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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Studientag zur Algorithmischen MathematikLineare Optimierung
Winfried Hochstättler
Diskrete Mathematik und OptimierungFernUniversität in Hagen
1. Juli 2012
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Outline
Lineares Programm (LP) in Standardform
Dualität
Der Simplexalgorithmus
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Lineares Programm (LP) in Standardform
max c>xso dass Ax = b
x ≥ 0
mit b ≥ 0, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm, c ∈ Rn.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Umformung in Standardform
max c>xso dass Ax = b
x ≥ 0
• min c>x
−max(−c)>x
• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+
i − x−i , x+i , x
−i ≥ 0
Aufspalten der Variablen
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Umformung in Standardform
max c>xso dass Ax = b
x ≥ 0
• min c>x −max(−c)>x
• bi < 0
multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+
i − x−i , x+i , x
−i ≥ 0
Aufspalten der Variablen
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Umformung in Standardform
max c>xso dass Ax = b
x ≥ 0
• min c>x −max(−c)>x• bi < 0
multipliziere Zeile i mit (−1)
• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+
i − x−i , x+i , x
−i ≥ 0
Aufspalten der Variablen
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Umformung in Standardform
max c>xso dass Ax = b
x ≥ 0
• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)
• a>x ≤ bi
a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+
i − x−i , x+i , x
−i ≥ 0
Aufspalten der Variablen
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Umformung in Standardform
max c>xso dass Ax = b
x ≥ 0
• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi
a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)
• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+
i − x−i , x+i , x
−i ≥ 0
Aufspalten der Variablen
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Umformung in Standardform
max c>xso dass Ax = b
x ≥ 0
• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)
• a>x ≥ bi
a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+
i − x−i , x+i , x
−i ≥ 0
Aufspalten der Variablen
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Umformung in Standardform
max c>xso dass Ax = b
x ≥ 0
• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi
a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)
• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+i − x−i , x+
i , x−i ≥ 0
Aufspalten der Variablen
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Umformung in Standardform
max c>xso dass Ax = b
x ≥ 0
• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)
• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0)
xi = x+i − x−i , x+
i , x−i ≥ 0
Aufspalten der Variablen
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Umformung in Standardform
max c>xso dass Ax = b
x ≥ 0
• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0)
xi = x+i − x−i , x+
i , x−i ≥ 0
Aufspalten der Variablen
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Umformung in Standardform
max c>xso dass Ax = b
x ≥ 0
• min c>x −max(−c)>x• bi < 0 multipliziere Zeile i mit (−1)• a>x ≤ bi a>x + si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• a>x ≥ bi a>x − si = bi , si ≥ 0 (si Schlupfvariable)• beliebiges xi (ohne xi ≥ 0) xi = x+
i − x−i , x+i , x
−i ≥ 0
Aufspalten der Variablen
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
min −x1 − x2s.d. x1 − x2 ≥ 3
2x1 + x2 ≤ 8x2 ≥ 0
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
min −x1 − x2s.d. x1 − x2 ≥ 3
2x1 + x2 ≤ 8x2 ≥ 0
−max x1 + x2s.d. x1 − x2 ≥ 3
2x1 + x2 ≤ 8x2 ≥ 0
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
min −x1 − x2s.d. x1 − x2 ≥ 3
2x1 + x2 ≤ 8x2 ≥ 0
−max x1 + x2s.d. x1 − x2 − s1 = 3
2x1 + x2 + s2 = 8x2, s1, s2 ≥ 0
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
min −x1 − x2s.d. x1 − x2 ≥ 3
2x1 + x2 ≤ 8x2 ≥ 0
−max x+1 − x−1 + x2
s.d. x+1 − x−1 − x2 − s1 = 3
2x+1 − 2x−1 + x2 + s2 = 8
x+1 , x
−1 , x2, s1, s2 ≥ 0
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Das duale Programm
(P)max c>xs.d. Ax = b
x ≥ 0
primales Programm
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
duales Programm
• x heißt zulässig für (P), falls x die Nebenbedingungen erfüllt, d.h.Ax = b, x ≥ 0.
• (P) heißt zulässig, wenn es ein zulässiges x für (P) gibt.• (P) heißt beschränkt, wenn der optimale Zielfunktionswert
endlich ist.
Analog definiert man diese Begriffe für (D).
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Das duale Programm
(P)max c>xs.d. Ax = b
x ≥ 0
primales Programm
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
duales Programm
• x heißt zulässig für (P), falls x die Nebenbedingungen erfüllt, d.h.Ax = b, x ≥ 0.
• (P) heißt zulässig, wenn es ein zulässiges x für (P) gibt.• (P) heißt beschränkt, wenn der optimale Zielfunktionswert
endlich ist.
Analog definiert man diese Begriffe für (D).
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Das duale Programm
(P)max c>xs.d. Ax = b
x ≥ 0
primales Programm
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
duales Programm
• x heißt zulässig für (P), falls x die Nebenbedingungen erfüllt, d.h.Ax = b, x ≥ 0.
• (P) heißt zulässig, wenn es ein zulässiges x für (P) gibt.• (P) heißt beschränkt, wenn der optimale Zielfunktionswert
endlich ist.
Analog definiert man diese Begriffe für (D).
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Das duale Programm
(P)max c>xs.d. Ax = b
x ≥ 0
primales Programm
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
duales Programm
• x heißt zulässig für (P), falls x die Nebenbedingungen erfüllt, d.h.Ax = b, x ≥ 0.
• (P) heißt zulässig, wenn es ein zulässiges x für (P) gibt.
• (P) heißt beschränkt, wenn der optimale Zielfunktionswertendlich ist.
Analog definiert man diese Begriffe für (D).
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Das duale Programm
(P)max c>xs.d. Ax = b
x ≥ 0
primales Programm
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
duales Programm
• x heißt zulässig für (P), falls x die Nebenbedingungen erfüllt, d.h.Ax = b, x ≥ 0.
• (P) heißt zulässig, wenn es ein zulässiges x für (P) gibt.• (P) heißt beschränkt, wenn der optimale Zielfunktionswert
endlich ist.
Analog definiert man diese Begriffe für (D).
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Das duale Programm
(P)max c>xs.d. Ax = b
x ≥ 0
primales Programm
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
duales Programm
• x heißt zulässig für (P), falls x die Nebenbedingungen erfüllt, d.h.Ax = b, x ≥ 0.
• (P) heißt zulässig, wenn es ein zulässiges x für (P) gibt.• (P) heißt beschränkt, wenn der optimale Zielfunktionswert
endlich ist.
Analog definiert man diese Begriffe für (D).
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Schwache Dualität
(P)max c>xs.d. Ax = b
x ≥ 0
primales Programm
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
duales Programm
Satz:Ist x ≥ 0 zulässig für (P) und y zulässig für (D), so gilt c>x ≤ y>b.
Beweis:
c>x
c> ≤ y>Ax ≥ 0≤ (y>A)x = y>(Ax) Ax=b
= y>b �
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Schwache Dualität
(P)max c>xs.d. Ax = b
x ≥ 0
primales Programm
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
duales Programm
Satz:Ist x ≥ 0 zulässig für (P) und y zulässig für (D), so gilt c>x ≤ y>b.
Beweis:
c>x
c> ≤ y>Ax ≥ 0≤
(y>A)x = y>(Ax) Ax=b= y>b �
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Schwache Dualität
(P)max c>xs.d. Ax = b
x ≥ 0
primales Programm
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
duales Programm
Satz:Ist x ≥ 0 zulässig für (P) und y zulässig für (D), so gilt c>x ≤ y>b.
Beweis:
c>x
c> ≤ y>Ax ≥ 0≤ (y>A)x =
y>(Ax) Ax=b= y>b �
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Schwache Dualität
(P)max c>xs.d. Ax = b
x ≥ 0
primales Programm
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
duales Programm
Satz:Ist x ≥ 0 zulässig für (P) und y zulässig für (D), so gilt c>x ≤ y>b.
Beweis:
c>x
c> ≤ y>Ax ≥ 0≤ (y>A)x = y>(Ax) Ax=b
=
y>b �
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Schwache Dualität
(P)max c>xs.d. Ax = b
x ≥ 0
primales Programm
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
duales Programm
Satz:Ist x ≥ 0 zulässig für (P) und y zulässig für (D), so gilt c>x ≤ y>b.
Beweis:
c>x
c> ≤ y>Ax ≥ 0≤ (y>A)x = y>(Ax) Ax=b
= y>b �
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualitätssatz
Satz:Ist (P) zulässig und beschränkt, so ist auch (D) zulässig undbeschränkt, und es gibt Optimallösungen x von (P) und y von (D) mitc>x = y>b.
BeweisideeSei x Optimallösung von (P), d.h. von
(P)−min −c>x
s.d. Ax = bx ≥ 0
Nach Kuhn-Tucker existieren dann notwendigerweise λ ∈ Rm undµ ∈ Rn, µ ≤ 0 mit
1.2.
�
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualitätssatz
Satz:Ist (P) zulässig und beschränkt, so ist auch (D) zulässig undbeschränkt, und es gibt Optimallösungen x von (P) und y von (D) mitc>x = y>b.
BeweisideeSei x Optimallösung von (P), d.h. von
(P)−min −c>x
s.d. Ax = bx ≥ 0
Nach Kuhn-Tucker existieren dann notwendigerweise λ ∈ Rm undµ ∈ Rn, µ ≤ 0 mit
1.2.
�
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualitätssatz
Satz:Ist (P) zulässig und beschränkt, so ist auch (D) zulässig undbeschränkt, und es gibt Optimallösungen x von (P) und y von (D) mitc>x = y>b.
BeweisideeSei x Optimallösung von (P), d.h. von
(P)−min −c>x
s.d. Ax = bx ≥ 0
∇f = −c>
∇h = A∇g = −In
Nach Kuhn-Tucker existieren dann notwendigerweise λ ∈ Rm undµ ∈ Rn, µ ≤ 0 mit
1.2.
�
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualitätssatz
Satz:Ist (P) zulässig und beschränkt, so ist auch (D) zulässig undbeschränkt, und es gibt Optimallösungen x von (P) und y von (D) mitc>x = y>b.
BeweisideeSei x Optimallösung von (P), d.h. von
(P)−min −c>x
s.d. Ax = bx ≥ 0
∇f = −c>
∇h = A∇g = −In
Nach Kuhn-Tucker existieren dann notwendigerweise λ ∈ Rm undµ ∈ Rn, µ ≤ 0 mit
1. −c> = λ>A− µ>In2. µ>x = 0
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualitätssatz
Satz:Ist (P) zulässig und beschränkt, so ist auch (D) zulässig undbeschränkt, und es gibt Optimallösungen x von (P) und y von (D) mitc>x = y>b.
BeweisideeSei x Optimallösung von (P), d.h. von
(P)−min −c>x
s.d. Ax = bx ≥ 0
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
Nach Kuhn-Tucker existieren dann notwendigerweise λ ∈ Rm undµ ∈ Rn, µ ≤ 0 mit
1. c> ≤ (−λ>)A2. ((−λ>)A− c>)x = 0
�
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualitätssatz
Satz:Ist (P) zulässig und beschränkt, so ist auch (D) zulässig undbeschränkt, und es gibt Optimallösungen x von (P) und y von (D) mitc>x = y>b.
BeweisideeSei x Optimallösung von (P), d.h. von
(P)−min −c>x
s.d. Ax = bx ≥ 0
(D) min y>bs.d. y>A ≥ c>
Nach Kuhn-Tucker existieren dann notwendigerweise λ ∈ Rm undµ ∈ Rn, µ ≤ 0 mit
1. c> ≤ (−λ>)A2. ((−λ>)A− c>)x = 0 (−λ>)b = (−λ>)Ax = c>x .
�
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualitätssatz (ausführliche Version)
• Entweder (P) und (D) sind beide zulässig und beschränkt.
Dannhaben Sie den gleichen Zielfunktionswert
• oder (P) ist zulässig und unbeschränkt und (D) ist unzulässig• oder (P) ist unzulässig und (D) ist zulässig und unbeschränkt• oder (P) und (D) sind beide unzulässig.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualitätssatz (ausführliche Version)
• Entweder (P) und (D) sind beide zulässig und beschränkt. Dannhaben Sie den gleichen Zielfunktionswert
• oder (P) ist zulässig und unbeschränkt und (D) ist unzulässig• oder (P) ist unzulässig und (D) ist zulässig und unbeschränkt• oder (P) und (D) sind beide unzulässig.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualitätssatz (ausführliche Version)
• Entweder (P) und (D) sind beide zulässig und beschränkt. Dannhaben Sie den gleichen Zielfunktionswert
• oder (P) ist zulässig und unbeschränkt und (D) ist unzulässig
• oder (P) ist unzulässig und (D) ist zulässig und unbeschränkt• oder (P) und (D) sind beide unzulässig.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualitätssatz (ausführliche Version)
• Entweder (P) und (D) sind beide zulässig und beschränkt. Dannhaben Sie den gleichen Zielfunktionswert
• oder (P) ist zulässig und unbeschränkt und (D) ist unzulässig• oder (P) ist unzulässig und (D) ist zulässig und unbeschränkt
• oder (P) und (D) sind beide unzulässig.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualitätssatz (ausführliche Version)
• Entweder (P) und (D) sind beide zulässig und beschränkt. Dannhaben Sie den gleichen Zielfunktionswert
• oder (P) ist zulässig und unbeschränkt und (D) ist unzulässig• oder (P) ist unzulässig und (D) ist zulässig und unbeschränkt• oder (P) und (D) sind beide unzulässig.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualisieren
Manchmal ist es hilfreich, duale Programme von Problemenaufzustellen, die nicht in Standardform gegeben sind.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualisieren
Manchmal ist es hilfreich, duale Programme von Problemenaufzustellen, die nicht in Standardform gegeben sind.
(P) max c>xs.d. Ax ≤ b
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualisieren
Manchmal ist es hilfreich, duale Programme von Problemenaufzustellen, die nicht in Standardform gegeben sind.
(P)max c>x+ − c>x−
s.d. Ax+ − Ax− + s = bx+, x−, s ≥ 0
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualisieren
Manchmal ist es hilfreich, duale Programme von Problemenaufzustellen, die nicht in Standardform gegeben sind.
(P)max c>x+ − c>x−
s.d. Ax+ − Ax− + s = bx+, x−, s ≥ 0
(D)
min y>bs.d. y>A ≥ c>
−y>A ≥ −c>
y>A ≥ 0
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Dualisieren
Manchmal ist es hilfreich, duale Programme von Problemenaufzustellen, die nicht in Standardform gegeben sind.
(P)max c>x+ − c>x−
s.d. Ax+ − Ax− + s = bx+, x−, s ≥ 0
(D)
min y>bs.d. y>A ≥ c>
−y>A ≥ −c>
y>A ≥ 0
(P) max c>xs.d. Ax ≤ b (D)
min y>bs.d. y>A = c>
y>A ≥ 0
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Geometrische Interpretation der Schritte desSimplexalgorithmus
gestrichelt: Zulässigkeitsbereich.
BlauePfeile: Pivotschritte in Phase I.Rote Pfeile: Pivotschritte in Phase II.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Geometrische Interpretation der Schritte desSimplexalgorithmus
gestrichelt: Zulässigkeitsbereich.BlauePfeile: Pivotschritte in Phase I.
Rote Pfeile: Pivotschritte in Phase II.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Geometrische Interpretation der Schritte desSimplexalgorithmus
gestrichelt: Zulässigkeitsbereich.BlauePfeile: Pivotschritte in Phase I.Rote Pfeile: Pivotschritte in Phase II.
![Page 48: Lineare Optimierung Winfried Hochstättler · OutlineLineares Programm (LP) in StandardformDualitätDer Simplexalgorithmus Lineares Programm (LP) in Standardform max c>x so dass Ax](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081409/60863fccc3790b52a850a49f/html5/thumbnails/48.jpg)
Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Geometrische Interpretation der Schritte desSimplexalgorithmus
gestrichelt: Zulässigkeitsbereich.BlauePfeile: Pivotschritte in Phase I.Rote Pfeile: Pivotschritte in Phase II.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Lösung linearer Programme mit demSimplexalgorithmus
max c>xAx = b (≥ 0)
x ≥ 0
Begriffe:
Basis: Indexmenge von m linear unabhängigen Spalten von A.
Ecke: Zu Basis B gehört eine Ecke xB = A−1.B b, xN = 0.
zulässige Basis: B heißt zulässig, wenn x ≥ 0.
Starte von zulässiger Basis (Ecke) und gehe in Aufstiegsrichtung, solange es möglich ist.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Lösung linearer Programme mit demSimplexalgorithmus
max c>xAx = b (≥ 0)
x ≥ 0
Begriffe:
Basis: Indexmenge von m linear unabhängigen Spalten von A.Ecke: Zu Basis B gehört eine Ecke xB = A−1
.B b, xN = 0.
zulässige Basis: B heißt zulässig, wenn x ≥ 0.
Starte von zulässiger Basis (Ecke) und gehe in Aufstiegsrichtung, solange es möglich ist.
![Page 51: Lineare Optimierung Winfried Hochstättler · OutlineLineares Programm (LP) in StandardformDualitätDer Simplexalgorithmus Lineares Programm (LP) in Standardform max c>x so dass Ax](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081409/60863fccc3790b52a850a49f/html5/thumbnails/51.jpg)
Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Lösung linearer Programme mit demSimplexalgorithmus
max c>xAx = b (≥ 0)
x ≥ 0
Begriffe:
Basis: Indexmenge von m linear unabhängigen Spalten von A.Ecke: Zu Basis B gehört eine Ecke xB = A−1
.B b, xN = 0.zulässige Basis: B heißt zulässig, wenn x ≥ 0.
Starte von zulässiger Basis (Ecke) und gehe in Aufstiegsrichtung, solange es möglich ist.
![Page 52: Lineare Optimierung Winfried Hochstättler · OutlineLineares Programm (LP) in StandardformDualitätDer Simplexalgorithmus Lineares Programm (LP) in Standardform max c>x so dass Ax](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081409/60863fccc3790b52a850a49f/html5/thumbnails/52.jpg)
Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Lösung linearer Programme mit demSimplexalgorithmus
max c>xAx = b (≥ 0)
x ≥ 0
Begriffe:
Basis: Indexmenge von m linear unabhängigen Spalten von A.Ecke: Zu Basis B gehört eine Ecke xB = A−1
.B b, xN = 0.zulässige Basis: B heißt zulässig, wenn x ≥ 0.
Starte von zulässiger Basis (Ecke) und gehe in Aufstiegsrichtung, solange es möglich ist.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Der Simplexalgorithmus
Ggb. zulässige Basis B.0 . . . 0 cN − c>B A−1
.B A.N c>B A−1.B b
A−1.B A.B A−1
.B A.N A−1.B b
• Finde Aufstiegsrichtung: cj − c>B A−1.B A.j > 0
• Finde begrenzende Nichtnegativitätsrelation:
i = argmin{ A−1.B b
(A−1.B A)ij
| (A−1.B A)ij > 0}.
• Pivotiere auf (A−1.B A)ij .
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Der Simplexalgorithmus
Ggb. zulässige Basis B.0 . . . 0 cN − c>B A−1
.B A.N c>B A−1.B b
IB A−1.B A.N A−1
.B b
• Finde Aufstiegsrichtung: cj − c>B A−1.B A.j > 0
• Finde begrenzende Nichtnegativitätsrelation:
i = argmin{ A−1.B b
(A−1.B A)ij
| (A−1.B A)ij > 0}.
• Pivotiere auf (A−1.B A)ij .
![Page 55: Lineare Optimierung Winfried Hochstättler · OutlineLineares Programm (LP) in StandardformDualitätDer Simplexalgorithmus Lineares Programm (LP) in Standardform max c>x so dass Ax](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081409/60863fccc3790b52a850a49f/html5/thumbnails/55.jpg)
Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Der Simplexalgorithmus
Finde Aufstiegsrichtung.0 . . . 0 cN − c>B A−1
.B A.N c>B A−1.B b
IB A−1.B A.N A−1
.B b
• Finde Aufstiegsrichtung: cj − c>B A−1.B A.j > 0
• Finde begrenzende Nichtnegativitätsrelation:
i = argmin{ A−1.B b
(A−1.B A)ij
| (A−1.B A)ij > 0}.
• Pivotiere auf (A−1.B A)ij .
![Page 56: Lineare Optimierung Winfried Hochstättler · OutlineLineares Programm (LP) in StandardformDualitätDer Simplexalgorithmus Lineares Programm (LP) in Standardform max c>x so dass Ax](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081409/60863fccc3790b52a850a49f/html5/thumbnails/56.jpg)
Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Der Simplexalgorithmus
Finde begrenzende Nichtne-gativitätsrelation.
0 . . . 0 cN − c>B A−1.B A.N c>B A−1
.B b
IB A−1.B A.N A−1
.B b
• Finde Aufstiegsrichtung: cj − c>B A−1.B A.j > 0
• Finde begrenzende Nichtnegativitätsrelation:
i = argmin{ A−1.B b
(A−1.B A)ij
| (A−1.B A)ij > 0}.
• Pivotiere auf (A−1.B A)ij .
![Page 57: Lineare Optimierung Winfried Hochstättler · OutlineLineares Programm (LP) in StandardformDualitätDer Simplexalgorithmus Lineares Programm (LP) in Standardform max c>x so dass Ax](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081409/60863fccc3790b52a850a49f/html5/thumbnails/57.jpg)
Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Der Simplexalgorithmus
Pivotiere auf (A−1.B A)ij .
0 . . . 0 cN − c>B A−1.B A.N c>B A−1
.B b
IB A−1.B A.N A−1
.B b
• Finde Aufstiegsrichtung: cj − c>B A−1.B A.j > 0
• Finde begrenzende Nichtnegativitätsrelation:
i = argmin{ A−1.B b
(A−1.B A)ij
| (A−1.B A)ij > 0}.
• Pivotiere auf (A−1.B A)ij .
![Page 58: Lineare Optimierung Winfried Hochstättler · OutlineLineares Programm (LP) in StandardformDualitätDer Simplexalgorithmus Lineares Programm (LP) in Standardform max c>x so dass Ax](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081409/60863fccc3790b52a850a49f/html5/thumbnails/58.jpg)
Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Der Simplexalgorithmus
Falls keine Aufstiegsrichtungexistiert, ist (c>B A−1
.B )A ≥ c.
0 . . . 0 cN − c>B A−1.B A.N c>B A−1
.B b
IB A−1.B A.N A−1
.B b
• Finde Aufstiegsrichtung: cj − c>B A−1.B A.j > 0
• Finde begrenzende Nichtnegativitätsrelation:
i = argmin{ A−1.B b
(A−1.B A)ij
| (A−1.B A)ij > 0}.
• Pivotiere auf (A−1.B A)ij .
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Der Simplexalgorithmus
Falls keine Aufstiegsrichtungexistiert, ist (c>B A−1
.B )A ≥ c. Al-so ist c>B A−1
.B zulässig für (D)und c>B A−1
.B b = c>B xB = c>x .
0 . . . 0 cN − c>B A−1.B A.N c>B A−1
.B b
IB A−1.B A.N A−1
.B b
• Finde Aufstiegsrichtung: cj − c>B A−1.B A.j > 0
• Finde begrenzende Nichtnegativitätsrelation:
i = argmin{ A−1.B b
(A−1.B A)ij
| (A−1.B A)ij > 0}.
• Pivotiere auf (A−1.B A)ij .
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Der Simplexalgorithmus
Falls es keine begrenzendeNichtnegativitätsrelation gibt,so ist das Problem unbe-schränkt.
0 . . . 0 cN − c>B A−1.B A.N c>B A−1
.B b
IB A−1.B A.N A−1
.B b
• Finde Aufstiegsrichtung: cj − c>B A−1.B A.j > 0
• Finde begrenzende Nichtnegativitätsrelation:
i = argmin{ A−1.B b
(A−1.B A)ij
| (A−1.B A)ij > 0}.
• Pivotiere auf (A−1.B A)ij .
![Page 61: Lineare Optimierung Winfried Hochstättler · OutlineLineares Programm (LP) in StandardformDualitätDer Simplexalgorithmus Lineares Programm (LP) in Standardform max c>x so dass Ax](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081409/60863fccc3790b52a850a49f/html5/thumbnails/61.jpg)
Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Phase I
Falls keine zulässige Startbasis bekannt ist, lösen wir mit demSimplexalgorithmus das Hilfsproblem
max −∑
yiAx + y = b
x , y ≥ 0
• Wenn Lösung Zielfunktionswert 0 hat, d.h. alle y = 0, dann kannman künstliche Zeilen streichen und hat zulässige Basis
• ansonsten hat ursprüngliches Problem keine zulässige Lösung
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Phase I
Falls keine zulässige Startbasis bekannt ist, lösen wir mit demSimplexalgorithmus das Hilfsproblem
max −∑
yiAx + y = b
x , y ≥ 0
• Wenn Lösung Zielfunktionswert 0 hat, d.h. alle y = 0, dann kannman künstliche Zeilen streichen und hat zulässige Basis
• ansonsten hat ursprüngliches Problem keine zulässige Lösung
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Phase I
Falls keine zulässige Startbasis bekannt ist, lösen wir mit demSimplexalgorithmus das Hilfsproblem
max −∑
yiAx + y = b
x , y ≥ 0
0 . . . 0 −1 . . .− 1 0
A In b
• Wenn Lösung Zielfunktionswert 0 hat, d.h. alle y = 0, dann kannman künstliche Zeilen streichen und hat zulässige Basis
• ansonsten hat ursprüngliches Problem keine zulässige Lösung
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Phase I
Falls keine zulässige Startbasis bekannt ist, lösen wir mit demSimplexalgorithmus das Hilfsproblem
max −∑
yiAx + y = b
x , y ≥ 0
e>A 0 . . . 0 e>b
A In b
• Wenn Lösung Zielfunktionswert 0 hat, d.h. alle y = 0, dann kannman künstliche Zeilen streichen und hat zulässige Basis
• ansonsten hat ursprüngliches Problem keine zulässige Lösung
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Phase I
Falls keine zulässige Startbasis bekannt ist, lösen wir mit demSimplexalgorithmus das Hilfsproblem
max −∑
yiAx + y = b
x , y ≥ 0
e>A 0 . . . 0 e>b
A In b
• Wenn Lösung Zielfunktionswert 0 hat, d.h. alle y = 0, dann kannman künstliche Zeilen streichen und hat zulässige Basis
• ansonsten hat ursprüngliches Problem keine zulässige Lösung
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Phase I
Falls keine zulässige Startbasis bekannt ist, lösen wir mit demSimplexalgorithmus das Hilfsproblem
max −∑
yiAx + y = b
x , y ≥ 0
e>A 0 . . . 0 e>b
A In b
• Wenn Lösung Zielfunktionswert 0 hat, d.h. alle y = 0, dann kannman künstliche Zeilen streichen und hat zulässige Basis
• ansonsten hat ursprüngliches Problem keine zulässige Lösung
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
max x+1 − x−1 + x2
s.d. x+1 − x−1 − x2 − s1 = 3
2x+1 − 2x−1 + x2 + s2 = 8
x+1 , x
−1 , x2, s1, s2 ≥ 0
Wir haben mit s2 schon einen Einheitsvektor, deswegen benötigenwir nur noch eine künstliche Schlupfvariable und erhalten folgendesHilfstableau.
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Beispiel
max x+1 − x−1 + x2
s.d. x+1 − x−1 − x2 − s1 = 3
2x+1 − 2x−1 + x2 + s2 = 8
x+1 , x
−1 , x2, s1, s2 ≥ 0
Wir haben mit s2 schon einen Einheitsvektor, deswegen benötigenwir nur noch eine künstliche Schlupfvariable und erhalten folgendesHilfstableau.
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Beispiel
max x+1 − x−1 + x2
s.d. x+1 − x−1 − x2 − s1 = 3
2x+1 − 2x−1 + x2 + s2 = 8
x+1 , x
−1 , x2, s1, s2 ≥ 0
Wir haben mit s2 schon einen Einheitsvektor, deswegen benötigenwir nur noch eine künstliche Schlupfvariable und erhalten folgendesHilfstableau.
0 0 0 0 0 −1 01 −1 1 0 0 0 01 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
max x+1 − x−1 + x2
s.d. x+1 − x−1 − x2 − s1 = 3
2x+1 − 2x−1 + x2 + s2 = 8
x+1 , x
−1 , x2, s1, s2 ≥ 0
Wir haben mit s2 schon einen Einheitsvektor, deswegen benötigenwir nur noch eine künstliche Schlupfvariable und erhalten folgendesHilfstableau.
1 −1 −1 −1 0 0 31 −1 1 0 0 0 01 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
1 −1 −1 −1 0 0 31 −1 1 0 0 0 0
1 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8
0 0 0 0 0 −1 00 0 2 1 0 −1 −31 −1 −1 −1 0 1 30 0 3 2 1 −2 2
künstlicher Zielfunktionswert ist 0 =⇒ zulässige Basis gefunden
0 0 2 1 0 −31 −1 −1 −1 0 30 0 3 2 1 2
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
1 −1 −1 −1 0 0 31 −1 1 0 0 0 0
1 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8
0 0 0 0 0 −1 00 0 2 1 0 −1 −31 −1 −1 −1 0 1 30 0 3 2 1 −2 2
künstlicher Zielfunktionswert ist 0 =⇒ zulässige Basis gefunden
0 0 2 1 0 −31 −1 −1 −1 0 30 0 3 2 1 2
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
1 −1 −1 −1 0 0 31 −1 1 0 0 0 0
1 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8
0 0 0 0 0 −1 00 0 2 1 0 −1 −31 −1 −1 −1 0 1 30 0 3 2 1 −2 2
künstlicher Zielfunktionswert ist 0 =⇒ zulässige Basis gefunden
0 0 2 1 0 −31 −1 −1 −1 0 30 0 3 2 1 2
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
1 −1 −1 −1 0 0 31 −1 1 0 0 0 0
1 −1 −1 −1 0 1 32 −2 1 0 1 0 8
0 0 0 0 0 −1 00 0 2 1 0 −1 −31 −1 −1 −1 0 1 30 0 3 2 1 −2 2
künstlicher Zielfunktionswert ist 0 =⇒ zulässige Basis gefunden
0 0 2 1 0 −31 −1 −1 −1 0 30 0 3 2 1 2
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Beispiel
0 0 0 − 13 − 2
3 − 133
1 −1 0 − 13
13
113
0 0 1 23
13
23
Tableau ist final, Optimallösung (x+1 , x
−1 , x2, s1, s2) = ( 11
3 ,0,23 ,0,0),
optimaler Zielfunktionswert = 133
Also ist 13 (11,2) Optimallösung des Ausgangsproblems.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
0 0 0 − 13 − 2
3 − 133
1 −1 0 − 13
13
113
0 0 1 23
13
23
Tableau ist final, Optimallösung (x+1 , x
−1 , x2, s1, s2) = ( 11
3 ,0,23 ,0,0),
optimaler Zielfunktionswert = 133
Also ist 13 (11,2) Optimallösung des Ausgangsproblems.
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Outline Lineares Programm (LP) in Standardform Dualität Der Simplexalgorithmus
Beispiel
0 0 0 − 13 − 2
3 − 133
1 −1 0 − 13
13
113
0 0 1 23
13
23
Tableau ist final, Optimallösung (x+1 , x
−1 , x2, s1, s2) = ( 11
3 ,0,23 ,0,0),
optimaler Zielfunktionswert = 133
Also ist 13 (11,2) Optimallösung des Ausgangsproblems.
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Veranschaulichung der Schritte
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
7
8