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Antiderivadas
Definición: Una función F se llama
antiderivada de una función f en un
intervalo dado si la derivada de F
es f, esto es 𝑭′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 para todo
x en el intervalo.
Observación:
De la definición, tal vez no es evidente que F NO es única.
La antiderivada de es el conjunto de todas las funciones tal que
La constante C se llama la constante de integración.
f x
F x C
.d
F x C f xdx
Antiderivadas
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Antiderivadas
Ejemplo: Busque la derivada de cada una de las siguientes funciones:
1. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 9 2. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 −5
3. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 2 4. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 −100
5. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 1
2
Debes notar que en todos los casos
𝑓′ 𝑥 = 6(2𝑥 + 1)2
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Si F es una antiderivada de f en un intervalo
dado, la antiderivada más general de f en un
intervalo dado es F(x) + c, donde c es una
constante arbitraria.
Ejemplo:
La antiderivada más general de
𝑓′ 𝑥 = 6(2𝑥 + 1)2
es F 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 𝑐
Antiderivadas
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INTERPRETACION GEOMETRICA
Se presentan gráficas de funciones, que tienen una misma derivada.
De las gráficas podemos apreciar carácterísticas de la de 𝑓′ 𝑥 y 𝑓′′(𝑥): 1) 𝑓′ 𝑥 ≥ 0 para todo x en su dominio ( por que las gráficas de las antiderivadas son crecientes) 2) El único valor crítico de 𝑓′(𝑥) es x=0 3) 𝑓′′ 𝑥 > 0 en −∞, 0 𝑦 𝑓′′ 𝑥 > 0 en 0,∞
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Ejemplo 1
Encuentre la antiderivada más general de
cada una de las siguientes funciones.
xexfa )( )
32 ) xg(x)b
34)() xxpc
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Antiderivadas
Función Fórmula de la Antiderivada
𝑐 𝑐𝑥
𝑥𝑛 (𝑠𝑖 𝑛 ≠ −1) 𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
𝑒𝑥 𝑒𝑥
𝑐𝑓(𝑥) 𝑐𝐹(𝑥)
𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝐹 𝑥 + 𝐺(𝑥)
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cxFdxxf )()(
dxxf )(
Integrando
Integral indica respecto a
que variable se
integra.
El procedimiento para calcular integrales se
llama integración.
La integral indefinida
Ejemplo 1: Determine las integrales indefinidas, o sea la antiderivada general de cada integrando:
a.)
b.)
c.)
d.) ln 2 2𝑥 =
8dx
23x dx
xe dx
8x C
3x C
xe C
2𝑥 + 𝐶
Ejemplo: Use la regla de potencia para la antidiferenciación
a.)
b.)
7 99
3
1a) ; b) ; c) ; d) x dx x dx xdx dx
x 7 1
7 81
7 1 8
xx dx C x C
99 199 1001
99 1 100
xx dx C x C
Ejemplo (Continuación)
c) Notamos que
Notamos que
d)
1/2 11/2 3/22
1 31
2
xxdx x C x C
1/2.x x
3 13 2
3 2
1 1 1
3 1 2 2
xdx x dx C x C C
x x
3
3
1.x
x
Ejemplo 4: Determine these indefinite integrals.
a.) Antidiferenciamos cada término separadamente:
5 2 5 23 7 8 3 7 8 x x dx x dx x dx dx
6 31 7 8
2 3 x x x C
6 31 1 3 7 8
6 3
x x x
2
5x dx
Antiderivada particular
Si nos dan información sobre un punto por la cual pasa la antiderivada, podemos determinar la antiderivada particular.
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Antiderivada particular
Ej. Determine la antiderivada general de
𝑓 𝑥 = 9 − 5𝑥2 − 1
2𝑥4 si F(x) pasa por (1, 2)
Solución: 9 − 5𝑥2 − 1
2𝑥4 𝑑𝑥 = 9𝑑𝑥 − 5𝑥2𝑑𝑥 − 1
2𝑥4 𝑑𝑥
F(x) = 9𝑥 −5𝑥3
3−
𝑥5
10+ 𝑐
Sustituyendo la información que nos dan
2 = 9 −5
3−
1
10+ 𝑐
2 − 9 +5
3+
1
10= 𝑐
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