2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-2
Capítulo 5: Los números reales y sus
representaciones
5.1 Números reales, orden y valor absoluto
5.2 Operaciones, propiedades y aplicaciones de los números reales
5.3 Números racionales y representación decimal
5.4 Números irracionales y representación decimal
5.5 Aplicaciones de decimales y porcentajes
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-3
Sección 5.3
Números racionales y
representación decimal
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-4
• Definición y propiedad fundamental
• Operaciones con números racionales
• Densidad y media aritmética
• Forma decimal de los números racionales
Números racionales y representación
decimal
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-5
Números racionales =
{x | x es un cociente de dos enteros con
denominador diferente de 0}
Definición: Números racionales
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-6
Se dice que un número racional está en sus
términos simplificados si el máximo común
divisor del numerador (número colocado arriba) y
del denominador (número colocado abajo) es 1. Los
números racionales se escriben en los términos
simplificados usando la propiedad fundamental de
los números racionales.
(Véase la siguiente diapositiva).
Términos simplificados
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-7
Si a, b y k son enteros con b ≠ 0 y k ≠ 0, entonces
.a k a
b k b
Propiedad fundamental de los
números racionales
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-8
24
27Escriba en términos simplificados.
Solución
24 8 3 8.
27 9 3 9
Ejemplo: Escritura de una fracción en
términos simplificados
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-9
Para los números racionales
a y d se conocen como “extremos”.
b y c se conocen como “medios”.
Prueba de los productos cruzados para
verificar la igualdad de números racionales
and , 0, 0,a c
b db d
y
if and only if .a c
a d b cb d si y solo si
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-10
a c ad bc
b d bd
.a c ad bc
b d bd
y
Suma y resta de números racionales
Si y son números racionales, entonces b
a
d
c
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-11
En la práctica, en los problemas que implican
suma y resta de números racionales, primero se
rescriben las fracciones con el mínimo común
múltiplo de sus denominadores, conocido como
mínimo común denominador (MCD).
Suma y resta de números racionales
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-12
4 2
9 15
Efectúe cada una de las operaciones.
a) b) 4 2
9 15
Solución
a)
b)
4 2 20 6 26
9 15 45 45 45
4 2 20 6 14
9 15 45 45 45
Ejemplo: Suma y resta de fracciones
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-13
.a c a c
b d b d
Multiplicación de números racionales
Si y son números racionales, entonces b
a
d
c
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-14
5 3.
9 10Encuentre el producto de
Solución
5 3 15 1 15 1
9 10 90 6 15 6
Ejemplo: Multiplicación de números
racionales
2012 Pearson Education, Inc. S Diapositiva 5-3-15
Si a y b son números reales, y b ≠ 0, entonces
1.
aa
b b
Definición de división
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-16
.a c a d ad
b d b c bc
División de números racionales
Si y son números racionales, donde ,
entonces
b
a
d
c
0
d
c
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-17
2 5.
9 6Calcule el cociente de
Solución
2 5 2 6 12 4 3 4
9 6 9 5 45 15 3 15
Ejemplo: División de números racionales
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-18
Si r y t son números racionales distintos, con r < t,
entonces existe un número racional s tal que
r < s < t.
Esto nos lleva a la conclusión de que existe una
cantidad infinita de números racionales entre dos
números racionales diferentes.
Propiedad de densidad de los
números racionales
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-19
Para obtener la media aritmética, o
promedio, de n números, se suman los
números y luego se divide la suma entre n. En
el caso de dos números, aquel número que se
encuentra a la mitad de ellos es el promedio.
Media aritmética
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-20
Solución
3 2 9 10 19
5 3 15 15 15
19 19 1 192
15 15 2 30
Sume las fracciones.
Divida la suma entre 2
para obtener la respuesta.
Ejemplo: Obtención de la media
aritmética (promedio)
Obtenga el promedio de .3
2y
5
3
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-21
Cualquier número racional se puede expresar
como un decimal exacto o un decimal
periódico.
Forma decimal de los números
racionales
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-22
Un número racional en sus términos simplificados
tiene como resultado un decimal exacto si el
único factor primo del denominador es 2 o 5 (o
ambos).
Un número racional en sus términos simplificados
tiene como resultado un decimal periódico si
tiene un primo diferente a 2 o 5 en la factorización
con números primos del denominador.
Criterios para decimales exactos o
periódicos
2012 Pearson Education, Inc. Diapositiva 5-3-23
Sin dividir, determine si la forma decimal de los
siguientes números racionales es exacta o periódica.
a) b) 7
15
15
16
Solución
a) Periódica; hay un múltiplo de 3 en el
denominador.
b) Exacta; el denominador es 24.
Ejemplo: Determinar si un decimal es
exacto o periódico