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1
MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL
Con el apoyo académico de la Universidad Católica de Lovaina y la Universidad de Gante
(Bélgica)
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PROGRAMA DE AUTOMATIZACION INDUSTRIAL
Universidad de Ibagué – Marzo 19 de 2009
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SEÑALES Y SISTEMAS
Ing. M.Sc. PhD José Aldemar Muñoz HernándezCorreo electrónico: [email protected]. M.Sc (c) Ricardo Enrique Troncoso HernándezCorreo electrónico: [email protected]
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3. SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO
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Secuencias
x(0)x(T) x(2T)
x(3T)
0 T 2T 3T
t=nTPresiónsanguínea
Tiempo t
Muestreadorideal
x(t) x(nT) x(t) x(nT)
switch
T
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
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SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETOLas mismas conclusiones acerca de los sistemas pueden obtenerse en caso de que el sistema sea digital. Aquí las señales vienen dadas por secuencias y la ecuación del sistema por ecuaciones en diferencia.
Sistema tiempo contínuo Sistema tiempo discreto
Ecuación diferencial Ecuación en diferencia
Y[n]+A1y[n-1]+A2 y[n-2]+…+AN y[n-N] =B0x[n]+B1x[n-1]+…+BMx[n-M]
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7
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Señales en tiempo discreto
• Las señales se representan como secuencias de números (muestras)• El valor de la muestra de alguna señal típica o secuencia se denota con
x[n],
Representación gráfica de una señal en tiempo discreto
∞≤≤∞− n
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8
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• T: Intervalo de muestreo o periodo de muestreo
• Fs : Frecuencia de muestreo (T=1/Fs)
• Si T esta en segundos, Fs estará en ciclos por segundo(Hz)
• Sin importar si x[n] se obtiene por muestreo, la cantidad x[n] se llama la n-ésimamuestra de la secuencia
• x[n] es una secuencia real, si la n-ésima muestra x[n] es real ∀n, de lo contrariox[n] es una seecuencia compleja.
• Una secuencia compleja se puede escribir como :
][][][ nxfnxnx imre +=
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9
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• Secuencia conjugada compleja de x[n]
• Tipos de señales discretas :
Señales de datos muestreados (sampled-data signals)
Los valores de las muestras estan en contínuo
Señales digitales (digital signals)
Los valores de las muestras estan en discreto
][][][ ImRe
* nxfnxnx −=
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SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• Señal en tiempo discreto de longitud finita :
• Una secuencia de longitud N esta dada por una secuencia de N puntos.
• La longitud o duración de la secuencia de longitud finita esta dada por :
• Una secuencia de lado derecho (right-sided) x[n] tiene muestras con valor ceropara n<N1
• Si N1∆0, la secuencia es causal Secuencia de lado izquierdo(left-sided)
21 NnN ≤≤
112 +−= NNN
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SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Operaciones básicas
1. Producto (modulación)
2. Aadición
3. Multiplicación
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SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
4. Desplazamiento en el tiempo
N>0Retardo unitario
N<0Operación avance
5. Operación folding
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SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
6. Operación de ramificación (Branching)
Ejemplo :
]3[]2[]1[][][ 4321 −+−+−+= nxanxanxanxany
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SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Alteración de la rata de muestreo : se emplea para generar una nuevaSecuencia y[n] con una rata de muestreo F´T más alta o más baja que laRata de muestreo FT de una secuencia dada x[n].
Razón de alteración de la rata de muestreo
• Si R>1, el proceso se llama interpolación• Si R<1, el proceso se llama decimación
T
T
FFR
´
=
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15
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• Muetsreo por encima por un factor entero L>1, L-1 muestras con valor cero equidistantes se insertan por el muestreador entre cada dos muestras consecutivas de la secuencia de entrada x[n].
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SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• En muestreo hacia abajo por un factor entero M>1, cada M-ésimas muestrasde la entrada se mantienen y M-1 muestras entre ellas son removidas :
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SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• Una secuencia arbitraria se puede representar en el dominio del tiempocomo una suma pesada de alguna secuencia básica y su versión reatardada (avanzada)
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TRANSFORMADA Z
E z Z e k e z r z Rkk
k
( ) [ ] ,= = < <−
= −∞
∞
∑ 0 0
Se define la transformada z, E(z) de una secuencia e[k] :
La cantidad compleja z generaliza el concepto de frecuencia al dominiocomplejo
Para una secuencia x[n]=6 4 2 2 -2 la transformada z esta dada por :
Como X(z) es una serie de potencias, no converge para todo z. Los valores de convergencia definen la región de convergencia(ROC).
Toda X(z) tiene asociada una ROC, pues puede ocurrir que dos secuenciasdistintas tengan una X(z) idéntica, pero diferentes ROC.
sftjerz π2=
21012 22246)( −− −+++= zzzzzzXn=0
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TRANSFORMADA Z
Para una secuencia x[n] de longitud finita, X(z) converge para todo z,excepto para z=0 y/o z=∞
Transformada z de algunas secuencias
• Impulso unitario
• Pulso rectangular
• Escalón unitario
∞≤≤∞−== zROCzXnnx ,;1)(];[][ δ
0,1;11)(];[][][
1
01 ≠≠
−−
==−−= ∑−
=−
−− zROCz
zzzzXNnununx
N
k
Nk
1:;1
1)(];[][0
1 >−
=== ∑∞
=−
− zROCz
zzXnunxk
k
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20
TRANSFORMADA Z
Transformada z idéntica para dos secuencias, pero ROC diferente.
• Exponencial
azROCaz
zza
zazXnuanx
k
k
k
k
kk
>−
==
==
∑
∑∞
=
−∞
=
;)(
)(
)(];[][
0
0
• Exponencial
azROCaz
z
az
az
azzazazX
nuanxm
m m
mmk
k
k
n
<−
=−
−=
−=−=−=
−−−=
∑ ∑∑∞
=
∞
=
−−−
−∞=
:;)()](1[
)(
)()(
],1[][
1 1
1
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TRANSFORMADA ZTransformada z unilateral : Suponga que se representa la secuencia discreta
u(kT), k=0,1,… como una función contínua usandola función “delta”.
u kT u t u t T u t kTk[ ] ( ) ( ) ( )= + − + + − +0 1δ δ δ
La transformada de Laplace de la secuencia discreta es :
L u kT u u e u eTsk
kTs [ ] = + + + +− −0 1
Se elimina ahora la función exponencial trascendental definiendo una nuevavariable z=esT, para obtener :
Z u kT L u kT U z u zs
Tz k
k
k
[ ] [ ] ( )ln
= = ==
−
=
∞
∑1
0
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22
TRANSFORMADA Z
• Transformada z de a k
Sea,
•Si a=1 se obtiene la función paso unitario
•Si a=e+-bT se obtiene la función exponencial
zz − 1
zz e bT− ±
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23
TRANSFORMADA Z
• Transformada z de
( )( )( ) ( )
( ) ( )
Z u Z ka aZ ka aZdda
a
adda
Z a adda
az
a az z
az
az
az
z a
kk k k
k
= = =
= = −
= − − −
=−
=−
−
−−
−−
−
−
−
1
11
12
1
1
12 2
1
1 1
1
Use los comandos de Matlab ztrans, iztrans
• Si a=1,
( )Tz
z − 12ZkT=TZk= Función rampa unitaria
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24
TRANSFORMADA Z
• Transformada z de a=rejωT
• Si a=e+-bT
( )Z kTe
Tze
z e
bkTbT
bT ±
±
±=
−2
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TRANSFORMADA Z
• Propiedades de la transformada z
Superposición
Desplazamiento
Escalado
)()(][][ zbYzaXnbynax +↔+
]1[...]1[]0[)(][][...]1[)(][
]1[)(]1[
1
)1(
1
−−−−−↔+−++−+↔−
−+↔−
−
−−−
−
NzxxzxzzXzNnxNxxzzXzNnx
xzXznx
NNN
NN
)/(][ azXnxan ↔
xndz
zdXznnx )(][ −↔
xn2
))((][2
dzzdXz
dzdznxn −−↔
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26
TRANSFORMADA Z
• xcos )]exp()exp([21][)cos( 000 TjzXTjzXnxTn ωωω −+↔
• xsen )]exp()exp([21][)sin( 000 TjzXTjzXjnxTn ωωω −−↔
Definición y propiedades
• Convolución
• Diferencia
• Teorema del valor inicial
• Teorema del valor final
)()(][*][ zYzXnynx ↔
)()1(]1[][ 1 zXzNxnx −−↔−−
)(lim]0[ zXxx ∞→
=
)()1(lim)(lim1
zXzNxzx
−=→∞→
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27
Secuencia Transformada z ROC
][nuan
)( azz−
az >
]1[ −−− nuan
)( azz− az <
][nunan2)( az
az−
az >
][][cos 0 nuTnω 1)(cos2)](cos[
0
2
0
+−−
zTnzTnzz
ωω 1>z
][][ 0 nuTsennω 1)(cos2)(
0
2
0
+− zTnzTnzsen
ωω
1>z
][][cos 0 nuTnr n ω 2
0
2
0
)(cos2)](cos[
rzTnrzTnrzz+−
−ωω rz >
TRANSFORMADA Z
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TRANSFORMADA Z
• Desplazamiento hacia delante ó avance de una etapa
Z u u z u z z
z u z z u z
z u z zu zu
zU z zu
k kk
kk
k
k
kk
km
m
m
mm
m
( )
( )
( )
+ +−
=
∞
+− +
=
∞
+− +
=
∞−
=
∞
−
=
∞
= =
= =
= + −
= −
∑ ∑
∑ ∑
∑
1 10
11 1
0
11
0 1
10 0
0
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29
TRANSFORMADA Z• Desplazamiento hacia delante ó avance de dos etapas
Z u zZ u zu
z zU z zu zu
z U z zu z u
k k
( )
( )
+ += −
= − −
= − −
2 1 1
0 1
21
20
En general:
Z u z U z z u zk nn n
mm
m
n
( )+−
=
−
= − ∑0
1
Transformada z bilateral:se define como
∑=∞
−∞=
−
n
nznxzX ][)(z es una variable compleja, y la transformada z biLateral de una señal discreta es una función analíti-ca en cierto dominio, que se denomina región deConvergencia.
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30
TRANSFORMADA Z• Propiedades de la transformada z
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TRANSFORMADA Z
• Se puede obtener la transfromada de Fourier a partir de la transformada z haciendo la substitución z=ejω. Esto corresponde a restringir |z|=1. Con z=rejω,
njn
n
nj
n
j ernxrenxreX ωωω −−∞
−∞=
−∞
−∞=∑=∑= )][()(][)(
• Esto es, la transformada z es la transformada de Fourier de la secuenciax[n]r-n. Para r=1 esta es la transformada de Fourier de x[n]. De esta manera, latransformada de Fourier corresponde a la transformada z evaluada sobre el cir-culo unitario.
La transformada de Fourier es periódica en fre-cuencia.
La transformada de Fourier no converge paratodas las frecuencias(la suma infinita no siempreserá finita).
La transformada de Fourier de x[n] existe si la su-ma converge.
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TRANSFORMADA Z• La transformada z de x[n] es la transformada de Fourier de la secuenciax[n]r-n. La transformada z existe (ó converge) si,
∞<∑=∞
−∞=
−
n
nrnxzX ][)(
• Esto conduce a la condición
∞<∑−∞
−∞=
n
nznx ][
Para la existencia de la transformada z. La ROC consiste de un anillo en elPlano z :
• En casos específicos el radio interno de esteanillo puede incluir el origen, y el radio exter-no se puede extender al infinito.
• Si la ROC incluye el circulo unitario |z|=1, en-tonces la transformada de Fourier convergerá.
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33
TRANSFORMADA Z• Región del plano complejo z para la cual converge la transformada z. Cuatrocasos(z=0 puede o no puede ser incluido, es un caso especial!)
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34
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• Solución del ejemplo anterior por transformada z inversa.
• Ahora el problema consiste en tomar la transformada z inversa dela razón de dos polinomios en z.
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35
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• METODOS COMUNES PARA OBTENER LA TRANSFORMADA INVERSA
División sintética : divide los polinomios para obtener una serie de potencia en z-1.
Expansión en fracciones parciales : descompone U(z) en una combina-ción lineal de transformadas z fácil-mente invertibles.
El comando “residue” de MATLAB calcula la expansión en fraccionesparciales.
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36
TRANSFORMADA “Z” INVERSA• Método de división sintética : representa a U(z) como una serie de potencias
en z-1.
U z u u z u z( ) = + + +− −0 1
12
2
u u k u k u kk = + − + − +0 1 21 2δ δ δ[ ] [ ] [ ]
• Este método es útil para un número limitado de valores en unasecuencia ó como un método de chequeo rápido sobre otros métodos.
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37
TRANSFORMADA “Z” INVERSA• Método de expansión en fracciones parciales :
Donde,
i incluye todas las raíces distintas de a(z) r incluye todas las raíces repetidas de a(z) la raíz zr tiene multiplicidad mr>1.
Los coeficientes (residuos) A,B Y C se pueden calcular a mano para sistemasde orden bajo, o expandiendo U(z)/z en una expansión en fracciones parcialesUsando “residue” y multiplicando por z en sitemas de orden alto.
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38
TRANSFORMADA “Z” INVERSA• Cálculo de los residuos por el método de Heaviside :
( )
( )( )
Az z U z
z
Bm j
d
dz
z z
zU z
ii
z z
rjr
m j
m j
rm
z z
i
r
r
r
r
=−
=−
−
=
−
−
=
( )
!( )
1
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39
TRANSFORMADA “Z” INVERSA• Ejemplo 1: Obtener la transformada Z inversa de )1)(1(
2)( 2
2
+−−++
=zzz
zzzG
utilizando el método de expansión en fracciones parciales :
)3(2)2()1()3()2(2)1(2)( −+−+−=−−−+−− kxkxkxkykykyky
Solución :
11)1)(1(2)( 2
3212
2
+−+
+−
=+−−
++=
zzkzk
zk
zzzzzzG
Multiplicando por el m.c.d. : )1)(1( 2 +−− zzz
)1)(()1(2 322
12 −+++−=++ zkzkzzkzz
3232
2112
1 kzkzkzkkzkzk −−+++−=
311232
212 )()(2 kkzkkkzkkzz −+−−++=++
(Ec. A)
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40
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• Igualando coeficientes de potencias iguales de z :
121 =+ kk
,
1321 =+−− kkk 231 =− kk
k1 = 4, k2 = -3 y k3 = 2
• Sustituyendo en la ecuación (A) :
21
21
1
1
2 123
14
123
14)( −−
−−
−
−
+−+−
+−
=+−+−
+−
=zzzz
zz
zzz
zzG
21
2
21
21
1
1
15.0
15.03
14
−−
−
−−
−−
−
−
+−+
+−
−−
−=
zzz
zzzz
zz
21
11
21
11
11
15.0
15.013
114 −−
−−
−−
−−
−−
+−+
+−
−−
−=
zzzz
zzzz
zz (Ec. B)
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41
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
,
• Se conoce que : [ ] 221
1
)(21)(1)( −−−−
−−−
+−−
=zewTCosez
wTCosezwtCoseZ aTaT
aTat
[ ] 221
1
)(21)()( −−−−
−−−
+−=
zewTCosezwTSenezwtSeneZ aTaT
aTat
12 =− aTe21)( =wtCos,
3π
=wt
2386.0
3)( ===
πSenwtSen23)( =wtSen
=
+−
−−−
−−
31
15.01
21
11 πkCos
zzzZ k
=
+−⋅=
+−=
+− −−
−
−−−
−
−−−
−−
31
31
12
3
31
12
1
15.0
21
11
21
11
21
11 πkSen
zz
zZ
zz
zZ
zzzZ k
( ) ( ) ( )3
)1(13
13
)1(131)( 111 ππ −+
−−= −−− kSenkCosakx kkk Para k = 1,2,3,...
x(k)=0, kΩ0
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42
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• Ejemplo 2:
][)21(8][)
41(16][8][
)2/1(8
)4/1(168)(
)2/1(8
)4/1(168)(
)2/1)(4/1(1)(
nununnx
zz
zzzX
zzzzzX
zzzX
nn +−=⇒
−+
−−=⇒
−+
−−=⇒
−−=
δ
][)2(][][][)2()1()1(
)()2(
1)1(
1)1(
1)()2()1()1()2()1(
1)()2()1(
)(
22
222
nunnununxz
zz
zz
zzXzzzz
zXz
Cz
Bz
Azzz
zXzz
zzX
n+−−=⇒−
+−
−−−
=⇒−
+−
−−−
=⇒
−+
−+
−=
−−=⇒
−−=
•Ejemplo 3:
![Page 43: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/43.jpg)
43
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETOECUACIONES EN DIFERENCIA
Un sistema LTI en tiempo discreto se puede representar mediante ecua-Ciones en diferencia.
![Page 44: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/44.jpg)
44
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• Adelantos y retardos
y[k+2] – 5 y[k+1] + 6 y[k] = 3 f[k+1] + 5 f[k]
y[k] – 5 y[k-1] + 6 y[k-2] = 3 f[k-1] + 5 f[k-2]
y[k-1] = y[k-1] u[k] ≠ y[k-1] u[k-1]
Avance
K=k-2Atraso
Se trabaja con k∆0, así que u[k] estaA menudo implicado.
![Page 45: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/45.jpg)
45
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• Se puede describir la salida de un sistema en tiempo discreto para una entrada específica y unas condiciones iniciales dadas.
• No es una solución general la que nos motiva a mirar hacia las funcionesde transferencia de un sistema.
• Con el fin de derivar la F.T se debe separar :
Respuesta del sistema a “ESTADO CERO” a una entrada dada concondiciones iniciales cero.
Respuesta “ENTRADA CERO” a solo condiciones iniciales.
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46
FUNCION DE TRANSFERENCIA Considere la respuesta al “ESTADO CERO”
1. Sin condiciones iniciales : y[-k]=0 ∀k>02. Solo entradas causales : f(-k)=0 ∀k>0
Escriba una ecuación en diferencia general de orden n-ésimo
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47
FUNCION DE TRANSFERENCIA
Definición : La F.T de un sistema es la razón de la transformada de la salidadel sistema a la de la entrada con condiciones iniciales cero.
H[z] es una función racional (razón de dos polinomios) de la variable compleja z.
Para H(z)=a(z)/b(z)
• Los valores de z para los cuales a(z)=0 son llamados ceros de H(z). Estos de-terminan las frecuencias bloqueadas por el sistema.
• Los valores de z para los cuales b(z)=0 son llamados polos de H(z). Estos de-terminan la forma de la respuesta del sistema (modos naturales del sistema).
• Si z0 es un polo de H[z] y (z-z0)pH(z) no tiene ni un polo ni un cero en z0,se dice que H[z] tiene un polo de orden p en z0.
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48
FUNCION DE TRANSFERENCIA• Efecto de polos y ceros de H(z)
[ ] ( )( ) ( )( )( ) ( )m
mn zzz
zzzzzzbzHγγγ −−−
−−−=
21
21
• Un número complejo es pensado como un vector en el plano complejo.
Re
Imiz
izz −z
• Como z y zi son ambos números complejos, la diferenciaes de nuevo un número complejo y de esta forma un vector en el plano complejo.
• Cada término de diferencia (z-z1), etc, en H(z) puede ser representado como un número complejo en formapolar
![Page 49: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/49.jpg)
49
FUNCION DE TRANSFERENCIA
( )
( ) ( )[ ]mm
m
m
j
m
mn
jm
jj
jm
jj
nj
edddrrrb
ededederererbeH
θθθφφφ
θθθ
φφφ
+++−+++
Ω
=
=
2121
21
21
21
21
21
21
• La magnitud es la distancia del polo/cero alpunto elegido(frecuencia) sobre el circulo uni-tario.
• El ángulo es el ángulo del vector con el ejehorizontal.
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50
FUNCION DE TRANSFERENCIA• Un sistema LTI también se puede expresar en una ecuación en diferencia.
][...]1[][][...]2[]1[][
1
21
MnxBnxBnxBNnyAnyAnyAny
Mo
N
−++−+=−++−+−+
• Aplicando transformada z a ambos lados de esta ecuación, se tiene lafunción de transferencia discreta del sistema H(z).
N
N
M
Mo
zAzAzBzBBzH−−
−−
++++++
=...1...)(
1
1
1
1
• En forma factorizada,
))...(())...(()(
1
1
N
M
pzpzzzzzKzH
−−−−
=
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51
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• S i la F.T se evalúa para los valores de z=exp(j2πfts), esto es, en el círculo unitario, se obtiene la F.T en el estado estacionario o la respuesta en fre-cuencia del sistema, H(f). Esta función H(f) es periódica con periodo ts=1/fs y esla DTFT de h[n].
• Para calcular la respuesta en frecuencia de y[n]=αy[n-1]+x[n], se substituye zpor exp(j2 πfts), entonces
−
=
+−
=
+−=
−=⇒
−=
−
−−
)2()2cos(1tan)(
)2cos(211)(
)2()2cos(11
11)(
)1(1)(
1
2/1
2
21
s
s
s
ss
ftj
ftsenftf
ftfH
ftjsenftefH
zzH
s
παπαφ
απα
ππααα π
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52
FUNCION DE TRANSFERENCIA• Ejemplo 4 :
• Interpretación física de polos y ceros
• La magnitud exhibe grandes picos alre-dedor de z=0.4±j0.693(polos de G(z)).
• La magnitud exhibe pozos muy estre-chos y profundos alrededor de la loca-ción z=1.2 ±j1.2
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53
FUNCION DE TRANSFERENCIA• La ROC de una transformada z es un concepto importante. Sin este conocimien-no hay una única relación entre una secuencia y su transformada z.
• La transformada z debe siempre especificarse con su ROC.
• La ROC de una transformada z racional esta limitada por la localización de suspolos.
• Ejemplo : La transformada z H(z de la secuencia h[n]=(-0.6)un[n]esta dada por :
16.011)(
−+=
zzH
• Aquí la ROC esta justo fuera del circuloque va a través del punto z=-0.6
6.0>z
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54
DIAGRAMAS DE BLOQUE
• Las representaciones en función de transferencia (F.T) de sistemas discretosPermiten el uso de diagramas de bloque para describir sistemas en tiempo dis-creto de una manera análoga a como se hizo en sistemas continuos.
Adicione funciones de transferencia en paralelo.
Multiplique funciones de transferencia en serie (cascada)
Un lazo de retroalimentación sencillo se reduce a una F.T de camino hacia delante dividida por uno menos la F.T del lazo abierto.
La manipulación de diagramas de bloque y lasa reglas de Mason se aplicansin cambio.
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55
DIAGRAMAS DE BLOQUE• Interconexión en serie de dos sistemas
H1 H2x[n]
y1[n] y[n]
][][]][[][ 1212 nxHnHHnyHny ===
• Interconexión en serie de dos sistemasparalelo
y[n]H1
H2
x[n]y1[n]
y2[n]
+
+
][][][ 12 nxHnxHHny =+=
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56
ESTABILIDAD
• Conocida H[z] se puede encontrar la salida dada una entrada.
• Puesto que H[z] es la razón de dos polinomios, las raíces del polinomio deldenominador (polos) controlan donde H[z] puede explotar!
• Se dice que el sistema es “ESTABLE” si H[z] corresponde a una serie queconverge cuando los polos caen dentro (no sobre) de un circulo unitario.
También se puede decir que el sistema es estable si la magnitud de todos suspolos es menor que uno.
H[z] Y[z]F[z]
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57
ESTABILIDAD• Un sistema LTI es asintótica mente estable siy solo si todas las raíces están dentro del circulo unitario. La estabilidad de un sistema LTI discretorequiere que la respuesta impulso h[n] sea absoluta-mente sumable(integrable en contínuo). Esto quiere
decir que h[n]=0 en n=∞.• Inestable si y solo si una o ambas de las siguientes condiciones existen :
Al menos una raíz esta fuera del circulo unitario
Raíces repetidas sobre el circulo unitario.
• Marginalmente estable si y solo si no hay raícesfuera del circulo unitario y no hay raíces repetidassobre el circulo unitario.
![Page 58: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/58.jpg)
58
ESTABILIDAD
Estabilidad tiempo continuo vs tiempo discreto
Sistema tiempo discreto Sistema tiempo contínuo
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59
ESTABILIDAD
• Estabilidad interna : se refiere a las respuestas de todas las variables internas(estados) de un sistema.
• Estabilidad externa : se refiere a la respuesta de las variables de salida de unsistema tales como las descritas por la F.T ó el modelo derespuesta impulso.
Ellas difieren en que algunos de los modos internos del sistema no pueden estarconectados a la entrada y salida de un sistema dado.
Para estabilidad externa una definición común de una respuesta apropiadaes que para cada entrada limitada la salida debe también ser limitada.
Una condición necesaria y suficiente para estabilidad BIBO(bounded input-boundedoutput) es :
hk ii
−= −∞
∞
∑ < ∞
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60
ESTABILIDAD
Una F.T racional puede ser expandida en una expansión en fracciones parcialesAsí que su respuesta pulso será la suma de sus términos. Asi, si todos los polos estan dentro del circulo unitario, el sistema es estable. Si al menos un polo esta Sobre o fuera del circulo unitario, el sistema no es BIBO estable.
1. Suficiente : sea ∀i, entonces,
Así, la salida esta limitada si
2. Necesaria : considere la entrada limitada
Aaplicando esta entrada. La salida en k=0 es:
A menos que esta condición seaVerdadera, el sistema no es BIBOestable.!
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61
ESTABILIDAD• La estabilidad de una F.T puede determinarse inspeccionando los coeficientesdel denominador de la F.T. Para ello debe estar en forma de términos de se-gundo órden,
)11(
)()()(
2
2
1
1
2
2
1
11
00 −−
−−−
= ++++
∏==zzzza
zDzNzH
ii
iiL
i ααββ
• Para cada término de segundo órden se calculan las raíces (λ1i y λ2i) del deno-minador así :
)1)(1(1)( 2
2
1
1
2
2
1
1
−−−− −−=++= zzzzzD iiiii λλαα
• Para las raíces del polinomio y los coeficientes se cumple,
iii
iii
212
211
.)(
λλαλλα
=+−= 11 21 << ii y λλ
12 <iα
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62
ESTABILIDAD
• Las raíces del polinomio son :
24
,2
4 2
2
11
2
2
2
11
1
iii
i
iii
i
αααλ
αααλ
−−−=
−+−=
iiiiii
iii
iii
21
2
112
2
1
12
2
1
2
2
11
1444
2412
4
αααααα
αααααα
+<⇒+−<−
−<−⇒<−+
1-1
1i2α
i1α
-1
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63
ECUACION EN DIFERENCIA
Ejemplo ecuación de segundo orden :
•y[k+2] - 0.6 y[k+1] - 0.16 y[k] = 5 f[k+2] withy[-1] = 0 and y[-2] = 6.25 and f[k] = 4-k u[k]
• Respuesta entrada cero
• Respuesta estado cero
γ 2 - 0.6 γ - 0.1 6 γ = (γ + 0.2) (γ - 0.8)
(γ + 0.2) (γ - 0.8) = 0
γ1=-0.2 ; γ2=-0.8
y0[k] = C1 (-0.2)k + C2 (0.8)k
Polinomio característico
Ecuación característica
Raíces características
Solución
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64
ECUACION EN DIFERENCIA
• Respuesta impulsoh[k+2] - 0.6 h[k+1] - 0.16 h[k] = 5 δ[k+2]
h[-1] = h[-2] = 0Con debido a la causalidad
h[k] = (b0/a0) d[k] + y0[k] u[k] a0=-0.16; b0=0
h[k] = y0[k] u[k] = [C1 (-0.2)k + C2 (0.8)k] u[k]
Se necesitan dos valores de k para resolverh[0] - 0.6 h[-1] - 0.16 h[-2] = 5 d[0] ⇒ h[0] = 5h[1] - 0.6 h[0] - 0.16 h[-1] = 5 d[1] ⇒ h[1] = 3h[0] = C1 + C2 = 5
h[1] = -0.2 C1 + 0.8 C2 = 3
C1 = 1, C2 = 4 Solución única!
•h[k] = [(-0.2)k + 4 (0.8)k] u[k]
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65
ECUACION EN DIFERENCIA
• Solución respuesta estado cero
ys[k] = h[k] * f[k] = [(-0.2)k + 4(0.8)k] u[k] * (4-k u[k])ys[k] = [-1.26 (4)-k + 0.444 (-0.2)k + 5.81 (0.8)k] u[k]
• Respuesta total •y[k] = y0[k] + ys[k]
y[k] = [C1(-0.2)k + C2(0.8)k] +[-1.26 (4)-k + 0.444 (-0.2)k + 5.81 (0.8)k] u[k]
Con y[-1] =0 y y[-2] = 6.25
y[-1] = C1 (-5) + C2(1.25) = 0y[-2] = C1(25) + C2(25/16) = 6.25
C1 = 0.2, C2 = 0.8
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66
ECUACION EN DIFERENCIA
Ejemplo 5:
Resuelva para : u(k)=2,3,…
%Sea l=k+1%Código MATLAB :u(1)=1;u(2)=1;for l=3:10u(l)=u(l-1)+u(l-2);endk=0:9;stem(k,u)title(‘primeros 10 términos serie Fibonnaci')
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67
ECUACION EN DIFERENCIA• Aproximación clásica
1. Asuma una solución, u(k)=zk
2. Substituya en la E.D y resuelva para todos los posibles valores de z quesatisfacen la ecuación diferencial(E.D),
3. Construya un solución general en la forma de una combinación lineal delas soluciones, zk, esto es,
4. Resuelva para los Ai imponiendo las condiciones iniciales.
z i ni , = 1
u A zk i ik
i
n
==∑
1
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68
ECUACION EN DIFERENCIA
• Solución del ejemplo anterior usando la aproximación clásica
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69
ECUACION EN DIFERENCIA• Respuesta de un sistema con condiciones iniciales nulas
Sistema Ec[1]
Entrada
][]1[][ nxnyny +−=α
][][ nunx nα=Aplicando transformada z a la Ec[1]
][)1(][][][)()(
)(
)()(1
)()(
)()()()(
][][)(
)1(1
)()()()1)((
2
222
2
1
1
nunnunnunyz
zz
zzY
zzzz
zzY
zzzHzXzY
zznunxzX
zz
zzXzYzXzzY
nnn
cin
n
αααα
αα
αα
ααα
αα
ααα
+=+=⇒−
+−
=
−+
−=
−=⇒
−==
−=Ζ=Ζ=
−=
−=⇒=−
−
−
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70
•Respuesta de un sistema con condiciones iniciales no nulas
Considere el mismo sistema anterior, pero con las condiciones iniciales : y[-1]=2
Aplicando el principio de superposición se tiene
][][][ nynyny eccin +=Siendo,
Ycin[n]: respuesta con condiciones iniciales ceroYec[n]: respuesta del sistema a entrada cero(x[n]=0) y condiciones iniciales espe-
cificadas
• Respuesta al estado cero : ]1[][ −= nyny α
][2][]1[][)(
]1[)1(
]1[][]1[][
1
1
1
nunuynyz
zyz
yzYyzYzY
nn
ec
ececec
+
−
−
=−=−−
=−−
=⇒−+=
αααα
αα
αα
ECUACION EN DIFERENCIA
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71
ECUACION EN DIFERENCIA• Respuesta total del sistema :
][)21(]2[],[2][)1(][][][ 1
nunEcnununnynyny
n
nn
eccin
αααα
++=++=+= +
y[n-1] x[n] y[n](1) y[n](3)
n=0 2 1 2α+1 2α+1
n=1 2 α+1 α (2 α+2) α (2 α+2)α
n=2 (2 α+2)α α2 (2 α+3) α2 (2 α+3)α2
n=3 (2 α+3)α2 α3 (2 α+4) α3 (2 α+4) α3
n=4 (2 α+4) α4 α4 (2 α+5) α4 (2 α+4) α3
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72
ECUACION EN DIFERENCIA
• Sistemas IIR y FIR
FIR(respuesta al impulso finita) causal ⇒ implementable en la práctica
Nnynnh ≥<= 0;0][
∑ −=−
=
1
0][][][
N
kknukhny
Implementación FIR no-Recursiva.
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73
ECUACION EN DIFERENCIASimbología
q : operador desplazamiento directo q-1 : operador desplazamiento inverso(retardo unitario) qx[n] : x[n+1] q-1x[n] : x[n-1]
IIR (respuesta al impulso infinita) causal ⇒la mayoría de los sitemas físicos.
0;0][ <= nnh
∑ −=∞
=0][][][
kknukhny No implementable prácticamente!
• Representación IIR no-recursiva
][],...,[][ MnunuFny −=
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74
ECUACION EN DIFERENCIA• Ejemplo 6: suma de convolución
∑ −=∞
=0][][][
kknukhny
• Representación IIR recursiva
][],...,[],[],...,1[][ MnunuNnynyFny −−−=
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75
ECUACION EN DIFERENCIA• Ejemplo 7: Ecuación en diferencias (ED)
∑ −+∑ −−===
M
kk
N
kk knubknyany
01][][][
• N: orden de la ecuación o del sistema
Solución de ED Se necesita
u[n], n∆0
N condiciones iniciales
][],...,2[],1[ Nyyy −−−
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76
ECUACION EN DIFERENCIASOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIA (ED)
∑ −+∑ −−===
M
kk
N
kk knubknyany
01][][][ Ec[1]
][][][ nynyny pH += Ec[2]
• yH[n] : solución de la ecuación homogénea asociada respuesta libre
∑ −−==
N
kkH knyany
1][][ Ec[3]
• yp[n] : solución particular de la ecuación no-homogénea respuesta forzada
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77
ECUACION EN DIFERENCIA
[3] se puede escribir como :
0][0
=∑ −=
N
kk knya Con a0=1
• Se proponen soluciones del tipo :n
H ny λ=][ Ec[5]
Ec[4]
Reemplazando [5] en [4] se tiene :0
0=∑
=
−N
k
kn
ka λ
• Respuesta libre
NOTA : Una representación recursiva de la forma de una ecuación en diferencias a coeficientes constantes corresponde a un sistema IIR. Lo converso no se verifica, es decir no todo sistema lineal-estacionario IIR puede describirse por una ecuación en diferencias a coeficientes constantes.
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78
ECUACION EN DIFERENCIA0)...( 2
2
1
1 =++++ −−−
N
NNNNn aaa λλλλPolinomio característico:
• N raíces : λ1,λ2,…,λN
∑==
N
k
n
kkH cy1λ
• Respuesta forzada: yp[n] de la misma forma que u[n]
Entrada Solución particular, yp[n]A(cte) k(cte)
AMn kMn
AnM K0nM+k1nM-1+…+kM
AnnM An(K0nM+k1nM-1+…+kM)
Acosω0n,asenω0n k1 cosω0n+k2 senω0n
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79
• La respuesta de un sistema en tiempo discreto a una secuencia muestraunitaria δ[n] es llamada la respuesta ala muestra unitaria ó la respuesta impulso y se denota por h[n].
• Ejemplo 8: Encuentre la respuesta impulso del sistema ,
]3[]2[]1[][][ 4321 −+−+−+= nxnxnxnxny αααα
- Seleccione x[n]= δ[n], entonces se consigue:
]3[]2[]1[][][ 4321 −+−+−+= nnnnnh δαδαδαδα
- L a respuesta impulso es así una secuencia de longitud finita de longitud 4 dada por:
,,,][ 4321 αααα=nh
RESPUESTA IMPULSO
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80
• Ejemplo 9: ][]1[][ nunayny +−=
∑ −+−==
+n
k
kn knuayany0
1 ][]1[][
yH[n]Respuesta libre
yp[n]Respuesta forzada
Asumiendo condiciones iniciales nulas, (esto es, y[-1]=0), la respuesta del sis-Tema al impulso es :
∑ −==
n
k
k knany0
][][ δ nanh =][
RESPUESTA IMPULSO - LINEAL ESTACIONARIO
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81
• Recordando la condición necesaria y suficiente para la BIBO estabilidad delsistema se tiene
∞<∑∞
=0][
knh ⇔ ∞<∑
∞
=0k
ka ⇔ 1<a BIBO estabilidad
• El procedimeinto se puede extender para el caso de un sistema descrito poruna ecuación en diferencias de orden N de la forma Ec[1]. En este caso resulta:
∑==
N
k
n
kkcnh1
][ λ
• Para BIBO estabilidad se tiene entonces,
∞<∑∑≤∑ ∑=∑∞
==
∞
= =
∞
=
n
nk
N
kk
n
N
k
n
kkk
ccnh010 10
][ λλBIBO estabilidad Ec[¨6]
RESPUESTA IMPULSO - LINEAL ESTACIONARIO
![Page 82: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/82.jpg)
82
• Por lo que deberá ser , ,0
∞<∑∞
=
n
nkλ
Es decir, ,1 kk ∀<λ
Si algún λk es tal que entonces Ec[6] no se verifica. Se puede entoncesConcluir :
,1≥kλ
Condición necesaria y suficiente para la estabailidad de un sistema causal IIRDescrito por una ecuación en diferencias a coeficientes constantes es que lasRaíces del polinomio característico tengan módulo menor que 1.
,1 kk ∀<λ
RESPUESTA IMPULSO - LINEAL ESTACIONARIO
![Page 83: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/83.jpg)
83
Considere con
Osea e[k]=1 para k=0 y cero para otro valor de k.
H(z)=U(z)/E(z) E(z) =1
U(z) = H(z)
La transforma z de la respuesta pulso-unitario de un sistema discreto es su Función de transferencia.
RELACION ENTRE LA F.T. Y LA RESPUESTA PULSO
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84
• Se usa para describir el sistema
Tener uno es equivalente a tener el otro puesto que ellos son pares de transformada Z.
Por definición la respuesta impulso h(k) es :
• Como las señales en tiempo discreto se pueden construir a partir de impulsosunitarios, conociendo la respuesta impulso se caracteriza completamente elsistema LTI.
y[k] = h[k] Cuando f[k] = δ[k]
Zh[k] = H[z] Zδ[k] ⇒ H[z] = H[z] · 1h[k] ⇔ H[z]
RELACION ENTRE h[k] Y H[Z]
![Page 85: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/85.jpg)
85
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]zHz
zmhz
zmh
zkhkfkhky
km
mk
m
mk
k
=
=
=
∗=∗=
∑
∑∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
][
• Las exponenciales complejas tienen propiedadesEspeciales cuando son entradas a sistemas LTI.
• La salida será la misma exponencial compleja pe-sada por H[z].
• Cuando estamos en el dominio de frecuencia, la magnitud de H[z] controlarácuales frecuencias son atenuadas y cuales no.
EXPONENCIALES COMPLEJAS
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86
• Para sistemas en tiempo continuo las respuestas de sinusoides son:
( )( ) ( ) ( )[ ]ωωωω
ω ωω
jHtjHtejHe tjtj
∠+→→
cos cos
• Para sistemas en tiempo discreto en el dominio z :
[ ] kk zzHz −− →
• Para sistemas en tiempo discreto en frecuencia en tiempo discreto:
( )( ) ( ) ( )[ ]ΩΩ
ΩΩΩ
∠+Ω→Ω→
cos cos
jj
kjjkj
eHkeHkeeHe
RESPUESTA EN FRECUENCIA
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87
• Respuesta a sinusoides muestreados
Comience con un sinusoide en tiempo continuo,
Muestrear el sinusoide cada T segundos(substituya t=kT)
Muestre el sinusoide en tiempo discreto.
Resultando en :
La frecuencia en tiempo discreto es igual a la frecuencia en tiempo continuomultiplicada por el periodo de muestreo T.
( )t cos ω
( )Tk cos ω
( ) ( )Tkk cos cos ω=Ω
Tω=Ω
• Ejemplo 10: Calcule la respuesta en frecuencia del sistema dado como una ecuación en diferencia.
]1[][8.0]1[ +=−+ kxkyky
RESPUESTA EN FRECUENCIA
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88
• Asumiendo condiciones iniciales cero se toma la transformada z,
( )
[ ] [ ][ ] 18.01
18.0
][8.0][
−−=
−==
=−
zzz
zXzYzH
zzXzzY
• Como Ω= jez
[ ] ( )Ω−Ω−=
−= Ω−
Ω
sincos8.011
8.011
jeeH j
j
• Agrupe las partes real e imaginaria
[ ] ( ) Ω+Ω−=Ω
sin8.0cos8.011
jeH j
RESPUESTA EN FRECUENCIA
![Page 89: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/89.jpg)
89
• El valor absoluto(respuesta magnitud) es :
[ ] ( )
( ) ( )
Ω−=
Ω+Ω−=
Ω+Ω−=Ω
cos6.164.11
sin8.0cos8.01
1sin8.0cos8.01
1
22
jeH j
• El ángulo(respuesta de fase) es :
( )
Ω−Ω
−=∠ −Ω
cos8.01sin8.0tan0 1jeH
• La respuesta en frecuencia de un sistema en tiempo discreto es periódica con 2π. Por qué?. La respuesta en frecuencia e sfunción de la exponencialcompleja la cual es periódica con 2π. ( )mjj ee 2 π+ΩΩ =
RESPUESTA EN FRECUENCIA
![Page 90: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/90.jpg)
90
• El valor absoluto de la respuesta en frecuencia en tiempo discreto es impar yel ángulo es par simétrico.
• El sinusoide en tiempo discreto es simétrico alrededor de π.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )kkkkkkk
kmkkkm
x
xxx
ππππ
ππ
coscossinsincoscoscos
cos2cos2cos
Ω=ΩΩ=ΩΩ=+Ω=+Ω
RESPUESTA EN FRECUENCIA
![Page 91: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/91.jpg)
91
• Un sinusoide en tiempo continuo puede tener una frecuencia desde cero(0)hasta infinito.
• Muestreando un sinusoide en tiempo continuo se tiene,
( ) ( ) ( )kTktkTt
cos cos cossample
Ω=→=
ωω
• La frecuencia Ω en tiempo discreto es única desde 0 hasta π.
Solo se pueden representar frecuencias hasta la mitad de la frecuencia demuestreo fs.
Frecuencias más altas que existan deben ser traslapadas a alguna otra fre-cuencia en el rango.
2/02000 sss fffffT
T <≤⇒<≤⇒=<≤⇒<≤ ππππωπω
RESPUESTA EN FRECUENCIA
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92
• La suma de la convolución discreta: considere un sistema lineal, estacionariodiscreto.
Si su respuesta a un pulso unitario es h(k) , entonces su respuesta a unpulso de amplitud e0 es e0*h(k), puesto que el sistema es lineal.
Puesto que el sistema es estacionario, un retraso de la entrada causará unretraso igual en la respuesta.
El efecto de una secuencia de pulsos es la suma de sus efectos individuales.Para una secuencia infinita :
• Para un sistema causal k>i.• hk-i es el efecto de un pulso de entrada en la
muestra i sobre la salida a la muestra k.
• La convolución se transforma en un producto Y(z)=E(z)H(z)
CONVOLUCION
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93
• Como alguna señal de entrada x[k] se puede descomponer en una suma defunciones impulso discretas,
[ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=m
mkmxkx δ
• Por las propiedades lineal e invariante en el tiempo, se tiene la convolución lineal,
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=−=∗=mm
mkxmhmkhmxkhkxky
• Para cada valor de k, calcule una suma diferente (posiblemente) infinita.
y[k] = h[0] x[k] + h[1] x[k-1]
k
h[k]
21
Averaging filter
CONVOLUCION
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94
• Respuesta del sistema LTI
Sea,
entonces,
• Linealidad
• Invarianza en el tiempo
CONVOLUCION
CONVOLUCION
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95
• Tiempo continuo
• Tiempo discreto
CONVOLUCION
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96
• Propiedades de la convolución
CONVOLUCION
![Page 97: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/97.jpg)
97
• Convolución por superposición
Sea,
CONVOLUCION
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98
• Respuesta impulso h[k] y entrada x[k] a un sistema
• Superponga versiones repetidasde la respuesta impulso
• Suma las contribuciones en cada puntopara obtener la respuesta total!
I
II III
• cont…Convolución por superposición
CONVOLUCION
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99
• Pasos a seguir para la convolución gráfica :
Dibuje x[k] y h[k]
Reflecte(“fold”) x[k]⇒x[-k]
Desplace x[-k] ⇒x[n-k]
Multiplique h[k]x[n-k]
Sume
CONVOLUCION
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100
CONVOLUCION
![Page 101: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/101.jpg)
101
• La convolución analíticamente
CONVOLUCION
![Page 102: MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022072004/62d6822b435f5a06905eb113/html5/thumbnails/102.jpg)
102
• cont… La convolución analíticamente
∀α
∀α
Repaso series geométricas
Fórmula general
Casos especiales
CONVOLUCION
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103
• Ejemplo 11 : Sea,
1. Aplicando superposición: Escriba h[n] en términos de impulsos.
CONVOLUCION
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104
• cont.. superposición
CONVOLUCION
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105
2. Aplicando método gráfico
CONVOLUCION
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106
Un sistema discreto lineal, estacionario puede representarse en la siguiente forma :
Donde, y son vectores de entrada y salida, es el vector de estado y
y son matrices de dimensión apropiada.
Las matrices A,B,C,D son a menudo usadas para describirla representación en espacio de estado de un sistema.
Ejemplo 12: considere
Sea,
G(z)=U(z)/E(z)=K(z+1)/(z2-1)
X1(z)/E(z)=1/(z2-1) or x1[k+2]-x1[k]=e[k]x1[k+2]=x1[k]+e[k]=x2[k+1]
x1[k+1]=x2[k]x2[k+1]=x1[k]+e[k]
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
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107
Entonces,U(z)/X1(z)=K(z+1) ó u[k]=K*x1[k+1]+K*x1[k]
= K*x1[k]+K*x2[k]
[ ]
x
xk
x
xk e k
u k K Kx
xk u k
1
2
1
2
1
2
10 1
1 0
0
1
0
+ =
+
=
+
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
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108
• Para transformar las ecuaciones de espacio de estado en tiempo continuoen la forma de estado discreta se procede así,
• El estado de un sistema en un instante k, es el mínimo número de variablesx1[k],x2[k],…,xn[k] tal que el conocimiento de estas variables y la entrada apli-cada permitan calcular cualquier salida futura.
A* : matriz de estado nxnB* : matriz de entrada nxrC : matriz de salida mxnD : matriz de transmisión directa mxr
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
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109
• Esquema de la descripción de espacio de estado
CB
A
D
D
u[k] y[k]x[k]x[k+1]
• Ejemplo 13: dado el siguiente sistema en diagramade bloques obtenga la representaciónen espacio de estado
D D
5
6
u[k] y[k]+
-
x1[k+1] x2[k+1]x1[k] x2[k] ][][
][]1[][][6][5]1[
2
12
211
kxkykxkx
kukxkxkx
==+
+−=+
[ ]
=
+
−=
++
][][
10][
][01
][][
0165
]1[]1[
2
1
2
1
2
kxkx
ky
kukxkx
kxk1x
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
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• Solución de la ecuación en espacio de estado
0];[][][][][]1[
≥+=+=+
kkDukCxkykBukAxkx
Por iteración se obtiene la solución para x[k+1] para cualquier entero positivo k.
∑+=
+++=+=++=+=
+=
−
=
−−1
0
1
23
2
][]0[][
]2[]1[]0[]0[]2[]2[]3[]1[]0[]0[]1[]1[]2[
]0[]0[]1[
k
i
ikk iBuAxAkx
BuABuBuAxABuAxxBuABuxABuAxx
BuAxx
La salida se puede escribir como :
∑ ++=−
=
−−1
0
1 ][][]0[][k
i
ikk kDuiBuACxCAky
Respuesta debida a las C.I Respuesta debida a la entrada
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
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111
• Tranformada z en el espacio de estado
0];[][][][][]1[
≥+=+=+
kkDukCxkykBukAxkx
La transformada z esta dada por :
][)(]0[)(][][]0[][)(
][][][][][])0[][(
11 zBUAzIXAzIzzXzBUzxzXAzI
zDUZCXzYzBUzAXXzXz
−− −+−=
+=−+=+=−
La inversa (zI-A)-1 debe existir, ó en otras palabras |zI-A| no puede ser cero. La salida Y[z] esta dada por :
][])([]0[)(][ 11 zUDBAzICXAzIzCzY +−+−= −−
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
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112
• Con condiciones iniciales cero y si se aplica impulsos en las diferentes entradas(U[z]=I), la salida es igual a la transformada z de la respuesta impulso así :
DBAzICzH +−= −1)(][
• Para calcular Y[k] para cualquier entrada U[k] se procede así :
Se encuentra la transformada U[z] de la entrada U[k]. Se encuentra la F.T H[z] del sistema y se obtiene la transformada z de la salida
Y[z]=H[z]U[z]. Se toma la transformada z inversa de Y[z] para obtener Y[k].
• Ejemplo 14: Obtenga la función de transferencia para el ejemplo anterior.
][][][]1[
][][6][5]1[
2
12
211
kxkykxkx
kukxkxkx
==+
+−=+
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
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113
• Se puede concluir que :
]2[]1[]1[]1[][
1
21
+=++=+=
kykxkykxkx
[ ] [ ]01001
0165
==
=
−=
DC
BA
AzIAzIadjAzI
−−
=− − )()( 1
−−
+−=− −
516
6)5(1)( 1
zz
zzAzI
Aplicando la ecuación para H[z] se obtiene :
)2)(3(1
651][
2 −−=
+−=
zzzzzH
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
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BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIÁ
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• Hsu, Hwei P.: Análisis de fourier. Addison-WesleyIberoamericana. México D.F. 1987.
• Kamen, Edward W.: Introduction to Signals andSystems. Second Edition. Prentice Hall. New Jersey.USA. 1990
• Kuo, Benjamin C.: Sistemas de Control Automático.Septima Edición. Prentice Hall Hispanoamericana,S.A. Naucalpan de Juárez, Edo. de México. 1996
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• Oppenheim, Alan V., Willsky, Alan S., Nawad, HamidS.: Señales y Sistemas. Segunda Edición. PrenticeHall Hispanoamericana S.A. México D. F. 1998.
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• Signals Processing Toolbox For Use with MATLAB,User's Guide. version 6.6. The MathWorks, Inc. 2007
• Control Systems Toolbox For Use with MATLAB. Usingthe Control System Toolbox. Version 7.1. TheMathWorks, Inc. 2006.
• The GThe Getting Started with MATLAB 7. MathWorks,Inc. 2006