Les combinatoiresTravail de fin de formation
« Rééducation des troubles logico-mathématiques »
Mélissa SteenwinckelIsabelle Otterström - BogaertHéloïse Blauwaert Avril 2012 Laure Leider-Marchetti
Les combinatoires - 1 -
Remerciements à :Claire WilmaertVéronique DegrooteMaryline Dupuis – BogaertAux élèves pour leur participation et leur motivation
Les combinatoires - 2 -
Plan du travail
1) Introduction (page 4)
2 ) Un peu de théorie (page 5)
3) En pratique (page 13)
4) Présentation du matériel (page 15)
5) Mises en situation et observations (page 16)
a- Les permutations (p16)
b-Les arrangements (p19)
c- Les combinaisons (p23)
d- Les parties d'ensembles (p26)
6) Prolongements possibles (page 29)
7) Conclusions (page 30 )
8) Jeux dans le commerce (page 32)
9) Bibliographie (page 35)
10) Annexes (page 36)
Les combinatoires - 3 -
1) Introduction
Le sujet de notre travail de fin de formation nous est
apparu assez clairement dès le milieu de notre deuxième année de
formation.
En effet, c'est suite aux fantastiques journées animées
par madame Françoise Buisson(1), qu'une envie d'élucider les
mystères des combinatoires est née. Il nous a semblé, très
rapidement, qu'une certaine compréhension de ce domaine qu'est la
logique, nous permettrait à nous, pédagogues de différents
horizons, de venir en aide plus efficacement aux enfants dont nous
avons la charge.
Il nous est très vite apparu évident que le
développement de la pensée logique chez les enfants était un pré-
requis nécessaire. Ceci autant pour l'acquisition des structures
mathématiques, que pour l'apprentissage de la lecture, de
l'orthographe et de la grammaire. Cette acquisition peut également
favoriser l'ouverture à la recherche de « tous les possibles» afin
de faire face à des situations de la vie courante, stimulant aussi
l'imagination...
(1) Françoise Buisson
Orthophoniste française de Formation, formatrice au GEPALM et à l'ACNES
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2 ) Un peu de théorie
Pour Jean-Jacques Ducret : « Sur le plan de la
mathématique, la combinatoire est la discipline qui étudie les lois
des différentes formes de combinaison que l’on peut faire entre des
objets (lois mathématiques concernant les permutations, les
arrangements avec ou sans répétition d’objets, etc.). En
psychologie génétique, la combinatoire désigne cette forme de la
pensée formelle qui consiste à combiner de façon systématique,
selon des principes proches de ceux que dégage par ailleurs la
mathématique, soit des objets matériels, soit des propositions
logiques et les opérations qui les relient. »(2)
Au cours de la formation, nous avons exploré 5
combinatoires différentes, présentes également dans la littérature
scientifique et pédagogique: les permutations, les arrangements,
les combinaisons, les parties d'ensembles (P(E)) et le produit
cartésien ( laissé volontairement de côté dans ce travail à cause de
sa complexité et de sa proximité avec le jeu multiplicatif qui pourrait
être à lui-même le sujet d'un travail). Ces cinq combinatoires sont
bien identifiées et nommées mais il pourrait en exister bien plus . En
effet, elles sont soumises à des paramètres bien établis, mais nous
pourrions imaginer de modifier ceux-ci pour créer de nouvelles
façons de « combiner ».
(2) site de la fondation Jean Piaget http://www.fondationjeanpiaget.ch
Les combinatoires - 5 -
La combinatoire permet de travailler la logique,
l'organisation de la pensée chez l'enfant. Pour Francine Jaulin-
Mannoni, « l'expression « logique » est utilisée dans ce traité(3)
pour faire référence à la discipline qui cherche à établir ce qui fait la
différence entre les raisonnements valides et les raisonnements non
valides. Différence qui tient, non au recueil des informations, mais à
la manière correcte de les traiter ».
En effet, face à une multitude de possibilités, l'enfant va
devoir trouver par lui - même une stratégie de rangement, de
classement qui va lui permettre de se situer par rapport à la tâche
demandée, de se situer par rapport à l'avancée de son travail.
Il va devoir trouver des points communs et/ou des
différences afin de construire des liens (3) qui lui permettront de
s'organiser, structurer sa pensée pour trouver une organisation lui
permettant d'aller le plus loin possible dans la tâche demandée sans
faire deux «pareil-pareil» et sans faire d'omission.
Pour cela, la première des étapes à franchir pour
l'apprenant est de comprendre l'importance de se trouver un
invariant. L'invariant est un choix propre. Il peut être : la (les)
couleur(s), la(les) voiture(s), la(les) case(s) ou tout autre propriété
dont il est question, qu'il garde toujours pareil afin d'effectuer son
rangement. L'invariant conduira à un premier rangement, un
premier classement, une organisation afin de trouver tous les
possibles .
(3) La Sirène et le Dragon. Francine Jaulin-Mannoni - Traité de logique. Tome A. Page 23
(4) La Sirène et le Dragon. Francine Jaulin-Mannoni – Manuel didactique. Page 27
Les combinatoires - 6 -
Voici l'explication de la notion d'invariant, comme détaillée sur le site
de la "fondation Jean Piaget" :
"La notion d’invariant est liée à celle de groupe (ou de groupement)
d’opérations ou de transformations. Lorsque dans une telle
structure une opération ou une transformation est réalisée, tout
n’est pas modifié: ce qui reste inchangé, ce sont les invariants du
groupe. Les invariants sont essentiels pour la pensée
mathématique. Ce sont eux qui permettent d’opérer
mathématiquement sur une réalité (par exemple d’ajouter une
longueur à une autre). "
Une propriété est donc invariante lorsqu'un procédé ne la modifie
pas. Elle peut concerner un objet ou un ensemble d'objets donné.
Différentes constructions peuvent être menées pour construire des
objets similaires : parties complémentaires, sommes, produits,
quotients,... L'invariance d'une propriété caractérise sa stabilité sous
ces constructions.
Somme toute, l'invariant est important pour pouvoir opérer sur la
réalité mathématique.
Le site de la fondation Jean Piaget décrit encore que "Les notions
attachées aux invariants construits ou découverts par la pensée
sont essentielles au fonctionnement de l’intelligence représentative,
que ce soit chez l’enfant ou dans la science. Elles assurent cette
stabilité et cette capacité d’agir avec la plus grande efficacité sur le
réel (comme d’expliquer mathématiquement ses transformations),
qui sont propres à l’intelligence opératoire."
http://www.fondationjeanpiaget.ch
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Différents paramètres interviennent pour différencier les
combinatoires.
La notion d'ordre en est un premier. Il est important de
définir si l'ordre dans lequel on place différents éléments est
important. En effet, que l'on mette son écharpe et puis son bonnet
n'est pas fort important tandis qu'enfiler son caleçon avant ou après
le pantalon l'est tout de même un peu...
Ensuite, la quantité d'items utilisés est également une
partie de la consigne importante à définir. S'il faut trouver toutes les
façons de se garer pour 5 voitures de couleurs différentes dans 5
places de parking, le nombre de solutions sera bien différent que
pour 3 places de parking.
Les combinatoires - 8 -
Le nombre et l'univers sont également deux paramètres
qui rentrent en ligne de compte pour les combinatoires. Le
paramètre nombre signifie que l'on fixe ou pas une quantité
d'éléments à combiner. Par exemple, le nombre est fixe lorsque
dans un ensemble de 8 collations on doit en choisir 5 à mettre dans
son cartable et le nombre ne sera pas fixe lorsque l'on peut mettre
ce que l'on veut dans son cartable.
L'univers est un ensemble thématique. Cela pourrait
être : les couleurs, les collations, les fleurs, les vêtements, les
cheveux, …
Le produit cartésien combine plusieurs univers ainsi que le jeu
multiplicatif.
Dans les combinatoires que nous avons travaillées, il
n'est pas question de répétition mais ce paramètre pourrait
intervenir dans la consigne.
Les combinatoires - 9 -
Pour ce travail, nous avons essayé de rassembler toutes
ces informations dans un tableau :
Ordre Partie / tout Nombre Univers/Référentiel
Permutation oui tout fixe 1
Arrangement oui 1 partie fixe 1
Combinaison non 1 partie fixe 1
P(E) nonpartie(s)/
toutpas fixe 1
Produit
Cartésienoui
Duo/ triplet/
quatuor,...pas fixe plusieurs
Sériation Classification
NB : Il n'y a travail de la sériation que lorsqu'il y a de l'ordre.
(Explications dans les prolongements possibles en pages 29)
Les combinatoires - 10 -
Notons, tout d'abord que les combinatoires peuvent se
travailler de manière tout à fait indépendante et qu'elles ne doivent
pas suivre un ordre spécifique.
Les combinatoires permettent l'accès à la
compréhension du système de position en numération (12 est
différent de 21) et au sens de la lecture (as est différent de sa). Elles
sont donc intimement liées au développement de l'espace et du
temps. C'est d'ailleurs pour cette raison-là que nous avons choisi de
placer les rayures du T-shirt du clown de manière verticale et non
horizontale.
Les activités combinatoires poussent également à la
décentration (= voir une même chose sous des angles différents)
ce qui développe la mobilité de pensée.
Il est aussi important de rappeler la nécessité, pour les
enfants, de passer par la manipulation tout en tenant compte des
spécificités d'apprentissages de chacun. En effet, pour un
dyspraxique apprendre par la manipulation sera plus handicapant
que tout autre chose, les représentations mentales adéquates, dont
le verbal, lui conviendront bien mieux.
Notons aussi, l'étape ultime, bien souvent négligée, le passage de
la manipulation à l 'abstraction qui se fait par diverses étapes
fréquemment « oubliées » par les pédagogues. La mentalisation
peut être fortement aidée par quelques astuces, principe de la
Gestion Mentale favorisant le transfert des connaissances. En effet,
ce transfert n'est pas toujours un geste mental qui va de soi et il est
donc important de « guider » l'apprenant dans cette démarche. Il est
Les combinatoires - 11 -
également nécessaire de conduire l'enfant, l'élève, à faire des liens
avec son quotidien (à l'école, au magasin, à la maison,...) par
rapport à ce genre d'exercice.
Celles-ci servent également pour les opérations où l'on
utilise des parties d'ensemble(s), par exemple pour effectuer : 7+ 5
= ( 7+3 ) + 2 ou introduire la commutativité ( où l'ordre n'a pas
d'importance) comme 4+2+8 = 8+2+4.
Il nous semble aussi important de mentionner que les
combinatoires obéissent à des consignes bien précises et que le
respect de ces règles, est nécessaire pour mener à bien cette
tâche comme dans de nombreux autres domaines tels que la
numération, les opérations numériques, la lecture, la grammaire, l'
orthographe,....
Précisons également que les combinatoires sont
intimement liées à la sériation ( par la notion d'ordre) et à la
classification (par la notion de partie/tout), bases de nombreux
apprentissages comme l'a bien démontré Jean Piaget. Celui-là
même qui prônait l'importance des découvertes faites par les
enfants eux-mêmes. « Chaque fois que j'enseigne quelque chose à
quelqu'un, je l'empêche de l'apprendre ».J.Piaget. De la même
façon, les combinatoires permettent à l'individu de développer, par
lui-même, ses propres structures logiques.
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3) En pratique
Après de longues discussions et réflexions, nous avons
décidé de travailler les quatre combinatoires avec le même matériel
et les variantes imposées par les spécificités de chaque d'entre
elles que nous avons voulu aborder. A nouveau, cette liste n'est pas
exhaustive et libre à vous de créer vos propres combinatoires selon
les critères désirés. Nous souhaitions également nous interroger sur
l'effet de familiarisation et d'apprentissage qui pourrait être facilité
par l'appropriation du matériel (Voir présentation du matériel au
point suivant).
Nous avons mené nos activités dans le même groupe
classe afin de pouvoir constater s'il y avait des évolutions dans la
logique de pensée chez certains enfants.
Le groupe classe était composé de 14 élèves de 10 à
12 ans. La classe dans laquelle nous avons travaillé est une classe
de Maturité 2/4 de l' enseignement spécialisé de Type 8 situé en
zone de discrimination positive. La population est d'origine très
variée. La classe en elle-même est constituée d'enfants ayant des
difficultés profondes d'apprentissages : troubles instrumentaux,
TDA/H, dyslexies, dysorthographies, dyscalculies, dyspraxies ,
lourds retards d'apprentissages et troubles associés, ce qui a rendu
l'expérience encore plus intéressante. A savoir aussi que parmi ce
groupe classe, certains enfants ont bénéficié d'ateliers
mathématiques menés conjointement avec une logopède
spécialisée (formée au GEPALM) et/ou avec une logopède formée
en gestion mentale et ayant fait l'ACNES.
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Groupe 22ans d'ateliers mathématique
(1h par semaine)
Carlos
Groupe 11 an d'ateliers mathématique
(1h par semaine)
Thierry / Hayat/ Ismaël/Leonardo/Rachel/Ricardo/
Dylan/Michaël-Angelo
Groupe 0Aucun Atelier mathématique
Reda/Nicos/Eva/Leila/Hanane
Les enfants ont été disposés dans le local en fonction des
critères précités afin de permettre, à chacun, de se construire leur
propre cheminement de penser.
Plan de la classe
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CarlosLeila
Thierry Ricordo
Hayat
Michaël-AngeloIsmaël
Hanane Eva
Rachel
LeonardoBureau
de
l'enseignante
Reda
DylanNicos
4) Le matériel
Voici « Combi le clown »:
Et voici sa garde-robe :
NB: Le matériel en version « utilisable tout de suite » se trouve en annexe
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Les enfants doivent travailler
sur des cartes mobiles.
5) Mises en situation
a- Les permutations
Exemple de consigne aux enfants :
Voici « Combi, le clown ».
Il est bien triste car il n'a pas de couleur sur son T-shirt.
A l'aide de tes crayons : orange, mauve, vert et brun, dessine le plus
de clowns possibles sans employer deux fois la même couleur par
T-shirt et chaque clown dessiné doit être différent.
Voici quelques photos :
Carlos Michaël-Angelo
Eva Thierry
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Il y a de l'ordre et on prend le
tout
Nos observations de l'activité
Lors de l'exercice sur les permutations, nous avons constaté
que :
- Carlos (groupe 2)
redemande des explications sur
l'ordre des couleurs et
s'organise relativement vite en
choisissant tout de suite un
invariant couleur en le
changeant de case: l'orange en première case, l'orange en
deuxième case, ….
- Eva (groupe1) s'organise tout de suite. Elle suit un schéma
mental organisé (fixe facilement un invariant) et ne se trompe pas.
Quand elle dit avoir tout trouvé, cela est exact.
- Hanane (groupe 0), par contre pense avoir tout trouvé après 5
cartes. Elle ne structure pas et change tout toujours de place.
- Thierry (gr1) bloque au bout de quelques cartes. En lui
proposant un rangement, il parvient à imaginer plus de clowns.
- Ricardo (gr 1) conserve les 2 premières couleurs et ensuite
inverse les 2 dernières.
- Leonardo ( groupe 1), dyspraxique visuo-spatial, ne réalise
rien concrètement mais semble néanmoins y avoir réfléchi.
Chacun élabore une façon de faire, une stratégie : au hasard,
avec un invariant clair et net ou encore avec une amorce de choix
d'invariant.
Certains enfants placent leurs cartes mobiles en ligne, voire
en tableau et/ou d'autres en tas ( notons que dans la batterie de
Les combinatoires - 17 -
test UDN-II, pour l'épreuve de classification, les auteurs signalent
que l'organisation en tableau cartésien n'est pas forcément un bon
pronostic. Le classement en tas montrerait une plus grande
abstraction des critères alors qu'en tableau ceux-ci paraissent
inextricablement mêlés).
Commentaires des enfants :
Hanane : « J'ai bien aimé parce qu'il faut faire attention et réfléchir »
Reda : « J 'ai bien aimé colorier »
Leonardo : « J'ai bien aimé mais j'ai rien fait. Je n'avais pas très
envie de faire. J'aime colorier mais ne savais pas comment faire! Je
savais qu'il fallait faire une famille d'orange parce que j'ai triché». En
poussant le questionnement, nous remarquons qu'il a analysé le
fonctionnement des autres (en particulier :Eva).Il fait un lien avec
une activité précédente ( jeu multiplicatif : « Mes goûters »)
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b- Les arrangements
Exemple de consigne aux enfants :
Re-voici « Combi, le clown ».
Il est bien triste car il n'a pas de couleur sur son T-shirt.
A l'aide de tes crayons : orange, mauve, vert, brun, bleu et jaune,
dessine le plus de clowns possibles sans employer deux fois la
même couleur par T-shirt et chaque clown dessiné doit être
différent.
Voici quelques photos :
Reda Dylan
Hanane Ismaël
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Il y a de l'ordre et on prend une
partie.
Nos observations de l'activité
Voici nos différentes observations suite à la séance d'activité
sur les arrangements:
- Eva (gr 0) commence par colorier la première case de
chacune des 6 couleurs. Puis, elle les dispose en une colonne et se
met au travail en coloriant les clowns pour compléter ses lignes, tel
un tableau à double entrée.
- Ismaël (gr1)
parle de groupe de
couleur initiale. Un
élément peut être
perturbant: Ismaël à
des troubles dyspraxiques et est gaucher. Pour lui, la première case
est en réalité la dernière case pour nous. Il s'organise donc en
gardant «sa première case» d'une même couleur et fait des
permutations avec les trois autres couleurs. Après avoir fait les trois
cartes, il se demande si le « groupe vert » est complet. Il finit par
dire que oui mais on sent bien les hésitations dans ses réponses.
- Carlos (gr2) anticipe le fait qu'il y
aura beaucoup plus de cartes que lors de la
première activité. Face aux 6 couleurs pour
4 cases, il décide de couper la première
case en deux et colorie les deux moitiés de
deux couleurs différentes.
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- Thierry (gr1) semble, au départ, s'organiser en gardant les
deux mêmes couleurs pour les deux premières cases et en
inversant les deux dernières mais, au bout de 4 cartes, il change de
procédure. Après, il décide de garder la même couleur pour toutes
les premières cases. Il fonctionne aussi comme Michaël-angelo (voir
plus loin) et de la même manière que lors des permutations. Il
n'envisage pas de classement global avec toutes ses cartes.
- Hayat (gr 1) prend comme invariant la couleur de la première
case. Elle les classe en ligne.
– Michaël-Angelo
(gr1) fonctionne par duos, il fabrique
des contraires . Il construit en miroir.
- Ricardo (gr1) s'organise en tas et décrète qu'il y a 8 clowns
par famille.
- Rachel (gr1) commence tous ses clowns par une couleur
différente puis continue de les colorier en choisissant les couleurs
au hasard.
Lors de l'échange des réflexions, Thierry (gr1) explique que
ce qui change par rapport à la première activité c'est qu'il faut
laisser des couleurs de côté et que donc, il y aura plus de clowns.
Carlos (gr2) dit avoir pensé de la même manière (même si au
départ, il avait trouvé une stratégie pour placer toutes les couleurs
dans un clown). Nicos (gr 0), quant à lui, a trouvé l'activité
« chouette » car il a pu colorier et que c'était rapide et qu'il ne faut
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pas réfléchir!
Quand on demande aux enfants à quoi peut bien servir cette
activité, Leonardo (gr 1) répond : « ça sert à faire réfléchir la
mémoire »
Les combinatoires - 22 -
c- Les combinaisons
Exemple de consigne aux enfants :
Aujourd'hui, « Combi le clown » doit s'habiller.
Mais, attention, comme il est pressé, il ne prend dans sa garde-robe
que 3 accessoires.
Dessine tous les clowns possibles et chaque clown dessiné doit
être différent.
Voici quelques photos:
Leila Hayat Hanane
Nicos
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Il n'y a pas l'ordre et on prend une
partie.
Nos observations de l'activité
Cette troisième activité présente un élément nouveau qui
est la garde-robe du clown (les couleurs ne sont plus utilisées).Nous
avons choisi le noir et blanc pour la garde-robe afin que l'enfant se
centre sur l' « objet ». Cette séance commence donc par une
présentation du nouveau matériel.
Cette activité-ci est différente des deux premières par une
manipulation possible des «habits» du clown.
Les enfants doivent d'abord constituer le clown et ensuite dessiner
le résultat sur une carte mobile.
- Eva (gr 0) essaye de procéder comme lors des permutations
et des arrangements mais se retrouve vite embêtée . En effet, après
quelque temps, elle se rend compte que cela ne va pas ! Pour elle,
mettre : fleur-chapeau ou chapeau-fleur était différent. Elle a tenu
compte de l'ordre alors qu'ici, c'est le résultat final qui compte et que
l'ordre n'a pas d'importance.
- Nicos (gr 0) travaille avec 2 invariants dès le départ
(chapeau-nœud)
- Carlos (gr 2) fonctionne par trio de clowns, fait 9 clowns et
dit avoir fini. Il fait la famille des «nez - lunettes», des «fleurs -
lunettes», des « nœuds papillon - nez». Après réflexions, il pense
pouvoir continuer en changeant la place de l'«habit»: il propose de
placer le nœud papillon sur les cheveux plutôt qu'au niveau du cou.
Finalement, après un complément d'information, il va essayer de
continuer ses familles et décide de faire la famille des «lunettes -
chapeaux». Il est même capable de dire que cette famille sera
Les combinatoires - 24 -
composée de trois clowns.
- Ricardo (gr 1), fidèle à lui-même, fonctionne en tas. Il fait
des familles en fixant un invariant puis un deuxième. Il fait la famille
des: «chapeau - nœud», «chapeau – fleur», «chapeau -...». Il crée
des familles de 3 clowns.
Lors des échanges de fin de séance, Ismaël (gr1) explique
avoir gardé le chapeau et avoir ajouté deux éléments différents à
chaque fois. Michaël-Angelo (gr1) et Hayat (gr 1) font des familles
d'un seul invariant : famille de chapeaux, une famille de lunettes,
etc... Leonardo (gr 1) et Thierry (gr 1)«construisent» un clown et
puis regardent dans les cartes déjà faites s'ils l'ont déjà. Si oui; ils
en font un autre, si non, ils le dessinent sur une carte mobile.
Bien que cela ressemble beaucoup aux arrangements
(puisqu'on ne prend pas tout), les façons de procéder, de penser
sont bien différentes. Le transfert des stratégies découvertes ne se
fait pas pour certains d'entre eux.
Les combinatoires - 25 -
d- Les parties d'ensembles (P(E))
Exemple de consigne aux enfants :
Aujourd'hui, « Combi le clown » a tout son temps pour s'habiller.
Il peut choisir ce qu'il veut pour se vêtir.
Dessine tous les clowns possibles et chaque clown dessiné doit
être différent.
Voici quelques photos :
Nicos Leonardo
Hanane Ricardo
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Il n'y a pas l'ordre et on prend des
parties ou le tout.
Nos observations de l'activité
En observant les enfants, cette dernière combinatoire
semble plus difficile que les autres. C'est encore une autre façon de
s'organiser, de planifier leur tâche. En effet, ils peuvent choisir le
nombre d'éléments dans la garde-robe du clown.
- Thierry (gr 1) pose une question sur la place du chapeau.
Lors du départ de l'activité, Thierry, Eva (gr 0) et Ricardo (gr 1)
commencent par prendre 3 éléments.
- Eva (gr 0) en fait en double exactement comme lors des
combinaisons, elle continue à donner de l'importance à l'ordre des
éléments.
– - Carlos (gr 2) demande tout de suite si l'on peut tout mettre.
Il intervient dans le travail d' Eva en lui enlevant tous ses doubles.
Dans son travail, il organise aisément la famille de 1, 2, 3, 5
éléments et sait qu'il en a encore beaucoup à faire. Il arrivera à
trouver tous les possibles.
- Leonardo (gr 1) ordonne ses cartes mobiles sur le banc
voisin. Il s'organise très bien en utilisant le matériel et en structurant
sa démarche
- Ricardo (gr 1) finit par travailler sans employer le matériel
mobile. Il construit ses familles les unes après les autres et continue
à les ranger en tas.
- Hanane (gr 0) continue à fonctionner au hasard comme lors
des activités précédentes. Elle constitue un clown, puis prend son
paquet de cartes déjà créées et vérifie si le clown est présent ou
non.
- Dylan (gr 1) habille le clown au fur et à mesure. Il met le
Les combinatoires - 27 -
chapeau sur son premier clown. Pour le deuxième, il ajoute les
lunettes, le troisième, le nez, le quatrième, la fleur, .....
Lors des échanges et réflexions, les enfants constatent qu'il y
a des clowns complémentaires: le tout et le rien, les deux éléments
(fleur-chapeau) et les trois éléments (nez- nœud – lunettes). Ils se
rendent également compte que tous les clowns 2 éléments ne sont
pas les complémentaires des clowns 3 éléments.
Et enfin qu'un clown 1 élément n'est pas complémentaire à un
clown 2 éléments.
Les parties d'ensemble permettent donc de travailler la
complémentarité ainsi que l'inclusion et la négation.
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6) Prolongements possibles
Après de longs débats entre nous pour essayer de
trouver si le travail de la classification, la sériation et les
conservations devait se faire avant ou après le travail de
combinatoires, il nous est apparu évident que tout cela était
extrêmement lié. Nous nous sommes finalement accordées sur le
fait que tout cela devait se travailler en parallèle avant de permettre
à l'apprenant d'étendre le plus largement possible sa mobilité de
pensée.
Après avoir découvert certaines des combinatoires
présentées (rappelons que chaque combinatoire peut être travaillée
de manière tout à fait indépendante et dans un ordre tout à fait
aléatoire), l'exercice qui pourrait être très riche et intéressant à
travailler avec les enfants est : le jeu multiplicatif ( forme
particulière du produit cartésien qui pourrait être à lui seul le sujet
d'un travail comme celui-ci ) et toutes ses prolongations possibles.
La négation, l'inclusion et les complémentaires sont
également des prolongations possibles aux combinatoires. Notions
qui sont d'ailleurs élémentaires pour comprendre bon nombre de
notions mathématiques dont les opérations, la numération,....
Les combinatoires - 29 -
7) Conclusions
La décentration et la recherche de stratégies restent des
exercices fort difficiles pour ces enfants qui manquent souvent
d'inhibition et qui ont de lourds retards d'apprentissage.
Certains fonctionnent par paires, comme Thierry qui
associe les maillots coloriés des clowns par deux en cherchant à
chaque fois ce qu'ils ont de semblable.
Leonardo (gr 1 et dyspraxique), lui, par contre, après
n'avoir quasi rien «produit» aux trois premières séances (il a surtout
observé le travail d'Eva), se met au travail, de manière structurée à
la dernière activité... Ce qui nous fait penser qu'il a travaillé
mentalement en analysant et en s'appropriant les stratégies des
autres.
Eva (gr 0), s'organise tout de suite, dès la première
activité. Elle suit un schéma mental organisé et ne se trompe pas.
Quand elle dit avoir tout trouvé, cela n'est exacte que lorsque l'ordre
intervient. Elle n'arrive pas en s'en défaire.
Certains fonctionnent par famille: ils font tous les
premiers bleus, les premiers ….et d'autres les colorient ou les
constituent sans organisation. Ce n'est que, lorsqu'une intervenante
leur demande de les « ranger » que certains enfants systématisent
leur démarche, lorsqu'ils ont compris l'importance du choix de
l'invariant.
Lors du travail sur les combinaisons et les P(E), nous
avons dû faire face à des questions d'ordre spatial par rapport au
placement des éléments de la garde-robe. Pour certains enfants, il
n'était pas évident que la fleur posée sur le chapeau, sur le T-shirt
Les combinatoires - 30 -
ou dans les cheveux ne constituait qu'un seul clown alors qu'un
élément sorti de sa garde-robe est considéré comme pris. Nous
avons dû, à plusieurs reprises re-spécifier cette consigne.
Afin d'aider un enfant qui «bloque», il y a moyen
d'intervenir en posant des questions, en lui demandant de classer,
de ranger, de mélanger le tas de cartes pour reclasser différemment
et pourquoi pas, proposer «un secrétaire» aux enfants dyspraxiques
(tel que Leonardo), de travailler par deux et de faire «l'appel»,...
Durant ce laps de temps (6 semaines), certains enfants
ont évolué dans leur mobilité de pensée et d'autres absolument
pas.
Nous n'avons pas non plus vu de différence significative
entre les enfants ayant bénéficié de plus ou moins d'ateliers
mathématiques avec une logopède les années précédentes.
Prenons, par exemple, Thierry, ayant travaillé en logopédie et en
atelier math depuis deux ans, qui n'arrive toujours pas à s'organiser
de façon stable. Tandis qu'Eva, qui elle n'a jamais eu ce type
d'approche, construit ces cartes mobiles tel un tableau à double
entrée. Ce qui nous amène à penser que le développement logique
et de la mobilité de pensée sont bien des constructions mentales
individuelles.
Les combinatoires - 31 -
8) Jeux dans le commerce
a- Jeux logopédiques et /ou pédagogiques
« De deux choses l'une » Jules se déguise
Ortho Edition
Mathoeufs
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Pas
d'image
disponible
b- Jeux plus ludiques
Chromino Uno
Speed Jungle speed
Les combinatoires - 33 -
Remarque :
Nous avons choisi de nommer ces jeux dans notre travail car ils travaillent chez les joueurs une certaine mobilité de pensée. Pour chacun des jeux, il faut envisager les différentes possibilités (selon différents critères) afin de pouvoir gagner.
Ces jeux, selon nous, ont leur place ici, car les combinatoires sont nécessaires pour les créer, les fabriquer.
Rummikub Halli Galli
Dobble Quarto
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9) Bibliographie« La Sirène et le dragon »
Francine Jaulin-Mannoni
Raison et déraisons dans la construction
de la pensée occidentale.
Editions APECT
Paris 1999
« Vers les maths
Maternelle Grande Section »
Editions : Accès Editions
(Exemple d'exercice:
Annexe : pages 39-41)
« Jeux de logique 9-11 ans »
Christian Rredouté et Joëlle Dreidemy
(Broché- 16 avril 2008
(Exemple d'exercice:
Annexe : pages 42-45)
Et pour aller plus loin :
" La rééducation du raisonnement mathématique" (1965)
Francine Jaulin-Mannoni
" Pédagogie des structures logiques élémentaires " (1973),
Francine Jaulin-Mannoni
« Entrainement pre-mathematique progressif,
classe primaire et second degre tome 1 »avec le
corrigé des exercices.
Francine Jaulin-Mannoni
Les combinatoires - 35 -
10) Annexes
Matériel utilisé pour les 4 activités menées pour l'élaboration de ce
travail .
Les combinatoires - 36 -
Combi le clown
Les combinatoires - 37 -
La garde-robe
Les combinatoires - 38 -
Cartes mobiles à découper
Les combinatoires - 39 -
Les combinatoires - 40 -
Les combinatoires - 41 -
Les combinatoires - 42 -
Les combinatoires - 43 -
Les combinatoires - 44 -
Les combinatoires - 45 -