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8/18/2019 MA25 Logaritmos, Función Logarítmica
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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 21
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
LOGARITMOS – FUNCIÓN LOGARÍTMICA
DEFINICIÓN
El logaritmo de un número real positivo b en base a, positiva y distinta de 1, es el númerom a que se debe elevar la base para obtener dicho número.
OBSERVACIONES: La expresión loga b = m se lee “el logaritmo de b en base a es m”. El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación. log10 a = log a
CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN DE LOGARITMO
EJEMPLOS
1.3
log 243 = 5 expresado en forma exponencial es
A) 53 = 243
B) 155 = 243
C) 15243 = 3
D) 35 = 243
E) 243-5 = 13
C u r s o: Matemática
Material N° 25
loga b = m ⇔⇔⇔⇔ am = b , b >>>> 0 , 1 ≠≠≠≠ a >>>> 0
loga 1 = 0 loga a = 1 loga am = m
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2. Exprese en forma logarítmica la siguiente igualdad 43 = 64.
A)
4log 64 = 3
B) 64log 3 = 4
C) 3
log 64 = 4
D) 14
log 64 = 3
E) 1
3
log 4 = 64
3. 5 log (2 · 2-1) =
A) 1B)
2C) 0D) 5E) 10
4.a
log 3 2
2
a + 2a + a
(a + 1) =
A) 1B) a2 C) aD) a + 1E) a2 + a
5.2
log14
=
A)
2
B) 12
C) 4
2
D) - 12
E) -2
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PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Sean b > 0, c > 0, 1 ≠ a > 0
LOGARITMO DE UN PRODUCTO
LOGARITMO DE UN CUOCIENTE
EJEMPLOS
1.4 4
log 8 + log 5 =
A) 4
log 10
B) 4 ·4
log 10
C) 4 4
log 8 · log 5
D) 4
log 40
E)
4log 13
2. Si −3 3log a log b = 2, el cuociente ab es igual a
A) 6B) 8C)
9D) 27E) 81
3. La expresión log 5 – log 2 + log 6 escrita como el logaritmo de un número es
A) log 9B)
log 15
C) log58
D) log 54
E) log 512
loga (b · c) = loga b + loga c
loga bc
= loga b – loga c
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4. El desarrollo logarítmico de5x4y
es
A) log 5 + log x – log 4 + log yB)
log 5 – log 4 + log x – log y
C) log 5 + log 4 – log x – log yD) log(5 + x) – log(4 + y)E) log 9 + log x – log y
5.2 2
log 32 log 64− =
A) -32B) 32C)
-1
D) 2log (-32) E)
2log 32
6.3 3 3
log 81 log 243 + log 9− =
A) -1B) 2C) 3
D) 3
log 1
E) 3
log 3
7. logx yx + y
− =
A) log (-2y)B) -2 log y
C) log (x y)log (x + y)
−
D) log (x – y) – log (x + y)
E) 1x + y
log (x – y)
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LOGARITMO DE UNA POTENCIA
LOGARITMO DE UNA RAÍZ
CAMBIO DE BASE
EJEMPLOS
1.3
1log
27 =
A) 9
B) 3C)
13
D) -13
E) -3
2.3
3log 3 =
A) 13
B) 1C)
3D) 9
E) 19
loga bn = n loga b
loga n
b = 1n
loga b, con n >>>> 0
c
ac
log b
log b = log a
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3. -3
1 log 64
2 =
A) -3
log 8
B) -3
log 32
C) - 23
log 64
D) 12
3log 64
E) 23
log 64
4. log [(a + b) a + b ]=
A)
3log (a + b)2
B)
log 3 a2
+ 2 log b
C) 32
log a +32
log b
D) 3 log (a + b)2
E)
12
log (a + b)2
5. El valor de la expresión64 3
log 4 + log 81 es
A) 11
B) 133
C) log2716
D) log 8567
E) 3
81log
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FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Una función f definida por sedenomina
función logarítmica.
GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
i) f(x) = log2 x
ii) f(x) = 12
log x
En los gráficos se puede observar que:
La gráfica intersecta al eje x en el punto (1, 0).
Si a > 1, entonces f(x) = loga x es creciente.
Si 0 >> 0
x18
14
12
1 2 4 8
f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
x18
14
12
1 2 4 8
f(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3
-2
2
1 2 3 4
y
x
3
f(x) = 12
log x
-1
-2
-3
2
1 2 3 4
y
x
f(x) = log2 x
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2. El punto (2, 1) pertenece a la función
A) f(x) = log xB)
f(x) = log x – 2C) f(x) = log (x – 1)D) f(x) = log (5x)E) f(x) = log (x + 1)
3. Si g(x) =x
log (14 + x) , entonces g(2) es 2 elevado a
A) 1B)
2C) 4
D) 8E) 16
4. Respecto a la función f(x) = 12
log (x + 1), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es
(son) falsa(s)?
I) Si f(x) = -2, entonces x = 3.II) Si x = 15, entonces f(x) = -4
III) Si f(x) = 2, entonces x = 1
A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III
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EJERCICIOS
1. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a log 12?
I) 2 log 2 + log 3II) 4 log 3
III) log 48 + log 3
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE)
Sólo II y III
2. El valor de(-5)
log 25 es
A)
-5B) -2C) 2D) 5E) no está definido en los reales.
3. Si2
log (3x 5)− = 0, el valor de x es
A) -1B)
0C) 1D) 2E) 6
4. Si3
log (b + 1) = 2, entonces b es igual a
A) 2B) 5C)
8D) 9E) 10
5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a log 48?
A) log 40 + log 8B) log 6 · log 8C) 3 log 16D) 2 log 20 + log 8E) log 6 + log 8
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6. Sic
1log = 3
27, entonces el valor de c es
A) -3
B) - 1
3
C) 9D) 3
E) 13
7. En la expresión8
log 2 = x , el valor de x es
A) -3
B)
-
1
3 C) 1
3
D)
23
E) 3
8. Si m – 5 = 46 6
(log 3 + log 2) , entonces m es
A) 6log 5
B) 1C) 2D)
4E) 9
9. log ( 7 )5 =
A) 5
log 72
B) 7
5 log2
C) log10
7 D) log 35
E) 7 log 5
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11
10. 3
2 5
log 81 =
1log + log 125
64
A) - 4
3
B) - 49
C) 911
D) 49
E) 43
11. 15
log (25 · 5 5 ) =
A) - 35
B) -115
C) - 25
D) 25
E) 115
12.t t t
log K log S log U− − =
A) t t
Slog K log
U−
B) t t
log (K S) log U− −
C) KUlog S
D) t
Klog U
S −
E) t
Klog
SU
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13. Dadas las siguientes expresiones:
I) a a a
log 1 · log b = log b
II) 1a
log (a) < 0
III) a a alog b · log a = log (b · a)
Determine ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III
14. Si4a
log 64 = 2 , entonces 2a es
A) -4B) -2C) ±4D) 2E) 4
15. ¿Cuál de las siguientes figuras representa al gráfico de la función g(x) =2
log x + 1?
A) B) C)
D) E)
1-1
12
x
y
3
1
1
x
y
21 3 4
2
3
1
x
y
21 3 4
2
3
x
y
2112
1
2
2
x
y
2
1
12
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16. Dada la función f(x) =5
log (x 3)− , su representación gráfica es
A) B) C)
D) E)
17. El gráfico de la figura 1 representa la función
A) y = 110
log x
B) y =110
log (x 1)−
C) y =110
log x 1−
D) y =110
log (x 2)−
E) y =110
log x 2−
18. Si g(x) =(x 3)
log−
(75 + x), entonces g(6) =
A) 3B) 4C) 27D) 81E)
3 3log 75 + log 6
19. Respecto a la función f(x) =3
log (4x – 7), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es (son) verdadera(s)?
I) f(4) = 2II) Intersecta al eje x en (1,0).III) f es decreciente.
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III
y
x3
y
x
3
y
x2
y
x-3
y
x1
-1
fig. 1
y
x43
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20. Dada la proporción “a es a b” como “2 es a 4” con a positivo, entonces
2 2log a + log (b-1) =
A) -1B) 0
C) 12
D) 1E) 2
21. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
I) log a · log b = log (a + b)
II) log (a – b) =log alog b
III)
log a2
= log a + log a
A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Ninguna de ellas
22. Si log 300 = 2,47, entonces log 30 es
A) 0,147B) 0,247C) 1,47D) 3,47E) 24,7
23. Si 2 log b = 3, entonces log 3 b =
A) 33
2
B) 12
C) 29
D) 92
E) 274
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24. Si3
alog 2 =
b, entonces
3log 54 es
A) a + 3bb
B) a + 9b
b
C) a + 3b
D) 9ab
E) 3ab
25. Si log x – z = log y – log x, entonces y =
A)
10
-z
B) 10zx2
C) 2
z
x
10
D) z
2x
10
E) z
2
10
x
26. Se puede determinar el valor numérico de la expresión real a · log (b · c) · log c si:
(1) b = c-1
(2) c = 10
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
27. Se puede determinar el valor numérico de la expresión real log a + log b si se sabe que:
(1) a · b = 1000
(2) a + b = 110
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
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28. El gráfico de la función real f(x) =a
log x es decreciente si :
(1) a > 0(2) a < 1
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
29. Se puede determinar el valor delog clog b
si :
(1) log c – log b = 1(2) c = b2
A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
30. Se puede determinar el valor de log 30 si se conoce:
(1) El valor de log 3.(2) El valor de log 5.
A) (1) por sí solaB) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional
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