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Dedicatoria:A mis padres
Remigio y Victoriay a mis hermanos
YefersonDany
RemigioPlinio
GinoRosmery
yVanesa
A mi. . .Porque cada da y todos los das existe algo queaprender y tambin mucho que ensear. . .
Ivn
-
Derechos reservados
Prohibida la reproduccin de esta obrapor cualquier medio, total o parcialmentesin permiso del autor.
TERCERA EDICIN: Enero del 2014
Tiraje: 1000 ejemplares
Pedidos:
Av. Mariscal Castilla N 1310(Huanta)
Urb. Enace Vista AlegreMZ KLT 03 (Ayacucho) Celular: 999242611 RPM: #999242611AYACUCHO - PER
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Captulo 1 SISTEMAS DE MEDIDASANGULARES
Son aquellos sistemas en la cual es medidoun ngulo trigonomtrico.
ngulo trigonomtrico
Es aquel ngulo que se genera porla rotacin de un rayo alrededor de un puntojo llamado vrtice (la rotacin se realiza enun mismo plano), desde una posicin inicial(llamada lado inicial) hasta una posicin nal(llamada lado nal).
q ( trigonomtrico)O
A
B
Lado inicial (LI)
Lado fin
al
(LF)
Origen(Vrtice)
Si la rotacin se realiza en sentido antiho-rario el ngulo generado se considera positi-vo, en cambio si la rotacin se realiza en sen-tido horario el ngulo generado se consideranegativo.
qLad
o final
Lado inicialO
Sentido antihorarioMedida positiva
O Lado inicial
Lado final
a
Sentido horarioMedida negativa
VrticeA
B
A
C
La rotacin de un rayo puede ser menos deuna vuelta, de una vuelta (cuando al girar elrayo y vuelve a coincidir con la posicin ini-cial por primera vez) o ms de una vuelta. Lamedida de un ngulo trigonomtrico se puedeextender ilimitadamente tanto positiva comonegativamente (tiene cualquier magnitud).
b = 1 = 360 v
O
ngulo de una vuelta
LI
LF
O
ngulo de ms de una vuelta
LI
LF
g
) 1 m^ ngulo trigonomtrico +1
Observacin
1. Cuando a un ngulo trigonomtrico sele invierte su sentido, su signo cambia.
Oq
O- q
2. Para sumar ngulos trigonomtricos enun grco estos deben estar en el mismosentido.
Aplicacin
1. Del siguiente grco
5q- q- 3q
es igual a:
Resolucin
Reordenemos los ngulos en sentido
antihorario.
7Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
5q- q- 3q
- 5q
Del grco:
() + (5) + (3)| {z } = 360
! = 20
Sistemas de medicin angular
Existen muchos sistemas para medir unngulo trigonomtrico; pero los ms conocidosy usuales son tres.
Sistema sexagesimal o Ingls (S)
Este sistema divide al ngulo de una vueltaen 360 partes iguales y a cada parte se le de-nomina grado sexagesimal, que es la unidadde medida angular. Cada grado se divide 60minutos y cada minuto en 60 segundos.
Notacin:
Un grado sexagesimal: 1 Un minuto sexagesimal: 10 Un segundo sexagesimal: 100
Equivalencias:
1v 360 1 600 10 6000 1 360000
Observacin:
= ab0c00 a + b0 + c00 (a + b + c) (a+ b+ c)
a
b
a
b a
0
b0
a
b
a00
b00
a
b
Aplicacin
1. Simplicar el valor de:
J =2 30 0
10 0+3 20 0
25 0
Resolucin
Utilizando la observacin anterior:
J =2 + 300
100+3 + 200
250
J =1200 + 300
100+1800 + 200
250
J =1500
100+2000
250
J = 15 + 8
) J = 23
En este sistema se deduce:
Grados SegundosMinutos60 60
60 603600
x 3600
Sistema Centesimal o Francs (C)
Este sistema divide al ngulo de una vueltaen 400 partes iguales y a cada parte se le lla-ma grado centesimal. Cada grado centesimalcontiene 100 minutos centesimales y cadaminuto centesimal contiene 100 segundos cen-tesimales.
Notacin:
Un grado centesimal: 1g Un minuto centesimal: 1m Un segundo centesimal: 1s
Equivalencias:
1v 400g 1g 100m 1m 100s 1g 10000s
8Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades
Trigonometra
9 = 360
-
Observacin:
= agbmcs ag + bm + cs
(ag + bg + cg) (a+ b+ c)g
ag
bg
a
b a
m
bm
a
b
as
bs
a
b
Aplicacin
1. Simplica el valor de:
H =2 g
25m+7 g20m
1 g20m
Resolucin
Por la observacin:
H =2g
25m+7g + 20m
1g + 20m
H =200m
25m+700m + 20m
100m + 20m
H =200m
25m+720m
120m
H = 8 + 6
) H = 14
En este sistema se deduce:
Grados SegundosMinutos100 100
100 10010000
x 10000
Sistema radial o Circular (oInternacional) (R)
La unidad de medida es el radin (1rad)el cual se dene como la medida del ngulocentral que subtiende en todo circunferenciaun arco de igual longitud que la de su radio.Gracamente:
O
1rad Lados del ngulo
Equivalencias:
1v 2rad 22
7 p3 +p2 p10 3; 1416
Observacin:
1rad 571704500 63g66m19; 77s 1rad 1 1g 10 1m 100 1s
Relacin entre los tres sistemasangulares
Consideramos un ngulo trigonomtricopositivo tal como se muestra en la gura.
q = = = S C Rradg
I:
Establecemos la primera relacin teniendoen cuenta de que el ngulo trigonomtricoda slo media vuelta.
180 = 200g = rad
Esta relacin es utilizado mayormente paraproblemas de conversin.
Observacin
Una forma prctica para convertir de unsistema a otro es multiplicar a la medida dadapor un FACTOR DE CONVERSIN. Dichofactor consiste en una fraccin equivalente a la
9Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
unidad tal que en el numerador colocamos launidad deseada y en el denominador la unidada eliminar y los nmeros que acompaan a es-tas unidades deben ser equivalentes. Para uti-lizar este mtodo debe recordarse la relacin(I).
F:C =Unidad que se quiere
Unidad a cancelar
Por ejemplo, convierte:
25g a grados sexagesimales
Sea = 25g180
200g
| {z } = 22; 5F:C
Nota:
9 10g 270 50m 8100 250s
II:
Como la relacin (I) se cumple entonces:
S
180=C
200=R
Igualando a una constante de proporcio_nalidad tenemos:
S
180=C
200=R
= k !
8>>:S = 9kC = 10k
R =k
20
Esta relacin es utilizado para pro_blemas literales.
Donde
S : Nmeros de grados sexagesimales. C : Nmeros de grados centesimales. R : Nmeros de radianes.( De un mismo ngulo)
Aplicacin
1. Si: C S = 10 : Halle RResolucin
Sabemos
8>>>:S = 9kC = 10k
R =k
20Condicin:
C S = 10Reemplazamos
10k 9k = 10! k = 10Nos piden:
R =k
20
R =(10)
20
) R = 2rad
Tambin:
Sistemas sexag. Centes. Radial# de grados S C R# de minutos 60S 100C # de segundos 3600S 10000C
Observacin
a)
Complemento de ()
(S; Cg; R rad)=
8>>>:(90 S)(100 C)g
(
2R)rad
b)
Suplemento de ()
(S; Cg; R rad)=
8
-
PROBLEMAS TIPO ADMISIN
q
a
o
A) 180 B) 270 C) 360
D) 450 E) 540
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Incgnita: Reordenemos los ngulos en sentido an-tihorario.
a - qa - 90
90O
Del grco:
90 + () = 360 = 450
Alternativa: D
Problema 02
Convertir 50m a segundos sexagesimales.
A) 182000
B) 162000
C) 154000
D) 181000
E) 167000
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Se busca calcular el equivalente de 50m
en segundos sexagesimales.
50m lo expresamos en grados centesimales
50m = 50m1g
100m
50m =
1
2
g
1
2
glo expresamos en grados sexagesi-
males.1
2
g=
1
2
g 9
10g
1
2
g=
9
20
9
20
lo expresamos en segundos sexa-
gesimales.9
20
=
9
20
3600
00
1
!9
20
= 1620
00
Alternativa: B
Problema 03
Calcular :
r20
30+4g
5m+90
10g
A) 5 B) 7 C) 9D) 100 E) 11
Resolucin
Recuerde
1600 1g100m
9
10g1 a
0
b0=a
b
Anlisis y procedimientos
Sea:N =
s20
30+4g
5m+90
10g| {z } (1)A
Resolviendo el radicando tenemos:
A =20
30+
4g
5m+
90
10g
A =120
0
30+
400m
5m+ 1
A = 40 + 80 + 1
A = 121 (2)De (2) en (1)
11
Problema 01
Del grco adjunto, halle .
Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
N =p121
) N = 11Alternativa: E
Problema 04
Determine:pa+ b+ c; si: 140g = abc
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
Resolucin
Anlisis y procedimientos
De la condicin
abc= 140g (1)
140g lo expresamos en gradossexagesimales.
140g = 140g9
10g
! 140g = 126
(2)De (2) en (1)
abc= 126
Por comparacin
a = 1; b = 2 y c = 6
Nos piden calcular:pa+ b+ c =
p1 + 2 + 6p
a+ b+ c =p9
)pa+ b+ c = 3
Alternativa: C
Problema 05
Si: x+ y = 74: Calcular: = xy0+ yx
0
A) 70140
B) 68100
C) 74240
D) 75140
E) 64150
Resolucin
Recuerde
ab0c00 = a + b0 + c00 x + y + z = (x+ y + z)
Anlisis y procedimientos
Condicin
x+ y = 74
Nos piden calcular:
= xy0+ yx
0
= (x + y0) + (y + x
0)
Agrupando
= (x + y) + (x0+ y
0)
= (x+ y) + (x+ y)0
Reemplazamos
= 74 + 740
= 74 + (600+ 14
0)
= 74 + (1 + 140)
= 75 + 140
) = 75140
Alternativa: D
Problema 06
Halle el valor de la expresin:
N =rad
18 +18
5 g rad20 g
A)1
2B)
1
4C) 2
D) 4 E) 6
(CEPRE - UNSCH 2008 - I)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Nos piden calcular:
N =rad
18+18
5g rad20g
A cada trmino multiplicamos por el fac-tor de conversin.
rad18
=rad
18
180
rad
! rad
18= 10
18
5g=18
5g
10g
9
! 18
5g= 4
rad20g
=rad
20g
200g
rad
! rad
20g= 10
En el problema
N = 10 + 4 10) N = 4
Alternativa: D
Problema 07
En la gura, hallar x
12Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades
Trigonometra
-
- 4 - 20 x5 - 20x
A) 20 B) 10 C) 20D) 59 E) 60
(CEPRE - UNSCH 2008 - III)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Reordenemos los ngulos en sentido an-tihorario
- 4 - 20 x5 - 20x
4 + 20x
Del grco
(5x 20) + (4x+ 20) = 1809x = 180
x = 20
Alternativa: C
Problema 08
En un tringulo rectngulo, los ngulosagudos son (3x + 9 ) y (7x 3 )g . Cal-cular el valor de x
A) 9 B) 18 C) 12D) 5 E) 16
(CEPRE - UNSCH 2009 - II)
Resolucin
Referencias:
Sabemos que en todo tringulo rectn-gulo la suma de sus ngulos agudos esigual a 90
Anlisis y procedimientos
Condicin
(3x+9)+(7x3)g = 90 (1) (7x 3)g lo expresamos en gradossexagesimales.
(7x 3)g = (7x 3)g9
10g
! (7x3)g =
(7x 3)
9
10
(2)
De (2) en (1)
(3x+9)+(7x 3)
9
10
= 90
Simplicando grados sexagesimales en laigualdad
(3x+ 9) + (7x 3)9
10
= 90
3(x+ 3)10 + 9(7x 3) = (90)(10)30x+ 90 + 63x 27 = 900
93x+ 63 = 900
93x = 837
) x = 9Alternativa: A
Problema 09
La suma de dos ngulos es 1 y sudiferencia es 1 g . Halle la medida del menorngulo en minutos sexagesimales.
A) 10
B) 30
C) 50
D) 70
E) 90
(CEPRE - UNSCH 2009 - I)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Sean y los ngulos agudos ( ).Nos piden la medida del menor nguloagudo en minutos sexagesimales
Condicin
+ = 1 (1) = 1g (2)
1g lo expresamos en grados sexagesimales
1g = 1g9
10g
! 1g =
9
10
Reemplazamos en (2)
=9
10
(3)
Restamos (1) y (3)
2 = 1 9
10
2 =
1
10
=
1
20
13
Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
Su equivalente en minutos sexagesimalesser
1
20
60
0
1
es decir
30
Alternativa: B
Problema 10
Halle el valor de la expresin siguiente:
M =2 g2m
2m+3 3
0
3 0
A) 200 B) 162 C) 161D) 163 E) 101
(CEPRE - UNSCH 2009 - III)
Resolucin
Recuerde
ab0c00 = a + b0 + c00 1600
am
bm=a
b;
a0
b0=a
b 1g100m
Anlisis y procedimientos
Reducimos M
M =2g2m
2m+33
0
30
M =2g + 2m
2m+3 + 3
0
30
M =200m + 2m
2m+180
0+ 3
0
30
M =202m
2m+183
0
30
M = 101 + 61
)M = 162Alternativa: B
Problema 11
Un alumno del CEPRE UNSCH , envez de escribir 30 escribe 30 g : Cuntode error cometi en el sistema sexagesi-mal?A) 2 B) 3 C) 5
D) 4 E) 6
(CEPRE - UNSCH 2010 - I)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Medida del ngulo verdadero:verd: = 30
Medida del ngulo errneo:
falso = 30g = 30g
9
10g
! falso = 27
Luego el error es
error = verd: falsoerror = 30 27) error = 3
Alternativa: B
Problema 12
Un ngulo de un tringulo mide 35 y
el otro5
9rad . Cul es la medida del
tercer ngulo en el sistema centesimal?
A) 40g B) 35g C) 60g
D) 70g E) 50g
(CEPRE - UNSCH 2010 - II)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Condicin
A = 35 y B =5
9rad
Nos piden: m^C (Sistema centesimal)
Convertimos5
9rad a grados sexagesi-
males5
9rad =
5
9rad
180
rad
! 5
9rad = 100
Recuerde que:
A+B + C = 180
En el problema
35 + 100 + C = 180
C = 45
El equivalente en grados centesimales ser
4510g
9
14
Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades
Trigonometra
-
es decir
50g
Alternativa: EProblema 13
S y C son nmeros convencionales paraun ngulo trigonomtrico tal que:
C 2 SS
= 99 ; halle S
A) 80 B) 75 C) 81D) 85 E) 64
(CEPRE - UNSCH 2010 - III)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Sabemos
8>:S = 9kC = 10k
R =k
20Condicin:
C2 SS
= 99
Reemplazando
(10k)2 9k9k
= 99
100k2 9k9k
= 99
100k 99
= 99
100k 9 = 891k = 9
Nos piden:
S = 9k= 9(9)
) S = 81Alternativa: C
Problema 14
En el grco halle: K = 100a + 9b
a (10b)m
A) 0 B) 1 C) 1D) 2 E) 3
(CEPRE - UNSCH 2010 - III)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Incgnita:
K = 100a+ 9b
Del grco anterior se obtiene el nuevoesquema
a - (10 ) b m
Luego:
a = (10b)m
a = (10b)m1g
100m
a =
b
10
ga =
b
10
g 9
10g
a =
9b
100
a =
9b
100
Multiplicamos por 100
100a = 9b100a+ 9b = 0
) K = 0Alternativa: A
Problema 15
Si S y C son nmeros convencionalespara un mismo ngulo, calcule el valorde:
J =
vuutS + CC S +
sC + 2S
C S +rC + 6S
C S
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
15Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
(CEPRE - UNSCH 2011 - I)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
SabemosS = 9kC = 10k
Reemplazando en la expresin
J =
vuut19kk+
s28k
k+
r64k
k
Simplicando
J =
q19 +
p28 +
p64
J =p25
) J = 5Alternativa: E
Problema 16
Del grco, halle la medida del nguloAOB en el sistema radial
(3x) ( 2x 8)- - gO
A
B
A)
10rad B)
5rad C)
18rad
D)
20rad E)
15rad
(CEPRE - UNSCH 2011 - I)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Del grco anterior se obtiene el nuevoesquema
(3x)O
A
B
- - - ( 2x 8)g
Luego:
(3x) = (2x 8)g(3x) = (2x+ 8)g
(3x) = (2x+ 8)g9
10g
Simplicando
x =(x+ 4)
3
5
x =
(x+ 4)
3
5
x = 6
Nos piden calcular:
m^AOB = (3x)
m^AOB = 18
Su equivalente en radianes ser
18rad
180
es decir
10rad
Alternativa: A
Problema 17
El nmero de grados sexagesimales Sy el nmero de grados centesimales Cde la medida de un ngulo satisface larelacin C = S + 2
pS : Calcule la me-
dida del ngulo en radianes.
A)5
3B)
9
5C)
7
3
D)8
5E)
7
5
(CEPRE - UNSCH 2011 - II)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Sabemos
8>:S = 9kC = 10k
R =k
20Condicin:
C = S + 2pS
Reemplazando
10k = 9k + 2p9k
16Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades
Trigonometra
-
k = 6pk
Elevamos al cuadrado:
k2 = (6pk)2
k2 = 36k
k = 36
Nos piden:
R =k
20
R =(36)
20rad
) R = 95rad
Alternativa: B
Problema 18
Indique el nmero de segundos sexa-gesimales que hay en 120300
A) 123 B) 321 C) 2313D) 3723 E) 3273
(CEPRE - UNSCH 2011 - III)
Resolucin
Recuerde
ab0c00 = a + b0 + c00
1360000
106000
Anlisis y procedimientos
Se busca calcular el equivalente de 120300
en segundos sexagesimales.
Sea: = 12
0300
= 1 + 20+ 3
00
= 360000+ 120
00+ 3
00
) = 372300
Alternativa: D
Problema 19
Se ha creado un nuevo sistema demedicin angular (sistema CEPRE) enla cual 1 (grado CEPRE) equivale a las
3
4partes de la medida del ngulo de una
vuelta. Simplique:
N =4 5rad
20g
A) 1 B) 3 C) 15D) 9 E) 10
(CEPRE - UNSCH 2012 - I)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Nos piden:
N =4 5rad
20g
Dato:
13
4vuelta
! 1vuelta4
3
(1)
Pero sabemos
1vuelta2rad (2)Luego, igualamos (1) y (2)
4
3
2rad
Ahora si:
8>>>:4
3
2rad
4 x
Por regla de tres simple tenemos:
x =4(2rad)
4
3
x = 6rad
20g lo expresamos en radianes
20g = 20grad
200g
! 20g =rad
10
Reemplazando en la expresin
N =6rad 5rad
rad
10
) N = 10
17Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
Alternativa: E
Problema 20
Siendo S ,C y R los nmeros conven-cionales para la medida de un mismo n-gulo. Calcule el valor de R si se cumpleque:
S 9C (C 20 )10S = 9 10 g
A)
2B) C) 3
D) 5 E) 20
(CEPRE - UNSCH 2012 - I)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Sabemos
8>:S = 9kC = 10k
R =k
20Condicin:
S9C (C 20)10S = 9 10g| {z }0
S9C (C 20)10S = 0S9C = (C 20)10S
Reemplazando
(9k)9(10k) = (10k 20)10(9k)[9k]90k = [10k 20]90k! 9k = 10k 20! k = 20
Nos piden:
R =k
20
R =(20)
20rad
) R = radAlternativa: B
Problema 21
Exprese el suplemento de 120 g en el sis-tema radial.
A)2
3rad B)
3
5rad C)
2
5rad
D)3
7rad E)
4
7rad
(CEPRE - UNSCH 2012 - II)
Resolucin
Recuerde
S(Sistema centecimal) = 200g
Anlisis y procedimientos
Sea el ngulo:
= C = 120g
Nos piden:
S(Sistema centecimal) = 200g
S(Sistema centecimal) = 200g 120g
S(Sistema centecimal) = 80g
Su equivalente en radianes ser
80grad
200g
es decir
2
5rad
Alternativa: C
Problema 22
Halle el suplemento de un ngulo en elsistema circular si el complemento de di-cho ngulo es 80 g centesimales.
A)7
9rad B)
9
10rad C)
8
9rad
D)11
12rad E)
19
10rad
(UNSCH 2009)Resolucin
Recuerde
C(Sistema centecimal) = 100g S(sistema circular) = rad
Anlisis y procedimientos
Sea el ngulo:
= C = 80g
Condicin:C(Sistema centecimal) = 80
g
100g = 80g = 20g
18Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades
Trigonometra
-
Su equivalente en radianes ser
20grad
200g
es decir
= R =
10rad
Nos piden:
S(sistema circular) = rad
S(sistema circular) = rad 10rad
) S(sistema circular) =9
10rad
Alternativa: B
Problema 23
Sabiendo que (3x y) es equivalente a
(x + 2y)g :Determina: N =x yx + y
A)4
7B)
7
4C)
1
7
D)1
4E) 7
(UNCP 2009 I)Resolucin
Dato:
(3xy)(x+2y)g (1) (x + 2y)g lo expresamos en gradossexagesimales
(x+ 2y)g = (x+ 2y)g9
10g
! (x+2y)g =
(x+ 2y)
9
10
(2)
De (2) en (1)
(3x y)(x+ 2y)
9
10
Simplicando
(3x y) (x+ 2y)
9
10
30x 10y 9x+ 18y
21x 28y
3x 4y
! xy
4k
3k
x = 4ky = 3k
Nos piden:
N =x yx+ y
=4k 3k4k+ 3k
=k
7k
De donde
N =1
7
Alternativa: C
Problema 24
En la gura, determina la diferencia delmayor y menor ngulo.
A
B
C
D
2p45 xrad
403 x
g
10x
6x
A) 80 B) 100 C) 30
D) 40 E) 60
(UNCP 2011 I)Resolucin
Teorema:
En todo cuadrilteroa b c d + + + = 360a
b c
d
Anlisis y procedimientos
Del grco:
A = 245rad lo expresamos en grados
sexagesimales
A =2
45rad =
2
45rad
180
rad
! A = 8x
B = 403xg lo expresamos en grados
sexagesimales
B =40
3xg =
40
3xg9
10g
! B = 12x
Recuerde que:
A+B + C +D = 360
19Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
En el problema
8x + 12x + 10x + 6x = 360
36x = 360x = 10
Nos piden:
B D = 12x 6xB D = 6xB D = 60
Por lo tanto, la diferencia del mayor ymenor ngulo es 60
Alternativa: E
Problema 25
Determinar la medida de un ngulo enradianes, si se cumple que:18
S
3+
20
C
3+ 10R
3=
1
9
A)7
15rad B)
3
20rad C)
3
10rad
D)
5rad E)
3
5rad
(UNCP 2011 II)Resolucin
Anlisis y procedimientos
Sabemos
8>:S = 18kC = 20k
R =k
10Reemplazando18
18k
3+
20
20k
3+
0B@ 10(k
10)
1CA3
=
1
9
Simplicando
1
k
3+
1
k
3+
1
k
3=
1
9
3
1
k
3=
1
9
1
k
3=
1
3
3! 1k=1
3
! k = 3Nos piden:
R =k
10
R =3
10rad
) R = 310rad
Alternativa: C
Problema 26
La medida de un ngulo en los sistemassexagesimal y centesimal estn represen-tados por dos nmeros pares consecu-tivos. Halle la medida de dicho nguloen radianes.
A)
12B)
10C)
6
D)2
3E)
5
3(UNI 2007 II)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Se tiene un ngulo representado por enlos sistemas sexagesimal y centesimal.
Por dato: = (2n)
= (2n+ 2)g (1) (2)
Como se trata del mismo ngulo, en-tonces igualamos (1) y (2)
(2n) = (2n+ 2)g (3) (2n + 2)g lo expresamos en gradossexagesimales
(2n+ 2)g = (2n+ 2)g9
10g
(2n+2)g =
9n+ 9
5
(4)
De (4) en (3)
(2n) =9n+ 9
5
Simplicando
2n =9n+ 9
520
Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades
Trigonometra
-
10n = 9n+ 9
n = 9
En (1)
= 18
Su equivalente en radianes ser
18rad
180
es decir
rad
10
Alternativa: B
Problema 27
En un nuevo sistema de medicin an-gular, un ngulo de grados sexagesi-males mide 3 . Si un ngulo de radianes mide 120 en el nuevo sistema,halle 3A) 15 B) 6 C) 9D) 12 E) 3
(UNI 2009 I)Resolucin
Anlisis y procedimientos
Nuevo sistema de medicin angular (X);donde 1X denota un grado en el sistemaX
Condiciones = ( 3)Xrad = 120X
Por regla de tres simple
=( 3)Xrad
120X
= ( 3)rad
120
Empleamos el mtodo de factor de conversin
= ( 3)rad
120
180
rad
= ( 3)3
2
2 = 3 9 = 9
Se busca calcular
( 3)Reemplazando
(9 3) = 6Alternativa: B
Problema 28
Si S ;C y R son lo convencional para unmismo ngulo y se cumple que :S
180+1
C
200+1
R
+1
= 64 ;
calculeS + C
20
A) 57 B) 38 C) 76D) 19 E) 95
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Nos piden:S + C
20
Sabemos:
8
-
Problema 29
Si S ;C y R son lo convencional para unmismo ngulo positivo y se cumple queS 2+C 2+2SC = 36 ; calcule R:
A)
190B)
3
190C)
10
D)
19E)
5
6
Resolucin
Anlisis y procedimientos
De la condicin:S2 + C2 + 2SC| {z } = 36
T:C:P
(S + C)2 = 62
! S + C = 6
Adems como se sabe:
8>:S = 9kC = 10k
R =k
20Se tiene
9k + 10k = 6
19k = 6
k =6
19
Se busca calcular
R =k
20
R =
20
6
19
) R = 3190
rad
Alternativa: B
Problema 30
Si:89
1440radAB0C 00
Halle el valor de: M =(A+B)
3rad c
A) 1; 2 B) 1 C) 0; 6D) 1; 18 E) 1; 8
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Nos piden:
M =(A+B)
3rad c
Condicin
AB0C 0089
1440rad (1)
891440
rad lo expresamos en grados
sexagesimales
89
1440rad =
89rad
1440
180
rad
! 891440
rad =89
8
En (1)
AB0C 00 89
8
(2)
898
lo expresamos en grados, minutos
y segundos sexagesimales
89
8
= 11; 125
89
8
= 11 + 0; 125
89
8
= 11 + 0; 125
60
0
1
89
8
= 11 + 7; 5
0
89
8
= 11 + 7
0+ 0; 5
0
89
8
= 11 + 7
0+ 0; 5
060
00
10
89
8
= 11 + 7
0+ 30
00
89
8
= 117
030
00 (3)
Reemplazamos (3) en (2)
AB0C 00 117030
00
Por comparacin
A = 11; B = 7; C = 30
Luego:
M =(A+B)
3rad c
22Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades
Trigonometra
-
M =(18)
3rad 30
M =(18)
60 30
M =18
30
)M = 0; 6Alternativa: C
Problema 31
Si: ab0c00= 5 48
023
00+ 6 25
040
00
Calcular:pa + b + c 4
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
Resolucin
Recuerde
ab0c00 = a + b0 + c00
1600
106000
Anlisis y procedimientos
Nos piden:pa+ b+ c 4
Condicin
ab0c00= 548
023
00+ 625
040
00
ab0c00= 5 + 48
0+ 23
00+ 6 + 25
0+ 40
00
ab0c00= 11 + 73
0+ 63
00
ab0c00= 11 + 73
0+ (60
00+ 3
00)
ab0c00= 11 + 73
0+ 1
0+ 3
00
ab0c00= 11 + 74
0+ 3
00
ab0c00= 11 + (60
0+ 14
0) + 3
00
ab0c00= 11 + 1 + 14
0+ 3
00
ab0c00= 12 + 14
0+ 3
00
ab0c00= 1214
0300
Por comparacin
a = 12; b = 14; c = 3
Luegopa+ b+ c 4 = p12 + 14 + 3 4
pa+ b+ c 4 = p25
)pa+ b+ c 4 = 5
Alternativa: E
Problema 32
Simplique: E =ab
0+ ba
0
(a + b)0
A) 60 B) 61 C) 120D) 121 E) 180
Resolucin
Recuerde
ab0c00 = a + b0 + c00
x + y + z = (x+ y + z) 1600
Anlisis y procedimientos
Nos piden:
E =ab
0+ ba
0
(a+ b)0
E =a + b
0+ b + a
0
(a+ b)0
Convirtiendo grados a minutos
E =60a
0+ b
0+ 60b
0+ a
0
(a+ b)0
Agrupando
E =60(a
0+ b
0) + (a
0+ b
0)
(a+ b)0
E =60(a+ b)
0+ (a+ b)
0
(a+ b)0
Simplicando
E = 60 + 1
) E = 61Alternativa: B
23Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
Problema 33
Siendo S , C y R los nmeros conven-cionales para un cierto ngulotrigonomtrico tal que se cumple que:
S
180+C
200+2R
= 4
Halle el valor de: E =C + S
95
A)3
2B)
1
2C) 3
D)5
2E) 4
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Nos piden:
E =C + S
95
Adems como se sabe:
8>>:S =
180R
C =200R
Reemplazando en la igualdad se tiene
(180R
)(200R
)R =
6rad
R3 =
(6)(10)
3! R =
60rad
Alternativa: C
Problema 35
El doble del complemento de un nguloes el triple de su suplemento disminuidoen 120 . Halle la medida de un nguloen radianes.
A)2
3B)
5
3C)
3
4
D)3
2E)
4
3
(UNMSM 2012 II)Resolucin
Anlisis y procedimientos
Dato:2C = 3S 120
2(90 ) = 3(180 ) 120180 2 = 540 3 120
= 240
Su equivalente en radianes ser
24Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades
Trigonometra
-
240rad
180
es decir
4
3rad
Alternativa: E
Problema 36
Los nmeros S = k3 119y C = k3+
1
19son las medidas de un ngulo en los sis-temas sexagesimal y centesimal respec-tivamente. Determine la medida del n-gulo en radianes.
A)
200B)
180C)
190
D)
250E)
3
200
(UNI 2012 I)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Condicin:
S = k3 119
(1)
C = k3+1
19 (2)
Sabemos:
S
180=C
200=R
)
8>>>>>:S
C=
9
10
R =S
180
Se tiene
k3 119
k3 +1
19
=9
10
10k3 1019
= 9k3 +9
19
k = 1
k en (1)
S = k3 119
S = 1 119
S =18
19
Nos piden calcular:
R =S
180
R =
18
19
180
) R = 190
Alternativa: C
Problema 37
Si los nmeros que representan la me-dida de un ngulo en los sistemas sexa-gesimal y centesimal son nmeros con-secutivos, Cul es la medida radial delngulo?
A)
10rad B)
20rad C)
3rad
D)
6rad E)
4rad
(UNSCH 2012 II)Resolucin
Anlisis y procedimientos
Incgnita: R
Condicin:
S = n (1)C = n+ 1 (2)
Sabemos:
S
180=C
200=R
)
8>>>>>:S
C=
9
10
R =S
180
Se tienen
n+ 1=
9
10
10n = 9n+ 9
! n = 9n en (1)
S = 9
S = 9
Nos piden calcular:
25Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
R =S
180
R =9
180
) R = 20rad
Alternativa: B
Problema 38
De la gura mostrada, simplique la ex-
presin: I = 3r10m 9n100
n
m
g
A) 4 B) 2 C) 3D) 5 E) 6
(CEPRE - UNSCH 2012 - III)
Resolucin
Anlisis y procedimientos
Incgnita:
I = 3r10m 9n100
n
m
g
Del grco anterior se obtiene un nuevoesquema
n
m
g
- n g
Luego
m ng = 270
m ng9
10g
= 270
m 9n
10
= 270
! m 9n10
= 270
Multiplicamos por 10
10m 9n = 2700Reemplazando 10m 9n en nuestra in-cgnita; luego
I = 3r2700
100
I = 3p27
) I = 3Alternativa: C
Problema 39
Si: K =90 g + 9
36 30rad
Adems:
k + 1
rad =ab
: Calcule: b a
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
Resolucin
Observacin
Para poder operar las medidas tenemosque pasar todas a un solo sistema. Pasan-do al sistema sexagesimal.
Anlisis y procedimientos
Condicin:
26Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades
Trigonometra
-
K =90g + 9
36 30rad
90g su equivalente en el sistema sexa-gesimal ser
90g9
10g
= 81
30rad su equivalente en el sistema
sexagesimal ser
30rad
180
rad
= 6
En la expresin
K =81 + 9
36 6 = 3
Luego reemplazando K en
k + 1
rad = ab
3 + 1
rad = ab
4rad = ab
45 = ab
Por comparacin
a = 4 y b = 5
Nos piden calcular:
b a = 5 4) b a = 1
Alternativa: A
Problema 40
Se tiene un nuevo sistema de medida an-gular, cuya unidad es equivalente a 18 .A cuntos radianes equivalen 40 gra-dos en el nuevo sistema?
A) B) 4 C)3
5
D)
7E)
8
5
(CEPRE - UNSCH 2013 II)Resolucin
Anlisis y procedimientos
Nuevo sistema de medicin angular (X);donde 1X denota un grado en el nuevosistema X:
Condiciones1X 18
40X Z (rad)
Por regla de tres simple
Z =40X(18)1X
= [40(18)]
Empleando el mtodo de factor de conversin
Z = [40(18)]rad
180
Z = 4rad
Alternativa: BProblema 41
Del grco, calcula S =x
y
x y mO
A
B
A) 25=27 B) 50 C) 50=27D) 27=25 E) 27=50
(UNCP 2012 II)Resolucin
Anlisis y procedimientos
Incgnita: S =x
y
Del grco anterior:
x0 = ym; recuerde: 270 50m
x0 = ym270
50m
x = y
27
50
! xy=27
50
) S = 2750
Alternativa: E
27Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
PROBLEMAS PROPUESTOS
x2a - a
obtener el valor de: K =x
3 a
A) 50 B) 60 C) 40D) 30 E) 20
Problema 02
Dado el siguiente ngulo
x y = mO
A
B
Evalua:
I =3
5y(x+ 2; 6y)
A) 19 B) 20 C) 21D) 22 E) 23
Problema 03
Del grco siguiente:
b
qa
Indicar cul(es) de las proposiciones sonverdaderas (V ) o falsas (F ):
I: Es: = II: + = 180
III: es un ngulo positivo y es un ngulo negativo.
A) V V F B) FFV C) V FVD) V FF E) FFF
Problema 04
Calcular el valor de:
V =10m
90+2700
50s
A)33
15B)
15
34C)
15
33
D)34
15E)
31
15
Problema 05
Calcule a+ b+ c, si:
ab0c00 = 54005000 + 23202400
A) 31 B) 30 C) 35D) 32 E) 34
Problema 06
Sabiendo que:
72rad xy0
Calcule el valor de: A =
rx+ y
x
A) 5 B) 6 C) 2D) 3 E) 4
Problema 07
Si: xy0 + yx0 = (AB)(CD)0;
x+ y = 90
Halle: A+B + C +D
A) 10 B) 18 C) 15D) 13 E) 12
Problema 08
Halle x, si se cumple que:
(9x)g x10
4rad (100x)g
=1
5
A) 1 B)9
26C)
5
26
D)1
5E)
7
26
Problema 09
Siendo R;S y C lo convencional para unmismo ngulo. Halle R, si
28
Problema 01
Del grco mostrado
Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades
Trigonometra
-
SR + C
S+CR + S
C= 361
90
A)
3
2B)
4C)
3
D) E)
2
Problema 10
Se ha creado un nuevo sistema: sistemacrespo en la cual 1C (grado crespo)
equivale a las3
4partes del ngulo de una
vuelta. Simplique
N =3C 7
2rad
18
A) 10 B)1
2C) 9
D) 1 E) 5
Problema 11
Siendo R;S y C lo convencional donde
S = xxx+ 2 ; C = xx
x+ 4
Halle: Rx
A)
10B)
5C)
3
D)
12E)
9
Problema 12
En el grco, m^BOA = 120 y
= (40 7x)g, = x120
rad:
Hallar el valor depx+ 5
a
b
A
O B
A) 5 B) 6 C) 2D) 3 E) 4
Problema 13
Halle la medida en radianes, de aqulngulo tal que la diferencia de su nmero
de segundos sexagesimales y de su nmerode minutos centesimales sea 15700.
A) 40 B) 2 C)
2
D)
40E)
10
Problema 14
En la gura, O es un punto de la rectaL. Cul es el valor de x?
(2x 10)+g
(7 7x)-O
L
A) 20 B) 12 C) 10D) 8 E) 15
Problema 15
Si S y C son los nmeros de gra-dos sexagesimales y centesimales de unmismo ngulo, hallar el valor de:
9
vuutSC
200@SC
1A
A) 0; 83 B) 0; 81 C) 0; 82D) 0; 91 E) 0; 71
Problema 16
Si la diferencia de segundos centesimalesy segundos sexagesimales que mide unngulo es 27040. Calcule la medida (enrad.) de dicho ngulo.
A)
10B)
20C)
30
D)
40E)
50
Problema 17
Si el nmero de grados sexagesimales deun ngulo excede en 34 a 14 veces elnmero de radianes de su medida. Hallela medida de dicho ngulo en grados cen-tesimales (Usar 22=7):
29Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
A) 40g B) 45g C) 50g
D) 3rad E) 60g
Problema 18
Para un cierto ngulo se cumple que lasuma del nmero de grados sexagesimales,el doble del nmero de grados centesi-males y el triple del nmero de radianesde su medida es igual a 1740 + 9.Hallar la medida del ngulo en el sistemaradial.
A) rad B) 3rad C)3
20rad
D) 55g E)3
20rad
Problema 19
Con los datos de la gura, si se cumpleque 5+4 = 21, halle la medida de en radianes.
4a5b
O
A)
4rad B)
5rad C)
10rad
D)
20rad E)
32rad
(CEPRE UNMSM 2010 - II)Problema 20
Sean18x 18
y10x 30
glas medidas de un ngulo en gradossexagesimales y centesimales, respecti-vamente. Halle la medida del ngulo enradianes.
A)1
5rad B)
2
5rad C)
3
5rad
D)4
5rad E)
1
2rad
(CEPRE UNMSM 2010 - II)Problema 21
Sean S; Cg y R rad las medidas de unngulo en grados sexagesimales, cen-tesimales y radianes respectivamente, talque
S10
729+C10
1000+R10
3=125
S7+C7+
R7
8000
Halle dicha medida en radianes.
A)2
3rad B)
3rad C)
2rad
D)3
4rad E)
4rad
(CEPRE UNMSM 2011 - II)Problema 22
Con la informacin mostrada en la gu-ra, determine ( )g en gradossexagesimales sabiendo que + 6 = 0
AO
B
a
bp 60
rad
A) 30 B) 60 C) 55D) 45 E) 50
(CEPRE UNMSM 2011 - II)Problema 23
En el tringulo ABC de la gura,AB = AC,
!MB y
!CT son bisectrices
si el ngulo agudo ACB mide 72, encuntos radianes excede el ngulo ! a ?
q
w
B C
A
T M
A)
4rad B)
2
9rad C)
2
5rad
D)
5rad E)
3rad
(CEPRE UNMSM 2011 - II)
30Solucionario de preguntas cepre - unsch, unsch y otras universidades
Trigonometra
-
31Ivn Rondinel Mora Sistemas de Medidas Angulares
-
Alternativas CAPITULO I
1 A
2 C
3 B
4 D
5 C
6 E
7 D
8 B
9 D
10 A
11 B
12 A
13 D
14 C
15 B
16 E
17 C
18 C
19 D
20 B
21 E
22 D
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