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8/16/2019 LIBRO Matematica I
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Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua, Managua
UNAN – Managua
Facultad Regional Multidisciplinaria, Matagalpa
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 2
Contendo
Introducción ........................................................................................................ 4
Objetivos Generales de la Asignatura ................................................................ 6
Unidad I: Álgebra ................................................................................................ 7
1.1. Factorización ......................................................................................... 8
1.1.1. Fórmulas de factorización ............................................................... 8
1.2. Fracciones Algebraicas ....................................................................... 20
1.3. Simplificación de expresiones algebraicas .......................................... 20
1.3.1. Operaciones con fracciones algebraicas ...................................... 21
1.4. Ecuaciones .......................................................................................... 28
1.4.1. Ecuaciones lineales ...................................................................... 29
1.4.2. Ecuaciones cuadráticas ................................................................ 35
1.5. Sistemas de ecuaciones lineales ........................................................ 39
1.6. Sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas .................................. 44
1.7. Desigualdades .................................................................................... 47
1.7.1. Desigualdades lineales ................................................................. 47
1.7.2. Desigualdades cuadráticas ........................................................... 53
Unidad II: Funciones ........................................................................................ 57
2.1. Función ............................................................................................... 58
2.2. Función lineal ...................................................................................... 59
2.3. Función cuadrática .............................................................................. 63
2.4. Función cúbica .................................................................................... 66
2.5. Función definida por partes ................................................................. 68
2.6. Función exponencial ........................................................................... 71
2.7. Función logarítmica ............................................................................. 75
Unidad III: Límites y Continuidad ...................................................................... 79
3.1. Idea de límite de una función en un punto ............................................. 80
3.2 Definición formal de límite ....................................................................... 82
3.3. Teoremas de límites ............................................................................... 85
MATEMÁTICA I
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MATEMÁTICA I
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3.4. Límites al Infinito ................................................................................... 91
3.5. Limites Infinitos ................................................................................... 96
3.5. Aplicaciones de límites ........................................................................ 98
3.6. Asíntotas de una función ................................................................... 1033.6.1. Asíntotas Verticales .................................................................... 103
3.6.2. Asíntotas horizontales ................................................................ 104
3.7. Continuidad de una Función ............................................................. 109
3.7. Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales ........ 112
3.8. Continuidad de una función en un intervalo ...................................... 113
Unidad IV: La Derivada en una variable ......................................................... 117
4.1. Interpretación geométrica de la derivada .......................................... 1184.1.1. Pendiente de la Recta Tangente ................................................ 118
4.2. Teorema de diferenciación ................................................................ 120
4.3. Derivadas de Orden Superior ............................................................ 124
4.4. Derivación Implícita ........................................................................... 125
4.5. Análisis Marginal ............................................................................... 128
4.5.1. Costo Marginal............................................................................ 128
4.5.2. Ingreso y Utilidad Marginal ......................................................... 129
4.5.3. Productividad Marginal ............................................................... 131
4.5.4. Producción Marginal ...................................................................... 132
4.5.5. Tasa de Impuesto marginal ........................................................... 132
4.6. Valores extremos de una función ...................................................... 135
4.6.1. Puntos críticos ............................................................................ 135
4.6.2. Función creciente y función decreciente ..................................... 136
4.6.3. Concavidad ................................................................................. 138
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MATEMÁTICA I
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Introducción
La primera edición del libro de texto para el estudiante “MATEMÁTICA I” es un
esfuerzo del Departamento de Educación y Humanidades de la Facultad
Regional Multidisciplinaria, Matagalpa, UNAN Managua.
El propósito fundamental de esta obra es dotar a los estudiantes de un material
pedagógico basado en el programa de la asignatura de Matemática I, la cual se
sirve en las carreras de Administración de empresas, Contabilidad,
Mercadotécnica, Economía y Economía Agrícola, con el fin de aportar
conocimientos básicos que contribuye a la adquisición de conceptos y principios
necesarios para el desarrollo del pensamiento lógico que permite la compresión
de fenómenos enfocados a las ciencias económicas y administrativas pero cuya
fundamentación está en la Matemática.
Primero se pretende reforzar los conocimientos previos de la Matemática
importantes como son los algunos contenidos de Álgebra y Funciones para luego
introducir al estudiante a sus primeros acercamientos con el estudio del Cálculo,
comenzando con límite y continuidad y por último la derivada de funciones deuna variable.
La primera unidad ALGEBRA, trata de contenidos relacionados a la factorización,
operaciones con facciones algebraicas, ecuaciones y desigualdades.
La segunda unidad FUNCIONES, se realiza un resumen de las gráficas de
funciones lineales, cuadráticas, cubicas, seccionadas, logarítmicas yexponenciales, así como problemas de aplicación.
LÍMITE Y CONTINUIDAD es la tercera unidad, en ella se presenta: La idea de
límite de una función, La definición de Límite, Teoremas de Límite, Limites
Infinitos, Limites al Infinito, Asíntotas de una Función y la Continuidad de una
función en un punto y en un intervalo.
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MATEMÁTICA I
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La cuanta unidad DERIVADAS EN UNA VARIABLE REAL se aborda contenidos
como: Interpretación geométrica de la derivada, Definición de derivada,
Teoremas de Diferenciación, Derivada implícita, Derivada de orden superior,
Determinación de valores máximos y mínimo de una función. Máximo y mínimoabsoluto de funciones en un intervalo cerrado, Criterio de la primera derivada,
Criterio de la segunda derivada, Concavidad y punto de inflexión, Construcción
de gráficas de funciones.
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MATEMÁTICA I
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Objetivos Generales de la Asignatura
N° CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
1 Analizar conceptos,definiciones,axiomas,propiedades yteoremas de loscontenidos de Algebra, Modelosfuncionales, límites ycontinuidad yDerivadas de
Funciones en unavariable.
Aplicar conceptos,definiciones, axiomas,propiedades y teoremasde Algebra, ModelosFuncionales, Límites yContinuidad y Derivadasde Funciones en unavariable en la solución deproblemas de la vidadiaria.
Valorar laimportancia de Álgebra, ModelosFuncionales y,límites y continuidady Derivadas deFunciones en unavariable comoherramienta para lasolución de
problemas de suentorno social.
2 Dominar elvocabulario y lanotación propia de Algebra, Modelosfuncionales, límites ycontinuidad y
Derivadas deFunciones en unavariable.
Aplicar el vocabulario y lanotación correcta de Algebra, Modelosfuncionales, límites ycontinuidad y Derivadasde Funciones en una
variable en la resoluciónde ejercicios del entorno.
Apreciar el trabajoindividual y enequipo basado en laresponsabilidad y enla cooperación.
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MATEMÁTICA I
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Unidad I: Álgebra
Objetivos de la unidad
Objetivos Conceptuales
Identificar los casos de factorización de acuerdo a sus características y
resolver fracciones algebraicas
Dominar al menos un método de solución para resolver ecuaciones
lineales, cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales, sistema lineal
cuadrático y desigualdades lineales y cuadráticas.
Objetivos Procedimentales
Aplicar los casos de factorización en la resolución de operaciones con
fracciones algebraicas.
Resolver problemas de la vida cotidiana, utilizando ecuaciones lineales,
cuadráticas y sistemas lineales y desigualdades.
Objetivos Actitudinales
Valorar la importancia del Álgebra como herramienta para la solución deproblemas de su entorno social.
Contenidos de Unidad
Contenidos Cognitivos ContenidosProcedimentales
ContenidosActitudinales
Casos de factorización ysus características.
Operaciones con fraccionesalgebraicas.Método de solución pararesolver ecuacioneslineales, cuadráticas,sistemas de ecuacioneslineales, cuadráticas.Desigualdades lineales ycuadráticas.
Aplicación de los casos defactorización en la resolución
de operaciones con fraccionesalgebraicas.Resolucion de problemas dela vida cotidiana utilizandoecuaciones lineales,cuadráticas y sistemaslineales y desigualdades.
Valoración de laimportancia del
Álgebra comoherramientapara la soluciónde problemasde su entornosocial.
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1.1. Factorización
Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de
sus factores.
Una expresión queda completamente factorizada cuando representa como el
producto de la mayor cantidad posible de factores de "primer grado" o "factores
lineales".
Se llama factores lineales las que tienen grado 1.
Factor primo, es decir no se puede seguir factorizando.Ejemplo: 3 su factor primo es 3
1.1.1. Fórmulas de factorización
Factor común
a. Se halla el M.C.D. de los coeficientes de los términos de la expresión
dada.
b. Se divide cada término entre el M.C.D.
c. El resultado de dividir se escribe dentro de un paréntesis.
Ejemplos
Factorizar las expresiones algebraicas
a) 24324 3643 82 3 El M.C.D. es: Dividiendo nos queda: 64 922 23 b) 122 2432 3643 48 54 El M.C.D. es:
Dividiendo nos queda:
1 2 322
433
c) 1752 5143 8524 3 322 54
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d) 4 12 1 3} e) 2732 182 923 32 2 2 f) 55/ 5/ 15/ / 11/ / 3
/ 112 3 52/3 112 3 g)
h) 73 82 83 [73 8] 73 8
i) 2 5 3 2 5 3 2 2 j)
3 1 1 3 1 1 1 3 1
k) 1 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 3 3 2 Factor común por Agrupación de términos
a)
b) ( )
c) ( )
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d) – e)
Trinomio cuadrado perfecto
Características de un trinomio cuadrado perfecto
a. Ordenar el Trinomio.
b. El primero y tercer términos deben ser positivos.
c. Los extremos deben ser cuadrados perfectos, es decir tienen raíz
cuadrada exacta.
d. El segundo término debe ser el doble producto de las raíces cuadradas
de los extremos, es decir del primero y tercer términos.
Ejemplos
a) 4 42 4⏟ x2 22
b)
1 4942
142 4942
142 1⏟
c) ⏟ d) e)
Este caso es de factor común, peroluego tenemos un trinomio
cuadrado perfecto porque cumplelas caracterlísticas
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( )
f) + + ⏟
g) − ∙−.+ +
Diferencia de cuadrados
a) √ = ⏟√ = ( )( )
b) √ = ⏟ c) + +
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d)
+
e) ⏟ − =
f) − +
g)
Agrupamos los términos − h)
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∙ ∙ ∙
∙ ∙ b) –
–
∙ ∙ – ∙
c) ∙ ∙ ∙
Factorizaciones cúbicas
a) 32 3 32 3 3 32 3 2 3 3
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b) 6 34 32 1⏟ 2 13
c) 6 334 9 362 334 6
d) 3 8⏟ 3 23 2 2 2 4 e) 3
3
2 2
f) 8 6 4 27 2 6 646 2 (3 83)(3 83) 2(3 23)(3 23)
g) 86 1 1 2 4 62 86 124 62 1⏟ 22 13 h) 6 253 5 4 3 27 3 2 3 33 3 2
3 2 3 9 3 2 Factorización utilizando la regla de Ruffini
En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones
sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores
son de la forma ± .Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor ± si al reemplazarel valor
por “
” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “
” de los
Esta es diferencia de cuadrados
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posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del
polinomio”.
Se trata de buscar, para el polinomio , factores de la forma ± . Parahallar el posible valor de "" se escogen los submúltiplos o divisores del términoindependiente entre el coeficiente del primer término.
Si al reemplazar “” por “”, se obtiene que el valor numérico del polinomio es cero, 0 entonces – es un factor de y se factoriza: , donde es el cociente.Cuando se tiene un factor, se divide por Ruffini se comprueba que el residuo es
cero y se trata de seguir factorizando el cociente.
Generalmente se comienza tomando
a = 1 ó a = -1
Ejemplos
a) Factorizar: – Sea 1, 1 1 7 1 6 0 Se tomará 1 para la división porque da 0. 1 es factor de
Es el cociente 3 2 3 7 6 3 2 b) Factorizar: 3 22 17 6
Probamos con divisores de 6
1 ⟹ 13 21 171 6 8 1
⟹ 1
21
171 6 12
1 0 – 7 +6 +1
+ 1 +1 -6
1 + 1 – 6 0
Como la división es exactatomaremos como primer factorel binomio 1 el cual resultade cambiar el signo de +1
Como el resultado es un trinomiose puede factorizar como tal
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3 ⟹ 33 2 32 173 6 27 18 6 51 0 Setoma 3 para dividir
3 .
2 5 2 Este es el cociente y no es factorizable 3 2
5 2 Esta es la factorización final.
c) Factorizar: 3 12 16 Si 1 ⟹ 1 121 1 6 5 1 ⟹ 1 121 1 6 2 7 2 ⟹ 2 122 1 6 0 Tomaremos 2
2
2 – 8 Este es el cociente de la división
2 2 8 4 2 2 4 2 23 4 d) 15 1 0 2 4
1 ⟹ 1 151 101 2 4 0
1 +2 – 17 +6 +3
+ 3 +15 – 6
1 + 5 – 2 0
1 0 – 12 +16 +2
+ 2 +4 – 16
1 + 2 – 8 0
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1 3 2 1424 Ahora3 2 14 24 1 ⟹ 1 1 141 2 4 3 6
2⟹ 2
2
142 24 8 4 28 24 0
2 – 12 Esto resulta de esta división2
12 4 3 Esta es su factorización
La factorización de todo el polinomio es: 1 2 4 3 Completación de cuadrados
Pasos a seguir para completar el cuadrado:
Lo primero será identificar la parte del Trinomio Cuadrado Perfecto, Toda la
expresión es una parte de un TCP
25 54 49 Re-escribiendo la misma expresión: 5 54 7 Para que sea un TCP debemos tener a: 257 7 0 De los cuales, sólo tenemos 54 faltan entonces 16 para tener unTrinomio Cuadrado Perfecto. Luego completando el Trinomio Cuadrado
Perfecto:
25 54 49 + –
1 0 – 15 – 10 +24 +1
+ 1 +1 – 14 – 24
1 + 1 – 14 – 24 0
1 +1 – 14 – 24 – 2
–2 +2 + 24 – 24
1 –1 – 12 0
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25 54 49 25 49 Seguidamente se factoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto que queda dentro del
paréntesis25 49 5 7 4 Ahora aplicando la fórmula de diferencia de cuadrados:5 7 4 5 745 7 4 Por lo tanto la factorización final es:
25 54 49 5 7 45 7 4 Ejemplos
a) 4 2 1 4 2 1 2 2 4 22 1 2 2 12 2 2 1 2 1 b) 4 64 4 64 162 162 4 162 64 42 2 82 42 2 4 8 2 4 8
c)
4
22
4
4 22 4 22 22 4 222 4 2 2 2 2 2 2 2 4. 5 1 5 1 2 2
5
2
2
1
23 1 2 1 2 1 2 1 2 1
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1.2. Fracciones Algebraicas
Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma)()(
xq
x p , donde , ; 0.El polinomio es el numerador y el denominador de la fracciónalgebraica
Ejemplos de fracciones algebraicas
)2x,4x(8x2x
4x3)d(
7
y3x2)c(
2
3x3x2
8)b()3x(3x
5x)a(
2
1.3. Simplificación de expresiones algebraicas
Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador ysu denominador se pueden dividir por un mismo factor.
Ejemplos
Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
a)
3 3 2 3
5
24 8 3
21
a b a ab
ab
2 3
7 3b ab
2
2
8
7
a
b
b) 4
Al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que
tienen un factor común que es – 2, entonces lo factorizamos y luegosimplificamos los factores comunes del numerador y denominador al mismo
tiempo
5 ( 2 )5 10
2 4
x y x y
x y
2 ( 2 ) x y
5
2
Esta es una simplificación de fracciónen la que sus componentes son
En esta fracción sus términos son binomios por locual se deberán factorizar y después simplificar
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c) 6
Podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:
Luego:2
2
( 4)7 12
16
x x x
x
( 3)
( 4) ( 4)
x
x x
3
4
x
x
d) 3
Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: – 1 – 1 1 Entonces:
23
2
( 1) ( 1)1
1
x x x x
x x
2( 1) x x
1 x
1.3.1. Operaciones con fracciones algebraicas
Para la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador,
se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el
denominador y se suman o restan los numeradores.
1.3.1.1. Adición de fracciones algebraicas
Ejemplos
Adición de fracciones algebraicas con igual denominador
Consideremos los siguientes casos
a)5
197
5
194
5
94
5
194
5
x
b)
x
b30
x
b97
x
97
x
b97
x
b
4xx6x
3xx2xx
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c)
2b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadoresdistintos
En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores
distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores
(mínimo común denominador)
A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el
denominador común.
Ejemplos Consideremos los siguientes casos:
a)y
y
xy5
y
2
Calculemos el m. c. m. de los denominadores factorizándolos:
y
yy5
2
2
m.c.m. = y
Como el denominador común es 30x2y2, debemos amplificar las fraccionespara igualar los denominadores:
2
2
2
2
2
2
y0
yy4
y0
yyy
y0
y0
y0
y0
y
xy5
y
b)b
a
b
b
Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
m.c.m.= )ba(12)ba(43
Luego, amplifiquemos las fracciones:
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2
b6
2
a8
2
2
2
b
a
b
b
(c)2
2
6
m3
2
Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
2
2
2
Luego, amplificamos las fracciones
123
4080423
0 3
0 3
20
m3
12
20
6
m3
2
2
2
Factoricemos el numerador:
23
2
Obtenemos
8
4
4
123
2
2
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Entonces
8
4
2
2
6
m3
2
1.3.1.2. Multiplicación de fracciones algebraicas
En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las
fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre sí,
simplificando si es posible.
Ejemplo
a)yw
xz
w
z
y
x
b) x
y 5
y
xy
2
2
Factorizamos los polinomios y simplifiquemos.
x (3 2 ) x y
(3 2 ) x y (3 2 ) x y
5 (3 2 ) x y
2 x
5
2
c) 7
21
m
m
9
6
2
3
2
2
Factoricemos y simplifiquemos
4
1
m
m
m
m
2
2
1.3.1.3. División de fracciones algebraicas
Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones
aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la
fracción divisor.
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Ejemplos
a) x
y
x
y0
y
x
y0
x
y
x
2
2
3
3
2
b) y
y55
y5
y
y55
y
y5
y
Factoricemos y simplifiquemos
2 ( 2 ) x y
5 ( 3 ) x y
15 ( 3 ) x y
6 ( 2 ) x y
11
1
c) y
y
y
y
y
y
2
2
Al factorizar y simplificar resulta:
( ) x y ( ) 2( )
1
x y x y
x y
22( ) x y
d)984
4
984
4
Factoricemos y simplifiquemos
( 7)a ( 2)a
6 ( 2)a
1
14 ( 7)a
1
84
1.3.1.4. Operaciones combinadas con fracciones algebraicas
Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en
primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las
multiplicaciones y divisiones tienen prioridad.
Ejemplos
a) 4
a3
2
a
5
a2
Calculamos primero el producto indicado y luego sumamos las fracciones
40
56
40
a56
40
a
8
a
5
a
4
a
2
a
5
a
2
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 26
b) x
4
6
x
x
En primer lugar efectuamos la multiplicación y enseguida la adición
4
x
4
x
4
x
4
x
x
x
4
6
x
x
c)
4
5
y5
y2
y
y
2
Calculemos primero el producto del paréntesis, factorizando previamente el
numerador y el denominador, para simplificar si es posible.
y
y
:
y
y
4
5
y
y
2
Ahora dividimos, multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor
invertida.
y
1
y
y
y
d) yy
y
y
y
yy
y
Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos.
2
2
2
yy
y
6
2
3
utoevaluación
I. Calcula la adición o sustracción y simplifica cuando proceda
1)x
3
x2
5
x5
9 2)
x3
5
x2
7
x
6
2
3)m5
1m3
m2
2m
4)
x12
5x2
x8
6x
5)1m
52m
6) 1a3a2
7
7)1b3
51b
8) 4c3c
c9
A
-
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 27
9)2aa
a3
1a
2
22
10)12mm
m7
4m
m
2
11)24p5p
2
12pp
1p22
12)
x
y
xy2x
xy2
y2x
x2
13)9d
)1d(6
3d
d
3d
1d2
14)
yx
y
yxy
x
y
x22
2
15)a2b3
b2a3
b2a3
b3a2
16)
1m
m
1m
2
1m
42
17)3z
3
3z5z2
1z6
2
18)
12xx
5x4
xx318
9
24x10x
2222
19)3a4a
4a2
3a
1
2aa
5a222
20)
1m
1
3m2m
11m
3m2m
1m322
21)
8p2p
6
6p5p
1p
12pp
17p222
22)
2d5d3
1
2dd6
7
1dd2
d3
222
II. Calcula el producto de las siguientes fracciones algebraicas
1)4
3
3
4
ab7
yx5
ba3
xy2 2)
2x19
)ba(17
x2
)ba(3
3)w
z
6x
5x
3x
2x
4)315
87
54
43
yx
yx
yx
yx
5)
52
432
543
32
yx
ba
ba
yx 6)
33252
32
243
nm
dc
cd
nm
7)y5x20
b14a21
b10a15
y3x12
8)
x
yx
y42x42
y7x7
yx
y2x222
9)8a6a
ab
ab
4a3a
2
5
2
2
10)18a11a
10a7a
15a8a
18a9a2
2
2
2
11)15z2z
21z10z
14z9z
16z10z
2
2
2
2
12)
6
12
2410
166
2
2
2
2
mm
mm
mm
mm
13)x2x
12x7x
16x8x
12x7x
9x6x
9x2
2
2
2
2
2
14)
y30x30y3x3
y5x5yxyx
yxy2xyxy2x
yxyx 22
22
22
33
22
15)2a9a4
8a17a2
9a9a2
6a7a2
2
2
2
2
16)
22
22
22
22
1092
672
12112
12
baba
baba
baba
baba
17)2222
33
y2xy2x2
y6x6
yx
yx
18)y15x15
y7xy7x7
yx
y5xy10x5 22
33
22
19)10b3b
5b4b
14b9b
21b10b
15b2b
16b10b
1b2b
12b8b2
2
2
2
2
2
2
2
-
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 28
III. Calcula el cociente entre las siguientes fracciones algebraicas
(1)3
2
3
3
b9
ab14:
b18
a35 (2)
523
986
1064
785
cba
cba:
cba
cba
(3)3
3
43
23
x
y9:
bxya54
yxab24 (4)
32
2
33
22
yb
ax3:
yab
bxa
(5)yx21x14
a:
a
xy9x6233
2
(6)1a2a
aa:
aa
aa
2
23
2
3
(7)2m3m
3m2m:
8m2m
16m8m
2
2
2
2
(8)
14c5c
7c8c:
10c7c
5c6c
2
2
2
2
(9)9x6x
3x4x:
18x3x
24x10x
2
2
2
2
(10)
28m3m
32m4m:
21m4m
48m14m
2
2
2
2
(11)6p5p4
4p8p3:
3p7p4
2pp32
2
2
2
(12)1a6a8
1aa12:
5a8a4
1a5a6
2
2
2
2
(13)20mm
16m6m:
4m5m
2m3m
2
2
2
2
(14)
22
22
22
33
yxy2x
yx:
yxy2x
yx
(15)22
22
22
44
yxy2x
yx:
yxy2x
yx
(16)1x
1x:
1x
xx3
1.4. Ecuaciones
Igualdad es la que se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.2 3 5 2 Una igualdad puede ser:Igualdad falsa 2 1 2 · 1 2 1 2 2
1 ≠ 2
Igualdad verdadera 2 2 2 · 1 2 2 2 22 2 Identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.2 2 2 · 1 2 2 2 2 2 2 Ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
1 2
-
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 29
1Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen
a ambos lados del signo igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen números y variables
(incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Ejemplo de ecuación: 5 4 8 Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita,
normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
1.4.1. Ecuaciones lineales
Se dice que una ecuación es lineal o de primer grado cuando su variable está
elevada a la potencia 1.
Ejemplos de ecuaciones lineales
3 1 22 1 32 Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la
ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es
irrefutable.
-
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 30
En el ejemplo podemos probar con algunos valores sustituyéndolos en el lugar
de la variable x:
Si ⟹ llegaríamos a , esto es falsoSi 1 ⟹ llegaríamos a tampoco.Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales
para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro.
Operaciones Justificación
3 1 2 Sumar o restar a los dos miembros un mismo
número. En este caso restar 1 a los dosmiembros y restar x a los dos miembros:3 1 1 2 1 Reducción de términos semejantes2 3 22 32 Multiplicar o dividir los dos miembros por unmismo número.En este caso se divide por 2 32 Esta es la solución de la ecuación lineal
1 . 5 El resultado se puede dividir
Comprobamos el resultado obtenido sustituyendo en la ecuación el valor
encontrado 31.5 1 1.5 24.5 1 3.5 3.5 3.5 Resolvamos ahora la siguiente ecuación:
3 2 Rápidamente obtendrás la expresión 0 5 ¿qué significa? Desde luego estaigualdad no es cierta independientemente del valor que tome x.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.
Resolvamos ahora 2 1 3 3 4
-
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MATEMÁTICA I
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Ahora habrás llegado a la expresión ¿qué significa ahora? La igualdadque has obtenido es cierta, pero se te han eliminado la x ¿Cuál es la solución?
Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x!. Compruébalo
sustituyendo x por 0,1,3 u otro valor que desees.En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valorde x es solución).
Este tipo de ecuaciones se denominan identidades}
Ejemplo de ecuaciones lineales
a)
2 6 2 0
2 2 0 6 2 1 4 22 142 7 b) 4 9 2 3
4 9 2 3
4 2 3 9 2 1 2 2 2 2 122 6
1.4.1.1. Problemas de aplicación
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver
problemas de la vida cotidiana
a) El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más
que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos suman la edad
del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?
Se pasa el + 6 que está sumando a restar a laderecha del igual
-
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 32
Solución
Primero plantearemos los datos, elegimos uno de los valores desconocidos para
llamarle x:
x = Edad del hermano menor. A partir de ello se expresan los datos del problema y se planteará una igualdad
(ecuación): 3 ∶ Edad del hermano mediano 3 4 7: Edad del hermano mayorEcuación: suma de las edades de los hermanos 3 7 40,Resolviendo la ecuación se obtiene 10 años, esta es la edad del hermano menorLuego las edades de los tres hermanos son 10. 3 1 0 3 1 3 años es la edad del hermano mediano 7 1 0 7 1 7 años, es la edad del hermano mayor.
b) Un número y su quinta parte suman 18. ¿Cuál es el número?
x = el número buscado. (Definición de la incógnita)
Su quinta parte es (transformación al lenguaje algebraico). 1 8 (es el planteamiento de la ecuación).
Resolvemos la ecuación:
1 8
5 90 6 90 1 5
Notamos que al volver a leer el problema x = 15 es coherente con el
enunciado, la quinta parte de 15 es 3. 15 más 3 suman 18.
-
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MATEMÁTICA I
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c) Perdí un tercio de las ovejas y llegué con 24. ¿Cuántas ovejas tenía?
y = número de ovejas que tenía.
Un tercio de las que tenía es
El planteamiento será una resta: 24 Resolvemos la ecuación:
3 24 3 72 2 72
3 6 ovejas.Son 36 ovejas y un tercio de 36 es 12. Si restamos 36 menos 12 es 24 quees el número de ovejas con las que llegó.
En una tienda, de un producto me rebajaron el 15% y pagué C$51.
¿Cuánto costaba el producto?
: es el precio del producto
15% 15100 Lo que costaba el producto menos la rebaja es lo que pagué:
15100 5 1Resolviendo la ecuación:
15100 5 1100 15 5100855100 510085 6 0 córdobas.El 15% de 60 córdobas son 9 córdobas, entonces pagué 6 0 9 5 1
-
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 34
utoevaluación
I. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones:
a) 4 2 1 2 b) 8 2 4 5 c) 7 1 2 4 1 7 d) 3 2 5 5 e) 5 1 3 1 0 1 2 f)
6 1 2 4 1 7 1 2 3 5
g) 2 5 6 1 h) 8 3 3 2 1 i) 4 2 7 3 6
II. Resuelve las situaciones con ecuaciones lineales
1. Juana tiene 5 años más que Amparo. Si entre los dos suman 73 años,
¿qué edad tiene cada una?
2. Un padre tiene 3 veces la edad de la hija. Si entre los dos suman 48 años,
¿qué edad tiene cada uno?3. Determinar tres números consecutivos que suman 444.
4. Tengo de lo que vale un ordenador. ¿Cuánto vale el ordenador si me
faltan sólo C$318 para comprarlo?
5. Después de caminar 1500 m me queda para llegar al colegio del camino.
¿Cuántos metros tiene el trayecto?
6. Un pastor vende
de las ovejas que tiene. Después compra 60 y así
tendrá el doble de las que tenía antes de la venta. ¿Cuántas ovejas tenía
en un principio?
7. Determinar un número que sumado con su mitad y su tercera parte de 55.
8. Tres socios tienen que repartirse 3.000€ de beneficios. ¿Cuánto le tocará
a cada uno, si el primero tiene que recibir 3 veces más que el segundo y
el tercero dos veces más que el primero?
A
-
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 35
1.4.2. Ecuaciones cuadráticas
Ecuaciones cuadráticasDefinición Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma
donde a, b, y c son números reales y a es un número diferente decero.Ejemplos Resolver la ecuación cuadrática mediante factorización
a) 2
3 ∙ 3
3 ∙ 2 3 ∙ 53 0
9 2 ∙ 3 153 0 3 53 33 0 3 5 1 0
3 5 0
1 0
3 5 1 53 b)
4 1 0
4 0 1 0 4 1 c) 12 1 8 062 3 0 6 0 2 3 0 06 2 3
0 32
Ecuación de segundo grado que
es un trinomio que tiene la
forma:
Esta ecuación de segundo grado es un
trinomio que tiene la forma:
Esta ecuación cuadrática tiene dos
términos que son el cuadrático y el
lineal y lo podemos resolver
mediante el factor común.
-
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 36
Resolver la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general
0
2
5
2± 2 43523 2 ± 4 606 2 ± √ 646 2 ± √ 4 6 06 2 ± 86 2 86 2 86 10
6 6
6
53
Este es un caso especial, pero se
resuelve de la misma forma:
factorizando, finalmente la solución
llevará la variable a.
d) 10 2 5 0 10 25
2510 52 ± 52
5
2
5
2
e) 10 3736 0 2 9 5 4 0 2 9 0 5 4 0 92 45
Esta ecuación cuadrática tiene dos
términos que son el cuadrático y el
independiente y lo podemos
resolver haciendo transposición de
términos y luego extrayendo raíz
cuadrada. Le colocaremos doble
signo porque es una raíz par.
Recuerda que la fórmula generales:
± √
-
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 37
utoevaluación
I. Determina las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1) x(2x – 3) – 3(5 – x) = 83
2) (2x + 5)(2x – 5) = 11
3) (7 + x)2 + (7 – x)2 = 130
4) (2x – 3)(3x – 4) – (x – 13)(x – 4) = 40
5) (3x – 4)(4x – 3) – (2x – 7)(3x – 2) = 214
6) 8(2 – x)2 = 2(8 – x)2
7) 54
4x
2
6x 22
8)2x
x7
x
3x5
9) x2 – 3x = 0
10) 6x2 + 42x = 0
11) x2 + ax = 0
12) (x – 2)(x – 3) = 6
13) (x – 2)(x + 5) = 9x + 10
14) (2x + 6)(2x – 6) = (2x + 9)(3x – 4)
15) (x + 3)2 – 8x – 9 = 0
16) 22
x3
1x
4
17) x2 + 4ax – 12a2 = 0
18) x2 – 5ax + 6a2 = 0
19) 8x3
x2
x5
x37
II. Resuelve las situaciones con ecuaciones de segundo grado
1. La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos
números.
2. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad
que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
3. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m decerca. Calcula las dimensiones de la finca.
A
-
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Nesly Laguna – Mayling Zamora 38
4. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los
números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del
triángulo es 24 m².
5. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m,sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y
48 m respectivamente.
6. Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .
7. Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus
cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?
8. El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles
son esos números?
9. Encuentra una fracción equivalente a cuyos términos elevados al
cuadrado sumen 1184.
10. Un cliente de un supermercado ha pagado un total de C$1560 por 24 litros
de leche, 6 paquetes de jamón serrano y 12 litros de aceite. Calcula el
precio de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que
1 litro de leche y que 1 paquete de jamón cuesta igual que 4 litros de
aceite más 4 litros de leche.
11. Dos números que se diferencian en 3 unidades, multiplicados dan 88.
Encuentra dichos números.
12. Encuentra un número tal que el doble de su cuadrado sea igual a seis
veces ese número.
13. El perímetro de un rectángulo es 42 cm. Si la diagonal mide 15 cm. Halla
la anchura del rectángulo. (Pon un lado en función del otro).
14. La edad de un niño será dentro de 3 años el cuadrado de la que tenía
hace tres. Halla los años que tiene.
15. Al aumentar 5m el lado de un cuadrado, su área aumenta en 75 .Calcula el lado del cuadrado.
16. Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm.
menos que la altura y la diagonal mide 10 cm.
-
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17. Varios amigos se reparten un premio y les toca a 1500 euros a cada uno.
Si hubieran sido cuatro amigos más, les hubiera tocado a 300 euros
menos a cada uno. ¿Cuántos eran a repartir?
18. Se tienen dos cuadrados distintos y el lado de uno de ellos es 4 cm. mayorque el lado del otro. Averigua la longitud de los dos lados sabiendo que la
suma de sus áreas es 808 .19. Calcula la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que su área es la
cuarta parte del área de otro cuadrado cuyo lado es 2 centímetros mayor.
20. Halla dos números naturales consecutivos sabiendo que la suma de sus
cuadrados es 103.
1.5. Sistemas de ecuaciones lineales
Definición Llamaremos sistema de m ecuaciones con n incógnitas, a un
conjunto de ecuaciones de la forma:
121
b.. ⋮ mn
b
Los elementos
ij
son los coeficientes del sistema.
Los elementos xi son las incógnitas del sistema.Los elementos b j serán los términos independientes.
Ejemplos
4
es un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas
Definición: Llamaremos solución del sistema anterior (S), a todo vector o n-upla (s1, s2,…, sn) que verifique todas las igualdades del sistema.
Definición: Resolver un sistema será hallar el conjunto de sus soluciones.
Atendiendo al número de soluciones, podemos clasificar los sistemas de lasiguiente forma:
Si el sistema no tiene solución diremos que es incompatible.
Si el sistema tiene solución diremos que es compatible.
-
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Ejemplo
1. Entre José y Sergio tienen C$600, pero Sergio tiene el doble de córdobas
que José. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
Solución: Primero representaremos los datos mediante el uso de variables: Número de córdobas de José: Número de córdobas de Sergio.Vamos a expresar las condiciones del problema con ecuaciones:
Si los dos tienen 600 córdobas, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600.
Si Sergio tiene el doble de córdobas que José, tendremos que y = 2x.
Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:{ Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la segunda
ecuación hay una incógnita ya despejada. Sustituimos el valor de 2 en laprimera ecuación, con lo que tendremos:
Ahora sustituimos 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, conlo que tendremos: Por tanto, la solución al problema planteado es que José tiene 200 córdobas ySergio tiene 400 córdobas.
Método de igualación
Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una
incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos
despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del
proceso son las siguientes:
-
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Nesly Laguna – Mayling Zamora 42
a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
b) Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de
una incógnita que resulta.
c) Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en unade las ecuaciones despejadas de primer paso.
Ejemplo
a) En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 14 cabezas y 38
patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral?
Datos
: Número de conejos: Número de gallinasPlanteamos el sistema de ecuaciones:(Traducimos a lenguaje algebraico)
{ + = + =
Resolvemos el sistema de ecuaciones por el Método de Sustitución:Despejamos x en primera ecuación: – Sustituimos en la segunda ecuación: – Resolvemos la Ecuación: – – –
– –
Sustituimos en (1) para calcular x: –
Conejos: Gallinas: Comprobación:
·
-
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Nesly Laguna – Mayling Zamora 43
−5x−5y=−6 5x
·
Método de Reducción
b) He comprado un DVD y me ha costado 105 dólares. Lo he pagado
con 12 billetes de dos tipos, de 5 dólares y de 10 dólares. ¿Cuántos
billetes de cada clase he entregado?
Datos:
x: Número de billetes de 5 dólaresy: Número de billetes de 10 dólares
Planteamos el sistema de ecuaciones: (Traducimos a lenguaje
algebraico)
{ Resolvemos el sistema de ecuaciones por el Método de Reducción:
Multiplicamos la primera ecuación por ( –5 ) para eliminar las x
Despejamos x en la primera ecuación: x = 12 – y
Sustituimos y = 9 x = 12 – 9
x = 3
Número de billetes de 5 dólares: x = 3
Número de billetes de 10 dólares: y = 9
Comprobación
3 billetes de $5 + 9 billetes de 10 = 12 billetes
3 billetes de 5 $ son
· $ $
+ 9 billetes de 10 $ son · $ $ $
-
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MATEMÁTICA I
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ó
1.6. Sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas
En los sistemas de ecuaciones no lineales, a diferencia de los lineales,
aparecen ecuaciones en las que hay incógnitas de grado mayor que uno. En el
caso de sistemas de dos ecuaciones de dos incógnitas, las ecuaciones ya no
serán dos líneas rectas. Una de ellas, o las dos, pueden ser parábolas, elipses,
hipérbolas. La solución será los puntos en los que las dos ecuaciones se corten.
Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones
Sea el sistema
{ ⋅ = − SoluciónLo primero que vamos a hacer es manipular convenientemente la variable
En donde ahora hacemos el cambio ≡ , lo que implica que
Primero escogeremos una de lasecuaciones en la cual vamos adespejar una de las variables.
-
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Resolvemos la ecuación de segundo grado:
8 ± 8
41921
8 ± 64 362 8 ± √ 1002 8 ± 1 02 9 1
Ahora deshacemos el cambio 9 ⟹ 9 ⟹ √ 9, que no tiene solución en ℝ 1 ⟹ 1 ⟹ ±√ 1 ⟹ ± 1 Sólo hay dos posibles valores de . Hallamos el valor de para cada : ⋅ = − ⟹ 3 Si 1, entonces − 3 Si 1, entonces 3 Conclusión: La solución del sistema es, 1,3 , 1,3
-
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utoevaluación
I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
II. Resuelve las situaciones utilizando sistemas de ecuaciones
1. La diferencia de dos números 40 y 1/8 de su suma es 11. Hallar los
números.
2. La suma de dos números es 3 y su producto es -4. Hallar los números.
3. Determina dos números cuya suma es 9 y su producto 18.
4. La diferencia de dos números es 5 y su producto 14. Hallar los números.
5. Hallar dos números cuya suma es 9 y la suma de sus cuadrados es 53.
6. Determina dos números cuya suma de sus cuadrados es 13 y la diferencia
de sus cuadrados es 5.7. Hallar un número que es 3/5 del otro y el producto de ellos resulta 2160.
8. La diferencia entre un número y el doble de otro número es 5. Si el
producto de ellos es 18, ¿cuáles son los números?
9. La diferencia entre dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 34.
¿Cuáles son los números?
10. La diferencia de dos números es 7 y el producto de su suma por el número
menor es 104. Hallar los números.
Aa) { 6 275 8 –60 g) {x y 7x · y 12 b) {3 – 27 – 27 – 3 9 h) {x y 52xy 24 c) 2 b 03 – 2 13 i) {x y 34x y 2 d) 2 – 5 233 2 15 j) x y 29 x y 21 e) { 4 – 2 125 – 1 8 k) {x y xy 14x y 6 f) { 2x 7y 145x 8y 2
-
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2. Si a y b no pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo abierto y
escribimos: (a, b) = {x IR a < x < b}
3. Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenece al intervalo tenemos
estos dos casos (intervalos semiabiertos o semicerrados):
La noción de intervalo se puede extender, para denotar al conjunto de las ∈ ℝ que son más grandes o más chicas que un número dado.
Por ejemplo, para denotar al conjunto ℝ > } escribimos , .Los siguientes conjuntos son intervalos:
, ℝ > } , ℝ }
,
ℝ
< }
, ℝ } , ℝ 1. Completa la tabla llenando los espacios con la notación adecuada.
Intervalo Desigualdad Grafica en la recta.
3,5
3 ≤
5
∞,5 3,8 5,4 Resolver una desigualdad significa determinar el conjunto de números x para los
cuales la desigualdad es cierta. A este conjunto de números se le llama conjunto
solución.
2. Resuelva la desigualdad
< y dibuje la gráfica de la
solución en la línea recta.
a b
( )
a b
)[a b
( ]
+¥
a
(
a
[ +¥
)b
-¥
-¥ ]
b
-¥ +¥
-
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Solución.
La desigualdad es válida para algunos valores de x, pero para otros no. Para
encontrar los valores para los cuales es válida utilizaremos las propiedades
mostradas en los apartados 1 y 2. Para ello despejaremos la x en la parteizquierda de la desigualdad.
En primer lugar restamos -2 a ambos
lados de la desigualdad (usando la
propiedad 3 con 2):2 2 < 9 6 2 < 9 4
Luego se resta 9 de ambosmiembros (usando la propiedad 3 con
c = - 9x):
9 < 9 – 9 4 8 < 4 Ahora multiplicamos ambos
miembros por 1/8 (propiedad 5 con 1/8). Observa que almultiplicar por el número negativo
cambiamos el orden de la
desigualdad. Por lo tanto el conjunto
solución está formado por todos los
números mayores que 1/2. En otraspalabras, la solución de la
desigualdad es el intervalo 1 ,2
.
La representación gráfica de la
solución se muestra a la derecha.
1 -1
8 > 48 8
x
- 4>
8 x o bien
-1>2
x
3. Hallar la solución de la desigualdad ≤ y represéntelagráficamente en la línea recta.Solución: Trataremos de despejar la x en la parte izquierda de la desigualdad
utilizando las propiedades de las desigualdades mostradas en los apartados
1, y 2 de este documento.
Primero sumamos 7 a ambos lados,usando la propiedad 3.
3x + 7x + 5 - 7x + 7x + 2510x + 5 25
-
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Ahora sumamos 5 a ambos ladosutilizando la propiedad 3.
10x + 5 -5 25 – 510x 20
Enseguida multiplicamos por 1/10. De estamanera tenemos que la solución estáformada por todos los números menores o
iguales que 2. En otros términos, la soluciónestá dada por el intervalo (- La
representación gráfica de este intervalo se
muestra a la derecha.
1 1
10 2010 10
x
x 2
4. Hallar el conjunto de soluciones de la desigualdad < e ilustrarlo en la línea recta.Solución: Las siguientes desigualdades son equivalentes:
Sumando -2 a ambos lados de la
desigualdad.
2 3 < 5 8 2 3 2 < 5 8 2 3 < 5 6 Sumando
5 a ambos lados de la
desigualdad. 3 – 5 < 5 5 6
2 < 6 Multiplicamos por 1/2 los dos lados dela desigualdad. Observa que cambiamos el
orden de la desigualdad. Por consiguiente,
el conjunto de soluciones es el intervalo3, , que se ilustra en la gráfica de laderecha.
(-1/2)(-2x) (-1/2)(6) = -6/2
x
5. Resolver la desigualdad ≤ y representar la solución enla línea recta.
Solución: Despejaremos la variable x en la parte izquierda de la inecuación.
Sumando 3 a ambos lados de ladesigualdad.
2x + 3 x +72x + 3 - 3 x +7 – 3
2x x + 4Sumando
3 a ambos lados. 2x -3x x -3x + 4
-x 4
-
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Nesly Laguna – Mayling Zamora 52
Multiplicamos por 1 ambos ladospara dejar x con signo positivo, (fíjate
que cambiamos el orden de la
desigualdad) y así tenemos que lasolución es el intervalo 4,∞ Lagráfica del intervalo se muestra a la
derecha.
(-1)(-x) (-1)(4)x -4
6. Hallar la solución de la desigualdad < – e ilustrarla en larecta de los números reales.
Solución: En este caso tenemos una doble desigualdad en la que sólo en la
parte intermedia aparece la variable x. La solución consta de todos los valores
de x que satisfacen las dos desigualdades. Para resolverla despejaremos la
variable x en la parte media de la desigualdad aplicando las propiedades dadas
en los párrafos 1 y 2.
Primero sumamos
a toda la
desigualdad, usando la propiedad 3. 7 < 3 – 2
13
7 2 < 3 – 2 2
13 2 9 < 3 15 Enseguida multiplicamos por 1/3 toda la desigualdad utilizando la
propiedad 5. De esta manera
tenemos que la solución está formada
por todos los números mayores que
3 y menores o iguales a
5. En otros
términos, la solución está dada por elintervalo 3,5. La representacióngráfica de este intervalo se muestra a
la derecha.
1 1 19 < 3x 15
3 3 3
3 < x 5
-
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7. Resuelva la desigualdad < y dibuje la gráfica de lasolución en la línea recta.
Solución. La desigualdad es válida para algunos valores de x, pero para otros
no. Para encontrar los valores para los cuales es válida utilizaremos laspropiedades mostradas en los apartados 1 y 2. Para ello despejaremos la x en
la parte izquierda de la desigualdad.
En primer lugar restamos 2 a amboslados de la desigualdad (usando la
propiedad 3 con 2):2 2 < 9 6 2 < 9 4
Luego se resta 9x de ambos
miembros (usando la propiedad 3 con 9): 9 < 9 – 9 4
8 < 4 Ahora multiplicamos ambos
miembros por 1/8 (propiedad 5 con 1/8). Observa que almultiplicar por el número negativo
cambiamos el orden de la
desigualdad. Por lo tanto el conjuntosolución está formado por todos los
números mayores que 1/2. En otraspalabras, la solución de la
desigualdad es el intervalo1,
2
.
La representación gráfica de la
solución se muestra a la derecha.
1 -1
8 > 48 8
x
- 4>
8 x o bien
-1>2
x
1.7.2. Desigualdades cuadráticas
Para resolver una desigualdad que incluye polinomios de grado mayor que 1, se
expresa cada uno de ellos como producto de factores lineales , o comofactores cuadráticos irreducibles, o en las dos formas. Si alguno deestos factores es distinto de cero en un intervalo, entonces es positivo en el
intervalo, o es negativo en él. Por consiguiente, si se escoge cualquier k en el
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Nesly Laguna – Mayling Zamora 54
intervalo, y si el factor es positivo (o negativo) cuando x = k, entonces es positivo
(o negativo) en el intervalo. El valor del factor x = k. se llama valor de prueba, o
de tanteo en k.
Procedimiento en el método gráfico
1. Se factoriza el polinomio.
2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la
parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo.
3. Se traza una recta real por cada facto r y una recta real adicional para el
resultado.
4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor.
5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso
anterior.
6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz.
7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con
un signo menos y a la derecha con un signo más.
8. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los
signos de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugarcorrespondiente de la recta real de resultados.
9. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos
los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en
cambio si el sentido de la inecuación es
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1 2 3 < 0 Se factoriza el trinomio de la forma Losfactores resultantes 1 y 2 3 se igualan a cero y se despeja la variable encada uno, de la siguiente manera
1 0 ⟹ 1 2 3 0 ⟹ 32 Estos valores los ubicamos en una recta numérica real, para formar los intervalos
La solución será el intervalo que lleva el mismo signo de la desigualdad:
1 ,32
-
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MATEMÁTICA I
Nesly Laguna – Mayling Zamora 56
utoevaluación
I. Resuelva las desigualdades lineales.
II. Determina la solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas.
1. x2 – 1 0 8. 2x2 + 3 7x
2. 8x2 + 5x 0 9. 2x2 – 3x – 36 > x2 +2x
3. x(x – 3) – 2x(x – 2) + 3x < 0 10. 3x2
+ 16x –
12 < 04. 4x2 – 1 < 0 11. 4x(x + 3) -5
5. 3x2 – 5x < 0 12.3(2x2 + 1) > 11x
6. x(x – 5) – 2x(x + 3) + 6 x2 –
11x
13. x(3x – 4) > 7
7. x2 – 13x + 40 < 0 14. ≥
A1)
x 6)
2) x
7)x
x
3) 8) x
4
x
8
5
4) 6 9)
3
5) x
10) 43
x
x
-
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Unidad II: Funciones
Objetivos de la unidadObjetivos Conceptuales
Explicar los conceptos de la teoría de funciones a través de las distintas
formas de representación.
Analizar las distintas funciones a través de sus características de acuerdo
a su expresión analítica y/o gráfica.
Objetivos Procedimentales
Identificar el dominio y el recorrido de los distintos modelos funcionales.
Representar los tipos de funciones, según sus características de acuerdo
a su expresión analítica y/o gráfica.
Realizar lecturas de gráficas de los distintos modelos funcionales.
Resolver problemas de la vida cotidiana a través de algunos modelos
funcionales.
Objetivos Actitudinales Valorar la importancia de la teoría de funciones en situaciones de su entorno.
Mostrar precisión y exactitud en la representación gráfica de modelos
funcionales.Mostrar compromiso y cooperación en el trabajo grupal.
Contenidos
ContenidosCognitivos
ContenidosProcedimentales
ContenidosActitudinales
Formas derepresentar una
función lineal,cuadrática, cúbica,definida por partes,exponencial ylogarítmica
Tipos de funciones ysus características deacuerdo a suexpresión analíticay/o gráfica. .
Identificación de dominio yrecorrido de los distintos
modelos funcionales.
Representación de funciones,según sus características deacuerdo a su expresiónanalítica y/o gráfica.
Realización de lecturas degráficas de los distintosmodelos funcionales.Resolución de problemas.
Valoración de laimportancia de las
funciones en la vidacotidiana.
Gráficas de modelosfuncionales.
Compromiso ycooperación en eltrabajo grupal.
-
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2.1. Función
FunciónUna función es una relación entre dos variables
.
A cada valor de la (variable independiente) le corresponde un único valor de (variable dependiente).La función se represente
gráficamente sobre los ejes
cartesianos.
La primera gráfica corresponde a
una función: a cada valor de x le
corresponde un único valor de y.
La segunda gráfica no es de una
función: hay valores de x que les
corresponde más de uno en y.
Las funciones describen fenómenos mediante las relaciones entre las variables
que intervienen.
Observando la gráfica de una función podemos comprender cómo evoluciona el
fenómeno que en ella se describe.
Ejemplo
La siguiente gráfica muestra la estatura media de
un grupo de varones según su edad:
a) ¿Cuál es la variable dependiente? ________
b) ¿y la independiente?___________
c) ¿Cuál es la estatura media a los 10 años?
_________
d) ¿Cuál es la etapa de vida de crecimiento?
___________e) ¿A partir de qué edad se disminuye de altura? ___________
-
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f) ¿A qué edad la altura es máxima? _____________
g) ¿Cuál es la altura mínima? ____________
2.2. Función lineal
Función LinealLa función lineal es del tipo: mx y x f )( , con ∈ ℝ(m pertenece a losnúmeros reales).
se conocen como imagen de , es el valor de para un determinadovalor de
.
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Su dominio y rango es el conjunto de números reales.
m es la pendiente de la recta.
Si ),( 111 y x P y 222 , y x P entonces la
pendiente de21
P P es:
12
12
x x
y ym
La pendiente es la inclinación de la recta con
respecto al eje de las abscisas (eje x).
Si m es positivo (m ˃ 0), la función es creciente y
el ángulo que forma la recta con la parte positivadel eje OX es agudo.
Si m es negativo (m < 0), la función es
decreciente y el ángulo que forma la
recta con la parte positiva del eje OX es
obtuso.
-
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Una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar la variable
independiente en ese intervalo aumenta también la variable dependiente .Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variableindependiente en ese intervalo disminuye la variable dependiente .Una función y = f(x) tiene un máximo relativo en un punto “” de su dominio siel valor de la función en ese punto, f(a), es mayor que los valores que toma la
función en los puntos próximos a “”. Una función y = f(x) tiene un mínimo relativo en un punto “a” de su dominio siel valor de la función en ese punto, f(a), es menor que los valores que toma la
función en los puntos próximos a “”. Ejemplo
a) Graficar la función 3 Para ello debemos construir una tabla de valores que relacione las variables
independiente y dependiente.
X 1 2Y 3 6
ℝ ℝ
-
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b) Graficar la función 2
Función afín a la linealLa función afín es del tipo: nmx y ; donde m es la pendiente o inclinación
de la recta y n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de larecta con el eje de las ordenadas (eje y)
Ejemplo
a) Graficar la función 2 3
X 2 1 Y
4
2
X 1 2Y
1
1
ℝ ℝ
-
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b) Graficar la función 4 2
Función constanteUn caso especial de y f ( x) mx b se obtiene cuando m = 0. Entonces o bien
X 0 1 Y 2 2
ℝ ℝ Esta gráfica la construimosbuscando interceptos con losejes X e Y
0 ⟹ 0 40 2 2
0 ⟹ 4 2 0
Esta gráfica la construimosbuscando interceptos con losejes X e Y
0 ⟹ 0 20 3 3
0 ⟹ 2 3 0 2 3
1 . 5
ℝ ℝ
-
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Esto significa que, para cada entrada x, la salida f(x) siempre tiene el mismo
valor: b.
EjemploGraficar la función 2
2.3. Función cuadrática
Función cuadrática
La forma general de una función cuadrática es 2 f x ax bx c .El dominio de las funciones cuadráticas es el conjunto de todos los reales, y el
contradominio es el subconjunto de los reales que va desde el vértice hasta
más infinito o menos infinito, dependiendo de que la parábola abra hacia arriba
o hacia abajo.
Las funciones cuadráticas (o funciones polinómicas de segundo grado) son
aquellas cuyas gráficas se representan mediante parábolas.
Para el cálculo del vértice0
de la parábola, conviene recordar que la
abscisa del vértice (de la parábola ) se obtiene con lafórmula
, la ordenada del vértice se obtiene sustituyendo
en la
expresión de la parábola, resultando:
Dominio: todos los reales.
Rango: únicamente el valor b
ℝ }
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1.71,0 0.29,0 3°. Corte en el eje Y 2 – 4 1
,
utoevaluación
Grafique las funciones en el plano cartesiano y determine dominio y rango.
a)
/ 5 3 e)
3
b) 5 3 f) 3 5 c) 3 g) d) 1 h) 5
A
Dominio: ℝ Rango: ≥1
-
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2.4. Función cúbica
Función Cúbica
La función cúbica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tiene como dominio y como
recorrido el conjunto de los números reales (. Para graficar estas
funciones, hay que elaborar una tabla de valores.
Propiedades
El dominio de la función es la recta real es decir ∞,∞ El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real ∞,∞. La función es simétrica respecto del origen, ya que . La función es continua en todo su dominio. La función no tiene asíntotas.
La función tiene un punto de corte con el eje Y.
La función puede tener hasta un máximo de tres puntos de intersección
con el eje X.
Ejemplo
Graficar la función 3 3 12 3 3 1 2 0 3 4 0 3 0 0 De aquí el primer punto de corte en el eje x es (0,0)Usaremos la fórmula general, ya que este trinomio no es factorizable
± √
± ± √ ± . . .
Igualamos a cero la funciónpara factorizar si es posible
-
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Los puntos de corteen el eje x 1.56,0 y2.56,0 Punto máximo.,. Punto mínimo:.,.
Graficar la función ³ 4² 3 ³ 4² 3
Punto máximo: (-2.25, 2.11)Punto mínimo: (-0.45, -0.63)
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utoevaluación
Grafique las funciones cúbicas
a) 2 g) 2 2 12 b) h) 4 2 0 4 8 c) 3 6 i) ℎ 2 610 d) h x 1 x 2 x 3 j) 5 e) 2 2 12 k)
2.5. Función definida por partes
Función definida por partesUna función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya
definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos
como subdominios).
Una función definida a trozos (también denominada función por
partes, función seccionada o función definida por tramos) es una función cuya
definición (la regla que define la dependencia), llamada regla decorrespondencia, cambia dependiendo del valor de la variable independiente.
Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida
por el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la
función son continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en ningún punto
extremo de los subdominios en ese intervalo.
La siguiente función, es una función definida a trozos continua en todos sus
subdominios, pero no es continua en todo el dominio. Dicha función tiene un salto
de discontinuidad (un agujero) en .
A
-
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Ejemplos
a) Graficar la función
i
i
y
2i
2i
y
X y2 21 1
x y2 1
3 1
En este tipo de funciones se construye una a una en la misma gráfica, y todas
juntas nos darán como resultado una función a trozos. Puedes construir una tabla
por cada una de las funciones que conforman la función original.
b) Graficar la función
4i
4i
i
y
2
-
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a)
b) 1 0 1
4 1
c) 3 4 15 2
0 1
-1 0
-2 1
Hacemos tres gráficas en el mismo
plano cartesiano.
utoevaluación
Grafique las funciones
a)
, d)
0,2xsi2,
3,0- xsix,f(x)
e) { , ≤ , > f) 1,2xsi x, 2,1-xsi x,g(x) g)
, , ≥
A
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b) Graficar la función
ℝ
, ∞ x y
-2 2.25
-1 1.5
O 1
1 0.66
2 0.44
Análogamente a lo estudiado anteriormente, podemos desplazar la función
exponencial hor izontalmente “” unidades poniendo “ ” en lugarde “” en su expresión analítica, es decir:
es un desplazamiento horizontal de la función de “”unidades
donde
:zquierdaaesplazae
:erechaaesplazae
Construimos unatabla de valores paradarle valores a x ynos dará comoresultado los valoresde y. Ubicaremosestos puntos y alunirlos nos darácomo resultado lafunción.
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Ejemplos
También podemos desplazar la función exponencial verticalmente “
” de la
siguiente forma:
x
es un desplazamiento vertical de “” unidadesdonde
:0
:0
abajohaciadespaza seq
arribahaciadesplaza seq
y = y = 2x y = 2x
y = 2x
y = 2x - 2
y = 2x + 3
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Ejemplos de aplicaciones con funciones exponenciales
a. Al nacer Juan, su padre depositó $3 000 al 12%. Si no retira el dinero ni
los intereses, ¿qué capital tendrá al año, a los dos años, etc.? ¿Quécapital tendrá cuando cumpla 18 años?
Al año tendrá:
336012.1300012.01300012.030003000100
1230003000
Para los años sucesivos formamos la siguiente tabla:
Años
transcurridos Capital formado
0 3000
1 3000(1.12)=3360
2 3360(1.12)=3000(1.12)2=3763.2
3 3763.2(1.12)=3000(1.12)3=4214.84
4 4214’84(1.12)=3000(1.12)4=4720.55
...
18 3000(1.12)18=23069.89
...
x 3000(1.12)x
Si colocamos un capital de C dólares al r %, ¿qué capital se habrá formado al
cabo de t años? Sir
i
, entonces se verifica que: Al final del primer año:
Al final del segundo año: Al final del tercer año:
...
Al final del año-enésimo:
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Interés compuesto
Es una ley de capitalización tal que los intereses obtenidos al final de cada
período se acumulan al capital para producir nuevos intereses en el períodosiguiente.
Un capital de C córdobas al r% al cabo de t años se convierte en La función que da el capital final es una función exponencial de base (1+i).
2.7. Función logarítmica
Función logarítmica
Logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay que elevar
la base para obtener dicho número log ⟺ La función inversa de xa y es x y
alog , por lo tanto ambas gráficas son
simétricas respecto de la bisectriz del primer – tercer cuadrantes
.
Su crecimiento es más lento que el de cualquier función raíz. Por ejemplo, para
valores muy grandes de x , x y 2log es menor que10
x y . Todas ellas son
continuas en ,0 y pasan por los puntos 0,1 y 1,a . Si 1a , son crecientes.
Su crecimiento es muy lento, tanto más cuanto mayor sea a . Si 10 a , son
decrecientes.
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En Matemática Superior la función x x ye
lnlog es muy importante. Es la
función inversa de la exponencial de base e .
utoevaluación
I. Grafique las funciones exponenciales
II. Grafique las funciones logarítmicas
III. Resuelve las siguientes situaciones con funciones exponenciales
Aa) d) 4− b) e) 2+ 3 c) − f) ℎ 3− d) 2 3 g) 3 1 a) l o g e) l o g b) l o g f) l o g c) l o g g) l o g y 3
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a) En una vuelta ciclista con un recorrido de 100 Km el premio asignado al
campeón es de doce mil córdobas, pero el favorito consciente de su
categoría de líder, propone a los organizadores que como cada kilómetropedaleado va siendo cada vez más duro de superar, el premio consista
en 10 córdobas por el primer kilómetro, 100 córdobas por el segundo,
1000 córdobas por el tercero, y así sucesivamente. Los organizadores
acceden a la petición, pero al acabar la prueba y entregar el premio al
campeón se llevan la