• Valioso auxiliar en la administración o manejo
de los pozos
12
B.
FORMULACIÓN AXIOMÁTICA
DE LOS
MODELOS MATEMÁTICOS DE LA
RECUPERACIÓN MEJORADA
13
MODELOS
• De una fase
• De dos fases
• De petróleo negro
• Composicional
• Térmicos
• Con interacción química
• En medios fracturados
14
DESARROLLO SISTEMÁTICO
DE LOS MODELOS
• Modelo conceptual
• Modelo matemático
• Modelo numérico
• Modelo computacional
• Validación
15
B.1
FLUJO MONOFÁSICO
(FLUJO DE UNA FASE)
Chen et al. pp.10-22
16
17
FLUJO DE UNA FASE
EN UN
MEDIO POROSO
(Ya se estudió)
18
El modelo matemático básico de los sistemas
multifásicos
,
1,..., Número de propiedades extensivasNúmero de fases
: 1,..., 1,...,
Fase asociada a la propiedad α
gt
N M
N M
v
REPASO
Sólo hay una fase y una propiedad
extensiva, lo que corresponde a N=M=1
en el modelo general. Supondremos que
la única propiedad extensiva es la masa
de aceite.
19
20
El modelo matemático básico de los sistemas
de una fase y una componente
gt
v
LA PROPIEDAD INTENSIVA
21
lim
FAMILIA DE UNA PROPIEDAD EXTENSIVA
SU EXPRESIÓN ES:
, , ,
B t B t
B t
E
E t x t d x = x t x t d x
d x
V B
E
V=0
22
El modelo matemático básico del flujo de
una fase en un medio poroso
Velocidad de Darcy
gt
u
u gt
v
v
Comparación con Chen
23
0
CONCLUSIÓN
Nuestra ecuación es más general que la de Chen.
La Ec.2.2, p12 de Chen desprecia los flujos difusivos,
l
La ecuación
u gt
cuando y q g se puede escribir
u qt
o cual haremos en lo que sigue.
Incorporación de la Ley de Darcy
24
Ley de Darcy
1
Consecuentemente, la ecuación de flujo monofásico es :
Aquí, el tensor de . En
algunos casos se puede diagonalizar
u k p z
k qp zt
k permeabilidad absoluta
k
y, cuando el
medio es isotrópico, .
k k
Incorporación de la Compresibilidad
25
En procesos isotérmicos, tanto como son funciones
de la presión exclusivamente, por lo que
Consecuentemente :
Ésta es una ecuac
t t t
pk qp z
p p t
ión para la presión, porque los téminos
de compresibilidad están determinados por la naturaleza de
la matriz porosa y el fluido. Hay diversas formas de
aproximar los téminos de compresibilidad. Un caso en que
la compresibilidad es muy importante es cuando el fluido
es gas (ver [3]).
Condiciones de Frontera
26
Los es decir capaces de predecir
el comportamiento, incluyen
; en el caso que se considera, para la presión.
Las condiciones iniciales son la distri
modelos completos
condiciones de frontera
e iniciales
,
bución inicial de
la presión. En la frontera se puede prescrbir :
LA PRESIÓN
en
EL FLUJO DE MASA
en
UNA CONDICIÓN MIXTA
p p
u n g
en
.
p u n f
27
B.2
MODELO COMPOSICIONAL
Chen et al.
pp.35-37 y CAP.9 pp.347-380
28
CARACTERÍSTICAS
GENERALES• Tiene tres fases: agua, aceite y gas;
• Tanto en la fase aceite como en la de gas hay NC componentes
• El sistema está en equilibrio termodinámico estable; y
• Entre las fases de aceite y gas hay intercambio de masa
• Se desprecia la difusión y la dispersión
29
FAMILIA DE PROPIEDADES
EXTENSIVAS
• La masa del agua
• Las masas de NC componentes en la
fase aceite
• Las masas de NC componentes en la
fase gas
30
,
,
,
ww ww w
ioo ioio io
igg igig ig
gt
gt
gt
v
v
v
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO
31
IDENTIFICAMOS LAS PROPIEDADES
EXTENSIVAS E INTENSIVAS
,w
o
g
w
w wB t
io
o io CB t
ig
g igB t
M t S dx
M t S dx i = 1,...,N
M t S dx
32
FAMILIA DE PROPIEDADES INTENSIVAS
,
w
w w
io
o io C
ig
g ig
S
S i = 1,...,N
S
33
,
,
,
w w ww ww w
o io ioo ioo io
g igg ig ig
g ig
SS g
t
SS g
t
SS g
t
v
v
v
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO
34
Falta identificar fuentes y
flujos difusivos
35
FUENTES Y FLUJOS DIFUSIVOS
, 0,
, , 0
, , 0
0
ww w
e
ioio io io
e ig
igig ig ig
e io
io ig
ig io
x tg x t g
g x t g g x t
g x t g g x t
g g
36
EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE
,
1 0
w ww ww w
o io ioo ioo io e ig
gg ig ig ig
g ig e io C
ig io
w o g io ig
SS g
tS
S g gt
SS g g i = 1,...,N
t S S S g g
v
v
v
37
EL MODELO COMPOSICIONAL EN OTRA FORMA
,
1
w ww ww w
o io g ig o g
o io g ig
io ig
e e C
w o g
SS g
t
S SS S
tg g i = 1,...,N
S S S
v
v v
Incorporación de la Velocidad de Darcy
38
,
, =
1
ww www
o io g ig
o gio ig
io ig
e e C
w o g
Su g
t
S Su u
tg g i = 1,...,N
u S w, o, g
S S S
v
39
DENSIDAD MOLAR, DENSIDAD MOLAR DE
UNA FASE Y FRACCIÓN MOLAR
1
,
C
w w w
io io i C
ig ig i
N
ii i
i
WW i = 1,...,NW
and
- densidad molar de la componente en la fase - peso molecular de la componente - densidad molar de la fase - fracción molar de la componente en la fase
i
i
i
iW i
i
40
EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE
,
0
1
ww w e
ww ww
io ioio o iooio e ig i o
C
ig g ig ig
gig e io i g
ig io
io ig
w o g
S gu q
WtS
u g g W q i = 1,...,Nt
Su g g W q
t g g
S S S
41
EL MODELO COMPOSICIONAL ECUACIONES DIFERENCIALES DE BALANCE MOLAR
1
w www w
io o o ig g g
C
o gio o ig g io o ig g
w o g
Su q
tS S
, i = 1,...,Nt
u u q q
S S S
Aquí q q
Ley de Darcy e Identidades
42
1
Ley de Darcy para flujo multifásico
; = , ,
. , ,...,La viscosidad se puede calcular
como función de la presión, temperatura y composición [3].
Además,
c
r
ku k p z w o g
p T
1 1
= 1 y 1
1
= y =
c cN N
io ig
i i
w o g
cow o w cgo g o
S S S
p p p p p p
43
UNA ECUACIÓN CONSTITUTIVA
BÁSICA DETERMINA INTERCAMBIO ENTRE LAS FASES
La condición de equilibrio termodinámico estable
1 1, ,..., , ,..., ,c cio o o N o ig g g N g
c
f p f p
i = 1,...,N
- fracción molar de la componente en la fase i i
44
RESUMEN MODELO COMPOSICIONAL
1 1
1
, ,..., , ,...,
,
1
C C
C
w www w
io o o ig g g
o gio o ig g io o ig g C
io o o N o ig g g N g
r
N
io
i
Su q
tS S
tu u q q , i = 1,...,N
f p f p
ku p z = w,o,g
k
1
1
1
CN
ig
i
cow o w cgo g o
w o g
y
p p p y p p p
S S S