Download - Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
1/16
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT yang telah menolong hamba-Nya menyelesaikan
makalah ini dengan penuh kemudahan. Tanpa pertolongan Allah SWT mungkin penyusun
tidak akan sanggup menyelesaikannya dengan baik.
Makalah ini disusun agar pembaca dapat mengetahui proses pemecahan dan
pengayakan yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai sumber. Makalah ini
di susun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penyusun
maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan
dari Tuhan akhirnya Makalah ini dapat terselesaikan.Makalah ini memuat tentang Penggunaan Aplikasi Turunan dan sengaja dipilih
karena menarik perhatian penulis untuk dicermati dan perlu mendapat dukungan dari semua
pihak yang peduli terhadap dunia Kesehatan Penyusun juga mengucapkan terima kasih
kepada guru/dosen pembimbing yang telah banyak membantu penyusun agar dapat
menyelesaikan Makalah ini.
Semoga Makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada pembaca.
Walaupun Makalah ini memiliki kelebihan dan kekurangan. Penyusun mohon untuk saran
dan kritiknya.
Wassalam
Penulis
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
2/16
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah
cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga.Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai
bentuk dan aljabaradalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan sertaaplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidangsains,ekonomi,dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkandengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yangsaling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbangmenuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus
mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
Turunan merupakan salah satu bagian dari kalkulus yang mempunyai peranan yangsangat besar baik dalam bidangbidang lain maupun dalam matematika itu sendiri. Denganmempelajari turunan, maka dapat mempermudah kita dalam menyelesaikan masalahmasalahyang berkaitan dengan fungsi, integral dan bidang kalkulus lainnya. Turunan juga dapatdigunakan untuk dapat menggambarkan grafik suatu fungsi aljabar yaitu denganmenggunakan penerapannya. Untuk menentukan turunan suatu fungsi biasanya digunakankonsep limit.
http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latinhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/0,999...#Deret_dan_barisan_takterhinggahttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ilmuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomihttp://id.wikipedia.org/wiki/Teknikhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)http://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latinhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/0,999...#Deret_dan_barisan_takterhinggahttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ilmuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomihttp://id.wikipedia.org/wiki/Teknikhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)http://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematika -
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
3/16
BAB 2
PEMBAHASAN
APLIKASI TURUNAN
I.1 Maksimum dan Minimum
Definisi:
Andaikan S, daerah asal dari f, mengandung titik c. Kita katakan bahwa:
f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) f(x) untuk semua x di S;
f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) f(x) untuk semua x di S;
f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum.
Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif.
Teorema A
Teorema keberadaan maksimum-minimum jika f pada selang tutup [a,b], maka f
mencapai nilai maksimum dan minimum disana.
Dimana terjadinya nilai ekstrim?
Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didedinisikan pada selang tertutup seringkaliterjadi pada titik-titik ujung.
Jika c sebuah titik tempat f(c) = 0 kita sebut c titik stasioner. Pada titik stasionergrafik f mendatar, karena garis singgung mendatar.
Jika c adalah titik didalam I tempat f aksen tidak ada, kita sebut c titik singular yangberupa titik tempat grafik f berpojok tajam, garis singgung tegak, atau berupa loncatan atau
didekatnya grafik bergoyang sanagt buruk. Sembarang titik dalam daerah asal fungsi f yangtermasuk salah satu dari tipe ini disebut titik kritis f.Teorema BTeorema titik kritis:Andaikan f terdefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika (c) adalah nilai ekstrim,maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:
Titik ujung dari I; Titik stasioner dari f(f(c)=0); atau Titik singular dari f(f(c) tidak ada)
Bukti:
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
4/16
f (c) berupa nilai maksimum f pada Idan andaikan c bukan titik ujung ataupun titiksingular. Karena f(c) adalah nilai maksimum, maka f(x) f(c) untuk semua x dalam I yaituf(x) f(c) 0
Jadi jika x < c, sehingga x-c < 0 maka (1) f(x) f(c) 0 x c sedangkan jika x > c, maka:(2) f(x) f(c) 0 x c Tetapi f(c) ada, karena c bukan titik singular. Akibatnya bila kita
biarkan x c dalam (1) dan x c+ dalam (2), kita memperoleh masing-masing f(c) 0 danf(c) 0. kita simpulkan
bahwa f(c) = 0.
4.2 Kemonotonan dan kecekungan
Definisi:
Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dapat katakan
bahwa:
f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1 < x2 f(x1) < f(x2)
f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1 < x2 f(x1) > f(x2)
f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I.
Turunan pertama dan kemonotonan
Turunan pertama f(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik fdititik x. Kemudian jika f(x) > 0 maka garis singgung naik kekanan. Dan jika f(x) < 0 makagaris singgung turun kekanan.Teorema ATeorema kemonotonan:Andaikan f kontinue pada selang I dan terdefinisikan pada setiap titik-dalam dari I.
Jika f(x) > 0 semua x titik-dalam I, maka f naik pada I. Jika f(x) < 0 semua x titik-dalam I, maka f turun pada I
Turunan kedua dan kecekungan
Suatu fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang bergoyang. Jika garissinggung berbelok secara tetap dalam arah yang berlawanan arah outaran jarum jam, kitakatakan bahwa grafik cekung ke atas, dan jika garis singguang berbelok searah putaran jarum
jam, maka grafik cekung ke arah bawah.
Definisi kecekungan
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
5/16
Andaikan f terdiferensialkan pada selang terbuka I, kita mengatakan bahwa f (dan grafiknya)cekung ke atas pada I jika f naik pada I, dan kita mengatakan bahwa f cekung ke bawah padaI jika f turun pada I.Teorema A
Teorema kecekungan:Andaikan f terdeferensiasikan dua kali pada selang buka I. Jika f(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I. Jika f(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I.
Titik balik
Andaikan f kontinue di c, kita sebut (c.f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung keataspada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.
4.3 Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi
Andaikan S daerah asal dari f, mengandung titik c, dapat dikatakan bahwa:
f(c) adalah suatu nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang
berisi c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b) simbol gabungan S;
f(c) adalah suatu nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang
berisi c sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) simbol gabungan S;
f(c) adalah suatu nilai ekstrim lokal dari f jika kedua-duanya adalah sebuah nilai
maksimum lokal atau sebuah nilai minimum lokal.
Teorema A
Uji turunan pertama:
Andaikan f kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c.
Jika f(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),maka f(c) adalah nilai maksimum lokal.
Jika f(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b),maka f(c) adalah nilai minimum lokal.
Jika f(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.
Bukti (i)
Karena f(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c), maka menurut teorema kemonotonan f naik pada(a,c].
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
6/16
Karena f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f turun pada [c,b). Jadi f(x) < f(c) untuksemua x dalam (a,b), kecuali tentu saja di x = c. Kita menyimpulkan bahwa f(c) adalahmaksimum lokal. Demikian juga untuk bukti (ii) dan (iii).
Teorema B
Uji Turunan kedua:
Andaikan f dan f ada pada setiap titik selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikanf(c) = 0.
Jika f(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f. Jika f(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.
1. Kemonotonan dan Kecekungan
Definisi :
Andaikanfterdefinisi pada selangI(terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :
i. fadalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 f(x1) < f(x2)
ii. fadalah turun pada Ijika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalamI, x1 > x2
f(x1) > f(x2)iii. fmonoton murni padaIjika ia naik padaIatau turun padaI
Teorema A
(Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkanpada setiap titik dalam dariI
i. Jikaf(x) > 0 untuk semua titik dalam x dariI, makafnaik padaIii. Jikaf(x) < 0 untuk semua titik dalam x dariI, makafturun padaI
Turunan Pertama dan Kemonotonan
Ingat kembali bahwa turunan pertama f(x) memberi kita kemiringan dari garissinggungfdititik x, kemudian jikaf(x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jikaf(x) 0 ntuk semua x dalam (a,b) makafcekung ke atas pada (a,b)
ii. Jikaf(x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) makafcekung ke bawah pada (a,b)
Titik Balik
Andaikanfkontinu di c, kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafikfjikafcekungke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar Cmenunjukkan sejumlah kemungkinan.
Gambar
soal :Jika f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?Penyelesaian:Mencari turunan f
f(x) = 3x2 + 12x + 9= 3 (x2 + 4x + 3)= 3 (x+3)(X+1)
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
8/16
Kita perlu menentukan (x +3) (x +1) > 0 dan (x +3) (x + 1) < 0 terdapat titik pemisah-3 dan -1, membagi sumbux atas tiga selang ( -, -3), (-3, -1) dan (-1, ). Dengan memakaititik uji -4, -2, 0 didapat f`(x) > 0 pada pertama dan akhir selang dan f`(x) < 0 pada selangtengah.
Jadi, f naik pada (-, -3] dan [-1, ) dan turun pada [-3, -1]
Grafikf(-3) = 3 f(-1) = -1 f(0) = 3
2. Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi :
Andaikan S, daerah asalf, memuat titik c. kita katakan bahwa :
i. f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikiansehinggaf(c) adalah nilai maksimumfpada (a,b) Sii. f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian
sehinggaf(c) adalah nilai minimumfpada (a,b) Siii. f(c) nilai ekstrim lokalfjika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal
Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrimdiganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif padasalah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyaiekstrim lokal.
GAMBAR MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL
Teorema A
(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka(a,b) yang memuat titik kritis c.
i. Jika f(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),makaf(c) adalah nilai maksimum lokalf
ii. Jika f(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),makaf(c) adalah nilai minimum lokalf
iii. Jikaf(x) bertanda sama pada kedua pihak c, makaf(c) bukan nilai ekstrim lokalf.
Teorema B
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
9/16
(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikanf danfada pada setiap titik dalamselang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikanf(c) = 0
i. Jikaf(c) < 0,f(c) adalah nilai maksimum lokalf
ii. Jikaf(c) > 0,f(c) adalah nilai minimum lokalf
Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.
soal :Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum darif(x) =x3 3x2+4 pada ( -, ).
Penyelesaian :f(x) = 3x2 6x = x(3x 6)x=0 dan x= 2
f(2) = 0
f(0) = 4
fungsi memiliki nilai maksimum 4
(pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2)
5. Penerapan Ekonomik
Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsepkalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barangtahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan
bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = xp(x), banyak satuan kali harga tiap satuan.
Untuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya totalC(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuksebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya.
P(x) = R(x) C(x) = x p(x) C(x)
Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.
Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan P(x)pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,..dan sebagai akibatnya, grafiknyaakan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat mempergunakan kalkulus, titik-titiktersebut kita hubungkan satu sama lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C,dan P dapat dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.
Penggunaaan Kata Marjinal
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
10/16
Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara direncanakanmemproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jikafungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai C/X
pada saat x = 1. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai Lim
Pada saat x = 2000. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx, turunn Cterhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatanmarjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.
soal :
Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi400satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanyamemerlukan biaya Rp. 1960.
6. Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi-definisi Cermat Limit bila x Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii berikut.
Definisi:
(Limit bila x ). Andaikan f terdefinisi pada [c,) untuk suatu bilangan c. kita katakan
bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing >0, terdapat bilangan M yang xberpadanan sedemikian sehingga
X > M f(x) - L <
Definisi:
(Limit bila x -). Andaikan f terdefinisi pada ( -, c] untuk suatu bilangan c. kita katakanbahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing >0, terdapat bilangan M yang x -
berpadanan sedemikian sehinggaX < M f(x) L <
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
11/16
Definisi:
(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = jika untuk tiap bilangan
xc+ positif M, berpadanan suatu >0 demikian sehingga 0 < x c < f(x) > M
Hubungan Terhadap Asimtot
Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalahasimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam nafasyang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jika Lim f(x) = b atauLim f(x) = b x x - , Garis y = 0 adalah asimtot horizontal.
7. Penggambaran Grafik Canggih
Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik,
khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kitadapat menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik.
Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau dimana cekung ke atas.
POLINOM. Polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk di gambar grafiknya, yangberderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalka 3 sampai 6. kitadapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.
FUNGSI RASIONAL. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom,lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan
perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.
RINGKASAN METODE. Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapatpengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangatmembantu.
soal :Sketsakan grafik f(x) = (2x5 30x3)/108
penyelesaian :karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titikasal. Dengan menetapkan f(x) = 0 berarti {2x5 30x3}/108 = 0 dan x3(2x2 30)/108 = 0
kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan 15 3,85 Kemudian kita deferensialkan f(x) = (10x4 90x2)/108 = {10x2 (x2-9)}/108
kita peroleh titik kritis -3, 0, 3
f(-3) = 3 f(0) = 0 f(3) = 12
kemudian kita deferensialkan kembali f(x) = (40x3 -180x)/108 = {x(40x2-180)}/108
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
12/16
kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0
f(-2.1) = 1.8 f(2.1) = -1. f(0) = 0
8.Teorema Nilai Rata-Rata
Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus tidak begitu penting, tetapi seringkali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa geometri,teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami.
GAMBAR 1 dan 2
Teorema A
(Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] danterdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan cdalam (a,b) dimana
f(b) f(a) / b a =f(c) atau secara setara, dimanaf(b) f(a) =f(c) (b-a)
Teorema B
Jika F(x) = G(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian
sehingga F(x) = G(x) + CUntuk semua x dalam (a,b)
soal:Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x2 3 pada [1,3]
penyelesaian :
f(x) = 2x dan {f(3) f(1)}/ 3 1 = {6 (-2)}/2 = 8/2 = 4, mjadi kita harus menyelesaikan 2C= 4 maka C = 2
jawaban tunggal adalah C = 2
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
13/16
-
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
14/16
BAB III
PENUTUP
KESIMPULAN
BEBERAPAAPLIKASITURUNAN
1. KOEFISIEN ARAH GARIS SINGGUNG, (GARISNORMAL, GARIS SINGGUNG, SUB-NORMAL,
SUB-TANGEN).
2. LIMITDENGANBENTUKTAKTENTU (DALILLHOSPITAL)
3. LAJUPERUBAHAN
4. MAKSIMA & MINIMA
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah
cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga.Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai
bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta
aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains,ekonomi, dan
teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan
aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dankalkulus integralyang
saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbangmenuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan
limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latinhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/0,999...#Deret_dan_barisan_takterhinggahttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ilmuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomihttp://id.wikipedia.org/wiki/Teknikhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)http://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latinhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/0,999...#Deret_dan_barisan_takterhinggahttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ilmuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomihttp://id.wikipedia.org/wiki/Teknikhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)http://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematika -
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
15/16
DAFTAR PUSTAKA
Purcell, Edwin J. 2003.Kalkulus jilid 1. Jakarta: Erlangga
Sari, Intan. 2009. Penggunaan turunan.
http://nengintanmsari.wordpress.com/2009/03/15/penggunaan-turunan/ (diakses
tanggal 22 April 2012)
Setiawan. 2004.PDF Pengantar kalkulus. http://Depdiknas.yogyakarta.com/
(diakses taggal 22 April 2012)
Sutrisno,agung. 2009. Matematika dasar.WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
(diakses tanggal 22 April 2012)
http://nengintanmsari.wordpress.com/2009/03/15/penggunaan-turunan/http://depdiknas.yogyakarta.com/http://nengintanmsari.wordpress.com/2009/03/15/penggunaan-turunan/http://depdiknas.yogyakarta.com/ -
7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan
16/16