MA311 - Calculo III
Primeiro semestre de 2020
Turma B – Curso 51
Ricardo M. Martins
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 22: Series de potencias
Polinomios de Taylor
Vimos no primeiro curso de calculo que se f e uma funcao com
derivadas de ordem n no ponto x = 0, seu polinomio de Taylor de
grau n e dado por
Tn(f , 0) = p(x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)
2!x2 + . . .+
f (n)(0)
n!xn.
O grafico do polinomio de Taylor de grau 1 e a reta tangente ao
grafico de f no ponto (0, f (0)). O polinomio de Taylor de grau n e
a melhor maneira que temos para aproximar f por um polinomio
de grau n.
Em particular, para funcoes bem comportadas, podemos aproximar
os valores de f (x) pelos de p(x) para valores de x proximos de
zero.
Polinomios de Taylor
Como voce deve imaginar, nao ha nada especial no zero, e se
queremos o polinomio de Taylor de grau n perto de x = a, ele e
dado por
Tn(f , a) = f (a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)
2!(x−a)2+. . .+
f (n)(a)
n!(x−a)n.
Exemplo
O polinomio de Taylor de grau 10 de ex em x = 0 e
p(x) = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ . . .+
x10
10!.
Temos que e ≈ p(1) = 2, 718281801146385. Voce acabou de
(re)aprender como sua calculadora faz contas.
Polinomios de Taylor
O polinomio de Taylor de grau n aproxima a funcao, mas nao e
igual a funcao, exceto no caso da funcao ser um polinomio de grau
n.
Se x esta proximo de a mas e diferente de a, a diferenca
|f (x)− p(x)| e positiva e sera denotada por En(f , x) ou somente
En(x).
Podemos quantificar este erro de varias formas, e vamos relembrar
uma delas.
Formula de Taylor (com erro integral)
TeoremaSeja f uma funcao com as n + 1 primeiras derivadas contınuas
num intervalo contendo o ponto x = a. Entao, para todo x neste
intervalo temos
f (x) = Tn(f , a) + En(x),
onde
Tn(f , a) =n∑
k=0
f (k)(a)
k!(x − a)k
e o polinomio de Taylor de grau n e o erro e dado por
En(x) =1
n!
∫ x
a(x − t)nf (n+1)(t) dt.
Series de potencias
O polinomio de Taylor e, como todo polinomio, uma soma finita de
termos. O que iremos fazer agora e representar funcoes por somas
infinitas,
f (x) =∞∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn + . . . .
Mais que isto, iremos definir funcoes por meio de uma serie como
esta.
Na igualdade acima, se truncarmos a serie da direita para obter um
polinomio de grau n, nao teremos mais igualdade, mas o que
sobrara na direita sera exatamente o polinomio de Taylor de f de
grau n.
Series de potencias
Diremos que uma serie de potencias∑∞
n=0 an(x − x0)n e
convergente num ponto x = b se
limm→∞
m∑n=0
an(b − x0)n
existir, ou seja, se a serie infinita
∞∑n=0
an(b − x0)n
for convergente.
Series de potencias
Diremos que∑∞
n=0 an(x − x0)n e absolutamente convergente em
x = b se a serie∞∑n=0
|an||b − x0|n
converge. Como esperado, convergencia absoluta ⇒ convergencia,
mas a recıproca e falsa.
Nao e esperado que uma serie seja convergente para todo valor de
x . Se a serie∞∑n=0
an(x − x0)n
converge para todo x no intervalo (x0 − R, x0 + R) e diverge para
|x − x0| > R, diremos que o raio de convergencia e R. Os testes de
convergencia em geral revelam o raio de convergencia.
Series de potencias
Exercıcio
Mostre que se∑∞
n=0 an(x − x0)n converge para x = x1, entao ela
converge para todo x com |x − x0| < |x1 − x0|.
x0 x1se a série de potênciasconverge quando substituímosx por este valor
x0 x1então ela também convergequando substituímospor qualquer um destesvalores (raio de convergênciaé pelo menos r)
r
r
∞∑n=0
an(x − x0)n
Series de potencias
Exercıcio
Mostre que se∑∞
n=0 an(x − x0)n diverge em x = x1, entao ela
diverge para todo x com |x − x0| > |x1 − x0|.
x0 x1se a série de potênciasdiverge quando substituímosx por este valor
x0 x1então ela também divergequando substituímospor qualquer um destesvalores
r
r
∞∑n=0
an(x − x0)n
Series de potencias
Exemplo
Estude a convergencia da serie
∞∑n=1
(−1)n+1n(x − 1)n.
O termo geral desta serie e an = (−1)n+1n(x − 1)n. Usando o
teste da razao temos∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣(−1)n+2(n + 1)(x − 1)n+1
(−1)n+1n(x − 1)n
∣∣∣∣ =(n + 1)|x − 1|
n→ |x − 1|.
Portanto, se |x − 1| < 1, a serie e convergente, ou seja, se
0 < x < 2 a serie converge e se x < 0 ou x > 2 ela diverge. O que
acontece se x = 0 ou x = 2?
Series de potencias
Exemplo
Estude a convergencia da serie
∞∑n=1
(−1)n+1n(x − 1)n.
O termo geral desta serie e an = (−1)n+1n(x − 1)n. Usando o
teste da razao temos∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣(−1)n+2(n + 1)(x − 1)n+1
(−1)n+1n(x − 1)n
∣∣∣∣ =(n + 1)|x − 1|
n→ |x − 1|.
Portanto, se |x − 1| < 1, a serie e convergente, ou seja, se
0 < x < 2 a serie converge e se x < 0 ou x > 2 ela diverge. O que
acontece se x = 0 ou x = 2?
Series de potencias
Vamos testar:
Se x = 0 teremos
∞∑n=1
(−1)n+1n(−1)n =∞∑n=1
n→ diverge
Se x = 2 teremos
∞∑n=1
(−1)n+1n =∞∑n=1
(−1)n+1n→ diverge
Portanto a serie converge se, e so se, 0 < x < 2, sendo divergente
nos demais pontos.
Series de potencias
Explorando um pouco mais o exemplo anterior, seja
f (x) =∞∑n=1
(−1)n+1n(x − 1)n,
com x ∈ (0, 2). Denotando
fm(x) =m∑
n=1
(−1)n+1n(x − 1)n,
temos o seguinte:
Series de potencias
Grafico de f1(x):
0.5 1.0 1.5 2.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Series de potencias
Grafico de f2(x):
0.5 1.0 1.5 2.0
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
Series de potencias
Grafico de f3(x):
0.5 1.0 1.5 2.0
-6
-4
-2
2
Series de potencias
Grafico de f4(x):
0.5 1.0 1.5 2.0
-10
-8
-6
-4
-2
Series de potencias
Grafico de f10(x):
0.5 1.0 1.5 2.0
-12
-10
-8
-6
-4
-2
Series de potencias
Grafico de f11(x):
0.5 1.0 1.5 2.0
-10
-5
5
Series de potencias
Grafico de f100(x):
0.5 1.0 1.5 2.0
-15
-10
-5
Series de potencias
Grafico de f101(x):
0.5 1.0 1.5 2.0
-15
-10
-5
5
Series de potencias
0.5 1.0 1.5 2.0
-15
-10
-5
0.5 1.0 1.5 2.0
-15
-10
-5
5
Ignorando os pontos proximos de 0 e proximos de 2 (erros de
plotagem), esta e uma boa aproximacao para o grafico de
f (x) =∞∑n=1
(−1)n+1n(x − 1)n.
Series de potencias
Usaremos sem demonstracao as propriedades abaixo. Sejam
f (x) =∞∑n=0
an(x − x0)n e g(x) =∞∑n=0
bn(x − x0)n
e suponha que ambas convergem no intervalo |x − x0| < ρ, com
ρ > 0 (ou seja, o raio de convergencia e ρ).
# f (x)± g(x) =∞∑n=0
(an ± bn)(x − x0)n para |x − x0| < ρ.
# f (x) · g(x) converge (Qual e o termo geral desta serie?
Exercıcio!)
# f (x)/g(x) converge, desde que g(x0) 6= 0. Qual o raio de
convergencia? Exercıcio!
Series de potencias
# A funcao f e contınua e tem derivadas de todas as ordens.
Alem disto, a derivada pode ser calculada derivando os termos
da serie, por exemplo
f ′(x) = a1 + 2a2(x − x0) + 3a3(x − x0)2 + . . .+
# Temos que para todo n ∈ N,
an =f (n)(x0)
n!;
a serie∑∞
n=0 an(x − x0)n e chamada de serie de Taylor de f
em x = x0.
Series de potencias
Se f tem expansao em serie
f (x) =∞∑n=0
f (n)(x0)
n!(x − x0)n
em torno de x = x0 com raio de convergencia ρ > 0 e dita ser
analıtica. Quando ρ =∞, a funcao e dita ser inteira.
Para verificar se uma funcao e analıtica, deve-se estudar quando a
serie∞∑n=0
f (n)(x0)
n!(x − x0)n
converge.
Series de potencias
Exemplo
Seja f (x) = ex . Como f (n)(x) = ex para todo n ∈ N, temos que
f (n)(0) = 1, para todo n ∈ N. A serie de Taylor de f e
∞∑n=0
1
n!xn,
que tem raio de convergencia infinito (verifique!), logo
ex =∞∑n=0
1
n!xn.
Series de potencias
ExercıcioCalcule as series de Taylor das funcoes abaixo, e determine os raios
de convergencia.
# p(x) =1
1 + x, ponto x = 0.
# q(x) = sen(x), ponto x = 0.
# f (x) = cos(x), ponto x = 0.
# g(x) = ln(x), ponto x = 1.
# h(x) =
e−1/x , x > 0
0 x ≤ 0, ponto x = 0.